गणितीय तर्क (भाग 1)

तार्किक निष्कर्ष क्या है?

दो कथन दिए जाने दें:

1. फल पेड़ों पर उग सकते हैं।

2. सेब एक फल है।

चूँकि ये दोनों कथन सत्य हैं, इसलिए हम कह सकते हैं कि "सेब पेड़ों पर उग सकते हैं" कथन भी सत्य है। यह तीसरा कथन किसी भी तरह से पहले दो में समाहित नहीं है, यह उनका अनुसरण करता है। या, दूसरे शब्दों में, तीसरा कथन पहले दो से तार्किक निष्कर्ष है।

यह एक साधारण उदाहरण था। अब आइए एक और अधिक जटिल उदाहरण देखें। आइए प्रोफेसर आर.एम. की पुस्तक से समस्या को हल करने का प्रयास करें। स्मॉलियन, द प्रिंसेस या टाइगर।

स्थि‍ति।इस समस्या में आपको यह पता लगाना होगा कि दोनों कमरों में से कौन राजकुमारी है और कौन सा बाघ। प्रत्येक कमरे के दरवाजों पर कुछ बयानों के साथ प्लेट होते हैं, साथ ही यह भी पता चलता है कि एक प्लेट पर सच लिखा होता है, दूसरे पर नहीं, लेकिन कौन सा सच है और कौन सा झूठ यह नहीं पता है। और यह भी ज्ञात है कि हर कमरे में कोई न कोई है।

1. इस कमरे में एक राजकुमारी है और दूसरे कमरे में एक बाघ बैठा है।

2. इनमें से एक कमरे में एक राजकुमारी है; इसके अलावा, इनमें से एक कमरे में एक बाघ बैठा है।

समाधान।टैबलेट पर दिए गए कथन सत्य और असत्य दोनों नहीं हो सकते। इसलिए, केवल दो स्थितियां संभव हैं। पहला : पहला सत्य है और दूसरा असत्य है और दूसरा : पहला असत्य है और दूसरा सत्य है। आइए उन पर विचार करें।

स्थिति 1.पहले कथन की सच्चाई से यह पता चलता है कि राजकुमारी पहले कमरे में है, और बाघ दूसरे कमरे में है। वहीं, दूसरे कथन के मिथ्यापन से यह निष्कर्ष निकलता है कि राजकुमारी के बैठने का कोई कमरा नहीं है और न ही कोई कमरा है जिसमें बाघ बैठता है। इसलिए, पहले कथन का सत्य और दूसरे का असत्य एक ही समय में असंभव है।

स्थिति 2.दूसरे कथन की सच्चाई से केवल इतना ही पता चलता है कि बाघ और राजकुमारी दोनों मौजूद हैं। पहले के झूठ से, यह इस प्रकार है कि राजकुमारी दूसरे कमरे में है, और बाघ पहले कमरे में है। दूसरी स्थिति का विश्लेषण करने पर हमें विरोधाभास नहीं मिला, इसलिए स्थिति 2 समस्या का समाधान है।

इस समस्या का समाधान अधिक जटिल तर्क का एक उदाहरण है। हालांकि, सामान्य सिद्धांत को देखना मुश्किल नहीं है। इस तर्क में, साथ ही पहले उदाहरण में, सत्य से प्रारंभिक कथन हैं, जिसके बाद अन्य कथनों की सत्यता या असत्यता का अनुसरण किया जाता है। और तार्किक निष्कर्ष का उद्देश्य विभिन्न कथनों की सत्यता या असत्यता को स्थापित करना है।

तार्किक निष्कर्ष प्रतीत होने वाले स्पष्ट दावे पर निर्भर करता है कि, मूल कथन सत्य हैं और तार्किक निष्कर्ष सही है, इस तरह के निष्कर्ष से निकलने वाला कथन भी सत्य है।

यह पता लगाना बाकी है कि एक सही तार्किक निष्कर्ष क्या है। और यह एक बहुत ही कठिन प्रश्न है। इसका उत्तर देने के लिए एक संपूर्ण विज्ञान की आवश्यकता है जिसे गणितीय तर्क कहा जाता है। अब हमें कुछ परिभाषाओं की आवश्यकता है।

उच्चारण की अवधारणा

उदाहरण के रूप में हमने ऊपर जिन सभी कथनों का प्रयोग किया है उनमें एक बात समान है। उनका अर्थ चाहे जो भी हो, वे सत्य या असत्य हो सकते हैं। इस संपत्ति के साथ बयानों को प्रस्ताव कहा जाता है। प्रत्येक कथन कथन नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कथन: "मैलाकाइट सभी ज्ञात रत्नों में सबसे सुंदर पत्थर है"बयान नहीं हो सकता, क्योंकि यह स्वाद का मामला है।

ऐसे कथन हैं जो सत्य या असत्य हैं, जिन्हें सिद्धांत रूप में सत्यापित किया जा सकता है, लेकिन केवल सिद्धांत रूप में, लेकिन वास्तव में यह असंभव है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कथन की सत्यता को सत्यापित करना असंभव है: "वर्तमान में ग्रह पृथ्वी पर एक और केवल एक पेड़ है जिसमें ठीक 10,000 पत्ते हैं।" सैद्धांतिक रूप से, यह जांचना संभव है, लेकिन केवल सैद्धांतिक रूप से, क्योंकि इस तरह की जांच के लिए बहुत सारे निरीक्षकों का उपयोग करना आवश्यक होगा, ग्रह पर रहने वाले लोगों की तुलना में बहुत अधिक।

इस प्रकार, गणितीय तर्क केवल प्रस्तावों का अध्ययन करता है, और केवल उनके सत्य या असत्य का निर्धारण कैसे करता है। गणितीय तर्क प्रस्तावों के अर्थ की जांच नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि प्रस्ताव का निर्माण कोई भूमिका नहीं निभाता है और यह प्रस्ताव के लिए एक सरल संकेतन पेश करने के लिए पर्याप्त है।

दरअसल, ऐसा ही होता है। कथनों को केवल अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है: ए, बी, सी, आदि। और उनके बारे में केवल इतना ही कहो कि वे सच हैं या झूठ।

जटिल बयान। बूलियन संचालन

पहले, हमने केवल साधारण कथनों के बारे में बात की थी, कथन जटिल भी हो सकते हैं, जिसमें कई सरल कथन होते हैं। यहाँ एक उदाहरण है:

टमाटर लाल हो सकता है और टमाटर गोल हो सकता है।

इस कथन में दो सरल हैं: "टमाटर लाल हो सकता है", "टमाटर गोल हो सकता है" एक तार्किक संयोजी "AND" द्वारा जुड़ा हुआ है। तार्किक संयोजक "AND" के साथ दो या दो से अधिक सरल कथनों के संयोजन को संयोजन का तार्किक संचालन कहा जाता है। संयोजन का परिणाम एक जटिल कथन है, जिसका सत्य इसमें शामिल सरल कथनों की सच्चाई पर निर्भर करता है और निम्नलिखित नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है: एक संयोजन सत्य है यदि और केवल यदि इसमें सभी कथन सत्य हैं।

गणितीय तर्क में, संयोजन के लिए आम तौर पर स्वीकृत अंकन होता है - । यदि एक संयोजन में दो सरल कथन ए और बी शामिल हैं, तो इसे ए बी के रूप में लिखा जाता है।

एक संयोजन के लिए सत्य नियम को निम्न तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है:

ए	बी	ए और बी

इस तालिका में सत्य को एक और असत्य को शून्य लिखा गया है। यदि A का मान 0 है और B का मान 1 है, तो संयोजन होगा: 0 और 1 = 0, जो गलत है।

बेशक, संयोजन एकमात्र तार्किक संचालन नहीं है जो आपको सरल कथनों से जटिल बनाने की अनुमति देता है। आइए कुछ और परिभाषित करें:

विच्छेदन।एक यौगिक कथन जो दो सरल कथनों का संयोजन है, सत्य है यदि संयोजन में शामिल कम से कम एक सरल कथन सत्य है। वियोजन को इस प्रकार दर्शाया गया है :

ए Ú बी। इसकी सत्य तालिका है:

तुल्यता।एक तुल्यता संक्रिया की सहायता से निर्मित एक यौगिक कथन सत्य है यदि इसमें शामिल दोनों कथन एक साथ सत्य हैं या एक साथ असत्य हैं। समकक्ष को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: ए ~ बी।सत्य तालिका नीचे दिखाई गई है।

तार्किक संचालन का उपयोग करके, आप किसी भी जटिलता की तार्किक अभिव्यक्ति बना सकते हैं, जिसका सत्य सत्य तालिका का उपयोग करके भी निर्धारित किया जा सकता है। आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति को एक उदाहरण के रूप में लें: (ए Ù बी) ® (ए Ú बी) और इसके लिए एक सत्य तालिका बनाएं:

इस व्यंजक की सत्य तालिका दर्शाती है कि यह सरल कथनों A और B के किसी भी मान के लिए एक सही मान लेती है। ऐसे व्यंजकों को समान रूप से सत्य कहा जाता है। वे भाव जो हमेशा असत्य का मूल्यांकन करते हैं, समान रूप से असत्य कहलाते हैं।

सत्य तालिकाओं के साथ सत्य को सत्यापित करना हमेशा आसान नहीं होता है। तार्किक अभिव्यक्तियों में कई ऑपरेशन शामिल हो सकते हैं, अक्षरों द्वारा निरूपित प्राथमिक प्रस्तावों की संख्या भी बड़ी हो सकती है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्राथमिक प्रस्तावों के साथ, सत्य तालिका इतनी बड़ी हो सकती है कि इसे बनाना असंभव होगा।

उपरोक्त तालिकाओं से यह देखा जा सकता है कि, उनके निर्माण के लिए, प्रारंभिक प्रस्तावों के सत्य और असत्य के सभी संभावित संयोजनों की गणना करना आवश्यक है। दो कथनों के लिए, चार संयोजन संभव हैं। तीन के लिए, संयोजनों की संख्या 8 है। N कथनों के लिए, संयोजनों की संख्या 2 N है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, N=10 2 N = 2 10 = 1024 के लिए। यह पहले से ही बहुत अधिक है।

ऐसी स्थितियों में, अभिव्यक्ति की सच्चाई और असत्य को निर्धारित करने के लिए पहले से ही विशेष तकनीकों की आवश्यकता होती है। इन तकनीकों में मूल अभिव्यक्ति को सरल बनाना, उसे एक मानक, सरल रूप में लाना शामिल है। एक सरल रूप को आमतौर पर एक छोटी अभिव्यक्ति के रूप में समझा जाता है, हालांकि, तार्किक अभिव्यक्ति को छोटा करना संभव नहीं हो सकता है। हालांकि, आप हमेशा तार्किक संचालन की संख्या को कम कर सकते हैं, और आप हमेशा तार्किक अभिव्यक्ति के रूप को सरल बना सकते हैं।

दो मानक रूप हैं जिनसे कोई भी तार्किक अभिव्यक्ति डाली जा सकती है।

विभक्ति सामान्य रूप।यह एक तार्किक अभिव्यक्ति है, जो प्राथमिक संयोजनों का एक संयोजन है, जिसमें प्राथमिक कथन या उनके निषेध शामिल हैं।

उदाहरण

(एÙबीÙसी)Ú(एÙùबीÙùसी)Ú(एÙबीÙùसी)

संयोजक सामान्य रूप।यह एक तार्किक अभिव्यक्ति है, जो प्राथमिक वियोजनों का एक संयोजन है, जिसमें प्राथमिक कथन या उनके निषेध शामिल हैं।

(एÚùबीÚसी) (एÚùबीÚसी)Ù (एÚबीÚùसी)

सामान्य रूप में प्रस्तुत अभिव्यक्ति की सच्चाई को जांचना बहुत आसान है। यदि कम से कम एक प्राथमिक संयोजन सत्य है, तो एक असंबद्ध सामान्य रूप सत्य है। एक संयोजन सामान्य रूप गलत है यदि कम से कम एक प्राथमिक संयोजन गलत है। एक प्रारंभिक वियोजन सत्य है यदि इसमें शामिल कम से कम एक प्राथमिक प्रस्ताव सत्य है। एक प्रारंभिक संयोजन गलत है यदि इसमें शामिल कम से कम एक प्राथमिक प्रस्ताव गलत है (एक प्रस्ताव का निषेध प्राथमिक नहीं है)।

उपरोक्त रूपों में से किसी एक में तार्किक अभिव्यक्ति लाने के लिए, प्रतिस्थापन नियम लागू होते हैं जो तार्किक अभिव्यक्ति को एक समकक्ष में अनुवाद करते हैं (अर्थात, एक ही सत्य तालिका वाले)। नीचे ऐसे नियमों की सूची दी गई है।

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निषेध, संयोजन, वियोग।

हमारा तर्क बयानों से बना है। उदाहरण के लिए, निष्कर्ष में “कुछ पक्षी उड़ते हैं; इसलिए, कुछ उड़ने वाले पक्षियों" में दो अलग-अलग कथन शामिल हैं।

एक बयान एक नाम से अधिक जटिल गठन है। कथनों को सरल भागों में विघटित करने पर, हमें हमेशा एक या दूसरा नाम मिलता है। मान लें कि "सूर्य एक तारा है" कथन में "सूर्य" और "तारा" नाम इसके भागों के रूप में शामिल हैं।

एक बयान एक व्याकरणिक रूप से सही वाक्य है, जो इसके द्वारा व्यक्त अर्थ (सामग्री) के साथ लिया जाता है, और जो सत्य या गलत है।

एक बयान की अवधारणा तर्क की प्रारंभिक, प्रमुख अवधारणाओं में से एक है। जैसे, यह एक सटीक परिभाषा की अनुमति नहीं देता है जो इसके विभिन्न वर्गों में समान रूप से लागू होती है। यह स्पष्ट है कि कोई भी कथन एक निश्चित स्थिति का वर्णन करता है, इसके बारे में कुछ दावा या इनकार करता है, और यह सच है या गलत है।

एक कथन को सत्य माना जाता है यदि उसके द्वारा दिया गया विवरण वास्तविक स्थिति से मेल खाता है, और असत्य यदि वह उसके अनुरूप नहीं है। "सत्य" और "झूठे" को प्रस्ताव के सत्य-मूल्य कहा जाता है।

अलग-अलग बयानों से अलग-अलग तरीकों से, आप नए बयान बना सकते हैं। तो, "हवा बह रही है" और "बारिश हो रही है" कथनों से, अधिक जटिल कथनों का निर्माण किया जा सकता है "हवा बह रही है और बारिश हो रही है", "या तो हवा चल रही है या बारिश हो रही है", "यदि यह बारिश हो रही है, हवा चल रही है", आदि। भाव "और", "या तो, या", "अगर, फिर", आदि, जो जटिल बयान बनाने का काम करते हैं, तार्किक संयोजक कहलाते हैं।

एक कथन को सरल कहा जाता है यदि इसमें अन्य कथनों को इसके भागों के रूप में शामिल नहीं किया जाता है।

एक कथन जटिल होता है यदि इसे अन्य, सरल कथनों से तार्किक संयोजकों की सहायता से प्राप्त किया जाता है।

तर्क का वह भाग, जो कथनों के तार्किक सम्बन्धों का वर्णन करता है, जो साधारण कथनों की संरचना पर निर्भर नहीं करता है, कटौती का सामान्य सिद्धांत कहलाता है।

नकारात्मक - एक तार्किक संयोजक, जिसकी सहायता से किसी दिए गए कथन से एक नया कथन प्राप्त होता है, जैसे कि यदि मूल कथन सत्य है, तो इसका निषेध असत्य है, और इसके विपरीत। एक नकारात्मक कथन में मूल कथन और निषेध होता है, जिसे आमतौर पर "नहीं", "यह सच नहीं है" शब्दों द्वारा व्यक्त किया जाता है। एक नकारात्मक प्रस्ताव इस प्रकार एक मिश्रित प्रस्ताव है: इसमें इसके हिस्से के रूप में एक प्रस्ताव शामिल है जो इससे अलग है। उदाहरण के लिए, कथन "10 एक सम संख्या है" का निषेध कथन "10 एक सम संख्या नहीं है" (या: "यह सच नहीं है कि 10 एक सम संख्या है")।

"और" शब्द की सहायता से दो कथनों को जोड़ने के परिणामस्वरूप हमें एक जटिल कथन मिलता है जिसे संयोजन कहा जाता है। इस तरह से जुड़े बयानों को एक संयोजन के सदस्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कथन "आज गर्म है" और "कल यह ठंडा था" को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो संयोजन "आज गर्म है और कल ठंडा था" प्राप्त होता है।

एक संयोजन तभी सत्य होता है जब उसमें दोनों कथन सत्य हों; यदि इसका कम से कम एक पद असत्य है, तो पूरा संयोजन असत्य है।

एक संयोजन की परिभाषा, साथ ही साथ अन्य तार्किक संयोजकों की परिभाषाएं जो जटिल कथन बनाने का काम करती हैं, निम्नलिखित दो मान्यताओं पर आधारित हैं:

प्रत्येक प्रस्ताव (सरल और जटिल दोनों) में दो सत्य मूल्यों में से एक और केवल एक होता है: यह या तो सत्य है या गलत;

एक यौगिक कथन का सत्य मूल्य केवल उसमें शामिल कथनों के सत्य मूल्यों और जिस तरह से वे एक दूसरे के साथ तार्किक रूप से जुड़े हुए हैं, उस पर निर्भर करता है।

ये धारणाएँ सरल लगती हैं। हालांकि, उन्हें स्वीकार करने के बाद, इस विचार को त्याग देना चाहिए कि, सच्चे और झूठे बयानों के साथ, ऐसे बयान भी हो सकते हैं जो उनके सत्य मूल्य के संदर्भ में अनिश्चित हैं (जैसे, कहते हैं, "इस समय पांच साल में बारिश होगी गड़गड़ाहट के साथ ”आदि)। इस तथ्य का परित्याग करना भी आवश्यक है कि एक यौगिक कथन का सत्य मूल्य संयुक्त होने वाले कथनों के "अर्थ में संबंध" पर भी निर्भर करता है।

सामान्य भाषा में, दो कथन संघ द्वारा जुड़े होते हैं "और" जब वे सामग्री या अर्थ में संबंधित होते हैं। इस संबंध की प्रकृति पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, लेकिन यह स्पष्ट है कि हम इस संयोजन पर विचार नहीं करेंगे "उन्होंने एक कोट पहना और मैं विश्वविद्यालय गया" एक अभिव्यक्ति के रूप में जो समझ में आता है और सच या गलत हो सकता है। यद्यपि कथन "2 एक अभाज्य संख्या है" और "मास्को एक बड़ा शहर है" सत्य हैं, हम उनके संयोजन पर विचार करने के लिए इच्छुक नहीं हैं "2 एक अभाज्य संख्या है और मास्को एक बड़ा शहर है" या तो सत्य होने के लिए, क्योंकि इसके घटक कथन अर्थ में संबंधित नहीं हैं।

संयोजन और अन्य तार्किक संयोजनों के अर्थ को सरल बनाना और इसके लिए, "अर्थ द्वारा बयानों के कनेक्शन" की अस्पष्ट अवधारणा को त्यागना, तर्क एक ही समय में इन संयोजकों के अर्थ को व्यापक और स्पष्ट दोनों बनाता है।

दो कथनों को "या" शब्द से जोड़ने पर हमें इन कथनों का एक संयोजन प्राप्त होता है। वे कथन जो वियोजन का निर्माण करते हैं, वियोजन के सदस्य कहलाते हैं।

रोज़मर्रा की भाषा में "या" शब्द के दो अलग-अलग अर्थ होते हैं। कभी-कभी इसका अर्थ होता है "एक या दूसरे, या दोनों," और कभी-कभी "एक या दूसरे, लेकिन दोनों नहीं।" बयान "इस सीजन में मैं हुकुम की रानी या ऐडा जाना चाहता हूं" दो बार ओपेरा में जाने की संभावना की अनुमति देता है। "वह मास्को या लेनिनग्राद विश्वविद्यालय में पढ़ता है" बयान में, यह समझा जाता है कि प्रश्न में व्यक्ति इनमें से केवल एक विश्वविद्यालय में अध्ययन करता है।

"या" का पहला अर्थ गैर-अनन्य कहा जाता है। इस अर्थ में, दो कथनों के संयोजन का अर्थ केवल यह है कि इनमें से कम से कम एक कथन सत्य है, चाहे वे दोनों सत्य हों या नहीं। दूसरे, अनन्य अर्थ में लिया गया, दो कथनों का संयोजन यह दावा करता है कि उनमें से एक सत्य है और दूसरा असत्य है।

प्रतीक वी गैर-अनन्य अर्थों में एक संयोजन को दर्शाता है, अनन्य अर्थ में एक संयोजन के लिए, प्रतीक वी का उपयोग किया जाएगा। दो प्रकार के विच्छेदन के लिए तालिकाएँ दर्शाती हैं कि एक गैर-अनन्य विघटन सत्य है जब इसमें शामिल कम से कम एक कथन सत्य है, और केवल तभी गलत है जब इसके दोनों सदस्य झूठे हों; एक एक्सक्लूसिव डिसजंक्शन तब सही होता है, जब इसका केवल एक ही टर्म सही होता है और जब इसके दोनों टर्म्स सही होते हैं या दोनों गलत होते हैं तो यह गलत होता है।

तर्क और गणित में, शब्द "या" हमेशा एक गैर-अनन्य अर्थ में प्रयोग किया जाता है।

किसी कथन के सरल, और अगोचर भागों में विघटित होने से दो प्रकार के भाव मिलते हैं, जिन्हें उचित और अनुचित प्रतीक कहते हैं। स्वयं के प्रतीकों की ख़ासियत यह है कि उनमें कुछ सामग्री होती है, यहाँ तक कि स्वयं द्वारा भी ली जाती है। इनमें नाम (कुछ मात्राओं को दर्शाते हुए), अनसुलझे (वस्तुओं के कुछ क्षेत्र का जिक्र), बयान (कुछ स्थितियों का वर्णन करना और सही या गलत होना) शामिल हैं। अनुचित प्रतीकों में स्वतंत्र सामग्री नहीं होती है, लेकिन एक या एक से अधिक प्रतीकों के संयोजन में जटिल अभिव्यक्तियाँ होती हैं जिनमें पहले से ही स्वतंत्र सामग्री होती है। अनुचित प्रतीकों में शामिल हैं, विशेष रूप से, सरल शब्दों से जटिल कथन बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले तार्किक संयोजक: "... और ...", "... या ...", "या तो ... या ...", " अगर..., फिर...", "... तब और केवल जब...", "न... न...", "नहीं... लेकिन...", "... लेकिन नहीं ...", "यह सच नहीं है कि ...", आदि। शब्द स्वयं, "या" कहता है, किसी वस्तु को नहीं दर्शाता है। लेकिन अपने स्वयं के दो के संयोजन में, प्रतीकों को निरूपित करते हुए, यह शब्द एक नया निरूपण प्रतीक देता है: दो कथनों "प्राप्त पत्र" और "टेलीग्राम भेजा गया" से - एक नया कथन "पत्र प्राप्त या टेलीग्राम भेजा गया।"

तर्क का केंद्रीय कार्य सही तर्क योजनाओं को गलत लोगों से अलग करना और पूर्व के व्यवस्थितकरण है। तार्किक शुद्धता तार्किक रूप से निर्धारित होती है। इसे प्रकट करने के लिए, किसी को तर्क के सार्थक हिस्सों (उचित प्रतीकों) से अलग होना चाहिए और गैर-उचित प्रतीकों पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए जो इस रूप को अपने शुद्धतम रूप में दर्शाते हैं। इसलिए शब्दों में औपचारिक तर्क की रुचि जो आमतौर पर ध्यान आकर्षित नहीं करती है, जैसे "और", "या", "अगर, फिर", आदि।

बयानएक घोषणात्मक वाक्य जिसे सत्य या असत्य कहा जा सकता है। बीजगणित में, सरल कथन तार्किक चर (ए, बी, सी, आदि) से जुड़े होते हैं।

बूलियन चरएक साधारण कथन है।
बूलियन चर को अपरकेस और लोअरकेस लैटिन अक्षरों (ए-जेड, ए-जेड) द्वारा दर्शाया जाता है और केवल दो मान ले सकते हैं - 1 यदि कथन सत्य है, या 0 यदि कथन गलत है।

उदाहरण कह रहा है:

बूलियन फ़ंक्शन- यह एक जटिल कथन है, जो सरल कथनों पर तार्किक संचालन करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है।

जटिल बयानों के निर्माण के लिए, सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला बुनियादी तार्किक संचालन, तार्किक संयोजकों "और", "या", "नहीं" का उपयोग करके व्यक्त किया गया।
उदाहरण के लिए,

बहुत से लोगों को गीला मौसम पसंद नहीं होता है।.

चलो A = "बहुत से लोग गीला मौसम पसंद करते हैं।" हमें एक तार्किक कार्य मिलता है एफ(ए) = नहीं ए।

बंडल "नहीं", "और", "या"तार्किक संचालन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है उलट देना , संयोजक , अलगाव . यह बुनियादी तार्किक संचालन, जिसका उपयोग किसी भी तार्किक अभिव्यक्ति को लिखने के लिए किया जा सकता है।

बूलियन फॉर्मूला (तार्किक अभिव्यक्ति) - एक सूत्र जिसमें केवल तार्किक मूल्य और तार्किक संचालन के संकेत होते हैं। तार्किक सूत्र के मूल्यांकन का परिणाम TRUE (1) या FALSE (0) है।

लॉजिकल फंक्शन का मान इसमें शामिल लॉजिकल वेरिएबल्स के मानों पर निर्भर करता है। इसलिए, एक विशेष तालिका का उपयोग करके तार्किक फ़ंक्शन का मान निर्धारित किया जा सकता है ( सत्य सारणी), जो इनपुट बूलियन चर के सभी संभावित मूल्यों और उनके संबंधित फ़ंक्शन मानों को सूचीबद्ध करता है।

बुनियादी (बुनियादी) तार्किक संचालन:

1. तार्किक गुणन (संयोजन), अक्षांश से। konjunctio - मैं कनेक्ट करता हूं:
संघ का उपयोग करके दो (या कई) कथनों को एक में मिलाना और;
प्रोग्रामिंग भाषाओं में - और।
पारंपरिक संकेतन: /\ , , और, और।
सेट के बीजगणित में, संयोजन सेट के प्रतिच्छेदन के संचालन के अनुरूप होते हैं।

एक संयोजन सत्य है यदि और केवल यदि इसमें सभी कथन सत्य हैं।

उदाहरण:
यौगिक कथन "2 2 = 4 और 3 3 = 10" पर विचार करें। आइए कुछ सरल कथनों पर एक नज़र डालें:

बी \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (क्योंकि यह एक गलत बयान है)
अतः तार्किक फलन F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (सत्य सारणी के अनुसार), अर्थात् यह यौगिक कथन असत्य है।

2. तार्किक जोड़ (वियोजन), अक्षांश से। disjunctio - मैं भेद करता हूँ:
संघ का उपयोग करके दो (या अधिक) कथनों को एक में मिलाना या;
प्रोग्रामिंग भाषाओं में - या।
संकेतन: \/, +, या, या।
सेट के बीजगणित में, संयोजन सेट के संघ के संचालन से मेल खाता है।

एक संयोजन असत्य है यदि और केवल यदि इसमें शामिल सभी कथन असत्य हैं।

उदाहरण:
यौगिक कथन "2 2 = 4 या 2 2 = 5" पर विचार करें। आइए सरल कथनों को अलग करें:
ए \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (क्योंकि यह एक सत्य कथन है)
बी \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (क्योंकि यह एक गलत बयान है)
अतः तार्किक फलन F(A, B) = A \/B = 1 \/ 0 = 1 (सत्य सारणी के अनुसार), अर्थात् यह यौगिक कथन सत्य है।

3. नकारात्मक (उलटा), अक्षांश से। उलटा - मैं फ्लिप करता हूं:

कण के अनुरूप नहीं है, वाक्यांश गलत हैं, क्या सही है या नहीं, क्या;
प्रोग्रामिंग भाषाओं में - नहीं;
पदनाम: ए नहीं, ए, नहीं
सेट के बीजगणित में, तार्किक निषेध एक सार्वभौमिक सेट के पूरक के संचालन से मेल खाता है।

उलटाएक बूलियन चर का i सत्य है यदि चर स्वयं गलत है, और इसके विपरीत, यदि चर सत्य है तो व्युत्क्रम गलत है।

उदाहरण:

ए \u003d (दो गुणा दो चार है) \u003d 1.

ए = ( यह सच नहीं है किदो गुना दो बराबर चार = 0.

कथन ए पर विचार करें: चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह है"; तब A इस प्रकार बनाया जाएगा: " चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह नहीं है“.

कथन पर विचार करें: "यह सत्य नहीं है कि 4, 3 से विभाज्य है।" A द्वारा सरल कथन "4, 3 से विभाज्य है" को निरूपित करें। तब इस कथन के निषेधन के तार्किक रूप का रूप A . है

तार्किक संचालन की प्राथमिकता:

एक बूलियन अभिव्यक्ति में संचालन कोष्ठक सहित बाएं से दाएं किया जाता है मेंअगला ठीक है:
1. उलटा;
2. संयोजन;
3. विच्छेदन;
तार्किक संचालन के निर्दिष्ट क्रम को बदलने के लिए कोष्ठक का उपयोग किया जाता है।

यौगिक तार्किक भावप्रस्तावक बीजगणित कहलाते हैं सूत्र
किसी सूत्र का सही या गलत मान तर्क के बीजगणित के नियमों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, बिना अर्थ का उल्लेख किए:
एफ = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) = 1 /\ 1=1 - सच
एफ = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - झूठा

एक बयान एक नाम से अधिक जटिल गठन है। कथनों को सरल भागों में विघटित करने पर, हमें हमेशा एक या दूसरा नाम मिलता है। मान लें कि "सूर्य एक तारा है" कथन में "सूर्य" और "तारा" नाम इसके भागों के रूप में शामिल हैं।

बयान- एक व्याकरणिक रूप से सही वाक्य, इसके द्वारा व्यक्त अर्थ (सामग्री) के साथ लिया गया, और जो सत्य या गलत है।

एक बयान की अवधारणा तर्क की प्रारंभिक, प्रमुख अवधारणाओं में से एक है। जैसे, यह एक सटीक परिभाषा की अनुमति नहीं देता है जो इसके विभिन्न वर्गों में समान रूप से लागू होती है।

एक कथन को सत्य माना जाता है यदि उसके द्वारा दिया गया विवरण वास्तविक स्थिति से मेल खाता है, और असत्य यदि वह उसके अनुरूप नहीं है। "सत्य" और "झूठे" को "प्रस्तावों के सत्य-मूल्य" कहा जाता है।

अलग-अलग बयानों से अलग-अलग तरीकों से, आप नए बयान बना सकते हैं।

उदाहरण के लिए, "हवा चल रही है" और "बारिश हो रही है" कथन से, अधिक जटिल कथन बन सकते हैं "हवा बह रही है और बारिश हो रही है", "या तो हवा चल रही है या बारिश हो रही है", "यदि बारिश हो रही है, फिर हवा चल रही है", आदि।

कथन कहा जाता है सरल,यदि इसमें अन्य कथनों को इसके भागों के रूप में शामिल नहीं किया गया है।

कथन कहा जाता है मैं पेचीदा हूँ, यदि इसे अन्य सरल कथनों से तार्किक संयोजकों की सहायता से प्राप्त किया जाता है।

आइए जटिल कथनों के निर्माण के सबसे महत्वपूर्ण तरीकों पर विचार करें।

नकारात्मक बयानमूल कथन और निषेध से मिलकर बनता है, जिसे आमतौर पर "नहीं", "यह सच नहीं है" शब्दों द्वारा व्यक्त किया जाता है। एक नकारात्मक प्रस्ताव इस प्रकार एक मिश्रित प्रस्ताव है: इसमें इसके हिस्से के रूप में एक प्रस्ताव शामिल है जो इससे अलग है। उदाहरण के लिए, कथन "10 एक सम संख्या है" का निषेध कथन "10 एक सम संख्या नहीं है" (या: "यह सच नहीं है कि 10 एक सम संख्या है")।

आइए कथनों को A, B, C, ... अक्षरों से निरूपित करें ... किसी कथन के निषेधन की अवधारणा का पूरा अर्थ इस शर्त द्वारा दिया गया है: यदि कथन A सत्य है, तो उसका निषेध असत्य है, और यदि A असत्य है, तो उसका निषेध सच हैं। उदाहरण के लिए, चूंकि प्रस्ताव "1 एक धनात्मक पूर्णांक है" सत्य है, इसका निषेधन "1 एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है" असत्य है, और चूंकि "1 एक अभाज्य संख्या है" असत्य है, इसका निषेधन "1 एक अभाज्य संख्या नहीं है" " सच हैं।

दो कथनों को "और" शब्द के साथ मिलाने पर एक यौगिक कथन प्राप्त होता है जिसे कहा जाता है संयोजक. इस तरह से जुड़े बयानों को "संयोजन की शर्तें" कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि कथन "आज गर्म है" और "कल यह ठंडा था" को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो संयोजन "आज गर्म है और कल ठंडा था" प्राप्त होता है।

एक संयोजन तभी सत्य होता है जब उसमें दोनों कथन सत्य हों; यदि इसका कम से कम एक पद असत्य है, तो पूरा संयोजन असत्य है।

सामान्य भाषा में, दो कथन संघ द्वारा जुड़े होते हैं "और" जब वे सामग्री या अर्थ में संबंधित होते हैं। इस संबंध की प्रकृति पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, लेकिन यह स्पष्ट है कि हम इस संयोजन पर विचार नहीं करेंगे "वह कोट के पास गया, और मैं विश्वविद्यालय गया" एक अभिव्यक्ति के रूप में जो समझ में आता है और सच या गलत हो सकता है। यद्यपि कथन "2 एक अभाज्य संख्या है" और "मास्को एक बड़ा शहर है" सत्य हैं, हम उनके संयोजन पर विचार करने के लिए इच्छुक नहीं हैं "2 एक अभाज्य संख्या है और मास्को एक बड़ा शहर है" या तो सत्य होने के लिए, क्योंकि कथन जो इसे बनाते हैं अर्थ में संबंधित नहीं हैं। संयोजन और अन्य तार्किक संयोजनों के अर्थ को सरल बनाना और इसके लिए, "अर्थ द्वारा बयानों के कनेक्शन" की अस्पष्ट अवधारणा को त्यागना, तर्क एक ही समय में इन संयोजकों के अर्थ को व्यापक और स्पष्ट दोनों बनाता है।

"या" शब्द के साथ दो वाक्यों को जोड़ने पर अलगावये कथन। बयान जो एक संयोजन बनाते हैं उन्हें "वियोजन के सदस्य" कहा जाता है .

रोज़मर्रा की भाषा में "या" शब्द के दो अलग-अलग अर्थ होते हैं। कभी-कभी इसका अर्थ होता है "एक या दूसरे, या दोनों," और कभी-कभी "एक या दूसरे, लेकिन दोनों नहीं।" उदाहरण के लिए, "इस सीजन में मैं हुकुम की रानी या ऐडा जाना चाहता हूं" कथन दो बार ओपेरा में जाने की संभावना की अनुमति देता है। बयान में "वह मास्को या यारोस्लाव विश्वविद्यालय में पढ़ता है" यह निहित है कि उल्लिखित व्यक्ति इन विश्वविद्यालयों में से केवल एक में अध्ययन करता है।

"या" के प्रथम भाव को कहते हैं गैर-अनन्य।इस अर्थ में, दो कथनों के संयोजन का अर्थ है कि इनमें से कम से कम एक कथन सत्य है, चाहे वे दोनों सत्य हों या नहीं। सेकंड में लिया विशिष्ट, या सख्त अर्थ में, दो प्रस्तावों का विच्छेदन बताता है कि एक प्रस्ताव सत्य है और दूसरा गलत है।

एक गैर-अनन्य विघटन सत्य है जब उसके कम से कम एक कथन सत्य है, और केवल तभी गलत है जब उसके दोनों शब्द झूठे हों।

एक एक्सक्लूसिव डिसजंक्शन तब सही होता है, जब इसका केवल एक ही टर्म सही होता है और जब इसके दोनों टर्म्स सही होते हैं या दोनों गलत होते हैं तो यह गलत होता है।

तर्क और गणित में, शब्द "या" लगभग हमेशा एक गैर-अनन्य अर्थ में प्रयोग किया जाता है।

सशर्त बयान -एक जटिल बयान, जिसे आमतौर पर "अगर ..., फिर ..." लिंक की मदद से तैयार किया जाता है और एक घटना, राज्य, आदि को स्थापित करना, एक अर्थ या दूसरे में, दूसरे के लिए आधार या शर्त है।

उदाहरण के लिए: "यदि आग है, तो धुआं है", "यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह 3 से विभाज्य है", आदि।

एक सशर्त कथन दो सरल कथनों से बना होता है। जिसके आगे "if" शब्द लगा हो, वह कहलाता है नींव,या पूर्वपद(पिछला), "वह" शब्द के बाद आने वाले कथन को कहते हैं परिणाम,या अहम(बाद का)।

एक सशर्त बयान पर जोर देने से हमारा सबसे पहले मतलब है कि ऐसा नहीं हो सकता है कि उसके आधार में जो कहा गया है वह होता है, लेकिन परिणाम में जो कहा जाता है वह अनुपस्थित होता है। दूसरे शब्दों में, ऐसा नहीं हो सकता कि पूर्ववृत्त सत्य है और परिणामी असत्य है।

एक सशर्त बयान के संदर्भ में, एक पर्याप्त और आवश्यक शर्त की अवधारणाओं को आमतौर पर परिभाषित किया जाता है: एक पूर्ववर्ती (आधार) एक परिणामी (परिणाम) के लिए एक पर्याप्त शर्त है, और एक परिणाम एक पूर्ववर्ती के लिए एक आवश्यक शर्त है। उदाहरण के लिए, सशर्त कथन की सच्चाई "यदि विकल्प तर्कसंगत है, तो सबसे अच्छा उपलब्ध विकल्प चुना जाता है" का अर्थ है कि सबसे अच्छा उपलब्ध विकल्प चुनने के लिए तर्कसंगतता एक पर्याप्त कारण है, और ऐसा विकल्प चुनना इसके लिए एक आवश्यक शर्त है तर्कसंगतता।

सशर्त कथन का एक विशिष्ट कार्य एक कथन को दूसरे कथन का संदर्भ देकर प्रमाणित करना है। उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि चांदी विद्युत प्रवाहकीय है, इस तथ्य का हवाला देकर उचित ठहराया जा सकता है कि यह एक धातु है: "यदि चांदी एक धातु है, तो यह विद्युत प्रवाहकीय है।"

सशर्त कथन द्वारा व्यक्त किए गए औचित्य और न्यायोचित (आधार और परिणाम) के बीच संबंध को सामान्य शब्दों में वर्णित करना मुश्किल है, और केवल कभी-कभी इसकी प्रकृति अपेक्षाकृत स्पष्ट होती है। यह संबंध, सबसे पहले, परिसर और सही निष्कर्ष के निष्कर्ष के बीच होने वाले तार्किक परिणाम का कनेक्शन हो सकता है ("यदि सभी जीवित बहुकोशिकीय जीव नश्वर हैं, और जेलिफ़िश ऐसा प्राणी है, तो यह नश्वर है"); दूसरे, प्रकृति के नियम के अनुसार ("यदि शरीर घर्षण के अधीन है, तो यह गर्म होना शुरू हो जाएगा"); तीसरा, कार्य-कारण से ("यदि चंद्रमा अमावस्या पर अपनी कक्षा के नोड पर है, तो सूर्य ग्रहण होता है"); चौथा, सामाजिक नियमितता, नियम, परंपरा ("यदि समाज बदलता है, तो व्यक्ति भी बदलता है", "यदि सलाह उचित है, तो इसे अवश्य किया जाना चाहिए"), आदि।

सशर्त कथन द्वारा व्यक्त किया गया संबंध आमतौर पर इस विश्वास से जुड़ा होता है कि परिणाम आवश्यक रूप से कारण से "अनुसरण करता है" और यह कि कुछ सामान्य कानून है, जिसे तैयार करने में सक्षम होने के कारण, हम तार्किक रूप से परिणाम को कारण से निकाल सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सशर्त बयान "यदि बिस्मथ एक धातु है, तो यह प्लास्टिक है", जैसा कि यह था, सामान्य कानून "सभी धातु प्लास्टिक हैं" का अर्थ है, जो इस कथन के परिणाम को इसके पूर्ववर्ती का तार्किक परिणाम बनाता है।

सामान्य भाषा और विज्ञान की भाषा दोनों में, एक सशर्त बयान, औचित्य के कार्य के अलावा, कई अन्य कार्य भी कर सकता है: ऐसी स्थिति तैयार करने के लिए जो किसी निहित सामान्य कानून या नियम से संबंधित नहीं है ("यदि मैं चाहता हूँ, मैं अपना लबादा काट दूँगा”); कुछ अनुक्रम ठीक करें ("यदि पिछली गर्मी शुष्क थी, तो इस वर्ष बरसात है"); एक अजीबोगरीब रूप में अविश्वास व्यक्त करने के लिए ("यदि आप इस समस्या को हल करते हैं, तो मैं फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध करूँगा"); विरोध ("यदि एक बड़बेरी बगीचे में उगता है, तो एक चाचा कीव में रहता है"), आदि। सशर्त बयान के कार्यों की बहुलता और विविधता इसके विश्लेषण को काफी जटिल बनाती है।

सशर्त कथन का उपयोग कुछ मनोवैज्ञानिक कारकों से जुड़ा है। आमतौर पर हम इस तरह के एक बयान को तभी तैयार करते हैं जब हम निश्चित रूप से नहीं जानते कि इसका पूर्ववर्ती और परिणाम सत्य है या नहीं। अन्यथा, इसका उपयोग अप्राकृतिक लगता है ("यदि रूई एक धातु है, तो यह विद्युत प्रवाहकीय है")।

सशर्त कथन तर्क के सभी क्षेत्रों में बहुत व्यापक अनुप्रयोग पाता है। तर्क में, इसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है निहित बयान, या आशय. उसी समय, तर्क "अगर ..., फिर ..." के उपयोग को स्पष्ट, व्यवस्थित और सरल करता है, इसे मनोवैज्ञानिक कारकों के प्रभाव से मुक्त करता है।

तर्क को अमूर्त किया जाता है, विशेष रूप से, इस तथ्य से कि, संदर्भ के आधार पर, जमीन और परिणाम के बीच संबंध, जो एक सशर्त बयान की विशेषता है, न केवल "अगर ..., तो" की मदद से व्यक्त किया जा सकता है ...", लेकिन अन्य भाषाई साधनों के साथ भी।

उदाहरण के लिए, "चूंकि पानी एक तरल है, यह सभी दिशाओं में समान रूप से दबाव स्थानांतरित करता है", "हालांकि प्लास्टिसिन धातु नहीं है, यह प्लास्टिक है", "यदि कोई पेड़ धातु होता, तो यह विद्युत प्रवाहकीय होता", आदि। ये और इसी तरह के बयान तर्क की भाषा में निहितार्थ के माध्यम से प्रस्तुत किए जाते हैं, हालांकि उनमें "अगर ... तो ..." का उपयोग पूरी तरह से स्वाभाविक नहीं होगा।

निहितार्थ का दावा करते हुए, हम दावा करते हैं कि ऐसा नहीं हो सकता है कि इसकी नींव होती है और इसका परिणाम मौजूद नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, एक निहितार्थ केवल तभी झूठा होता है जब उसका कारण सत्य होता है और उसका परिणाम झूठा होता है।

यह परिभाषा पिछली संयोजी परिभाषाओं की तरह मानती है कि प्रत्येक प्रस्ताव या तो सत्य या गलत है, और यह कि एक यौगिक प्रस्ताव का सत्य मूल्य केवल उसके घटक प्रस्तावों के सत्य मूल्यों और जिस तरह से जुड़ा हुआ है, उस पर निर्भर करता है।

एक निहितार्थ सत्य है जब उसके कारण और उसके परिणाम दोनों सही या गलत हैं; यह सच है अगर इसका कारण गलत है और इसका परिणाम सत्य है। केवल चौथे मामले में, जब कारण सही है और परिणाम गलत है, निहितार्थ गलत है।

निहितार्थ यह नहीं दर्शाता है कि कथन ए और बी किसी तरह सामग्री में संबंधित हैं। यदि B सत्य है, तो कथन "यदि A, तो B" सत्य है, भले ही A सत्य हो या असत्य और यह शब्दार्थ रूप से B से संबंधित है या नहीं।

उदाहरण के लिए, कथनों को सत्य माना जाता है: "यदि सूर्य पर जीवन है, तो दो बार दो बराबर चार", "यदि वोल्गा एक झील है, तो टोक्यो एक बड़ा गाँव है", आदि। सशर्त कथन भी सत्य है जब A गलत है, और साथ ही, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि बी सच है या नहीं, और यह ए के साथ सामग्री में जुड़ा हुआ है या नहीं। निम्नलिखित कथन सत्य हैं: "यदि सूर्य एक घन है, तो पृथ्वी एक त्रिभुज है", "यदि दो बार दो पांच के बराबर है, तो टोक्यो एक छोटा शहर है", आदि।

सामान्य तर्क में, इन सभी कथनों के सार्थक होने की संभावना नहीं है, और इससे भी कम सत्य के रूप में।

हालांकि निहितार्थ कई उद्देश्यों के लिए उपयोगी है, यह सशर्त संघ की सामान्य समझ के साथ बिल्कुल फिट नहीं है। निहितार्थ सशर्त बयान के तार्किक व्यवहार की कई महत्वपूर्ण विशेषताओं को शामिल करता है, लेकिन साथ ही यह इसका पर्याप्त रूप से पर्याप्त विवरण नहीं है।

पिछली आधी शताब्दी में, निहितार्थ के सिद्धांत को सुधारने के लिए जोरदार प्रयास किए गए हैं। साथ ही, यह निहितार्थ की वर्णित अवधारणा को छोड़ने का सवाल नहीं था, बल्कि इसके साथ एक और अवधारणा पेश करने का सवाल था जो न केवल बयानों के सत्य मूल्यों को ध्यान में रखता है, बल्कि सामग्री में उनके संबंध को भी ध्यान में रखता है।

निहितार्थ से निकटता से संबंधित समानक, जिसे कभी-कभी "दोहरा निहितार्थ" कहा जाता है।

समानक- एक जटिल कथन "ए, अगर और केवल अगर बी", बयान ए और बी से बना है और दो निहितार्थों में विघटित हो गया है: "अगर ए, फिर बी", और "अगर बी, तो ए"। उदाहरण के लिए: "एक त्रिभुज समबाहु होता है यदि और केवल यदि वह समकोण हो।" "समतुल्यता" शब्द "... अगर और केवल अगर ..." लिंक को भी दर्शाता है, जिसकी सहायता से यह जटिल कथन दो कथनों से बनता है। इस उद्देश्य के लिए "अगर और केवल अगर" के बजाय, "अगर और केवल अगर", "अगर और केवल अगर", आदि का उपयोग किया जा सकता है।

यदि तार्किक संयोजकों को सत्य और असत्य के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो एक तुल्यता सत्य है यदि और केवल तभी जब इसके दोनों घटक कथनों का सत्य मान समान हो, अर्थात जब वे दोनों सत्य हों और दोनों असत्य हों। तदनुसार, एक तुल्यता असत्य है जब उसका एक कथन सत्य है और दूसरा असत्य है।

सरल कथनों से जटिल कथन बनाने के तरीकों पर विचार करते समय, सरल कथनों की आंतरिक संरचना को ध्यान में नहीं रखा गया। उन्हें केवल एक ही गुण के साथ अविभाज्य कणों के रूप में लिया गया: सत्य या असत्य होना। सरल बातें

यह कोई संयोग नहीं है कि उन्हें कभी-कभी परमाणु कहा जाता है: उनसे, प्राथमिक ईंटों की तरह, तार्किक संयोजकों "और", "या", आदि की मदद से, विभिन्न जटिल ("आणविक") कथन बनाए जाते हैं।

अब हमें स्वयं सरल कथनों की आंतरिक संरचना, या आंतरिक संरचना के प्रश्न पर ध्यान देना चाहिए: वे किन विशिष्ट भागों से बने हैं और ये भाग कैसे परस्पर जुड़े हुए हैं।

इस बात पर तुरंत जोर दिया जाना चाहिए कि सरल कथनों को उनके घटक भागों में अलग-अलग तरीकों से विघटित किया जा सकता है। अपघटन का परिणाम उस उद्देश्य पर निर्भर करता है जिसके लिए इसे किया जाता है, अर्थात तार्किक निष्कर्ष (तार्किक परिणाम) की अवधारणा पर जिसके भीतर ऐसे बयानों का विश्लेषण किया जाता है।

श्रेणीबद्ध प्रस्तावों में विशेष रुचि को मुख्य रूप से इस तथ्य से समझाया गया है कि एक विज्ञान के रूप में तर्क का विकास उनके तार्किक संबंधों के अध्ययन के साथ शुरू हुआ। इसके अलावा, हमारे तर्क में इस प्रकार के कथनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। श्रेणीबद्ध बयानों के तार्किक कनेक्शन के सिद्धांत को आमतौर पर कहा जाता है योक्तिक तर्क व्दारा.

उदाहरण के लिए, "सभी डायनासोर विलुप्त हैं" कथन में, डायनासोर को "विलुप्त होने" की विशेषता का श्रेय दिया जाता है। प्रस्ताव में "कुछ डायनासोर उड़ गए," उड़ने की क्षमता को कुछ प्रकार के डायनासोर के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है। प्रस्ताव "सभी धूमकेतु क्षुद्रग्रह नहीं हैं" प्रत्येक धूमकेतु के लिए "क्षुद्रग्रह होने के लिए" विशेषता की उपस्थिति से इनकार करते हैं। प्रस्ताव "कुछ जानवर शाकाहारी नहीं हैं" कुछ जानवरों के शाकाहारी होने से इनकार करते हैं।

यदि हम स्पष्ट कथन में निहित मात्रात्मक विशेषताओं की उपेक्षा करते हैं और "सभी" और "कुछ" शब्दों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, तो हमें ऐसे बयानों के दो संस्करण मिलते हैं: सकारात्मक और नकारात्मक। उनकी संरचना:

"S, P है" और "S, P नहीं है"

जहाँ अक्षर S कथन में निर्दिष्ट वस्तु के नाम का प्रतिनिधित्व करता है, और अक्षर P उस विशेषता का नाम है जो इस वस्तु में निहित है या निहित नहीं है।

श्रेणीबद्ध कथन में निर्दिष्ट वस्तु के नाम को कहा जाता है विषय, और इसकी विशेषता का नाम है विधेय. विषय और विधेय के नाम हैं शर्तेंस्पष्ट कथन और स्नायुबंधन "है" या "नहीं है" ("है" या "नहीं है", आदि) द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं। उदाहरण के लिए, "सूर्य एक तारा है" कथन में, शब्द "सूर्य" और "तारा" नाम हैं (उनमें से पहला कथन का विषय है, दूसरा इसका विधेय है), और शब्द "है "एक कड़ी है।

"S is (is not) P" जैसे सरल कथनों को एट्रिब्यूटिव कहा जाता है: वे किसी वस्तु के लिए किसी संपत्ति का एट्रिब्यूशन (असाइनमेंट) करते हैं।

दो या दो से अधिक वस्तुओं के बीच संबंध स्थापित करने वाले संबंधों के बारे में बयानों का विरोध किया जाता है: "तीन पांच से कम हैं", "कीव ओडेसा से बड़ा है", "वसंत शरद ऋतु से बेहतर है", "पेरिस मास्को और न्यू के बीच है यॉर्क", आदि। रिश्तों के बारे में बयान विज्ञान में विशेष रूप से गणित में एक आवश्यक भूमिका निभाते हैं। वे श्रेणीबद्ध बयानों के लिए कम नहीं हैं, क्योंकि कई वस्तुओं (जैसे "बराबर", "प्यार करता है", "गर्म", "बीच में है", आदि) के बीच संबंध अलग-अलग वस्तुओं के गुणों के लिए कमजोर नहीं हैं। पारंपरिक तर्क की आवश्यक कमियों में से एक यह था कि यह संबंधों के बारे में निर्णयों को गुणों के बारे में निर्णय के लिए कम करने योग्य मानता था।

एक स्पष्ट कथन में, वस्तु और विशेषता के बीच संबंध न केवल स्थापित होता है, बल्कि कथन के विषय की एक निश्चित मात्रात्मक विशेषता भी दी जाती है। "ऑल एस इज (नहीं है) पी" जैसे कथनों में "ऑल" शब्द का अर्थ है "संबंधित वर्ग की प्रत्येक वस्तु।" "कुछ एस हैं (नहीं हैं) पी" जैसे बयानों में "कुछ" शब्द का प्रयोग गैर-अनन्य अर्थ में किया जाता है और इसका अर्थ है "कुछ, लेकिन शायद सभी।" एक विशेष अर्थ में, "कुछ" शब्द का अर्थ है "केवल कुछ", या "कुछ लेकिन सभी नहीं"। इस शब्द के दो अर्थों के बीच के अंतर को "कुछ तारे तारे हैं" कथन के उदाहरण से स्पष्ट किया जा सकता है। एक गैर-अनन्य अर्थ में, इसका अर्थ है "कुछ, शायद सभी सितारे सितारे हैं" और स्पष्ट रूप से सत्य है। अनन्य अर्थ में, इस कथन का अर्थ है "केवल कुछ सितारे सितारे हैं" और स्पष्ट रूप से गलत है।

स्पष्ट बयानों में, विचाराधीन वस्तुओं के लिए कुछ संकेतों की पुष्टि या खंडन किया जाता है और यह संकेत दिया जाता है कि यह इन सभी वस्तुओं के बारे में है या उनमें से कुछ के बारे में है।

इस प्रकार, चार प्रकार के स्पष्ट कथन संभव हैं:

सभी S, P है - एक सामान्य सकारात्मक कथन,

कुछ S, P हैं - निजी सकारात्मक कथन,

सभी S, P नहीं है - एक सामान्य नकारात्मक कथन,

कुछ S, P नहीं हैं - एक विशेष नकारात्मक कथन।

श्रेणीबद्ध बयानों को रिक्त स्थान (दीर्घवृत्त) के साथ निम्नलिखित अभिव्यक्तियों में कुछ नामों को प्रतिस्थापित करने के परिणाम के रूप में माना जा सकता है: "सब कुछ ... है ...", "कुछ ... है ...", "सब कुछ ... है नहीं ..." और "कुछ ... नहीं हैं ..."। इनमें से प्रत्येक भाव एक तार्किक स्थिरांक (तार्किक संचालन) है जो आपको दो नामों से एक बयान प्राप्त करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, बिंदुओं के स्थान पर "उड़ान" और "पक्षी" नामों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्रमशः निम्नलिखित कथन प्राप्त होते हैं: "सभी उड़ने वाले पक्षी हैं", "कुछ उड़ने वाले पक्षी हैं",

अनुमान

"सभी उड़ने वाले पक्षी नहीं हैं" और "कुछ उड़ने वाले पक्षी नहीं हैं।" पहला और तीसरा कथन गलत है, और दूसरा और चौथा कथन सत्य है।

अनुमान

"पानी की एक बूंद के साथ, एक व्यक्ति जो तार्किक रूप से सोचना जानता है, वह यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि अटलांटिक महासागर या नियाग्रा जलप्रपात मौजूद हैं, भले ही उसने उनमें से किसी को भी नहीं देखा हो और उनके बारे में कभी नहीं सुना हो ... उसके हाथ, जूते, उसके घुटनों पर पतलून की तह, उसके अंगूठे और तर्जनी पर त्वचा का मोटा होना, उसके चेहरे पर भाव और उसकी कमीज के कफ से - इस तरह की छोटी-छोटी बातों से उसके पेशे का अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है। और इसमें कोई संदेह नहीं है कि यह सब, एक साथ लिया गया, एक जानकार पर्यवेक्षक को सही निष्कर्ष देगा।

यह दुनिया के सबसे प्रसिद्ध सलाहकार जासूस, शर्लक होम्स के एक मुख्य लेख का एक उद्धरण है। सबसे छोटे विवरणों के आधार पर, उन्होंने तर्क की तार्किक रूप से निर्दोष श्रृंखलाएं बनाईं और जटिल अपराधों को हल किया, अक्सर बेकर स्ट्रीट पर अपने अपार्टमेंट के आराम से। होम्स ने एक निगमनात्मक पद्धति का उपयोग किया, जिसे उन्होंने स्वयं बनाया, जैसा कि उनके मित्र डॉ. वाटसन का मानना ​​था, एक सटीक विज्ञान के कगार पर अपराधों को हल करना।

बेशक, होम्स ने फोरेंसिक विज्ञान में कटौती के महत्व को कुछ हद तक बढ़ा-चढ़ा कर पेश किया, लेकिन निगमन पद्धति के बारे में उनके तर्क ने चाल चली। केवल कुछ लोगों के लिए ज्ञात एक विशेष शब्द से "कटौती" आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली और यहां तक ​​​​कि फैशनेबल अवधारणा में बदल गई है। सही तर्क की कला का लोकप्रिय होना, और सबसे बढ़कर निगमनात्मक तर्क, होम्स के द्वारा किए गए सभी अपराधों से कम नहीं है। वह "तर्क को एक सपने का आकर्षण देने में कामयाब रहे, एक एकल उज्ज्वल निष्कर्ष के लिए संभावित कटौती के क्रिस्टल भूलभुलैया के माध्यम से अपना रास्ता बनाते हुए" (वी। नाबोकोव)।

कटौती अनुमान का एक विशेष मामला है।

व्यापक अर्थों में निष्कर्ष -एक तार्किक ऑपरेशन, जिसके परिणामस्वरूप एक या एक से अधिक स्वीकृत कथनों (परिसर) से एक नया कथन प्राप्त होता है - एक निष्कर्ष (निष्कर्ष, परिणाम)।

इस पर निर्भर करता है कि परिसर और निष्कर्ष के बीच कोई संबंध है या नहीं तार्किक परिणाम, दो प्रकार के अनुमान हैं।

महत्वपूर्ण या मुख्य स्थान पर निगमनात्मक तर्कएक तार्किक कानून है, जिसके आधार पर स्वीकृत परिसर से तार्किक आवश्यकता के साथ निष्कर्ष निकलता है।

इस तरह के अनुमान की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि यह हमेशा सच्चे आधार से एक सच्चे निष्कर्ष की ओर ले जाता है।

पर विवेचनात्मक तार्किकतापरिसर और निष्कर्ष का संबंध तर्क के नियम पर आधारित नहीं है, बल्कि कुछ ऐसे तथ्यात्मक या मनोवैज्ञानिक आधारों पर है जिनका विशुद्ध रूप से औपचारिक चरित्र नहीं है।

इस तरह के निष्कर्ष में, निष्कर्ष परिसर से तार्किक रूप से अनुसरण नहीं करता है और इसमें ऐसी जानकारी हो सकती है जो उनमें मौजूद नहीं है। इसलिए परिसर की सत्यता का अर्थ यह नहीं है कि उनसे प्रेरक रूप से प्राप्त किए गए दावे की सत्यता। प्रेरण केवल संभावित देता है, या मुमकिननिष्कर्ष आगे सत्यापन की आवश्यकता है।

निगमनात्मक तर्क के उदाहरणों में शामिल हैं:

अगर बारिश होती है, तो जमीन गीली होती है। बारिश हो रही है।

जमीन गीली है।

यदि हीलियम एक धातु है, तो यह विद्युत प्रवाहकीय है। हीलियम विद्युत प्रवाहकीय नहीं है।

हीलियम धातु नहीं है।

परिसर को निष्कर्ष से अलग करने वाली रेखा हमेशा की तरह "इसलिए" शब्द को बदल देती है।

रीजनिंग इंडक्शन के उदाहरण के रूप में काम कर सकती है:

अर्जेंटीना एक गणतंत्र है; ब्राजील एक गणतंत्र है; वेनेजुएला एक गणतंत्र है; इक्वाडोर एक गणतंत्र है।

अर्जेंटीना, ब्राजील, वेनेजुएला, इक्वाडोर लैटिन अमेरिकी राज्य हैं।

सभी लैटिन अमेरिकी राज्य गणतंत्र हैं .

इटली एक गणतंत्र है, पुर्तगाल एक गणराज्य है, फिनलैंड एक गणराज्य है, फ्रांस एक गणराज्य है।

इटली, पुर्तगाल, फिनलैंड, फ्रांस - पश्चिमी यूरोपीय देश।

सभी पश्चिमी यूरोपीय देश गणतंत्र हैं।

प्रेरण पहले से मौजूद लोगों से एक नया सत्य प्राप्त करने की पूरी गारंटी नहीं देता है। जिस अधिकतम पर चर्चा की जा सकती है, वह कथन के कटने की संभावना की एक निश्चित डिग्री है। तो पहले और दूसरे आगमनात्मक तर्क दोनों के परिसर सत्य हैं, लेकिन उनमें से पहले का निष्कर्ष सत्य है, और दूसरा गलत है। वास्तव में, सभी लैटिन अमेरिकी राज्य गणतंत्र हैं; लेकिन पश्चिमी यूरोप के देशों में न केवल गणराज्य हैं, बल्कि इंग्लैंड, बेल्जियम और स्पेन जैसे राजतंत्र भी हैं।

अनुमान

विशेष रूप से विशिष्ट कटौतियां सामान्य से विशेष ज्ञान में तार्किक संक्रमण हैं, जैसे:

सभी धातु प्लास्टिक हैं। तांबा एक धातु है।

तांबा प्लास्टिक है।

सभी मामलों में जब पहले से ज्ञात सामान्य नियम के आधार पर कुछ घटनाओं पर विचार करना और इन घटनाओं के बारे में आवश्यक निष्कर्ष निकालना आवश्यक होता है, तो हम कटौती के रूप में निष्कर्ष निकालते हैं। वस्तुओं के एक हिस्से (निजी ज्ञान) के बारे में ज्ञान से लेकर एक निश्चित वर्ग (सामान्य ज्ञान) की सभी वस्तुओं के बारे में ज्ञान की ओर अग्रसर तर्क विशिष्ट प्रेरण हैं। हमेशा संभावना है कि सामान्यीकरण जल्दबाजी और निराधार हो जाएगा ("नेपोलियन एक कमांडर है; सुवोरोव एक कमांडर है, इसलिए, प्रत्येक व्यक्ति एक कमांडर है")।

साथ ही, कोई सामान्य से विशेष में संक्रमण के साथ कटौती की पहचान नहीं कर सकता है, और विशेष से सामान्य में संक्रमण के साथ प्रेरण की पहचान नहीं कर सकता है।

तर्क में "शेक्सपियर ने सॉनेट्स लिखे; इसलिए, यह सच नहीं है कि शेक्सपियर ने सॉनेट्स नहीं लिखा था" एक कटौती है, लेकिन सामान्य से विशेष में कोई संक्रमण नहीं है। तर्क "यदि एल्यूमीनियम तन्य है या मिट्टी नमनीय है, तो एल्यूमीनियम नमनीय है" को आमतौर पर आगमनात्मक माना जाता है, लेकिन विशेष से सामान्य में कोई संक्रमण नहीं होता है।

कटौती उन निष्कर्षों की व्युत्पत्ति है जो स्वीकृत परिसर के रूप में विश्वसनीय हैं, प्रेरण संभावित (प्रशंसनीय) निष्कर्षों की व्युत्पत्ति है। आगमनात्मक अनुमानों में विशेष से सामान्य में संक्रमण, साथ ही सादृश्य, कारण संबंध स्थापित करने के तरीके, परिणामों की पुष्टि, लक्ष्य औचित्य, आदि दोनों शामिल हैं।

निगमनात्मक तर्क में दिखाई गई विशेष रुचि को समझा जा सकता है। वे मौजूदा ज्ञान से नए सत्य प्राप्त करने की अनुमति देते हैं, और, इसके अलावा, शुद्ध तर्क की मदद से, अनुभव, अंतर्ज्ञान, सामान्य ज्ञान आदि का सहारा लिए बिना, एक सच्चे निष्कर्ष की संभावना है। सच्चे आधार से शुरू करते हुए और कटौतीत्मक रूप से तर्क करते हुए, हम निश्चित रूप से सभी मामलों में विश्वसनीय ज्ञान प्राप्त करेंगे।

ज्ञान के विस्तार और पुष्टि की प्रक्रिया में कटौती के महत्व पर बल देते हुए, हालांकि, इसे प्रेरण से अलग नहीं करना चाहिए और बाद वाले को कम आंकना चाहिए। वैज्ञानिक कानूनों सहित लगभग सभी सामान्य प्रस्ताव आगमनात्मक सामान्यीकरण के परिणाम हैं। इस अर्थ में प्रेरण हमारे ज्ञान का आधार है। अपने आप में, यह इसकी सच्चाई और वैधता की गारंटी नहीं देता है, लेकिन यह धारणाएं उत्पन्न करता है, उन्हें अनुभव से जोड़ता है और इस तरह उन्हें एक निश्चित व्यवहार्यता, अधिक या कम उच्च स्तर की संभावना देता है। अनुभव मानव ज्ञान का स्रोत और आधार है। प्रेरण, जो अनुभव में समझा जाता है, उसके सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का एक आवश्यक साधन है।

तार्किक कानून

अध्याय

एक तार्किक कानून की अवधारणा

तार्किक नियम मानव सोच का आधार बनते हैं। वे यह निर्धारित करते हैं कि जब अन्य कथन कुछ कथनों से तार्किक रूप से अनुसरण करते हैं, और वे उस अदृश्य लोहे के फ्रेम का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिस पर सुसंगत तर्क टिका होता है और जिसके बिना यह अराजक, असंगत भाषण में बदल जाता है। एक तार्किक कानून के बिना, यह समझना असंभव है कि तार्किक परिणाम क्या है, और इस प्रकार एक प्रमाण क्या है।

सही, या, जैसा कि वे आमतौर पर कहते हैं, तार्किक सोच, तर्क के नियमों के अनुसार सोच रहा है, उन अमूर्त पैटर्न के अनुसार जो उनके द्वारा तय किए गए हैं। यह इन कानूनों के महत्व की व्याख्या करता है।

सजातीय तार्किक कानूनों को तार्किक प्रणालियों में जोड़ा जाता है, जिन्हें आमतौर पर "लॉजिक्स" भी कहा जाता है। उनमें से प्रत्येक हमारे तर्क के एक निश्चित खंड, या प्रकार की तार्किक संरचना का विवरण देता है।

उदाहरण के लिए, जो कानून प्रस्तावों के तार्किक कनेक्शन का वर्णन करते हैं, जो बाद की आंतरिक संरचना पर निर्भर नहीं करते हैं, उन्हें "प्रस्तावित तर्क" नामक प्रणाली में जोड़ा जाता है। तार्किक नियम जो श्रेणीबद्ध प्रस्तावों के कनेक्शन को निर्धारित करते हैं, एक तार्किक प्रणाली बनाते हैं जिसे "श्रेणीबद्ध प्रस्तावों का तर्क", या "नायकवाद", आदि कहा जाता है।

तार्किक नियम वस्तुनिष्ठ होते हैं और किसी व्यक्ति की इच्छा और चेतना पर निर्भर नहीं होते हैं। वे लोगों के बीच एक समझौते का परिणाम नहीं हैं, कुछ विशेष रूप से डिजाइन या स्वचालित रूप से गठित सम्मेलन। न ही वे किसी प्रकार की "विश्व आत्मा" की संतान हैं, जैसा कि प्लेटो ने एक बार माना था। किसी व्यक्ति पर तर्क के नियमों की शक्ति, उनका बल, जो सही सोच के लिए अनिवार्य है, इस तथ्य के कारण है कि वे वास्तविक दुनिया की मानवीय सोच में प्रतिबिंब और इसके अनुभूति और परिवर्तन के सदियों पुराने अनुभव का प्रतिनिधित्व करते हैं। आदमी।

अन्य सभी वैज्ञानिक कानूनों की तरह, तार्किक कानून सार्वभौमिक और आवश्यक हैं। वे हमेशा और हर जगह कार्य करते हैं, सभी लोगों और किसी भी युग में समान रूप से फैलते हैं। प्रतिनिधियों

एक तार्किक कानून की अवधारणा

विभिन्न राष्ट्रों और विभिन्न संस्कृतियों, पुरुषों और महिलाओं, प्राचीन मिस्र और आधुनिक पॉलिनेशियन, उनके तर्क के दृष्टिकोण से, एक दूसरे से भिन्न नहीं हैं।

तार्किक नियमों में निहित आवश्यकता, एक अर्थ में, प्राकृतिक या भौतिक आवश्यकता से भी अधिक आवश्यक और अपरिवर्तनीय है। यह कल्पना करना भी असंभव है कि तार्किक रूप से आवश्यक अन्यथा होगा। अगर कुछ प्रकृति के नियमों के विपरीत है और शारीरिक रूप से असंभव है, तो कोई भी इंजीनियर अपनी सारी प्रतिभा के साथ इसे महसूस नहीं कर पाएगा। लेकिन अगर कुछ तर्क के नियमों का खंडन करता है और तार्किक रूप से असंभव है, तो न केवल एक इंजीनियर - यहां तक ​​​​कि एक सर्वशक्तिमान प्राणी, अगर वह अचानक प्रकट हुआ, तो उसे जीवन में नहीं लाया जा सका।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, सही तर्क में, निष्कर्ष तार्किक आवश्यकता के साथ परिसर से निकलता है, और इस तरह के तर्क की सामान्य योजना एक तार्किक कानून है।

सही तर्क (तार्किक कानून) की योजनाओं की संख्या अनंत है। इनमें से कई योजनाएँ तर्क के अभ्यास से हमें ज्ञात हैं। हम उन्हें सहज रूप से लागू करते हैं, यह महसूस किए बिना कि हम प्रत्येक सही निष्कर्ष निकालते हैं, इस या उस तार्किक कानून का उपयोग किया जाता है।

तार्किक कानून की सामान्य अवधारणा को पेश करने से पहले, हम तर्क योजनाओं के कई उदाहरण देते हैं जो तार्किक कानून हैं। चर ए, बी, सी, ... के बजाय, जो आमतौर पर बयानों को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, हम उपयोग करेंगे, जैसा कि पुरातनता में किया गया था, शब्द "पहले" और "दूसरा", चर की जगह।

"अगर कोई पहला है, तो दूसरा है; पहला है; इसलिए, एक सेकंड है।तर्क की यह योजना हमें सशर्त बयान के बयान ("यदि कोई पहला है, तो दूसरा है") और इसकी नींव के बयान ("पहले है") से परिणाम के बयान तक जाने की अनुमति देता है ("एक सेकंड है")। इस योजना के अनुसार, विशेष रूप से, तर्क आगे बढ़ता है: “यदि बर्फ को गर्म किया जाता है, तो वह पिघल जाती है; बर्फ गरम किया जाता है; इसलिए, यह पिघल जाता है।"

सही तर्क का एक और आरेख: “या तो पहला या दूसरा होता है; पहला है; तो कोई दूसरा नहीं है।इस योजना के माध्यम से, दो परस्पर अनन्य विकल्पों में से और उनमें से कौन सा होता है, दूसरे विकल्प के निषेध के लिए एक संक्रमण किया जाता है। उदाहरण के लिए: “या तो दोस्तोवस्की का जन्म मास्को में हुआ था, या उनका जन्म सेंट पीटर्सबर्ग में हुआ था। दोस्तोवस्की का जन्म मास्को में हुआ था। इसलिए यह सच नहीं है कि उनका जन्म सेंट पीटर्सबर्ग में हुआ था।" अमेरिकी पश्चिमी द गुड, द बैड एंड द अग्ली में, एक खलनायक दूसरे से कहता है: "याद रखें, दुनिया दो हिस्सों में बंटी हुई है: वे जो रिवॉल्वर रखते हैं और जो खुदाई करते हैं। मेरे पास अब एक रिवॉल्वर है, इसलिए एक फावड़ा ले लो। यह तर्क भी संकेतित योजना पर आधारित है।

और तार्किक कानून का एक अंतिम प्रारंभिक उदाहरण, या सही तर्क की सामान्य योजना: "पहला या दूसरा है। लेकिन पहले नहीं है। तो दूसरा होता है।आइए हम "पहले" अभिव्यक्ति के बजाय "यह दिन का समय है" और "दूसरा" के बजाय "यह रात है" कथन को प्रतिस्थापित करें। अमूर्त योजना से हमें तर्क मिलता है: “अब दिन है या अब रात है। लेकिन यह सच नहीं है कि यह दिन का समय है।

तो अब रात हो गई है।"

ये सही तर्क की कुछ सरल योजनाएँ हैं, जो एक तार्किक कानून की अवधारणा को दर्शाती हैं। ऐसी सैकड़ों और सैकड़ों योजनाएं हमारे दिमाग में बैठती हैं, हालांकि हमें इसका एहसास नहीं होता है। उनके आधार पर, हम तार्किक रूप से या सही ढंग से तर्क करते हैं।

तर्क का नियम (तार्किक कानून)- एक अभिव्यक्ति जिसमें सार्थक भागों के बजाय केवल तार्किक स्थिरांक और चर शामिल हैं और तर्क के किसी भी क्षेत्र में सत्य है।

केवल चर और तार्किक स्थिरांक वाले व्यंजक के उदाहरण के रूप में लें, व्यंजक: “यदि A, तो B; तो अगर ए नहीं, तो बी नहीं। यहां तार्किक स्थिरांक "अगर, फिर" और "नहीं" प्रस्तावक संयोजक हैं। चर ए और बी कुछ बयानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। मान लीजिए A कथन "एक कारण है" और B कथन "एक प्रभाव है" है। इस विशिष्ट सामग्री के साथ, हमें तर्क मिलता है: “यदि कोई कारण है, तो एक परिणाम है; इसलिए यदि कोई प्रभाव नहीं है, तो कोई कारण नहीं है। मान लीजिए, आगे, कि ए के बजाय, "संख्या छह से विभाज्य है" कथन को प्रतिस्थापित किया जाता है, और बी के बजाय, कथन "संख्या तीन से विभाज्य है।" इस विशिष्ट सामग्री के साथ, विचाराधीन योजना के आधार पर, हमें तर्क मिलता है: “यदि कोई संख्या छह से विभाज्य है, तो वह तीन से विभाज्य है। इसलिए, यदि कोई संख्या तीन से विभाज्य नहीं है, तो वह छह से विभाज्य नहीं है।" वेरिएबल ए और बी के लिए जो भी अन्य कथन प्रतिस्थापित किए जाते हैं, यदि ये कथन सत्य हैं, तो उनसे प्राप्त निष्कर्ष सत्य होगा।

तर्क में, आमतौर पर एक आरक्षण किया जाता है कि वस्तुओं का क्षेत्र, जिसके बारे में तर्क दिया जा रहा है और जिसके बारे में तार्किक कानून में प्रतिस्थापित बयान बोलते हैं, खाली नहीं हो सकता: इसमें कम से कम एक वस्तु होनी चाहिए। अन्यथा, योजना के अनुसार तर्क करना, जो कि तर्क का नियम है, सच्चे आधार से झूठे निष्कर्ष तक ले जा सकता है।

उदाहरण के लिए, वास्तविक परिसर से "सभी हाथी जानवर हैं" और "सभी हाथियों के पास एक सूंड है", तर्क के नियम के अनुसार, सही निष्कर्ष "कुछ जानवरों के पास एक सूंड है" निम्नानुसार है। लेकिन अगर विचाराधीन वस्तुओं का क्षेत्र खाली है, तो तर्क के नियम का पालन करना सही परिसर के साथ सही निष्कर्ष की गारंटी नहीं देता है। हम वैसे ही बहस करेंगे, लेकिन सुनहरे पहाड़ों के बारे में। आइए एक निष्कर्ष निकालें: “सभी सुनहरे पहाड़ पहाड़ हैं; सभी सुनहरे पहाड़ सुनहरे हैं; इसलिए, कुछ पहाड़ सुनहरे हैं।” इस तर्क के दोनों आधार सत्य हैं। लेकिन उनका निष्कर्ष "कुछ पहाड़ सुनहरे होते हैं" स्पष्ट रूप से गलत है: कोई सुनहरा पहाड़ मौजूद नहीं है।

एक तार्किक कानून की अवधारणा

इस प्रकार, तर्क के नियम पर आधारित तर्क के लिए, दो विशेषताएं विशेषता हैं:

ऐसा तर्क हमेशा सही आधार से सही निष्कर्ष की ओर ले जाता है;

परिणाम तार्किक आवश्यकता के साथ परिसर से आता है।

तार्किक नियम को भी कहा जाता है तार्किक तनातनी.

तार्किक तनातनी- एक अभिव्यक्ति जो सत्य बनी रहती है, चाहे कोई भी वस्तु शामिल हो, या "हमेशा सत्य" अभिव्यक्ति।

उदाहरण के लिए, दोहरे निषेध के तार्किक नियम में प्रतिस्थापन के सभी परिणाम "यदि ए, तो यह गलत है कि यह ए नहीं है" सत्य कथन हैं: "यदि कालिख काली है, तो यह गलत है कि यह काला नहीं है", "यदि कोई व्यक्ति भय से कांपता है, तो यह असत्य है कि वह भय से नहीं कांपता," आदि।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक तार्किक कानून की अवधारणा सीधे तार्किक परिणाम की अवधारणा से संबंधित है: निष्कर्ष तार्किक रूप से स्वीकृत परिसर से अनुसरण करता है, अगर यह एक तार्किक कानून द्वारा उनके साथ जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, परिसर से "यदि ए, फिर बी" और "यदि बी, तो सी", निष्कर्ष "यदि ए, तो सी" तार्किक रूप से अनुसरण करता है, क्योंकि अभिव्यक्ति "यदि ए, फिर बी, और यदि बी, तो सी , तो यदि A , तो C" एक तार्किक नियम है, अर्थात् पारगमन का नियम(परिवर्तनशीलता)। मान लीजिए, परिसर से "यदि कोई व्यक्ति पिता है, तो वह माता-पिता है" और "यदि कोई व्यक्ति माता-पिता है, तो वह पिता या माता है," इस कानून के अनुसार, परिणाम इस प्रकार है: "यदि कोई व्यक्ति पिता है, तो वह पिता या माता है।"

तार्किक निम्नलिखित- परिसर और निष्कर्ष के निष्कर्ष के बीच संबंध, जिसकी सामान्य योजना एक तार्किक कानून है।

चूंकि तार्किक परिणाम का संबंध एक तार्किक कानून पर आधारित है, इसलिए इसकी दो विशेषताएं हैं:

तार्किक परिणाम सच्चे परिसर से केवल एक सच्चे निष्कर्ष की ओर ले जाता है;

परिसर से आने वाला निष्कर्ष तार्किक आवश्यकता के साथ उनका अनुसरण करता है।

सभी तार्किक कानून सीधे तार्किक परिणाम की अवधारणा को परिभाषित नहीं करते हैं। अन्य तार्किक कनेक्शनों का वर्णन करने वाले कानून हैं: "और", "या", "यह सच नहीं है", आदि, और केवल अप्रत्यक्ष रूप से तार्किक परिणाम के संबंध से संबंधित हैं। इस तरह, विशेष रूप से, विरोधाभास का कानून नीचे माना जाता है: "यह सच नहीं है कि एक मनमाने ढंग से लिया गया बयान और

सरल और जटिल वाक्य। एक बयान का खंडन

गणितीय तर्क, जिसकी नींव 17वीं शताब्दी में जी. लिबनिज़ द्वारा रखी गई थी, केवल 19वीं शताब्दी के मध्य में एक वैज्ञानिक अनुशासन के रूप में बनाई गई थी, गणितज्ञों जे. बूले और ओ. मॉर्गन के काम के लिए धन्यवाद, जिन्होंने इसे बनाया। तर्क का बीजगणित।

1. एक उच्चारण कोई भी घोषणात्मक वाक्य है जिसे या तो सत्य या गलत के रूप में जाना जाता है। शब्दों, साथ ही गणितीय, रासायनिक और अन्य संकेतों का उपयोग करके कथन व्यक्त किए जा सकते हैं। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

बी) 2+6>8 (गलत बयान),

ग) संख्या 2 और 6 का योग संख्या 8 (गलत कथन) से अधिक है;

घ) II + VI > VII (सत्य कथन);

ई) हमारी आकाशगंगा के भीतर अलौकिक सभ्यताएं हैं (यह कथन निस्संदेह सत्य है या गलत, लेकिन यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि इनमें से कौन सी संभावना सत्य है)।

यह स्पष्ट है कि कथन b) और c) का अर्थ एक ही है, लेकिन वे अलग तरह से व्यक्त किए जाते हैं। सामान्य तौर पर, हम इस तरह के बयान लिखेंगे: a: (चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह है); बी:(एक वास्तविक संख्या x है जैसे कि 2x+5=15); c: (सभी त्रिभुज समद्विबाहु हैं)।

हर वाक्य एक कथन नहीं है। उदाहरण के लिए, विस्मयादिबोधक और प्रश्नवाचक वाक्य कथन नहीं हैं ("यह घर किस रंग का है?", "टमाटर का रस पिएं!", "रुको!", आदि)। न ही कथन और परिभाषाएं हैं, उदाहरण के लिए, "आइए माध्यिका को त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला खंड कहते हैं।" यहाँ केवल किसी वस्तु का नाम निर्धारित है। इस प्रकार परिभाषाएँ सही या गलत हो सकती हैं, वे केवल शर्तों के स्वीकृत उपयोग को रिकॉर्ड करती हैं। वाक्य "वह ग्रे-आइड है" या "x 2 - 4x + 3 \u003d 0" कथन नहीं हैं - वे यह नहीं दर्शाते हैं कि वे किस तरह के व्यक्ति के बारे में बात कर रहे हैं या किस x पर वे समानता मानते हैं। अज्ञात सदस्य (चर) वाले ऐसे वाक्य कहलाते हैं अनिश्चित बयान. ध्यान दें कि वाक्य "कुछ लोग ग्रे-आइड हैं" या "सभी x के लिए समानता x 2 - 4x + 3 = 0" पहले से ही एक कथन है (उनमें से पहला सत्य है, और दूसरा गलत है)।

2. एक बयान जिसे भागों में विघटित किया जा सकता है उसे जटिल कहा जाएगा, और एक बयान जिसे आगे विघटित नहीं किया जा सकता है - सरल। उदाहरण के लिए, कथन "आज शाम 4 बजे मैं स्कूल में था, और शाम 6 बजे तक मैं स्केटिंग रिंक पर गया" में दो भाग होते हैं "आज शाम 4 बजे मैं स्कूल में था" और "आज शाम 6 बजे तक मैं स्कूल गया था। स्केटिंग रिंक "। या यह कथन: "फ़ंक्शन y \u003d ax 2 + bx + c सभी मूल्यों के लिए निरंतर और भिन्न है एक्स"दो सरल कथनों से मिलकर बनता है: "फ़ंक्शन y = ax 2 + bx + c x के सभी मानों के लिए निरंतर है" और "फ़ंक्शन y = ax 2 + bx + c x के सभी मानों के लिए अवकलनीय है"।

जिस प्रकार जोड़, घटाव, गुणा और भाग की क्रियाओं का उपयोग करके दी गई संख्याओं से अन्य संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं, उसी प्रकार विशेष नाम वाले संक्रियाओं का उपयोग करके दिए गए कथनों से नए कथन प्राप्त किए जाते हैं: संयोजन, वियोजन, निहितार्थ, तुल्यता, निषेध। हालांकि ये नाम असामान्य लगते हैं, उनका मतलब केवल "और", "या", "अगर ... कथन में "नहीं" कणों के योग के रूप में,

3. एक प्रस्ताव का निषेध एक ऐसा प्रस्ताव है कि a गलत है यदि a सत्य है और a सत्य है तो a गलत है। पदनाम ए को इस तरह पढ़ा जाता है: "नहीं ए", या "यह सच नहीं है कि ए"। आइए इस परिभाषा को उदाहरणों के साथ समझने की कोशिश करते हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:

ए: (आज दोपहर 12 बजे मैं स्केटिंग रिंक पर था);

बी: (आज मैं दोपहर 12 बजे नहीं बल्कि स्केटिंग रिंक पर था);

c: (मैं दोपहर 12 बजे स्केटिंग रिंक पर था, आज नहीं);

d:(आज दोपहर 12 बजे मैं स्कूल में था);

ई: (आज मैं 3 बजे स्केटिंग रिंक पर था);

f:(आज दोपहर 12 बजे मैं स्केटिंग रिंक पर नहीं था);

पहली नज़र में, सभी प्रस्ताव बी - एफ प्रस्ताव को अस्वीकार करते हैं ए। लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं है। यदि आप कथन b के अर्थ को ध्यान से पढ़ें, तो आप देखेंगे कि दोनों कथन a और b एक ही समय में झूठे हो सकते हैं - ऐसा होगा यदि आज मैं स्केटिंग रिंक पर बिल्कुल नहीं था। वही कथन a और c, a और a पर लागू होता है। और कथन ए और ई दोनों सत्य हो सकते हैं (यदि, उदाहरण के लिए, मैं दोपहर में 11 से 4 बजे तक स्केटिंग कर रहा था), और साथ ही गलत (यदि आज मैं रिंक पर बिल्कुल नहीं था) ) और केवल प्रस्ताव f में निम्नलिखित गुण हैं: यह सत्य है यदि प्रस्ताव a असत्य है, और असत्य है यदि प्रस्ताव a सत्य है। अत: कथन f, कथन a का निषेधन है, अर्थात् f = a। निम्न तालिका कथन a और के बीच के संबंध को दर्शाती है;

अक्षर "i" और "l" क्रमशः "true" और "false" शब्दों के लिए संक्षिप्त रूप हैं। तर्क में इन शब्दों को सत्य मूल्य कहा जाता है। तालिका को सत्य तालिका कहा जाता है।