त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके।

त्रिकोणमितीय समीकरण के हल में दो चरण होते हैं: समीकरण परिवर्तनइसे सरल करने के लिएटाइप करें (ऊपर देखें) और फेसलासरलतम प्राप्त किया त्रिकोणमितीय समीकरण।वहां सात हैं त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

1. बीजीय विधि।

(चर प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि)।

2. गुणनखंडन।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें:पाप एक्स+ कोस एक्स = 1 .

हल। समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ:

पाप एक्स+ कोस एक्स – 1 = 0 ,

आइए हम व्यंजक को में रूपांतरित और गुणनखंडित करें

समीकरण के बाईं ओर:

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें:क्योंकि 2 एक्स+ पाप एक्सक्योंकि एक्स = 1.

समाधान क्योंकि 2 एक्स+ पाप एक्सक्योंकि एक्स– पाप 2 एक्स- क्योंकि 2 एक्स = 0 ,

पाप एक्सक्योंकि एक्स– पाप 2 एक्स = 0 ,

पाप एक्स(कोस एक्स– पाप एक्स ) = 0 ,

उदाहरण 3. समीकरण को हल करें:क्योंकि 2 एक्स- कॉस 8 एक्स+ क्योंकि 6 एक्स = 1.

समाधान क्योंकि 2 एक्स+ क्योंकि 6 एक्स= 1 + cos8 एक्स,

2 कॉस 4 एक्सक्योंकि 2 एक्स= 2 कोस 4 एक्स ,

कॉस 4 एक्स · (क्योंकि 2 एक्स- क्योंकि 4 एक्स) = 0 ,

कॉस 4 एक्स 2 पाप 3 एक्सपाप एक्स = 0 ,

एक)। क्योंकि 4 एक्स= 0, 2)। पाप 3 एक्स= 0, 3)। पाप एक्स = 0 ,

3. करने के लिए लाना एकसमान समीकरण। समीकरण बुलाया से सजातीय अपेक्षाकृत पापऔर क्योंकि , अगर यह सब के संबंध में एक ही डिग्री की शर्तें पापऔर क्योंकिएक ही कोण. एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए: ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर ले जाएँ; बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखें; में) सभी कारकों और कोष्ठकों को शून्य के बराबर करें; जी) कोष्ठक शून्य देने के लिए सेट हैं कम डिग्री का सजातीय समीकरण, जिसे से विभाजित किया जाना चाहिए क्योंकि(या पाप) वरिष्ठ डिग्री में; डी) के संबंध में परिणामी बीजीय समीकरण को हल करेंटैन . पाप 2 एक्स+ 4 पाप एक्सक्योंकि एक्स+ 5 कोस 2 एक्स = 2. हल: 3सिन 2 एक्स+ 4 पाप एक्सक्योंकि एक्स+ 5 कॉस 2 एक्स= 2 पाप 2 एक्स+ 2 कॉस 2 एक्स , पाप 2 एक्स+ 4 पाप एक्सक्योंकि एक्स+ 3 कॉस 2 एक्स = 0 , तन 2 एक्स+ 4tan एक्स + 3 = 0 , यहां से आप 2 + 4आप +3 = 0 , इस समीकरण की जड़ें हैं:आप 1 = - 1, आप 2 = - 3, इसलिए 1) तन एक्स= -1, 2) तन एक्स = –3,

4. आधे कोने में संक्रमण।

आइए इस विधि को एक उदाहरण के साथ देखें:

उदाहरण समीकरण हल करें: 3पाप एक्स- 5कोस एक्स = 7.

समाधान: 6 पाप ( एक्स/ 2) क्योंकि ( एक्स/ 2) - 5 cos² ( एक्स/ 2) + 5 पाप² ( एक्स/ 2) =

7 पाप ( एक्स/ 2) + 7 cos² ( एक्स/ 2) ,

2 पाप ( एक्स/ 2) - 6 पाप ( एक्स/ 2) क्योंकि ( एक्स/ 2) + 12 cos² ( एक्स/ 2) = 0 ,

तनु ( एक्स/ 2) - 3 तन ( एक्स/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. एक सहायक कोण का परिचय।

फॉर्म के समीकरण पर विचार करें:

एपाप एक्स + बीक्योंकि एक्स = सी ,

कहाँ ए, बी, सी- गुणांक;एक्स- अनजान।

अब समीकरण के गुणांकों में ज्या और कोज्या के गुण हैं, यानी: प्रत्येक का मॉड्यूल (पूर्ण मान) जिनमें से 1 . से अधिक नहीं और उनके वर्गों का योग 1 . है. तब कोई नामित कर सकता है उन्हें क्रमशः जैसा क्योंकि और पाप (यहाँ - तथाकथित सहायक कोण), औरहमारा समीकरण है

विषय:"त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके"।

पाठ मकसद:

शैक्षिक:

त्रिकोणमितीय समीकरणों के प्रकारों में अंतर करने के लिए कौशल तैयार करना;

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों की गहरी समझ;

शैक्षिक:

शैक्षिक प्रक्रिया में संज्ञानात्मक रुचि की शिक्षा;

कार्य का विश्लेषण करने की क्षमता का गठन;

विकसित होना:

इसके बाद के सबसे तर्कसंगत तरीके से स्थिति का विश्लेषण करने के लिए कौशल का निर्माण करना।

उपकरण:मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों, कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन के साथ पोस्टर।

आइए किसी भी समीकरण को हल करने की मूल तकनीक को दोहराकर पाठ शुरू करें: इसे एक मानक रूप में कम करना। परिवर्तनों के माध्यम से, रैखिक समीकरणों को रूप कुल्हाड़ी \u003d b, वर्ग वाले रूप में घटाया जाता है कुल्हाड़ी2+बीएक्स +सी = 0।त्रिकोणमितीय समीकरणों के मामले में, उन्हें सरलतम रूप में कम करना आवश्यक है: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है।

सबसे पहले, निश्चित रूप से, इसके लिए पोस्टर पर प्रस्तुत किए गए मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना आवश्यक है: अतिरिक्त सूत्र, दोहरे कोण सूत्र, समीकरण की बहुलता को कम करना। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे समीकरणों को कैसे हल किया जाए। आइए उनमें से कुछ को दोहराएं:

साथ ही ऐसे समीकरण होते हैं, जिनके समाधान के लिए कुछ विशेष तकनीकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

हमारे पाठ का विषय इन तकनीकों पर विचार और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों का व्यवस्थितकरण है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके।

1. किसी त्रिकोणमितीय फलन के संबंध में द्विघात समीकरण में परिवर्तन, उसके बाद चर में परिवर्तन।

हम सूचीबद्ध विधियों में से प्रत्येक पर उदाहरणों के साथ विचार करेंगे, लेकिन हम अंतिम दो पर अधिक विस्तार से ध्यान देंगे, क्योंकि हमने पहले दो का उपयोग समीकरणों को हल करने में किया है।

1. किसी भी त्रिकोणमितीय फलन के संबंध में द्विघात समीकरण में परिवर्तन।

2. गुणनखंडन विधि द्वारा समीकरणों का हल।

3. समांगी समीकरणों का हल।

पहली और दूसरी डिग्री के सजातीय समीकरणों को फॉर्म के समीकरण कहा जाता है:

क्रमशः (ए 0, बी ≠ 0, सी ≠ 0)।

सजातीय समीकरणों को हल करते समय, समीकरण के दोनों भागों को समीकरण के (1) के लिए cosx द्वारा और (2) के लिए cos 2 x द्वारा पद से विभाजित किया जाता है। ऐसा विभाजन संभव है, क्योंकि sinx और cosx एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं - वे अलग-अलग बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं। पहली और दूसरी डिग्री के सजातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

इस समीकरण को याद रखें: अगली विधि पर विचार करते समय - एक सहायक तर्क की शुरूआत, हम इसे एक अलग तरीके से हल करेंगे।

4. एक सहायक तर्क का परिचय।

पिछली विधि द्वारा पहले से हल किए गए समीकरण पर विचार करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, वही परिणाम प्राप्त होता है।

आइए एक और उदाहरण देखें:

विचार किए गए उदाहरणों में, यह आम तौर पर स्पष्ट था कि सहायक तर्क को पेश करने के लिए मूल समीकरण को किस प्रकार विभाजित करने की आवश्यकता है। लेकिन ऐसा हो सकता है कि यह स्पष्ट न हो कि किस भाजक को चुनना है। इसके लिए एक विशेष तकनीक है, जिस पर अब हम सामान्य तरीके से विचार करेंगे। मान लीजिए कि एक समीकरण दिया गया है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

• परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि
• गुणनखंडन विधि
• सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण
• त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना:
• जोड़ सूत्र
• कास्ट सूत्र
• दोहरा तर्क सूत्र

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

t = sinx या t = cosx के स्थान पर, जहाँ t∈ [−1;1] मूल समीकरण के हल को द्विघात या अन्य बीजीय समीकरण के हल में घटाया जाता है।

उदाहरण देखें 1 - 3

कभी-कभी एक सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है: t = tg

उदाहरण 1 उदाहरण 2 उदाहरण 3 गुणनखंड विधि

इस पद्धति का सार यह है कि कई कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर होता है, जबकि अन्य अपना अर्थ नहीं खोते हैं:

एफ (एक्स) जी (एक्स) एच (एक्स) … = 0⟺ f(x) = 0 या g(x) = 0 या h(x) = 0

आदि। बशर्ते कि प्रत्येक कारक मौजूद हो

उदाहरण देखें 4 - 5

उदाहरण 4 उदाहरण 5 समघात त्रिकोणमितीय समीकरण a sin x + b cos x = 0 के रूप का समीकरण प्रथम घात का समघात त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाता है।

a sin x + b cos x = 0

टिप्पणी।

cos x से भाग देना मान्य है क्योंकि समीकरण cos x = 0 के हल समीकरण a sin x + b cos x = 0 के समाधान नहीं हैं।

एक पाप एक्स बी कॉस एक्स 0

ए टीजी एक्स + बी = 0

टीजी एक्स = -

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 के रूप का एक समीकरण दूसरी डिग्री का समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाता है।

ए टीजी2एक्स + बी टीजी एक्स + सी = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

टिप्पणी।यदि इस समीकरण में a \u003d 0 या c \u003d 0 है, तो समीकरण को अपघटन विधि द्वारा हल किया जाता है

गुणकों के लिए।

उदाहरण 6

उदाहरण 8 उदाहरण 9 उदाहरण 10 उदाहरण 11 1. जोड़ सूत्र:

sin(x + y) = sinx कोज़ी + cosx siny

cos (x + y) = cosx कोज़ी - sinx siny

tgx + tgy

टीजी (एक्स + वाई) =

1 - टीजीएक्स टीजीई

sin(x - y) = sinx कोज़ी + cosx siny

cos(x - y) = cosx कोज़ी + sinx siny

tgx - tgy

टीजी (एक्स - वाई) =

1 + टीजीएक्स टीजीई

сtgx сtgy - 1

सीटीजी (एक्स + वाई) =

сtgу + с tgх

सीटीजीएक्स सीटीजीई + 1

एसटीजी (एक्स - वाई) =

сtgу - с tgх

उदाहरण 12 उदाहरण 13 त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना 2. कास्टिंग सूत्र:

घोड़े का शासन

अच्छे पुराने दिनों में, एक अनुपस्थित दिमाग वाला गणितज्ञ रहता था, जो उत्तर की तलाश में किसी फ़ंक्शन का नाम बदलता है या नहीं ( साइनसपर कोज्या), अपने स्मार्ट घोड़े को देखा, और उसने समन्वय अक्ष के साथ अपना सिर हिलाया, जो कि तर्क के पहले पद के अनुरूप बिंदु से संबंधित था π/ 2 + α या π + α .

यदि घोड़ा अक्ष के अनुदिश अपना सिर हिलाता है कहां, तब गणितज्ञ ने माना कि उत्तर मिल गया है "हाँ, बदलो"अगर अक्ष के साथ ओह, तब "नहीं, मत बदलो".

त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना 3. दोहरा तर्क सूत्र:

sin2x = 2sinx cosx

cos2x = cos2x - sin2x

cos2x = 2cos2x - 1

cos2x = 1 - 2sin2x

1-टीजी2एक्स

सीटीजी 2x =

सीटीजी2एक्स - 1

उदाहरण 14 त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना 4. डिग्री में कमी के सूत्र:

5. आधा कोण सूत्र:

त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना 6. योग और अंतर सूत्र: त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना 7. उत्पाद सूत्र: स्मरक नियम "आपके हाथ की हथेली में त्रिकोणमिति"

बहुत बार दिल से अर्थ जानने की आवश्यकता होती है क्योंकि, पाप, टीजी, सीटीजीकोणों के लिए 0°, 30°, 45°, 60°, 90°।

लेकिन अगर अचानक कोई मूल्य भूल जाता है, तो आप हाथ के नियम का उपयोग कर सकते हैं।

नियम:यदि आप छोटी उंगली और अंगूठे से रेखाएँ खींचते हैं,

फिर वे "चंद्र पहाड़ी" नामक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे।

90° का कोण बनता है। छोटी उंगली की रेखा 0° का कोण बनाती है।

रिंग, मध्य, तर्जनी के माध्यम से "चंद्र पहाड़ी" से किरणें खींचकर, हम क्रमशः 30 °, 45 °, 60 ° के कोण प्राप्त करते हैं।

के बजाय प्रतिस्थापन एन: 0, 1, 2, 3, 4, हमें मान मिलते हैं पाप, कोणों के लिए 0°, 30°, 45°, 60°, 90°।

के लिए क्योंकिगिनती उल्टे क्रम में है।

आप अपनी समस्या के विस्तृत समाधान का आदेश दे सकते हैं !!!

एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tg x` या `ctg x`) के चिह्न के तहत अज्ञात वाली समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और हम उनके सूत्रों पर आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई भी संख्या है। आइए उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`।

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

`|ए| . के साथ \leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि ज्या के मामले में होता है, वास्तविक संख्याओं के बीच कोई हल नहीं होता है।

`|ए| . के साथ \leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

रेखांकन में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`ए` के किसी भी मान के लिए अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसमें `ए` के किसी भी मूल्य के लिए अनंत समाधान भी हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइनस के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण के हल में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में बदलने के लिए उपयोग करना;
• मूलों और तालिकाओं के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके परिणामी सरल समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके समाधान के मुख्य तरीकों पर विचार करें।

बीजगणितीय विधि।

इस पद्धति में, एक चर का प्रतिस्थापन और समानता में उसका प्रतिस्थापन किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

एक प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हमें जड़ें मिलती हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिसमें से दो मामले अनुसरण करते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`।

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडन।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `sin x+cos x=1`।

फेसला। समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`।
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में लाना होगा:

`a sin x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर पहले मामले के लिए दोनों भागों को `cos x \ne 0` और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x`: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0` के समीकरण मिलते हैं, जिन्हें ज्ञात विधियों का उपयोग करके हल किया जाना चाहिए।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`।

फेसला। आइए दाईं ओर को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`।

यह दूसरी डिग्री का एक समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण है, इसके बाएँ और दाएँ भागों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`टीजी^2 एक्स+टीजी एक्स - 2=0`। आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें `tg x=t`, परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0`। इस समीकरण की जड़ें हैं `t_1=-2` तथा `t_2=1`। फिर:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

जवाब। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`।

हाफ कॉर्नर पर जाएं

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `11 sin x - 2 cos x = 10`।

फेसला। द्विकोण सूत्रों को लागू करने पर परिणाम होता है: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 टीजी^2 एक्स/2 - 11 टीजी एक्स/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

जवाब। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

एक सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण में `a sin x + b cos x =c`, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, हम दोनों भागों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करते हैं:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x + `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x = `\frac c(sqrt (a^2) +बी^2))`।

बाईं ओर के गुणांकों में साइन और कोसाइन के गुण होते हैं, अर्थात्, उनके वर्गों का योग 1 होता है और उनका मापांक अधिकतम 1 होता है। आइए उन्हें निम्नानुसार निरूपित करें: \frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , तब:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `3 sin x+4 cos x=2`।

फेसला। समीकरण के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` ​​से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+`\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))= `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 क्योंकि x=2/5`।

निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`। चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, हम `\varphi=arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। तब हम अपनी समानता को रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

`पाप(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

जवाब। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये अंशों और हरों में भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनमें त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`।

फेसला। समीकरण के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह देखते हुए कि हर शून्य नहीं हो सकता, हमें मिलता है `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`।

भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`। फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`।

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` तथा `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`।

जवाब। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। अध्ययन 10 वीं कक्षा में शुरू होता है, परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद रखने की कोशिश करें - वे निश्चित रूप से आपके काम आएंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद करने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात यह है कि सार को समझना, और निकालने में सक्षम होना। यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए।