द्विघातीय समीकरण।
द्विघात समीकरण- सामान्य रूप का बीजगणितीय समीकरण
जहाँ x एक मुक्त चर है,
ए, बी, सी, गुणांक हैं, और
अभिव्यक्ति 
वर्ग त्रिपद कहा जाता है।
द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ।
1. विधि : समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंडन।
आइए समीकरण हल करें x 2 + 10x - 24 = 0. आइए बाईं ओर का गुणनखंड करें:
x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).
इसलिए, समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
(एक्स + 12)(एक्स - 2) = 0
चूँकि उत्पाद शून्य है, तो इसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य है। इसलिए, समीकरण का बायां भाग शून्य हो जाता है एक्स = 2, और कब भी एक्स = - 12. इसका मतलब यह है कि संख्या 2 और - 12 समीकरण की जड़ें हैं x 2 + 10x - 24 = 0.
2. विधि : पूर्ण वर्ग चुनने की विधि.
आइए समीकरण हल करें x 2 + 6x - 7 = 0. बायीं ओर एक पूर्ण वर्ग का चयन करें।
ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति x 2 + 6x को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:
एक्स 2 + 6एक्स = एक्स 2 + 2 एक्स 3.
परिणामी अभिव्यक्ति में, पहला पद संख्या x का वर्ग है, और दूसरा x का 3 से दोगुना गुणनफल है। इसलिए, एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको 3 2 जोड़ने की आवश्यकता है, क्योंकि
एक्स 2+ 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.
आइए अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें
x 2 + 6x - 7 = 0,
इसमें जोड़ना और घटाना 3 2. हमारे पास है:
x 2 + 6x - 7 =एक्स 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.
इस प्रकार, इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.
इस तरह, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, या x + 3 = -4, x 2 = -7।
3. विधि :सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।
आइए समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0, ए ≠ 0
4ए पर और क्रमिक रूप से हमारे पास है:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,
((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
उदाहरण.
ए)आइए समीकरण हल करें: 4x 2 + 7x + 3 = 0.
ए = 4, बी = 7, सी = 3, डी = बी 2 - 4एसी = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
डी > 0,दो अलग-अलग जड़ें;
इस प्रकार, एक सकारात्मक विवेचक के मामले में, अर्थात् पर
बी 2 - 4एसी >0, समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0दो अलग-अलग जड़ें हैं.
बी)आइए समीकरण हल करें: 4x 2 - 4x + 1 = 0,
ए = 4, बी = - 4, सी = 1, डी = बी 2 - 4एसी = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
डी = 0,एक जड़;
तो, यदि विवेचक शून्य है, अर्थात बी 2 - 4एसी = 0, फिर समीकरण
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0एक ही जड़ है
वी)आइए समीकरण हल करें: 2x 2 + 3x + 4 = 0,
ए = 2, बी = 3, सी = 4, डी = बी 2 - 4एसी = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, डी< 0.
इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है.
इसलिए, यदि विवेचक नकारात्मक है, अर्थात। बी 2 - 4एसी< 0 , समीकरण
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0कोई जड़ नहीं है.
द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र (1)। कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0आपको जड़ें ढूंढने की अनुमति देता है कोई द्विघात समीकरण (यदि कोई हो), जिसमें घटा हुआ और अधूरा शामिल है। सूत्र (1) को मौखिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया गया है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें एक अंश के बराबर होती हैं जिसका अंश विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है, इस गुणांक के वर्ग के वर्गमूल को घटाकर पहले गुणांक के उत्पाद को मुक्त पद से चौगुना किए बिना, और हर पहले गुणांक का दोगुना है।
4. विधि: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।
जैसा कि ज्ञात है, घटे हुए द्विघात समीकरण का रूप होता है
एक्स 2 + पीएक्स + सी = 0.(1)
इसकी जड़ें विएटा के प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, जो, कब ए =1की तरह लगता है
एक्स 1 एक्स 2 = क्यू,
एक्स 1 + एक्स 2 = - पी
इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं (गुणांक पी और क्यू से हम जड़ों के संकेतों की भविष्यवाणी कर सकते हैं)।
ए) यदि आधा सदस्य क्यूदिया गया समीकरण (1) सकारात्मक है ( क्यू > 0), तो समीकरण में समान चिह्न के दो मूल हैं और यह दूसरे गुणांक पर निर्भर करता है पी. अगर आर< 0 , तो दोनों जड़ें नकारात्मक हैं यदि आर< 0 , तो दोनों जड़ें सकारात्मक हैं।
उदाहरण के लिए,
एक्स 2 – 3एक्स + 2 = 0; एक्स 1 = 2और एक्स 2 = 1,क्योंकि क्यू = 2 > 0और पी = - 3< 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; एक्स 1 = - 7और एक्स 2 = - 1,क्योंकि क्यू = 7 > 0और पी= 8 > 0.
ख) यदि कोई स्वतंत्र सदस्य है क्यूदिया गया समीकरण (1) ऋणात्मक है ( क्यू< 0 ), तो समीकरण में अलग-अलग चिह्न की दो जड़ें हैं, और बड़ी जड़ सकारात्मक होगी यदि पी< 0 , या नकारात्मक यदि पी > 0 .
उदाहरण के लिए,
x 2 + 4x – 5 = 0; एक्स 1 = - 5और एक्स 2 = 1,क्योंकि क्यू=-5< 0 और पी = 4 > 0;
x 2 – 8x – 9 = 0; एक्स 1 = 9और एक्स 2 = - 1,क्योंकि क्यू = - 9< 0 और पी = - 8< 0.
उदाहरण।
1) आइए समीकरण हल करें 345x 2 – 137x – 208 = 0.
समाधान।क्योंकि ए + बी + सी = 0 (345 - 137 - 208 = 0),वह
एक्स 1 = 1, एक्स 2 = सी/ए = -208/345।
उत्तर 1; -208/345.
2) समीकरण हल करें 132x 2 – 247x + 115 = 0.
समाधान।क्योंकि ए + बी + सी = 0 (132 - 247 + 115 = 0),वह
एक्स 1 = 1, एक्स 2 = सी/ए = 115/132।
उत्तर 1; 115/132.
बी। यदि दूसरा गुणांक बी = 2kएक सम संख्या है, तो मूल सूत्र
उदाहरण।
आइए समीकरण हल करें 3x2 - 14x + 16 = 0.
समाधान. हमारे पास है: ए = 3, बी = - 14, सी = 16, के = - 7;
डी = के 2 - एसी = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, डी > 0,दो अलग-अलग जड़ें;
उत्तर: 2; 8/3
में। घटा हुआ समीकरण
एक्स 2 + पीएक्स + क्यू= 0
जिसमें एक सामान्य समीकरण से मेल खाता है ए = 1, बी = पीऔर सी = क्यू. इसलिए, कम किए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूल सूत्र है
रूप लेता है:
फॉर्मूला (3) का उपयोग तब विशेष रूप से सुविधाजनक होता है जब आर- सम संख्या।
उदाहरण।आइए समीकरण हल करें x 2 – 14x – 15 = 0.
समाधान।हमारे पास है: x 1.2 =7±
उत्तर: x 1 = 15; एक्स 2 = -1.
5. विधि: ग्राफ़िक रूप से समीकरणों को हल करना.
उदाहरण। समीकरण x2 - 2x - 3 = 0 को हल करें।
आइए फलन y = x2 - 2x - 3 आलेखित करें
1) हमारे पास है: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4। इसका मतलब यह है कि परवलय का शीर्ष बिंदु (1; -4) है, और परवलय की धुरी सीधी रेखा x = 1 है।
2) x-अक्ष पर दो बिंदु लें जो परवलय के अक्ष के प्रति सममित हों, उदाहरण के लिए बिंदु x = -1 और x = 3।
हमारे पास f(-1) = f(3) = 0 है। आइए निर्देशांक तल पर बिंदु (-1; 0) और (3; 0) बनाएं।
3) बिंदुओं (-1; 0), (1; -4), (3; 0) से होकर हम एक परवलय बनाते हैं (चित्र 68)।
समीकरण x2 - 2x - 3 = 0 के मूल x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं; इसका मतलब है कि समीकरण की जड़ें हैं: x1 = - 1, x2 - 3.
आइए हम डिग्री के मूल गुणों को याद करें। मान लीजिए a > 0, b > 0, n, m कोई वास्तविक संख्या है। तब
1) ए एन ए एम = ए एन+एम
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (ए एन) एम = ए एनएम
4) (एबी) एन = ए एन बी एन
5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) ए एन > 1, यदि ए > 1, एन > 0
8) ए एन 1, एन
9) ए एन > ए एम यदि 0
व्यवहार में, फॉर्म y = a x के फ़ंक्शन अक्सर उपयोग किए जाते हैं, जहां a एक दी गई सकारात्मक संख्या है, x एक चर है। ऐसे कार्यों को कहा जाता है सूचक. इस नाम को इस तथ्य से समझाया गया है कि घातांकीय फ़ंक्शन का तर्क घातांक है, और घातांक का आधार दी गई संख्या है।
परिभाषा।एक घातांकीय फलन y = a x के रूप का एक फलन है, जहां a एक दी गई संख्या है, a > 0, \(a \neq 1\)
घातीय फलन में निम्नलिखित गुण होते हैं
1) घातीय फलन की परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
यह गुण इस तथ्य से अनुसरण करता है कि घात a x जहां a > 0 सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए परिभाषित है।
2) घातीय फलन के मानों का समुच्चय सभी धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।
इसे सत्यापित करने के लिए, आपको यह दिखाना होगा कि समीकरण a x = b, जहां a > 0, \(a \neq 1\), का कोई मूल नहीं है यदि \(b \leq 0\), और किसी भी b > के लिए एक मूल है 0 .
3) घातांकीय फलन y = a
आइए a > 0 और 0 के लिए घातीय फलनों y = a ऑक्स अक्ष.
यदि x 0.
यदि x > 0 और |x| बढ़ता है, ग्राफ तेज़ी से ऊपर उठता है।
फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = a x 0 पर यदि x > 0 और बढ़ता है, तो ग्राफ़ तेज़ी से ऑक्स अक्ष पर पहुंचता है (बिना इसे पार किए)। इस प्रकार, ऑक्स अक्ष ग्राफ़ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
यदि एक्स 
घातीय समीकरण
आइए घातीय समीकरणों के कई उदाहरणों पर विचार करें, अर्थात्। ऐसे समीकरण जिनमें घातांक में अज्ञात निहित होता है। घातीय समीकरणों को हल करने से अक्सर समीकरण a x = a b को हल करना पड़ता है जहां a > 0, \(a \neq 1\), x एक अज्ञात है। इस समीकरण को घात गुण का उपयोग करके हल किया जाता है: समान आधार a > 0, \(a \neq 1\) वाली घातें समान होती हैं यदि और केवल यदि उनके घातांक समान हों।
समीकरण 2 3x 3 x = 576 को हल करें
चूँकि 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, समीकरण को 8 x 3 x = 24 2, या 24 x = 24 2 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें से x = 2 है।
उत्तर x = 2
समीकरण 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25 को हल करें
बाईं ओर के कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 x - 2 निकालने पर, हमें 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25 प्राप्त होता है।
जहाँ से 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
उत्तर x = 2
समीकरण 3 x = 7 x को हल करें
चूँकि \(7^x \neq 0 \) , समीकरण को \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे \(\left(\frac(3) )( 7) \दाएं) ^x = 1 \), x = 0
उत्तर x = 0
समीकरण 9 x - 4 3 x - 45 = 0 को हल करें
3 x = t को प्रतिस्थापित करने पर, यह समीकरण द्विघात समीकरण t 2 - 4t - 45 = 0 में बदल जाता है। इस समीकरण को हल करने पर, हम इसके मूल पाते हैं: t 1 = 9, t 2 = -5, जहाँ से 3 x = 9, 3 एक्स = -5 .
समीकरण 3 x = 9 का मूल x = 2 है, और समीकरण 3 x = -5 का कोई मूल नहीं है, क्योंकि घातीय फलन ऋणात्मक मान नहीं ले सकता है।
उत्तर x = 2
समीकरण 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2 हल करें
आइए समीकरण को फॉर्म में लिखें
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, कहाँ से
2 एक्स - 2 (3 2 3 - 1) = 5 एक्स - 2 (5 2 - 2)
2 एक्स - 2 23 = 5 एक्स - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
एक्स - 2 = 0
उत्तर x = 2
समीकरण 3 |x - 1| को हल करें = 3 |एक्स + 3|
चूँकि 3 > 0, \(3 \neq 1\), तो मूल समीकरण समीकरण |x-1| के बराबर है। = |x+3|
इस समीकरण का वर्ग करने पर हमें इसका उपफल (x - 1) 2 = (x + 3) 2 प्राप्त होता है, जिससे
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
जाँच से पता चलता है कि x = -1 मूल समीकरण का मूल है।
उत्तर x = -1
केबल एलएसवी 2-7 16x0.12 टेप ग्रेड के प्रकार से संबंधित है जो 350 वी के प्रत्यक्ष प्रवाह या 250 वी के साथ बिजली नेटवर्क में संचालित विद्युत और रेडियो-इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों की इंट्रा- और इंटर-डिवाइस स्थापना के लिए सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है। 50 हर्ट्ज तक की आवृत्तियों पर प्रत्यावर्ती वोल्टेज। हार्डवेयर इंस्टॉलेशन विभिन्न प्रकार के प्लग कनेक्टर्स की भागीदारी, क्रिम्पिंग और संपर्क कनेक्टर्स के उपयोग के साथ किया जाता है, जिसके लिए सोल्डरिंग का उपयोग करके इन्सुलेशन को छेदा जा सकता है, साथ ही चिपकने वाले और वार्निश जो इन्सुलेशन को प्रभावित नहीं करते हैं। यदि कोर को जम्पर द्वारा अलग किया जाता है तो इन्सुलेशन से समझौता नहीं किया जाता है। ब्रांड साइनसॉइडल कंपन, ध्वनिक शोर, रैखिक त्वरण, एकल और एकाधिक यांत्रिक झटके के प्रभाव को पूरी तरह से सहन करता है।
एलएसवी 2-7 16x0.12 अंकन की व्याख्या:
- एल - टेप
- एस - धारावाहिक
- बी - पीवीसी इन्सुलेशन
केबल एलएसवी 2-7 16x0.12 के संरचनात्मक तत्व
- मोनोवायर टिनड कॉपर इनर कंडक्टर
- पॉलिमर पीवीसी इन्सुलेशन
केबल एलएसवी 2-7 16x0.12 के तकनीकी पैरामीटर
प्रमाण पत्र और गारंटी
I. कुल्हाड़ी 2 =0 – अधूरा द्विघात समीकरण (बी=0, सी=0 ). समाधान: x=0. उत्तर: 0.
समीकरण हल करें.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
समाधान।आइए कोष्ठक को गुणा करके खोलें 2xकोष्ठक में प्रत्येक पद के लिए:
2x 2 +6x=6x-x 2 ; हम शब्दों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं:
2x 2 +6x-6x+x 2 =0; यहाँ समान शब्द हैं:
3x 2 =0, इसलिए x=0.
उत्तर: 0.
द्वितीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (सी=0 ). समाधान: x (ax+b)=0 → x 1 =0 या ax+b=0 → x 2 =-b/a. उत्तर: 0; -बी ० ए।
5x 2 -26x=0.
समाधान।आइए सामान्य कारक निकालें एक्सकोष्ठक के बाहर:
x(5x-26)=0; प्रत्येक कारक शून्य के बराबर हो सकता है:
एक्स=0या 5x-26=0→ 5x=26, समानता के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें 5 और हमें मिलता है: x=5.2.
उत्तर: 0; 5,2.
उदाहरण 3. 64x+4x 2 =0.
समाधान।आइए सामान्य कारक निकालें 4 एक्सकोष्ठक के बाहर:
4x(16+x)=0. हमारे पास तीन गुणनखंड हैं, 4≠0, इसलिए, या एक्स=0या 16+x=0. अंतिम समानता से हमें x=-16 मिलता है।
उत्तर: -16; 0.
उदाहरण 4.(x-3) 2 +5x=9.
समाधान।दो भावों के अंतर के वर्ग का सूत्र लागू करके हम कोष्ठक खोलेंगे:
x 2 -6x+9+5x=9; फॉर्म में बदलें: x 2 -6x+9+5x-9=0; आइए हम ऐसे ही शब्द प्रस्तुत करें:
एक्स 2 -एक्स=0; हम इसे बाहर निकाल लेंगे एक्सकोष्ठक के बाहर, हमें मिलता है: x (x-1)=0. यहाँ से या एक्स=0या x-1=0→ x=1.
उत्तर: 0; 1.
तृतीय. कुल्हाड़ी 2 +सी=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (बी=0 ); समाधान: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
अगर (-सीए)<0 , तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। अगर (-с/а)>0
उदाहरण 5. x 2 -49=0.
समाधान।
x 2 =49, यहाँ से x=±7. उत्तर:-7; 7.
उदाहरण 6. 9x 2 -4=0.
समाधान।
अक्सर आपको द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों (x 1 2 +x 2 2) या घनों का योग (x 1 3 +x 2 3) का योग ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, कम अक्सर - पारस्परिक मानों का योग किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का या मूलों के अंकगणितीय वर्गमूलों का योग:
विएटा का प्रमेय इसमें मदद कर सकता है:
x 2 +px+q=0
एक्स 1 + एक्स 2 = -पी; एक्स 1 ∙x 2 =क्यू.
आइए व्यक्त करें के माध्यम से पीऔर क्यू:
1) समीकरण के मूलों के वर्गों का योग x 2 +px+q=0;
2) समीकरण के मूलों के घनों का योग x 2 +px+q=0.
समाधान।
1) अभिव्यक्ति एक्स 1 2 +एक्स 2 2समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है एक्स 1 + एक्स 2 = -पी;
(एक्स 1 +एक्स 2) 2 =(-पी) 2 ; कोष्ठक खोलें: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; हम आवश्यक राशि व्यक्त करते हैं: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. हमें एक उपयोगी समानता मिली: एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.
2) अभिव्यक्ति एक्स 1 3 +एक्स 2 3आइए हम सूत्र का उपयोग करके घनों का योग निरूपित करें:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).
एक अन्य उपयोगी समीकरण: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).
उदाहरण।
3) x 2 -3x-4=0.समीकरण को हल किए बिना, व्यंजक का मान परिकलित करें एक्स 1 2 +एक्स 2 2.
समाधान।
एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=3,और काम x 1 ∙x 2 =q=उदाहरण 1 में) समानता:
एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.हमारे पास है -पी=एक्स 1 +एक्स 2 = 3 → पी 2 =3 2 =9; क्यू= x 1 x 2 = -4. तब x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.
उत्तर:एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0.गणना करें: x 1 3 +x 2 3।
समाधान।
विएटा के प्रमेय के अनुसार, इस घटे हुए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग है एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=2,और काम x 1 ∙x 2 =q=-4. आइए जो प्राप्त हुआ है उसे लागू करें ( उदाहरण 2 में) समानता: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
उत्तर: एक्स 1 3 +एक्स 2 3 =32.
प्रश्न: यदि हमें एक अघटीकृत द्विघात समीकरण दिया जाए तो क्या होगा? उत्तर: इसे पहले गुणांक द्वारा पद दर पद विभाजित करके हमेशा "कम" किया जा सकता है।
5) 2x 2 -5x-7=0.निर्णय किए बिना, गणना करें: एक्स 1 2 +एक्स 2 2.
समाधान।हमें पूर्ण द्विघात समीकरण दिया गया है। समानता के दोनों पक्षों को 2 (पहला गुणांक) से विभाजित करें और निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त करें: x 2 -2.5x-3.5=0.
विएटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग बराबर होता है 2,5 ; जड़ों का गुणनफल बराबर होता है -3,5 .
हम इसे उदाहरण की तरह ही हल करते हैं 3) समानता का उपयोग करना: एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.
एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
उत्तर: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x 2 -5x-2=0.खोजो:
आइए हम इस समानता को रूपांतरित करें और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, जड़ों के योग को प्रतिस्थापित करें -पी, और जड़ों के उत्पाद के माध्यम से क्यू, हमें एक और उपयोगी सूत्र मिलता है। सूत्र प्राप्त करते समय, हमने समानता 1 का उपयोग किया): एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.
हमारे उदाहरण में एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. हम इन मानों को परिणामी सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
7) x 2 -13x+36=0.खोजो:
आइए इस योग को रूपांतरित करें और एक सूत्र प्राप्त करें जिसका उपयोग द्विघात समीकरण की जड़ों से अंकगणितीय वर्गमूलों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
हमारे पास है एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=13; x 1 ∙x 2 =q=36. हम इन मानों को परिणामी सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
सलाह : हमेशा एक उपयुक्त विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने की संभावना की जांच करें, क्योंकि 4 की समीक्षा उपयोगी सूत्रआपको किसी कार्य को शीघ्रता से पूरा करने की अनुमति देता है, विशेषकर ऐसे मामलों में जहां विवेचक एक "असुविधाजनक" संख्या है। सभी साधारण मामलों में, जड़ें ढूंढें और उन पर काम करें। उदाहरण के लिए, अंतिम उदाहरण में हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होना चाहिए 13 , और जड़ों का उत्पाद 36 . ये संख्याएँ क्या हैं? निश्चित रूप से, 4 और 9.अब इन संख्याओं के वर्गमूलों का योग ज्ञात करें: 2+3=5. इतना ही!
I. विएटा का प्रमेयघटे हुए द्विघात समीकरण के लिए.
घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x 2 +px+q=0विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
एक्स 1 + एक्स 2 = -पी; एक्स 1 ∙x 2 =क्यू.
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें।
उदाहरण 1) x 2 -x-30=0.यह घटा हुआ द्विघात समीकरण है ( x 2 +px+q=0), दूसरा गुणांक पी=-1, और मुफ़्त सदस्य क्यू=-30.सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि इस समीकरण के मूल हैं, और मूल (यदि कोई हो) पूर्णांकों में व्यक्त किए जाएंगे। ऐसा करने के लिए, यह पर्याप्त है कि विवेचक एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग हो।
विवेचक का पता लगाना डी=बी 2 — 4एसी=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
अब, विएटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, अर्थात। ( -पी), और उत्पाद मुक्त पद के बराबर है, अर्थात। ( क्यू). तब:
एक्स 1 +एक्स 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.हमें दो संख्याएँ ऐसी चुननी हैं जिनका गुणनफल बराबर हो -30 , और राशि है इकाई. ये संख्याएं हैं -5 और 6 . उत्तर:-5; 6.
उदाहरण 2) x 2 +6x+8=0.हमारे पास दूसरे गुणांक के साथ घटा हुआ द्विघात समीकरण है पी=6और मुफ़्त सदस्य क्यू=8. आइए सुनिश्चित करें कि पूर्णांक जड़ें हैं। आइए विवेचक को खोजें डी 1 डी 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . विभेदक D 1 संख्या का पूर्ण वर्ग है 1 , जिसका अर्थ है कि इस समीकरण की जड़ें पूर्णांक हैं। आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करें: जड़ों का योग बराबर है –r=-6, और जड़ों का गुणनफल बराबर है क्यू=8. ये संख्याएं हैं -4 और -2 .
वास्तव में: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. उत्तर - 4; -2.
उदाहरण 3) x 2 +2x-4=0. इस घटे हुए द्विघात समीकरण में, दूसरा गुणांक पी=2, और मुफ़्त सदस्य क्यू=-4. आइए विवेचक को खोजें डी 1, चूँकि दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। डी 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. विवेचक संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए हम ऐसा करते हैं निष्कर्ष: इस समीकरण के मूल पूर्णांक नहीं हैं और इन्हें विएटा के प्रमेय का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है।इसका मतलब यह है कि हम हमेशा की तरह, सूत्रों का उपयोग करके (इस मामले में, सूत्रों का उपयोग करके) इस समीकरण को हल करते हैं। हम पाते हैं:
उदाहरण 4).यदि इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखें x 1 =-7, x 2 =4.
समाधान।आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: x 2 +px+q=0, और, विएटा के प्रमेय पर आधारित –पी=एक्स 1 +एक्स 2=-7+4=-3 → पी=3; क्यू=एक्स 1 ∙एक्स 2=-7∙4=-28 . तब समीकरण इस प्रकार बनेगा: x 2 +3x-28=0.
उदाहरण 5).इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखें यदि:
द्वितीय. विएटा का प्रमेयपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0.
मूलों का योग ऋणात्मक है बी, द्वारा विभाजित ए, जड़ों का गुणनफल बराबर है साथ, द्वारा विभाजित ए:
एक्स 1 + एक्स 2 = -बी/ए; एक्स 1 ∙एक्स 2 =सी/ए.
उदाहरण 6).द्विघात समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए 2x 2 -7x-11=0.
समाधान।
हम सुनिश्चित करते हैं कि इस समीकरण की जड़ें होंगी। ऐसा करने के लिए, विवेचक के लिए एक अभिव्यक्ति बनाना पर्याप्त है, और, इसकी गणना किए बिना, बस यह सुनिश्चित करें कि विवेचक शून्य से बड़ा है। डी=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . अब प्रयोग करते हैं प्रमेय विएटासंपूर्ण द्विघात समीकरणों के लिए.
एक्स 1 +एक्स 2 =-बी:ए=- (-7):2=3,5.
उदाहरण 7). द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए 3x 2 +8x-21=0.
समाधान।
आइए विवेचक को खोजें डी 1, दूसरे गुणांक के बाद से ( 8 ) एक सम संख्या है. डी 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . द्विघात समीकरण है 2 जड़, विएटा के प्रमेय के अनुसार, जड़ों का उत्पाद एक्स 1 ∙x 2 =सी:ए=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0– सामान्य द्विघात समीकरण
विभेदक डी=बी 2 - 4एसी.
अगर डी>0, तो हमारे पास दो वास्तविक जड़ें हैं:
अगर डी=0, तो हमारे पास एक ही मूल (या दो समान जड़ें) हैं x=-b/(2a).
यदि डी<0, то действительных корней нет.
उदाहरण 1) 2x 2 +5x-3=0.
समाधान। ए=2; बी=5; सी=-3.
डी=बी 2 - 4एसी=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 असली जड़ें.
4x 2 +21x+5=0.
समाधान। ए=4; बी=21; सी=5.
डी=बी 2 - 4एसी=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 असली जड़ें.
द्वितीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0 – विशेष रूप का द्विघात समीकरण सम सेकंड के साथ
गुणक बी
उदाहरण 3) 3x 2 -10x+3=0.
समाधान। ए=3; बी=-10 (सम संख्या); सी=3.
उदाहरण 4) 5x 2 -14x-3=0.
समाधान। ए=5; बी= -14 (सम संख्या); सी=-3.
उदाहरण 5) 71x 2 +144x+4=0.
समाधान। ए=71; बी=144 (सम संख्या); सी=4.
उदाहरण 6) 9x 2 -30x+25=0.
समाधान। ए=9; बी=-30 (सम संख्या); सी=25.
तृतीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0 – द्विघात समीकरण निजी प्रकार प्रदान किया गया: a-b+c=0.
पहला मूल सदैव ऋण एक के बराबर होता है, और दूसरा मूल सदैव ऋण एक के बराबर होता है साथ, द्वारा विभाजित ए:
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
उदाहरण 7) 2x 2 +9x+7=0.
समाधान। ए=2; बी=9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए-बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
तब x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3.5.उत्तर: -1; -3,5.
चतुर्थ. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0 – किसी विशेष रूप के द्विघात समीकरण के अधीन : a+b+c=0.
पहली जड़ हमेशा एक के बराबर होती है, और दूसरी जड़ हमेशा एक के बराबर होती है साथ, द्वारा विभाजित ए:
एक्स 1 =1, एक्स 2 =सी/ए.
उदाहरण 8) 2x 2 -9x+7=0.
समाधान। ए=2; बी=-9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए+बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
तब x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3.5.उत्तर: 1; 3,5.
पेज 1 का 1 1
यह इस तथ्य में निहित है कि कंक्रीट, मजबूत स्टील फ्रेम के साथ प्रबलित, एक उच्च शक्ति वाली निर्माण सामग्री है और कई पर्यावरणीय प्रभावों के अधीन नहीं है, जिसके कारण ओवरहेड लाइन समर्थन की नींव का डिजाइन स्टील का समर्थन करने और प्रबलित करने में सक्षम है कंक्रीट विद्युत लाइन दशकों तक उनके पलटने के खतरे के बिना समर्थन करती है। ऊर्जा निर्माण में 220 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों, 330 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों के धातु समर्थन के लिए प्रबलित कंक्रीट नींव एफपी 2.7x2.7-ए का उपयोग करने के स्थायित्व, भार और ताकत का प्रतिरोध मुख्य लाभ हैं।
220 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों के धातु समर्थन के लिए प्रबलित कंक्रीट नींव एफपी 2.7x2.7-ए, 330 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनें कम से कम बी 30, ग्रेड - एम 300 की संपीड़न शक्ति वर्ग के साथ भारी कंक्रीट से बनी होती हैं। ठंढ प्रतिरोध के लिए कंक्रीट का ग्रेड F150 से कम नहीं है, पानी प्रतिरोध के लिए - W4 - W6। कंक्रीट के निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले सीमेंट और इनर्ट्स को एसएनआईपी I-B.3-62 और TP4-68 की आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए। कंक्रीट संरचना में सबसे बड़े दाने का आकार 20-40 मिमी से अधिक नहीं होना चाहिए। GOST 10180-67 "भारी कंक्रीट" के अनुसार समर्थन नींव की कंक्रीट ताकत का नियंत्रण। ताकत निर्धारित करने के तरीके" और GOST 10181-62 "भारी कंक्रीट। कंक्रीट मिश्रण की गतिशीलता और कठोरता को निर्धारित करने की विधियाँ।"
सुदृढीकरण के रूप में, 220 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों के धातु समर्थन के लिए नींव एफपी 2.7x2.7-ए, 330 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों का उपयोग किया जाता है: क्लास ए-आई की हॉट-रोल्ड रीइन्फोर्सिंग स्टील रॉड्स, हॉट-रोल्ड रीइन्फोर्सिंग स्टील रॉड्स वर्ग A-III की आवधिक प्रोफ़ाइल, आवधिक प्रोफ़ाइल वर्ग A-IV की प्रबलित इस्पात छड़ें और साधारण सुदृढ़ीकरण तार वर्ग B1। माउंटिंग लूप के लिए, कार्बन माइल्ड स्टील से बने क्लास ए-I के केवल हॉट-रोल्ड रॉड रीइन्फोर्समेंट का उपयोग किया जाता है।
ऊर्जा निर्माण के लिए पावर ट्रांसमिशन लाइन सपोर्ट की नींव को एक जिम्मेदार कार्य का सामना करना पड़ता है - वर्ष के किसी भी समय और किसी भी मौसम में विभिन्न जलवायु परिस्थितियों में कई वर्षों तक पावर ट्रांसमिशन लाइन सपोर्ट की स्थिरता और ताकत बनाए रखना। इसलिए, समर्थन नींव पर बहुत अधिक मांगें रखी जाती हैं। ग्राहक को शिपिंग से पहले, 220 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों के धातु समर्थन के लिए एफपी 2.7x2.7-ए की नींव, 330 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों का परीक्षण विभिन्न मापदंडों के अनुसार किया जाता है, उदाहरण के लिए, स्थिरता की डिग्री , ताकत, स्थायित्व और पहनने का प्रतिरोध, नकारात्मक तापमान और वायुमंडलीय प्रभावों का प्रतिरोध। वेल्डिंग से पहले, संयुक्त भागों को जंग से मुक्त होना चाहिए। 30 मिमी से कम कंक्रीट सुरक्षात्मक परत की मोटाई वाली प्रबलित कंक्रीट नींव, साथ ही आक्रामक मिट्टी में स्थापित नींव को वॉटरप्रूफिंग द्वारा संरक्षित किया जाना चाहिए।
ऑपरेशन के दौरान, 220 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों, 330 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों के धातु समर्थन के लिए फाउंडेशन एफपी2.7x2.7-ए सावधानीपूर्वक पर्यवेक्षण के अधीन हैं, खासकर ओवरहेड लाइन के संचालन के पहले वर्षों में। नींव के निर्माण में सबसे गंभीर दोषों में से एक, जिसे परिचालन स्थितियों के तहत खत्म करना मुश्किल है, उनके निर्माण के दौरान तकनीकी मानकों का उल्लंघन है: कम गुणवत्ता वाली या खराब धुली हुई बजरी का उपयोग, कंक्रीट मिश्रण तैयार करते समय अनुपात का उल्लंघन, आदि। . समान रूप से गंभीर दोष नींव की स्तरित कंक्रीटिंग है, जब एक ही नींव के अलग-अलग तत्वों को सतह की पूर्व तैयारी के बिना अलग-अलग समय पर कंक्रीट किया जाता है। इस मामले में, एक नींव तत्व का कंक्रीट दूसरे के साथ सेट नहीं होता है, और नींव का विनाश बाहरी भार के तहत हो सकता है जो गणना की तुलना में काफी कम है।
समर्थन के लिए प्रबलित कंक्रीट नींव बनाते समय, मानकों का भी कभी-कभी उल्लंघन किया जाता है: कम गुणवत्ता वाले कंक्रीट का उपयोग किया जाता है, सुदृढीकरण गलत आकार में रखा जाता है जैसा कि परियोजना में प्रदान किया गया है। पूर्वनिर्मित या ढेर प्रबलित कंक्रीट नींव पर बिजली लाइनों के निर्माण के दौरान, गंभीर दोष उत्पन्न हो सकते हैं जिनकी ऊर्जा निर्माण द्वारा अनुमति नहीं है। इस तरह के दोषों में टूटी हुई प्रबलित कंक्रीट नींव की स्थापना, जमीन में उनकी अपर्याप्त पैठ (विशेषकर पहाड़ियों और खड्डों की ढलानों पर समर्थन स्थापित करते समय), बैकफिलिंग के दौरान अनुचित संघनन, छोटे आकार की पूर्वनिर्मित नींव की स्थापना आदि शामिल हैं। स्थापना दोषों में गलत शामिल हैं प्रबलित कंक्रीट नींव की स्थापना, जिसमें धातु समर्थन के आधार के रूप में अलग-अलग पूर्वनिर्मित नींव की योजना में अलग-अलग ऊर्ध्वाधर ऊंचाई या व्यक्तिगत नींव की शिफ्ट होती है। यदि अनुचित तरीके से अनलोड किया जाता है, तो 220 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों, 330 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों के धातु समर्थन के लिए नींव एफपी 2.7x2.7-ए क्षतिग्रस्त हो सकती है, कंक्रीट चिपिंग और सुदृढीकरण उजागर हो सकता है। स्वीकृति प्रक्रिया के दौरान, डिज़ाइन आयामों के साथ एंकर बोल्ट और उनके नट के अनुपालन पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए।
परिचालन स्थितियों के तहत, 220 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों के धातु समर्थन के लिए प्रबलित कंक्रीट नींव एफपी 2.7x2.7-ए, 330 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनें पर्यावरणीय प्रभावों और बड़े बाहरी भार दोनों से क्षतिग्रस्त हैं। छिद्रपूर्ण कंक्रीट संरचना के साथ नींव का सुदृढीकरण भूजल के आक्रामक प्रभावों से क्षतिग्रस्त हो जाता है। नींव की सतह पर बनने वाली दरारें, परिचालन परिवर्तनशील भार के साथ-साथ हवा, नमी और कम तापमान के संपर्क में आने पर फैलती हैं, जो अंततः कंक्रीट के विनाश और सुदृढीकरण के संपर्क में आती है। रासायनिक संयंत्रों के पास स्थित क्षेत्रों में, एंकर बोल्ट और धातु फुटरेस्ट का ऊपरी हिस्सा जल्दी खराब हो जाता है।
समर्थन नींव का टूटना रैक के साथ इसके गलत संरेखण के परिणामस्वरूप भी हो सकता है, जो बड़े पैमाने पर झुकने का कारण बनता है। इसी तरह की टूट-फूट तब हो सकती है जब नींव का आधार भूजल से बह जाता है और अपनी ऊर्ध्वाधर स्थिति से विचलित हो जाता है।
स्वीकृति प्रक्रिया के दौरान, 220 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों, 330 केवी सिंगल-सर्किट ओवरहेड लाइनों के धातु समर्थन के लिए एफपी2.7x2.7-ए नींव की डिजाइन, बिछाने की गहराई, कंक्रीट की गुणवत्ता, के अनुपालन के लिए जांच की जाती है। कार्यशील सुदृढीकरण और लंगर बोल्ट की वेल्डिंग, आक्रामक पानी की कार्रवाई के खिलाफ सुरक्षा की उपस्थिति और गुणवत्ता। नींव के ऊर्ध्वाधर निशानों को मापा जाता है और टेम्पलेट के अनुसार एंकर बोल्ट के स्थान की जाँच की जाती है। यदि मानकों के साथ कोई गैर-अनुपालन पाया जाता है, तो गड्ढों को भरने से पहले सभी दोष समाप्त कर दिए जाते हैं। जिन नींवों के ऊपरी हिस्से में कंक्रीट उखड़ गई है और सुदृढीकरण खुला हुआ है, उनकी मरम्मत की जाती है। ऐसा करने के लिए, 10-20 सेमी मोटा एक कंक्रीट फ्रेम स्थापित किया जाता है, जिसे जमीनी स्तर से 20-30 सेमी नीचे दबा दिया जाता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि ऊर्जा निर्माण स्लैग कंक्रीट से बने फ्रेम की अनुमति नहीं देता है, क्योंकि स्लैग में मिश्रण होता है। सल्फर, जो सुदृढीकरण और एंकरों के तीव्र क्षरण का कारण बनता है नींव (अखंड सहित) को अधिक महत्वपूर्ण क्षति के मामले में, क्षतिग्रस्त हिस्से को मुख्य नींव के सुदृढीकरण के लिए वेल्डेड सुदृढीकरण के साथ कवर किया जाता है, और फॉर्मवर्क की स्थापना के बाद इसे कंक्रीट किया जाता है।
