व्याख्यान 6. कार्यों के अध्ययन के लिए व्युत्पन्नों का अनुप्रयोग

यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स) खंड के प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न है [ ए, बी], तो व्युत्पन्न का उपयोग करके इसके व्यवहार का अध्ययन किया जा सकता है एफ"(एक्स).

आइए अंतर कलन के मूल प्रमेयों को देखें जो व्युत्पन्न अनुप्रयोगों को रेखांकित करते हैं।

फ़र्मेट का प्रमेय

प्रमेय(खेत) ( शून्य से व्युत्पन्न की समानता के बारे में ). यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स), अंतराल पर अवकलनीय (ए, बी) और बिंदु c पर अपने सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक पहुँच जाता है є ( ए, बी), तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है, अर्थात। एफ"(साथ) = 0.

सबूत. कार्य करने दो एफ(एक्स) अंतराल पर अवकलनीय है ( ए, बी) और बिंदु पर एक्स = साथसबसे बड़ा मूल्य लेता है एमपर साथ є ( ए, बी) (चित्र 1), अर्थात्।

एफ(साथ) ≥ एफ(एक्स) या एफ(एक्स) – एफ(सी) ≤ 0 या एफ(एस+Δ एक्स) – एफ(साथ) ≤ 0.

यौगिक एफ"(एक्स) बिंदु पर एक्स = साथ: .

अगर एक्स> सी, Δ एक्स> 0 (अर्थात Δ एक्स→ बिंदु के दाईं ओर 0 साथ), वह और इसलिए एफ"(साथ) ≤ 0.

अगर एक्स< с , Δ एक्स< 0 (т.е. Δएक्स→ बिंदु के बाईं ओर 0 साथ), वह , जिससे यह अनुसरण होता है एफ"(साथ) ≥ 0.

शर्त से एफ(एक्स) बिंदु पर अवकलनीय है साथ, इसलिए, इसकी सीमा एक्स→ साथतर्क के दृष्टिकोण की दिशा की पसंद पर निर्भर नहीं करता है एक्समुद्दे पर साथ, अर्थात। .

हम एक प्रणाली प्राप्त करते हैं जिससे यह अनुसरण करता है एफ"(साथ) = 0.

यदि एफ(साथ) = टी(वे। एफ(एक्स) बिंदु पर लेता है साथसबसे छोटा मान), प्रमाण समान है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

फ़र्मेट के प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ: अंतराल के भीतर प्राप्त सबसे बड़े या सबसे छोटे मान के बिंदु पर, फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है।

फ़ाइल FERMA-KDVar © एन. एम. कोज़ी, 2008

यूक्रेन का प्रमाणपत्र क्रमांक 27312

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का संक्षिप्त प्रमाण

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय इस प्रकार तैयार किया गया है: डायोफैंटाइन समीकरण (http://soluvel.okis.ru/evrik.html):

ए एन + बी एन = सी एन * /1/

कहाँ एन- दो से बड़े धनात्मक पूर्णांक का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं होता ए , बी , साथ .

सबूत

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के सूत्रीकरण से यह निम्नानुसार है: यदि एनएक धनात्मक पूर्णांक दो से बड़ा है, बशर्ते कि तीन में से दो संख्याएँ हों ए , मेंया साथ- धनात्मक पूर्णांक, इनमें से एक संख्या धनात्मक पूर्णांक नहीं है।

हम अंकगणित के मौलिक प्रमेय के आधार पर प्रमाण का निर्माण करते हैं, जिसे "गुणनखंडन की विशिष्टता प्रमेय" या "मिश्रित पूर्णांकों के गुणनखंडन की विशिष्टता का प्रमेय" कहा जाता है। विषम और सम घातांक संभव हैं एन . आइए दोनों मामलों पर विचार करें।

1. केस एक: प्रतिपादक एन - विषम संख्या।

इस मामले में, अभिव्यक्ति /1/ को ज्ञात सूत्रों के अनुसार निम्नानुसार रूपांतरित किया जाता है:

ए एन + में एन = साथ एन /2/

ऐसा हमारा विश्वास है एऔर बी- सकारात्मक पूर्णांक।

नंबर ए , मेंऔर साथपरस्पर अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए।

समीकरण /2/ से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्याओं के दिए गए मानों के लिए एऔर बीकारक ( ए + बी ) एन , साथ।

चलिए मान लेते हैं कि संख्या साथ -सकारात्मक पूर्णांक। स्वीकृत शर्तों और अंकगणित के मौलिक प्रमेय को ध्यान में रखते हुए शर्त पूरी होनी चाहिए :

साथ एन = ए एन + बी एन =(ए+बी) एन ∙ डी एन, / 3/

कारक कहां है डीएन डी

समीकरण /3/ से यह इस प्रकार है:

समीकरण /3/ से यह भी पता चलता है कि संख्या [ सीएन = एक + बटालियन ] बशर्ते कि संख्या साथ ( ए + बी ) एन. हालाँकि, यह ज्ञात है कि:

एक + बटालियन < ( ए + बी ) एन /5/

इस तरह:

- एक से कम भिन्नात्मक संख्या। /6/

एक भिन्नात्मक संख्या.

एन

विषम घातांक के लिए एन >2 संख्या:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

समीकरण /2/ के विश्लेषण से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक विषम घातांक के लिए एनसंख्या:

साथ एन = ए एन + में एन = (ए+बी)

इसमें दो विशिष्ट बीजीय गुणनखंड होते हैं, और घातांक के किसी भी मान के लिए एनबीजगणितीय कारक अपरिवर्तित रहता है ( ए + बी ).

इस प्रकार, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय में विषम घातांक के लिए सकारात्मक पूर्णांक में कोई समाधान नहीं है एन >2.

2. केस दो: प्रतिपादक एन - सम संख्या .

यदि हम समीकरण /1/ को इस प्रकार पुनः लिखें तो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का सार नहीं बदलेगा:

एक = सीएन - बटालियन /7/

इस मामले में, समीकरण /7/ इस प्रकार रूपांतरित होता है:

ए एन = सी एन - बी एन = ( साथ +बी)∙(सी एन-1 + सी एन-2 · बी+ सी एन-3 ∙ बी 2 +…+ सी ∙ बटालियन -2 + बटालियन -1 ). /8/

हम इसे स्वीकार करते हैं साथऔर में- पूर्ण संख्याएं।

समीकरण /8/ से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्याओं के दिए गए मानों के लिए बीऔर सीकारक (सी+ बी ) घातांक के किसी भी मान के लिए समान मान होता है एन , इसलिए यह संख्या का भाजक है ए .

चलिए मान लेते हैं कि संख्या ए- पूर्णांक। स्वीकृत शर्तों और अंकगणित के मौलिक प्रमेय को ध्यान में रखते हुए शर्त पूरी होनी चाहिए :

ए एन = सी एन - बटालियन =(सी+ बी ) एन ∙ डीएन , / 9/

कारक कहां है डीएनएक पूर्णांक होना चाहिए और इसलिए संख्या डीएक पूर्णांक भी होना चाहिए.

समीकरण /9/ से यह इस प्रकार है:

/10/

समीकरण /9/ से यह भी पता चलता है कि संख्या [ ए एन = साथ एन - बटालियन ] बशर्ते कि संख्या ए- एक पूर्णांक, एक संख्या से विभाज्य होना चाहिए (सी+ बी ) एन. हालाँकि, यह ज्ञात है कि:

साथ एन - बटालियन < (С+ बी ) एन /11/

इस तरह:

- एक से कम भिन्नात्मक संख्या। /12/

एक भिन्नात्मक संख्या.

यह घातांक के विषम मान के लिए इसका अनुसरण करता है एनफ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण /1/ का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

सम घातांक के लिए एन >2 संख्या:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

इस प्रकार, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का धनात्मक पूर्णांकों और सम घातांकों में कोई समाधान नहीं है एन >2.

सामान्य निष्कर्ष उपरोक्त से इस प्रकार है: फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण /1/ का सकारात्मक पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है ए, बीऔर साथबशर्ते कि घातांक n >2.

अतिरिक्त तर्क

उस मामले में जहां प्रतिपादक एन – सम संख्या, बीजगणितीय अभिव्यक्ति ( सीएन - बटालियन ) बीजगणितीय कारकों में विघटित होता है:

सी 2 – बी 2 =(सी-बी) ∙ (सी+बी); /13/

सी 4 – बी 4 = (सी-बी) ∙ (सी+बी) (सी 2 + बी 2);/14/

सी 6 - बी 6 =(सी-बी) ∙ (सी+बी) · (सी 2-सीबी + बी 2) ∙ (सी 2 +सीबी+ बी 2) ; /15/

सी 8 - बी 8= (सी-बी) ∙ (सी+बी) ∙ (सी 2 + बी 2) ∙ (सी 4 + बी 4)./16/

आइए संख्याओं में उदाहरण दें।

उदाहरण 1: बी=11; सी=35.

सी 2 – बी 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

सी 4 – बी 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

सी 6 – बी 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​​ ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

सी 8 – बी 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

उदाहरण 2: बी=16; सी=25.

सी 2 – बी 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

सी 4 – बी 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

सी 6 – बी 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

सी 8 – बी 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833।

समीकरण /13/, /14/, /15/ और /16/ और संबंधित संख्यात्मक उदाहरणों के विश्लेषण से यह निम्नानुसार है:

किसी दिए गए प्रतिपादक के लिए एन , यदि यह एक सम संख्या है, तो संख्या ए एन = सी एन - बटालियनअच्छी तरह से परिभाषित बीजगणितीय कारकों की एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या में विघटित हो जाता है;

किसी भी प्रतिपादक के लिए एन , यदि यह एक सम संख्या है, तो बीजगणितीय अभिव्यक्ति में ( सीएन - बटालियन ) हमेशा गुणक होते हैं ( सी - बी ) और ( सी + बी ) ;

प्रत्येक बीजीय गुणनखंड एक पूर्णतया निश्चित संख्यात्मक गुणनखंड से मेल खाता है;

दिए गए नंबरों के लिए मेंऔर साथसंख्यात्मक गुणनखंड अभाज्य संख्याएँ या मिश्रित संख्यात्मक गुणनखंड हो सकते हैं;

प्रत्येक समग्र संख्यात्मक कारक अभाज्य संख्याओं का एक उत्पाद है जो अन्य समग्र संख्यात्मक कारकों से आंशिक रूप से या पूरी तरह से अनुपस्थित है;

समग्र संख्यात्मक कारकों की संरचना में अभाज्य संख्याओं का आकार इन कारकों की वृद्धि के साथ बढ़ता है;

सबसे बड़े बीजगणितीय कारक के अनुरूप सबसे बड़े समग्र संख्यात्मक कारक में घातांक से कम शक्ति वाली सबसे बड़ी अभाज्य संख्या शामिल होती है एन(अक्सर पहली डिग्री में)।

निष्कर्ष: अतिरिक्त साक्ष्य इस निष्कर्ष का समर्थन करते हैं कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का सकारात्मक पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है।

यांत्रिक इंजीनियर

क्वेरी की लोकप्रियता को देखते हुए "फर्मेट का प्रमेय - लघु प्रमाण"यह गणितीय समस्या वास्तव में कई लोगों को रुचिकर लगती है। यह प्रमेय पहली बार 1637 में पियरे डी फ़र्मेट द्वारा अंकगणित की एक प्रति के किनारे पर कहा गया था, जहाँ उन्होंने दावा किया था कि उनके पास एक समाधान है जो किनारे पर फिट होने के लिए बहुत बड़ा है।

पहला सफल प्रमाण 1995 में प्रकाशित हुआ था, जो एंड्रयू विल्स द्वारा फ़र्मेट के प्रमेय का पूर्ण प्रमाण था। इसे "आश्चर्यजनक प्रगति" के रूप में वर्णित किया गया और विल्स को 2016 में एबेल पुरस्कार प्राप्त हुआ। जबकि अपेक्षाकृत संक्षेप में वर्णित किया गया है, फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण ने मॉड्यूलरिटी प्रमेय को भी साबित कर दिया है और मॉड्यूलरिटी बढ़ाने के लिए कई अन्य समस्याओं और प्रभावी तरीकों के लिए नए दृष्टिकोण खोले हैं। इन उपलब्धियों ने गणित को 100 वर्ष आगे बढ़ा दिया। फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का प्रमाण आज कोई सामान्य बात नहीं है।

अनसुलझी समस्या ने 19वीं शताब्दी में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के विकास और 20वीं शताब्दी में मॉड्यूलरिटी प्रमेय के प्रमाण की खोज को प्रेरित किया। यह गणित के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय प्रमेयों में से एक है और, विभाजन द्वारा फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के पूर्ण प्रमाण से पहले, यह "सबसे कठिन गणितीय समस्या" के रूप में गिनीज बुक ऑफ़ रिकॉर्ड्स में था, जिसकी विशेषताओं में से एक है कि इसमें असफल प्रमाणों की संख्या सबसे अधिक है।

ऐतिहासिक सन्दर्भ

पायथागॉरियन समीकरण x 2 + y 2 = z 2 में x, y और z के लिए अनंत संख्या में सकारात्मक पूर्णांक समाधान हैं। इन समाधानों को पाइथागोरस ट्रिनिटीज़ के रूप में जाना जाता है। 1637 के आसपास, फ़र्मेट ने एक पुस्तक के हाशिये पर लिखा था कि अधिक सामान्य समीकरण a n + b n = c n का प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं था यदि n 2 से बड़ा पूर्णांक था। हालाँकि फ़र्मेट ने स्वयं अपनी समस्या का समाधान होने का दावा किया था, लेकिन उन्होंने ऐसा किया उसके प्रमाण के बारे में कोई विवरण न छोड़ें। फ़र्मेट के प्रमेय का प्राथमिक प्रमाण, इसके निर्माता द्वारा बताया गया, बल्कि उनका घमंडी आविष्कार था। महान फ्रांसीसी गणितज्ञ की किताब उनकी मृत्यु के 30 साल बाद खोजी गई थी। यह समीकरण, जिसे फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय कहा जाता है, गणित में साढ़े तीन शताब्दियों तक अनसुलझा रहा।

यह प्रमेय अंततः गणित की सबसे उल्लेखनीय अनसुलझी समस्याओं में से एक बन गया। इसे सिद्ध करने के प्रयासों से संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण विकास हुआ और समय के साथ, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय गणित में एक अनसुलझी समस्या के रूप में जाना जाने लगा।

साक्ष्य का संक्षिप्त इतिहास

यदि n = 4, जैसा कि फ़र्मेट ने स्वयं सिद्ध किया है, तो यह सूचकांक n के लिए प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है, जो अभाज्य संख्याएँ हैं। अगली दो शताब्दियों (1637-1839) में अनुमान केवल अभाज्य संख्याओं 3, 5 और 7 के लिए सिद्ध हुआ था, हालाँकि सोफी जर्मेन ने एक दृष्टिकोण को अद्यतन किया और सिद्ध किया जो अभाज्य संख्याओं के पूरे वर्ग पर लागू होता था। 19वीं सदी के मध्य में, अर्न्स्ट कुमेर ने इस पर विस्तार किया और सभी नियमित अभाज्यों के लिए प्रमेय को सिद्ध किया, जिससे अनियमित अभाज्यों का व्यक्तिगत रूप से विश्लेषण किया जा सका। कुमेर के काम के आधार पर और परिष्कृत कंप्यूटर अनुसंधान का उपयोग करके, अन्य गणितज्ञ प्रमेय के समाधान का विस्तार करने में सक्षम थे, जिसका लक्ष्य चार मिलियन तक के सभी प्रमुख प्रतिपादकों को कवर करना था, लेकिन सभी प्रतिपादकों के लिए प्रमाण अभी भी अनुपलब्ध था (जिसका अर्थ है कि गणितज्ञ आमतौर पर समाधान पर विचार करते थे) प्रमेय को असंभव, अत्यंत कठिन, या वर्तमान ज्ञान के साथ अप्राप्य)।

शिमुरा और तानियामा द्वारा कार्य

1955 में, जापानी गणितज्ञ गोरो शिमुरा और युताका तानियामा को संदेह था कि अण्डाकार वक्र और मॉड्यूलर रूपों, गणित के दो पूरी तरह से अलग क्षेत्रों के बीच एक संबंध था। उस समय तानियामा-शिमुरा-वेइल अनुमान के रूप में जाना जाता था और (अंततः) मॉड्यूलरिटी प्रमेय के रूप में जाना जाता था, यह अपने दम पर खड़ा था, जिसका फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय से कोई स्पष्ट संबंध नहीं था। इसे व्यापक रूप से अपने आप में एक महत्वपूर्ण गणितीय प्रमेय माना जाता था, लेकिन इसे साबित करना असंभव माना जाता था (फर्मेट के प्रमेय की तरह)। उसी समय, फ़र्मेट के महान प्रमेय का प्रमाण (विभाजन की विधि और जटिल गणितीय सूत्रों के उपयोग द्वारा) केवल आधी सदी बाद किया गया था।

1984 में, गेरहार्ड फ्रे ने इन दोनों पहले से असंबद्ध और अनसुलझे समस्याओं के बीच एक स्पष्ट संबंध देखा। पूर्ण प्रमाण कि दोनों प्रमेय निकट रूप से संबंधित थे, 1986 में केन रिबेट द्वारा प्रकाशित किया गया था, जिन्होंने जीन-पियरे सेरेस द्वारा आंशिक प्रमाण बनाया था, जिन्होंने एक भाग को छोड़कर सभी को साबित किया था, जिसे "एप्सिलॉन अनुमान" के रूप में जाना जाता है। सीधे शब्दों में कहें तो, फ्रे, सेरेस और रिबे के इन कार्यों से पता चला कि यदि मॉड्यूलरिटी प्रमेय को कम से कम अण्डाकार वक्रों के एक अर्ध-स्थिर वर्ग के लिए सिद्ध किया जा सकता है, तो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण भी देर-सबेर खोज लिया जाएगा। कोई भी समाधान जो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का खंडन कर सकता है, उसका उपयोग मॉड्यूलरिटी प्रमेय का खंडन करने के लिए भी किया जा सकता है। इसलिए, यदि मॉड्यूलरिटी प्रमेय सत्य निकला, तो परिभाषा के अनुसार ऐसा कोई समाधान नहीं हो सकता जो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का खंडन करता हो, जिसका अर्थ है कि इसे जल्द ही सिद्ध किया जाना चाहिए था।

हालाँकि दोनों प्रमेय गणित में कठिन समस्याएँ थीं, जिन्हें हल नहीं किया जा सकता था, दो जापानियों का काम इस बात का पहला सुझाव था कि कैसे फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को केवल कुछ ही नहीं, बल्कि सभी संख्याओं के लिए बढ़ाया और सिद्ध किया जा सकता है। अनुसंधान विषय चुनने वाले शोधकर्ताओं के लिए महत्वपूर्ण तथ्य यह था कि, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विपरीत, मॉड्यूलरिटी प्रमेय अनुसंधान का एक प्रमुख सक्रिय क्षेत्र था जिसके लिए एक प्रमाण विकसित किया गया था, न कि केवल एक ऐतिहासिक विषमता, इसलिए समय व्यतीत हुआ पेशेवर दृष्टिकोण से इस पर काम करना उचित हो सकता है। हालाँकि, आम सहमति यह थी कि तानियामा-शिमुरा अनुमान को हल करना व्यावहारिक नहीं था।

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय: विल्स का प्रमाण

यह जानने के बाद कि रिबेट ने फ्रे के सिद्धांत को सही साबित कर दिया है, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्स, जो बचपन से ही फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय में रुचि रखते थे और अण्डाकार वक्रों और संबंधित क्षेत्रों के साथ काम करने का अनुभव रखते थे, ने तानियामा-शिमुरा अनुमान को एक तरीके के रूप में साबित करने का प्रयास करने का फैसला किया। फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध करें। 1993 में, अपने लक्ष्य की घोषणा करने के छह साल बाद, गुप्त रूप से प्रमेय को हल करने की समस्या पर काम करते हुए, विल्स एक संबंधित अनुमान को साबित करने में कामयाब रहे, जो बदले में उन्हें फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करने में मदद करेगा। विल्स का दस्तावेज़ आकार और दायरे में बहुत बड़ा था।

सहकर्मी समीक्षा के दौरान उनके मूल पेपर के एक हिस्से में दोष का पता चला था और प्रमेय को संयुक्त रूप से हल करने के लिए रिचर्ड टेलर के साथ एक और वर्ष के सहयोग की आवश्यकता थी। परिणामस्वरूप, विल्स का फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का अंतिम प्रमाण आने में अधिक समय नहीं लगा। 1995 में, इसे विल्स के पिछले गणितीय कार्य की तुलना में बहुत छोटे पैमाने पर प्रकाशित किया गया था, जिससे स्पष्ट रूप से पता चलता है कि प्रमेय को सिद्ध करने की संभावना के बारे में अपने पिछले निष्कर्षों में उनसे गलती नहीं हुई थी। विल्स की उपलब्धि को लोकप्रिय प्रेस में व्यापक रूप से रिपोर्ट किया गया और किताबों और टेलीविजन कार्यक्रमों में लोकप्रिय बनाया गया। तानियामा-शिमुरा-वेइल अनुमान के शेष भाग, जो अब सिद्ध हो चुके हैं और मॉड्यूलरिटी प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं, बाद में अन्य गणितज्ञों द्वारा सिद्ध किए गए, जिन्होंने 1996 और 2001 के बीच विल्स के काम पर निर्माण किया। उनकी उपलब्धि के लिए, विल्स को सम्मानित किया गया और 2016 एबेल पुरस्कार सहित कई पुरस्कार प्राप्त हुए।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण अण्डाकार वक्रों के लिए मॉड्यूलरिटी प्रमेय के समाधान का एक विशेष मामला है। हालाँकि, यह इतने बड़े पैमाने के गणितीय ऑपरेशन का सबसे प्रसिद्ध मामला है। रिबेट के प्रमेय को हल करने के साथ-साथ ब्रिटिश गणितज्ञ ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण भी प्राप्त किया। फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय और मॉड्यूलैरिटी प्रमेय को आधुनिक गणितज्ञों द्वारा लगभग सार्वभौमिक रूप से अप्रमाणित माना जाता था, लेकिन एंड्रयू विल्स पूरे वैज्ञानिक जगत के सामने यह साबित करने में सक्षम थे कि पंडित भी गलत हो सकते हैं।

विल्स ने पहली बार अपनी खोज की घोषणा बुधवार 23 जून 1993 को कैम्ब्रिज में "मॉड्यूलर फॉर्म्स, एलिप्टिक कर्व्स और गैलोइस रिप्रेजेंटेशन" नामक एक व्याख्यान में की थी। हालाँकि, सितंबर 1993 में यह निर्धारित किया गया कि उनकी गणना में त्रुटि थी। एक साल बाद, 19 सितंबर, 1994 को, जिसे वे "अपने कामकाजी जीवन का सबसे महत्वपूर्ण क्षण" कहते थे, विल्स को एक रहस्योद्घाटन हुआ जिसने उन्हें समस्या के समाधान को उस बिंदु तक सही करने की अनुमति दी जहां यह गणितीय को संतुष्ट कर सकता था। समुदाय।

कार्य की विशेषताएँ

एंड्रयू विल्स के फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण में बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत की कई तकनीकों का उपयोग किया गया है और गणित के इन क्षेत्रों में इसके कई प्रभाव हैं। वह आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति के मानक निर्माणों का भी उपयोग करता है, जैसे कि योजनाओं की श्रेणी और इवासावा सिद्धांत, साथ ही 20 वीं शताब्दी की अन्य विधियां जो पियरे फ़र्मेट के लिए उपलब्ध नहीं थीं।

साक्ष्य वाले दोनों लेख कुल 129 पृष्ठों के हैं और सात वर्षों में लिखे गए थे। जॉन कोट्स ने इस खोज को संख्या सिद्धांत की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक बताया और जॉन कॉनवे ने इसे 20वीं सदी की मुख्य गणितीय उपलब्धि बताया। विल्स ने सेमीस्टेबल अण्डाकार वक्रों के विशेष मामले के लिए मॉड्यूलरिटी प्रमेय को साबित करके फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करने के लिए, मॉड्यूलरिटी को उठाने के लिए शक्तिशाली तरीके विकसित किए और कई अन्य समस्याओं के लिए नए दृष्टिकोण की खोज की। फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को हल करने के लिए उन्हें नाइट की उपाधि दी गई और अन्य पुरस्कार प्राप्त हुए। जब यह घोषणा की गई कि विल्स ने एबेल पुरस्कार जीता है, तो नॉर्वेजियन एकेडमी ऑफ साइंसेज ने उनकी उपलब्धि को "फर्मेट के अंतिम प्रमेय का एक अद्भुत और प्राथमिक प्रमाण" बताया।

यह कैसे था

प्रमेय के समाधान की विल्स की मूल पांडुलिपि का विश्लेषण करने वाले लोगों में से एक निक काट्ज़ थे। अपनी समीक्षा के दौरान, उन्होंने ब्रिटन से कई स्पष्ट प्रश्न पूछे, जिसने विल्स को यह स्वीकार करने के लिए मजबूर किया कि उनके काम में स्पष्ट रूप से एक अंतर था। प्रमाण के एक महत्वपूर्ण भाग में एक त्रुटि थी जो एक विशेष समूह के आदेश का अनुमान देता था: कोलिवागिन और फ्लैच विधि का विस्तार करने के लिए उपयोग की जाने वाली यूलर प्रणाली अधूरी थी। हालाँकि, गलती ने उनके काम को बेकार नहीं किया - विल्स के काम का प्रत्येक भाग अपने आप में बहुत महत्वपूर्ण और अभिनव था, जैसे कि उनके काम के दौरान उनके द्वारा बनाए गए कई विकास और तरीके थे और जिन्होंने केवल एक हिस्से को प्रभावित किया था। पांडुलिपि. हालाँकि, 1993 में प्रकाशित यह मूल कार्य वास्तव में फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण प्रदान नहीं करता था।

विल्स ने प्रमेय के समाधान को फिर से खोजने की कोशिश में लगभग एक साल बिताया, पहले अकेले और फिर अपने पूर्व छात्र रिचर्ड टेलर के साथ मिलकर, लेकिन सब व्यर्थ लग रहा था। 1993 के अंत तक, अफवाहें फैल गई थीं कि विल्स का प्रमाण परीक्षण में विफल हो गया था, लेकिन विफलता कितनी गंभीर थी यह ज्ञात नहीं था। गणितज्ञों ने विल्स पर अपने काम का विवरण प्रकट करने के लिए दबाव डालना शुरू कर दिया, चाहे वह पूरा हो गया हो या नहीं, ताकि गणितज्ञों का व्यापक समुदाय उनके द्वारा हासिल की गई सभी चीज़ों का पता लगा सके और उनका उपयोग कर सके। अपनी गलती को तुरंत सुधारने के बजाय, विल्स ने केवल फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में अतिरिक्त जटिलताओं की खोज की, और अंततः महसूस किया कि यह कितना कठिन था।

विल्स का कहना है कि 19 सितंबर, 1994 की सुबह, वह हार मानने की कगार पर थे और उन्होंने लगभग इस तथ्य को स्वीकार कर लिया था कि वह असफल हो गए हैं। वह अपने अधूरे काम को प्रकाशित करने के इच्छुक थे ताकि अन्य लोग उस पर काम कर सकें और पता लगा सकें कि उनसे कहां गलती हुई है। अंग्रेजी गणितज्ञ ने खुद को एक आखिरी मौका देने का फैसला किया और अपने दृष्टिकोण के काम न करने के मुख्य कारणों को समझने की कोशिश करने के लिए आखिरी बार प्रमेय का विश्लेषण किया, जब उन्हें अचानक एहसास हुआ कि कोल्यवागिन-फ्लैक दृष्टिकोण तब तक काम नहीं करेगा जब तक कि वह इसमें प्रमाण भी शामिल नहीं करते। इवासावा के सिद्धांत की प्रक्रिया, इसे कार्यान्वित करती है।

6 अक्टूबर को, विल्स ने अपने तीन सहयोगियों (फाल्टिंस सहित) से अपने नए काम की समीक्षा करने के लिए कहा, और 24 अक्टूबर, 1994 को, उन्होंने दो पांडुलिपियाँ प्रस्तुत कीं, "मॉड्यूलर अण्डाकार वक्र और फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय" और "कुछ हेके बीजगणित की अंगूठी के सैद्धांतिक गुण" ", जिसमें से दूसरा विल्स ने टेलर के साथ लिखा और तर्क दिया कि मुख्य लेख में सही कदम को उचित ठहराने के लिए आवश्यक कुछ शर्तें पूरी की गईं।

इन दोनों पेपरों की समीक्षा की गई और अंततः एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स के मई 1995 अंक में पूर्ण-पाठ संस्करण के रूप में प्रकाशित किया गया। एंड्रयू की नई गणनाओं का व्यापक रूप से विश्लेषण किया गया और अंततः वैज्ञानिक समुदाय द्वारा स्वीकार किया गया। इन कार्यों ने सेमीस्टेबल अण्डाकार वक्रों के लिए मॉड्यूलरिटी प्रमेय की स्थापना की, जो कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करने की दिशा में अंतिम चरण था, इसके निर्माण के 358 साल बाद।

महान समस्या का इतिहास

इस प्रमेय को हल करना कई सदियों से गणित की सबसे बड़ी समस्या मानी जाती रही है। 1816 में और फिर 1850 में, फ्रांसीसी विज्ञान अकादमी ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के सामान्य प्रमाण के लिए पुरस्कार की पेशकश की। 1857 में, अकादमी ने कुमेर को आदर्श संख्याओं पर उनके शोध के लिए 3,000 फ़्रैंक और एक स्वर्ण पदक से सम्मानित किया, हालाँकि उन्होंने पुरस्कार के लिए आवेदन नहीं किया था। 1883 में ब्रुसेल्स अकादमी द्वारा उन्हें एक और पुरस्कार प्रदान किया गया।

वोल्फस्केहल पुरस्कार

1908 में, जर्मन उद्योगपति और शौकिया गणितज्ञ पॉल वोल्फस्केहल ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के पूर्ण प्रमाण के लिए पुरस्कार के रूप में गौटिंगेन एकेडमी ऑफ साइंसेज को 100,000 स्वर्ण चिह्न (उस समय के लिए एक बड़ी राशि) दिए। 27 जून, 1908 को अकादमी ने नौ पुरस्कार नियम प्रकाशित किये। अन्य बातों के अलावा, इन नियमों के लिए सहकर्मी-समीक्षा पत्रिका में साक्ष्य के प्रकाशन की आवश्यकता थी। प्रकाशन के दो साल बाद तक पुरस्कार नहीं दिया जाना था। प्रतियोगिता 13 सितंबर 2007 को समाप्त होने वाली थी - इसके शुरू होने के लगभग एक सदी बाद। 27 जून 1997 को, विल्स को वोल्फशेल की पुरस्कार राशि और फिर 50,000 डॉलर मिले। मार्च 2016 में, उन्हें "अर्धस्थिर अण्डाकार वक्रों के लिए मॉड्यूलरिटी अनुमान का उपयोग करके फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के आश्चर्यजनक प्रमाण, संख्या सिद्धांत में एक नए युग की शुरुआत" के लिए एबेल पुरस्कार के हिस्से के रूप में नॉर्वेजियन सरकार से €600,000 प्राप्त हुए। यह विनम्र अंग्रेज के लिए एक विश्व विजय थी।

विल्स के प्रमाण से पहले, फ़र्मेट का प्रमेय, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, सदियों तक बिल्कुल अघुलनशील माना जाता था। वोल्फस्केहल की समिति को विभिन्न समय पर हजारों गलत साक्ष्य प्रस्तुत किए गए, जो लगभग 10 फीट (3 मीटर) पत्राचार के बराबर थे। अकेले पुरस्कार के अस्तित्व के पहले वर्ष (1907-1908) में, प्रमेय को हल करने का दावा करते हुए 621 आवेदन प्रस्तुत किए गए थे, हालांकि 1970 के दशक तक यह संख्या घटकर लगभग 3-4 आवेदन प्रति माह हो गई थी। वुल्फशेल के समीक्षक एफ. श्लिचिंग के अनुसार, अधिकांश साक्ष्य स्कूलों में पढ़ाए जाने वाले अल्पविकसित तरीकों पर आधारित थे और अक्सर "तकनीकी पृष्ठभूमि वाले लेकिन असफल करियर वाले लोगों" द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। गणित के इतिहासकार हॉवर्ड एव्स के अनुसार, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय ने एक प्रकार का रिकॉर्ड स्थापित किया - यह सबसे गलत प्रमाणों वाला प्रमेय है।

फ़र्मेट लॉरेल्स जापानियों के पास गया

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, 1955 के आसपास, जापानी गणितज्ञ गोरो शिमुरा और युताका तानियामा ने गणित की दो स्पष्ट रूप से पूरी तरह से अलग शाखाओं - अण्डाकार वक्र और मॉड्यूलर रूपों के बीच एक संभावित संबंध की खोज की। उनके शोध से परिणामी मॉड्यूलरिटी प्रमेय (जिसे तब तानियामा-शिमुरा अनुमान के रूप में जाना जाता था) में कहा गया है कि प्रत्येक अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर है, जिसका अर्थ है कि इसे एक अद्वितीय मॉड्यूलर रूप से जोड़ा जा सकता है।

शुरुआत में सिद्धांत को असंभावित या अत्यधिक अटकलबाजी के रूप में खारिज कर दिया गया था, लेकिन जब संख्या सिद्धांतकार आंद्रे वेइल को जापानियों के निष्कर्षों का समर्थन करने के लिए सबूत मिले तो इसे और अधिक गंभीरता से लिया गया। परिणामस्वरूप, अनुमान को अक्सर तानियामा-शिमुरा-वील अनुमान कहा जाता था। यह लैंगलैंड्स कार्यक्रम का हिस्सा बन गया, जो महत्वपूर्ण परिकल्पनाओं की एक सूची है जिसके लिए भविष्य में प्रमाण की आवश्यकता होती है।

गंभीरता से ध्यान देने के बाद भी, अनुमान को आधुनिक गणितज्ञों द्वारा सिद्ध करना अत्यंत कठिन या शायद असंभव माना गया। अब यही वह प्रमेय है जो एंड्रयू विल्स का इंतजार कर रहा है, जो इसके समाधान से पूरी दुनिया को आश्चर्यचकित कर सकता है।

फ़र्मेट का प्रमेय: पेरेलमैन का प्रमाण

लोकप्रिय मिथक के बावजूद, रूसी गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन का, अपनी सारी प्रतिभा के बावजूद, फ़र्मेट के प्रमेय से कोई लेना-देना नहीं है। हालाँकि, यह किसी भी तरह से वैज्ञानिक समुदाय के लिए उनकी असंख्य सेवाओं में कमी नहीं लाता है।

तो, 1637 में प्रतिभाशाली फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट द्वारा तैयार किया गया फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय (जिसे अक्सर फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय कहा जाता है), प्रकृति में बहुत सरल है और माध्यमिक शिक्षा वाले किसी भी व्यक्ति के लिए समझने योग्य है। यह कहता है कि सूत्र a से n की घात + b से n की घात = c से n की घात तक n > 2 के लिए प्राकृतिक (अर्थात् भिन्नात्मक नहीं) समाधान नहीं है। सब कुछ सरल और स्पष्ट लगता है, लेकिन सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों और सामान्य शौकीनों ने साढ़े तीन शताब्दियों से अधिक समय तक इसका समाधान खोजने के लिए संघर्ष किया।

वह इतनी प्रसिद्ध क्यों है? अब हम पता लगाएंगे...



क्या ऐसे कई सिद्ध, अप्रमाणित और अभी तक अप्रमाणित प्रमेय हैं? यहाँ मुद्दा यह है कि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सूत्रीकरण की सरलता और प्रमाण की जटिलता के बीच सबसे बड़े अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय एक अविश्वसनीय रूप से कठिन समस्या है, और फिर भी इसके सूत्रीकरण को हाई स्कूल की 5वीं कक्षा वाला कोई भी व्यक्ति समझ सकता है, लेकिन हर पेशेवर गणितज्ञ भी इसके प्रमाण को नहीं समझ सकता है। न तो भौतिकी में, न रसायन विज्ञान में, न जीव विज्ञान में, न ही गणित में, एक भी समस्या ऐसी है जिसे इतनी सरलता से तैयार किया जा सकता है, लेकिन इतने लंबे समय तक अनसुलझा रहा। 2. इसमें क्या शामिल है?

आइए पायथागॉरियन पैंट से शुरुआत करें - शब्दांकन वास्तव में सरल है - पहली नज़र में। जैसा कि हम बचपन से जानते हैं, "पायथागॉरियन पैंट हर तरफ से बराबर हैं।" समस्या इतनी सरल लगती है क्योंकि यह एक गणितीय कथन पर आधारित थी जिसे हर कोई जानता है - पायथागॉरियन प्रमेय: किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। पाइथागोरस ने पाइथागोरस ब्रदरहुड की स्थापना की। पाइथागोरस ने, अन्य बातों के अलावा, समानता x²+y²=z² को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक त्रिक का अध्ययन किया। उन्होंने साबित किया कि पाइथागोरस त्रिक अनंत हैं और उन्हें खोजने के लिए सामान्य सूत्र प्राप्त हुए। उन्होंने संभवतः सी और उच्चतर डिग्रियों की तलाश करने की कोशिश की। यह मानते हुए कि इससे काम नहीं बना, पाइथागोरस ने अपने बेकार प्रयास छोड़ दिए। भाईचारे के सदस्य गणितज्ञों की तुलना में अधिक दार्शनिक और सौंदर्यवादी थे।


अर्थात्, संख्याओं के ऐसे समूह का चयन करना आसान है जो समानता x²+y²=z² को पूरी तरह से संतुष्ट करता है

3, 4, 5 से शुरू करें - वास्तव में, एक जूनियर छात्र समझता है कि 9 + 16 = 25।

या 5, 12, 13: 25 + 144 = 169। बढ़िया।

और इसी तरह। यदि हम एक समान समीकरण x³+y³=z³ लें तो क्या होगा? शायद ऐसे नंबर भी हों?




और इसी तरह (चित्र 1)।

तो, यह पता चला कि वे नहीं हैं। यहीं से चाल शुरू होती है. सरलता स्पष्ट है, क्योंकि किसी चीज़ की उपस्थिति को नहीं, बल्कि, इसके विपरीत, उसकी अनुपस्थिति को साबित करना मुश्किल है। जब आपको यह साबित करने की आवश्यकता हो कि कोई समाधान है, तो आपको बस यह समाधान प्रस्तुत करना चाहिए।

अनुपस्थिति सिद्ध करना अधिक कठिन है: उदाहरण के लिए, कोई कहता है: फलां समीकरण का कोई हल नहीं है। उसे पोखर में डाल दो? आसान: बाम - और यहाँ यह है, समाधान! (समाधान दीजिए). और बस, प्रतिद्वंद्वी हार गया। अनुपस्थिति कैसे सिद्ध करें?

कहो: "मुझे ऐसे समाधान नहीं मिले"? या शायद आप ठीक नहीं दिख रहे थे? क्या होगा यदि वे अस्तित्व में हैं, केवल बहुत बड़े, बहुत बड़े, जैसे कि एक सुपर-शक्तिशाली कंप्यूटर में भी पर्याप्त ताकत नहीं है? यही तो मुश्किल है.

इसे इस तरह से दिखाया जा सकता है: यदि आप उपयुक्त आकार के दो वर्ग लेते हैं और उन्हें इकाई वर्गों में विभाजित करते हैं, तो इकाई वर्गों के इस समूह से आपको एक तीसरा वर्ग मिलता है (चित्र 2):


लेकिन आइए तीसरे आयाम (चित्र 3) के साथ भी ऐसा ही करें - यह काम नहीं करता है। पर्याप्त घन नहीं हैं, या अतिरिक्त बचे हैं:





लेकिन 17वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फ़र्मेट ने उत्साहपूर्वक सामान्य समीकरण x का अध्ययन किया n +y n =z n . और अंत में, मैंने निष्कर्ष निकाला: n>2 के लिए कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं। फ़र्मेट का प्रमाण अपरिवर्तनीय रूप से खो गया है। पांडुलिपियाँ जल रही हैं! जो कुछ बचा है वह डायोफैंटस के अंकगणित में उनकी टिप्पणी है: "मुझे इस प्रस्ताव का वास्तव में आश्चर्यजनक प्रमाण मिला है, लेकिन इसे शामिल करने के लिए यहां मार्जिन बहुत संकीर्ण है।"

दरअसल, बिना प्रमाण वाले प्रमेय को परिकल्पना कहा जाता है। लेकिन फ़र्मेट की कभी गलती न करने की प्रतिष्ठा है। भले ही उन्होंने किसी बयान का सबूत नहीं छोड़ा हो, बाद में इसकी पुष्टि की गई। इसके अलावा, फ़र्मेट ने n=4 के लिए अपनी थीसिस साबित की। इस प्रकार, फ्रांसीसी गणितज्ञ की परिकल्पना इतिहास में फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के रूप में दर्ज हुई।

फ़र्मेट के बाद, लियोनहार्ड यूलर जैसे महान दिमाग ने प्रमाण की खोज पर काम किया (1770 में उन्होंने n = 3 के लिए एक समाधान प्रस्तावित किया),

एड्रियन लीजेंड्रे और जोहान डिरिचलेट (इन वैज्ञानिकों ने संयुक्त रूप से 1825 में n = 5 के लिए प्रमाण पाया), गेब्रियल लैमे (जिन्होंने n = 7 के लिए प्रमाण पाया) और कई अन्य। पिछली शताब्दी के मध्य 80 के दशक तक, यह स्पष्ट हो गया था कि वैज्ञानिक दुनिया फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के अंतिम समाधान के रास्ते पर थी, लेकिन केवल 1993 में गणितज्ञों ने देखा और विश्वास किया कि प्रमाण की खोज का महाकाव्य तीन शताब्दी का है फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय व्यावहारिक रूप से समाप्त हो गया था।

यह आसानी से दिखाया गया है कि केवल सरल n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... के लिए फ़र्मेट के प्रमेय को सिद्ध करना पर्याप्त है, समग्र n के लिए, प्रमाण वैध रहता है। लेकिन अभाज्य संख्याएँ अपरिमित रूप से अनेक हैं...

1825 में, सोफी जर्मेन की पद्धति का उपयोग करते हुए, महिला गणितज्ञ, डिरिचलेट और लीजेंड्रे ने स्वतंत्र रूप से n=5 के लिए प्रमेय को सिद्ध किया। 1839 में, उसी विधि का उपयोग करके, फ्रांसीसी गेब्रियल लेम ने n=7 के लिए प्रमेय की सच्चाई दिखाई। धीरे-धीरे यह प्रमेय लगभग सौ से कम सभी के लिए सिद्ध हो गया।


अंत में, जर्मन गणितज्ञ अर्न्स्ट कुमेर ने एक शानदार अध्ययन में दिखाया कि सामान्य तौर पर प्रमेय को 19वीं शताब्दी के गणित के तरीकों का उपयोग करके सिद्ध नहीं किया जा सकता है। फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण के लिए 1847 में स्थापित फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज का पुरस्कार पुरस्कार से वंचित रह गया।

1907 में, अमीर जर्मन उद्योगपति पॉल वोल्फस्केहल ने एकतरफा प्यार के कारण अपनी जान लेने का फैसला किया। एक सच्चे जर्मन की तरह, उसने आत्महत्या की तारीख और समय निर्धारित किया: ठीक आधी रात को। आखिरी दिन उन्होंने वसीयत बनाई और दोस्तों और रिश्तेदारों को पत्र लिखे। आधी रात से पहले मामला ख़त्म हो गया. यह कहना होगा कि पॉल को गणित में रुचि थी। कुछ और करने को नहीं होने पर, वह पुस्तकालय गया और कुमेर का प्रसिद्ध लेख पढ़ने लगा। अचानक उसे ऐसा लगा कि कुमेर ने अपने तर्क में गलती कर दी है। वोल्फस्केल ने अपने हाथों में एक पेंसिल लेकर लेख के इस भाग का विश्लेषण करना शुरू किया। आधी रात बीत गई, सुबह हो गई. प्रमाण की कमी पूरी हो गई है. और आत्महत्या का कारण ही अब बिल्कुल हास्यास्पद लगने लगा। पॉल ने अपने विदाई पत्र फाड़ दिए और अपनी वसीयत दोबारा लिखी।

जल्द ही प्राकृतिक कारणों से उनकी मृत्यु हो गई। उत्तराधिकारी काफी आश्चर्यचकित थे: 100,000 अंक (1,000,000 वर्तमान पाउंड स्टर्लिंग से अधिक) रॉयल साइंटिफिक सोसाइटी ऑफ गोटिंगेन के खाते में स्थानांतरित कर दिए गए, जिसने उसी वर्ष वोल्फस्केहल पुरस्कार के लिए एक प्रतियोगिता की घोषणा की। फ़र्मेट के प्रमेय को सिद्ध करने वाले व्यक्ति को 100,000 अंक प्रदान किये गये। प्रमेय का खंडन करने के लिए एक भी पफेनिग प्रदान नहीं किया गया...

अधिकांश पेशेवर गणितज्ञों ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण की खोज को एक निराशाजनक कार्य माना और इस तरह के बेकार अभ्यास पर समय बर्बाद करने से दृढ़ता से इनकार कर दिया। लेकिन शौकीनों को मजा आया। घोषणा के कुछ सप्ताह बाद, गौटिंगेन विश्वविद्यालय में "सबूत" का ढेर लग गया। प्रोफेसर ई.एम. लैंडौ, जिनकी जिम्मेदारी भेजे गए साक्ष्यों का विश्लेषण करने की थी, ने अपने छात्रों को कार्ड वितरित किए:


प्रिय। . . . . . . .

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण के साथ मुझे पांडुलिपि भेजने के लिए धन्यवाद। पहली त्रुटि पृष्ठ पर है... पंक्ति में...। इसके कारण संपूर्ण प्रमाण अपनी वैधता खो देता है।
प्रोफेसर ई. एम. लैंडौ











1963 में, पॉल कोहेन ने गोडेल के निष्कर्षों पर भरोसा करते हुए, हिल्बर्ट की तेईस समस्याओं में से एक - सातत्य परिकल्पना - की अघुलनशीलता को साबित कर दिया। क्या होगा यदि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय भी अनिर्णीत है?! लेकिन सच्चे महान प्रमेय के कट्टरपंथियों को बिल्कुल भी निराशा नहीं हुई। कंप्यूटर के आगमन ने अचानक गणितज्ञों को प्रमाण की एक नई विधि प्रदान की। द्वितीय विश्व युद्ध के बाद, प्रोग्रामर और गणितज्ञों की टीमों ने 500 तक, फिर 1,000 तक और बाद में 10,000 तक n के सभी मानों के लिए फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया।

1980 के दशक में, सैमुअल वागस्टाफ ने सीमा को 25,000 तक बढ़ा दिया, और 1990 के दशक में, गणितज्ञों ने घोषणा की कि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय 4 मिलियन तक के सभी मानों के लिए सत्य था। लेकिन अगर आप अनंत में से एक ट्रिलियन ट्रिलियन भी घटा दें तो वह छोटा नहीं होगा। गणितज्ञ आँकड़ों से आश्वस्त नहीं हैं। महान प्रमेय को सिद्ध करने का मतलब अनंत तक जाकर इसे सभी के लिए सिद्ध करना था।




1954 में, दो युवा जापानी गणितज्ञ मित्रों ने मॉड्यूलर रूपों पर शोध करना शुरू किया। ये फॉर्म संख्याओं की श्रृंखला उत्पन्न करते हैं, प्रत्येक की अपनी श्रृंखला होती है। संयोग से, तानियामा ने इन श्रृंखलाओं की तुलना अण्डाकार समीकरणों द्वारा उत्पन्न श्रृंखलाओं से की। वे मेल खाते थे! लेकिन मॉड्यूलर रूप ज्यामितीय वस्तुएं हैं, और अण्डाकार समीकरण बीजगणितीय हैं। ऐसी विभिन्न वस्तुओं के बीच कभी कोई संबंध नहीं पाया गया है।

हालाँकि, सावधानीपूर्वक परीक्षण के बाद, दोस्तों ने एक परिकल्पना सामने रखी: प्रत्येक अण्डाकार समीकरण में एक जुड़वां - एक मॉड्यूलर रूप होता है, और इसके विपरीत। यह वह परिकल्पना थी जो गणित में संपूर्ण दिशा की नींव बन गई, लेकिन जब तक तानियामा-शिमुरा परिकल्पना सिद्ध नहीं हुई, तब तक पूरी इमारत किसी भी क्षण ढह सकती थी।

1984 में, गेरहार्ड फ्रे ने दिखाया कि फ़र्मेट के समीकरण का समाधान, यदि मौजूद है, तो कुछ अण्डाकार समीकरण में शामिल किया जा सकता है। दो साल बाद, प्रोफेसर केन रिबेट ने साबित कर दिया कि इस काल्पनिक समीकरण का मॉड्यूलर दुनिया में कोई समकक्ष नहीं हो सकता है। अब से, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय तानियामा-शिमुरा अनुमान के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ था। यह साबित करने के बाद कि कोई भी अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि फ़र्मेट के समीकरण के समाधान के साथ कोई अण्डाकार समीकरण नहीं है, और फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय तुरंत सिद्ध हो जाएगा। लेकिन तीस वर्षों तक तानियामा-शिमुरा परिकल्पना को साबित करना संभव नहीं था, और सफलता की उम्मीद कम होती जा रही थी।

1963 में, जब वह केवल दस वर्ष के थे, एंड्रयू विल्स पहले से ही गणित से आकर्षित थे। जब उन्हें महान प्रमेय के बारे में पता चला, तो उन्हें एहसास हुआ कि वह इसे नहीं छोड़ सकते। एक स्कूली छात्र, छात्र और स्नातक छात्र के रूप में, उन्होंने खुद को इस कार्य के लिए तैयार किया।

केन रिबेट के निष्कर्षों के बारे में जानने के बाद, विल्स तानियामा-शिमुरा अनुमान को साबित करने में लग गए। उन्होंने पूर्ण अलगाव और गोपनीयता में काम करने का निर्णय लिया। "मुझे एहसास हुआ कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय से संबंधित हर चीज़ बहुत अधिक रुचि पैदा करती है... बहुत सारे दर्शक स्पष्ट रूप से लक्ष्य की प्राप्ति में हस्तक्षेप करते हैं।" सात साल की कड़ी मेहनत रंग लाई; विल्स ने अंततः तानियामा-शिमुरा अनुमान का प्रमाण पूरा कर लिया।

1993 में, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्स ने दुनिया के सामने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण प्रस्तुत किया (विल्स ने कैम्ब्रिज में सर आइजैक न्यूटन इंस्टीट्यूट में एक सम्मेलन में अपना सनसनीखेज पेपर पढ़ा।), जिस पर काम सात साल से अधिक समय तक चला।







जबकि प्रेस में प्रचार जारी रहा, सबूतों को सत्यापित करने के लिए गंभीर काम शुरू हुआ। साक्ष्य को कठोर और सटीक मानने से पहले साक्ष्य के प्रत्येक टुकड़े की सावधानीपूर्वक जांच की जानी चाहिए। विल्स ने समीक्षकों की प्रतिक्रिया की प्रतीक्षा में एक बेचैनी भरी गर्मी बिताई, इस उम्मीद में कि वह उनकी स्वीकृति प्राप्त करने में सक्षम होंगे। अगस्त के अंत में, विशेषज्ञों ने निर्णय को अपर्याप्त रूप से प्रमाणित पाया।

यह पता चला कि इस निर्णय में घोर त्रुटि है, हालाँकि सामान्य तौर पर यह सही है। विल्स ने हार नहीं मानी, उन्होंने संख्या सिद्धांत के प्रसिद्ध विशेषज्ञ रिचर्ड टेलर की मदद ली और 1994 में ही उन्होंने प्रमेय का एक सही और विस्तारित प्रमाण प्रकाशित किया। सबसे आश्चर्यजनक बात यह है कि इस कार्य में गणितीय पत्रिका "एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स" में 130 (!) पृष्ठ शामिल थे। लेकिन कहानी यहीं खत्म नहीं हुई - अंतिम बिंदु अगले वर्ष, 1995 में ही पहुंचा, जब गणितीय दृष्टिकोण से अंतिम और "आदर्श", प्रमाण का संस्करण प्रकाशित किया गया था।

"... उसके जन्मदिन के अवसर पर उत्सव रात्रिभोज की शुरुआत के आधे मिनट बाद, मैंने नाद्या को संपूर्ण प्रमाण की पांडुलिपि भेंट की" (एंड्रयू वेल्स)। क्या मैंने अभी तक नहीं कहा कि गणितज्ञ अजीब लोग होते हैं?






इस बार सबूतों पर कोई संदेह नहीं था. दो लेखों का अत्यंत सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया गया और उन्हें मई 1995 में एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स में प्रकाशित किया गया।

उस क्षण के बाद से बहुत समय बीत चुका है, लेकिन समाज में अभी भी एक राय है कि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय अघुलनशील है। लेकिन जो लोग पाए गए प्रमाणों के बारे में जानते हैं वे भी इस दिशा में काम करना जारी रखते हैं - कुछ ही लोग इस बात से संतुष्ट हैं कि महान प्रमेय के समाधान के लिए 130 पृष्ठों की आवश्यकता होती है!

इसलिए, अब कई गणितज्ञों (ज्यादातर शौकिया, पेशेवर वैज्ञानिक नहीं) के प्रयासों को एक सरल और संक्षिप्त प्रमाण की खोज में लगा दिया गया है, लेकिन यह रास्ता, सबसे अधिक संभावना है, कहीं भी नहीं ले जाएगा...

2 से अधिक पूर्णांक n के लिए, समीकरण x n + y n = z n में प्राकृतिक संख्याओं में कोई गैर-शून्य समाधान नहीं है।

आपको शायद अपने स्कूल के दिन याद होंगे पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। आपको क्लासिक समकोण त्रिभुज भी याद होगा जिसकी भुजाओं की लंबाई 3: 4: 5 के अनुपात में है। इसके लिए, पाइथागोरस प्रमेय इस तरह दिखता है:

यह गैर-शून्य पूर्णांकों में सामान्यीकृत पायथागॉरियन समीकरण को हल करने का एक उदाहरण है एन= 2. फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय (जिसे "फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय" और "फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय" भी कहा जाता है) यह कथन है कि मूल्यों के लिए एन> फॉर्म के 2 समीकरण एक्स एन + Y n = जेड एनप्राकृतिक संख्याओं में कोई गैर-शून्य समाधान नहीं है।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का इतिहास बहुत ही रोचक और शिक्षाप्रद है, न कि केवल गणितज्ञों के लिए। पियरे डी फ़र्मेट ने गणित के विभिन्न क्षेत्रों के विकास में योगदान दिया, लेकिन उनकी वैज्ञानिक विरासत का मुख्य भाग केवल मरणोपरांत प्रकाशित हुआ था। तथ्य यह है कि फ़र्मेट के लिए गणित एक शौक था, न कि कोई व्यावसायिक व्यवसाय। उन्होंने अपने समय के प्रमुख गणितज्ञों के साथ पत्र-व्यवहार किया, लेकिन उनके काम को प्रकाशित करने का प्रयास नहीं किया। फ़र्मेट के वैज्ञानिक लेखन मुख्य रूप से निजी पत्राचार और खंडित नोट्स के रूप में पाए जाते हैं, जो अक्सर विभिन्न पुस्तकों के हाशिये पर लिखे जाते हैं। यह डायोफैंटस के प्राचीन ग्रीक "अंकगणित" के दूसरे खंड के हाशिये पर है। - टिप्पणी अनुवादक) गणितज्ञ की मृत्यु के तुरंत बाद, वंशजों ने प्रसिद्ध प्रमेय और उपसंहार के सूत्रीकरण की खोज की:

« मुझे इसका सचमुच अद्भुत प्रमाण मिला, लेकिन ये क्षेत्र इसके लिए बहुत संकीर्ण हैं».

अफसोस, जाहिरा तौर पर, फ़र्मेट ने कभी भी अपने द्वारा पाए गए "चमत्कारी सबूत" को लिखने की जहमत नहीं उठाई, और वंशजों ने तीन शताब्दियों से अधिक समय तक असफल रूप से इसकी खोज की। फ़र्मेट की सभी बिखरी हुई वैज्ञानिक विरासत में से, जिसमें कई आश्चर्यजनक कथन शामिल हैं, यह महान प्रमेय था जिसे हल करने से हठपूर्वक इनकार कर दिया गया था।

जिसने भी फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध करने का प्रयास किया है वह व्यर्थ है! एक अन्य महान फ्रांसीसी गणितज्ञ, रेने डेसकार्टेस (1596-1650) ने फ़र्मेट को "डींगमार" कहा, और अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस (1616-1703) ने उन्हें "लानत फ़्रांसीसी" कहा। हालाँकि, फ़र्मेट ने अभी भी इस मामले के लिए अपने प्रमेय का प्रमाण छोड़ा है एन= 4. प्रमाण सहित एन=3 को 18वीं सदी के महान स्विस-रूसी गणितज्ञ लिओनहार्ड यूलर (1707-83) ने हल किया था, जिसके बाद इसका प्रमाण नहीं मिल पाया। एन>4, मजाक में सुझाव दिया कि खोए हुए सबूतों की चाबी खोजने के लिए फ़र्मेट के घर की तलाशी ली जाए। 19वीं शताब्दी में, संख्या सिद्धांत में नई विधियों ने 200 के भीतर कई पूर्णांकों के लिए कथन को सिद्ध करना संभव बना दिया, लेकिन फिर भी, सभी के लिए नहीं।

1908 में इस समस्या के समाधान के लिए 100,000 जर्मन अंकों का पुरस्कार स्थापित किया गया था। पुरस्कार राशि जर्मन उद्योगपति पॉल वोल्फस्केहल को दी गई थी, जो किंवदंती के अनुसार, आत्महत्या करने जा रहे थे, लेकिन फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय से इतने प्रभावित हुए कि उन्होंने मरने के बारे में अपना मन बदल दिया। मशीनों और फिर कंप्यूटरों के आगमन के साथ, मूल्य पट्टी एनउच्चतर और उच्चतर बढ़ना शुरू हुआ - द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत तक 617 तक, 1954 में 4001 तक, 1976 में 125,000 तक। 20वीं सदी के अंत में, लॉस एलामोस (न्यू मैक्सिको, यूएसए) में सैन्य प्रयोगशालाओं में सबसे शक्तिशाली कंप्यूटरों को पृष्ठभूमि में फ़र्मेट की समस्या को हल करने के लिए प्रोग्राम किया गया था (पर्सनल कंप्यूटर के स्क्रीन सेवर मोड के समान)। इस प्रकार, यह दिखाना संभव था कि प्रमेय अविश्वसनीय रूप से बड़े मूल्यों के लिए सत्य है एक्स, वाई, जेडऔर एन, लेकिन यह एक सख्त सबूत के रूप में काम नहीं कर सका, क्योंकि निम्नलिखित में से कोई भी मान एनया प्राकृतिक संख्याओं के त्रिक समग्र रूप से प्रमेय का खंडन कर सकते हैं।

अंततः, 1994 में, प्रिंसटन में कार्यरत अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू जॉन विल्स (जन्म 1953) ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का एक प्रमाण प्रकाशित किया, जिसे कुछ संशोधनों के बाद व्यापक माना गया। प्रमाण में सौ से अधिक जर्नल पृष्ठ लगे और यह उच्च गणित के आधुनिक उपकरण के उपयोग पर आधारित था, जो कि फ़र्मेट के युग में विकसित नहीं हुआ था। तो फिर किताब के हाशिये पर यह संदेश छोड़ कर कि उसे सबूत मिल गया है, फ़र्मेट का क्या मतलब था? जिन गणितज्ञों से मैंने इस विषय पर बात की, उनमें से अधिकांश ने बताया कि सदियों से फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के पर्याप्त से अधिक गलत प्रमाण मिले हैं, और, सबसे अधिक संभावना है, फ़र्मेट ने स्वयं भी एक समान प्रमाण पाया था, लेकिन त्रुटि को पहचानने में विफल रहे। इस में। हालाँकि, यह संभव है कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का अभी भी कुछ संक्षिप्त और सुरुचिपूर्ण प्रमाण है जो अभी तक किसी को नहीं मिला है। केवल एक ही बात निश्चितता के साथ कही जा सकती है: आज हम निश्चित रूप से जानते हैं कि प्रमेय सत्य है। मुझे लगता है कि अधिकांश गणितज्ञ, एंड्रयू विल्स से पूरी तरह सहमत होंगे, जिन्होंने अपने प्रमाण के बारे में टिप्पणी की थी: "अब आखिरकार मेरा मन शांत हो गया है।"