कुल संभाव्यता सूत्र आपको किसी घटना की संभावना खोजने की अनुमति देता है ए, जो केवल प्रत्येक के साथ हो सकता है एनपारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं जो एक पूर्ण प्रणाली बनाती हैं यदि उनकी संभावनाएं ज्ञात हैं, और सशर्त संभावनाएं आयोजन एप्रणाली की प्रत्येक घटना के संबंध में बराबर हैं।

घटनाओं को परिकल्पना भी कहा जाता है, वे परस्पर अनन्य हैं। इसलिए, साहित्य में आप उनके पदनाम को अक्षर से नहीं पा सकते हैं बी, लेकिन एक पत्र के साथ एच(परिकल्पना)।

ऐसी स्थितियों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए, 3, 4, 5 या सामान्य स्थिति में विचार करना आवश्यक है एनघटना की संभावना ए- हर घटना के साथ।

प्रायिकताओं के योग और गुणन के प्रमेयों का उपयोग करके, हम सिस्टम की प्रत्येक घटना की प्रायिकता के उत्पादों का योग प्राप्त करते हैं सशर्त संभाव्यता आयोजन एसिस्टम में प्रत्येक घटना के लिए। यानी किसी घटना की प्रायिकता एसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

या सामान्य तौर पर

,

इससे कहते है कुल संभावना सूत्र .

कुल प्रायिकता सूत्र: समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1तीन समान दिखने वाले कलश हैं: पहले में 2 सफेद गेंदें और 3 काली गेंदें हैं, दूसरे में - 4 सफेद और एक काली, तीसरी में - तीन सफेद गेंदें हैं। कोई बेतरतीब ढंग से कलशों में से एक के पास आता है और उसमें से एक गेंद निकालता है। लाभ उठा कुल संभावना सूत्रगेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला। घटना ए- एक सफेद गेंद की उपस्थिति। हमने तीन परिकल्पनाएँ सामने रखीं:

पहला कलश चयनित;

दूसरा कलश चुना जाता है;

तीसरा कलश चुना गया है।

सशर्त घटना संभावनाएं एप्रत्येक परिकल्पना के लिए:

, , .

हम परिणाम के रूप में कुल संभाव्यता सूत्र लागू करते हैं - आवश्यक संभावना:

.

उदाहरण 2पहले कारखाने में, प्रत्येक 100 प्रकाश बल्बों में से, औसतन 90 मानक वाले, दूसरे में - 95, तीसरे में - 85, और इन कारखानों के उत्पादों का उत्पादन 50%, 30% और 20% होता है, एक निश्चित क्षेत्र की दुकानों को आपूर्ति किए गए सभी बिजली के बल्बों का क्रमशः। एक मानक प्रकाश बल्ब खरीदने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला। आइए हम एक मानक प्रकाश बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता को निरूपित करें: ए, और घटनाएँ कि खरीदे गए प्रकाश बल्ब का निर्माण क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे कारखानों में किया गया था। शर्त के अनुसार, इन घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात होती हैं: , , और घटना की सशर्त प्रायिकताएँ एउनमें से प्रत्येक के बारे में: , , . ये एक मानक प्रकाश बल्ब प्राप्त करने की संभावनाएं हैं, बशर्ते कि यह क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे कारखानों में निर्मित हो।

घटना एयदि कोई घटना घटित होती है तो घटित होगी या क- बल्ब पहले कारखाने में बनाया गया है और मानक है, या एक घटना है ली- बल्ब दूसरे कारखाने में बना है और मानक है, या एक घटना है एम- बल्ब तीसरे कारखाने में निर्मित होता है और मानक है। घटना के घटित होने की अन्य संभावनाएं एनहीं। इसलिए, घटना एघटनाओं का योग है क, लीऔर एमजो असंगत हैं। संभाव्यता जोड़ प्रमेय को लागू करते हुए, हम एक घटना की संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं एजैसा

और प्रायिकता गुणन प्रमेय से हमें प्राप्त होता है

अर्थात, कुल संभाव्यता सूत्र का एक विशेष मामला.

प्रायिकताओं को सूत्र के बाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हम घटना की प्रायिकता प्राप्त करते हैं ए :

उदाहरण 3विमान एयरपोर्ट पर उतर रहा है। यदि मौसम अनुमति देता है, तो पायलट उपकरण के अलावा, दृश्य अवलोकन का उपयोग करते हुए, विमान को लैंड करता है। इस मामले में, एक सफल लैंडिंग की संभावना है। यदि हवाई क्षेत्र कम बादलों से घिरा हुआ है, तो पायलट केवल उपकरणों पर उन्मुख होकर, विमान को लैंड करता है। इस मामले में, एक सफल लैंडिंग की संभावना है; . अंधा लैंडिंग प्रदान करने वाले उपकरणों में विश्वसनीयता होती है (विफलता मुक्त संचालन की संभावना) पी. कम बादल और असफल अंधा लैंडिंग उपकरणों की उपस्थिति में, एक सफल लैंडिंग की संभावना है; . आंकड़े बताते हैं कि कलैंडिंग का%, हवाई क्षेत्र कम बादलों से ढका हुआ है। ढूँढ़ने के लिए घटना की पूरी संभावना ए- विमान की सुरक्षित लैंडिंग।

फेसला। परिकल्पना:

कोई कम बादल नहीं है;

कम बादल छाए हुए हैं।

इन परिकल्पनाओं (घटनाओं) की संभावनाएं:

;

सशर्त संभाव्यता।

सशर्त संभाव्यता फिर से परिकल्पना के साथ कुल संभावना के लिए सूत्र द्वारा पाई जाती है

ब्लाइंड लैंडिंग डिवाइस काम करते हैं;

ब्लाइंड लैंडिंग उपकरण विफल रहे।

इन परिकल्पनाओं की संभावनाएं हैं:

कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार

उदाहरण 4डिवाइस दो मोड में काम कर सकता है: सामान्य और असामान्य। डिवाइस के संचालन के सभी मामलों के 80% में सामान्य मोड देखा जाता है, और असामान्य - 20% मामलों में। एक निश्चित समय में डिवाइस के खराब होने की प्रायिकता टी 0.1 के बराबर; असामान्य 0.7 में। ढूँढ़ने के लिए पूर्ण संभावनासमय में डिवाइस की विफलता टी.

फेसला। हम फिर से डिवाइस की विफलता की संभावना को निरूपित करते हैं: ए. तो, प्रत्येक मोड (घटनाओं) में डिवाइस के संचालन के संबंध में, संभावनाओं को स्थिति से जाना जाता है: सामान्य मोड के लिए यह 80% () है, असामान्य मोड के लिए - 20% ()। घटना की संभावना ए(यानी, डिवाइस की विफलता) पहली घटना (सामान्य मोड) के आधार पर 0.1 (); दूसरी घटना के आधार पर (असामान्य मोड) - 0.7 ( ) हम इन मानों को कुल संभाव्यता सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं (अर्थात, सिस्टम की प्रत्येक घटना की संभावना के उत्पादों का योग और घटना की सशर्त संभावना एसिस्टम की प्रत्येक घटना के बारे में) और हमारे पास आवश्यक परिणाम है।

अगर घटना लेकिनकेवल घटनाओं में से एक के साथ हो सकता है, ..., असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बना रहा है (इन घटनाओं को परिकल्पना कहा जाता है), फिर घटना ए की घटना की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है पूर्ण संभावना :

. (4.1)

घटना को ऊपर वर्णित योजना में होने दें लेकिनहुआ है और यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि यह किसी एक परिकल्पना के साथ घटित हुआ है। इस संभावना की गणना से की जाती है बेयस सूत्र :

, . (4.2)

समस्या समाधान नमूने

उदाहरण1 ‑ तीन समान दिखने वाले कलश हैं; पहले वाले के पास 2 सफेद और 3 काली गेंदें हैं, दूसरे में 4 सफेद और 1 काली गेंद हैं, तीसरे में 3 सफेद गेंदें हैं। इनमें से एक कलश यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है। इस गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला

अनुभव तीन परिकल्पनाओं का सुझाव देता है:

-पहले कलश का चयन;

-दूसरे कलश का चयन;

-तीसरे कलश का चयन, .

ब्याज की घटना पर विचार करें A - खींची गई गेंद सफेद है। यह घटना केवल निम्नलिखित परिकल्पनाओं में से एक के संयोजन में हो सकती है:

कुल संभाव्यता सूत्र (4.1) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

जवाब: .

उदाहरण2 ‑ दो मशीनें समान भागों का उत्पादन करती हैं जो एक सामान्य कन्वेयर को खिलाए जाते हैं। पहली मशीन का प्रदर्शन दूसरी मशीन से दोगुना है। पहली मशीन औसतन 60% उत्कृष्ट गुणवत्ता वाले भागों का उत्पादन करती है, और दूसरी - 84%। असेंबली लाइन से यादृच्छिक रूप से लिया गया हिस्सा उत्कृष्ट गुणवत्ता का निकला। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह वस्तु पहली मशीन द्वारा बनाई गई थी।

फेसला

दो धारणाएँ (परिकल्पनाएँ) बनाई जा सकती हैं: - भाग पहले ऑटोमेटन द्वारा निर्मित होता है, और (चूंकि पहला ऑटोमेटन दूसरे के रूप में दो बार कई भागों का उत्पादन करता है); - भाग दूसरे ऑटोमेटन द्वारा निर्मित होता है, और।

सशर्त संभावना है कि पहली मशीन द्वारा उत्पादित किया जाता है, अगर यह दूसरी मशीन द्वारा उत्पादित किया जाता है तो हिस्सा उत्कृष्ट गुणवत्ता का होगा।

कुल संभाव्यता सूत्र (4.1) के अनुसार, यादृच्छिक रूप से लिया गया एक भाग उत्कृष्ट गुणवत्ता का होगा, इसके बराबर है:

बेयस फॉर्मूला के अनुसार, पहले ऑटोमेटन द्वारा लिया गया उत्कृष्ट हिस्सा वांछित संभावना के बराबर है:

.

जवाब: .

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1 एथलीटों के समूह में 20 स्कीयर, 6 साइकिल चालक और 4 धावक हैं। योग्यता मानक को पूरा करने की संभावना इस प्रकार है: एक स्कीयर के लिए - 0.9, एक साइकिल चालक के लिए - 0.8 और एक धावक के लिए - 0.75। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुना गया एक एथलीट आदर्श को पूरा करेगा।

2 5 सफेद और 3 काली गेंदों वाले कलश से, एक गेंद को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है और दूसरे कलश में स्थानांतरित किया जाता है, जिसमें पहले 2 सफेद और 7 काली गेंदें थीं। स्थानांतरित गेंद का रंग निश्चित नहीं है। दूसरे कलश से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इस गेंद के सफेद होने की क्या प्रायिकता है?

3 पिरामिड में 5 राइफलें हैं, जिनमें से तीन ऑप्टिकल दृष्टि से सुसज्जित हैं। दूरबीन की दृष्टि से राइफल से दागे जाने पर निशानेबाज के निशाने पर लगने की संभावना 0.95 है; सामान्य दायरे वाली राइफल के लिए, यह संभावना 0.7 है। यदि शूटर यादृच्छिक रूप से ली गई राइफल से एक शॉट फायर करता है तो लक्ष्य हिट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

4 पिछले टास्क की स्थितियों में शूटर ने निशाने पर मारा। इस संभावना का निर्धारण करें कि उसने गोली चलाई: एक दूरबीन से राइफल से; एक पारंपरिक दृष्टि से राइफल से।

5 छात्र योग्यता खेल प्रतियोगिताओं में भाग लेने के लिए, पाठ्यक्रम के पहले समूह से 4, दूसरे से 6 और तीसरे से 5 छात्रों का चयन किया गया। पहले, दूसरे और तीसरे समूह के एक छात्र के टीम में आने की प्रायिकता संस्थान, क्रमशः, 0.9 हैं; 0.7 और 0.8। प्रतियोगिता के परिणामस्वरूप एक यादृच्छिक रूप से चयनित छात्र राष्ट्रीय टीम में शामिल हो गया। यह छात्र सबसे अधिक किस समूह से संबंधित था?

6 पहले कलश में 10 गेंदें हैं, जिनमें से 8 सफेद हैं; दूसरे कलश में 20 गेंदें हैं, जिनमें से 4 सफेद हैं। प्रत्येक कलश से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, और फिर इन दो गेंदों में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। एक सफेद गेंद लिए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

7 परीक्षा में आने वाले 10 छात्रों के एक समूह में, 3 उत्कृष्ट थे, 4 अच्छे थे, 2 औसत दर्जे के थे, और 1 खराब था। परीक्षा के पेपर में 20 प्रश्न होते हैं। एक अच्छी तरह से तैयार छात्र सभी 20 प्रश्नों को जानता है, एक अच्छी तरह से तैयार छात्र 16 जानता है, एक औसत छात्र 10 जानता है, और एक गरीब छात्र 5 जानता है। एक यादृच्छिक छात्र ने तीन यादृच्छिक रूप से पूछे गए प्रश्नों का उत्तर दिया। इस छात्र के तैयार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: उत्कृष्ट; बुरा।

8 तीन कलशों में से प्रत्येक में 6 काली और 4 सफेद गेंदें हैं। पहले कलश से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और दूसरे कलश में स्थानांतरित की जाती है, जिसके बाद एक गेंद को दूसरे कलश से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है और तीसरे कलश में स्थानांतरित किया जाता है। संभावना है कि तीसरे कलश से यादृच्छिक रूप से निकाली गई गेंद सफेद है।

9 वस्तु पर तीन एकल स्वतंत्र शॉट दागे जाते हैं। पहला शॉट मारने की प्रायिकता 0.4 है; दूसरे पर - 0.5; तीसरे के साथ - 0.7। किसी वस्तु को निष्क्रिय करने के लिए तीन हिट निश्चित रूप से पर्याप्त हैं; दो हिट के साथ, यह 0.6 की संभावना के साथ विफल हो जाता है; एक के साथ - 0.2 की संभावना के साथ। इस संभावना का पता लगाएं कि तीन शॉट्स के परिणामस्वरूप वस्तु अक्षम हो जाएगी।

10 तीन तीर एक वॉली से दागे गए, और दो गोलियां निशाने पर लगीं। तीसरे निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यदि पहले, दूसरे और तीसरे निशानेबाजों द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता क्रमशः 0.6 है; 0.5 और 0.4।

गृहकार्य।

1 परीक्षणों की पुनरावृत्ति। बर्नौली और पॉइसन सूत्र। लाप्लास के स्थानीय और अभिन्न प्रमेय।

2 समस्याओं का समाधान।

काम1 . दो कलश हैं। पहले कलश में दो सफेद और तीन काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में तीन सफेद और पांच काली हैं। पहले और दूसरे कलश से बिना देखे ही एक गेंद ली जाती है और तीसरे कलश में रख दी जाती है। तीसरे कलश की गेंदों को फेरबदल किया जाता है और उसमें से यादृच्छिक रूप से एक गेंद ली जाती है। इस गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

काम2 . तीन निशानेबाजों में से एक को फायर लाइन पर बुलाया जाता है और एक शॉट फायर करता है। निशाना मारा गया है। पहले शूटर के लिए एक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना 0.3 है, दूसरे के लिए - 0.5, तीसरे के लिए - 0.8। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गोली दूसरे निशानेबाज द्वारा चलाई गई थी।

काम3 . पहली मशीन से, 40% विधानसभा में जाता है, दूसरे से - 35%, तीसरे से - 25% भागों में। पहली मशीन के कुछ हिस्सों में 0.2% ख़राब हैं, दूसरा - 0.3%, तीसरा - 0.5%। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:

ए) असेंबली के लिए प्राप्त हिस्सा दोषपूर्ण है;

b) जो हिस्सा खराब निकला वह दूसरी मशीन पर बनाया गया था।

काम4 . 20 निशानेबाजों के एक समूह में, पांच उत्कृष्ट हैं, नौ अच्छे हैं और छह औसत दर्जे के हैं। एक शॉट के साथ, एक उत्कृष्ट निशानेबाज 0.9 की संभावना के साथ लक्ष्य को हिट करता है, एक अच्छा 0.8 की संभावना के साथ और एक औसत दर्जे का 0.7 की संभावना के साथ। बेतरतीब ढंग से चुने गए शूटर ने दो बार फायरिंग की; एक हिट और एक मिस थी। किस निशानेबाज के उत्कृष्ट, अच्छे या औसत दर्जे के होने की सबसे अधिक संभावना थी?

कलश से जहां वे हैं गेंदों, सहित काला सफेद, गलती से निकाला गया गेंदें क्या संभावना है कि उनमें से होगा काली सफेद गेंदें?

उदाहरण 1. पहले कलश में: तीन लाल, एक सफेद गेंद। दूसरे कलश में: एक लाल, तीन सफेद गेंदें। एक सिक्का यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है: यदि हथियारों का कोट पहले कलश से चुना जाता है, अन्यथा दूसरे से।
फेसला:
a) लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
ए - एक लाल गेंद मिली
पी 1 - हथियारों का कोट बाहर गिर गया, पी 2 - अन्यथा

b) एक लाल गेंद को चुना जाता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह पहले कलश से, दूसरे कलश से लिया गया है।
बी 1 - पहले कलश से, बी 2 - दूसरे कलश से
,

उदाहरण 2. एक बॉक्स में 4 गेंदें हैं। हो सकता है: केवल सफेद, केवल काला या सफेद और काला। (रचना अज्ञात)।
फेसला:
A सफेद गेंद के आने की प्रायिकता है
ए) सभी गोरे:
(संभावना है कि तीन विकल्पों में से एक जहां सफेद है, पकड़ा गया है)
(एक सफेद गेंद के आने की प्रायिकता जहां सभी सफेद हों)

बी) बाहर निकाला गया जहां हर कोई काला है



सी) एक प्रकार निकाला जहां सभी सफेद या/और काले हैं

- उनमें से कम से कम एक सफेद है

पी ए + पी बी + पी सी =

उदाहरण 3। एक कलश में 5 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। इसमें से लगातार 2 गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
फेसला:
5 सफ़ेद, 4 काली गेंद
P(A 1) - एक सफेद गेंद खींची

P(A 2) दूसरी गेंद के भी सफेद होने की प्रायिकता है

P(A) - एक पंक्ति में चुनी गई सफेद गेंदें

उदाहरण 3ए. एक पैक में 2 नकली और 8 असली नोट होते हैं। लगातार 2 बैंक नोट पैक से बाहर निकाले गए। दोनों के असत्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
फेसला:
पी(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

उदाहरण 4. 10 कलश हैं। 9 कलशों में 2 काली और 2 सफेद गेंदें हैं। 1 कलश में 5 सफेद और 1 काला होता है। यादृच्छिक रूप से लिए गए कलश से एक गेंद निकाली जाती है।
फेसला:
पी (ए) -? 5 सफेद वाले कलश से एक सफेद गेंद ली जाती है
बी - कलश से निकाले जाने की संभावना, जहां 5 सफेद हैं
, - दूसरों से निकाला गया
सी 1 - एलवीएल 9 में एक सफेद गेंद के दिखने की प्रायिकता।

सी 2 - एक सफेद गेंद के प्रकट होने की प्रायिकता, जहाँ उनमें से 5 हैं

पी (ए 0) = पी (बी 1) पी (सी 1) + पी (बी 2) पी (सी 2)

उदाहरण 5. 20 बेलनाकार रोलर्स और 15 शंक्वाकार रोलर्स। पिकर 1 रोलर लेता है और फिर दूसरा।
फेसला:
a) दोनों रोलर बेलनाकार हैं
पी (सी 1) =; पी (सी 2) =
सी 1 - पहला सिलेंडर, सी 2 - दूसरा सिलेंडर
पी (ए) = पी (सी 1) पी (सी 2) =
बी) कम से कम एक सिलेंडर
के 1 - पहला शंकु।
के 2 - दूसरा शंकु।
पी (बी) = पी (सी 1) पी (के 2) + पी (सी 2) पी (के 1) + पी (सी 1) पी (सी 2)
;

ग) पहला सिलेंडर, और दूसरा नहीं है
पी (सी) = पी (सी 1) पी (के 2)

ई) एक भी सिलेंडर नहीं।
पी (डी) = पी (के 1) पी (के 2)

ई) बिल्कुल 1 सिलेंडर
पी (ई) = पी (सी 1) पी (के 2) + पी (के 1) पी (के 2)

उदाहरण 6. एक बॉक्स में 10 मानक भाग और 5 दोषपूर्ण भाग हैं।
यादृच्छिक रूप से तीन टुकड़े निकाले जाते हैं।
क) उनमें से एक दोषपूर्ण है
पी एन (के) = सी एन के पी के क्यू एन-के,
पी दोषपूर्ण उत्पादों की संभावना है

क्यू मानक भागों की संभावना है

n=3, तीन भाग


b) तीन में से दो भाग दोषपूर्ण हैं P(2)
ग) कम से कम एक मानक
पी(0) - कोई दोषपूर्ण नहीं

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - संभावना है कि कम से कम एक भाग मानक होगा

उदाहरण 7. पहले कलश में 3 सफेद और 3 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 3 सफेद और 4 काली हैं। 2 गेंदों को पहले कलश से दूसरे कलश में बिना देखे स्थानांतरित कर दिया जाता है, और फिर 2 गेंदों को दूसरे कलश से निकाला जाता है। क्या संभावना है कि वे अलग-अलग रंग हैं?
फेसला:
पहले कलश से गेंदों को स्थानांतरित करते समय, निम्नलिखित विकल्प संभव हैं:
a) 2 सफेद गेंदें एक पंक्ति में खींची जाती हैं
पी डब्ल्यूबी 1 =
दूसरे चरण में हमेशा एक कम गेंद होगी, क्योंकि पहले चरण में एक गेंद पहले ही निकाली जा चुकी है।
b) एक सफेद और एक काली गेंद खींची जाती है
वह स्थिति जब सफेद गेंद पहले खींची गई, और फिर काली गेंद
पी बीसी =
वह स्थिति जब पहले काली गेंद और फिर सफेद गेंद निकाली जाती थी
पी बीडब्ल्यू =
कुल: पी सीयू 1 =
ग) 2 काली गेंदें एक पंक्ति में खींची जाती हैं
पी एचएच 1 =
चूँकि 2 गेंदों को पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया गया था, दूसरे कलश में गेंदों की कुल संख्या 9 (7 + 2) होगी। तदनुसार, हम सभी संभावित विकल्पों की तलाश करेंगे:
क) पहले एक सफेद और फिर दूसरे कलश से एक काली गेंद निकाली जाती है

पी बीसी 2 पी बीबी 1 - का अर्थ है कि पहले एक सफेद गेंद खींची गई थी, फिर एक काली गेंद, बशर्ते कि 2 सफेद गेंदें एक पंक्ति में पहले कलश से खींची गई हों। इसलिए इस मामले में सफेद गेंदों की संख्या 5 (3+2) है।
पी बीसी 2 पी बीसी 1 - का अर्थ है कि पहले एक सफेद गेंद खींची गई थी, फिर एक काली गेंद, बशर्ते कि सफेद और काली गेंदें पहले कलश से खींची गई हों। इसलिए इस मामले में सफेद गेंदों की संख्या 4 (3+1) है, और काली गेंदों की संख्या पांच (4+1) है।
पी बीसी 2 पी बीसी 1 - का अर्थ है कि पहले एक सफेद गेंद खींची गई थी, फिर एक काली गेंद, बशर्ते कि दोनों काली गेंदों को एक पंक्ति में पहले कलश से निकाला गया हो। इसलिए इस स्थिति में काली गेंदों की संख्या 6 (4+2) है।

निकाली गई 2 गेंदों के अलग-अलग रंगों के होने की प्रायिकता बराबर है:

उत्तर: पी = 0.54

उदाहरण 7क. पहले कलश से, जिसमें 5 सफेद और 3 काली गेंदें हैं, 2 गेंदों को यादृच्छिक रूप से दूसरे कलश में स्थानांतरित किया जाता है, जिसमें 2 सफेद और 6 काली गेंदें होती हैं। फिर दूसरे कलश से यादृच्छिक रूप से 1 गेंद निकाली जाती है।
1) कलश 2 से निकाली गई गेंद के सफेद होने की क्या प्रायिकता है?
2) दूसरे कलश से निकाली गई गेंद सफेद निकली। इस संभावना की गणना करें कि विभिन्न रंगों की गेंदों को कलश 1 से कलश 2 में स्थानांतरित किया गया था।
फेसला।
1) घटना ए - दूसरे कलश से निकाली गई गेंद सफेद निकली। इस घटना के घटित होने के लिए निम्नलिखित विकल्पों पर विचार करें।
क) दो सफेद गेंदें पहले कलश से दूसरे कलश में रखी जाती हैं: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56।
दूसरे कलश में 4 सफेद गेंदें हैं। फिर दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता है P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
ख) सफेद और काली गेंदों को पहले कलश से दूसरे कलश में रखा जाता है: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56।
दूसरे कलश में 3 सफेद गेंदें हैं। फिर दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता है P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
ग) दो काली गेंदों को पहले कलश से दूसरे कलश में रखा जाता है: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56।
दूसरे कलश में 2 सफेद गेंदें हैं। फिर दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता है P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
फिर दूसरे कलश से निकाली गई गेंद के सफेद होने की प्रायिकता बराबर है:
पी (ए) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) दूसरे कलश से निकाली गई गेंद सफेद निकली, अर्थात। कुल संभावना P(A)=13/32 है।
संभावना है कि विभिन्न रंगों (काले और सफेद) की गेंदों को दूसरे कलश में स्थानांतरित किया गया और सफेद को चुना गया: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
पी = पी2(3)/पी(ए) = 90/448/13/32 = 45/91

उदाहरण 7बी. पहले कलश में 8 सफेद और 3 काली गेंदें हैं, दूसरे कलश में 5 सफेद और 3 काली हैं। पहली गेंद में से एक गेंद यादृच्छया चुनी जाती है, और दूसरी गेंद से दो गेंदें चुनी जाती हैं। उसके बाद, चुनी गई तीन गेंदों में से एक गेंद यादृच्छया ली जाती है। यह आखिरी गेंद ब्लैक हो गई। पहले कलश से एक सफेद गेंद चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
फेसला।
आइए घटना ए के सभी रूपों पर विचार करें - तीन गेंदों में से खींची गई गेंद काली निकली। ऐसा कैसे हो सकता है कि तीन गेंदों में काली थी?
क) पहले कलश से एक काली गेंद निकाली जाती है और दूसरे कलश से दो सफेद गेंदें निकाली जाती हैं।
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
ख) पहले कलश से एक काली गेंद निकाली जाती है और दूसरे कलश से दो काली गेंदें निकाली जाती हैं।
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
ग) पहले कलश से एक काली गेंद निकाली जाती है और दूसरे कलश से एक सफेद और एक काली गेंद निकाली जाती है।
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
घ) पहले कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है और दूसरे कलश से दो काली गेंदें ली जाती हैं।
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) पहले कलश से एक सफेद गेंद निकाली गई और दूसरे कलश से एक सफेद और एक काली गेंद निकाली गई।
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
कुल संभावना है: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
एक सफेद कलश से एक सफेद गेंद चुने जाने की प्रायिकता है:
पीबी(1) = पी4 + पी5 = 6/77+30/77 = 36/77
फिर पहले कलश से एक सफेद गेंद के चुने जाने की प्रायिकता, बशर्ते कि तीन गेंदों में से एक काली गेंद चुनी गई हो, बराबर है:
पीएच \u003d पीबी (1) / पी \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57

उदाहरण 7सी. पहले कलश में 12 सफेद और 16 काली गेंदें हैं, दूसरे कलश में 8 सफेद और 10 काली गेंदें हैं। उसी समय, पहले और दूसरे कलश से एक गेंद निकाली जाती है, मिश्रित की जाती है और एक-एक करके प्रत्येक कलश में लौटा दी जाती है। फिर प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है। वे एक ही रंग के निकले। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले कलश में उतनी ही सफेद गेंदें बची हैं जितनी शुरुआत में थीं।

फेसला।
घटना ए - उसी समय, पहले और दूसरे कलश से एक गेंद निकाली जाती है।
पहले कलश से एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
पहले कलश से काली गेंद निकालने की प्रायिकता: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता: P2(B) = 8/18 = 4/9
दूसरे कलश से काली गेंद निकालने की प्रायिकता: P2(H) = 10/18 = 5/9

घटना ए हुआ। घटना बी - प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है। फेरबदल के बाद, गेंद को सफेद या काली गेंद के कलश में लौटाने की प्रायिकता 1/2 है।
घटना बी के वेरिएंट पर विचार करें - वे एक ही रंग के निकले।

पहले कलश के लिए
1) पहले कलश में एक सफेद गेंद रखी गई थी, और एक सफेद गेंद खींची गई थी, बशर्ते कि एक सफेद गेंद पहले खींची गई हो, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) पहले कलश में एक सफेद गेंद रखी गई और एक सफेद गेंद निकाली गई, बशर्ते कि एक काली गेंद पहले खींची गई हो, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) पहले कलश में एक सफेद गेंद रखी गई थी और एक काली गेंद निकाली गई थी, बशर्ते कि एक सफेद गेंद पहले खींची गई हो, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) पहले कलश में एक सफेद गेंद रखी गई और एक काली गेंद निकाली गई, बशर्ते कि एक काली गेंद पहले खींची गई हो, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) पहले कलश में एक काली गेंद रखी गई और एक सफेद गेंद निकाली गई, बशर्ते कि एक सफेद गेंद पहले खींची गई हो, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) पहले कलश में एक काली गेंद रखी गई और एक सफेद गेंद निकाली गई, बशर्ते कि एक काली गेंद पहले खींची गई हो, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) पहले कलश में एक काली गेंद रखी गई थी, और एक काली गेंद निकाली गई थी, बशर्ते कि एक सफेद गेंद पहले खींची गई हो, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) पहले कलश में एक काली गेंद रखी गई थी, और एक काली गेंद खींची गई थी, बशर्ते कि एक काली गेंद पहले खींची गई हो, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

दूसरे कलश के लिए
1) पहले कलश में एक सफेद गेंद रखी गई थी, और एक सफेद गेंद निकाली गई थी, बशर्ते कि एक सफेद गेंद पहले खींची गई हो, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) पहले कलश में एक सफेद गेंद रखी गई थी, और एक सफेद गेंद खींची गई थी, बशर्ते कि एक काली गेंद पहले खींची गई हो, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) पहले कलश में एक सफेद गेंद रखी गई और एक काली गेंद निकाली गई, बशर्ते कि एक सफेद गेंद पहले खींची गई हो, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) पहले कलश में एक सफेद गेंद रखी गई और एक काली गेंद निकाली गई, बशर्ते कि एक काली गेंद पहले खींची गई हो, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) पहले कलश में एक काली गेंद रखी गई और एक सफेद गेंद निकाली गई, बशर्ते कि एक सफेद गेंद पहले खींची गई हो, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) पहले कलश में एक काली गेंद रखी गई और एक सफेद गेंद निकाली गई, बशर्ते कि एक काली गेंद पहले खींची गई हो, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) पहले कलश में एक काली गेंद रखी गई थी, और एक काली गेंद खींची गई थी, बशर्ते कि एक सफेद गेंद पहले खींची गई हो, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) पहले कलश में एक काली गेंद रखी गई थी, और एक काली गेंद खींची गई थी, बशर्ते कि एक काली गेंद पहले खींची गई हो, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

गेंदें एक ही रंग की निकलीं:
एक सफ़ेद
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
बी) काला
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

उदाहरण 7 जी। पहले डिब्बे में 5 सफेद और 4 नीली गेंदें हैं, दूसरी 3 और 1 और तीसरी 4 और 5, क्रमशः। एक बॉक्स यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से निकाली गई एक गेंद नीली हो जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह गेंद दूसरे डिब्बे से है?

फेसला।
ए - नीला गुब्बारा निष्कर्षण घटना। ऐसी घटना के परिणाम के लिए सभी विकल्पों पर विचार करें।
H1 - पहले बॉक्स से निकाली गई गेंद,
H2 - दूसरे बॉक्स से निकाली गई गेंद,
H3 - तीसरे बॉक्स से निकाली गई गेंद।
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
समस्या की स्थिति के अनुसार, घटना ए की सशर्त संभावनाएं हैं:
पी(ए|एच1) = 4/(5+4) = 4/9
पी(ए|एच2) = 1/(3+1) = 1/4
पी(ए|एच3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
इस गेंद के दूसरे डिब्बे से निकलने की प्रायिकता है:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4/5/12 = 1/5 = 0.2

उदाहरण 8. 30 गेंदों वाले पांच बक्सों में से प्रत्येक में 5 लाल गेंदें होती हैं (यह H1 रचना बॉक्स है), 20 गेंदों वाले छह अन्य बक्सों में प्रत्येक में 4 लाल गेंदें होती हैं (यह H2 रचना बॉक्स है)। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बेतरतीब ढंग से खींची गई लाल गेंद पहले पाँच बक्सों में से एक में समाहित है।
हल: कुल प्रायिकता सूत्र को लागू करने का कार्य।

संभावना है कि कोई भीली गई गेंद पहले पाँच बक्सों में से एक में समाहित है:
पी (एच 1) = 5/11
संभावना है कि कोई भीली गई गेंद छह बक्से में से एक में निहित है:
पी (एच 2) = 6/11
घटना हुई - एक लाल गेंद खींची गई। इसलिए, यह दो मामलों में हो सकता है:
a) पहले पाँच बक्सों में से निकाला गया।
पी 5 = 5 लाल गेंदें * 5 बॉक्स / (30 गेंदें * 5 बॉक्स) = 1/6
पी(पी 5 / एच 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
बी) छह अन्य बक्से से बाहर निकाला।
पी 6 = 4 लाल गेंदें * 6 बॉक्स / (20 गेंदें * 6 बॉक्स) = 1/5
पी (पी 6 / एच 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
कुल: पी (पी 5 / एच 1) + पी (पी 6 / एच 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
इसलिए, पहले पांच बक्सों में से एक में बेतरतीब ढंग से खींची गई लाल गेंद के शामिल होने की प्रायिकता है:
पी के.एस. (एच 1) = पी (पी 5 / एच 1) / (पी (पी 5 / एच 1) + पी (पी 6 / एच 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

उदाहरण 9. एक कलश में 2 सफेद, 3 काली और 4 लाल गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकाली जाती हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि कम से कम दो गेंदें एक ही रंग की हों?
फेसला। घटनाओं के तीन संभावित परिणाम हैं:
a) खींची गई तीन गेंदों में से कम से कम दो सफेद गेंदें हैं।
पी बी (2) = पी 2बी
इन परीक्षणों के लिए संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें 9 में से 3 गेंदें निकाली जा सकती हैं:

3 में से 2 गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

2 सफेद गेंदों में से चुनने के लिए विकल्पों की संख्या:

7 अन्य गेंदों में से चुनने के लिए विकल्पों की संख्या तीसरी गेंद:

b) खींची गई तीन गेंदों में से कम से कम दो काली (या तो 2 काली या 3 काली) हैं।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 3 में से 2 गेंदें काली हैं।

3 काली गेंदों में से चुनने के लिए विकल्पों की संख्या:

एक गेंद की 6 अन्य गेंदों में से चुनने के लिए विकल्पों की संख्या:


पी 2एच = 0.214
सभी चुनी हुई गेंदों के काले होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

पी एच (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

ग) खींची गई तीन गेंदों में से कम से कम दो लाल हैं (अर्थात 2 लाल या 3 लाल)।
आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि चुनी गई 3 गेंदों में से 2 लाल हैं।

4 काली गेंदों में से चुनने के लिए विकल्पों की संख्या:

5 सफेद गेंदों में से चुनने के लिए विकल्पों की संख्या शेष 1 सफेद:


सभी चुनी हुई गेंदों के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

पी से (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
तब कम से कम दो गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता है: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

उदाहरण 10. पहले कलश में 10 गेंदें हैं, जिनमें से 7 सफेद हैं; दूसरे कलश में 20 गेंदें हैं, जिनमें से 5 सफेद हैं। प्रत्येक कलश से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, और फिर इन दो गेंदों में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। एक सफेद गेंद लिए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
फेसला। पहले कलश से एक सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता P(b)1 = 7/10 है। तदनुसार, एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता P(h)1 = 3/10 है।
दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता P(b)2 = 5/20 = 1/4 है। तदनुसार, एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता P(h)2 = 15/20 = 3/4 है।
घटना ए - दो गेंदों में से एक सफेद गेंद ली जाती है
घटना ए के परिणाम पर विचार करें।

1. पहले कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है और दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। फिर इन दोनों गेंदों में से एक सफेद गेंद निकाली गई। P1=7/10*1/4=7/40
2. पहले कलश से एक सफेद गेंद और दूसरे कलश से एक काली गेंद निकाली जाती है। फिर इन दोनों गेंदों में से एक सफेद गेंद निकाली गई। P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. पहले कलश से एक काली गेंद निकाली जाती है और दूसरे कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। फिर इन दोनों गेंदों में से एक सफेद गेंद निकाली गई। P3=3/10*1/4=3/40

तो संभावना को उपरोक्त संभावनाओं के योग के रूप में पाया जा सकता है।
पी = पी 1 + पी 2 + पी 3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

उदाहरण 11. एक बॉक्स में n टेनिस गेंदें हैं। उनमें से एम खेला। पहले गेम के लिए, उन्होंने यादृच्छिक रूप से दो गेंदें लीं और खेल के बाद उन्हें वापस रख दिया। दूसरे गेम के लिए, उन्होंने यादृच्छिक रूप से दो गेंदें लीं। क्या संभावना है कि दूसरा गेम नई गेंदों के साथ खेला जाएगा?
फेसला। घटना ए पर विचार करें - खेल दूसरी बार नई गेंदों के साथ खेला गया था। आइए देखें कि कौन सी घटनाएं इसके लिए नेतृत्व कर सकती हैं।
बाहर निकलने से पहले नई गेंदों की संख्या g = n-m से निरूपित करें।
a) पहले गेम के लिए दो नई गेंदें निकाली जाती हैं।
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
बी) पहले गेम के लिए उन्होंने एक नई गेंद निकाली और एक पहले ही खेली गई।
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
ग) पहले गेम के लिए, खेली गई दो गेंदों को बाहर निकाला गया।
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

दूसरे गेम की घटनाओं पर विचार करें।
a) दो नई गेंदें खींची गईं, बशर्ते P1: चूंकि पहले गेम के लिए नई गेंदें पहले ही खींची जा चुकी थीं, फिर दूसरे गेम के लिए उनकी संख्या में 2, g-2 की कमी आई।
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*जी(जी-1)/(एन(एन-1))
बी) दो नई गेंदें खींची गईं, पी 2 के अधीन: चूंकि पहले गेम के लिए एक नई गेंद पहले ही खींची जा चुकी थी, फिर दूसरे गेम के लिए उनकी संख्या में 1, जी -1 की कमी आई।
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(एन(एन-1))
ग) उन्होंने दो नई गेंदें निकालीं, बशर्ते P3: चूंकि पहले गेम के लिए कोई नई गेंद का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए दूसरे गेम के लिए उनकी संख्या नहीं बदली।
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (एन -1))

कुल संभावना P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
उत्तर: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

उदाहरण 12. पहले, दूसरे और तीसरे बॉक्स में 2 सफेद और 3 काली गेंदें होती हैं, चौथे और पांचवें बॉक्स में प्रत्येक में 1 सफेद और 1 काली गेंद होती है। एक बॉक्स को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद सफेद है तो चौथे या पांचवें डिब्बे के चुने जाने की सशर्त प्रायिकता क्या है?
फेसला.
प्रत्येक डिब्बे को चुनने की प्रायिकता P(H) = 1/5 है।
घटना ए की सशर्त संभावनाओं पर विचार करें - एक सफेद गेंद खींचना।
पी (ए | एच = 1) = 2/5
पी(ए|एच=2) = 2/5
पी(ए|एच=3) = 2/5
पी(ए|एच=4) = ½
पी(ए|एच=5) = ½
सफेद गेंद निकालने की कुल प्रायिकता:
पी(ए) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
सशर्त संभावना है कि चौथा बॉक्स चुना गया है
पी(एच=4|ए) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
सशर्त संभावना है कि पांचवां बॉक्स चुना गया है
पी(एच=5|ए) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
तो, चौथे या पांचवें बॉक्स के चुने जाने की सशर्त संभावना है
पी(एच=4, एच=5|ए) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

उदाहरण 13. एक कलश में 7 सफेद और 4 लाल गेंदें हैं। फिर एक और सफेद या लाल या काली गेंद को कलश में रखा गया और एक गेंद को मिलाकर एक गेंद निकाल ली गई। वह लाल निकला। क्या प्रायिकता है कि क) एक लाल गेंद रखी गई थी? बी) काली गेंद?
फेसला।
ए) लाल गेंद
घटना ए - एक लाल गेंद खींची जाती है। घटना एच - एक लाल गेंद डालें। प्रायिकता कि लाल गेंद को कलश में रखा गया था P(H=K) = 1/3
तब पी(ए|एच=के)= 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0.139
बी) काली गेंद
घटना ए - एक लाल गेंद खींची जाती है। घटना एच - एक काली गेंद डालें।
कलश में एक काली गेंद रखे जाने की प्रायिकता P(H=H) = 1/3 . है
तब पी(ए|एच=एच)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0.111

उदाहरण 14. गेंदों के साथ दो कलश हैं। एक के पास 10 लाल और 5 नीली गेंदें हैं, दूसरे के पास 5 लाल और 7 नीली गेंदें हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहले कलश से एक लाल गेंद यादृच्छया निकाली जाएगी और दूसरे कलश से एक नीली गेंद निकाली जाएगी?
फेसला।मान लीजिए कि घटना A1 - पहले कलश से एक लाल गेंद निकाली जाती है; A2 - दूसरे कलश से एक नीली गेंद निकाली जाती है:
,
घटनाएँ A1 और A2 स्वतंत्र हैं। घटनाओं A1 और A2 की संयुक्त घटना की संभावना बराबर है

उदाहरण 15. ताश का एक डेक (36 टुकड़े) है। यादृच्छिक रूप से दो कार्ड निकाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाले गए दोनों पत्ते लाल हों?
फेसला।मान लीजिए घटना A 1 लाल सूट का पहला तैयार कार्ड है। घटना ए 2 - लाल सूट का दूसरा तैयार कार्ड। बी - लाल सूट के दोनों तैयार कार्ड। चूँकि घटना A 1 और घटना A 2 दोनों घटित होनी चाहिए, तो B = A 1 · A 2। घटनाएँ A 1 और A 2 आश्रित हैं, इसलिए P(B) :
,
यहां से

उदाहरण 16. दो कलशों में ऐसी गेंदें होती हैं जो केवल रंग में भिन्न होती हैं, और पहले कलश में क्रमशः 5 सफेद गेंदें, 11 काली और 8 लाल और दूसरी में क्रमशः 10, 8, 6 गेंदें होती हैं। दोनों कलशों से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें एक ही रंग की हों?
फेसला।मान लें कि सूचकांक 1 का मतलब सफेद है, सूचकांक 2 काला है; 3 - लाल रंग। मान लीजिए कि घटना A i - i-वें रंग की एक गेंद पहले कलश से खींची गई है; घटना बी जे - दूसरे कलश से जे -वें रंग की एक गेंद ली गई; घटना ए - दोनों गेंदें एक ही रंग की हैं।
ए \u003d ए 1 बी 1 + ए 2 बी 2 + ए 3 बी 3. घटनाएँ A i और B j स्वतंत्र हैं, जबकि A i · B i और A j · B j i j के लिए असंगत हैं। इसलिये,
पी (ए) = पी (ए 1) पी (बी 1) + पी (ए 2) पी (बी 2) + पी (ए 3) पी (बी 3) =

उदाहरण 17. एक कलश से 3 सफेद और 2 काली गेंदों को एक-एक करके तब तक निकाला जाता है जब तक कि काला दिखाई न दे। इसकी क्या प्रायिकता है कि कलश से 3 गेंदें निकाली जाएंगी? 5 गेंदें?
फेसला.
1) कलश से 3 गेंदें निकलने की प्रायिकता (अर्थात तीसरी गेंद काली होगी, और पहली दो सफेद होंगी)।
पी=3/5*2/4*2/3=1/5
2) कलश से 5 गेंदें निकलने की प्रायिकता
ऐसी स्थिति संभव नहीं है, क्योंकि केवल 3 सफेद गेंदें।
पी = 0

दोनों मुख्य प्रमेयों का परिणाम - प्रायिकता योग प्रमेय और प्रायिकता गुणन प्रमेय - तथाकथित कुल प्रायिकता सूत्र है।

किसी एक घटना के साथ घटित होने वाली किसी घटना की प्रायिकता का निर्धारण करना आवश्यक है:

असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाना। हम इन घटनाओं को परिकल्पना कहेंगे।

आइए हम साबित करें कि इस मामले में

, (3.4.1)

वे। किसी घटना की प्रायिकता की गणना प्रत्येक परिकल्पना की प्रायिकता के गुणनफल और इस परिकल्पना के तहत घटना की प्रायिकता के योग के रूप में की जाती है।

सूत्र (3.4.1) को कुल प्रायिकता सूत्र कहा जाता है।

प्रमाण। चूंकि परिकल्पना एक पूर्ण समूह बनाती है, घटना केवल इनमें से किसी भी परिकल्पना के संयोजन में प्रकट हो सकती है:

चूंकि परिकल्पनाएं असंगत हैं, संयोजन असंगत भी; उन पर अतिरिक्त प्रमेय लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

घटना में गुणन प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

,

क्यू.ई.डी.

उदाहरण 1. तीन समान दिखने वाले कलश हैं; पहले कलश में दो सफेद और एक काली गेंद होती है; दूसरे में - तीन सफेद और एक काला; तीसरे में - दो सफेद और दो काली गेंदें। कोई यादृच्छिक रूप से कलशों में से एक चुनता है और उसमें से एक गेंद खींचता है। इस गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला। आइए तीन परिकल्पनाओं पर विचार करें:

पहले कलश का चुनाव,

दूसरे कलश का चुनाव,

तीसरे कलश का चुनाव

और घटना एक सफेद गेंद की उपस्थिति है।

चूँकि परिकल्पना, समस्या की स्थिति के अनुसार, समान रूप से संभावित हैं, तो

.

इन परिकल्पनाओं के तहत घटना की सशर्त संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं:

कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार

.

उदाहरण 2. एक वायुयान पर तीन सिंगल शॉट दागे जाते हैं। पहले शॉट से टकराने की संभावना 0.4 है, दूसरे के साथ - 0.5, तीसरे के साथ 0.7। एक विमान को निष्क्रिय करने के लिए तीन हिट स्पष्ट रूप से पर्याप्त हैं; एक हिट के साथ, विमान 0.2 की संभावना के साथ, दो हिट के साथ, 0.6 की संभावना के साथ विफल हो जाता है। इस संभावना का पता लगाएं कि तीन शॉट्स के परिणामस्वरूप विमान को कार्रवाई से बाहर कर दिया जाएगा।

फेसला। आइए चार परिकल्पनाओं पर विचार करें:

विमान में एक भी गोला नहीं गिरा,

एक गोला विमान से टकराया

विमान पर दो गोले दागे गए।

विमान में तीन गोले लगे।

जोड़ और गुणन प्रमेयों का उपयोग करते हुए, हम इन परिकल्पनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात करते हैं:

इन परिकल्पनाओं के तहत घटना की सशर्त संभावनाएं (विमान विफलता) हैं:

कुल संभाव्यता सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

ध्यान दें कि पहली परिकल्पना पर विचार नहीं किया जा सकता है, क्योंकि कुल संभाव्यता सूत्र में संबंधित शब्द गायब हो जाता है। यह आम तौर पर असंगत परिकल्पनाओं के पूरे समूह पर विचार करते हुए कुल संभाव्यता सूत्र को लागू करते समय किया जाता है, लेकिन केवल उनमें से जिनके तहत कोई घटना संभव है।

उदाहरण 3. इंजन के संचालन को दो नियामकों द्वारा नियंत्रित किया जाता है। एक निश्चित अवधि पर विचार किया जाता है, जिसके दौरान इंजन के परेशानी मुक्त संचालन को सुनिश्चित करना वांछनीय है। यदि दोनों नियामक मौजूद हैं, तो संभावना के साथ इंजन विफल हो जाता है, यदि उनमें से केवल पहला काम कर रहा है, संभावना के साथ, यदि केवल दूसरा काम कर रहा है, यदि दोनों नियामक विफल हो जाते हैं, तो संभावना के साथ। नियामकों में से पहले की विश्वसनीयता है, दूसरी -। सभी तत्व एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से विफल होते हैं। इंजन की कुल विश्वसनीयता (विफलता मुक्त संचालन की संभावना) का पता लगाएं।