सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक प्रमुख अंकगणितीय अवधारणाएं हैं जो आपको साधारण अंशों के साथ आसानी से संचालित करने की अनुमति देती हैं। एलसीएम और अक्सर कई अंशों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं

एक पूर्णांक X का भाजक एक अन्य पूर्णांक Y है जिससे X बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 4 का भाजक 2 है, और 36 4, 6, 9 है। पूर्णांक X का एक गुणज एक संख्या Y है जो बिना शेष के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3 15 का गुणज है, और 6 12 का गुणज है।

संख्याओं के किसी भी युग्म के लिए, हम उनके उभयनिष्ठ भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणक 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़े में कई भाजक और गुणक हो सकते हैं, इसलिए GCD का सबसे बड़ा भाजक और LCM का सबसे छोटा गुणक गणना में उपयोग किया जाता है। .

सबसे छोटा भाजक समझ में नहीं आता, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक होता है। सबसे बड़ा गुणक भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणकों का क्रम अनंत की ओर जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• भाजक की क्रमिक गणना, एक जोड़ी के लिए सामान्य का चयन और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• अविभाज्य कारकों में संख्याओं का अपघटन;
• यूक्लिड का एल्गोरिथ्म;
• बाइनरी एल्गोरिथम।

आज, शैक्षिक संस्थानों में, प्रमुख कारकों और यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म में अपघटन के सबसे लोकप्रिय तरीके हैं। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने में उपयोग किया जाता है: जीसीडी की खोज को पूर्णांक में हल करने की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने की आवश्यकता होती है।

एनओसी का पता लगाना

कम से कम सामान्य गुणक भी पुनरावृत्त गणना या अविभाज्य कारकों में गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, अगर सबसे बड़ा भाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है, तो एलसीएम को खोजना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीएम (एक्स, वाई) = एक्स × वाई / जीसीएम (एक्स, वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि gcd(15,18) = 3, तो LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90। LCM का सबसे स्पष्ट उपयोग सामान्य भाजक को खोजने के लिए है, जो कि सबसे कम सामान्य गुणक है। अंश दिए।

कोप्राइम नंबर

यदि संख्याओं के एक युग्म का कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो ऐसे युग्म को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसे युग्मों के लिए GCM हमेशा एक के बराबर होता है, और भाजक और गुणकों के कनेक्शन के आधार पर, coprime के लिए GCM उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 25 और 28 सहअभाज्य हैं, क्योंकि उनके पास कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, और LCM(25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाती है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ सदैव सहअभाज्य होंगी।

सामान्य भाजक और एकाधिक कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर से आप किसी भी संख्या में से चुनने के लिए जीसीडी और एलसीएम की गणना कर सकते हैं। सामान्य भाजक और गुणकों की गणना के लिए कार्य ग्रेड 5 और 6 के अंकगणित में पाए जाते हैं, हालांकि, जीसीडी और एलसीएम गणित की प्रमुख अवधारणाएं हैं और संख्या सिद्धांत, योजनामिति और संचार बीजगणित में उपयोग किए जाते हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

भिन्नों का सामान्य भाजक

कई भिन्नों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए सबसे कम सामान्य गुणक का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि एक अंकगणितीय समस्या में 5 भिन्नों का योग करना आवश्यक है:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, व्यंजक को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जो LCM को खोजने की समस्या को कम करता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 नंबरों का चयन करें और उपयुक्त सेल में हर का मान दर्ज करें। कार्यक्रम एलसीएम (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम के हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। तो अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेगा:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

उसके बाद, हम सभी भिन्नों को संगत अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों को आसानी से जोड़ सकते हैं और परिणाम 159/360 के रूप में प्राप्त कर सकते हैं। हम भिन्न को 3 से कम करते हैं और अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप के व्यंजक हैं। यदि अनुपात d / gcd(a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांकों में हल करने योग्य है। आइए एक पूर्णांक समाधान की संभावना के लिए कुछ समीकरणों की जाँच करें। सबसे पहले, समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम gcd (150.8) = 2 पाते हैं। 37/2 = 18.5 को विभाजित करें। संख्या एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण में पूर्णांक मूल नहीं होते हैं।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जाँच करें। gcd(1320, 1760) = 440 खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक गुणांक में हल करने योग्य है। .

निष्कर्ष

जीसीडी और एलसीएम संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाएं स्वयं गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। किसी भी संख्या के सबसे बड़े भाजक और सबसे छोटे गुणज की गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे a और b शेष के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर।

आइए संख्या 24 और 35 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करें।
24 के भाजक संख्या 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 और 35 के भाजक संख्या 1, 5, 7, 35 होंगे।
हम देखते हैं कि संख्याएँ 24 और 35 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्य.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्ययदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक को लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंडन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन संख्याओं को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या (यानी, दो ड्यूस) के विस्तार में शामिल नहीं हैं।
गुणनखंड 2*2*3 रहता है। उनका गुणनफल 12 होता है। यह संख्या 48 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, उन संख्याओं को काट दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर।
उदाहरण के लिए, 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है: 45, 75 और 180।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

परिभाषा। कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)प्राकृत संख्याएँ a और b सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। 75 और 60 की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को सरल कारकों में विघटित करते हैं: 75 \u003d 3 * 5 * 5, और 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5।
हम इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल गुणनखंडों को लिखते हैं, और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं (अर्थात हम गुणनखंडों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2*2*3*5*5 प्राप्त होते हैं, जिनका गुणनफल 300 होता है। यह संख्या 75 और 60 की संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक है।

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक भी ज्ञात कीजिए।

सेवा कम से कम सामान्य गुणक खोजेंकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें;
2) किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
4) परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, 12, 15, 20 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक 60 होगा, क्योंकि यह सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के मुद्दे का अध्ययन किया। एक संख्या जो अपने सभी भाजक के योग के बराबर होती है (बिना संख्या के), वे पूर्ण संख्या कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पांचवां - 33 550 336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक, वैज्ञानिक यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं, क्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे शेष प्राकृतिक संख्याएँ बनती हैं।
आपने शायद ध्यान दिया होगा कि प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से अधिक होती हैं, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। प्रश्न उठता है: क्या अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या मौजूद है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व), अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, ने साबित किया कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक सम है। अधिक अभाज्य संख्या।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ, एराटोस्थनीज ने ऐसी विधि का आविष्कार किया। उसने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिख दिया, और फिर उस इकाई को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद सभी संख्याओं में से एक को काट दिया (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, अर्थात 4, 6, 8, आदि)। 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद की सभी संख्याओं को काट दिया गया (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, अर्थात 6, 9, 12, आदि)। अंत में, केवल अभाज्य संख्याएँ ही बिना क्रॉस के रह गईं।

गणितीय अभिव्यक्तियों और कार्यों के लिए बहुत अधिक अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता होती है। एनओसी मुख्य में से एक है, विशेष रूप से अक्सर विषय में उपयोग किया जाता है। विषय का अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है, जबकि सामग्री को समझना विशेष रूप से कठिन नहीं है, शक्तियों और गुणन तालिका से परिचित व्यक्ति के लिए चयन करना मुश्किल नहीं होगा आवश्यक संख्याएँ और परिणाम खोजें।

परिभाषा

एक सामान्य गुणक एक संख्या है जिसे एक ही समय (ए और बी) में दो संख्याओं में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है। बहुधा यह संख्या मूल संख्याओं a और b को गुणा करके प्राप्त की जाती है। संख्या विचलन के बिना, एक ही बार में दोनों संख्याओं से विभाज्य होनी चाहिए।

NOC एक छोटा नाम है, जो पहले अक्षर से लिया गया है।

नंबर पाने के तरीके

एलसीएम खोजने के लिए, संख्याओं को गुणा करने की विधि हमेशा उपयुक्त नहीं होती है, यह साधारण एक-अंक या दो-अंकीय संख्याओं के लिए अधिक उपयुक्त होती है। यह कारकों में विभाजित करने के लिए प्रथागत है, जितनी बड़ी संख्या होगी, उतने अधिक कारक होंगे।

उदाहरण 1

सबसे सरल उदाहरण के लिए, स्कूल आमतौर पर साधारण, एक-अंकीय या दो-अंकीय संख्याएँ लेते हैं। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य को हल करने की आवश्यकता है, संख्या 7 और 3 में से कम से कम सामान्य गुणक खोजें, समाधान काफी सरल है, बस उन्हें गुणा करें। नतीजतन, संख्या 21 है, बस कोई छोटी संख्या नहीं है।

उदाहरण #2

दूसरा विकल्प बहुत अधिक कठिन है। संख्या 300 और 1260 दी गई है, LCM ज्ञात करना अनिवार्य है। कार्य को हल करने के लिए, निम्नलिखित क्रियाओं को माना जाता है:

पहली और दूसरी संख्याओं का सरलतम गुणनखंडों में अपघटन। 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. पहला चरण पूरा हो चुका है।

दूसरे चरण में पहले से प्राप्त आंकड़ों के साथ काम करना शामिल है। प्राप्त संख्याओं में से प्रत्येक को अंतिम परिणाम की गणना में भाग लेना चाहिए। प्रत्येक कारक के लिए, घटनाओं की सबसे बड़ी संख्या मूल संख्याओं से ली जाती है। एलसीएम एक सामान्य संख्या है, इसलिए इसमें संख्याओं से लेकर अंतिम तक के गुणनखंडों को दोहराया जाना चाहिए, यहां तक ​​कि वे भी जो एक प्रति में मौजूद हैं। दोनों प्रारंभिक संख्याओं में उनकी रचना संख्या 2, 3 और 5 है, अलग-अलग डिग्री में, 7 केवल एक मामले में है।

अंतिम परिणाम की गणना करने के लिए, आपको समीकरण में प्रत्येक संख्या को उनकी सबसे बड़ी प्रतिनिधित्व शक्तियों में लेना होगा। यह केवल गुणा करने और उत्तर प्राप्त करने के लिए बनी हुई है, सही भरने के साथ, कार्य बिना स्पष्टीकरण के दो चरणों में फिट बैठता है:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) नॉक = 6300।

इतना ही सारा काम है, यदि आप गुणा करके वांछित संख्या की गणना करने की कोशिश करते हैं, तो उत्तर निश्चित रूप से सही नहीं होगा, क्योंकि 300 * 1260 = 378,000।

इंतिहान:

6300/300 = 21 - सच;

6300/1260 = 5 सही है।

परिणाम की शुद्धता की जाँच - LCM को दोनों मूल संख्याओं से विभाजित करके निर्धारित की जाती है, यदि संख्या दोनों मामलों में पूर्णांक है, तो उत्तर सही है।

गणित में एनओसी का क्या अर्थ है

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में एक भी बेकार कार्य नहीं है, यह कोई अपवाद नहीं है। इस संख्या का सबसे सामान्य उद्देश्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना है। आमतौर पर हाई स्कूल के ग्रेड 5-6 में क्या पढ़ा जाता है। यह अतिरिक्त रूप से सभी गुणकों के लिए एक सामान्य भाजक है, यदि ऐसी स्थितियाँ समस्या में हैं। इस तरह के व्यंजक में न केवल दो संख्याओं का गुणज पाया जा सकता है, बल्कि बहुत बड़ी संख्या का भी - तीन, पाँच, इत्यादि। जितनी अधिक संख्या - कार्य में उतनी ही अधिक क्रियाएं, लेकिन इससे जटिलता नहीं बढ़ती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 250, 600 और 1500 को देखते हुए, आपको उनका कुल LCM ज्ञात करना होगा:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - यह उदाहरण बिना किसी कमी के गुणनखंड का विस्तार से वर्णन करता है।

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

एक व्यंजक की रचना करने के लिए सभी कारकों का उल्लेख करना आवश्यक है, इस स्थिति में 2, 5, 3 दिए गए हैं - इन सभी संख्याओं के लिए अधिकतम डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है।

ध्यान दें: सभी गुणकों को पूर्ण सरलीकरण में लाया जाना चाहिए, यदि संभव हो तो, एकल अंकों के स्तर तक विघटित होना चाहिए।

इंतिहान:

1) 3000/250 = 12 - सच;

2) 3000/600 = 5 - सत्य;

3) 3000/1500 = 2 सही है।

इस पद्धति के लिए किसी तरकीब या प्रतिभा स्तर की क्षमताओं की आवश्यकता नहीं है, सब कुछ सरल और स्पष्ट है।

एक और तरीका

गणित में, बहुत कुछ जुड़ा हुआ है, दो या दो से अधिक तरीकों से बहुत कुछ हल किया जा सकता है, वही कम से कम सामान्य गुणक, एलसीएम खोजने के लिए जाता है। सरल दो अंकों और एकल अंकों की संख्याओं के मामले में निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है। एक तालिका संकलित की जाती है जिसमें गुणक को लंबवत, गुणक को क्षैतिज रूप से दर्ज किया जाता है, और उत्पाद को स्तंभ के प्रतिच्छेदन कक्षों में दर्शाया जाता है। आप तालिका को एक पंक्ति के माध्यम से प्रतिबिंबित कर सकते हैं, एक संख्या ली जाती है और इस संख्या को पूर्णांक से गुणा करने के परिणाम एक पंक्ति में लिखे जाते हैं, 1 से अनंत तक, कभी-कभी 3-5 अंक पर्याप्त होते हैं, दूसरी और बाद की संख्याएं अधीन होती हैं एक ही कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया के लिए। सब कुछ तब तक होता है जब तक एक सामान्य गुणक नहीं मिल जाता।

संख्या 30, 35, 42 को देखते हुए, आपको सभी संख्याओं को जोड़ने वाला LCM ज्ञात करना होगा:

1) 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, आदि के गुणज।

2) 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, आदि के गुणज।

3) 42 के गुणज: 84, 126, 168, 210, 252, आदि।

यह ध्यान देने योग्य है कि सभी संख्याएं काफी भिन्न हैं, उनमें से एकमात्र सामान्य संख्या 210 है, इसलिए यह एलसीएम होगा। इस गणना से जुड़ी प्रक्रियाओं में सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी है, जिसकी गणना समान सिद्धांतों के अनुसार की जाती है और अक्सर पड़ोसी समस्याओं का सामना करना पड़ता है। अंतर छोटा है, लेकिन काफी महत्वपूर्ण है, एलसीएम में एक संख्या की गणना शामिल है जो सभी दिए गए प्रारंभिक मूल्यों से विभाज्य है, और जीसीडी सबसे बड़े मूल्य की गणना मानता है जिसके द्वारा प्रारंभिक संख्या विभाजित होती है।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृत संख्या a एक प्राकृत संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का भाजक कहा जाता है, और संख्या $a$ को $b$ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों के लिए एक सामान्य भाजक कहा जाता है।

$a$ और $b$ संख्याओं के सार्व भाजक का समुच्चय परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन भाजक में सबसे बड़ा एक है, जिसे संख्याओं $a$ और $b$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है, और इसे दर्शाने के लिए संकेतन का उपयोग किया जाता है:

$gcd \ (a;b) \ ​​या \ D \ (a;b)$

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना:

1. चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132 की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं को चुनिए जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

एकपदी $63$ और $81$ की GCD ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के भाजक के सेट का उपयोग करके दो संख्याओं का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।

फेसला:

$48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$ के भाजक का सेट खोजें

अब $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$ के भाजक का सेट खोजें

आइए इन सेटों के प्रतिच्छेदन का पता लगाएं: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - यह सेट $48$ और $60 की संख्या के सामान्य भाजक के सेट को निर्धारित करेगा $. इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ की संख्या होगी। तो $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12$ है।

एनओसी . की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृत संख्याओं का सार्व गुणज$a$ और $b$ एक प्राकृत संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो बिना किसी शेष के मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $25$ और $50$ की संख्याओं के लिए, सामान्य गुणक संख्याएँ $50,100,150,200$, आदि होंगी।

कम से कम सामान्य गुणक को सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा और इसे LCM$(a;b)$ या K$(a;b)$ द्वारा दर्शाया जाएगा।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें
2. उन कारकों को लिखिए जो पहली संख्या का भाग हैं और उनमें उन गुणनखंडों को जोड़ें जो दूसरी संख्या का भाग हैं और पहली संख्या पर नहीं जाते हैं।

उदाहरण 4

$99$ और $77$ की संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उन कारकों में जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर नहीं जाते हैं

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्त्य होगी

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के भाजक की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। जीसीडी खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिड का एल्गोरिदम कहा जाता है।

वे कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $a$ और $b$ प्राकृत संख्याएँ हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ ऐसी प्राकृत संख्याएँ हैं कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम विचाराधीन संख्याओं को क्रमिक रूप से कम कर सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते हैं, जैसे कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य है। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

GCD और LCM के गुण

1. $a$ और $b$ का कोई भी सामान्य गुणक K$(a;b)$ . से विभाज्य है
2. अगर $a\vdots b$ , तो K$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$-प्राकृतिक संख्या है, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$ $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

यदि $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का एक सामान्य गुणज है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य भाजक $D(a;b)$ . का भाजक है

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक सीधे उन संख्याओं के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच लिंकनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक a और b के गुणनफल के बराबर होता है, जो a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित होता है, अर्थात, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी).

प्रमाण।

रहने दो M, संख्या a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा से, कुछ पूर्णांक k ऐसा है कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M भी b से विभाज्य है, तो k, b से विभाज्य है।

gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएं लिख सकते हैं a=a 1 ·d और b=b 1 ·d, और a 1 =a:d और b 1 =b:d सहअभाज्य संख्याएं होंगी। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त यह है कि a k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: a 1 d k, b 1 d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के कारण, इस शर्त के बराबर है कि a 1 k b एक से विभाज्य है।

हमें विचाराधीन प्रमेय से दो महत्वपूर्ण उपफलों को भी लिखने की आवश्यकता है।

दो संख्याओं के सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह सच है, क्योंकि एम संख्या ए और बी के किसी भी सामान्य गुणक को समानता एम = एलसीएम (ए, बी) टी द्वारा कुछ पूर्णांक मान टी के लिए परिभाषित किया जाता है।

सहअभाज्य धनात्मक संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।

इस तथ्य का औचित्य बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1 इसलिए, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करने के लिए घटाया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है, यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है: a 1, a 2, ..., k, m k-1 और k के सामान्य गुणकों के साथ मेल खाता है, इसलिए, m k के गुणकों के साथ मेल खाता है। और चूँकि संख्या m k का लघुत्तम धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो a 1 , a 2 , …, a k का लघुत्तम समापवर्तक m k है।

ग्रंथ सूची।

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• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत की मूल बातें।
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• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: फ़िज़-मैट के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।