आज हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि से निपटते हैं। क्रैमर विधि द्वारा समान SLAE को हल करने के लिए समर्पित पिछले लेख में आप इन प्रणालियों के बारे में पढ़ सकते हैं। गॉस विधि के लिए किसी विशिष्ट ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, केवल ध्यान और निरंतरता की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बावजूद कि गणित के दृष्टिकोण से, स्कूल की तैयारी इसके आवेदन के लिए पर्याप्त है, इस पद्धति में महारत हासिल करना अक्सर छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनता है। इस लेख में, हम उन्हें कुछ भी कम करने की कोशिश करेंगे!

गॉस विधि

एम गॉस विधि SLAE (बहुत बड़ी प्रणालियों के अपवाद के साथ) को हल करने के लिए सबसे सार्वभौमिक तरीका है। पहले चर्चा किए गए के विपरीत, यह न केवल उन प्रणालियों के लिए उपयुक्त है जिनके पास एक अद्वितीय समाधान है, बल्कि उन प्रणालियों के लिए भी उपयुक्त है जिनके पास अनंत समाधान हैं। यहां तीन विकल्प हैं।

1. सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है);
2. सिस्टम में अनंत समाधान हैं;
3. कोई समाधान नहीं है, सिस्टम असंगत है।

तो, हमारे पास एक प्रणाली है (इसे एक समाधान होने दें), और हम इसे गाऊसी पद्धति का उपयोग करके हल करने जा रहे हैं। यह काम किस प्रकार करता है?

गाऊसी पद्धति में दो चरण होते हैं - प्रत्यक्ष और उलटा।

प्रत्यक्ष गॉस विधि

सबसे पहले, हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मुख्य मैट्रिक्स में मुक्त सदस्यों का एक कॉलम जोड़ते हैं।

गाऊसी पद्धति का संपूर्ण सार प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से दिए गए मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध (या, जैसा कि वे कहते हैं, त्रिकोणीय) रूप में लाना है। इस रूप में, मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के नीचे (या ऊपर) केवल शून्य होना चाहिए।

क्या किया जा सकता है:

1. आप मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं;
2. यदि मैट्रिक्स में समान (या आनुपातिक) पंक्तियाँ हैं, तो आप उनमें से एक को छोड़कर सभी को हटा सकते हैं;
3. आप स्ट्रिंग को किसी भी संख्या से गुणा या भाग कर सकते हैं (शून्य को छोड़कर);
4. शून्य रेखाएं हटा दी जाती हैं;
5. आप एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके एक स्ट्रिंग में जोड़ सकते हैं।

रिवर्स गॉस विधि

सिस्टम को इस तरह से बदलने के बाद, एक अज्ञात xn ज्ञात हो जाता है, और शेष सभी अज्ञात को उल्टे क्रम में खोजना संभव है, पहले से ज्ञात x को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करके, पहले वाले तक।

जब इंटरनेट हमेशा हाथ में हो, तो आप गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं ऑनलाइन ।आपको केवल ऑनलाइन कैलकुलेटर में ऑड्स दर्ज करना है। लेकिन आपको स्वीकार करना चाहिए, यह महसूस करना अधिक सुखद है कि उदाहरण कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा नहीं, बल्कि आपके अपने मस्तिष्क द्वारा हल किया गया था।

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

और अब - एक उदाहरण, ताकि सब कुछ स्पष्ट और समझ में आ जाए। मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है, और इसे गॉस विधि द्वारा हल करना आवश्यक है:

सबसे पहले, आइए संवर्धित मैट्रिक्स लिखें:

आइए अब एक नजर डालते हैं इन बदलावों पर। याद रखें कि हमें मैट्रिक्स के त्रिकोणीय रूप को प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें और प्राप्त करें:

फिर तीसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

पहली पंक्ति को (6) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (13) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

वोइला - सिस्टम को उचित रूप में लाया जाता है। यह अज्ञात को खोजने के लिए बनी हुई है:

इस उदाहरण में सिस्टम का एक अनूठा समाधान है। हम एक अलग लेख में समाधान के अनंत सेट के साथ सिस्टम के समाधान पर विचार करेंगे। शायद पहली बार में आपको यह नहीं पता होगा कि मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्मेशन कहां से शुरू करें, लेकिन उचित अभ्यास के बाद आप इस पर अपना हाथ रख लेंगे और नट्स की तरह गॉसियन SLAE पर क्लिक करेंगे। और अगर आप अचानक एक एसएलएयू में आते हैं, जो बहुत मुश्किल हो जाता है, तो हमारे लेखकों से संपर्क करें! आप पत्राचार में एक आवेदन छोड़कर कर सकते हैं। हम सब मिलकर किसी भी समस्या का समाधान करेंगे!

गॉस विधिरैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणालियों को हल करने के लिए बहुत अच्छा है। अन्य तरीकों की तुलना में इसके कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, संगतता के लिए समीकरणों की प्रणाली की पूर्व-जांच की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरे, गॉस विधि का उपयोग न केवल SLAE को हल करने के लिए किया जा सकता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी है जिसमें समीकरणों की संख्या मेल नहीं खाती है अज्ञात चर की संख्या या मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य के बराबर है;
• तीसरा, गॉस विधि अपेक्षाकृत कम संख्या में कम्प्यूटेशनल संचालन के साथ परिणाम देती है।

लेख की संक्षिप्त समीक्षा।

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएँ देते हैं और कुछ संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

अगला, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिथ्म का वर्णन करते हैं, अर्थात रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाता है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक नहीं हैं शून्य के बराबर। समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस पद्धति का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जिसमें अज्ञात चर का क्रमिक उन्मूलन होता है। इसलिए, गॉसियन विधि को अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। आइए हम कई उदाहरणों के विस्तृत समाधान दिखाते हैं।

अंत में, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के गाऊसी समाधान पर विचार करते हैं, जिसका मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या पतित है। ऐसी प्रणालियों के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं, जिनका हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

बुनियादी परिभाषाएँ और संकेतन।

n अज्ञात के साथ p रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें (p n के बराबर हो सकता है):

जहां अज्ञात चर हैं, संख्याएं हैं (वास्तविक या जटिल), स्वतंत्र सदस्य हैं।

यदि एक , तब रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय कहलाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चरों के मानों का समुच्चय, जिसमें निकाय के सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, कहलाते हैं SLAU निर्णय.

यदि रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का कम से कम एक हल हो, तो उसे कहते हैं संयुक्त, अन्यथा - असंगत.

यदि किसी SLAE का एक अनूठा समाधान है, तो उसे कहा जाता है निश्चित. यदि एक से अधिक हल हों, तो निकाय कहलाता है ढुलमुल.

कहा जाता है कि सिस्टम में लिखा गया है समन्वय प्रपत्रअगर इसका रूप है
.

में यह प्रणाली मैट्रिक्स फॉर्मअभिलेखों का रूप है, जहां - SLAE का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के कॉलम का मैट्रिक्स, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1)-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर T द्वारा निरूपित किया जाता है, और मुक्त सदस्यों के स्तंभ को शेष स्तंभों से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है पतितयदि इसका सारणिक शून्य है। यदि , तो मैट्रिक्स A को कहा जाता है गैर पतित.

निम्नलिखित बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के साथ निम्नलिखित क्रियाएं की जाती हैं

• दो समीकरण स्वैप करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक मनमाना और गैर-शून्य वास्तविक (या जटिल) संख्या k से गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों भागों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को एक मनमाना संख्या k से गुणा करके जोड़ें,

तब हमें एक समान प्रणाली मिलती है जिसमें समान समाधान होते हैं (या, मूल की तरह, कोई समाधान नहीं होता है)।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन क्रियाओं का अर्थ होगा पंक्तियों के साथ प्राथमिक परिवर्तन:

• दो तारों की अदला-बदली
• मैट्रिक्स T की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या k से गुणा करना,
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़ना, एक मनमाना संख्या k से गुणा करना।

अब हम गॉस विधि के विवरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

गॉस विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट होता है।

अगर हमें समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने का काम दिया जाए तो हम स्कूल में क्या करेंगे? .

कुछ ऐसा करेंगे।

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के बाईं ओर पहले समीकरण के बाईं ओर और दाईं ओर दाईं ओर जोड़कर, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 ढूंढ सकते हैं:

हम सिस्टम के पहले और तीसरे समीकरणों में पाए गए मान x 1 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि हम निकाय के तीसरे समीकरण के दोनों भागों को -1 से गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संगत भागों में जोड़ते हैं, तो हम अज्ञात चर x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और x 2 पा सकते हैं:

हम प्राप्त मान x 2 \u003d 2 को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर x 3 पाते हैं:

दूसरों ने अन्यथा किया होता।

आइए अज्ञात चर x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और इस चर को उनसे बाहर करने के लिए सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों में परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें:

अब x 2 के संबंध में सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करते हैं और अज्ञात चर x 2 को इससे बाहर करने के लिए प्राप्त परिणाम को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यह प्रणाली के तीसरे समीकरण से देखा जा सकता है कि x 3 =3। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं , और पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

परिचित समाधान, है ना?

यहां सबसे दिलचस्प बात यह है कि दूसरी समाधान विधि अनिवार्य रूप से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है, अर्थात गॉस विधि। जब हमने अज्ञात चरों (पहले x 1 , अगले x 2 ) को व्यक्त किया और उन्हें सिस्टम के बाकी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर कर दिया। हमने उस समय तक अपवाद को अंजाम दिया जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात चर नहीं बचा। अज्ञातों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. आगे की चाल पूरी होने के बाद, हमारे पास अंतिम समीकरण में अज्ञात चर की गणना करने का अवसर है। इसकी मदद से, अंतिम समीकरण से, हम अगला अज्ञात चर पाते हैं, और इसी तरह। अंतिम समीकरण से पहले समीकरण की ओर बढ़ते हुए अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से खोजने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 1 को x 2 और x 3 के रूप में व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं समान परिणाम देती हैं:

दरअसल, ऐसी प्रक्रिया हमें अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करने की अनुमति देती है:

गॉस विधि द्वारा अज्ञात चर के उन्मूलन के साथ बारीकियां तब उत्पन्न होती हैं जब सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, SLAU . में पहले समीकरण में, कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम इस अज्ञात चर को शेष समीकरणों से बाहर करने के लिए x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने का तरीका व्यवस्था के समीकरणों की अदला-बदली करना है। चूंकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं जिनके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य से भिन्न होते हैं, वहां हमेशा एक समीकरण मौजूद होता है जिसमें हमें जिस चर की आवश्यकता होती है वह मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता होती है। हमारे उदाहरण के लिए, सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है , तो आप x 1 के लिए पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और इसे सिस्टम के बाकी समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालाँकि x 1 पहले से ही दूसरे समीकरण में अनुपस्थित है)।

हमें उम्मीद है कि आपको सार मिल गया होगा।

आइए वर्णन करें गॉस विधि एल्गोरिथ्म।

आइए हमें n रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है जिसमें n अज्ञात चर के रूप में है , और इसके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक को गैर-शून्य होने दें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। हम अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, दूसरे से शुरू करते हुए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, पहले को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहां एक .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे गुणा को जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, दूसरे को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहां एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि इसी तरह से कार्य करते हुए सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम पिछले समीकरण से x n की गणना करते हैं, जैसे कि x n के प्राप्त मूल्य का उपयोग करके हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम x 1 को पाते हैं पहला समीकरण।

आइए एक उदाहरण के साथ एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

गाऊसी विधि।

फेसला।

गुणांक ए 11 शून्य से अलग है, तो चलिए गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम पर आगे बढ़ते हैं, अर्थात, पहले वाले को छोड़कर, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को समाप्त करने के लिए। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को क्रमशः गुणा करके जोड़ें, और :

अज्ञात चर x 1 को हटा दिया गया है, आइए बहिष्करण x 2 पर चलते हैं। प्रणाली के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, हम दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करके जोड़ते हैं और :

गॉस विधि के आगे के पाठ्यक्रम को पूरा करने के लिए, हमें अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता है। चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में क्रमशः, तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करके जोड़ें :

आप गॉस विधि का उल्टा कोर्स शुरू कर सकते हैं।

पिछले समीकरण से हमारे पास है ,
तीसरे समीकरण से हमें मिलता है,
दूसरे से
पहले से।

जाँच करने के लिए, आप अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की मूल प्रणाली में स्थानापन्न कर सकते हैं। सभी समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, जिसका अर्थ है कि गॉस विधि द्वारा हल सही पाया गया।

जवाब:

और अब हम इसी उदाहरण के हल को गॉस विधि द्वारा आव्यूह रूप में देंगे।

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें गाऊसी विधि।

फेसला।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है . प्रत्येक कॉलम के ऊपर अज्ञात चर लिखे होते हैं, जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप होते हैं।

गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक समलम्बाकार रूप में लाना शामिल है। यह प्रक्रिया अज्ञात चर के बहिष्करण के समान है जो हमने सिस्टम के साथ समन्वय रूप में किया था। अब आपको यकीन हो गया होगा।

आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि दूसरे से शुरू होने वाले पहले कॉलम में सभी तत्व शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में, पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें, और क्रमशः:

अगला, हम परिणामी मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं ताकि दूसरे कॉलम में, तीसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाएं। यह अज्ञात चर x 2 को बाहर करने के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें और :

यह अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों में, हम अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है

जो प्रत्यक्ष चाल के बाद पहले प्राप्त हुआ था।

वापस मुड़ने का समय आ गया है। संकेतन के मैट्रिक्स रूप में, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स में परिणामी मैट्रिक्स का ऐसा परिवर्तन शामिल होता है, जिससे मैट्रिक्स को आकृति में चिह्नित किया जाता है

विकर्ण बन गया, अर्थात् रूप धारण कर लिया

कुछ नंबर कहां हैं।

ये परिवर्तन गॉस पद्धति के समान हैं, लेकिन पहली पंक्ति से अंतिम तक नहीं, बल्कि अंतिम से पहली तक की जाती हैं।

तीसरी, दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में अंतिम पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें , इत्यादि क्रमश:

अब दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में तीसरी पंक्ति के संगत तत्वों को क्रमशः और से गुणा करते हैं:

गाऊसी विधि के रिवर्स मोशन के अंतिम चरण में, हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को पहली पंक्ति के तत्वों से गुणा करके जोड़ते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है , जिसमें से हम अज्ञात चर पाते हैं।

जवाब:

टिप्पणी।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस पद्धति का उपयोग करते समय, अनुमानित गणनाओं से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे बिल्कुल गलत परिणाम हो सकते हैं। हम अनुशंसा करते हैं कि आप दशमलव को गोल न करें। दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न में जाना बेहतर है।

उदाहरण।

गाऊसी विधि द्वारा तीन समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

फेसला।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में, अज्ञात चरों का एक अलग पदनाम है (x 1 , x 2 , x 3 नहीं, बल्कि x, y, z )। आइए सामान्य भिन्नों पर चलते हैं:

सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात x को हटा दें:

परिणामी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में कोई अज्ञात चर y नहीं है, और y तीसरे समीकरण में मौजूद है, इसलिए, हम दूसरे और तीसरे समीकरण को स्वैप करते हैं:

इस बिंदु पर, गॉस विधि का प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम समाप्त हो गया है (आपको y को तीसरे समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब मौजूद नहीं है)।

चलिये वापस चलते हैं।

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं ,
अंतिम से


पहले समीकरण से हमारे पास है

जवाब:

एक्स = 10, वाई = 5, जेड = -20।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है, या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गॉस विधि द्वारा पतित है।

समीकरणों की प्रणाली जिसका मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्ग पतित है, का कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक एकल समाधान हो सकता है, या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि कैसे गॉस विधि हमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता या असंगति स्थापित करने की अनुमति देती है, और इसकी संगतता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) निर्धारित करें।

सिद्धांत रूप में, ऐसे SLAE के मामले में अज्ञात चर को समाप्त करने की प्रक्रिया समान रहती है। हालांकि, यह कुछ स्थितियों पर विस्तार से ध्यान देने योग्य है जो उत्पन्न हो सकती हैं।

आइए सबसे महत्वपूर्ण कदम पर चलते हैं।

तो, आइए मान लें कि गॉस विधि के फॉरवर्ड रन के पूरा होने के बाद रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है और कोई भी समीकरण कम नहीं हुआ (इस मामले में, हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि सिस्टम असंगत है)। एक तार्किक प्रश्न उठता है: "आगे क्या करना है"?

हम अज्ञात चर लिखते हैं जो परिणामी प्रणाली के सभी समीकरणों के पहले स्थान पर हैं:

हमारे उदाहरण में, ये x 1 , x 4 और x 5 हैं। सिस्टम के समीकरणों के बाएं हिस्सों में, हम केवल उन शब्दों को छोड़ते हैं जिनमें लिखित अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, हम शेष शर्तों को विपरीत चिह्न के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम अज्ञात चरों के लिए मनमाना मान निर्दिष्ट करें जो समीकरणों के दायीं ओर हैं, जहां - मनमानी संख्या:

उसके बाद, हमारे SLAE के सभी समीकरणों के सही भागों में संख्याएँ पाई जाती हैं और हम गॉस विधि के रिवर्स कोर्स के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, हम पाते हैं कि अंतिम समीकरण से, पहले समीकरण से हमें मिलता है

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अज्ञात चर के मूल्यों का समूह है

नंबर देना अलग-अलग मान, हमें समीकरणों की प्रणाली के अलग-अलग समाधान मिलेंगे। अर्थात्, हमारे समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

जवाब:

कहाँ पे - मनमानी संख्या।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कई और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

रैखिक बीजीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

फेसला।

आइए अज्ञात चर x को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को, क्रमशः, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, गुणा करके, और तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ें। पहला समीकरण, इससे गुणा:

अब हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली के तीसरे समीकरण से y को बाहर करते हैं:

परिणामी SLAE सिस्टम के समतुल्य है .

हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर केवल अज्ञात चर x और y वाले पदों को छोड़ते हैं, और अज्ञात चर z वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करना जारी रखते हैं। यह पाठ इस विषय पर तीसरा है। यदि आपके पास सामान्य रूप से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अस्पष्ट विचार है, तो आप एक चायदानी की तरह महसूस करते हैं, तो मैं अगले पृष्ठ पर मूल बातें शुरू करने की सलाह देता हूं, यह पाठ का अध्ययन करने के लिए उपयोगी है।

गॉस विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने जीवनकाल के दौरान, अब तक के सबसे महान गणितज्ञ, एक प्रतिभाशाली और यहां तक ​​​​कि "गणित के राजा" उपनाम के रूप में मान्यता प्राप्त की। और सब कुछ सरल, जैसा कि आप जानते हैं, सरल है!वैसे, न केवल चूसने वाले, बल्कि प्रतिभाशाली भी पैसे में आते हैं - गॉस का चित्र 10 Deutschmark (यूरो की शुरुआत से पहले) के बिल पर फहराया गया था, और गॉस अभी भी रहस्यमय तरीके से जर्मनों पर साधारण डाक टिकटों से मुस्कुराता है।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि इसके विकास के लिए, एक पांचवें-ग्रेडर का ज्ञान पर्याप्त है। जोड़ने और गुणा करने में सक्षम होना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि स्कूल के गणित ऐच्छिक में शिक्षकों द्वारा अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि पर अक्सर विचार किया जाता है। यह एक विरोधाभास है, लेकिन गॉस पद्धति छात्रों के लिए सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है। कुछ भी आश्चर्य की बात नहीं है - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिदम के बारे में एक सुलभ रूप में बताने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में ज्ञान को थोड़ा व्यवस्थित करते हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कर सकते हैं:

1) एक अनूठा समाधान है। 2) असीम रूप से कई समाधान हैं। 3) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण है कोई भीरैखिक समीकरणों की प्रणाली। जैसा कि हम याद करते हैं क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि फिर भीहमें उत्तर की ओर ले चलो! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, एक लेख अंक संख्या 2-3 की स्थितियों के लिए आरक्षित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि एल्गोरिथ्म स्वयं तीनों मामलों में उसी तरह काम करता है।

आइए पाठ से सबसे सरल प्रणाली पर लौटते हैं रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?और इसे गाऊसी विधि से हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली: . गुणांक किस सिद्धांत से दर्ज किए जाते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है। मैट्रिक्स के अंदर खड़ी रेखा का कोई गणितीय अर्थ नहीं है - यह डिजाइन की आसानी के लिए सिर्फ एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ : मैं याद रखने की सलाह देता हूं शर्तें लीनियर अलजेब्रा। सिस्टम मैट्रिक्स अज्ञात के लिए केवल गुणांक से बना एक मैट्रिक्स है, इस उदाहरण में, सिस्टम का मैट्रिक्स: . विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स सिस्टम का एक ही मैट्रिक्स है और इस मामले में मुक्त सदस्यों का एक कॉलम है: . किसी भी मैट्रिक्स को संक्षिप्तता के लिए केवल एक मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें यह भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान। उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को सुरक्षित रूप से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या प्रकट) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो वह भी इस प्रकार है मिटाना. मैं नहीं खींचूंगा, निश्चित रूप से, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें केवल शून्य.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति हो सकती है गुणा (विभाजित)किसी भी संख्या के लिए गैर-शून्य. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहां पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करने और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . यह क्रिया बहुत उपयोगी है क्योंकि यह मैट्रिक्स के आगे के परिवर्तनों को सरल बनाती है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में कुछ भी जटिल नहीं है। मैट्रिक्स की पंक्ति के लिए, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। एक व्यावहारिक उदाहरण से हमारे मैट्रिक्स पर विचार करें: . सबसे पहले, मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूंगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , और दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करते हैं: . अब पहली पंक्ति को "बैक" को -2: से विभाजित किया जा सकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, वह रेखा जो जोड़ा गया है ली – नहीं बदला है. हमेशालाइन बदल दी गई है, जिसमें जोड़ा गया है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, निश्चित रूप से, वे इस तरह के विवरण में पेंट नहीं करते हैं, लेकिन कम लिखते हैं: एक बार फिर: दूसरी पंक्ति के लिए पहली पंक्ति को -2 . से गुणा किया गया. रेखा को आमतौर पर मौखिक रूप से या मसौदे पर गुणा किया जाता है, जबकि गणना का मानसिक पाठ्यक्रम कुछ इस तरह होता है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं: »

पहला कॉलम पहले। नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं उपरोक्त इकाई को -2: से गुणा करता हूं, और पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"अब दूसरा कॉलम। ऊपर -1 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"और तीसरा कॉलम। ऊपर -5 गुना -2: . मैं दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण के बारे में ध्यान से सोचें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गॉस विधि व्यावहारिक रूप से "आपकी जेब में" है। लेकिन, निश्चित रूप से, हम अभी भी इस परिवर्तन पर काम कर रहे हैं।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान: जोड़तोड़ माना जाता है उपयोग नहीं कर सकते, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहां मैट्रिक्स "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "क्लासिक" के साथ मैट्रिक्सकिसी भी स्थिति में आपको मैट्रिसेस के अंदर कुछ पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए! आइए अपने सिस्टम पर लौटते हैं। वह व्यावहारिक रूप से टुकड़ों में टूट गई है।

आइए हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। और फिर: हम पहली पंक्ति को -2 से क्यों गुणा करते हैं? तल पर शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य – मैट्रिक्स को स्टेप फॉर्म में बदलें: . कार्य के डिजाइन में, वे सीधे "सीढ़ी" को एक साधारण पेंसिल से खींचते हैं, और "चरणों" पर स्थित संख्याओं को भी घेरते हैं। शब्द "स्टेप्ड व्यू" अपने आप में पूरी तरह से सैद्धांतिक नहीं है; वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य में, इसे अक्सर कहा जाता है समलम्बाकार दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया है समकक्षसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनट्विस्टेड" करने की आवश्यकता है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है रिवर्स गॉस विधि.

निचले समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है: .

सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और इसमें "y" के पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें:

आइए सबसे सामान्य स्थिति पर विचार करें, जब तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें:

अब मैं तुरंत वह परिणाम निकालूंगा जो हम समाधान के दौरान आएंगे: और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाना है। कार्रवाई कहाँ से शुरू करें?

सबसे पहले, ऊपरी बाएँ नंबर को देखें: लगभग हमेशा यहाँ होना चाहिए इकाई. सामान्यतया, -1 (और कभी-कभी अन्य नंबर) भी उपयुक्त होंगे, लेकिन किसी तरह यह पारंपरिक रूप से हुआ है कि एक इकाई आमतौर पर वहां रखी जाती है। एक इकाई को कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक तैयार इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. अब ठीक है।

ऊपर बाईं ओर इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन जगहों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

शून्य केवल "कठिन" परिवर्तन की सहायता से प्राप्त किए जाते हैं। सबसे पहले, हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। प्रथम स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? जरुरत दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -2: (-2, -4, 2, -18) से गुणा करते हैं। और हम लगातार (मानसिक रूप से या मसौदे पर) जोड़ देते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, पहले से ही -2 . से गुणा किया जाता है:

परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा गया है:

इसी तरह, हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से निपटते हैं। पहली स्थिति में शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -3: (-3, -6, 3, -27) से गुणा करते हैं। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करते हैं:

परिणाम तीसरी पंक्ति में लिखा गया है:

व्यवहार में, इन क्रियाओं को आमतौर पर मौखिक रूप से किया जाता है और एक चरण में लिखा जाता है:

एक ही समय में सब कुछ गिनने की आवश्यकता नहीं है. गणना का क्रम और परिणामों का "सम्मिलन" एक जैसाऔर आम तौर पर इस तरह: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और अपने आप को चुपचाप फुलाते हैं - लगातार और ध्यान से:
और मैंने पहले से ही ऊपर की गणना के मानसिक पाठ्यक्रम पर विचार किया है।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है, हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (चूंकि सभी संख्याएं शेष के बिना 5 से विभाज्य हैं)। उसी समय, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्या जितनी छोटी होगी, समाधान उतना ही सरल होगा:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, यहां एक और शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -2 . से गुणा करते हैं:
इस क्रिया को स्वयं पार्स करने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ दें।

अंतिम क्रिया परिणाम की केश विन्यास है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समान प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की गई थी: ठंडा।

अब गाऊसी पद्धति का उल्टा कोर्स चलन में आता है। समीकरण नीचे से ऊपर की ओर "खोलें"।

तीसरे समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण को देखें: . "z" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "Y" और "Z" ज्ञात हैं, बात छोटी है:

जवाब:

जैसा कि बार-बार उल्लेख किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए, पाया गया समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह मुश्किल और तेज़ नहीं है।

उदाहरण 2

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है, पाठ के अंत में परिष्करण का एक नमूना और एक उत्तर है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका कार्रवाई के दौरानमेरी कार्यशैली से मेल नहीं खा सकता है, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन जवाब वही होना चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। मैंने यह किया: (1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 . से गुणा करते हैं. यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। कौन +1 प्राप्त करना चाहता है एक अतिरिक्त इशारा कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो एक गणना त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यही है, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, , तो उच्च स्तर की संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि की गई थी।

हम रिवर्स मूव को चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, नीचे से ऊपर तक काम करता है। हाँ, यहाँ एक उपहार है:

जवाब: .

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, यह कुछ अधिक जटिल है। कोई भ्रमित हो जाए तो कोई बात नहीं। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और डिजाइन का नमूना। आपका समाधान मेरे से भिन्न हो सकता है।

अंतिम भाग में, हम गॉस एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं पर विचार करते हैं। पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए: सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को सही ढंग से कैसे लिखें? मैंने इस क्षण के बारे में पाठ में पहले ही बात कर ली है। क्रेमर का नियम। मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लापता चर के स्थान पर शून्य डालते हैं: वैसे, यह एक काफी आसान उदाहरण है, क्योंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और प्रदर्शन करने के लिए कम प्राथमिक परिवर्तन हैं।

दूसरी विशेषता यह है। विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने या तो -1 या +1 को "चरणों" पर रखा है। क्या अन्य संख्याएँ हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं। प्रणाली पर विचार करें: .

यहाँ ऊपरी बाएँ "स्टेप" पर हमारे पास एक ड्यूस है। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम में सभी संख्याएं शेष के बिना 2 से विभाज्य हैं - और अन्य दो और छह। और ऊपर बाईं ओर का ड्यूस हमें सूट करेगा! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करें। इस प्रकार, हम पहले कॉलम में वांछित शून्य प्राप्त करेंगे।

या एक और काल्पनिक उदाहरण: . यहां, दूसरे "रंग" पर ट्रिपल भी हमें सूट करता है, क्योंकि 12 (वह स्थान जहां हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता होती है) बिना शेष के 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें जो शून्य चाहिए वह प्राप्त होगा।

गॉस विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक विशेषता है। आप आत्मविश्वास से सीख सकते हैं कि सिस्टम को अन्य तरीकों से कैसे हल किया जाए (क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि) सचमुच पहली बार - एक बहुत ही कठोर एल्गोरिदम है। लेकिन गॉस पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपना हाथ भरना" चाहिए और कम से कम 5-10 दस प्रणालियों को हल करना चाहिए। इसलिए, पहले तो भ्रम हो सकता है, गणना में त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम .... इसलिए, सभी के लिए, एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक अधिक जटिल उदाहरण:

उदाहरण 5

गॉस विधि का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ 4 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि एक चायदानी भी जिसने इस पृष्ठ का विस्तार से अध्ययन किया है, इस तरह की प्रणाली को सहज रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझता है। मूल रूप से वही - बस और अधिक कार्रवाई।

ऐसे मामले जब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीम रूप से कई समाधान हैं, पाठ में विचार किया जाता है। एक आम समाधान के साथ असंगत सिस्टम और सिस्टम. वहां आप गॉस विधि के सुविचारित एल्गोरिथम को ठीक कर सकते हैं।

आप शुभकामनाएँ!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: फेसला : आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं।
प्रदर्शन प्राथमिक परिवर्तन: (1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया। ध्यान! यहां पहली को तीसरी पंक्ति से घटाना आकर्षक हो सकता है, मैं दृढ़ता से घटाने की अनुशंसा नहीं करता - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। हम सिर्फ गुना! (2) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है। टिप्पणी कि "कदमों" पर हम न केवल एक से, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है। (3) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके जोड़ें। (4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

जवाब : .

उदाहरण 4: फेसला : आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण: (1) पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ी गई। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "चरण" पर व्यवस्थित होती है। (2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" के साथ सब कुछ बदतर है , इसके लिए "उम्मीदवार" संख्या 17 और 23 हैं, और हमें या तो एक या -1 की आवश्यकता है। रूपांतरण (3) और (4) का उद्देश्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा (3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया। (4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरे चरण में आवश्यक वस्तु प्राप्त होती है . (5) तीसरी पंक्ति में दूसरी को जोड़ा गया, 6 से गुणा किया गया। (6) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, तीसरी पंक्ति को -83 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

जवाब :

उदाहरण 5: फेसला : आइए सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण: (1) पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है। (2) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया था। (3) दूसरी पंक्ति को 4 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया। (4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया है। चौथी पंक्ति को 3 से विभाजित करके तीसरी पंक्ति के स्थान पर रखा गया। (5) तीसरी पंक्ति को -5 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

उलटी चाल:

जवाब :

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए, जिसे हल किया जाना चाहिए (अज्ञात i के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) एक अनूठा समाधान है।

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली के समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, कौन सा प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले चलो! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिथ्म एक ही तरह से काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह प्रणाली का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांक से बना है, साथ ही मुक्त शर्तों का एक स्तंभ)गॉस विधि में रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली:

1) साथ ट्रोकीमैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या हैं) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ।

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी इस प्रकार है मिटाना.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति कर सकते हैं गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी भी संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरणबद्ध रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य के बराबर हैं (ऊपर-नीचे की चाल) ) उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1) आइए हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 पर गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में होता है, और K से गुणा करते हैं। उसके बाद, दूसरे समीकरण से पहले घटाएं ( अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक)। हम दूसरे समीकरण में x 1 पर गुणांक 0 प्राप्त करते हैं। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं, इसलिए जब तक कि पहले को छोड़कर, अज्ञात x 1 वाले सभी समीकरणों में गुणांक 0 नहीं होगा।

2) अगले समीकरण पर जाएं। मान लें कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 पर गुणांक M के बराबर है। सभी "अधीनस्थ" समीकरणों के साथ, हम ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, सभी समीकरणों में "अंडर" अज्ञात x 2 शून्य होगा।

3) हम अगले समीकरण को पास करते हैं और इसी तरह जब तक एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त शब्द नहीं रहता।

1. गॉस विधि का "रिवर्स मूव" रैखिक बीजीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है। अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान मिलता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n \u003d B को हल करते हैं। ऊपर के उदाहरण में, x 3 \u003d 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, अर्थात्। x 2 \u003d 5. और इसी तरह जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं, हम गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आइए इसे इस तरह करें:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त क्रिया कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

2 कदम . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

3 कदम . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 कदम . तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके जोड़ें।

5 कदम . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया है।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे (0 0 11 | 23) जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्राथमिक के दौरान एक गलती की गई थी परिवर्तन।

हम रिवर्स मूव करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, "नीचे से ऊपर तक" काम करता है। इस उदाहरण में, उपहार निकला:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

जवाब:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से भाग दें।

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

हम पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाते हैं, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 . से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

हम तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं, हमें "चरणबद्ध" संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना की प्रक्रिया में जमा हुई त्रुटि के बाद से, हमें x 3 \u003d 0.96, या लगभग 1 मिलता है।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह से हल करने से आप गणना में कभी भी भ्रमित नहीं होंगे और गणना त्रुटियों के बावजूद आपको परिणाम मिलेगा।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि आसानी से प्रोग्राम करने योग्य है और अज्ञात के लिए गुणांक की विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखती है, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

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16वीं-18वीं शताब्दी की शुरुआत से ही गणितज्ञों ने कार्यों का गहन अध्ययन करना शुरू किया, जिसकी बदौलत हमारे जीवन में बहुत कुछ बदल गया है। इस ज्ञान के बिना कंप्यूटर तकनीक का अस्तित्व ही नहीं होगा। जटिल समस्याओं, रैखिक समीकरणों और कार्यों को हल करने के लिए, विभिन्न अवधारणाओं, प्रमेयों और समाधान तकनीकों का निर्माण किया गया है। रैखिक समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए ऐसी सार्वभौमिक और तर्कसंगत विधियों और तकनीकों में से एक गॉस विधि थी। मैट्रिक्स, उनकी रैंक, निर्धारक - जटिल संचालन का उपयोग किए बिना सब कुछ की गणना की जा सकती है।

SLAU क्या है?

गणित में, SLAE की अवधारणा है - रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली। वह क्या प्रतिनिधित्व करती है? यह आवश्यक n अज्ञात के साथ m समीकरणों का एक सेट है, जिसे आमतौर पर x, y, z, या x 1, x 2 ... x n, या अन्य प्रतीकों के रूप में दर्शाया जाता है। गाऊसी पद्धति से इस प्रणाली को हल करने का अर्थ है सभी अज्ञात अज्ञात को खोजना। यदि किसी निकाय में अज्ञात और समीकरणों की संख्या समान है, तो इसे n-वें क्रम प्रणाली कहा जाता है।

SLAE को हल करने के सबसे लोकप्रिय तरीके

माध्यमिक शिक्षा के शिक्षण संस्थानों में, ऐसी प्रणालियों को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन किया जा रहा है। अक्सर, ये दो अज्ञात से मिलकर सरल समीकरण होते हैं, इसलिए इनका उत्तर खोजने के लिए किसी भी मौजूदा विधि में अधिक समय नहीं लगेगा। यह एक प्रतिस्थापन विधि की तरह हो सकता है, जब एक अन्य समीकरण एक समीकरण से प्राप्त किया जाता है और मूल एक में प्रतिस्थापित किया जाता है। या टर्म बाय टर्म घटाव और जोड़। लेकिन गॉस विधि को सबसे आसान और सबसे सार्वभौमिक माना जाता है। यह किसी भी अज्ञात संख्या के साथ समीकरणों को हल करना संभव बनाता है। इस तकनीक को तर्कसंगत क्यों माना जाता है? सब कुछ सरल है। मैट्रिक्स विधि अच्छी है क्योंकि इसे अज्ञात के रूप में अनावश्यक वर्णों को फिर से लिखने के लिए कई बार आवश्यकता नहीं होती है, यह गुणांक पर अंकगणितीय संचालन करने के लिए पर्याप्त है - और आपको एक विश्वसनीय परिणाम मिलेगा।

व्यवहार में SLAE का उपयोग कहाँ किया जाता है?

SLAE का समाधान कार्यों के ग्राफ़ पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु हैं। हमारे हाई-टेक कंप्यूटर युग में, जो लोग गेम और अन्य कार्यक्रमों के विकास में निकटता से शामिल हैं, उन्हें यह जानने की जरूरत है कि ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, वे क्या प्रतिनिधित्व करते हैं और परिणामी परिणाम की शुद्धता की जांच कैसे करें। अक्सर, प्रोग्रामर विशेष रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर विकसित करते हैं, इसमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली शामिल होती है। गॉस विधि आपको सभी मौजूदा समाधानों की गणना करने की अनुमति देती है। अन्य सरलीकृत सूत्रों और तकनीकों का भी उपयोग किया जाता है।

SLAE संगतता मानदंड

ऐसी व्यवस्था तभी हल हो सकती है जब यह संगत हो। स्पष्टता के लिए, हम SLAE को Ax=b रूप में प्रस्तुत करते हैं। इसका एक हल है यदि rang(A) बराबर rang(A,b) है। इस मामले में, (ए, बी) एक विस्तारित फॉर्म मैट्रिक्स है जिसे मैट्रिक्स ए से मुक्त शर्तों के साथ फिर से लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। यह पता चला है कि गाऊसी पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करना काफी आसान है।

शायद कुछ अंकन पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, इसलिए हर चीज पर एक उदाहरण के साथ विचार करना आवश्यक है। मान लें कि एक प्रणाली है: x+y=1; 2x-3y=6. इसमें केवल दो समीकरण होते हैं जिनमें 2 अज्ञात होते हैं। सिस्टम का समाधान तभी होगा जब उसके मैट्रिक्स की रैंक संवर्धित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो। एक रैंक क्या है? यह प्रणाली की स्वतंत्र रेखाओं की संख्या है। हमारे मामले में, मैट्रिक्स की रैंक 2 है। मैट्रिक्स ए में अज्ञात के पास स्थित गुणांक शामिल होंगे, और "=" चिह्न के पीछे गुणांक भी विस्तारित मैट्रिक्स में फिट होंगे।

SLAE को मैट्रिक्स रूप में क्यों दर्शाया जा सकता है

सिद्ध क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार संगतता मानदंड के आधार पर, रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है। गॉसियन कैस्केड विधि का उपयोग करके, आप मैट्रिक्स को हल कर सकते हैं और पूरे सिस्टम के लिए एकमात्र विश्वसनीय उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यदि एक साधारण मैट्रिक्स की रैंक उसके विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, लेकिन अज्ञात की संख्या से कम है, तो सिस्टम के पास अनंत संख्या में उत्तर हैं।

मैट्रिक्स परिवर्तन

मैट्रिसेस को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह जानना आवश्यक है कि उनके तत्वों पर क्या क्रियाएं की जा सकती हैं। कई प्राथमिक परिवर्तन हैं:

• सिस्टम को एक मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखकर और इसके समाधान को अंजाम देकर, श्रृंखला के सभी तत्वों को एक ही गुणांक से गुणा करना संभव है।
• एक मैट्रिक्स को विहित रूप में बदलने के लिए, दो समानांतर पंक्तियों की अदला-बदली की जा सकती है। विहित रूप का तात्पर्य है कि मुख्य विकर्ण के साथ स्थित मैट्रिक्स के सभी तत्व एक हो जाते हैं, और शेष शून्य हो जाते हैं।
• मैट्रिक्स की समानांतर पंक्तियों के संगत तत्वों को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है।

जॉर्डन-गॉस विधि

गॉस विधि द्वारा रैखिक सजातीय और अमानवीय समीकरणों को हल करने वाली प्रणालियों का सार धीरे-धीरे अज्ञात को समाप्त करना है। मान लीजिए कि हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें दो अज्ञात हैं। उन्हें खोजने के लिए, आपको संगतता के लिए सिस्टम की जांच करने की आवश्यकता है। गाऊसी समीकरण को बहुत ही सरलता से हल किया जाता है। प्रत्येक अज्ञात के निकट स्थित गुणांकों को मैट्रिक्स रूप में लिखना आवश्यक है। सिस्टम को हल करने के लिए, आपको संवर्धित मैट्रिक्स को लिखना होगा। यदि समीकरणों में से किसी एक में अज्ञात संख्या कम है, तो लापता तत्व के स्थान पर "0" लगाया जाना चाहिए। सभी ज्ञात परिवर्तन विधियों को मैट्रिक्स पर लागू किया जाता है: गुणा, एक संख्या से विभाजन, पंक्तियों के संबंधित तत्वों को एक दूसरे से जोड़ना, और अन्य। यह पता चला है कि प्रत्येक पंक्ति में एक चर को "1" मान के साथ छोड़ना आवश्यक है, बाकी को शून्य तक कम किया जाना चाहिए। अधिक सटीक समझ के लिए, उदाहरणों के साथ गॉस पद्धति पर विचार करना आवश्यक है।

2x2 प्रणाली को हल करने का एक सरल उदाहरण

आरंभ करने के लिए, आइए बीजीय समीकरणों की एक सरल प्रणाली लें, जिसमें 2 अज्ञात होंगे।

आइए इसे एक संवर्धित मैट्रिक्स में फिर से लिखें।

रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए, केवल दो संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। हमें मैट्रिक्स को विहित रूप में लाने की आवश्यकता है ताकि मुख्य विकर्ण के साथ इकाइयाँ हों। इसलिए, मैट्रिक्स फॉर्म से सिस्टम में वापस अनुवाद करने पर, हमें समीकरण मिलते हैं: 1x+0y=b1 और 0x+1y=b2, जहां b1 और b2 हल करने की प्रक्रिया में प्राप्त उत्तर हैं।

1. संवर्धित मैट्रिक्स को हल करने में पहला कदम इस प्रकार होगा: पहली पंक्ति को -7 से गुणा किया जाना चाहिए और दूसरे समीकरण में एक अज्ञात से छुटकारा पाने के लिए संबंधित तत्वों को क्रमशः दूसरी पंक्ति में जोड़ा जाना चाहिए।
2. चूंकि गॉस विधि द्वारा समीकरणों के समाधान का तात्पर्य मैट्रिक्स को विहित रूप में लाना है, इसलिए पहले समीकरण के साथ समान संचालन करना और दूसरे चर को हटाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाते हैं और आवश्यक उत्तर प्राप्त करते हैं - SLAE का समाधान। या, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम दूसरी पंक्ति को -1 के कारक से गुणा करते हैं और दूसरी पंक्ति के तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ते हैं। यह बिल्कुल वैसा है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी प्रणाली जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा हल की जाती है। हम इसे आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं: x=-5, y=7.

SLAE 3x3 . को हल करने का एक उदाहरण

मान लीजिए कि हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक अधिक जटिल प्रणाली है। गॉस विधि सबसे भ्रामक प्रणाली के लिए भी उत्तर की गणना करना संभव बनाती है। इसलिए, गणना पद्धति में गहराई से जाने के लिए, हम तीन अज्ञात के साथ एक अधिक जटिल उदाहरण पर आगे बढ़ सकते हैं।

पिछले उदाहरण की तरह, हम सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में फिर से लिखते हैं और इसे विहित रूप में लाना शुरू करते हैं।

इस प्रणाली को हल करने के लिए, आपको पिछले उदाहरण की तुलना में बहुत अधिक क्रियाएं करने की आवश्यकता होगी।

1. पहले आपको पहले कॉलम में एक एकल तत्व और बाकी शून्य बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को -1 से गुणा करें और इसमें दूसरा समीकरण जोड़ें। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि हम पहली पंक्ति को उसके मूल रूप में फिर से लिखते हैं, और दूसरी - पहले से ही संशोधित रूप में।
2. इसके बाद, हम तीसरे समीकरण से उसी पहले अज्ञात को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति के तत्वों को -2 से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति में जोड़ते हैं। अब पहली और दूसरी पंक्तियों को उनके मूल रूप में फिर से लिखा गया है, और तीसरी - पहले से ही परिवर्तनों के साथ। जैसा कि आप परिणाम से देख सकते हैं, हमें मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण की शुरुआत में पहला मिला और बाकी शून्य हैं। कुछ और क्रियाएं, और गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को मज़बूती से हल किया जाएगा।
3. अब आपको पंक्तियों के अन्य तत्वों पर संचालन करने की आवश्यकता है। तीसरे और चौथे चरण को एक में जोड़ा जा सकता है। विकर्ण पर नकारात्मक लोगों से छुटकारा पाने के लिए हमें दूसरी और तीसरी पंक्तियों को -1 से विभाजित करने की आवश्यकता है। हम तीसरी पंक्ति को आवश्यक रूप में पहले ही ला चुके हैं।
4. अगला, हम दूसरी पंक्ति को विहित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को -3 से गुणा करते हैं और उन्हें मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ते हैं। परिणाम से यह देखा जा सकता है कि दूसरी पंक्ति भी हमारे द्वारा आवश्यक रूप में कम हो जाती है। यह कुछ और ऑपरेशन करने और अज्ञात के गुणांक को पहली पंक्ति से हटाने के लिए बनी हुई है।
5. पंक्ति के दूसरे तत्व से 0 बनाने के लिए, आपको तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करना होगा और इसे पहली पंक्ति में जोड़ना होगा।
6. अगला निर्णायक कदम दूसरी पंक्ति के आवश्यक तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ना है। तो हमें मैट्रिक्स का विहित रूप मिलता है, और, तदनुसार, उत्तर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गॉस विधि द्वारा समीकरणों का समाधान काफी सरल है।

समीकरणों की 4x4 प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

कंप्यूटर प्रोग्रामों का उपयोग करके गॉसियन पद्धति द्वारा समीकरणों की कुछ और जटिल प्रणालियों को हल किया जा सकता है। अज्ञात के लिए मौजूदा खाली कोशिकाओं में गुणांक चलाना आवश्यक है, और कार्यक्रम प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन करते हुए आवश्यक परिणाम की गणना चरण दर चरण करेगा।

ऐसे उदाहरण को हल करने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश नीचे वर्णित हैं।

पहले चरण में, अज्ञात के लिए मुक्त गुणांक और संख्याएं खाली कक्षों में दर्ज की जाती हैं। इस प्रकार, हमें वही संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है जिसे हम हाथ से लिखते हैं।

और विस्तारित मैट्रिक्स को विहित रूप में लाने के लिए सभी आवश्यक अंकगणितीय संचालन किए जाते हैं। यह समझा जाना चाहिए कि समीकरणों की प्रणाली का उत्तर हमेशा पूर्णांक नहीं होता है। कभी-कभी समाधान भिन्नात्मक संख्याओं से हो सकता है।

समाधान की शुद्धता की जाँच

जॉर्डन-गॉस विधि परिणाम की शुद्धता की जाँच के लिए प्रदान करती है। यह पता लगाने के लिए कि क्या गुणांकों की सही गणना की गई है, आपको परिणाम को समीकरणों की मूल प्रणाली में बदलने की आवश्यकता है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाईं ओर से मेल खाना चाहिए, जो बराबर चिह्न के पीछे है। यदि उत्तर मेल नहीं खाते हैं, तो आपको सिस्टम की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है या आपको ज्ञात SLAE को हल करने की एक अन्य विधि को लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है, जैसे प्रतिस्थापन या शब्द-दर-अवधि घटाव और जोड़। आखिरकार, गणित एक ऐसा विज्ञान है जिसमें हल करने के विभिन्न तरीकों की एक बड़ी संख्या है। लेकिन याद रखें: परिणाम हमेशा एक जैसा होना चाहिए, चाहे आपने किसी भी समाधान पद्धति का उपयोग किया हो।

गॉस विधि: SLAE को हल करने में सबसे आम त्रुटियां

समीकरणों की रैखिक प्रणालियों के समाधान के दौरान, त्रुटियाँ सबसे अधिक बार होती हैं, जैसे कि गुणांकों का मैट्रिक्स रूप में गलत स्थानांतरण। ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें कुछ अज्ञात समीकरणों में से एक में गायब हैं, फिर, डेटा को विस्तारित मैट्रिक्स में स्थानांतरित करना, वे खो सकते हैं। नतीजतन, इस प्रणाली को हल करते समय, परिणाम वास्तविक के अनुरूप नहीं हो सकता है।

मुख्य गलतियों में से एक अंतिम परिणाम को गलत तरीके से लिखना हो सकता है। यह स्पष्ट रूप से समझा जाना चाहिए कि पहला गुणांक सिस्टम से पहले अज्ञात के अनुरूप होगा, दूसरा - दूसरे से, और इसी तरह।

गॉस विधि रैखिक समीकरणों के समाधान का विस्तार से वर्णन करती है। उसके लिए धन्यवाद, आवश्यक संचालन करना और सही परिणाम प्राप्त करना आसान है। इसके अलावा, यह किसी भी जटिलता के समीकरणों का विश्वसनीय उत्तर खोजने के लिए एक सार्वभौमिक उपकरण है। शायद इसीलिए SLAE को हल करने में इसका उपयोग अक्सर किया जाता है।