चलो समारोह वाई =एफ(एक्स)अंतराल पर निरंतर [ ए, बी]. जैसा कि ज्ञात है, ऐसा फ़ंक्शन इस खंड पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है। फ़ंक्शन इन मानों को या तो खंड के आंतरिक बिंदु पर ले सकता है [ ए, बी], या खंड की सीमा पर।

अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करने के लिए [ ए, बी] ज़रूरी:

1) अंतराल में फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें ( ए, बी);

2) पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें;

3) खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें, अर्थात के लिए एक्स=एऔर एक्स = बी;

4) फ़ंक्शन के सभी परिकलित मानों में से, सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

उदाहरण।किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें

खंड पर।

महत्वपूर्ण बिंदु ढूँढना:

ये बिंदु खंड के अंदर स्थित हैं; आप(1) = ‒ 3; आप(2) = ‒ 4; आप(0) = ‒ 8; आप(3) = 1;

बिंदु पर एक्स= 3 और बिंदु . पर एक्स= 0.

उत्तलता और एक विभक्ति बिंदु के लिए एक समारोह की जांच।

समारोह आप = एफ (एक्स) बुलाया उत्तलबीच में (ए, बी) , यदि इसका ग्राफ इस अंतराल के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा के नीचे स्थित है, और कहलाता है उत्तल नीचे (अवतल)यदि इसका ग्राफ स्पर्शरेखा के ऊपर है।

संक्रमण का वह बिंदु जिसके माध्यम से उत्तलता को उत्तलता या इसके विपरीत से बदल दिया जाता है, कहलाता है संक्रमण का बिन्दु.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु के अध्ययन के लिए एल्गोरिदम:

1. दूसरे प्रकार के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए, अर्थात् वे बिंदु जिन पर दूसरा अवकलज शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

2. संख्या रेखा पर क्रांतिक बिन्दुओं को अंतरालों में तोड़कर रखें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए; यदि, तो फलन ऊपर की ओर उत्तल है, यदि, तो फलन नीचे की ओर उत्तल है।

3. यदि, दूसरे प्रकार के क्रांतिक बिंदु से गुजरते समय, यह संकेत बदलता है और इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो यह बिंदु विभक्ति बिंदु का भुज है। इसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख। स्पर्शोन्मुख में एक समारोह की जांच।

परिभाषा।किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शोन्मुख को कहते हैं सीधा, जिसमें यह गुण होता है कि ग्राफ़ के किसी भी बिंदु से इस रेखा तक की दूरी शून्य हो जाती है, साथ ही मूल बिंदु से ग्राफ़ बिंदु को असीमित रूप से हटा दिया जाता है।

स्पर्शोन्मुख तीन प्रकार के होते हैं: लंबवत, क्षैतिज और झुका हुआ।

परिभाषा।प्रत्यक्ष कहा जाता है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटफंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स), यदि इस बिंदु पर फलन की एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक अनंत के बराबर है, अर्थात

फ़ंक्शन का असंततता बिंदु कहां है, अर्थात यह परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है।

उदाहरण।

डी( आप) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

एक्स= 2 - ब्रेकिंग पॉइंट।

परिभाषा।सीधा वाई =एबुलाया समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखाफंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)पर , अगर

उदाहरण।

एक्स
आप

परिभाषा।सीधा वाई =कएक्स +बी (क 0) कहा जाता है तिरछा स्पर्शोन्मुखफंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)कहां पर

कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए सामान्य योजना।

फंक्शन रिसर्च एल्गोरिथमवाई = एफ (एक्स) :

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए डी (आप).

2. निर्देशांक अक्षों (के साथ) के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु (यदि संभव हो) खोजें एक्स= 0 और at आप = 0).

3. सम और विषम फलनों की जाँच करें ( आप (‒ एक्स) = आप (एक्स) ‒ समानता; आप(‒ एक्स) = ‒ आप (एक्स) ‒ अजीब)।

4. फलन के ग्राफ के अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए।

5. फलन की एकरसता के अंतराल ज्ञात कीजिए।

6. फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

7. फलन के ग्राफ के उत्तलता (अवतलता) और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल ज्ञात कीजिए।

8. किए गए शोध के आधार पर, फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण।फलन की जाँच कीजिए और उसका आलेख आलेखित कीजिए।

1) डी (आप) =

एक्स= 4 - ब्रेकिंग पॉइंट।

2) कब एक्स = 0,

(0; - 5) - चौराहे के बिंदु . के साथ ओए.

पर आप = 0,

3) आप(‒ एक्स)= सामान्य कार्य (न तो सम और न ही विषम)।

4) हम स्पर्शोन्मुख के लिए जाँच करते हैं।

ए) लंबवत

बी) क्षैतिज

ग) परोक्ष अनंतस्पर्शी खोजें जहां

तिरछी स्पर्शोन्मुख समीकरण

5) इस समीकरण में, फलन की एकरसता के अंतरालों को खोजने की आवश्यकता नहीं है।

6)

ये महत्वपूर्ण बिंदु अंतराल (˗∞; 2), (˗2; 4), (4; 10) और (10; +∞) पर फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को विभाजित करते हैं। प्राप्त परिणामों को निम्न तालिका के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर पर एक वस्तु (एक फ़ंक्शन का एक ग्राफ) के चारों ओर एक आकर्षक उड़ान की याद दिलाती है, जिसमें कुछ बिंदुओं पर लंबी दूरी की तोप से फायरिंग होती है और इनमें से चुनना होता है नियंत्रण शॉट्स के लिए ये बिंदु बहुत ही खास बिंदु हैं। अंक एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार चुने जाते हैं। किस नियम से? इस बारे में हम आगे बात करेंगे।

यदि समारोह आप = एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर [ ए, बी] , तब यह इस खण्ड पर पहुँचती है कम से कम और उच्चतम मूल्य . यह या तो में हो सकता है चरम बिंदुया खंड के सिरों पर। इसलिए, खोजने के लिए कम से कम और फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान , अंतराल पर निरंतर [ ए, बी] , आपको सभी में इसके मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के सिरों पर, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का अधिकतम मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ ए, बी]. ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं [ ए, बी] .

महत्वपूर्ण बिंदु उस बिंदु को कहा जाता है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित, और उसकी यौगिकया तो शून्य है या मौजूद नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(ए) और एफ(बी) ) इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [ए, बी] .

खोजने की समस्या फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान .

हम एक साथ समारोह के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की तलाश कर रहे हैं

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 2] .

फेसला। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं। व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, खंड के सिरों पर और बिंदु पर इसके मूल्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2]। ये फ़ंक्शन मान निम्नलिखित हैं: , , । यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे ग्राफ पर लाल रंग में चिह्नित), -7 के बराबर, खंड के दाहिने छोर पर - बिंदु पर, और महानतम(ग्राफ पर भी लाल), महत्वपूर्ण बिंदु पर 9, - के बराबर है।

यदि फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (लेकिन, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, लेकिन खंड के सीमा बिंदु खंड में शामिल हैं), फिर फ़ंक्शन के मूल्यों में सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया फ़ंक्शन ]-∞, +∞[ पर निरंतर है और इसका सबसे बड़ा मान नहीं है।

हालांकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुला, या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति रखती है।

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

फेसला। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह अंतराल [-1, 3] के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

आइए इन मूल्यों की तुलना करें। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर।

हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल उदाहरण नहीं देते हैं, अर्थात्, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या अंश है, अंश और जिसके हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों के बीच छात्रों को पूर्ण रूप से सोचने के लिए प्रेमी होते हैं (व्युत्पन्न तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर .

फेसला। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं: उत्पाद का व्युत्पन्न :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

सभी क्रियाओं का परिणाम: फ़ंक्शन अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, 0 के बराबर, एक बिंदु पर और एक बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ, बिंदु पर।

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर .

फेसला। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु खंड का है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

निष्कर्ष: फ़ंक्शन अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, के बराबर , बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्य, बराबर , बिंदु पर .

लागू चरम समस्याओं में, सबसे छोटा (सबसे बड़ा) फ़ंक्शन मान, एक नियम के रूप में, न्यूनतम (अधिकतम) खोजने के लिए कम हो जाता है। लेकिन यह स्वयं मिनीमा या मैक्सिमा नहीं है जो अधिक व्यावहारिक रुचि रखते हैं, बल्कि उस तर्क के मूल्य हैं जिस पर उन्हें हासिल किया जाता है। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - उन कार्यों का संकलन जो विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

उदाहरण 8 4 की क्षमता वाला एक टैंक, जिसमें एक वर्गाकार आधार के साथ समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है और शीर्ष पर खुला होता है, को टिन किया जाना चाहिए। कम से कम सामग्री के साथ इसे कवर करने के लिए टैंक के आयाम क्या होने चाहिए?

फेसला। रहने दो एक्स- आधार पक्ष एच- टैंक की ऊंचाई, एस- इसका सतह क्षेत्र बिना आवरण के, वी- इसकी मात्रा। टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है, अर्थात। दो चर का एक कार्य है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक फलन के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि , कहाँ से । पाया अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए हम इस फ़ंक्शन की एक चरम सीमा के लिए जाँच करें। इसे ]0, +∞[ , और . में हर जगह परिभाषित और अलग किया जा सकता है

.

हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। इसके अलावा, पर , व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है और इसलिए यह एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, - एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु। आइए दूसरे पर्याप्त चिह्न का उपयोग करके एक चरम की उपस्थिति के लिए इसकी जांच करें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसका मतलब यह है कि जब फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंच जाता है . क्योंकि यह न्यूनतम - इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम, यह इसका सबसे छोटा मान है. तो, टैंक के आधार का पक्ष 2 मीटर और इसकी ऊंचाई के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण 9पैराग्राफ से ए, रेलवे लाइन पर स्थित, बिंदु तक साथ में, उससे कुछ दूरी पर मैं, माल परिवहन किया जाना चाहिए। रेल द्वारा प्रति इकाई दूरी पर एक भार इकाई को परिवहन की लागत के बराबर है, और राजमार्ग से यह बराबर है। किस बिंदु तक एममाल के परिवहन के लिए रेलमार्ग को राजमार्ग पर रखा जाना चाहिए लेकिनमें साथ मेंसबसे किफायती था अबरेलमार्ग को सीधा माना जाता है)?

इस लेख में मैं बात करूंगा सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिथ्मसमारोह, न्यूनतम और अधिकतम अंक।

सिद्धांत से, हमें निश्चित रूप से आवश्यकता होगी व्युत्पन्न तालिकाऔर भेदभाव नियम. इस बोर्ड में यह सब है:

सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम।

मुझे एक ठोस उदाहरण के साथ समझाना आसान लगता है। विचार करना:

उदाहरण:खंड [–4;0] पर फलन y=x^5+20x^3–65x का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

स्टेप 1।हम व्युत्पन्न लेते हैं।

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

चरण 2चरम बिंदु ढूँढना।

चरम बिंदुहम ऐसे बिंदुओं को नाम देते हैं जिन पर फलन अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है।

चरम बिंदुओं को खोजने के लिए, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को शून्य (y "= 0) के बराबर करना आवश्यक है।

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

अब हम इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं और पाए गए मूल हमारे चरम बिंदु हैं।

मैं t = x^2, फिर 5t^2 + 60t - 65 = 0 को बदलकर ऐसे समीकरणों को हल करता हूं।

समीकरण को 5 से कम करें, हम प्राप्त करते हैं: t^2 + 12t - 13 = 0

डी = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

हम विपरीत प्रतिस्थापन x^2 = t करते हैं:

X_(1 और 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 और 4) = ±sqrt(-13) (हम बहिष्कृत करते हैं, रूट के नीचे ऋणात्मक संख्याएं नहीं हो सकती हैं, जब तक कि निश्चित रूप से हम जटिल संख्याओं के बारे में बात नहीं कर रहे हैं)

कुल: x_(1) = 1 और x_(2) = -1 - ये हमारे चरम बिंदु हैं।

चरण 3सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें।

प्रतिस्थापन विधि।

इस स्थिति में, हमें खंड [बी] [–4; 0] दिया गया था। बिंदु x=1 इस खंड में शामिल नहीं है। इसलिए हम इस पर विचार नहीं करते हैं। लेकिन बिंदु x=-1 के अलावा, हमें अपने खंड के बाएँ और दाएँ सीमाओं पर भी विचार करने की आवश्यकता है, अर्थात अंक -4 और 0। ऐसा करने के लिए, हम इन तीनों बिंदुओं को मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं। ध्यान दें कि मूल स्थिति में दिया गया है (y=x^5+20x^3–65x), कुछ व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करना शुरू करते हैं ...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का अधिकतम मान [बी] 44 है और यह बिंदु [बी] -1 पर पहुंच जाता है, जिसे खंड पर फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है [-4; 0]।

हमने फैसला किया और जवाब मिला, हम महान हैं, आप आराम कर सकते हैं। लेकिन रुको! क्या आपको नहीं लगता कि y(-4) को गिनना बहुत जटिल है? सीमित समय की स्थितियों में, किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर होता है, मैं इसे इस तरह कहता हूं:

निरंतरता के अंतराल के माध्यम से।

ये अंतराल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए, यानी हमारे द्विघात समीकरण के लिए पाए जाते हैं।

मैं इसे निम्नलिखित तरीके से करता हूं। मैं एक दिशात्मक रेखा खींचता हूं। मैं अंक निर्धारित करता हूं: -4, -1, 0, 1. इस तथ्य के बावजूद कि 1 दिए गए खंड में शामिल नहीं है, फिर भी इसे स्थिरता के अंतराल को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए नोट किया जाना चाहिए। आइए कुछ संख्या 1 से कई गुना अधिक लें, मान लें कि 100, मानसिक रूप से इसे हमारे द्विघात समीकरण 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 में प्रतिस्थापित करें। यहां तक ​​​​कि कुछ भी गिनने के बिना, यह स्पष्ट हो जाता है कि बिंदु 100 पर फ़ंक्शन में प्लस चिह्न है। इसका मतलब है कि 1 से 100 के अंतराल के लिए इसका एक प्लस चिह्न है। 1 से गुजरने पर (हम दाएं से बाएं जाते हैं), फ़ंक्शन साइन को माइनस में बदल देगा। बिंदु 0 से गुजरते समय, फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखेगा, क्योंकि यह केवल खंड की सीमा है, न कि समीकरण की जड़। -1 से गुजरने पर, फ़ंक्शन फिर से साइन को प्लस में बदल देगा।

सिद्धांत से, हम जानते हैं कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहां है (और हमने इसे इसके लिए आकर्षित किया) साइन को प्लस से माइनस में बदलता है (बिंदु -1 हमारे मामले में)समारोह पहुंचता है इसका स्थानीय अधिकतम (y(-1)=44 जैसा कि पहले परिकलित किया गया था)इस खंड पर (यह तार्किक रूप से बहुत स्पष्ट है, फ़ंक्शन बढ़ना बंद हो गया है, क्योंकि यह अपने अधिकतम तक पहुंच गया है और घटने लगा है)।

तदनुसार, जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न साइन को माइनस से प्लस में बदलता है, हासिल एक समारोह का स्थानीय न्यूनतम. हां, हां, हमने स्थानीय न्यूनतम बिंदु भी पाया, जो 1 है, और y(1) अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है, मान लीजिए -1 से +∞ तक। कृपया ध्यान दें कि यह केवल एक स्थानीय न्यूनतम है, अर्थात एक निश्चित खंड पर न्यूनतम है। चूंकि वास्तविक (वैश्विक) न्यूनतम कार्य वहां कहीं पहुंच जाएगा, -∞ में।

मेरी राय में, पहली विधि सैद्धांतिक रूप से सरल है, और दूसरी विधि अंकगणितीय संक्रियाओं के संदर्भ में सरल है, लेकिन सिद्धांत के संदर्भ में बहुत अधिक कठिन है। आखिरकार, कभी-कभी ऐसे मामले होते हैं जब समीकरण की जड़ से गुजरते समय फ़ंक्शन संकेत नहीं बदलता है, और वास्तव में आप इन स्थानीय, वैश्विक मैक्सिमा और मिनिमा के साथ भ्रमित हो सकते हैं, हालांकि यदि आप योजना बनाते हैं तो आपको इसे अच्छी तरह से मास्टर करना होगा एक तकनीकी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने के लिए (और क्यों प्रोफ़ाइल परीक्षा दें और इस कार्य को हल करें)। लेकिन अभ्यास और केवल अभ्यास ही आपको ऐसी समस्याओं को हमेशा के लिए हल करना सिखाएगा। और आप हमारी वेबसाइट पर प्रशिक्षण ले सकते हैं। यहां ।

यदि आपके कोई प्रश्न हैं, या कुछ स्पष्ट नहीं है, तो अवश्य पूछें। मुझे आपको जवाब देने और लेख में बदलाव, परिवर्धन करने में खुशी होगी। याद रखें हम इस साइट को एक साथ बना रहे हैं!

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें?

इसके लिए हम प्रसिद्ध एल्गोरिथम का पालन करते हैं:

1 . हम ODZ फ़ंक्शन पाते हैं।

2 . किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना

3 . व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें

4 . हम उन अंतरालों को पाते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिन्ह बनाए रखता है, और उनसे हम फलन के बढ़ने और घटने के अंतरालों को निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} इस अंतराल में बढ़ता है।

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, तो फ़ंक्शन इस अंतराल में घट जाती है।

5 . हम ढूंढे फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु.

पर फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है.

पर समारोह का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न परिवर्तन संकेत "-" से "+".

6 . हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं,

• फिर हम खंड के सिरों पर और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करते हैं, और उनमें से सबसे बड़ा चुनें यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजने की आवश्यकता है
• या हम खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है, तो उनमें से सबसे छोटा चुनें

हालांकि, अंतराल पर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, इस पर निर्भर करते हुए, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

समारोह पर विचार करें . इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए ओपन टास्क बैंक से समस्याओं को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें

एक । टास्क बी15 (#26695)

कट पर।

1. फ़ंक्शन को x . के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित किया गया है

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और व्युत्पन्न x के सभी मूल्यों के लिए सकारात्मक है। इसलिए, फलन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर, यानी x=0 पर सबसे बड़ा मान लेता है।

उत्तर : 5.

2 . टास्क बी15 (नंबर 26702)

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर।

1.ODZ समारोह शीर्षक = "(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

व्युत्पन्न शून्य है, हालांकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, शीर्षक = "(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मूल्य लेता है, पर।

यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए व्यंजक को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

उत्तर : 5.

3. टास्क बी15 (#26708)

अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: शीर्षक = "(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

आइए इस समीकरण की जड़ों को त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखें।

अंतराल में दो संख्याएँ होती हैं: तथा

चलो निशान लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x = 0 पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं: . बिंदुओं से गुजरते समय और व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत करते हैं।

आइए समन्वय रेखा पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन को चित्रित करें:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (जहां व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" पर हस्ताक्षर करते हैं), और खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु और खंड के बाएं छोर पर, .

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग सबसे दिलचस्प है। यह किससे जुड़ा है? मुनाफे को अधिकतम करना, लागत को कम करना, उपकरणों के इष्टतम भार का निर्धारण करना... दूसरे शब्दों में, जीवन के कई क्षेत्रों में, कुछ मापदंडों के अनुकूलन की समस्या को हल करना होता है। और यह फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान आमतौर पर कुछ अंतराल X पर मांगा जाता है, जो या तो फ़ंक्शन का संपूर्ण डोमेन या डोमेन का हिस्सा होता है। अंतराल X स्वयं एक रेखा खंड, एक खुला अंतराल हो सकता है , अनंत अंतराल।

इस लेख में, हम एक चर y=f(x) के स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के बारे में बात करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान - परिभाषाएं, चित्र।

आइए संक्षेप में मुख्य परिभाषाओं पर ध्यान दें।

समारोह का सबसे बड़ा मूल्य , जो किसी के लिए असमानता सच है।

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान y=f(x) अंतराल पर X को ऐसा मान कहा जाता है , जो किसी के लिए असमानता सच है।

ये परिभाषाएं सहज ज्ञान युक्त हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान एब्सिस्सा के साथ विचाराधीन अंतराल में स्वीकृत सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान है।

स्थिर बिंदुउस तर्क के मान हैं जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करते समय हमें स्थिर बिंदुओं की आवश्यकता क्यों होती है? इस प्रश्न का उत्तर Fermat के प्रमेय द्वारा दिया गया है। इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि एक अवकलनीय फलन में किसी बिंदु पर एक चरम (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) होता है, तो यह बिंदु स्थिर होता है। इस प्रकार, फलन अक्सर इस अंतराल से किसी एक स्थिर बिंदु पर अंतराल X पर अपना सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान लेता है।

इसके अलावा, एक फ़ंक्शन अक्सर उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ले सकता है जहां इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है, और फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित होता है।

आइए तुरंत इस विषय पर सबसे सामान्य प्रश्नों में से एक का उत्तर दें: "क्या किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान निर्धारित करना हमेशा संभव है"? नहीं हमेशा नहीं। कभी-कभी अंतराल X की सीमाएं फलन के प्रांत की सीमाओं से मेल खाती हैं, या अंतराल X अनंत है। और अनंत पर और परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर कुछ कार्य असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे दोनों मान ले सकते हैं। इन मामलों में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

स्पष्टता के लिए, हम एक ग्राफिक चित्रण देते हैं। तस्वीरों को देखें - और बहुत कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

खंड पर

पहले आंकड़े में, फ़ंक्शन खंड के अंदर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है [-6;6]।

दूसरे चित्र में दिखाए गए मामले पर विचार करें। सेगमेंट को में बदलें। इस उदाहरण में, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, और सबसे बड़ा - एक बिंदु पर अंतराल की दाहिनी सीमा के अनुरूप एक एब्सिस्सा होता है।

चित्र संख्या 3 में, खंड [-3; 2] के सीमा बिंदु फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के संगत बिंदुओं के भुज हैं।

खुली सीमा में

चौथे आंकड़े में, फ़ंक्शन खुले अंतराल (-6; 6) के भीतर स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

अंतराल पर, सबसे बड़े मूल्य के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है।

अनंत पर

सातवें आंकड़े में दिखाए गए उदाहरण में, फ़ंक्शन एब्सिसा x = 1 के साथ एक स्थिर बिंदु पर सबसे बड़ा मान (अधिकतम y) लेता है, और सबसे छोटा मान (न्यूनतम y) अंतराल की दाहिनी सीमा पर पहुंच जाता है। माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन के मान असम्बद्ध रूप से y=3 तक पहुंचते हैं।

अंतराल पर, फ़ंक्शन न तो सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक पहुंचता है। जैसा कि x=2 दाईं ओर जाता है, फ़ंक्शन मान माइनस इनफिनिटी (सीधी रेखा x = 2 एक लंबवत स्पर्शोन्मुख है) की ओर जाता है, और जैसा कि एब्सिस्सा प्लस इन्फिनिटी की ओर जाता है, फ़ंक्शन मान एसिम्प्टोटिक रूप से y = 3 तक पहुंचते हैं। . इस उदाहरण का एक ग्राफिक चित्रण चित्र 8 में दिखाया गया है।

खंड पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम।

हम एक एल्गोरिथम लिखते हैं जो हमें किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की अनुमति देता है।

1. हम फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढते हैं और जांचते हैं कि इसमें संपूर्ण सेगमेंट है या नहीं।
2. हम उन सभी बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है और जो खंड में निहित हैं (आमतौर पर ऐसे बिंदु मॉड्यूल साइन के तहत तर्क के साथ और आंशिक-तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शंस में होते हैं)। यदि ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, तो अगले बिंदु पर जाएं।
3. हम खंड में आने वाले सभी स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ों का चयन करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं या उनमें से कोई भी खंड में नहीं आता है, तो अगले चरण पर जाएं।
4. हम चयनित स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं, उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई हो), और x=a और x=b पर भी।
5. फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों से, हम सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करते हैं - वे क्रमशः फ़ंक्शन के वांछित अधिकतम और सबसे छोटे मान होंगे।

आइए किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक उदाहरण को हल करते समय एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

• खंड पर;
• अंतराल पर [-4;-1] ।

फेसला।

फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर, वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है, अर्थात। दोनों खंड परिभाषा के क्षेत्र में आते हैं।

हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इसके संबंध में पाते हैं:

स्पष्ट रूप से, फलन का अवकलज खंड के सभी बिंदुओं और [-4;-1] पर मौजूद है।

स्थिर बिंदु समीकरण से निर्धारित होते हैं। एकमात्र वास्तविक मूल x=2 है। यह स्थिर बिंदु पहले खंड में आता है।

पहले मामले के लिए, हम खंड के सिरों पर और एक स्थिर बिंदु पर, यानी x=1 , x=2 और x=4 के लिए फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं:

इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान x=1 पर पहुंच जाता है, और सबसे छोटा मान - x=2 पर।

दूसरे मामले के लिए, हम केवल खंड [-4; -1] के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं (क्योंकि इसमें कोई स्थिर बिंदु नहीं है):