हम दो नई परिभाषाएँ पेश करते हैं। यदि एक? शून्य पर जाता है, केवल सकारात्मक मान लेता है, फिर अनुपात की सीमा

(यदि यह मौजूद है) कहा जाता है दाईं ओर व्युत्पन्नया सही व्युत्पन्नसमारोह से ѓ() बिंदु पर ?, और यदि? शून्य पर जाता है, केवल ऋणात्मक मान लेते हुए, तो उसी अनुपात की सीमा (यदि यह मौजूद है) है बाईं ओर व्युत्पन्नया वाम व्युत्पन्न. दाईं ओर के व्युत्पन्न को एक प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, और बाईं ओर के व्युत्पन्न को एक प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि दाईं ओर का व्युत्पन्न और बाईं ओर का व्युत्पन्न समान है, तो स्पष्ट रूप से शब्द के सामान्य अर्थों में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 होता है।

फ़ंक्शंस के सबसे सरल उदाहरण जिनमें किसी बिंदु पर दाएं और बाएं डेरिवेटिव होते हैं जो एक दूसरे के साथ मेल नहीं खाते हैं, हमें ऐसे फ़ंक्शन देते हैं जिनके ग्राफ़ टूटी हुई रेखाएं हैं।

वास्तव में, मान लीजिए 1 , 2 , … , k, … , s अक्ष पर विभिन्न बिंदुओं की संख्या है। आइए एक टूटी हुई रेखा की रचना करें ताकि इसके शीर्षों के भुज x 1 , 2 , … , k, … , s के बराबर हों (चित्र 12)। फलन ѓ(), जिसका ग्राफ यह पॉलीलाइन * है), का अंक 1 , 2 , … , k, … , s पर कोई अवकलज नहीं है।

*) जाहिर है, एक्स-अक्ष के लंबवत प्रत्येक रेखा पॉलीलाइन को एक बिंदु पर काटती है, और पॉलीलाइन कुछ एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन का ग्राफ है।

इसे साबित करने के लिए, एब्सिसा k के साथ कुछ बिंदु Q पर विचार करें। इस बिंदु के पड़ोस में फ़ंक्शन के ग्राफ़ में चित्र में दिखाया गया रूप है। 13.

किसी भी सीधी रेखा के लिए, उसके कुछ बिंदुओं पर छेदक, और, परिणामस्वरूप, स्पर्शरेखा (इस छेदक की सीमित स्थिति के रूप में), सीधी रेखा के साथ ही मेल खाती है; इसलिए, छेदक का कोण, और, फलस्वरूप, अक्ष के साथ रेखा के स्पर्शरेखा का कोण, x-अक्ष के साथ ही रेखा के कोण के समान होता है।

आइए हम रेखा AQ के कोण को अक्ष के साथ b से और रेखा QB के कोण को अक्ष से c से निरूपित करें। हम बिंदु Q के माध्यम से एक छेदक खींचते हैं और Q के बाईं और दाईं ओर स्थित M 1 और M 2 को इंगित करते हैं। बायां छेदक रेखा AQ के साथ मेल खाता है, और दायां एक - रेखा QB के साथ मेल खाता है।

यह स्पष्ट है कि यदि हम Q को संपर्क का एक बिंदु मानते हैं, तो छेदक की दो सीमाएँ होंगी, या, जैसा कि कभी-कभी कहा जाता है, इस बिंदु पर वक्र होगा सही स्पर्शरेखा, रेखा QB के साथ मेल खाता है, और वाम स्पर्शरेखा, सीधी रेखा AQ के साथ मेल खाता है। अक्ष और बाएँ स्पर्शरेखा के बीच का कोण स्पष्ट रूप से 6 है, और अक्ष और दाएँ स्पर्शरेखा के बीच का कोण c है। चूँकि b और c भिन्न हैं, तो

इस प्रकार, बिंदु Q पर, हमारी रेखा की एक निश्चित स्पर्शरेखा नहीं होती है, और चूंकि व्युत्पन्न अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है, बाईं ओर का व्युत्पन्न दाईं ओर के व्युत्पन्न के बराबर नहीं होता है और बिंदु Q पर मौजूद नहीं है।

बाएँ और दाएँ अलग-अलग डेरिवेटिव के साथ फ़ंक्शंस के एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि यह फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए आवश्यक है

फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से अंतराल -1 ?? +1 में परिभाषित किया गया है। इसका ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 14. वक्र बिंदु M(-1, +1) और N(+1, +1) पर समाप्त होता है, क्योंकि ||>1 के लिए फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है।

हम बिंदु x पर अवकलज पाते हैं:

x = 0 मानते हुए, हम बिंदु O(0, 0) पर अवकलज का मान ज्ञात करते हैं:

सीमा ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को गुणा करते हैं

चूँकि वर्गमूल का अंकगणितीय (धनात्मक) मान माना जाता है, तो 2 =?, यदि? x> 0, परन्तु 2 = -?, यदि?<0.

इसलिए, यदि? > 0, तो

क्या हो अगर?<0, то

हम देखते हैं कि बाईं ओर का व्युत्पन्न दाईं ओर के व्युत्पन्न के बराबर नहीं है, और इसलिए हमारे फ़ंक्शन का कोई व्युत्पन्न नहीं है। बिंदु (0, 0) वह कोना बिंदु है जिस पर वक्र की कोई परिभाषित स्पर्शरेखा नहीं होती है।

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एक पहाड़ी क्षेत्र से गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर और नीचे जाता है, लेकिन दाएं या बाएं नहीं मुड़ता। यदि अक्ष को सड़क के साथ क्षैतिज रूप से और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर कार्य के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है, जीवन में हम समुद्र के स्तर का उपयोग करते हैं।

ऐसी सड़क पर आगे बढ़ते हुए हम भी ऊपर या नीचे जा रहे हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (भुजाकार अक्ष के साथ आगे बढ़ते हुए), फ़ंक्शन का मान बदलता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ आगे बढ़ता है)। अब आइए विचार करें कि हमारी सड़क की "खड़ीपन" का निर्धारण कैसे करें? यह मूल्य क्या हो सकता है? बहुत सरल: एक निश्चित दूरी को आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी बदलेगी। दरअसल, सड़क के अलग-अलग हिस्सों पर, एक किलोमीटर आगे (एब्सिस्सा के साथ) आगे बढ़ते हुए, हम समुद्र तल (ऑर्डिनेट के साथ) के सापेक्ष अलग-अलग मीटर की संख्या में उठेंगे या गिरेंगे।

हम आगे की प्रगति को दर्शाते हैं ("डेल्टा एक्स" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) आमतौर पर गणित में उपसर्ग के रूप में प्रयोग किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। अर्थात् - यह परिमाण में परिवर्तन है, - परिवर्तन; तब यह क्या है? यह सही है, आकार में बदलाव।

महत्वपूर्ण: व्यंजक एक इकाई है, एक चर है। आपको "x" या किसी अन्य अक्षर से "डेल्टा" को कभी नहीं फाड़ना चाहिए! यानी, उदाहरण के लिए।

तो, हम आगे बढ़े हैं, क्षैतिज रूप से, आगे। यदि हम सड़क की रेखा की तुलना किसी फलन के ग्राफ से करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे निरूपित करते हैं? बेशक, । यानी जब हम आगे बढ़ते हैं तो हम और ऊपर उठते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हम ऊंचाई पर थे, तो। यदि अंत बिंदु प्रारंभिक बिंदु से कम निकला, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम आरोही नहीं, बल्कि अवरोही हैं।

वापस "स्थिरता" पर: यह एक ऐसा मान है जो इंगित करता है कि प्रति इकाई दूरी आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तेजी से) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि पथ के किसी भाग पर, किमी से आगे बढ़ने पर, सड़क किमी से ऊपर उठती है। तब इस स्थान की खड़ीपन बराबर होती है। और अगर सड़क, मी से आगे बढ़ने पर, किमी से डूब जाती है? फिर ढलान बराबर है।

अब एक पहाड़ी की चोटी पर विचार करें। यदि आप खंड की शुरुआत आधा किलोमीटर ऊपर और अंत - इसके बाद आधा किलोमीटर लेते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

यानी हमारे तर्क के अनुसार पता चलता है कि यहां का ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सच नहीं है. कुछ ही मील दूर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक अनुमान के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर चलते समय ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उससे फिसल सकते हैं। तब हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

वास्तविक जीवन में, निकटतम मिलीमीटर की दूरी को मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, अवधारणा थी बहुत छोता, अर्थात्, मॉड्यूल मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरब! कितना कम? और आप इस संख्या को - से विभाजित करते हैं और यह और भी कम होगा। और इसी तरह। यदि हम यह लिखना चाहते हैं कि मान असीम रूप से छोटा है, तो हम इस तरह लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर जाता है")। समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य के बराबर नहीं है!लेकिन इसके बहुत करीब। इसका मतलब है कि इसे में विभाजित किया जा सकता है।

अपरिमित रूप से छोटे के विपरीत अवधारणा अपरिमित रूप से बड़ी है ()। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे, तब आप शायद पहले ही इसका सामना कर चुके हैं: यह संख्या मापांक में किसी भी संख्या से अधिक है जिसके बारे में आप सोच सकते हैं। यदि आप सबसे बड़ी संभव संख्या के साथ आते हैं, तो बस इसे दो से गुणा करें और आपको और भी अधिक मिलता है। और अनंत जो होता है उससे कहीं अधिक है। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के विपरीत होते हैं, अर्थात्, पर, और इसके विपरीत: पर।

अब वापस हमारी सड़क पर। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक असीम रूप से छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि असीम रूप से छोटे विस्थापन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी असीम रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि असीम रूप से छोटे का मतलब शून्य के बराबर नहीं है। यदि आप अतिसूक्ष्म संख्याओं को एक दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप पूरी तरह से सामान्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। अर्थात्, एक छोटा मान दूसरे से ठीक दोगुना बड़ा हो सकता है।

यह सब क्यों? सड़क, ढलान ... हम रैली में नहीं जा रहे हैं, लेकिन हम गणित सीख रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, केवल अलग-अलग कहा जाता है।

एक व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क के एक अनंतिम वृद्धि पर तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात है।

वेतन वृद्धिगणित में परिवर्तन कहा जाता है। अक्ष के अनुदिश चलने पर तर्क () कितना बदल गया है, कहलाता है तर्क वृद्धिऔर एक दूरी से अक्ष के साथ आगे बढ़ने पर फ़ंक्शन (ऊंचाई) कितना बदल गया है, द्वारा दर्शाया गया है समारोह वृद्धिऔर अंकित है।

तो, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कब का संबंध है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल ऊपर दाईं ओर से एक स्ट्रोक के साथ: या बस। तो, आइए इन नोटेशन का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के सादृश्य में, यहाँ, जब फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न धनात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह ऋणात्मक होता है।

लेकिन क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर है? बेशक। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। दरअसल, ऊंचाई बिल्कुल नहीं बदलती है। तो व्युत्पन्न के साथ: एक स्थिर कार्य (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूंकि इस तरह के फ़ंक्शन की वृद्धि किसी के लिए शून्य है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण लें। यह पता चला कि शीर्ष के विपरीत पक्षों पर खंड के सिरों को इस तरह से व्यवस्थित करना संभव था कि सिरों पर ऊंचाई समान हो, अर्थात खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े खंड गलत माप के संकेत हैं। हम अपने सेगमेंट को अपने समानांतर ऊपर उठाएंगे, फिर इसकी लंबाई कम हो जाएगी।

अंत में, जब हम अनंत रूप से शीर्ष के करीब होते हैं, तो खंड की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह अक्ष के समानांतर रहा, यानी इसके सिरों पर ऊंचाई का अंतर शून्य के बराबर है (प्रवृत्त नहीं होता है, लेकिन बराबर है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर, फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है। जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं कि जब फलन बढ़ता है तो अवकलज धनात्मक होता है और जब घटता है तो ऋणात्मक होता है। लेकिन यह बिना छलांग के आसानी से बदल जाता है (क्योंकि सड़क अपनी ढलान को कहीं भी तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां फ़ंक्शन न तो बढ़ता है और न ही घटता है - शीर्ष बिंदु पर।

घाटी के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहाँ फ़ंक्शन बाईं ओर घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वेतन वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को एक मान में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? वह (तर्क) अब क्या हो गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं, और अब हम उससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें। इसमें फंक्शन का मान बराबर होता है। फिर हम एक ही वेतन वृद्धि करते हैं: निर्देशांक बढ़ाएँ। अब क्या तर्क है? बहुत आसान: । अब फ़ंक्शन का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, समारोह वहां जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिसके द्वारा फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. के बराबर तर्क की वृद्धि के साथ एक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं।
2. एक बिंदु पर एक समारोह के लिए वही।

समाधान:

अलग-अलग बिंदुओं पर, तर्क के समान वेतन वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन की वृद्धि अलग-अलग होगी। इसका मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न का अपना होता है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम एक व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें किस बिंदु पर इंगित करना चाहिए:

ऊर्जा समीकरण।

एक पावर फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक होता है (तार्किक, सही?)

और - किसी भी हद तक: .

सबसे सरल मामला तब होता है जब घातांक होता है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न की परिभाषा याद रखें:

तो तर्क से बदल जाता है। फंक्शन इंक्रीमेंट क्या है?

वृद्धि है। लेकिन किसी भी बिंदु पर फलन उसके तर्क के बराबर होता है। इसीलिए:

व्युत्पन्न है:

का व्युत्पन्न है:

b) अब द्विघात फलन () पर विचार करें: .

आइए अब इसे याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य शब्द की पृष्ठभूमि के खिलाफ महत्वहीन है:

तो, हमारे पास एक और नियम है:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं:।

इस व्यंजक को विभिन्न तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके पहला कोष्ठक खोलें, या घनों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण व्यंजक को कारकों में विघटित करें। सुझाए गए किसी भी तरीके से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और फिर, याद रखें। इसका मतलब है कि हम सभी शर्तों की उपेक्षा कर सकते हैं जिनमें शामिल हैं:

हम पाते हैं: ।

डी) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाना घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, पूर्णांक भी नहीं:

(2)

आप शब्दों के साथ नियम बना सकते हैं: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर घट जाता है"।

हम इस नियम को बाद में (लगभग अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

त्रिकोणमितीय फलन।

यहां हम उच्च गणित के एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

जब अभिव्यक्ति।

आप संस्थान के पहले वर्ष में सबूत सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको परीक्षा को अच्छी तरह से पास करना होगा)। अब मैं इसे केवल ग्राफिक रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - ग्राफ़ पर बिंदु पंचर हो जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब होता है, कार्य उतना ही करीब होता है। यह बहुत "प्रयास" है।

इसके अतिरिक्त, आप कैलकुलेटर से इस नियम की जांच कर सकते हैं। हां, हां, शरमाएं नहीं, कैलकुलेटर लें, हम अभी परीक्षा में नहीं हैं।

तो चलो कोशिश करें: ;

कैलकुलेटर को रेडियन मोड में स्विच करना न भूलें!

आदि। हम देखते हैं कि अनुपात जितना छोटा होगा, अनुपात का मान उतना ही अधिक होगा।

ए) एक समारोह पर विचार करें। हमेशा की तरह, हम इसकी वृद्धि पाते हैं:

आइए ज्या के अंतर को उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें):।

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर, असीम रूप से छोटे के लिए, यह भी असीम रूप से छोटा है:। के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम याद करते हैं कि अभिव्यक्ति के साथ। और यह भी, क्या होगा यदि योग (अर्थात, पर) में एक असीम रूप से छोटे मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है।

तो हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है:

ये बुनियादी ("टेबल") डेरिवेटिव हैं। यहाँ वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनका उपयोग अक्सर किया जाता है।

अभ्यास:

1. किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए;
2. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक।

गणित में एक ऐसा फलन होता है, जिसका अवकलज किसी के लिए उसी के फलन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातांकीय फलन है

इस फ़ंक्शन का आधार - एक स्थिर - एक अनंत दशमलव अंश है, जो एक अपरिमेय संख्या (जैसे) है। इसे "यूलर नंबर" कहा जाता है, इसलिए इसे एक अक्षर से दर्शाया जाता है।

तो नियम है:

याद रखना बहुत आसान है।

खैर, हम दूर नहीं जाएंगे, हम तुरंत उलटा कार्य करेंगे। घातांकीय फलन का विलोम क्या होता है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

इस तरह के एक लघुगणक (अर्थात, आधार के साथ एक लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

किसके बराबर है? बेशक, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: घातांक और प्राकृतिक लघुगणक ऐसे कार्य हैं जो व्युत्पन्न के संदर्भ में विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका हम बाद में विश्लेषण करेंगे, जब हम भेदभाव के नियमों से गुजरेंगे।

विभेदन नियम

क्या नियम? एक और नया शब्द, फिर से?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

केवल और सब कुछ। इस प्रक्रिया के लिए दूसरा शब्द क्या है? नहीं proizvodnovanie... गणित के अंतर को फ़ंक्शन का बहुत वेतन वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन डिफरेंशियल - डिफरेंशियल से आया है। यहां।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो कार्यों का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल 5 नियम हैं।

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जाता है।

अगर - कुछ स्थिर संख्या (स्थिर), तो।

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें। चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम एक नया फ़ंक्शन पेश करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी घातांकीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए, न कि केवल घातांक (क्या आप भूल गए हैं कि यह अभी तक क्या है?)

तो कुछ संख्या कहाँ है।

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करते हैं: . फिर:

अच्छा, यह काम किया। अब अवकलज ज्ञात करने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फलन जटिल है।

हो गई?

यहां, अपने आप को जांचें:

सूत्र घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहता है, केवल एक कारक दिखाई देता है, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन एक चर नहीं है।

उदाहरण:
कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए, :

हमें इस लघुगणक को आधार पर लाने की जरूरत है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

इसके बजाय अब हम लिखेंगे:

भाजक सिर्फ एक स्थिर (एक स्थिर संख्या, एक चर के बिना) निकला। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

एक "जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना मुश्किल हो सकता है (हालांकि यदि लघुगणक आपको मुश्किल लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ काम करेगा), लेकिन गणित के संदर्भ में, "जटिल" शब्द का अर्थ "मुश्किल" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रिया कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा इसे रिबन से बांधता है। यह एक ऐसी समग्र वस्तु प्राप्त करता है: एक चॉकलेट बार लपेटा जाता है और एक रिबन से बंधा होता है। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको विपरीत चरणों को उल्टे क्रम में करने की आवश्यकता है।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, वे हमें एक नंबर (चॉकलेट) देते हैं, मैं इसकी कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला है उसे आप वर्गाकार करें (इसे एक रिबन से बांधें)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसके मूल्य को खोजने के लिए, हम पहली क्रिया को सीधे चर के साथ करते हैं, और फिर दूसरी दूसरी क्रिया जो पहले के परिणामस्वरूप हुई थी।

हम समान चरणों को उल्टे क्रम में अच्छी तरह से कर सकते हैं: पहले आप वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या के कोसाइन की तलाश करता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य एक ऐसा कार्य है जिसका तर्क एक अन्य कार्य है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही)। .

हमारे द्वारा की जाने वाली अंतिम क्रिया कहलाएगी "बाहरी" समारोह, और पहले की गई क्रिया - क्रमशः "आंतरिक" समारोह(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूं)।

अपने लिए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों का पृथक्करण परिवर्तनशील चर के समान है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

हम चर बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपनी चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलट जाती है: पहले, हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंत में आधिकारिक नियम तैयार करें:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

सब कुछ सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों के साथ जांचें:

व्युत्पन्न। संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन व्युत्पन्न- तर्क की एक असीम वृद्धि के साथ तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

भेदभाव नियम:

व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकाला जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न उत्पाद:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
3. हम पहले और दूसरे अंक के परिणामों को गुणा करते हैं।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है, वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। यह सांख्यिकी है।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

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व्युत्पन्न और इसकी गणना के तरीकों के बारे में ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज के लेख को इस मौलिक विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह होने दें एफ (एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए, बी) . बिंदु x और x0 इसी अंतराल के हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - इसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा जाता है डेल्टा x और तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? पर कौनसा:

किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा और दिए गए बिंदु पर फलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: पथ का समय व्युत्पन्न सरल रेखीय गति की गति के बराबर होता है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं कि गति एक निजी रास्ता है। एक्स = एफ (टी) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

एक बार में गति की गति का पता लगाने के लिए t0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: स्थिरांक निकालें

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा किया जाना चाहिए। गणित में उदाहरणों को हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप व्यंजक को सरल बना सकते हैं, तो सरल करना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान:

यहां जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पांचवीं शक्ति के लिए 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना यह लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर नुकसान होते हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन नियंत्रण को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।

जब किसी व्यक्ति ने गणितीय विश्लेषण के अध्ययन में पहला स्वतंत्र कदम उठाया है और असहज प्रश्न पूछना शुरू कर देता है, तो इस वाक्यांश से छुटकारा पाना इतना आसान नहीं है कि "गोभी में डिफरेंशियल कैलकुलस पाया गया था।" इसलिए, समय आ गया है कि के जन्म के रहस्य को निर्धारित किया जाए और उसे सुलझाया जाए डेरिवेटिव और विभेदन नियमों की सारणी. लेख में शुरू किया गया व्युत्पन्न के अर्थ के बारे में, जिसे मैं अध्ययन के लिए दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं, क्योंकि वहां हमने केवल व्युत्पन्न की अवधारणा पर विचार किया और विषय पर कार्यों पर क्लिक करना शुरू कर दिया। एक ही पाठ में एक स्पष्ट व्यावहारिक अभिविन्यास है, इसके अलावा,

नीचे दिए गए उदाहरणों में, सिद्धांत रूप में, पूरी तरह से औपचारिक रूप से महारत हासिल की जा सकती है (उदाहरण के लिए, जब व्युत्पन्न के सार में तल्लीन करने का कोई समय / इच्छा नहीं है)। कम से कम दो बुनियादी वर्गों के स्तर पर - "सामान्य" विधि का उपयोग करके डेरिवेटिव खोजने में सक्षम होने के लिए यह अत्यधिक वांछनीय (लेकिन फिर से आवश्यक नहीं) है:एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और व्युत्पन्न कैसे खोजें।

लेकिन बिना किसी चीज के, जो अब निश्चित रूप से अपरिहार्य है, वह बिना है कार्य सीमा. आपको यह समझना होगा कि एक सीमा क्या है और कम से कम एक मध्यवर्ती स्तर पर उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए। और सभी क्योंकि व्युत्पन्न

एक बिंदु पर कार्य सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

मैं आपको पदनामों और शर्तों की याद दिलाता हूं: वे कहते हैं तर्क वृद्धि;

- समारोह वृद्धि;

- ये सिंगल सिंबल हैं ("एक्स" या "वाई" से "डेल्टा" को "फाड़ा" नहीं किया जा सकता है)।

जाहिर है, एक "गतिशील" चर है, एक स्थिर है और सीमा की गणना का परिणाम है - संख्या (कभी-कभी - "प्लस" या "माइनस" इन्फिनिटी).

एक बिंदु के रूप में, आप से संबंधित किसी भी मूल्य पर विचार कर सकते हैं डोमेनएक फ़ंक्शन जिसमें व्युत्पन्न होता है।

नोट: खंड "जिसमें व्युत्पन्न मौजूद है" - आम तौर पर महत्वपूर्ण।! तो, उदाहरण के लिए, बिंदु, हालांकि यह फ़ंक्शन के डोमेन में प्रवेश करता है, लेकिन व्युत्पन्न

वहां मौजूद नहीं है। इसलिए सूत्र

बिंदु पर लागू नहीं है

और बिना आरक्षण के छोटा शब्द गलत होगा। इसी तरह के तथ्य ग्राफ में "ब्रेक" के साथ अन्य कार्यों के लिए भी मान्य हैं, विशेष रूप से, आर्क्साइन और आर्ककोसाइन के लिए।

इस प्रकार, प्रतिस्थापित करने के बाद, हम दूसरा कार्य सूत्र प्राप्त करते हैं:

एक कपटी परिस्थिति पर ध्यान दें जो चायदानी को भ्रमित कर सकती है: इस सीमा में, "x", स्वयं एक स्वतंत्र चर होने के नाते, एक अतिरिक्त की भूमिका निभाता है, और "गतिशीलता" फिर से वृद्धि द्वारा निर्धारित की जाती है। सीमा गणना का परिणाम

व्युत्पन्न कार्य है।

पूर्वगामी के आधार पर, हम दो विशिष्ट समस्याओं की शर्तें तैयार करते हैं:

- पाना एक बिंदु पर व्युत्पन्नव्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करना।

- पाना व्युत्पन्न कार्यव्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करना। यह संस्करण, मेरी टिप्पणियों के अनुसार, बहुत अधिक बार होता है और इस पर मुख्य ध्यान दिया जाएगा।

कार्यों के बीच मूलभूत अंतर यह है कि पहले मामले में संख्या ज्ञात करना आवश्यक है (वैकल्पिक रूप से अनंत), और दूसरे में

समारोह । इसके अलावा, व्युत्पन्न बिल्कुल मौजूद नहीं हो सकता है।

कैसे ?

एक अनुपात बनाएं और सीमा की गणना करें।

जहाँ कियाडेरिवेटिव और भेदभाव नियमों की तालिका ? एक सीमा के साथ

जादू सा लगता है, लेकिन

वास्तविकता - हाथ की सफाई और कोई धोखाधड़ी नहीं। सबक पर एक व्युत्पन्न क्या है?मैंने विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करना शुरू किया, जहां, परिभाषा का उपयोग करते हुए, मुझे एक रैखिक और द्विघात फ़ंक्शन के व्युत्पन्न मिले। संज्ञानात्मक वार्म-अप के उद्देश्य से, हम परेशान करना जारी रखेंगे व्युत्पन्न तालिका, एल्गोरिदम और तकनीकी समाधानों का सम्मान करना:

वास्तव में, एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के एक विशेष मामले को साबित करना आवश्यक है, जो आमतौर पर तालिका में दिखाई देता है:।

समाधान तकनीकी रूप से दो तरह से औपचारिक है। आइए पहले, पहले से ही परिचित दृष्टिकोण से शुरू करें: सीढ़ी एक तख्ती से शुरू होती है, और व्युत्पन्न कार्य एक बिंदु पर व्युत्पन्न के साथ शुरू होता है।

से संबंधित कुछ (ठोस) बिंदु पर विचार करें डोमेनएक फ़ंक्शन जिसमें व्युत्पन्न होता है। इस बिंदु पर वेतन वृद्धि सेट करें (बेशक, परे नहीं o / o - z) और फ़ंक्शन के संगत वेतन वृद्धि की रचना करें:

आइए सीमा की गणना करें:

अनिश्चितता 0:0 को एक मानक तकनीक द्वारा समाप्त किया जाता है जिसे पहली शताब्दी ईसा पूर्व माना जाता है। गुणा

प्रति संयुक्त अभिव्यक्ति के अंश और हर :

इस तरह की सीमा को हल करने की तकनीक पर परिचयात्मक पाठ में विस्तार से चर्चा की गई है। कार्यों की सीमा के बारे में.

चूंकि अंतराल के किसी भी बिंदु को चुना जा सकता है

फिर, प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

एक बार फिर, आइए लघुगणक पर आनन्दित हों:

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान: आइए एक ही कार्य को पूरा करने के लिए एक अलग दृष्टिकोण पर विचार करें। यह बिल्कुल वैसा ही है, लेकिन डिजाइन के मामले में अधिक तर्कसंगत है। विचार से छुटकारा पाने के लिए है

सबस्क्रिप्ट और एक पत्र के बजाय एक पत्र का उपयोग करें।

से संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें डोमेनफ़ंक्शन (अंतराल), और इसमें वेतन वृद्धि सेट करें। और यहाँ, वैसे, जैसा कि ज्यादातर मामलों में, आप बिना किसी आरक्षण के कर सकते हैं, क्योंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर भिन्न होता है।

फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

डिजाइन की सादगी भ्रम से संतुलित होती है, जो कर सकती है

शुरुआती (और न केवल) में उत्पन्न होते हैं। आखिरकार, हम इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि "X" अक्षर सीमा में बदल जाता है! लेकिन यहां सब कुछ अलग है: - एक प्राचीन मूर्ति, और - एक जीवित आगंतुक, संग्रहालय के गलियारे के साथ तेजी से चल रहा है। अर्थात्, "x" "एक स्थिरांक की तरह" है।

मैं कदम दर कदम अनिश्चितता के उन्मूलन पर टिप्पणी करूंगा:

(1) लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करना.

(2) अंश को हर द्वारा कोष्ठक में विभाजित करें।

(3) हर में हम कृत्रिम रूप से "x" से गुणा और भाग करते हैं ताकि

अद्भुत का लाभ उठाएं , के रूप में करते हुए बहुत छोताकरता है।

उत्तर: व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार:

या संक्षेप में:

मैं स्वतंत्र रूप से दो और सारणीबद्ध सूत्रों का निर्माण करने का प्रस्ताव करता हूं:

परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें

इस मामले में, संकलित वेतन वृद्धि एक सामान्य भाजक को कम करने के लिए तुरंत सुविधाजनक है। पाठ के अंत में सत्रीय कार्य का एक अनुमानित नमूना (पहली विधि)।

परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें

और यहां सब कुछ एक उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जाना चाहिए। समाधान दूसरे तरीके से तैयार किया गया है।

इसी तरह, कई अन्य सारणीबद्ध व्युत्पन्न. एक पूरी सूची स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाई जा सकती है, या, उदाहरण के लिए, फिचटेनहोल्ट्ज़ का पहला खंड। मुझे पुस्तकों से पुनर्लेखन और विभेदीकरण के नियमों के प्रमाणों के बारे में बहुत कुछ नहीं दिखता - वे भी उत्पन्न होते हैं

सूत्र।

आइए वास्तविक जीवन के कार्यों की ओर बढ़ते हैं: उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें , व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए

समाधान: पहली शैली का प्रयोग करें। आइए कुछ बिंदु पर विचार करें जो संबंधित है, और उसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें। फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

शायद कुछ पाठक अभी तक उस सिद्धांत को पूरी तरह से नहीं समझ पाए हैं जिसके द्वारा वेतन वृद्धि की जानी चाहिए। हम एक बिंदु (संख्या) लेते हैं और उसमें फ़ंक्शन का मान पाते हैं: , वह है, समारोह में

"x" के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। अब हम लेते हैं

कम्पोज्ड फंक्शन इंक्रीमेंट तुरंत सरल करना फायदेमंद है. किस लिए? आगे की सीमा के समाधान को सुगम और छोटा करें।

हम सूत्रों का उपयोग करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और वह सब कुछ कम करते हैं जिसे कम किया जा सकता है:

टर्की जल गया है, भूनने से कोई समस्या नहीं है:

आखिरकार:

चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या को गुणवत्ता के रूप में चुना जा सकता है, हम प्रतिस्थापन करते हैं और प्राप्त करते हैं .

उत्तर : परिभाषा से।

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, हम नियमों का उपयोग करके व्युत्पन्न पाते हैं

भेदभाव और टेबल:

पहले से ही सही उत्तर जानना हमेशा उपयोगी और सुखद होता है, इसलिए मानसिक रूप से या मसौदे पर समाधान की शुरुआत में प्रस्तावित कार्य को "त्वरित" तरीके से अलग करना बेहतर होता है।

व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह स्वयं का उदाहरण है। परिणाम सतह पर है:

शैली #2 पर वापस: उदाहरण 7

आइए तुरंत पता करें कि क्या होना चाहिए। द्वारा एक जटिल कार्य के भेदभाव का नियम:

निर्णय: से संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें, उसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें और वेतन वृद्धि करें

आइए व्युत्पन्न खोजें:

(1) हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं

(2) ज्या के नीचे हम कोष्ठक खोलते हैं, कोज्या के नीचे हम समान पद देते हैं।

(3) ज्या के अंतर्गत हम पदों को घटाते हैं, कोज्या के अंतर्गत हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं।

(4) साइन की विषमता के कारण, हम "माइनस" निकालते हैं। कोसाइन के तहत

इंगित करें कि शब्द।

(5) हम उपयोग करने के लिए हर को कृत्रिम रूप से गुणा करते हैं पहली अद्भुत सीमा. इस प्रकार, अनिश्चितता समाप्त हो जाती है, हम परिणाम का मुकाबला करते हैं।

उत्तर: परिभाषा के अनुसार, जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन समस्या की मुख्य कठिनाई इस पर आधारित है

सीमा की जटिलता ही + पैकेजिंग की थोड़ी मौलिकता। व्यवहार में, डिजाइन के दोनों तरीकों का सामना करना पड़ता है, इसलिए मैं दोनों दृष्टिकोणों का यथासंभव विस्तार से वर्णन करता हूं। वे समकक्ष हैं, लेकिन फिर भी, मेरे व्यक्तिपरक प्रभाव में, डमी के लिए "एक्स शून्य" के साथ पहले विकल्प से चिपके रहना अधिक समीचीन है।

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह स्वतंत्र निर्णय के लिए एक कार्य है। नमूना पिछले उदाहरण के समान ही स्वरूपित किया गया है।

आइए समस्या के एक दुर्लभ संस्करण का विश्लेषण करें:

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, नीचे की रेखा क्या होनी चाहिए? संख्या मानक तरीके से उत्तर की गणना करें:

निर्णय: स्पष्टता की दृष्टि से, यह कार्य बहुत सरल है, क्योंकि सूत्र के बजाय

एक विशिष्ट मूल्य माना जाता है।

हम बिंदु पर एक वेतन वृद्धि निर्धारित करते हैं और फ़ंक्शन के अनुरूप वेतन वृद्धि की रचना करते हैं:

एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करें:

हम स्पर्शरेखा के अंतर के लिए एक बहुत ही दुर्लभ सूत्र का उपयोग करते हैं और पंद्रहवीं बार हम समाधान को घटाकर पहले कर देते हैं

आश्चर्यजनक सीमा:

उत्तर: एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार।

कार्य को हल करना इतना मुश्किल नहीं है और "सामान्य शब्दों में" - यह नाखूनों को बदलने के लिए या बस डिजाइन विधि के आधार पर पर्याप्त है। इस मामले में, निश्चित रूप से, आपको एक संख्या नहीं, बल्कि एक व्युत्पन्न कार्य मिलता है।

उदाहरण 10 परिभाषा का प्रयोग करते हुए किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए बिंदु पर

यह स्वयं का उदाहरण है।

अंतिम बोनस कार्य मुख्य रूप से गणितीय विश्लेषण के गहन अध्ययन वाले छात्रों के लिए है, लेकिन यह अन्य सभी को भी नुकसान नहीं पहुंचाएगा:

क्या फलन अवकलनीय होगा बिंदु पर?

हल : यह स्पष्ट है कि टुकड़ावार दिया गया फलन एक बिंदु पर सतत होता है, लेकिन क्या यह वहां अवकलनीय होगा?

समाधान एल्गोरिथ्म, और न केवल टुकड़े-टुकड़े कार्यों के लिए, इस प्रकार है:

1) किसी दिए गए बिंदु पर बाएँ हाथ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

2) दिए गए बिंदु पर दाहिने हाथ का व्युत्पन्न खोजें:।

3) यदि एकतरफा व्युत्पन्न परिमित और संपाती हैं:

, तो फलन बिंदु पर अवकलनीय है और

ज्यामितीय रूप से, यहाँ एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है (पाठ का सैद्धांतिक भाग देखें व्युत्पन्न की परिभाषा और अर्थ).

यदि दो अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं: (जिनमें से एक अनंत हो सकता है), तो फ़ंक्शन एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है।

यदि दोनों एकतरफा व्युत्पन्न अनंत के बराबर हैं

(भले ही उनके अलग-अलग चिन्ह हों), तो फलन नहीं होता

एक बिंदु पर अवकलनीय है, लेकिन एक अनंत व्युत्पन्न और ग्राफ के लिए एक सामान्य ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा मौजूद है (पाठ का उदाहरण 5 देखेंसामान्य समीकरण) .

एक व्युत्पन्न की अवधारणा

चलो समारोह एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर परिभाषित किया गया है एक्स।आइए बिंदु पर तर्क का मूल्य दें एक्स 0 एक्स यादृच्छिक वृद्धि Δ एक्सताकि बिंदु X 0 + Δ एक्सभी थे एक्स।फिर संबंधित फलन की वृद्धि f(x)होगा पर = एफ(X 0 + Δ एक्स) - एफ(X 0).

परिभाषा 1.फ़ंक्शन का व्युत्पन्न f(x)बिंदु पर X 0इस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा को . पर तर्क की वृद्धि कहा जाता है एक्स 0 (यदि यह सीमा मौजूद है)।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को निरूपित करने के लिए, प्रतीकों का उपयोग किया जाता है आप' (X 0) या एफ‘(X 0):

अगर किसी मोड़ पर X 0सीमा (4.1) अनंत है:

तब वे कहते हैं कि बिंदु पर X 0समारोह एफ(एक्स) यह है अनंत व्युत्पन्न।

यदि समारोह एफ(एक्स) समुच्चय के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न है एक्स,फिर व्युत्पन्न च"(एक्स)तर्क का एक कार्य भी है एक्स,पर निर्धारित एक्स।

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को स्पष्ट करने के लिए, हमें किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की परिभाषा की आवश्यकता होती है।

परिभाषा 2.स्पर्शरेखासमारोह के ग्राफ के लिए वाई = एफ(एक्स) बिंदु पर एम एमएन,जब डॉट एनएक बिंदु पर जाता है एमवक्र के साथ एफ(एक्स).

बात करने दो एमवक्र के एफ(एक्स) तर्क के मूल्य से मेल खाता है X 0, और बिंदु एन-तर्क मूल्य X 0 + Δ एक्स(चित्र 4.1)। यह एक स्पर्शरेखा की परिभाषा से इस प्रकार है कि एक बिंदु पर इसके अस्तित्व के लिए X 0यह आवश्यक है कि एक सीमा हो, जो अक्ष पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के बराबर हो बैल. त्रिभुज से एमएनएउसका अनुसरण करता है

यदि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स) बिंदु पर X 0मौजूद है, तो, (4.1) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

इससे यह स्पष्ट निष्कर्ष निकलता है कि व्युत्पन्न f‘(X 0) ढलान के बराबर (ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा) फ़ंक्शन y के ग्राफ के स्पर्शरेखा = एफ(एक्स) में बिंदु एम(X 0, एफ(X 0))। इस मामले में, स्पर्शरेखा का ढलान सूत्र (4.2) से निर्धारित होता है:

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ

आइए मान लें कि फ़ंक्शन एल = एफ(टी) एक सीधी रेखा में एक भौतिक बिंदु की गति के नियम को पथ निर्भरता के रूप में वर्णित करता है मैंसमय से टी।फिर फर्क एल = एफ (टी +Δ टी) - एफ (टी) -समय अंतराल में तय की गई दूरी है टी, और अनुपात मैं/Δ टी- समय के साथ औसत गति टी. फिर सीमा को परिभाषित करता है बिंदु तात्कालिक गतिउन दिनों टीसमय के संबंध में पथ के व्युत्पन्न के रूप में।

एक निश्चित अर्थ में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पर = एफ (एक्स)फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है: अधिक से अधिक मूल्य एफ‘(एक्स), वक्र के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण जितना अधिक होगा, ग्राफ उतना ही तेज होगा एफ(एक्स) और फ़ंक्शन तेजी से बढ़ता है।

दाएं और बाएं डेरिवेटिव

किसी फ़ंक्शन की एक तरफा सीमाओं की अवधारणाओं के अनुरूप, एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के दाएं और बाएं डेरिवेटिव की अवधारणाएं पेश की जाती हैं।

परिभाषा 3.दाएं से बाएं)व्युत्पन्न कार्य पर = एफ (एक्स)बिंदु पर X 0संबंध (4.1) की दायीं (बाएं) सीमा को . कहा जाता है एक्स 0 यदि यह सीमा मौजूद है।

एकतरफा व्युत्पत्ति को दर्शाने के लिए निम्नलिखित प्रतीकवाद का उपयोग किया जाता है:

यदि समारोह एफ(एक्स) बिंदु पर है X 0व्युत्पन्न, तो उसके पास उस बिंदु पर बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न हैं जो समान हैं।

आइए हम एक ऐसे फलन का उदाहरण देते हैं जिसमें एक तरफा अवकलज एक बिंदु पर होते हैं जो एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। यह एफ(एक्स) = |एक्स|. दरअसल, बिंदु पर एक्स = 0अपने पास एफ' +(0) = 1, एफ'-(0) = -1 (चित्र 4.2) और एफ' +(0) f' -(0), अर्थात्। फ़ंक्शन का कोई व्युत्पन्न नहीं है एक्स = 0.

किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है विभेदन;एक फलन जिसमें एक बिंदु पर व्युत्पन्न होता है, कहलाता है अवकलनीय।

एक बिंदु पर किसी फलन की अवकलनीयता और निरंतरता के बीच संबंध निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित किया जाता है।

प्रमेय 1 . यदि कोई फलन किसी बिंदु x 0 पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर भी सतत होता है।

विलोम सत्य नहीं है: फलन एफ(एक्स) जो एक बिंदु पर निरंतर है उस बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। ऐसा एक उदाहरण समारोह है पर = |एक्स|; यह बिंदु पर निरंतर है एक्स= 0, लेकिन इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।

इस प्रकार, आवश्यकता है कि एक फ़ंक्शन अलग-अलग हो, निरंतरता की आवश्यकता से अधिक मजबूत है, क्योंकि दूसरा स्वचालित रूप से पहले से अनुसरण करता है।

किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण

जैसा कि खंड 3.9 में बताया गया है, एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण एम(X 0, 0 . पर) ढलान के साथ करूप है

चलो समारोह पर = एफ(एक्स) तब से किसी बिंदु पर इसके व्युत्पन्न के बाद से एम(X 0, 0 . पर) बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का ढलान है एम,तो यह इस प्रकार है कि फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा का समीकरण एफ(एक्स) इस बिंदु पर रूप है

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y एक फलन है y = y(x)
C = अचर, व्युत्पन्न (y') अचर का 0 . है

वाई = सी => वाई' = 0

उदाहरण: y = 5, y' = 0

यदि y, y = x n प्रकार का एक फलन है, तो अवकलज का सूत्र है:

y = x n => y' = nx n-1

उदाहरण: y = x 3 y' = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y' = -3x -4

उपरोक्त सूत्र से, हम कह सकते हैं कि फलन y = x = x 1 के अवकलज y' के लिए:

यदि y = x तो y'=1

वाई \u003d एफ 1 (एक्स) + एफ 2 (एक्स) + एफ 3 (एक्स) ...=>
y' = f' 1 (x) + f' 2 (x) + f' 3 (x) ...

यह सूत्र एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है जो कि कार्यों का योग है।
उदाहरण: यदि हमारे दो फलन हैं f(x) = x 2 + x + 1 और g(x) = x 5 + 7 और y = f(x) + g(x) तो y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1

यदि कोई फ़ंक्शन दो कार्यों का उत्पाद है, तो व्युत्पन्न सूत्र इस तरह दिखता है:

y = f(x).g(x) => y' = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)

अगर f(x) = C(C स्थिर है) और y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y'=C'.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)

y = Cf(x) => y' = C.f"(x)

व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्र

वाई =

वाई' =

f"(x)g(x) — f(x)g"(x) जी 2 (एक्स)

y = ln x => y' = 1 / x

वाई = ई एक्स => वाई' = ई एक्स

y = sin x => y' = cos x

y = cos x => y' = -sin x

y = tg x => y' = 1 / cos 2 x

y = ctg x => y' = - 1 / sin 2 x

y = चाप x

=>

वाई' =

y = आर्ककोस x

=>

वाई' =

उत्तर:हमारे दो फलन हैं h(x) = x 10 और g(x) = 4.15 + cos x
फलन f(x) h(x) है जो g(x) से विभाजित है।

कार्यों का विभेदक कलन

ज "(x) \u003d 10x 9 g" (x) \u003d 0 - पाप x \u003d -sin x

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एक व्युत्पन्न क्या है

एक व्युत्पन्न की अवधारणा

व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह तर्क के कार्य में परिवर्तन की विशेषता है एक्सकिन्हीं बिंदुओं पर। इसके अलावा, व्युत्पन्न स्वयं तर्क का एक कार्य है एक्स

व्युत्पन्न कार्य एक बिंदु पर तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा (यदि यह मौजूद है और परिमित है) कहा जाता है, बशर्ते कि बाद वाला शून्य हो।

सबसे आम निम्नलिखित हैं व्युत्पन्न संकेतन :

उदाहरण 1लाभ उठा व्युत्पन्न की परिभाषा, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। व्युत्पन्न की परिभाषा से इसकी गणना के लिए निम्नलिखित योजना का अनुसरण किया जाता है।

आइए तर्क को एक वेतन वृद्धि (डेल्टा) दें और फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं:

आइए तर्क के वेतन वृद्धि के लिए फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि का अनुपात ज्ञात करें:

आइए हम इस अनुपात की सीमा की गणना इस शर्त के तहत करें कि तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, अर्थात समस्या की स्थिति में आवश्यक व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ

प्रति व्युत्पन्न की अवधारणा गैलीलियो गैलीली ने पिंडों के मुक्त गिरने के नियम के अध्ययन का नेतृत्व किया, और एक व्यापक अर्थ में, एक बिंदु के गैर-समान रेक्टिलिनियर गति के तात्कालिक वेग की समस्या का नेतृत्व किया।

हालांकि, स्वतंत्र रूप से गिरने वाले शरीर की गति स्पष्ट रूप से असमान है। रफ़्तार वीगिरावट लगातार बढ़ रही है। और औसत गति अब पथ के विभिन्न खंडों पर गति की गति को दर्शाने के लिए पर्याप्त नहीं है। यह विशेषता जितनी सटीक होती है, समय अंतराल उतना ही कम होता है।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न

इसलिए, निम्नलिखित अवधारणा पेश की गई है: रेक्टिलिनियर गति की तात्कालिक गति (या किसी निश्चित समय पर गति) टी) को औसत गति सीमा कहा जाता है:

(बशर्ते कि यह सीमा मौजूद हो और परिमित हो)।

तो यह पता चला है कि तात्कालिक गति फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है एस(टी) तर्क वृद्धि के लिए टीपर यह व्युत्पन्न है, जिसे सामान्य शब्दों में इस प्रकार लिखा जाता है:।

.

निर्दिष्ट समस्या का समाधान है व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ . तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न वाई = एफ(एक्स) बिंदु पर एक्सतर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि की सीमा (यदि यह मौजूद है और परिमित है) को कहा जाता है, बशर्ते कि बाद वाला शून्य हो।

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। व्युत्पन्न की परिभाषा से इसकी गणना के लिए निम्नलिखित योजना का अनुसरण किया जाता है।

चरण 1. आइए तर्क को बढ़ाते हैं और पाते हैं

चरण 2. फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं:

चरण 3. तर्क वृद्धि के लिए फ़ंक्शन वृद्धि का अनुपात ज्ञात करें:

चरण 4. इस अनुपात की सीमा की गणना करें, जो कि व्युत्पन्न है:

समाधान में तल्लीन करने का समय नहीं है? आप नौकरी का आदेश दे सकते हैं!

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

यदि मौजूद है

फिर एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा

बिंदु से गुजरने को secant की सीमा स्थिति कहा जाता है श्रीपर (या पर)।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एम secant की सीमा स्थिति कहा जाता है श्रीके लिए, या, जो के लिए समान है।

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि स्पर्शरेखा के अस्तित्व के लिए यह पर्याप्त है कि एक सीमा है

,

इसके अलावा, सीमा अक्ष पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के बराबर है।

अब आइए स्पर्शरेखा की एक सटीक परिभाषा दें।

स्पर्शरेखाकिसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए बिंदु से गुजरने वाली और ढलान वाली एक सीधी रेखा कहलाती है, अर्थात। सीधी रेखा जिसका समीकरण

इस परिभाषा से यह इस प्रकार है कि फ़ंक्शन व्युत्पन्न भुज के साथ बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर एक्स. यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है:

भुजिका अक्ष के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण कहाँ है, अर्थात्। स्पर्शरेखा का ढलान।

उदाहरण 3फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और इस व्युत्पन्न के मूल्य का पता लगाएं।

समाधान। आइए उदाहरण 1 में दिखाई गई योजना का उपयोग करें।

सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति (फॉर्म 0/0 की अनिश्चितता) पर परिभाषित नहीं है, इसलिए हम अंश में तर्कहीनता से छुटकारा पाकर और फिर अंश को कम करके इसे बदलते हैं:

आइए व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें:

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व्युत्पन्न, विभेदक और उनके अनुप्रयोग पर एक परीक्षा लें

संपूर्ण ब्लॉक "डेरिवेटिव"

यह परिचय आपको इसकी अनुमति देगा:

- व्युत्पन्न के साथ सरल कार्यों के सार को समझें;

- इन बहुत ही सरल कार्यों को सफलतापूर्वक हल करें;

— व्युत्पत्ति पर अधिक गंभीर पाठों के लिए तैयार रहें।

सबसे पहले, एक सुखद आश्चर्य।

व्युत्पन्न की सख्त परिभाषा सीमा के सिद्धांत पर आधारित है, और बात काफी जटिल है। यह परेशान करने वाला है। लेकिन व्युत्पन्न के व्यावहारिक अनुप्रयोग, एक नियम के रूप में, इस तरह के व्यापक और गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं है!

स्कूल और विश्वविद्यालय में अधिकांश कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, यह जानना पर्याप्त है बस कुछ शर्तें- कार्य को समझने के लिए, और बस कुछ नियम- इसे हल करने के लिए। और बस। यह मुझे आनंद देता है।

क्या हम एक दूसरे को जान पाएंगे?)

शर्तें और पदनाम।

प्रारंभिक गणित में कई गणितीय संक्रियाएँ होती हैं। जोड़, घटाव, गुणा, घातांक, लघुगणक, आदि। यदि इन संक्रियाओं में एक और संक्रिया जोड़ दी जाए, तो प्रारंभिक गणित उच्चतर हो जाता है। इस नए ऑपरेशन को कहा जाता है भेदभाव।इस ऑपरेशन की परिभाषा और अर्थ पर अलग-अलग पाठों में चर्चा की जाएगी।

यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि विभेदन किसी फ़ंक्शन पर केवल एक गणितीय संक्रिया है। हम कोई भी कार्य करते हैं और कुछ नियमों के अनुसार उसे रूपांतरित करते हैं। परिणाम एक नया कार्य है। इस नए फ़ंक्शन को कहा जाता है: व्युत्पन्न।

भेदभाव- एक समारोह पर कार्रवाई।

यौगिकइस क्रिया का परिणाम है।

जैसे, उदाहरण के लिए, जोड़जोड़ने का परिणाम है। या निजीविभाजन का परिणाम है।

शर्तों को जानकर, आप कम से कम कार्यों को समझ सकते हैं।) शब्दांकन इस प्रकार है: किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं; व्युत्पन्न ले लो; फ़ंक्शन को अलग करें; व्युत्पन्न की गणना करेंआदि। यह सब है वही।बेशक, अधिक जटिल कार्य हैं, जहां व्युत्पन्न (भेदभाव) खोजना कार्य को हल करने के चरणों में से एक होगा।

व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के ऊपर दाईं ओर एक डैश द्वारा दर्शाया जाता है। ऐशे ही: वाई'या च"(एक्स)या अनुसूचित जनजाति)और इसी तरह।

पढ़ना y स्ट्रोक, x से ef स्ट्रोक, te से es स्ट्रोक,अच्छा आप समझ गए...)

एक प्राइम किसी विशेष फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भी निरूपित कर सकता है, उदाहरण के लिए: (2x+3)', (एक्स 3 )’ , (sinx)'आदि।

अक्सर अवकलज को अवकलनों का प्रयोग करके निरूपित किया जाता है, लेकिन हम इस पाठ में ऐसे अंकन पर विचार नहीं करेंगे।

मान लीजिए कि हमने कार्यों को समझना सीख लिया है। कुछ भी नहीं बचा है - उन्हें हल करने का तरीका जानने के लिए।) मैं आपको फिर से याद दिला दूं: व्युत्पन्न खोजना है कुछ नियमों के अनुसार किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन।ये नियम आश्चर्यजनक रूप से कम हैं।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, आपको केवल तीन चीजों को जानना होगा। तीन स्तंभ जिस पर सभी भेदभाव टिकी हुई है। यहाँ तीन व्हेल हैं:

1. डेरिवेटिव की तालिका (भेदभाव सूत्र)।

2. विभेदीकरण के नियम।

3. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

आइए क्रम से शुरू करें। इस पाठ में, हम अवकलजों की तालिका पर विचार करेंगे।

व्युत्पन्न तालिका।

दुनिया में अनंत संख्या में कार्य हैं। इस सेट में ऐसे कार्य हैं जो व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। ये कार्य प्रकृति के सभी नियमों में बैठते हैं। इन कार्यों से, जैसे कि ईंटों से, आप अन्य सभी का निर्माण कर सकते हैं। कार्यों के इस वर्ग को कहा जाता है प्राथमिक कार्य।इन कार्यों का स्कूल में अध्ययन किया जाता है - रैखिक, द्विघात, अतिपरवलय, आदि।

"स्क्रैच से" कार्यों का अंतर, अर्थात्। व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमा के सिद्धांत के आधार पर - बल्कि समय लेने वाली चीज। और गणितज्ञ भी लोग हैं, हाँ, हाँ!) इसलिए उन्होंने अपने जीवन को सरल बनाया (और हम)। उन्होंने हमारे सामने प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की गणना की। परिणाम डेरिवेटिव की एक तालिका है, जहां सब कुछ तैयार है।)

यहाँ यह है, सबसे लोकप्रिय कार्यों के लिए यह प्लेट। बाईं ओर प्राथमिक कार्य है, दाईं ओर इसका व्युत्पन्न है।

मैं डेरिवेटिव की इस तालिका में कार्यों के तीसरे समूह पर ध्यान देने की सलाह देता हूं। पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सबसे सामान्य सूत्रों में से एक है, यदि सबसे आम नहीं है! क्या संकेत स्पष्ट है?) हां, डेरिवेटिव की तालिका को दिल से जानना वांछनीय है। वैसे, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना यह लग सकता है। अधिक उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें, तालिका ही याद रखी जाएगी!)

जैसा कि आप समझते हैं, व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान ज्ञात करना सबसे कठिन कार्य नहीं है। इसलिए, अक्सर ऐसे कार्यों में अतिरिक्त चिप्स होते हैं। या तो कार्य के निर्माण में, या मूल कार्य में, जो तालिका में गायब प्रतीत होता है ...

आइए कुछ उदाहरण देखें:

1. फलन y = x . का अवकलज ज्ञात कीजिए 3

तालिका में ऐसा कोई कार्य नहीं है। लेकिन पावर फंक्शन (तीसरे समूह) का एक सामान्य व्युत्पन्न है। हमारे मामले में, एन = 3। इसलिए हम n के बजाय ट्रिपल को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम को ध्यान से लिखते हैं:

(एक्स 3) ' = 3 x 3-1 = 3x 2

यही सब है इसके लिए।

उत्तर: वाई' = 3x 2

2. बिंदु x = 0 पर फलन y = sinx के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का अर्थ है कि आपको पहले ज्या का अवकलज ढूँढ़ना होगा, और फिर मान को प्रतिस्थापित करना होगा एक्स = 0इसी व्युत्पन्न के लिए। यह उस क्रम में है!अन्यथा, ऐसा होता है कि वे तुरंत मूल फ़ंक्शन में शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं ... हमें मूल फ़ंक्शन का मान नहीं, बल्कि मान खोजने के लिए कहा जाता है इसका व्युत्पन्न।मैं आपको याद दिला दूं कि व्युत्पन्न पहले से ही एक नया कार्य है।

प्लेट पर हम साइन और संबंधित व्युत्पन्न पाते हैं:

y' = (sinx)' = cosx

शून्य को व्युत्पन्न में बदलें:

y"(0) = cos 0 = 1

यह उत्तर होगा।

3. फ़ंक्शन को अलग करें:

क्या प्रेरित करता है?) डेरिवेटिव की तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन भी नहीं है।

मैं आपको याद दिला दूं कि किसी फ़ंक्शन को अलग करना केवल इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजना है। यदि आप प्राथमिक त्रिकोणमिति को भूल जाते हैं, तो हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजना काफी परेशानी भरा है।

व्युत्पन्न, बुनियादी परिभाषाएँ और अवधारणाएँ।

तालिका मदद नहीं करती है ...

लेकिन अगर हम देखते हैं कि हमारा कार्य है एक दोहरे कोण की कोज्या, तो सब कुछ तुरंत बेहतर हो जाता है!

हाँ हाँ! याद रखें कि मूल कार्य का परिवर्तन भेदभाव से पहलेकाफी स्वीकार्य! और यह जीवन को बहुत आसान बनाने के लिए होता है। दोहरे कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार:

वे। हमारा मुश्किल काम और कुछ नहीं है वाई = कॉक्स. और यह एक टेबल फंक्शन है। हमें तुरंत मिलता है:

उत्तर: y' = -सिन x.

उन्नत स्नातकों और छात्रों के लिए उदाहरण:

4. किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

निश्चित रूप से व्युत्पन्न तालिका में ऐसा कोई कार्य नहीं है। लेकिन अगर आपको प्राथमिक गणित, शक्तियों के साथ क्रियाएं याद हैं ... तो इस फ़ंक्शन को सरल बनाना काफी संभव है। ऐशे ही:

और एक दसवें की शक्ति के लिए x पहले से ही एक सारणीबद्ध कार्य है! तीसरा समूह, एन = 1/10। सीधे सूत्र के अनुसार लिखिए:

बस इतना ही। यह उत्तर होगा।

मुझे उम्मीद है कि भेदभाव की पहली व्हेल के साथ - डेरिवेटिव की तालिका - सब कुछ स्पष्ट है। यह शेष दो व्हेल से निपटने के लिए बनी हुई है। अगले पाठ में हम विभेदीकरण के नियम सीखेंगे।

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विषय। व्युत्पन्न। व्युत्पन्न का ज्यामितीय और यांत्रिक अर्थ

यदि यह सीमा मौजूद है, तो फ़ंक्शन को एक बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न निरूपित किया जाता है (सूत्र 2)।

1. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। फ़ंक्शन ग्राफ़ पर विचार करें। यह चित्र 1 से देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ के किन्हीं दो बिंदुओं A और B के लिए, सूत्र 3) लिखा जा सकता है। इसमें - छेदक AB के झुकाव का कोण।

इस प्रकार, अंतर अनुपात छेदक के ढलान के बराबर है। यदि हम बिंदु A को स्थिर करते हैं और बिंदु B को उसकी ओर ले जाते हैं, तो यह अनिश्चित काल के लिए घटता है और 0 की ओर बढ़ता है, और छेदक AB स्पर्शरेखा AC की ओर बढ़ता है। इसलिए, अंतर अनुपात की सीमा बिंदु A पर स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। इसलिए निष्कर्ष निम्नानुसार है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर उस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का ढलान होता है। यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है।

1. स्पर्शरेखा समीकरण . आइए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को प्राप्त करें। सामान्य स्थिति में, एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: . b को खोजने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A: से होकर गुजरती है। यह संकेत करता है: । इस व्यंजक को b से प्रतिस्थापित करने पर, हम स्पर्शरेखा समीकरण (सूत्र 4) प्राप्त करते हैं।