वैकल्पिक पाठ्यक्रम के लिए पद्धतिगत विकास

"तर्कहीन समीकरणों को हल करने के तरीके"

परिचय

प्रस्तावित वैकल्पिक पाठ्यक्रम "तर्कहीन समीकरणों को हल करने के तरीके" एक सामान्य शिक्षा स्कूल के 11 वीं कक्षा के छात्रों के लिए है और विषय-उन्मुख है, जिसका उद्देश्य छात्रों के सैद्धांतिक और व्यावहारिक ज्ञान का विस्तार करना है। ऐच्छिक पाठ्यक्रम उस ज्ञान और कौशल पर आधारित है जो छात्र हाई स्कूल में गणित का अध्ययन करते समय प्राप्त करते हैं।

इस पाठ्यक्रम की विशिष्टता इस तथ्य में निहित है कि यह मुख्य रूप से उन छात्रों के लिए है जो अपने गणितीय ज्ञान का विस्तार, गहन, व्यवस्थित, सामान्यीकरण करना चाहते हैं, तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों और तकनीकों का अध्ययन करना चाहते हैं। कार्यक्रम में ऐसे प्रश्न शामिल हैं जो आंशिक रूप से गणित और गैर-मानक तरीकों में वर्तमान कार्यक्रमों से परे हैं जो आपको विभिन्न समस्याओं को अधिक प्रभावी ढंग से हल करने की अनुमति देते हैं।

अधिकांश USE कार्यों के लिए स्नातकों को विभिन्न प्रकार के समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों में महारत हासिल करने की आवश्यकता होती है।समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों से संबंधित सामग्री स्कूल गणित पाठ्यक्रम का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। वैकल्पिक पाठ्यक्रम के विषय को चुनने की प्रासंगिकता स्कूल गणित पाठ्यक्रम में "तर्कहीन समीकरण" विषय के महत्व से निर्धारित होती है और साथ ही, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों और दृष्टिकोणों पर विचार करने के लिए समय की कमी से निर्धारित होता है। जो एकीकृत राज्य परीक्षा के समूह "सी" के कार्यों में पाए जाते हैं।

गणित पढ़ाने के मुख्य कार्य के साथ - छात्रों द्वारा गणितीय ज्ञान और कौशल की प्रणाली की एक मजबूत और सचेत महारत सुनिश्चित करना - यह वैकल्पिक पाठ्यक्रम विषय में एक स्थायी रुचि के गठन, गणितीय क्षमताओं के विकास, सुधार के लिए प्रदान करता है छात्रों की गणितीय संस्कृति का स्तर, परीक्षाओं में सफल उत्तीर्ण होने और विश्वविद्यालयों में शिक्षा जारी रखने का आधार बनाता है।

पाठ्यक्रम का उद्देश्य:

तर्कहीन समीकरणों को हल करने में समझ और व्यावहारिक प्रशिक्षण के स्तर में वृद्धि;

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की तकनीकों और विधियों का अध्ययन करना;

विश्लेषण करने की क्षमता बनाने के लिए, मुख्य बात को उजागर करें, सामान्यीकरण तकनीकों के आधार पर रचनात्मक खोज के तत्व बनाएं;

इस विषय पर छात्रों के ज्ञान का विस्तार करने के लिए, परीक्षा के सफल उत्तीर्ण होने के लिए विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं में सुधार करना।

पाठ्यक्रम के उद्देश्य:

बीजीय समीकरणों को हल करने के तरीकों और तरीकों के बारे में ज्ञान का विस्तार;

कक्षा 10-11 में पढ़ाने और परीक्षा की तैयारी करते समय ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण;

स्वतंत्र रूप से ज्ञान प्राप्त करने और लागू करने की क्षमता विकसित करना;

गणितीय साहित्य के साथ काम करने के लिए छात्रों का परिचय;

छात्रों की तार्किक सोच का विकास, उनकी एल्गोरिथम संस्कृति और गणितीय अंतर्ज्ञान;

छात्र की गणितीय संस्कृति में सुधार।

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के कार्यक्रम में तर्कहीन समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों और दृष्टिकोणों का अध्ययन, विचाराधीन मुद्दों पर व्यावहारिक कौशल का विकास शामिल है। पाठ्यक्रम 17 घंटे के लिए डिज़ाइन किया गया है।

कार्यक्रम जटिल है, अध्ययन के सामान्य पाठ्यक्रम को पार करता है, अमूर्त सोच के विकास को बढ़ावा देता है, और छात्र के ज्ञान के क्षेत्र का विस्तार करता है। साथ ही, यह मौजूदा कार्यक्रमों के साथ निरंतरता बनाए रखता है, उनकी तार्किक निरंतरता है।

शैक्षिक और विषयगत योजना

№पी/एन

विषय

घंटों की संख्या

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखते हुए समीकरणों को हल करना

प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करना

सहायक चर (प्रतिस्थापन विधि) का परिचय देकर समीकरणों को हल करना

तीसरी डिग्री के रेडिकल वाले समीकरण का हल।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने में पहचान परिवर्तन

गैर-पारंपरिक कार्य। समूह "सी" उपयोग के कार्य

नियंत्रण के रूप:गृह नियंत्रण, स्वतंत्र कार्य, निबंध और शोध पत्र।

इस वैकल्पिक पाठ्यक्रम को पढ़ाने के परिणामस्वरूप, छात्रों को मानक और गैर-मानक विधियों और तकनीकों का उपयोग करके विभिन्न तर्कहीन समीकरणों को हल करने में सक्षम होना चाहिए;

मानक अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म में महारत हासिल करें;

गैर-मानक कार्यों को हल करने के लिए समीकरणों के गुणों का उपयोग करने में सक्षम हो;

समीकरणों को हल करते समय समान परिवर्तन करने में सक्षम हो;

एकीकृत राज्य परीक्षा के विषयों की स्पष्ट समझ, उनके समाधान के मुख्य तरीके;

गैर-मानक समस्याओं को हल करने के तरीकों को चुनने में अनुभव प्राप्त करें।

मुख्य हिस्सा।

वे समीकरण जिनमें अज्ञात मात्रा मूलांक के चिह्न के अंतर्गत होती है, कहलाती है तर्कहीन।

सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों में फॉर्म के समीकरण शामिल हैं:

समाधान का मुख्य विचारअपरिमेय समीकरण में इसे एक परिमेय बीजीय समीकरण में कम करना शामिल है, जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर है, या इसका परिणाम है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, हम हमेशा वास्तविक मूल खोजने की बात करते हैं।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के कुछ तरीकों पर विचार करें।

1. अनुमेय मूल्यों (ODZ) की सीमा को ध्यान में रखते हुए अपरिमेय समीकरणों का समाधान।

एक अपरिमेय समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र में अज्ञात के वे मूल्य होते हैं जिनके लिए एक समान डिग्री रेडिकल के संकेत के तहत सभी अभिव्यक्तियां गैर-ऋणात्मक होती हैं।

कभी-कभी ODZ का ज्ञान हमें यह साबित करने की अनुमति देता है कि समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और कभी-कभी यह हमें ODZ से सीधे संख्याओं को प्रतिस्थापित करके समीकरण का समाधान खोजने की अनुमति देता है।.

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें.

फेसला . इस समीकरण का ODZ ज्ञात करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि मूल समीकरण का ODZ एक-तत्व समुच्चय है. स्थानापन्नएक्स = 2इस समीकरण में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं किएक्स = 2मूल समीकरण का मूल है।

जवाब : 2 .

उदाहरण 2।

समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि चर के प्रत्येक मान्य मान के लिए, दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं का योग ऋणात्मक नहीं हो सकता।

उदाहरण 3
+ 3 =
.

ओडीजेड:

ODZ समीकरण एक खाली सेट है।

उत्तर: समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उदाहरण 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ओडीजेड:

ओडीजेड:
. जाँच करने पर हमें विश्वास हो जाता है कि x \u003d 1 समीकरण का मूल है।

उत्तर 1।

सिद्ध कीजिए कि समीकरण में नहीं है

जड़ें।

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

प्रश्न हल करें।

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. इन एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना , अर्थात्, समीकरण से संक्रमण

(1)

समीकरण के लिए

. (2)

निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1) किसी भी समीकरण के लिए (2) समीकरण (1) का परिणाम है;

2) अगर ( एनएक विषम संख्या है), तो समीकरण (1) और (2 .) ) समतुल्य हैं;

3) अगर ( एनएक सम संख्या है), तो समीकरण (2) समीकरण के बराबर है

, (3)

और समीकरण (3) समीकरणों के समुच्चय के बराबर है

. (4)

विशेष रूप से, समीकरण

(5)

समीकरणों के समुच्चय (4) के बराबर है।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

.

समीकरण प्रणाली के बराबर है

जहां से यह इस प्रकार है कि x=1, और मूल दूसरी असमानता को संतुष्ट नहीं करता है। उसी समय, एक सक्षम समाधान को सत्यापन की आवश्यकता नहीं होती है।

जवाब:एक्स = 1।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।

इस प्रणाली के पहले समीकरण को हल करना, जो समीकरण के बराबर है , हमें जड़ें मिलती हैं और . हालांकि, इन मूल्यों के लिए एक्सअसमानता संतुष्ट नहीं है, और इसलिए इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

जवाब: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें

पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

मूल के बराबर।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, चूँकि वे दोनों धनात्मक हैं, हमें समीकरण प्राप्त होता है

,

जो मूल समीकरण का परिणाम है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग इस शर्त के तहत किया जाता है कि, हम समीकरण पर पहुंचते हैं

.

इस समीकरण की जड़ें हैं, . पहली जड़ प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करती है, और दूसरी नहीं।

जवाब: एक्स = 2।

यदि समीकरण में दो या दो से अधिक मूलक हैं, तो उन्हें पहले अलग किया जाता है, और फिर चुकता किया जाता है।

उदाहरण 1

पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जो दिए गए के बराबर होता है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:

आवश्यक परिवर्तन करने के बाद, हम परिणामी समीकरण का वर्ग बनाते हैं

जाँच करने के बाद, हम देखते हैं कि

अनुमत सीमा के भीतर नहीं है।

उत्तर: 8.

उत्तर: 2

उत्तर: 3; 1.4.

3. कई अपरिमेय समीकरणों को सहायक चरों के परिचय द्वारा हल किया जाता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक सुविधाजनक साधन कभी-कभी एक नया चर पेश करने की विधि है, या प्रतिस्थापन विधि।विधि आमतौर पर लागू होती है यदि समीकरण में कुछ अभिव्यक्ति बार-बार होती है, अज्ञात मान पर निर्भर करता है। फिर इस अभिव्यक्ति को कुछ नए अक्षर के साथ नामित करना और पहले अज्ञात के संबंध में समीकरण को हल करने का प्रयास करना, और फिर मूल अज्ञात का पता लगाना समझ में आता है।

एक नए चर का एक अच्छा विकल्प समीकरण की संरचना को और अधिक पारदर्शी बनाता है। नया चर कभी-कभी स्पष्ट होता है, कभी-कभी कुछ छिपा हुआ होता है, लेकिन "महसूस" होता है, और कभी-कभी केवल परिवर्तन की प्रक्रिया में "प्रकट होता है"।

उदाहरण 1

रहने दो
टी> 0, फिर

टी =
,

टी 2 +5t-14=0,

टी 1 \u003d -7, टी 2 \u003d 2. t=-7 शर्त t>0 को संतुष्ट नहीं करता है, तो

,

एक्स 2 -2x-5 \u003d 0,

एक्स 1 \u003d 1-
, एक्स 2 \u003d 1+
.

उत्तर 1-
; 1+
.

उदाहरण 2एक अपरिमेय समीकरण हल करें

प्रतिस्थापन:

रिवर्स रिप्लेसमेंट: /

जवाब:

उदाहरण 3प्रश्न हल करें .

आइए प्रतिस्थापन करें: , । मूल समीकरण को इस रूप में फिर से लिखा जाएगा, जहां से हम पाते हैं कि ए = 4बीऔर । इसके अलावा, समीकरण के दोनों पक्षों को ऊपर उठाना चुकता, हमें मिलता है: यहाँ से एक्स= 15. यह जांचना बाकी है:

- सही!

जवाब: 15.

उदाहरण 4. प्रश्न हल करें

सेटिंग, हम एक बहुत सरल अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें: .

; ;

; ; , .

पाए गए मानों की जाँच करना, उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करना दर्शाता है कि यह समीकरण का मूल है, और एक बाहरी मूल है।

मूल चर पर लौट रहा है एक्स, हमें एक समीकरण मिलता है, जो कि एक द्विघात समीकरण है, जिसे हल करने पर हमें दो मूल मिलते हैं: ,। दोनों मूल मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

जवाब: , .

प्रतिस्थापन विशेष रूप से उपयोगी होता है यदि परिणामस्वरूप एक नया गुण प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण तर्कसंगत हो जाता है।

उदाहरण 6. प्रश्न हल करें।

आइए इस तरह के समीकरण को फिर से लिखें:

यह देखा जा सकता है कि यदि हम एक नया चर पेश करते हैं , तो समीकरण रूप लेगा , जहां से एक बाहरी जड़ है और .

समीकरण से हम प्राप्त करते हैं, .

जवाब: , .

उदाहरण 7. प्रश्न हल करें .

आइए एक नया वेरिएबल पेश करें , .

परिणामस्वरूप, मूल अपरिमेय समीकरण द्विघात का रूप ले लेता है

,

जहां से, बाधा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं। समीकरण को हल करने पर हमें मूल प्राप्त होता है। जवाब: 2,5.

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4. दो सहायक चरों को प्रस्तुत करने की विधि।

फॉर्म के समीकरण (यहाँ ए , बी , सी , डी – कुछ नंबर एम , एन – प्राकृतिक संख्याएँ) और कई अन्य समीकरणों को अक्सर हल किया जा सकता है दो सहायक अज्ञात का परिचय देकर:और , कहाँ और बाद में संक्रमण के लिए परिमेय समीकरणों की समतुल्य प्रणाली.

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें।

इस समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी घात तक बढ़ाना शुभ संकेत नहीं है। यदि हम , डालते हैं, तो मूल समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा जाता है: . चूंकि हमने दो नए अज्ञात का परिचय दिया है, इसलिए हमें संबंधित एक और समीकरण खोजने की आवश्यकता है आपऔर जेड. ऐसा करने के लिए, हम समानताएं बढ़ाते हैं, चौथी शक्ति तक और ध्यान दें कि। इसलिए, हमें समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

वर्ग करने से हमें प्राप्त होता है:

प्रतिस्थापन के बाद हमारे पास है: या । तब सिस्टम के दो समाधान होते हैं: , ; , , और सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

यह एक अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए बनी हुई है

और प्रणाली उनमें से पहला देता है, दूसरा देता है।

जवाब: , .

उदाहरण 2

रहने दो

जवाब:

5. तीसरी डिग्री के एक कट्टरपंथी के साथ समीकरण।
थर्ड-डिग्री रेडिकल वाले समीकरणों को हल करते समय, अतिरिक्त पहचान का उपयोग करना उपयोगी हो सकता है:

उदाहरण 1 .
आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं और उपरोक्त पहचान का उपयोग करें:

ध्यान दें कि कोष्ठक में व्यंजक 1 के बराबर है, जो मूल समीकरण का अनुसरण करता है। इसे ध्यान में रखते हुए और समान पदों को लाते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
आइए कोष्ठक खोलें, समान पद दें और द्विघात समीकरण को हल करें। इसकी जड़ेंऔर. यदि हम (परिभाषा के अनुसार) मान लें कि विषम अंश का मूल ऋणात्मक संख्याओं से भी निकाला जा सकता है, तो प्राप्त दोनों संख्याएँ मूल समीकरण के समाधान हैं।
जवाब:.

6. समीकरण के दोनों भागों को उनमें से किसी एक के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करना।

कभी-कभी एक अपरिमेय समीकरण को बहुत जल्दी हल किया जा सकता है यदि दोनों पक्षों को एक अच्छी तरह से चुने गए फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है। बेशक, जब समीकरण के दोनों हिस्सों को किसी फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है, तो बाहरी समाधान प्रकट हो सकते हैं, वे स्वयं इस फ़ंक्शन के शून्य हो सकते हैं। इसलिए, प्रस्तावित पद्धति के लिए परिणामी मूल्यों के अनिवार्य अध्ययन की आवश्यकता है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

फेसला:आइए एक फ़ंक्शन चुनें

समीकरण के दोनों पक्षों को चुने हुए फलन से गुणा करें:

हम समान पद लाते हैं और एक समान समीकरण प्राप्त करते हैं

हम मूल समीकरण और अंतिम समीकरण जोड़ते हैं, हमें मिलता है

जवाब: .

7. अपरिमेय समीकरणों को हल करने में पहचान परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, अक्सर प्रसिद्ध सूत्रों के उपयोग से जुड़े समान परिवर्तनों को लागू करना पड़ता है। दुर्भाग्य से, ये कार्रवाइयां कभी-कभी उतनी ही असुरक्षित होती हैं, जितनी कि एक समान शक्ति तक - समाधान प्राप्त या खो सकते हैं।

आइए कुछ स्थितियों को देखें जिनमें ये समस्याएं होती हैं, और सीखें कि उन्हें कैसे पहचानें और कैसे रोकें।

मैं। उदाहरण 1. प्रश्न हल करें।

फेसला।सूत्र यहां लागू होता है .

आपको बस इसके उपयोग की सुरक्षा के बारे में सोचने की जरूरत है। यह देखना आसान है कि इसके बाएँ और दाएँ भागों की परिभाषा के अलग-अलग डोमेन हैं और यह समानता केवल शर्त के तहत ही सही है। इसलिए, मूल समीकरण प्रणाली के बराबर है

इस प्रणाली के समीकरण को हल करने पर, हम मूल प्राप्त करते हैं और . दूसरी जड़ प्रणाली की असमानताओं के समूह को संतुष्ट नहीं करती है और इसलिए, मूल समीकरण का एक बाहरी मूल है।

जवाब: -1 .

द्वितीयअपरिमेय समीकरणों को हल करते समय अगला खतरनाक परिवर्तन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि आप इस सूत्र का उपयोग बाएं से दाएं करते हैं, तो DPV का विस्तार होता है और तृतीय-पक्ष समाधान खरीदे जा सकते हैं। वास्तव में, दोनों कार्य करते हैं और बाईं ओर गैर-ऋणात्मक होना चाहिए; और उनका उत्पाद दाईं ओर गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।

एक उदाहरण पर विचार करें जहां सूत्र का उपयोग करके समस्या को लागू किया जाता है।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।

फेसला।आइए फैक्टरिंग द्वारा इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें

ध्यान दें कि इस क्रिया के दौरान, समाधान खो गया, क्योंकि यह मूल समीकरण में फिट बैठता है और अब परिणामी समीकरण में फिट नहीं होता है: इसका कोई मतलब नहीं है। इसलिए, यह समीकरण सामान्य वर्ग द्वारा सबसे अच्छा हल किया जाता है

इस प्रणाली के समीकरण को हल करने पर, हम मूल प्राप्त करते हैं और . दोनों जड़ें प्रणाली की असमानता को संतुष्ट करती हैं।

जवाब: , .

तृतीयएक और भी खतरनाक क्रिया है - एक सामान्य कारक द्वारा कम करना।

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें .

गलत तर्क: हम समीकरण के दोनों पक्षों को कम करते हैं, हमें मिलता है .

इस कार्रवाई से ज्यादा खतरनाक और गलत कुछ भी नहीं है। सबसे पहले, मूल समीकरण का एक उपयुक्त हल खो गया था; दूसरे, दो तृतीय-पक्ष समाधान खरीदे गए। यह पता चला है कि नए समीकरण का मूल से कोई लेना-देना नहीं है! हम सही समाधान देंगे।

फेसला. हम सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और इसे कारक बनाते हैं

.

यह समीकरण प्रणाली के बराबर है

जिसका एक अनूठा समाधान है।

जवाब: 3 .

निष्कर्ष।

वैकल्पिक पाठ्यक्रम के अध्ययन के हिस्से के रूप में, जटिल समस्याओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों को दिखाया गया है जो तार्किक सोच को सफलतापूर्वक विकसित करते हैं, छात्र के लिए सुविधाजनक और तर्कसंगत को हल करने के कई तरीकों में से खोजने की क्षमता। इस पाठ्यक्रम के लिए छात्रों को बहुत सारे स्वतंत्र कार्य करने की आवश्यकता होती है, छात्रों को सतत शिक्षा के लिए तैयार करने में मदद करता है, और गणितीय संस्कृति के स्तर को बढ़ाता है।

पेपर ने तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य तरीकों पर विचार किया, उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए कुछ दृष्टिकोण, जिसका उपयोग यूएसई कार्यों को हल करते समय, साथ ही विश्वविद्यालयों में प्रवेश करते समय और गणितीय शिक्षा जारी रखते समय किया जाना चाहिए। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के सिद्धांत से संबंधित मुख्य अवधारणाओं और बयानों की सामग्री का भी खुलासा किया गया था। समीकरणों को हल करने के लिए सबसे सामान्य विधि निर्धारित करने के बाद, हमने मानक और गैर-मानक स्थितियों में इसके आवेदन का खुलासा किया। इसके अलावा, समान परिवर्तनों और उन्हें दूर करने के तरीकों का प्रदर्शन करते समय विशिष्ट त्रुटियों पर विचार किया गया था।

पाठ्यक्रम के दौरान, छात्रों के पास समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों और तकनीकों में महारत हासिल करने का अवसर होगा, जबकि सैद्धांतिक जानकारी को व्यवस्थित और सामान्य बनाना सीखना, स्वतंत्र रूप से कुछ समस्याओं के समाधान की खोज करना और इसके संबंध में, कई कार्यों और अभ्यासों की रचना करना। इन विषयों। जटिल सामग्री के चुनाव से छात्रों को शोध गतिविधियों में खुद को अभिव्यक्त करने में मदद मिलेगी।

पाठ्यक्रम का सकारात्मक पक्ष छात्रों द्वारा अध्ययन की गई सामग्री के आगे आवेदन की संभावना है, जब परीक्षा उत्तीर्ण की जाती है, विश्वविद्यालयों में प्रवेश किया जाता है।

नकारात्मक पक्ष यह है कि अधिकांश कार्यों को हल करने की कठिनाई के कारण प्रत्येक छात्र इस पाठ्यक्रम की सभी तकनीकों में महारत हासिल करने में सक्षम नहीं है, भले ही वह चाहे।

साहित्य:

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वे समीकरण जिनमें एक चर मूल के चिह्न के नीचे होता है, अपरिमेय कहलाते हैं।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके, एक नियम के रूप में, एक तर्कसंगत समीकरण के साथ एक अपरिमेय समीकरण (कुछ परिवर्तनों की सहायता से) को बदलने की संभावना पर आधारित होते हैं जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या इसका परिणाम होता है। अक्सर, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। इस मामले में, एक समीकरण प्राप्त होता है, जो मूल का परिणाम होता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1) यदि मूल सूचकांक एक सम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए; रूट का मान भी गैर-ऋणात्मक है (सम घातांक वाले रूट की परिभाषा);

2) यदि मूल सूचकांक एक विषम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है; इस मामले में, रूट का चिन्ह रूट एक्सप्रेशन के संकेत के समान है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें।
एक्स 2 - 3 \u003d 1;
हम -3 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और समान पदों की कमी करते हैं।
एक्स 2 \u003d 4;
परिणामी अपूर्ण द्विघात समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।

आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें, इसके लिए हम चर x के मानों को मूल समीकरण में बदल देंगे।
इंतिहान।
जब x 1 \u003d -2 - सत्य:
जब x 2 \u003d -2- सत्य।
यह इस प्रकार है कि मूल अपरिमेय समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।

उदाहरण 2प्रश्न हल करें .

इस समीकरण को पहले उदाहरण की तरह ही विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन हम इसे अलग तरीके से करेंगे।

आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। वर्गमूल की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इस समीकरण में दो शर्तों को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए:

दिए गए समीकरण का ODZ: x.

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें =+ 2.

इस समीकरण में ODZ ज्ञात करना एक कठिन कार्य है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
एक्स 1 = 1; x2=0.
जाँच करने के बाद, हम स्थापित करते हैं कि x 2 \u003d 0 एक अतिरिक्त रूट है।
उत्तर: एक्स 1 \u003d 1।

उदाहरण 4समीकरण x = को हल कीजिए।

इस उदाहरण में, ODZ खोजना आसान है। इस समीकरण का ODZ: x[-1;)।

आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करें, परिणामस्वरूप हमें समीकरण x 2 \u003d x + 1 मिलता है। इस समीकरण की जड़ें:

मिली जड़ों की जांच करना मुश्किल है। लेकिन, इस तथ्य के बावजूद कि दोनों जड़ें ODZ से संबंधित हैं, यह दावा करना असंभव है कि दोनों जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं। इसके परिणामस्वरूप त्रुटि होगी। इस मामले में, अपरिमेय समीकरण दो असमानताओं और एक समीकरण के संयोजन के बराबर है:

एक्स+10 और X 0 और x 2 \u003d x + 1, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अपरिमेय समीकरण के लिए ऋणात्मक मूल बाह्य है और इसे अवश्य छोड़ देना चाहिए।

उदाहरण 5.समीकरण += 7 को हल कीजिए।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें और समान पदों की कमी करें, समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों को स्थानांतरित करें और दोनों भागों को 0.5 से गुणा करें। नतीजतन, हमें समीकरण मिलता है
= 12, (*) जो मूल का परिणाम है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्गाकार करें। हमें समीकरण (x + 5) (20 - x) = 144 मिलता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। परिणामी समीकरण को x 2 - 15x + 44 =0 के रूप में घटाया जाता है।

इस समीकरण (जो मूल एक का परिणाम भी है) की जड़ें x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11 हैं। दोनों जड़ें, जैसा कि परीक्षण से पता चलता है, मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

प्रतिनिधि एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 11.

टिप्पणी. समीकरणों का वर्ग करते समय, छात्र अक्सर समीकरणों जैसे (*) में मूल भावों को गुणा करते हैं, अर्थात समीकरण = 12 के बजाय, वे समीकरण लिखते हैं = 12. इससे त्रुटियां नहीं होती हैं, क्योंकि समीकरण समीकरणों के परिणाम हैं। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य स्थिति में, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का ऐसा गुणन गैर-समतुल्य समीकरण देता है।

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, पहले किसी एक रेडिकल को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव था। तब समीकरण के बाईं ओर एक मूलांक रहेगा, और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, समीकरण के बाईं ओर एक परिमेय फलन प्राप्त होगा। इस तकनीक (कट्टरपंथी का एकांत) का उपयोग अक्सर अपरिमेय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

उदाहरण 6. समीकरण हल करें- = 3।

पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
=+ 3, जो मूल के बराबर है।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, जो समीकरण के बराबर है

4x - 5 = 3 (*)। यह समीकरण मूल समीकरण का परिणाम है। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हम समीकरण पर पहुँचते हैं
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), या

7x2 - 13x - 2 = 0.

यह समीकरण समीकरण (*) (और इसलिए मूल समीकरण) का परिणाम है और इसकी जड़ें हैं। पहला मूल x 1 = 2 मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, और दूसरा x 2 =- नहीं।

उत्तर: एक्स = 2.

ध्यान दें कि यदि हम तुरंत, किसी एक मूलांक को अलग किए बिना, मूल समीकरण के दोनों भागों का वर्ग कर रहे हैं, तो हमें काफी बोझिल परिवर्तन करने होंगे।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, रेडिकल के अलगाव के अलावा, अन्य तरीकों का भी उपयोग किया जाता है। अज्ञात को बदलने की विधि का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें (एक सहायक चर को पेश करने की विधि)।

अपरिमेय समीकरणों का हल।

इस लेख में, हम हल करने के तरीकों के बारे में बात करेंगे सबसे सरल अपरिमेय समीकरण।

अपरिमेय समीकरणएक समीकरण कहलाता है जिसमें मूल के चिह्न के नीचे अज्ञात होता है।

आइए दो प्रकार देखें अपरिमेय समीकरण, जो पहली नज़र में बहुत समान हैं, लेकिन वास्तव में एक दूसरे से बहुत अलग हैं।

(1)

(2)

पहले समीकरण में हम देखते हैं कि अज्ञात तीसरी डिग्री की जड़ के संकेत के तहत है। हम एक ऋणात्मक संख्या से एक विषम मूल निकाल सकते हैं, इसलिए इस समीकरण में मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक पर या समीकरण के दाईं ओर के व्यंजक पर कोई प्रतिबंध नहीं है। हम जड़ से छुटकारा पाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी शक्ति तक बढ़ा सकते हैं। हमें एक समान समीकरण मिलता है:

समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को एक विषम घात में ऊपर उठाने पर, हम बाहरी जड़ों को प्राप्त करने से नहीं डर सकते।

उदाहरण 1. आइए समीकरण हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं। हमें एक समान समीकरण मिलता है:

आइए सभी पदों को एक दिशा में ले जाएँ और कोष्ठक में से x निकालें:

हम प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करते हैं, हमें मिलता है:

उत्तर: (0;1;2)

आइए दूसरे समीकरण पर करीब से नज़र डालें: . समीकरण के बाईं ओर वर्गमूल है, जो केवल गैर-ऋणात्मक मान लेता है। इसलिए, समीकरण के हल होने के लिए, दायां पक्ष भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए, समीकरण के दाईं ओर शर्त लगाई गई है:

शीर्षक = "(!LANG:g(x)>=0"> - это !} जड़ों के अस्तित्व के लिए शर्त.

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करना होगा:

(3)

स्क्वायरिंग बाहरी जड़ों को पेश कर सकता है, इसलिए हमें समीकरणों की आवश्यकता है:

शीर्षक = "(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

हालाँकि, असमानता (4) स्थिति (3) से अनुसरण करती है: यदि समानता का दाहिना भाग किसी व्यंजक का वर्ग है, और किसी व्यंजक का वर्ग केवल गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है, तो बाईं ओर भी गैर- नकारात्मक। इसलिए, कंडीशन (4) कंडीशन (3) से अपने आप फॉलो होती है और हमारा समीकरण प्रणाली के बराबर है:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0)))( )">!}

उदाहरण 2।आइए समीकरण हल करें:

.

आइए एक समान प्रणाली पर चलते हैं:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0)))( )">!}

हम सिस्टम के पहले समीकरण को हल करते हैं और जांचते हैं कि कौन सी जड़ें असमानता को संतुष्ट करती हैं।

असमानता शीर्षक = "(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

उत्तर: एक्स = 1

ध्यान!यदि हम हल करने की प्रक्रिया में समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, तो हमें याद रखना चाहिए कि बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इसलिए, या तो आपको एक समतुल्य प्रणाली पर स्विच करने की आवश्यकता है, या समाधान के अंत में, एक जांच करें: जड़ों को खोजें और उन्हें मूल समीकरण में बदलें।

उदाहरण 3. आइए समीकरण हल करें:

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें दोनों पक्षों का वर्ग भी करना होगा। आइए इस समीकरण में ODZ और जड़ों के अस्तित्व की स्थिति से परेशान न हों, लेकिन समाधान के अंत में हम जांच करेंगे।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:

मूल वाले पद को बाईं ओर और अन्य सभी पदों को दाईं ओर ले जाएँ:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्गाकार करें:

विएटा टर्म के अनुसार:

चलो एक चेक करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पाए गए जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। जाहिर है, मूल समीकरण का दायां पक्ष ऋणात्मक है, जबकि बायां पक्ष धनात्मक है।

जब हमें सही समानता मिलती है।

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समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। अक्सर, मूल चिह्न समीकरणों में पाया जाता है, और कई लोग गलती से मानते हैं कि ऐसे समीकरणों को हल करना मुश्किल है। गणित में ऐसे समीकरणों के लिए एक विशेष पद होता है, जिसे जड़ वाले समीकरण कहते हैं - अपरिमेय समीकरण।

अन्य समीकरणों से मूल के साथ समीकरणों को हल करने में मुख्य अंतर, उदाहरण के लिए, वर्ग, लॉगरिदमिक, रैखिक, यह है कि उनके पास मानक समाधान एल्गोरिदम नहीं है। इसलिए, एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए, प्रारंभिक डेटा का विश्लेषण करना और अधिक उपयुक्त समाधान चुनना आवश्यक है।

ज्यादातर मामलों में, इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए, समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि का उपयोग किया जाता है।

मान लें कि निम्नलिखित समीकरण दिया गया है:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

हम समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करते हैं:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], जहां से हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं:

द्विघात समीकरण प्राप्त करने के बाद, हम इसकी जड़ें पाते हैं:

जवाब: \

यदि हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता मिलेगी, जो प्राप्त आंकड़ों की शुद्धता को इंगित करती है।

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