मनमाना स्थिरांक के परिवर्तन की विधि

एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण के हल की रचना के लिए स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि

ए एन (टी)जेड (एन) (टी) + ए एन − 1 (टी)जेड (एन − 1) (टी) + ... + ए 1 (टी)जेड"(टी) + ए 0 (टी)जेड(टी) = एफ(टी)

मनमाना स्थिरांक बदलने में शामिल हैं सी कसामान्य निर्णय में

जेड(टी) = सी 1 जेड 1 (टी) + सी 2 जेड 2 (टी) + ... + सी एन जेड एन (टी)

संगत सजातीय समीकरण

ए एन (टी)जेड (एन) (टी) + ए एन − 1 (टी)जेड (एन − 1) (टी) + ... + ए 1 (टी)जेड"(टी) + ए 0 (टी)जेड(टी) = 0

सहायक कार्यों के लिए सी क (टी) , जिसका व्युत्पन्न रैखिक बीजीय प्रणाली को संतुष्ट करता है

प्रणाली का निर्धारक (1) कार्यों का व्रोनस्कियन है जेड 1 ,जेड 2 ,...,जेड एन , जो के संबंध में अपनी अनूठी शोधनीयता सुनिश्चित करता है।

यदि एकीकरण के स्थिरांक के निश्चित मूल्यों पर लिए गए एंटीडेरिवेटिव हैं, तो फ़ंक्शन

मूल रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण का एक हल है। इसी सजातीय समीकरण के एक सामान्य समाधान की उपस्थिति में एक अमानवीय समीकरण का एकीकरण इस प्रकार चतुर्भुज में कम हो जाता है।

वेक्टर सामान्य रूप में रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के निर्माण के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि

एक विशेष समाधान के निर्माण में शामिल हैं (1) रूप में

कहाँ पे जेड(टी) मैट्रिक्स के रूप में लिखे गए संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान का आधार है, और वेक्टर फ़ंक्शन, जो मनमाने स्थिरांक के वेक्टर को प्रतिस्थापित करता है, को संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है। वांछित विशेष समाधान (शून्य प्रारंभिक मानों के साथ टी = टी 0 का रूप है

निरंतर गुणांक वाली प्रणाली के लिए, अंतिम अभिव्यक्ति सरल है:

आव्यूह जेड(टी)जेड- 1 (τ)बुलाया कॉची मैट्रिक्सऑपरेटर ली = ए(टी) .

एक मनमाना स्थिरांक, या लैग्रेंज विधि की भिन्नता की विधि, प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरणों और बर्नौली समीकरण को हल करने का एक और तरीका है।

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण y'+p(x)y=q(x) रूप के समीकरण हैं। यदि दायां पक्ष शून्य है: y'+p(x)y=0, तो यह एक रैखिक है सजातीय 1 क्रम समीकरण। तदनुसार, एक गैर-शून्य दाहिनी ओर वाला समीकरण, y'+p(x)y=q(x), - विजातीयपहले क्रम का रैखिक समीकरण।

मनमाना निरंतर भिन्नता विधि (लैग्रेंज विधि) निम्नलिखित से मिलकर बनता है:

1) हम सजातीय समीकरण y'+p(x)y=0: y=y* के सामान्य समाधान की तलाश में हैं।

2) सामान्य समाधान में, C को स्थिर नहीं माना जाता है, बल्कि x: C=C(x) का एक फलन माना जाता है। हम सामान्य समाधान (y*)' का अवकलज पाते हैं और परिणामी व्यंजक को y* और (y*)' के लिए प्रारंभिक स्थिति में प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामी समीकरण से, हम फलन (x) पाते हैं।

3) समांगी समीकरण के सामान्य हल में, C के स्थान पर हम प्राप्त व्यंजक C (x) को प्रतिस्थापित करते हैं।

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि पर उदाहरणों पर विचार करें। आइए उन्हीं कार्यों को करें जैसे कि समाधान के पाठ्यक्रम की तुलना करें और सुनिश्चित करें कि प्राप्त उत्तर समान हैं।

1) y'=3x-y/x

आइए समीकरण को मानक रूप में फिर से लिखें (बर्नौली पद्धति के विपरीत, जहां हमें केवल यह देखने के लिए संकेतन की आवश्यकता थी कि समीकरण रैखिक है)।

y'+y/x=3x (I). अब हम योजना के अनुसार जा रहे हैं।

1) हम समांगी समीकरण y'+y/x=0 को हल करते हैं। यह एक वियोज्य चर समीकरण है। प्रतिनिधित्व y'=dy/dx, स्थानापन्न: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x। हम समीकरण के दोनों भागों को dx से गुणा करते हैं और xy≠0: dy/y=-dx/x से विभाजित करते हैं। हम एकीकृत करते हैं:

2) समांगी समीकरण के प्राप्त सामान्य हल में, हम С को एक अचर नहीं, बल्कि x: =С(x) के एक फलन पर विचार करेंगे। यहां से

परिणामी अभिव्यक्तियों को स्थिति (I) में प्रतिस्थापित किया जाता है:

हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं:

यहाँ C पहले से ही कुछ नया स्थिरांक है।

3) समांगी समीकरण y=C/x के सामान्य हल में, जहाँ हमने С=С(x) माना है, अर्थात् y=C(x)/x, (x) के स्थान पर हम पाए गए व्यंजक x³ को प्रतिस्थापित करते हैं। +सी: y=(x³ +C)/x या y=x²+C/x। बर्नौली विधि से हल करते समय हमें वही उत्तर मिला।

उत्तर: y=x²+C/x।

2) y'+y=cosx.

यहाँ समीकरण पहले से ही मानक रूप में लिखा हुआ है, परिवर्तित करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

1) हम एक समांगी रैखिक समीकरण y'+y=0: dy/dx=-y; डाई/वाई=-डीएक्स. हम एकीकृत करते हैं:

अधिक सुविधाजनक अंकन प्राप्त करने के लिए, हम घातांक को C की घात में एक नए C के रूप में लेंगे:

व्युत्पन्न खोजने के लिए इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए यह परिवर्तन किया गया था।

2) एक रैखिक समांगी समीकरण के प्राप्त सामान्य हल में, हम С को एक अचर नहीं, बल्कि x: =С(x) का एक फलन मानते हैं। इस शर्त के तहत

परिणामी व्यंजक y और y' को इस स्थिति में प्रतिस्थापित किया जाता है:

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें

हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकरण-दर-भाग सूत्र का उपयोग करके एकीकृत करते हैं, हमें मिलता है:

यहाँ C अब एक फलन नहीं है, बल्कि एक साधारण नियतांक है।

3) समांगी समीकरण के व्यापक हल में

हम पाए गए फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करते हैं (x):

बर्नौली विधि से हल करते समय हमें वही उत्तर मिला।

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि भी हल करने के लिए लागू होती है।

y'x+y=-xy².

हम समीकरण को मानक रूप में लाते हैं: y'+y/x=-y² (II)।

1) हम समांगी समीकरण y'+y/x=0 को हल करते हैं। डाई/डीएक्स=-वाई/एक्स. समीकरण के दोनों पक्षों को dx से गुणा करें और y: dy/y=-dx/x से भाग दें। आइए अब एकीकृत करें:

हम प्राप्त अभिव्यक्तियों को स्थिति (II) में प्रतिस्थापित करते हैं:

सरलीकरण:

हमें C और x के लिए वियोज्य चर के साथ एक समीकरण मिला है:

यहाँ C पहले से ही एक सामान्य नियतांक है। एकीकरण की प्रक्रिया में, सी (एक्स) के बजाय, हमने केवल सी लिखा, ताकि नोटेशन को अधिभारित न किया जा सके। और अंत में हम सी (एक्स) पर लौट आए ताकि सी (एक्स) को नए सी के साथ भ्रमित न करें।

3) हम पाए गए फलन (x) को समांगी समीकरण y=C(x)/x के सामान्य हल में प्रतिस्थापित करते हैं:

बर्नौली विधि से हल करते समय हमें वही उत्तर मिला।

स्व-परीक्षण के उदाहरण:

1. आइए समीकरण को मानक रूप में फिर से लिखें: y'-2y=x.

1) हम समांगी समीकरण y'-2y=0 को हल करते हैं। y'=dy/dx, इसलिए dy/dx=2y, समीकरण के दोनों पक्षों को dx से गुणा करें, y से विभाजित करें और एकीकृत करें:

यहाँ से हम y पाते हैं:

हम y और y' के लिए व्यंजकों को स्थिति में प्रतिस्थापित करते हैं (संक्षिप्तता के लिए, हम C (x) के बजाय C और C "(x) के बजाय C" खिलाएंगे:

इंटीग्रल को दाईं ओर खोजने के लिए, हम इंटीग्रेशन-बाय-पार्ट्स फॉर्मूला का उपयोग करते हैं:

अब हम u, du और v को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

यहाँ सी = स्थिरांक।

3) अब हम सजातीय के समाधान में स्थानापन्न करते हैं

व्याख्यान 44. दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि। स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। (विशेष दाहिनी ओर)।

सामाजिक परिवर्तन। राज्य और चर्च।

बोल्शेविकों की सामाजिक नीति काफी हद तक उनके वर्गीय दृष्टिकोण से निर्धारित होती थी। 10 नवंबर, 1917 के एक डिक्री द्वारा, संपत्ति प्रणाली को समाप्त कर दिया गया था, पूर्व-क्रांतिकारी रैंकों, उपाधियों और पुरस्कारों को समाप्त कर दिया गया था। न्यायाधीशों का चुनाव स्थापित किया गया है; नागरिक राज्यों का धर्मनिरपेक्षीकरण किया गया। मुफ्त शिक्षा और चिकित्सा देखभाल की स्थापना (31 अक्टूबर, 1918 का फरमान)। पुरुषों के साथ अधिकारों में महिलाओं की बराबरी की गई (16 और 18 दिसंबर, 1917 के फरमान)। विवाह पर डिक्री ने नागरिक विवाह की संस्था की शुरुआत की।

20 जनवरी, 1918 को काउंसिल ऑफ पीपुल्स कमिसर्स के एक फरमान से, चर्च को राज्य और शिक्षा प्रणाली से अलग कर दिया गया था। चर्च की अधिकांश संपत्ति को जब्त कर लिया गया था। 19 जनवरी, 1918 को मॉस्को और ऑल रशिया के पैट्रिआर्क तिखोन (5 नवंबर, 1917 को निर्वाचित) ने सोवियत सत्ता को अचेत कर दिया और बोल्शेविकों के खिलाफ लड़ाई का आह्वान किया।

एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण पर विचार करें

इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान की संरचना निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है:

प्रमेय 1.अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान (1) को इस समीकरण के कुछ विशेष समाधान और संबंधित समरूप समीकरण के सामान्य समाधान के योग के रूप में दर्शाया जाता है

प्रमाण. हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि योग

समीकरण (1) का सामान्य हल है। आइए पहले हम यह सिद्ध करें कि फलन (3) समीकरण (1) का एक हल है।

योग को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने के बजाय पर, होगा

चूँकि समीकरण (2) का एक हल है, पहले कोष्ठक में व्यंजक समान रूप से शून्य के बराबर है। चूँकि समीकरण (1) का एक हल है, दूसरे कोष्ठक में व्यंजक के बराबर है एफ (एक्स). इसलिए, समानता (4) एक पहचान है। इस प्रकार, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।

आइए हम दूसरा अभिकथन सिद्ध करें: व्यंजक (3) is आमसमीकरण का हल (1)। हमें यह साबित करना होगा कि इस अभिव्यक्ति में शामिल मनमानी स्थिरांक को चुना जा सकता है ताकि प्रारंभिक शर्तें संतुष्ट हों:

संख्या जो भी हो एक्स 0, वाई 0और (यदि केवल एक्स 0उस क्षेत्र से लिया गया था जहां समारोह एक 1, एक 2और एफ (एक्स)निरंतर)।

यह देखते हुए कि फॉर्म में प्रतिनिधित्व करना संभव है। फिर, शर्तों (5) के आधार पर, हमारे पास है

आइए इस प्रणाली को हल करें और खोजें 1 सेऔर 2 . से. आइए सिस्टम को फिर से लिखें:

ध्यान दें कि इस प्रणाली का निर्धारक कार्यों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है 1और दो परबिंदु पर एक्स = एक्स 0. चूँकि ये फलन धारणा से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, Wronsky निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है; इसलिए प्रणाली (6) का एक निश्चित समाधान है 1 सेऔर 2 . से, अर्थात। ऐसे मूल्य हैं 1 सेऔर 2 . से, जिसके लिए सूत्र (3) समीकरण (1) का हल निर्धारित करता है जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है। क्यू.ई.डी.

आइए हम एक विषम समीकरण के विशेष हल खोजने की सामान्य विधि की ओर मुड़ें।

आइए हम समांगी समीकरण (2) का सामान्य हल लिखें

हम अमानवीय समीकरण (1) के एक विशेष समाधान को फॉर्म (7) में देखेंगे, इस पर विचार करते हुए 1 सेऔर 2 . सेसे कुछ के रूप में अभी तक अज्ञात सुविधाओं के रूप में एक्स।

आइए हम समानता (7) में अंतर करें:

हम वांछित कार्यों का चयन करते हैं 1 सेऔर 2 . सेताकि समानता

यदि इस अतिरिक्त शर्त को ध्यान में रखा जाता है, तो पहला व्युत्पन्न रूप लेता है

अब इस व्यंजक को अलग करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

पहले दो कोष्ठकों में व्यंजक गायब हो जाते हैं क्योंकि वाई 1और y2सजातीय समीकरण के समाधान हैं। इसलिए, अंतिम समानता रूप लेती है

इस प्रकार, फलन (7) अमानवीय समीकरण (1) का हल होगा यदि फलन 1 सेऔर 2 . सेसमीकरणों (8) और (9) को संतुष्ट करें। आइए हम समीकरणों (8) और (9) से समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करें।

चूंकि इस प्रणाली का निर्धारक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है वाई 1और y2समीकरण (2), तो यह शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, सिस्टम को हल करने पर, हम दोनों के कुछ निश्चित कार्य पाएंगे एक्स:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं, जहां से, एकीकरण के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं। इसके बाद, हम पाए गए कार्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हम अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं, जहां मनमानी स्थिरांक हैं।

लैग्रेंज स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा स्थिर गुणांक वाले उच्च क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने की एक विधि पर विचार किया जाता है। लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरणों को हल करने के लिए भी लागू होती है यदि सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली ज्ञात है।

विषय

यह सभी देखें:

लैग्रेंज विधि (स्थिरांक की भिन्नता)

एक मनमाना nवें क्रम के निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
अचर विचरण विधि, जिसे हमने प्रथम कोटि के समीकरण के लिए माना था, उच्च कोटि के समीकरणों पर भी लागू होती है।

समाधान दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, हम दाहिने पक्ष को त्याग देते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। नतीजतन, हम एक समाधान प्राप्त करते हैं जिसमें n मनमाना स्थिरांक होता है। दूसरे चरण में, हम स्थिरांक बदलते हैं। अर्थात्, हम मानते हैं कि ये स्थिरांक स्वतंत्र चर x के फलन हैं और इन फलनों का रूप ज्ञात करते हैं।

यद्यपि हम यहां स्थिर गुणांक वाले समीकरणों पर विचार कर रहे हैं, लेकिन लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए भी लागू होती है. हालांकि, इसके लिए सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली को जानना आवश्यक है।

चरण 1. समांगी समीकरण का हल

जैसा कि प्रथम-क्रम समीकरणों के मामले में, हम पहले सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश करते हैं, जो सही अमानवीय भाग को शून्य के बराबर करता है:
(2) .
इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
(3) .
यहाँ मनमाना स्थिरांक हैं; - n सजातीय समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान, जो इस समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

चरण 2. स्थिरांक का परिवर्तन - स्थिरांक को कार्यों से बदलना

दूसरे चरण में, हम अचरों की भिन्नता पर विचार करेंगे। दूसरे शब्दों में, हम अचरों को स्वतंत्र चर x के फलनों से प्रतिस्थापित करेंगे:
.
अर्थात्, हम मूल समीकरण (1) का हल निम्नलिखित रूप में खोज रहे हैं:
(4) .

यदि हम (4) को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें n फलनों के लिए एक अवकल समीकरण प्राप्त होता है। इस मामले में, हम इन कार्यों को अतिरिक्त समीकरणों से जोड़ सकते हैं। फिर आपको n समीकरण मिलते हैं, जिससे आप n फ़ंक्शन निर्धारित कर सकते हैं। अतिरिक्त समीकरण विभिन्न तरीकों से लिखे जा सकते हैं। लेकिन हम इसे इस तरह से करेंगे कि समाधान का सबसे सरल रूप हो। ऐसा करने के लिए, अंतर करते समय, कार्यों के व्युत्पन्न वाले शून्य शब्दों के बराबर होना आवश्यक है। आइए इसे प्रदर्शित करते हैं।

प्रस्तावित समाधान (4) को मूल समीकरण (1) में बदलने के लिए, हमें फॉर्म (4) में लिखे गए फ़ंक्शन के पहले n ऑर्डर के डेरिवेटिव्स को खोजने की जरूरत है। अंतर (4) योग और उत्पाद को अलग करने के नियमों को लागू करके:
.
आइए सदस्यों को समूहित करें। सबसे पहले, हम के डेरिवेटिव के साथ शर्तों को लिखते हैं, और फिर व्युत्पन्न के साथ शर्तों को लिखते हैं:

.
हम कार्यों पर पहली शर्त लगाते हैं:
(5.1) .
तब के संबंध में पहले व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति का एक सरल रूप होगा:
(6.1) .

इसी तरह, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

.
हम कार्यों पर दूसरी शर्त लगाते हैं:
(5.2) .
फिर
(6.2) .
आदि। अतिरिक्त शर्तों के तहत, हम फ़ंक्शन के डेरिवेटिव वाले शब्दों को शून्य के बराबर करते हैं।

इस प्रकार, यदि हम कार्यों के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त समीकरण चुनते हैं:
(5.के) ,
तो पहले डेरिवेटिव के संबंध में सबसे सरल रूप होगा:
(6.के) .
यहां ।

n वां व्युत्पन्न खोजें:
(6.एन)
.

हम मूल समीकरण (1) में स्थानापन्न करते हैं:
(1) ;






.
हम ध्यान में रखते हैं कि सभी कार्य समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं:
.
फिर युक्त पदों का योग शून्य देता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
(7) .

नतीजतन, हमें डेरिवेटिव के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

इस प्रणाली को हल करने पर, हम x के फलनों के रूप में अवकलजों के व्यंजक पाते हैं। एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं:
.
यहाँ अचर हैं जो अब x पर निर्भर नहीं हैं। (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम मूल समीकरण का व्यापक हल प्राप्त करते हैं।

ध्यान दें कि हमने कभी भी इस तथ्य का उपयोग नहीं किया कि गुणांक a i डेरिवेटिव के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए स्थिर हैं। इसलिए लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए लागू होती है, यदि सजातीय समीकरण (2) के समाधान की मूल प्रणाली ज्ञात है।

उदाहरण

अचरों की भिन्नता की विधि द्वारा समीकरणों को हल करें (लैग्रेंज)।


उदाहरणों का समाधान > > >

यह सभी देखें: स्थिर परिवर्तन विधि द्वारा प्रथम कोटि के समीकरणों का हल (लैग्रेंज)
बर्नौली विधि द्वारा उच्च-क्रम समीकरणों को हल करना
रैखिक प्रतिस्थापन द्वारा स्थिर गुणांक के साथ रैखिक अमानवीय उच्च-क्रम अंतर समीकरणों को हल करना