0 तक। श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना

7वीं और 8वीं कक्षा दोनों में हम अक्सर समीकरणों को आलेखीय रूप से हल करते थे। क्या आपने देखा है कि इन सभी उदाहरणों में, समीकरणों की जड़ें "अच्छी" थीं? ये पूर्ण संख्याएँ थीं जो रेखांकन की सहायता से आसानी से मिल जाती थीं, विशेषकर चेकर पेपर पर। लेकिन यह हमेशा ऐसा नहीं होता है, हमने अभी तक "अच्छे" उदाहरण उठाए हैं।

दो समीकरणों पर विचार करें: = 2 - x और = 4 - x। पहले समीकरण में एक एकल रूट x \u003d 1 है, क्योंकि फ़ंक्शन के ग्राफ़ y \u003d और y \u003d 2 - x एक बिंदु A (1; 1) (चित्र। 112) पर प्रतिच्छेद करते हैं। दूसरे मामले में, फ़ंक्शन के ग्राफ़ - fs और y \u003d 4 - x भी एक बिंदु B (चित्र 113) पर प्रतिच्छेद करते हैं, लेकिन "खराब" निर्देशांक के साथ। चित्र का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु B का भुज लगभग 2.5 के बराबर है। ऐसे मामलों में, वे सटीक के बारे में नहीं, बल्कि समीकरण के अनुमानित समाधान के बारे में बोलते हैं और इस तरह लिखते हैं:


यह एक कारण है कि गणितज्ञों ने वास्तविक संख्या के अनुमानित मूल्य की अवधारणा को पेश करने का फैसला किया। एक दूसरा कारण है, और शायद इससे भी अधिक महत्वपूर्ण। वास्तविक संख्या क्या है? यह एक अनंत दशमलव है। लेकिन अनंत दशमलव अंशों के साथ गणना करना असुविधाजनक है, इसलिए व्यवहार में वास्तविक संख्याओं के अनुमानित मूल्यों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक संख्या के लिए वे अनुमानित समानता 3.141 या 3.142 का उपयोग करते हैं। 0.001 की सटीकता के साथ कमी के संदर्भ में पहले को संख्या n का अनुमानित मान (या सन्निकटन) कहा जाता है; दूसरे को 0.001 की सटीकता के साथ अधिक संख्या में k का अनुमानित मान (सन्निकटन) कहा जाता है। अधिक सटीक सन्निकटन लिया जा सकता है: उदाहरण के लिए,
3.1415 - 0.0001 की सटीकता के साथ कमी से सन्निकटन; 3.1416 0.0001 की सटीकता के साथ एक अतिरिक्त सन्निकटन है। आप कम सटीक अनुमान लगा सकते हैं, मान लीजिए, कमी के लिए 0.01: 3.14 की सटीकता के साथ, अधिकता के लिए 3.15।
आपने 5वीं-6वीं कक्षा के गणित के पाठ्यक्रम में और शायद, भौतिकी के पाठ्यक्रम में अनुमानित समानता चिह्न » का उपयोग किया था, और हमने इसे पहले इस्तेमाल किया था, उदाहरण के लिए, 27 में।

उदाहरण 1संख्याओं के लिए 0.01 की सटीकता के साथ कमी और अधिकता के लिए अनुमानित मान ज्ञात करें:

समाधान,

ए) हम जानते हैं कि = 2.236। 2.24 0.01 की सटीकता के साथ एक अतिरिक्त सन्निकटन है।
बी) 2 + = 2.000... + 2.236... = 4.236...। इसलिए, 0.01 की सटीकता के साथ कमी के संदर्भ में 2 + 4.23 एक सन्निकटन है; 2 + 4.24 0.01 की सटीकता के साथ एक अतिरिक्त सन्निकटन है।
ग) हमारे पास 0.31818 है... (देखें 26)। इस प्रकार, 0.31 0.01 की सटीकता के साथ कमी का एक अनुमान है; 0.32 0.01 की सटीकता के साथ एक अतिरिक्त सन्निकटन है।
कमी से सन्निकटन और अधिकता से सन्निकटन को कभी-कभी किसी संख्या का पूर्णांकन कहा जाता है।

परिभाषा। सन्निकटन त्रुटि (पूर्ण त्रुटि) x के सटीक मान और उसके अनुमानित मान a के बीच अंतर का मॉड्यूल है: सन्निकटन त्रुटि है | एक्स - ए |.
उदाहरण के लिए, सन्निकट समानता की त्रुटि को क्रमशः या के रूप में व्यक्त किया जाता है,
एक विशुद्ध रूप से व्यावहारिक प्रश्न उठता है: कमी या अधिकता के संदर्भ में कौन सा सन्निकटन बेहतर है, अर्थात किस मामले में त्रुटि छोटी है? यह, निश्चित रूप से, उस विशेष संख्या पर निर्भर करता है जिसके लिए सन्निकटन किया जाता है। आमतौर पर, सकारात्मक संख्याओं को गोल करते समय, निम्नलिखित नियमों का उपयोग किया जाता है:
पिचफ़र्क:

आइए हम इस नियम को इस खंड में मानी गई सभी संख्याओं पर लागू करें; आइए हम उन अनुमानित संख्याओं को चुनते हैं जिनके लिए त्रुटि सबसे छोटी हो जाती है।
1)=3.141592…. 0.001 की सटीकता के साथ, हमारे पास 3.142 है; यहां पहला छोड़ा गया अंक 5 है (दशमलव बिंदु के बाद चौथे स्थान पर), इसलिए हमने अतिरिक्त सन्निकटन लिया।
0.0001 की सटीकता के साथ, हमारे पास 3.1416 है - और यहां हमने अतिरिक्त सन्निकटन लिया, क्योंकि पहला छोड़ दिया गया अंक (दशमलव बिंदु के बाद पांचवें स्थान पर) 9 है। लेकिन 0.01 की सटीकता के साथ, हमें कमी सन्निकटन लेने की आवश्यकता है : 3.14.
2) = 2.236…. 0.01 की सटीकता के साथ, हमारे पास 2.24 . है
(अतिरिक्त सन्निकटन)। मैं
3) 2 + = 4.236... । 0.01 की सटीकता के साथ, हमारे पास 2 + 4.24 (अतिरिक्त सन्निकटन) है।
4) = 0.31818…. 0.001 की सटीकता के साथ, हमारे पास 0.318 (कमी से सन्निकटन) है।
आइए अंतिम उदाहरण को अधिक विस्तार से देखें। आइए निर्देशांक रेखा का एक बड़ा टुकड़ा लें (चित्र 114)।

बिंदु खंड से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि खंड के छोर से इसकी दूरी खंड की लंबाई से अधिक नहीं है। छोर से बिंदु दूरी
खंड क्रमशः बराबर हैं खंड 0.001 है। माध्यम, तथा
तो, दोनों ही मामलों में (दोनों की कमी से एक संख्या का अनुमान लगाने के लिए, और इसे अधिक से अनुमानित करने के लिए), त्रुटि 0.001 से अधिक नहीं है।
अब तक, हम सन्निकटन 0.01, 0.001, इत्यादि के बारे में बात कर रहे हैं। अब हम शब्दावली को साफ कर सकते हैं।
यदि a, संख्या x का अनुमानित मान है और , mo कहा जाता है कि सन्निकटन की त्रुटि h से अधिक नहीं है या संख्या x संख्या a c के बराबर है

एच तक

संख्याओं के अनुमानित मान ज्ञात करने में सक्षम होना क्यों महत्वपूर्ण है? तथ्य यह है कि अनंत दशमलव अंशों के साथ काम करना और मात्राओं को मापने के लिए उनका उपयोग करना व्यावहारिक रूप से असंभव है। व्यवहार में, कई मामलों में, सटीक मानों के बजाय, पूर्व निर्धारित सटीकता (त्रुटि) के साथ सन्निकटन लिया जाता है। यह विचार कैलकुलेटर में भी सन्निहित है, जिसके डिस्प्ले पर अंतिम दशमलव अंश प्रदर्शित होता है, अर्थात, स्क्रीन पर प्रदर्शित संख्या का एक अनुमान (दुर्लभ अपवादों के साथ, जब प्रदर्शित संख्या अंतिम दशमलव अंश है जो स्क्रीन)।

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.

कार्य 6.12.

फूरियर श्रृंखला में एक आवर्त फलन f(x) को अंतराल पर दिए गए आवर्त के साथ विस्तारित करें।

1. एफ (एक्स) =। 2. एफ (एक्स) =
3. एफ (एक्स) = 4. एफ (एक्स) =
5. एफ (एक्स) = 6. एफ (एक्स) =
7. एफ (एक्स) = 8. एफ (एक्स) =
9. एफ (एक्स) = 10. एफ (एक्स) =
11. एफ (एक्स) = 12. एफ (एक्स) =
13. एफ (एक्स) = 14. एफ (एक्स) =
15. एफ (एक्स) = 16. एफ (एक्स) =
17. एफ (एक्स) = 18. एफ (एक्स) =
19. एफ (एक्स) = 20. एफ (एक्स) =
21. एफ (एक्स) = 22. एफ (एक्स) =
23. एफ (एक्स) = 24. एफ (एक्स) =
25. एफ (एक्स) = 26. एफ (एक्स) =
27. एफ (एक्स) = 28. एफ (एक्स) =
29. एफ (एक्स) = 30. एफ (एक्स) =

कार्य 6.13.

अंतराल (0; ) पर दिए गए फ़ंक्शन f (x) को एक फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें, इसे एक सम और विषम तरीके से जारी (विस्तारित) करें। प्रत्येक निरंतरता के लिए प्लॉट ग्राफ।

1. एफ (एक्स) = ई एक्स 2. एफ(एक्स)=x2 3. एफ(एक्स)=x2
4. एफ (एक्स) = सीएच एक्स 5. च (एक्स) \u003d ई - एक्स 6. एफ (एक्स) = (एक्स - 1) 2
7. एफ (एक्स) = 3 - एक्स / 2 8. एफ (एक्स) = sh2x 9. एफ (एक्स) = ई 2 एक्स
10. एफ (एक्स) = (एक्स - 2) 2 11. f(x)=4x/3 12. f(x) = chx/2
13. एफ (एक्स) = ई 4 एक्स 14. f(x)=(x+1)2 15. एफ (एक्स) = 5 - एक्स
16. एफ (एक्स) = श 3 एक्स 17. च (एक्स) \u003d ई - एक्स / 4 18. एफ (एक्स) = (2 एक्स - 1) 2
19. एफ (एक्स) = 6x / 4 20. एफ (एक्स) = सी 4 एक्स 21. च (एक्स) \u003d ई - 3 एक्स
22. एफ (एक्स) = एक्स 2 + 1 23. एफ (एक्स) = 7 - एक्स / 7 24. एफ (एक्स) = श एक्स / 5
25. च (एक्स) \u003d ई - 2 एक्स / 3 26. एफ (एक्स) = (एक्स - π) 2 27. एफ (एक्स) = 10 - एक्स
28. एफ (एक्स) = सी एक्स / 29. एफ (एक्स) = ई 4 एक्स / 3 30. एफ (एक्स) = (एक्स - 5) 2

कार्य 6.14.



निर्दिष्ट अंतराल में फूरियर श्रृंखला में आवर्त फलन f (x) के साथ अवधि का विस्तार करें।

1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9.

कार्य 6.15.

निर्दिष्ट अंतराल में फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन f (x) के विस्तार का उपयोग करके, इस संख्यात्मक श्रृंखला का योग ज्ञात करें।

1.
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29.
30.

नियंत्रण कार्य संख्या 7.

"सिद्धांत संभावना"

कार्य 7.1।

1. 5 एथलीटों की दो टीमों में से प्रत्येक एक अंक निर्धारित करने के लिए ड्रॉ आयोजित करती है। दोनों भाई अलग-अलग टीमों में हैं। भाइयों को प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) संख्या 4; बी) एक ही संख्या।

2. डिवाइस में दो समान स्वतंत्र रूप से काम करने वाले ब्लॉक होते हैं जिनमें नो-फेलर ऑपरेशन 0.8 की संभावनाएं होती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित बिना किसी असफलता के कार्य करेगा: क) केवल एक ब्लॉक; बी) कम से कम एक ब्लॉक।

3. बेस ने दो दुकानों पर माल भेजा। उनमें से प्रत्येक को समय पर डिलीवरी की संभावना 0.8 है। माल समय पर प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) केवल एक स्टोर; बी) कम से कम एक दुकान।

4. निर्धारित नाव दो स्वतंत्र कारणों से विलंबित हो सकती है: खराब मौसम और उपकरण की खराबी। खराब मौसम की संभावना 0.3 है, विफलता की संभावना 0.4 है। नाव के लेट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) केवल खराब मौसम के कारण; बी) किसी भी कारण से।

5. द्वंद्वयुद्ध की शर्तें पहली हिट तक प्रत्येक द्वंद्ववादियों के 2 शॉट्स के बदले में प्रदान करती हैं। उनके एक शॉट से टकराने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.2 और 0.3 हैं। इस संभावना का पता लगाएं कि पहला द्वंद्वयुद्ध: ए) प्रतिद्वंद्वी को दूसरे शॉट से मारता है; बी) प्रतिद्वंद्वी को मारा।

6. लक्ष्य पर एक शॉट के साथ हमलावरों द्वारा गोल करने की संभावना 0.3 है। दो वार के बाद गोल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) केवल एक गोल; बी) कम से कम एक लक्ष्य।

7. एक राडार स्टेशन (आरएलएस) द्वारा क्रूज मिसाइल का समय पर पता लगाने की संभावना 0.8 है। ड्यूटी पर दो रडार हैं। इस संभावना का पता लगाएं कि मिसाइल का पता लगाया जाएगा: क) केवल एक रडार द्वारा; बी) कम से कम एक रडार।

8. कार नंबर में चार अंक होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आने वाली कार की संख्या के अंकों का योग: a) दो के बराबर है; बी) दो से अधिक नहीं।

9. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से नामित दो अंकों की संख्या: a) 3 से विभाज्य है; b) अंकों का योग 1 के बराबर है।

10. एक बॉक्स में पांच सफेद और दो लाल गेंदें हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से निकाली गई दो गेंदें: a) एक ही रंग की होंगी; बी) सफेद।

11. दो लोग, एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से, आठ कारों वाली इलेक्ट्रिक ट्रेन में सवार होते हैं। उनके मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

12. मिसाइल में दो मल्टीपल वॉरहेड होते हैं जो 0.8 और 0.7 की संभावनाओं के साथ एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से लक्ष्य को हिट करते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लक्ष्य को निशाना बनाया जाएगा: a) केवल एक वारहेड; बी) कम से कम एक वारहेड।

13. एक बॉक्स में पांच सफेद और तीन काली गेंदें हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से निकाली गई दो गेंदें होंगी: क) विभिन्न रंग; बी) काला।

14. दो राहगीरों के पैदा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) एक महीने में; बी) गर्मियों में।

15. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या के अंकों का योग: a) पांच के बराबर है; बी) पांच से कम।

16. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या के अंकों का गुणनफल: a) तीन के बराबर होता है; बी) तीन से कम।

17. एंगलर्स के काटने पर मछली पकड़ने की प्रायिकता क्रमशः 0.2 और 0.3 है। प्रत्येक के पास एक काटने था। उनकी कुल पकड़ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) एक मछली; बी) कम से कम एक मछली।

18. फोन नंबर में 6 अंक होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई संख्या के अंकों का योग: a) 2 के बराबर है; बी) 2 से कम।

19. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक टाइपराइटर के आठ यादृच्छिक कीस्ट्रोक्स के बाद "उत्कृष्ट" शब्द टाइप किया जाएगा। कीबोर्ड में 40 कुंजियाँ होती हैं।

20. शतरंज के दो खिलाड़ी दो मैचों का मैच खेलते हैं। प्रत्येक गेम में उनमें से पहले के जीतने की प्रायिकता 0.6 है। उसके जीतने की प्रायिकता क्या है: क) केवल एक गेम; 2) कम से कम एक खेल।

21. दो निशानेबाजों ने प्रायिकता p 1 = 0.6, p 2 = 0.7 के साथ लक्ष्य पर एक-एक गोली चलाई। की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) केवल एक हिट; बी) कम से कम एक हिट।

22. दो कूदने वालों के लिए बार को पार करने की संभावनाएं क्रमशः पी 1 = 0.8, पी 2 = 0.7 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) उनमें से केवल एक ही ऊंचाई लेगा; बी) उनमें से कम से कम एक ऊंचाई लेगा।

23. कार नंबर में चार अंक होते हैं। एक आने वाली कार की संख्या में शामिल होने की संभावना खोजें: ए) एक पंक्ति में तीन फाइव; बी) तीन फाइव।

24. दो टीमों को अग्निशमन स्थल पर भेजा गया है, जिन्हें पी 1 = 0.9, पी 2 = 0.8 की संभावना के साथ समय पर बुझाया जा सकता है। आग बुझाने की क्या संभावना है, यदि इसके लिए: क) एक आदेश पर्याप्त है; b) दोनों कमांड की जरूरत है।

25. दो विमानों ने एक लक्ष्य पर एक मिसाइल दागी जिसमें पी 1 = 0.8, पी 2 = 0.9 मारने की संभावना है। लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) दो मिसाइलों द्वारा; b) केवल एक मिसाइल।

26. डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले ब्लॉक ए, बी, सी होते हैं जिनमें विफलता-मुक्त संचालन पी (ए) = 0.9, पी (बी) = 0.8, पी (सी) = 0.7 की संभावनाएं होती हैं। डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना का पता लगाएं यदि इसके लिए यूनिट ए और कम से कम एक यूनिट बी, सी के कामकाज की आवश्यकता है।

27. उद्यम की दो कार्यशालाओं द्वारा मासिक योजना को पूरा करने की संभावनाएं पी 1 = 0.9, पी 2 = 0.7 के बराबर हैं। यह मानते हुए कि दुकानें एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से कार्य करती हैं, प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए कि: क) केवल एक दुकान योजना को पूरा करेगी; बी) कम से कम एक कार्यशाला योजना को पूरा करेगी।

28. विद्युत सर्किट के एक खंड में श्रृंखला से जुड़े तत्व ए, बी विफलता संभावनाओं के साथ होते हैं पी 1 \u003d 0.1, पी 2 \u003d 0.2। तत्व बी को इसके समानांतर जुड़े तत्व सी की मदद से डुप्लिकेट किया गया है (पी 3 \u003d 0.2)। खंड के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना का पता लगाएं: ए) तत्व सी की अनुपस्थिति में; बी) यदि उपलब्ध हो।

29. दो बंदूकें p 1 = 0.6, p 2 = 0.7 से टकराने की संभावनाओं के साथ एक प्रक्षेप्य को एक लक्ष्य पर दागती हैं। लक्ष्य के हिट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) केवल एक प्रक्षेप्य; बी) कम से कम एक प्रक्षेप्य।

30. रोग ए, बी के समान लक्षण रोगी में पाए जाते हैं। पी(ए) = 0.3, पी (बी) = 0.5 रोगों की संभावनाएं हैं। यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से रोग प्राप्त कर सकता है, रोगी के बीमार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) केवल एक रोग; बी) कम से कम एक बीमारी।

कार्य 7.2।

1. बिक्री के लिए एक ही प्रकार के लोहे का 70% उद्यम ए में निर्मित होता है, 30% - उद्यम बी में। उद्यम ए में दोषों की हिस्सेदारी 5% है, उद्यम बी में - 2%। क) एक दोषपूर्ण लोहा खरीदने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; b) खरीदा गया लोहा खराब निकला। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह प्लांट A द्वारा निर्मित है?

2. कलश में 2 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। उनमें से एक को यादृच्छिक रूप से लिया जाता है और अलग रख दिया जाता है। फिर दूसरी गेंद ड्रा हो जाती है। क) उसके सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; b) खींची गई दूसरी गेंद सफेद है। पहली गेंद के काली होने की प्रायिकता क्या है?

3. उपकरण 1 कारखानों द्वारा निर्मित इकाई (60% इकाइयों की आपूर्ति), 2 (40% इकाइयों की आपूर्ति) द्वारा पूरा किया गया है। प्लांट 1 में रिजेक्ट की हिस्सेदारी 0.05, प्लांट 2 में - 0.07 है। क) उपकरण के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; बी) डिवाइस दोषपूर्ण निकला। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अपराधी पौधा 1 है।

4. असेम्बलिंग बियरिंग्स में बॉल्स का उपयोग किया जाता है, जिनमें से 30% वर्कशॉप 1 द्वारा और 70% वर्कशॉप 2 द्वारा आपूर्ति की जाती है। वर्कशॉप में अस्वीकृति दर क्रमशः 0.1 और 0.05 है। ए) दोषपूर्ण असर की संभावना का पता लगाएं; बी) असर दोषपूर्ण निकला। दुकान 1 के अपराधी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

5. दो कलशों में 2 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। एक गेंद को पहली से दूसरी में यादृच्छया स्थानांतरित किया जाता है, फिर दूसरी से एक गेंद ली जाती है। क) उसके सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; बी) निकाली गई गेंद सफेद है। क्या संभावना है कि काली गेंद का आदान-प्रदान किया गया था?

6. दो कार्यशालाओं में से प्रत्येक में बिक्री पर जाने वाले समान प्रकार के टीवी का 50% उत्पादन होता है। दुकान 1 दोषपूर्ण टीवी का 5% उत्पादन करता है, दुकान 2 - 7%। क) एक खराब टीवी खरीदने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; ख) इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदा गया टीवी वर्कशॉप 1 द्वारा निर्मित किया गया था, यदि वह खराब निकला।

7. प्रजनन केंद्र 1 पर प्राप्त बीजों का अंकुरण (अंकुरण संभावना) 0.9, स्टेशन 2 - 0.8 पर होता है। दोनों स्टेशनों से समान मात्रा में बीज बिक्री के लिए जाते हैं। क) खरीदे गए बीजों के अंकुरण का पता लगाएं; ख) बेतरतीब ढंग से चयनित बीज बोने पर अंकुरित नहीं हुआ। स्टेशन 1 पर इसे उगाने की प्रायिकता क्या है?

8. दो कार्यशालाएं प्रति असेंबली में समान संख्या में बोल्ट की आपूर्ति करती हैं। पहली दुकान में रिजेक्ट का हिस्सा 0.1, दूसरे में - 0.2 है। ए) संभावना खोजें कि असेंबली के लिए यादृच्छिक रूप से लिया गया बोल्ट दोषपूर्ण है; b) बोल्ट खराब निकला। इसकी क्या प्रायिकता है कि इसे दुकान 2 ने बनाया है?

9. 30% मामलों में रोग की गुप्त अवधि लंबी और 70% मामलों में कम हो सकती है। लंबी अवधि के लिए रिकवरी की संभावनाएं 0.9 और छोटी अवधि के लिए 0.6 हैं। क) बेतरतीब ढंग से चुने गए रोगी के ठीक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; ख) यदि रोगी ठीक हो जाता है तो अव्यक्त अवधि लंबी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

10. आंकड़ों के अनुसार, वर्ष के दौरान बीमार पड़ने वाले बछड़ों में से 20% गर्म मौसम में और 80% ठंड के मौसम में बीमार पड़ते हैं। गर्म मौसम में बीमार पड़ने वाले बछड़े के ठीक होने की संभावना 0.9 है, ठंड के मौसम में - 0.8। क) बेतरतीब ढंग से चुने गए रोगी के ठीक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; ख) बछड़ा गर्म मौसम में बीमार पड़ने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यदि वह ठीक हो जाता है।

11. यूनिट को 60%, 30% और 20% आपूर्ति करने वाली तीन फैक्ट्रियों में से एक से एक प्रतिरोधक के साथ पूरा किया जाता है। प्रतिरोधों के बीच अस्वीकृति का प्रतिशत संयंत्र 1 पर 0.3 है, संयंत्र 2 में 0.2 - संयंत्र 2 पर 0.1 है। ए) उत्पादित ब्लॉक की खराबी की संभावना का पता लगाएं; ख) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोषपूर्ण इकाई में एक कारखाना 1 प्रतिरोधक लगा है।

12. संकट के चरण में, रोग समान संभावना के साथ क्षणिक (सी) और सुस्त (बी) रूपों में पारित हो सकता है। फॉर्म सी के लिए रिकवरी संभावनाएं 0.95 और फॉर्म बी के लिए 0.8 हैं। ए) यादृच्छिक रूप से चयनित रोगी के ठीक होने की संभावना पाएं; ख) यदि रोगी ठीक हो जाता है तो रोग के सी रूप में जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

13. इस रोग की स्थिति में अक्सर रूप ए और बी समान रूप से पाए जाते हैं, जो इसके आगे के पाठ्यक्रम को निर्धारित करते हैं। मामले में ए, रोगी एक महीने के भीतर 0.8 की संभावना के साथ ठीक हो जाता है, मामले में बी - 0.6 की संभावना के साथ। क) बेतरतीब ढंग से चुने गए रोगी के एक महीने में ठीक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; बी) यदि रोगी एक महीने के भीतर ठीक हो जाता है, तो फॉर्म ए में रोग के पाठ्यक्रम की संभावना का पता लगाएं।

14. ईंधन भरने वाले टैंकर के समय पर आगमन के साथ ट्रॉलर द्वारा योजना को पूरा करने की संभावना 0.8 है, असामयिक आगमन के साथ - 0.4। 90% मामलों में टैंकर समय पर आता है। क) ट्रॉलर द्वारा योजना को पूरा करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; बी) समय पर ईंधन भरने की संभावना की गणना करें, अगर यह ज्ञात हो कि ट्रॉलर ने योजना को पूरा कर लिया है।

15. ग्रीष्म ऋतु में 20% समय शुष्क हो सकता है, 30% समय अधिक गीला हो सकता है और शेष समय सामान्य हो सकता है। फसल के पकने की संभावना क्रमशः 0.7, 0.6 और 0.9 है। क) बेतरतीब ढंग से चुने गए वर्ष में फसल पकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; ख) यदि फसल पक गई थी तो ग्रीष्म ऋतु के शुष्क होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

16. इस क्षेत्र में केवल ए और बी रोग पाए जाते हैं, जिनके लक्षण बाहरी रूप से अप्रभेद्य होते हैं। रोगियों में ए 30% मामलों में होता है, बी - 70% में। रोगों से ठीक होने की संभावना क्रमशः 0.6 और 0.3 है। क) यादृच्छिक रूप से लिए गए रोगी के ठीक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; ख) इसकी क्या प्रायिकता है कि ठीक हुए व्यक्ति को रोग A था?

17. 0.9 की संभावना के साथ उपकरणों की नियोजित डिलीवरी के साथ एक वस्तु को समय पर परिचालन में लाया जा सकता है, विलंब के साथ डिलीवरी के साथ - 0.6 की संभावना के साथ। औसतन, 80% ऑर्डर में नियोजित डिलीवरी देखी गई, देरी से डिलीवरी - 20% में। क) वस्तु के समय पर वितरण की प्रायिकता क्या है? बी) समय पर डिलीवरी की संभावना पाएं, अगर यह ज्ञात हो कि वस्तु समय पर पहुंचाई गई थी।

18. एक परमाणु प्रतिक्रिया 70% मामलों में टाइप ए के कण उत्पन्न कर सकती है और 30% मामलों में बी टाइप कर सकती है। 0.8 की प्रायिकता के साथ डिवाइस द्वारा कण ए का पता लगाया जाता है, कण बी - 1 की संभावना के साथ। ए) आगामी प्रयोग में एक कण का पता लगाने की संभावना का पता लगाएं; बी) डिवाइस ने एक कण की उपस्थिति को नोट किया। टाइप बी होने की कितनी संभावना है?

19. वर्ष की पहली छमाही में जन्म लेने वालों में, औसत वजन 60% नवजात शिशुओं से अधिक है, वर्ष की दूसरी छमाही में - 30%। यह मानते हुए कि दोनों अर्ध-वर्षों में जन्म दर समान है, ज्ञात कीजिए: क) बेतरतीब ढंग से चुने गए बच्चे द्वारा अधिक वजन की संभावना; बी) वर्ष की पहली छमाही में बच्चा होने की संभावना, अगर वह अधिक वजन वाला है।

20. कैथोड द्वारा उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन 0.7 की संभावना के साथ "तेज" हो सकता है और "धीमा" - 0.3 की संभावना के साथ। लक्ष्य से टकराने वाले "तेज" इलेक्ट्रॉनों की संभावना 0.9, "धीमी" - 0.4 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: क) इलेक्ट्रॉन लक्ष्य से टकराता है; बी) लक्ष्य तक पहुंचने पर इलेक्ट्रॉन "धीमा" था।

21. एक ग्रे खरगोश का पीछा करते हुए एक लोमड़ी 30% मामलों में उससे आगे निकल जाती है, एक सफेद खरगोश - 20% मामलों में। दोनों प्रकार के खरगोश जंगल में समान आवृत्ति के साथ पाए जाते हैं। क) क्या संभावना है कि लोमड़ी बेतरतीब ढंग से सामने आए खरगोश को पकड़ लेगी; बी) संभावना है कि आगे निकल गया खरगोश ग्रे था।

22. प्रतिकूल परिस्थितियों (खराब मौसम, तकनीकी कारणों) में एक विमान के देर से आने की संभावना 0.6 और अनुकूल परिस्थितियों में - 0.1 है। प्रतिकूल परिस्थितियों को 20% उड़ानों में देखा गया, अनुकूल - 80% में। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: क) विमान अगली उड़ान में देर से आएगा; बी) देरी प्रतिकूल परिस्थितियों के साथ थी।

23. एक ही प्रकार के उत्पाद फैक्ट्रियों 1 और 2 से बिक्री पर जाते हैं, 60% और 40% उत्पादों की आपूर्ति करते हैं। प्लांट 1 में रिजेक्ट की हिस्सेदारी 0.05, प्लांट 2 में - 0.07 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) खरीदा गया उत्पाद ख़राब होगा; बी) दोषपूर्ण उत्पाद कारखाने 2 द्वारा उत्पादित किया गया था।

24. दो बैचों में समान प्रकार के भागों की संख्या समान होती है और उनके अस्वीकृति शेयर (दोषपूर्ण भागों की संभावना) क्रमशः 0.1 और 0.2 के बराबर होते हैं। बैचों में से एक को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है जिसमें से भाग को हटा दिया जाता है। ए) संभावना है कि यह दोषपूर्ण है; ख) इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि जो भाग खराब निकला वह पहले बैच का था।

25. साफ मौसम में बमवर्षक द्वारा लक्ष्य को मारने की संभावना 0.9 है, खराब मौसम में - 0.7। 1 जून को साफ मौसम 60% मामलों में, खराब मौसम - 40% में देखा गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1 जून को क) लक्ष्य हिट हो जाएगा; बी) यदि लक्ष्य को हिट होने के लिए जाना जाता है तो मौसम साफ था।

26. शतरंज के दो खिलाड़ी A और B एक खेल खेलते हैं। सफेद टुकड़े होने पर A के जीतने की प्रायिकता 0.7 है, यदि उसके पास काले टुकड़े हैं - 0.4। टुकड़ों का रंग खेल से पहले बहुत से चित्र बनाकर निर्धारित किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) शतरंज का खिलाड़ी A जीतता है; b) A काले मोहरों से खेलता है यदि यह ज्ञात हो कि वह जीता है।

27. इंजन के परेशानी मुक्त संचालन के मामले में पोत के समय पर पहुंचने की संभावना 0.8 है और इसके टूटने की स्थिति में - 0.1। इंजन ने पहले जहाज की 90% यात्राओं पर त्रुटिपूर्ण रूप से काम किया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: क) जहाज अगली यात्रा में देर से नहीं आएगा; ख) इंजन में खराबी, अगर जहाज के लेट होने का पता चलता है।

28. डिवाइस को मुश्किल परिस्थितियों में 30% मामलों में संचालित किया जा सकता है, जहां यह 0.3 की संभावना के साथ विफल हो जाता है, और 70% मामलों में - अनुकूल परिस्थितियों में, जहां यह 0.1 की संभावना के साथ विफल हो जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) उपकरण विफल हो जाएगा; बी) विफल डिवाइस प्रतिकूल परिस्थितियों में संचालित किया गया था।

29. 3 सफेद और 2 काली गेंदों वाले कलश में से 2 गेंदें बारी-बारी से ली जाती हैं। उनमें से पहले का रंग अज्ञात है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) दूसरी गेंद सफेद होगी; b) पहली गेंद काली थी अगर दूसरी सफेद थी।

30. दो कार्यशालाएं उत्पाद की असेंबली के लिए एक ही प्रकार की इकाइयों की आपूर्ति करती हैं। उनमें से पहला 60% सभी नोड्स की आपूर्ति करता है, दूसरा - 40%। एक नोड के खराब होने की प्रायिकता दुकान 1 के लिए 0.2 और दुकान 2 के लिए 0.3 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: क) एक यादृच्छिक रूप से चयनित नोड दोषपूर्ण होगा; बी) दोषपूर्ण असेंबली दुकान 1 से आई थी।

कार्य 7.3।

एक वितरण श्रृंखला, एक वितरण फ़ंक्शन और उसका ग्राफ बनाएं, एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं - नीचे दिए गए स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में एक यादृच्छिक घटना A की घटनाओं की संख्या।

1. एक सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। ए - एक फेंक में हथियारों के कोट का नुकसान, (А)=0.5।

2. निशानेबाज ने 3 बार निशाने पर निशाना साधा। ए - एक शॉट के साथ हिट, पी (ए) = 0.6।

3. एंगलर अपनी लाइन को तीन बार कास्ट करता है। ए - एक थ्रो के साथ काटो, पी (ए) \u003d 0.3।

4. 2 सफेद और 3 काली गेंदों वाले कलश से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है (यदि वह सफेद है, तो A आ गया है), जिसे बाद में कलश में वापस कर दिया जाता है। अनुभव 3 बार दोहराया जाता है।

5. कद्दू के 3 बीज बोए जाते हैं। अंकुरण (एक बीज के अंकुरण की संभावना A) P(A)=0.8 है।

6. एक प्राथमिक कण को ​​एक युक्ति (घटना A) द्वारा प्रायिकता P(A)=0.7 के साथ पंजीकृत किया जा सकता है। डिवाइस के सामने बारी-बारी से तीन कण उड़ते हैं।

7. ए - एक घटना जो तब होती है जब आने वाली कार की संख्या का पहला अंक शून्य होता है। बारी-बारी से दो कारें गुजरती हैं।

8. ए - वर्ष के दौरान कार के विद्युत उपकरण की विफलता, पी (ए) \u003d 0.3। तीन वाहनों पर विचार किया जा रहा है।

9. ए - एक एथलीट द्वारा विश्व रिकॉर्ड तोड़ने वाली एक घटना, Р(А)=0.2। प्रतियोगिता में तीन एथलीट भाग लेते हैं।

10. बंदूक लक्ष्य पर तीन प्रोजेक्टाइल फायर करती है। ए - प्रक्षेप्य हिट, पी (ए) = 0.8।

11. एक बुकशेल्फ़ से यादृच्छिक रूप से ली गई पुस्तक एक पाठ्यपुस्तक (घटना A) बन सकती है, जिसकी संभावना P(A)=0.4 है। तीन पुस्तकें प्राप्त हुई हैं।

12. जन्म के समय एक पॉज़िट्रॉन रोटेशन के दाएं (घटना ए) या बाएं अभिविन्यास प्राप्त कर सकता है, (А)=0.6। 3 पॉज़िट्रॉन माने जाते हैं।

13. नीली मिट्टी की उपस्थिति हीरा जमा (घटना ए) की संभावना पी (ए) = 0.4 के साथ इंगित करती है। नीली मिट्टी तीन क्षेत्रों में पाई जाती है।

14. फूलों की अवधि के दौरान, पौधे को परागित किया जा सकता है (घटना ए) संभावना पी (ए) = 0.8 के साथ। 4 पौधे माने जाते हैं।

15. प्रायिकता P(A)=0.4 के साथ (घटना A) काटते समय एक मछुआरा मछली पकड़ सकता है। एंगलर के तीन काटने थे।

16. एक परमाणु प्रतिक्रिया में, एक गुंजयमान कण (घटना ए) एक संभावना पी (ए) = 0.2 के साथ बनाया जा सकता है। तीन प्रतिक्रियाओं पर विचार किया जाता है।

17. जमीन में रखे गए अंकुर को (घटना A) प्रायिकता P(A)=0.7 के साथ स्वीकार किया जा सकता है। तीन पौधे रोपे गए हैं।

18. एक बिजली संयंत्र का जनरेटर वर्ष (घटना ए) के दौरान पी (ए) = 0.2 की संभावना के साथ विफल हो सकता है। जनरेटर के संचालन की तीन साल की अवधि मानी जाती है।

19. दिन के दौरान, बर्तन में दूध खट्टा हो सकता है (घटना ए) संभावना पी (ए) = 0.4 के साथ। तीन बर्तनों का मामला माना जाता है।

20. एक बादल कक्ष में लिए गए एक तस्वीर में, एक कण प्रयोग (घटना ए) में एक संभावना पी (ए) = 0.5 के साथ पंजीकृत है। 4 प्रयोग किए गए।

21. ए - एक पासा फेंकते समय अंकों की एक सम संख्या की उपस्थिति। पासे को 4 बार फेंका जाता है।

22. तीन बंदूकें अपने लक्ष्य पर फायर करती हैं, ए - प्रक्षेप्य लक्ष्य को हिट करता है, पी (ए) = 0.7।

23. काटते समय, एक मछुआरा एक मछली (घटना ए) को संभावना पी (ए) = 0.6 के साथ बाहर निकाल सकता है। काटने 4 कोणों में हुआ।

24. विद्युत मोटर के रोटर की धड़कन की प्रायिकता P (A) = 0.8 में विफल हो जाती है। एक ही प्रकार के तीन इंजन माने जाते हैं।

25. किसी पुर्जे का निर्माण करते समय, यह प्रायिकता P(A)=0.2 के साथ दोषपूर्ण (घटना A) हो सकता है। तीन टुकड़े किए गए हैं।

26. प्रायिकता P(A)=0.8 के साथ मशीन एक वर्ष (घटना A) के लिए त्रुटिपूर्ण ढंग से काम करती है। वर्कशॉप में 4 मशीनें हैं।

27. ए - एक पासा फेंकते समय विषम संख्या में अंक की उपस्थिति। पासे को 4 बार फेंका जाता है।

28. ट्रेन समय पर पहुंच सकती है (घटना ए) संभावना पी (ए) = 0.9 के साथ। तीन उड़ानों पर विचार किया जा रहा है।

29. औसतन, पाठ का एक पृष्ठ टाइप करते समय, ऑपरेटर 30% मामलों में एक गलती (घटना ए) करता है। लेख में पाठ के 4 पृष्ठ हैं।

30. एक टोही विमान एक प्रायिकता P(A)=0.8 के साथ एक लक्ष्य (घटना A) का पता लगा सकता है। लक्ष्य का पता लगाने के लिए तीन विमान भेजे गए।

कार्य 7.4।

यादृच्छिक चर RV X के वितरण फलन F(x) को देखते हुए, वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए और इसे आलेखित कीजिए। संभावना पी की गणना करें ( एकएक्स≤ बी) किसी दिए गए अंतराल, गणितीय अपेक्षा और फैलाव में CB के मान से टकराना।

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कार्य 7.5.

दिए गए अंतराल में गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए [ ए, बी] सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के मान एक्सयदि इसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात है एम[एक्स] और विचरण डी[एक्स].

वार. एम[एक्स] डी[एक्स] बी
-2
-1
-1
-8 -9
-2
-1

वाल्टर ए। एयू / फ़्लिकर डॉट कॉम

अमेरिकी भौतिकविदों ने अंतरिक्ष-समय के आयाम को स्रोत से दूरी की तुलना करके, गुरुत्वाकर्षण तरंगों के क्षीणन और विद्युत चुम्बकीय विकिरण के रेडशिफ्ट से गणना करके परिष्कृत किया है। वैज्ञानिकों ने GW170817 घटना के लिए ऐसी गणना की और पाया कि हमारे अंतरिक्ष-समय का आयाम लगभग बराबर है डी 4.0 ± 0.1। इसके अलावा, उन्होंने गुरुत्वाकर्षण के जीवनकाल पर एक निचली सीमा निर्धारित की, जो लगभग 450 मिलियन वर्ष थी। लेख का प्रीप्रिंट arXiv.org पर उपलब्ध है।

अपडेट किया गया: जुलाई 2018 में, लेख थाप्रकाशित जर्नल ऑफ कॉस्मोलॉजी एंड एस्ट्रोपार्टिकल फिजिक्स में।

सामान्य सापेक्षता और मानक मॉडल इस धारणा पर बने हैं कि हम चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में रहते हैं। अधिक सटीक रूप से, (3 + 1) -आयामी: 3 स्थानिक आयाम और एक अस्थायी। दूसरी ओर, वैज्ञानिक सबसे प्राथमिक कथनों पर संदेह करते हैं। हो सकता है कि हमारे अंतरिक्ष-समय का आयाम चार के बराबर न हो, लेकिन इस मूल्य के बहुत करीब हो? दरअसल, ऐसे सिद्धांत हैं जिनमें हमारा स्पेसटाइम उच्च आयामी रिक्त स्थान में अंतर्निहित है। इसलिए, सामान्यतया, हमारी दुनिया की चार-आयामीता को सिद्ध किया जाना चाहिए, न कि इसे हल्के में लिया जाना चाहिए।

डेविड स्परगेल के नेतृत्व में भौतिकविदों के एक समूह ने दो न्यूट्रॉन सितारों के विलय के दौरान उत्सर्जित गुरुत्वाकर्षण और विद्युत चुम्बकीय तरंगों का विश्लेषण करके हमारे अंतरिक्ष-समय के आयाम पर सटीक सीमाएं निर्धारित कीं। एक ओर, तरंग स्रोत की दूरी विद्युत चुम्बकीय घटक से निर्धारित की जा सकती है। दूसरी ओर, इसकी गणना गुरुत्वाकर्षण तरंगों के क्षीणन से की जा सकती है। जाहिर है, इन दोनों दूरियों का मेल होना चाहिए, जो क्षय दर और सामान्य सापेक्षता द्वारा अनुमानित दर के बीच अंतर पर प्रतिबंध लगाता है। यह ध्यान देने योग्य है कि रेडशिफ्ट से निर्धारित दूरी में एक अतिरिक्त त्रुटि इस तथ्य से पेश की जाती है कि हबल स्थिरांक के मान, आकाशगंगाओं के मंदी के वेग से और ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि विकिरण के उतार-चढ़ाव से मापा जाता है, हैं एक दूसरे के साथ। इस लेख में, केवल मामले में, वैज्ञानिकों ने दोनों मूल्यों के लिए गणना की, लेकिन प्रयोगात्मक डेटा की त्रुटि अभी भी इस अंतर से आगे निकल गई।

सामान्य सापेक्षता में, गुरुत्वाकर्षण तरंगों की तीव्रता स्रोत से दूरी की पहली शक्ति के विपरीत घट जाती है: एच ~ 1/आर. हालांकि, अधिक आयामों वाले सिद्धांतों में, इस कानून को संशोधित किया जाता है, और भिगोना तेजी से होता है: एच ~ 1/आर, जहां = ( डी- 2)/2, और डी- माप की संख्या। यह पता चला है कि लहर की ऊर्जा अतिरिक्त आयामों में "रिसाव" करने लगती है। न्यूट्रॉन सितारों के लिए "विद्युत चुम्बकीय" और "गुरुत्वाकर्षण" दूरी की गणना करते हुए, भौतिकविदों ने निर्धारित किया कि निर्भरता की डिग्री 1.00 ± 0.03, यानी हमारे अंतरिक्ष का आयाम डी 4.0 ± 0.1।


प्रायिकता बंटन जिसमें हम रहते हैं डी-आयामी अंतरिक्ष। विभिन्न रंगों की रेखाएं गणना में प्रयुक्त हबल स्थिरांक के विभिन्न मूल्यों के अनुरूप होती हैं


दूसरी ओर, एक अन्य प्रकार के वैकल्पिक सिद्धांतों में, गुरुत्वाकर्षण की जांच की जाती है - छोटी दूरी पर यह उसी तरह से व्यवहार करता है जैसे कि चार-आयामी सिद्धांत में, और बड़ी दूरी पर यह जैसा दिखता है डी-आयामी। GW170817 घटना की सीमाओं को देखते हुए, भौतिकविदों ने ऐसे सिद्धांतों के लिए न्यूनतम परिरक्षण त्रिज्या लगभग बीस मेगापार्सेक निर्धारित की। इस मामले में, तरंगों का वास्तविक स्रोत आकाशगंगा एनजीसी 4993 में लगभग चालीस मेगापार्सेक की दूरी पर स्थित है।

अंत में, गुरुत्वाकर्षण तरंगों का अतिरिक्त क्षीणन इस तथ्य के कारण उत्पन्न हो सकता है कि गुरुत्वाकर्षण अस्थिर कण हैं और स्रोत से डिटेक्टर तक की यात्रा के दौरान क्षय होते हैं। इस धारणा के आधार पर, भौतिकविदों ने गुरुत्वाकर्षण के जीवनकाल की निचली सीमा की गणना की है। यह पता चला कि यह 4.5×10 8 साल से कम नहीं हो सकता।

गुरुत्वाकर्षण के वैकल्पिक सिद्धांतों पर गुरुत्वाकर्षण और विद्युत चुम्बकीय घटकों के एक साथ पंजीकरण का बहुत प्रभाव पड़ा। उदाहरण के लिए, पिछले साल दिसंबर के अंत में शारीरिक समीक्षा पत्रउसी समय, GW170817 घटना और गुरुत्वाकर्षण के विभिन्न क्वांटम सिद्धांतों पर प्रतिबंधों के लिए समर्पित चार लेख एक साथ प्रकाशित किए गए थे। इसके अलावा, यह घटना गुरुत्वाकर्षण की गति पर बहुत सख्त प्रतिबंध है - अब गुरुत्वाकर्षण की गति और प्रकाश की गति का अनुपात एकता से 3×10 −15 से अधिक नहीं हो सकता है।

दिमित्री ट्रुनिन

9 सितंबर, 2007 को, ड्राइवर लोगान गोमेज़ ने IRL इंडी प्रो सीरीज़ चैंपियनशिप की चिकागोलैंड 100 रेस जीती। उन्होंने विश्व मोटरस्पोर्ट में फिनिश के घनत्व के लिए एक रिकॉर्ड स्थापित करते हुए, दूसरे स्थान के विजेता को 0.0005 सेकंड से हराया। ऐसी सटीकता के साथ कौन से उपकरण समय को माप सकते हैं?

प्रकाशस्तंभ की लहर पर आधुनिक रेसिंग में, समय पूरी तरह से स्वचालित है। प्रत्येक कार एक रेडियो बीकन से सुसज्जित है जो एक अद्वितीय आवृत्ति पर रेडियो तरंगों का उत्सर्जन करती है। ट्रैक पर सख्ती से परिभाषित स्थानों में स्थित एंटेना, अपना सिग्नल उठाते हैं और आवृत्ति से निर्धारित करते हैं कि कौन सी कार विशेष रूप से गुजरती है। एंटेना को दो-एक करके व्यवस्थित किया जाता है: एक एंटेना से दूसरे तक की दूरी तय करने में लगने वाले समय को मापकर, कंप्यूटर कार की गति निर्धारित करता है। पथ पर 20 एंटेना तक स्थित हो सकते हैं। पिट लेन में गति को नियंत्रित करने के लिए विशेष एंटेना का उपयोग किया जाता है। रेडियो रिसीवर से सूचना टाइमिंग सेंटर को भेजी जाती है, जहां 20 से अधिक इंजीनियर लगातार कंप्यूटर के संचालन की निगरानी करते हैं। बस के मामले में, फिनिश लाइन पर स्थापित इन्फ्रारेड फोटोकल्स की एक जोड़ी द्वारा टाइमिंग सिस्टम का बैकअप लिया जाता है।

टिम स्कोरेंको

यह इंडीकार श्रृंखला में है कि समय की आवश्यकताएं सबसे कठोर हैं। कोई अन्य चैंपियनशिप एक सेकंड के निकटतम दस-हज़ारवें हिस्से तक समय मापने का दावा नहीं कर सकती है। श्रृंखला की भारी संख्या 0.001 सेकेंड तक सीमित है, और यह अक्सर एक मार्जिन के साथ पर्याप्त होता है, लेकिन ऐसी घटनाएं होती हैं: उदाहरण के लिए, फॉर्मूला 1 वर्ग में 1997 के यूरोपीय ग्रांड प्रिक्स योग्यता में, तीन पायलट दिखाने में कामयाब रहे एक समय जो एक सेकंड के हजारवें हिस्से से मेल खाता है, - 1.21.072। पोल की स्थिति अंततः जैक्स विलेन्यूवे के पास गई, जिन्होंने दूसरों से आगे अपना सबसे तेज लैप पूरा किया।

फॉर्मूला 1 में समय की सटीकता समय के साथ स्पष्ट रूप से बदल गई है। 1950 में पहली चैंपियनशिप में, 0.1 एस पूरी तरह से पायलटों के खत्म होने के लिए पर्याप्त था। चैंपियनशिप स्टैंडिंग में एक भी दौड़ शामिल नहीं थी, जहां पायलटों के बीच का अंतर एक सेकंड से कम होगा। मोटर रेसिंग के इतिहास में पहली बार ग्रां प्री में 0.1 की सटीकता - 1906 में फ्रेंच ग्रां प्री, जहां विजेता का समय, रेनॉल्ट में फेरेंक सिज़, 12 घंटे 14 मिनट और 7.4 सेकंड था (शॉर्ट की तरह नहीं) और आसान आज की दौड़, है ना?) प्रथम विश्व युद्ध से पहले हुई अधिकांश दौड़ में, सटीकता 1 s से अधिक नहीं थी।


आधुनिक रेसिंग में, समय पूरी तरह से स्वचालित है। प्रत्येक कार एक रेडियो बीकन से सुसज्जित है जो एक अद्वितीय आवृत्ति पर रेडियो तरंगों का उत्सर्जन करती है। ट्रैक पर सख्ती से परिभाषित स्थानों में स्थित एंटेना, अपना सिग्नल उठाते हैं और आवृत्ति से निर्धारित करते हैं कि कौन सी कार विशेष रूप से गुजरती है। एंटेना को दो-एक करके व्यवस्थित किया जाता है: एक एंटेना से दूसरे तक की दूरी तय करने में लगने वाले समय को मापकर, कंप्यूटर कार की गति निर्धारित करता है। पथ पर 20 एंटेना तक स्थित हो सकते हैं। पिट लेन में गति को नियंत्रित करने के लिए विशेष एंटेना का उपयोग किया जाता है। रेडियो रिसीवर से सूचना टाइमिंग सेंटर को भेजी जाती है, जहां 20 से अधिक इंजीनियर लगातार कंप्यूटर के संचालन की निगरानी करते हैं। बस के मामले में, टाइमिंग सिस्टम को फिनिश लाइन पर स्थापित इन्फ्रारेड फोटोकल्स की एक जोड़ी द्वारा समर्थित किया जाता है।

अमेरिका में, टाइमकीपर बहुत अधिक प्रगतिशील थे। एएए श्रृंखला (बाद में कार्ट) की युद्ध के बाद की दौड़ में अक्सर 0.01 तक की माप सटीकता की आवश्यकता होती है। यह मुख्य रूप से पटरियों के विन्यास और अंडाकारों की प्रचुरता के कारण था, जहां सवारों के बीच अंतराल बहुत छोटा होता है। आधुनिक आईआरएल के समय की अविश्वसनीय सटीकता एक ही कारक के कारण है: 2010 चैंपियनशिप के सत्रह चरणों में से आठ अंडाकार पर आयोजित किए जाते हैं।

घटनाएं और विफलताएं

रेसिंग टाइमिंग दुनिया के अग्रणी घड़ी और इलेक्ट्रॉनिक्स निर्माताओं के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines… उनमें से लगभग सभी को आधिकारिक टाइमकीपर के रूप में विभिन्न खेलों में किसी न किसी तरह से प्रतिनिधित्व किया जाता है। समय मापने में त्रुटियों और अशुद्धियों को आज व्यावहारिक रूप से बाहर रखा गया है। 1992 से आज तक, उपरोक्त 97 यूरोपीय ग्रां प्री फॉर्मूला 1 की एकमात्र कालानुक्रमिक जिज्ञासा बन गई है, और यहां तक ​​कि आईआरएल में ऐसी घटनाएं पूरी तरह से असंभव हैं।


आज, Indycar और NASCAR टाइमिंग सिस्टम को दुनिया में सर्वश्रेष्ठ में से एक माना जाता है। प्रत्येक ट्रैक इस तरह से सुसज्जित है कि यूरोपीय आयोजक केवल ईर्ष्या कर सकते हैं। स्कोर 0.0001 सेकंड (इंडीकार के लिए) तक जाता है, और लाइव दर्शक किसी भी समय ट्रैक पर प्रत्येक कार की गति, उसके गोद के समय और सर्कल के किसी भी सेक्टर, पेलेटन में अंतराल की सटीकता के साथ जानकारी प्राप्त कर सकते हैं। एक क्षेत्र, आदि सामान्य रूप से, अधिकतम जानकारी। ऐसी दौड़ में जहां आधा सीजन ओवल पर खेला जाता है, समय का अत्यधिक महत्व है। विजेता को अक्सर एक फोटो फिनिश द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अजीब तरह से, "आधिकारिक टाइमकीपर" की अवधारणा हाल ही में दिखाई दी। यह Tissot है जो आज विश्व मोटरसाइकिल रेसिंग चैंपियनशिप में "अग्रणी" है, और किसी अन्य कंपनी को हस्तक्षेप करने का अधिकार नहीं है। 30 साल पहले भी, प्रत्येक व्यक्तिगत दौड़ के अपने टाइमकीपर थे, "सशस्त्र" उपकरण के साथ जो आयोजक खरीद सकते थे।

द्वितीय विश्व युद्ध से पहले, लगभग सभी रेसिंग श्रृंखलाओं और कक्षाओं को मैन्युअल रूप से समयबद्ध किया गया था: स्टॉपवॉच वाले विशेष रूप से प्रशिक्षित लोग ट्रैक के पास खड़े थे। उन्होंने अगली कार का लैप टाइम रिकॉर्ड किया और डेटा रिकॉर्ड किया। हालाँकि, सफलताएँ भी थीं। 1911 में, पहली इंडियानापोलिस 500 दौड़ में, इंजीनियर चार्ली वार्नर ने पहली अर्ध-स्वचालित समय प्रणाली को डिजाइन और कार्यान्वित किया। स्टार्ट-फिनिश लाइन के साथ, एक पतला तार थोड़ा फैला हुआ था और ईंट कोटिंग से थोड़ा ऊपर उठाया गया था। प्रत्येक मशीन ने तार को जमीन पर दबा दिया, जिससे उसका तनाव बढ़ गया। तार से एक हथौड़ा-मुहर जुड़ी हुई थी, जिसे खींचे जाने पर, धीरे-धीरे रेंगने वाले टेप पर विभाजन के साथ एक स्याही का निशान लगा दिया। माप सटीकता 0.01 एस तक पहुंच गई! प्रत्येक बिंदु के विपरीत कारों की संख्या मैन्युअल रूप से टाइमकीपर द्वारा निर्धारित की गई थी। एक अजीब कारण के लिए सिस्टम ने जड़ नहीं ली: दौड़ के बीच में, रेसर हर्ब लिटिल की कार ने तार तोड़ दिया। एक नया खींचते समय (भागती कारों के सामने दौड़ते हुए), कम से कम 20 गोद गुजरे, इस दौरान समय लगभग था। रेस में जीत मार्मन पर रे हैरोन को प्रदान की गई थी, लेकिन एक अन्य प्रसिद्ध रेसर, राल्फ मलफोर्ड, अपनी मृत्यु तक सुनिश्चित थे कि यह वह था जिसने पहली बार इंडी 500 जीता था।


1930 के दशक में अर्ध-स्वचालित प्रणालियों के सफल उपयोग का दिन आता है। इंडी 500 ने तब स्टीवर्ट-वार्नर क्रोनोग्रफ़ या विशाल लॉफबोरो-हेस क्रोनोग्रफ़ का इस्तेमाल किया।

NASCAR श्रृंखला के शुरुआती वर्षों में, समय भयानक था। कुछ दौड़ में, कागज और एक पेंसिल वाला एक आदमी फिनिश लाइन पर बैठ गया और रिकॉर्ड किया: ऐसा और ऐसा पहले जाता है, ऐसा और ऐसा - दूसरा। सच है, यह केवल बजरी और मिट्टी की पटरियों से संबंधित है। ऑटोड्रोम पर, चीजें बेहतर थीं। विशेष रूप से, यह एल्हार्ट लेक "1951 की दौड़ में था कि स्ट्रीटर-एमेट क्रोनोग्रफ़ का उपयोग किया गया था। डिवाइस को क्रमिक रूप से एक पेपर टेप पर (एक सेकंड के दसवें हिस्से में) मुद्रित किया गया था, प्रत्येक गुजरने वाली कार का समय, एक व्यक्ति का काम शामिल था प्रत्येक नंबर के सामने कार नंबर लिखने में।

एक पूरी तरह से स्वचालित समय प्रणाली का इस्तेमाल पहली बार 1 9 70 में ओन्टारियो सर्किट में यूएसएसी चैंपियनशिप दौड़ में किया गया था। प्रत्येक वाहन एक ट्रांसमीटर से लैस था जो अपनी अनूठी आवृत्ति पर तरंगों का उत्सर्जन करता था। प्रत्येक ट्रांसमीटर के दोलन की आवृत्ति को कैप्चर करते हुए, स्टार्ट-फिनिश लाइन पर एक एंटीना स्थापित किया गया था - बाकी का काम कंप्यूटर द्वारा किया गया था।


पेशेवर टाइमकीपर डेविड मैककिनी, जिन्होंने 1960 के दशक में ऑस्ट्रेलिया और न्यूजीलैंड में विभिन्न जातियों में काम किया था, ने हमें एक दिलचस्प जानकारी दी: "यदि सर्वश्रेष्ठ टाइमकीपर के साथ सबसे योग्य टाइमकीपर एक सेकंड का दसवां हिस्सा 'पकड़' सकता है, तो वह सिर्फ भाग्यशाली।" सभी मैनुअल माप जो कभी भी रेसिंग में किए गए हैं, उन्हें सुरक्षित रूप से अनुमानित माना जा सकता है।

"सूत्र 1"

यूरोप में, स्वचालित सिस्टम अमेरिका की तुलना में बहुत बाद में दिखाई दिए। फॉर्मूला 1 जैसी अंतरराष्ट्रीय श्रृंखला में भ्रम और उतार-चढ़ाव का राज रहा। 1970 के दशक के अंत तक, अलग-अलग ग्रां प्री में समय पूरी तरह से अलग-अलग लोगों द्वारा अलग-अलग उपकरणों और विधियों का उपयोग करके किया जाता था। मुक्त दौड़ में, सवारों की पत्नियों द्वारा सबसे अधिक बार टाइमकीपर की भूमिका निभाई जाती थी। उदाहरण के लिए, दो बार के विश्व चैंपियन ग्राहम हिल की पत्नी, नोर्मा हिल, अपने पति के साथ हर ग्रैंड प्रिक्स में गई और मार्शलों के काम की दोबारा जाँच करते हुए व्यक्तिगत रूप से अपने लैप टाइम को टाइम किया।


1970 के दशक के मध्य में, निरंतर भ्रम और गलतियों से थककर, फेरारी टीम ने अमेरिका में खरीदे गए अपने स्वयं के उच्च-सटीक उपकरण को ग्रांड प्रिक्स में लाना शुरू किया। फेरारी के शाश्वत प्रतिद्वंद्वी, लोटस टीम के यांत्रिकी में से एक ने अपने बॉस कॉलिन चैपमैन से पूछा: "हम ऐसा क्यों नहीं करते?" "क्या आपको सच में लगता है कि इससे हमारी कारें तेजी से आगे बढ़ेंगी?" चैपमैन ने उत्तर दिया। यह उत्तर उन वर्षों में टाइमकीपिंग की सटीकता के लिए यूरोपीय दृष्टिकोण को बहुत सटीक रूप से दर्शाता है। हालांकि, 1970 के दशक के अंत तक, लगभग सभी प्रमुख टीमों ने घड़ी निर्माताओं के साथ अनुबंध पर हस्ताक्षर किए और उनके साथ अपनी टाइमिंग सिस्टम ले गए। एक दौड़ के बाद, ऑटोस्पोर्ट पत्रिका ने लिखा: "टीम आधिकारिक रिपोर्टों में समय को इतनी सटीक रूप से प्रकाशित करती हैं कि ग्रांड प्रिक्स के आयोजकों की आधिकारिक संख्या ऐसी दिखती है जैसे वे मिकी माउस घड़ी का उपयोग करके बनाई गई हों!"

समय की त्रुटियों के कारण, नियमित रूप से अद्भुत घटनाएं होती रहीं। उदाहरण के लिए, 1973 में बारिश के दौरान कनाडाई ग्रां प्री के दौरान, पहली बार एक सुरक्षा कार को ट्रैक पर लाया गया था। टाइमकीपर भ्रमित थे, राउंड रॉबिन के साथ मिश्रित और गलत तरीके से गति कार के पहले और बाद में समय जोड़ा। नतीजतन, लोटस से इमर्सन फिटिपाल्डी, शैडो से जैकी ओलिवर और मैकलारेन के पीटर रेवसन ने लगातार जीत का जश्न मनाया। जीत बाद में चली गई - कई घंटों की मनमुटाव के बाद।


एक समान रूप से दिलचस्प कहानी 1975 के स्वीडिश ग्रां प्री में हुई थी। मार्च सवार विटोरियो ब्रैम्बिला पेलटन में सबसे तेज गति से दूर था, लेकिन यह वह था जिसने उस दौड़ में पोल ​​की स्थिति ली थी। यह मार्च डिजाइनर रॉबिन हर्ड के रिकॉर्डर के फोटोकेल के ठीक सामने ब्रैम्बिला को फिनिश लाइन पार करने से आधा सेकंड पहले चुपके से घुसने के कारण था। किसी चमत्कार से, किसी ने इसे नहीं देखा, और डिवाइस ने पैदल हर्ड के समय को रिकॉर्ड किया, और रेसर को बिल्कुल भी नहीं।

तकनीक की जीत

आज की दौड़ उच्च तकनीक की विजय है। उदाहरण के लिए, जितना संभव हो सके परंपराओं का पालन करते हुए, NASCAR श्रृंखला आधुनिक समय के तरीकों पर स्विच करने के लिए लगभग अंतिम थी। लेकिन आज, NASCAR के टाइमिंग सिस्टम को दुनिया में सर्वश्रेष्ठ में से कुछ माना जाता है। पिछले चार वर्षों से विदेशी श्रृंखला के आधिकारिक टाइमकीपर टिसोट ने हर ट्रैक को इस तरह से सुसज्जित किया है कि यूरोपीय आयोजक केवल ईर्ष्या कर सकते हैं। एक ऐसी दौड़ में जहां एक सीज़न में 36 में से 34 राउंड अंडाकार होते हैं, समय का अत्यधिक महत्व होता है।


विश्व मोटरसाइकिल रेसिंग चैम्पियनशिप में कोई कम गंभीर सिस्टम का उपयोग नहीं किया जाता है (टिसोट इसका टाइमकीपर भी है)। NASCAR के विपरीत, यह निर्धारित करने के लिए परिष्कृत निगरानी प्रणाली की आवश्यकता नहीं है कि आगे कौन है: मोटरसाइकिल चालक इतने तंग पेलेटन में नहीं हैं। लेकिन चूंकि मोटोजीपी ट्रैक पारंपरिक यूरोपीय विन्यास के हैं, और अंडाकार नहीं हैं, इसलिए पर्याप्त कठिनाइयां भी हैं। मार्ग पर कुछ बिंदुओं पर समय कटऑफ निर्धारित करने के लिए सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता होती है (अंडाकार केवल ज्यामितीय रूप से 4-8 भागों में विभाजित होते हैं)।

आज की कंप्यूटर तकनीक ऑटो या मोटरसाइकिल रेसिंग में टाइमिंग एरर की संभावना को लगभग समाप्त कर देती है। ग्रांड प्रिक्स के आयोजकों ने लंबे समय से अपने सिर पर पूरी तरह से अलग-अलग समस्याएं पाई हैं - सुरक्षा, पारिस्थितिकी, आदि। और टाइमर अपने लिए काम करते हैं और काम करते हैं। आप कह सकते हैं कि यह घड़ी की कल की तरह है।

इसे (नुकसान के साथ) तक खोजने की आवश्यकता होने दें। आइए गणनाओं को इस तरह व्यवस्थित करें:

हम पहले पूर्णांक 2 से केवल 1 तक का अनुमानित मूल ज्ञात करते हैं। हमें 1 मिलता है (और शेष 1 है)। हम संख्या 1 को मूल में लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं। अब हम दहाई की संख्या ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अल्पविराम के दाईं ओर 1 के शेष में संख्या 3 और 5 जोड़ते हैं, और निष्कर्षण जारी रखते हैं जैसे कि हम पूर्णांक 235 से रूट निकाल रहे थे। हम परिणामी संख्या 5 को रूट में लिखते हैं। दशमांश का स्थान। हमें मूलांक (104) के शेष अंकों की आवश्यकता नहीं है। यह कि परिणामी संख्या 1.5 वास्तव में , तक का अनुमानित मूल होगा, निम्नलिखित से स्पष्ट है; यदि हमें 1 की शुद्धता के साथ 235 का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल ज्ञात करना है, तो हमें 15 प्राप्त होंगे, जिसका अर्थ है

इनमें से प्रत्येक संख्या को 100 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(संख्या 0.00104 के योग से, दोहरा चिह्न स्पष्ट रूप से चिह्न में बदल जाना चाहिए<, а знак >अवशेष (0.00104 से)< 0,01).)

इसे एक नुकसान के साथ, एक सन्निकटन तक, खोजने की आवश्यकता है। आइए एक पूर्णांक खोजें, फिर - दसवें की संख्या, फिर सौवें की संख्या। एक पूर्णांक का वर्गमूल 15 पूर्णांक होगा। दहाई का अंक प्राप्त करने के लिए, जैसा कि हमने देखा, दशमलव बिंदु के दाईं ओर शेष 23 में दो और अंक जोड़ना आवश्यक है:

हमारे उदाहरण में, ये संख्याएँ बिल्कुल भी मौजूद नहीं हैं; उनके स्थान पर शून्य लगाएं। उन्हें शेषफल में जोड़कर और इस क्रिया को जारी रखते हुए जैसे कि हम पूर्णांक 24800 का मूल ज्ञात कर रहे हैं, हम दसवां अंक 7 पाएंगे। यह सौवां अंक खोजने के लिए रहता है। ऐसा करने के लिए, हम शेष 151 में दो और शून्य जोड़ते हैं और निष्कर्षण जारी रखते हैं, जैसे कि हम पूर्णांक 2480000 का मूल ज्ञात कर रहे थे। हमें 15.74 मिलता है। यह संख्या वास्तव में माइनस तक 248 की अनुमानित जड़ है, जो निम्नलिखित से स्पष्ट है। यदि हम पूर्णांक 2480000 का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल ज्ञात करें, तो हमें 1574 मिलेगा, जिसका अर्थ है

इनमें से प्रत्येक संख्या को 10000 (1002) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

इसका अर्थ यह हुआ कि 15.74 वह दशमलव भिन्न है, जिसे हम 248 तक के नुकसान के साथ अनुमानित मूल कहते हैं।

नियम। किसी दिए गए पूर्णांक से या किसी दिए गए दशमलव अंश से अप करने के लिए, अप करने के लिए, आदि की सटीकता के साथ एक नुकसान के साथ एक अनुमानित रूट निकालने के लिए, पहले 1 की सटीकता के साथ एक नुकसान के साथ एक अनुमानित रूट खोजें, निकालने के लिए पूर्णांक से मूल (यदि यह वहां नहीं है, तो मूल 0 पूर्णांकों पर लिखें)।

तो दहाई की संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, सबजुगेटेड संख्या के दो अंक शेष में जोड़े जाते हैं, दशमलव बिंदु के दाईं ओर (यदि कोई नहीं है, तो दो शून्य शेष के लिए जिम्मेदार हैं), और निष्कर्षण उसी तरह जारी रखा जाता है जैसे यह है एक पूर्णांक से रूट निकालते समय किया जाता है। परिणामी आकृति को दहाई के स्थान पर मूल में लिखा जाता है।

तो सौवें की संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, दो आंकड़े फिर से शेष के लिए जिम्मेदार हैं, जो अभी-अभी ध्वस्त किए गए हैं, आदि के दाईं ओर खड़े हैं।

इस प्रकार, दशमलव अंश के साथ एक पूर्णांक की जड़ निकालने पर संख्या को दो अंकों के फलकों में विभाजित किया जाना चाहिए, अल्पविराम से शुरू होकर, दोनों बाईं ओर (संख्या के पूर्णांक भाग में) और दाईं ओर (भिन्न भाग में).

उदाहरण।

पिछले उदाहरण में, हमने दशमलव के चार स्थानों को खोजने के लिए आवश्यक चार फलक बनाने के लिए आठ दशमलव स्थानों की गणना करके भिन्न को दशमलव में बदल दिया।

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