ज्यामिति एक बहुत ही बहुआयामी विज्ञान है। यह तर्क, कल्पना और बुद्धि विकसित करता है। बेशक, इसकी जटिलता के कारण और बड़ी रकमप्रमेय और स्वयंसिद्ध, स्कूली बच्चे हमेशा इसे पसंद नहीं करते हैं। इसके अलावा, आम तौर पर स्वीकृत मानकों और नियमों का उपयोग करके अपने निष्कर्षों को लगातार साबित करने की आवश्यकता है।

आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोण ज्यामिति का एक अभिन्न अंग हैं। निश्चित रूप से कई स्कूली बच्चे उन्हें इस कारण से प्यार करते हैं कि उनके गुण स्पष्ट और साबित करने में आसान हैं।

कोनों का गठन

कोई भी कोण दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन या एक बिंदु से दो किरणें खींचकर बनता है। उन्हें या तो एक अक्षर या तीन कहा जा सकता है, जो क्रमिक रूप से कोने के निर्माण के बिंदुओं को निर्दिष्ट करते हैं।

कोणों को डिग्री में मापा जाता है और (उनके मूल्य के आधार पर) अलग तरीके से कहा जा सकता है। तो, एक समकोण, न्यूनकोण, अधिक कोण और तैनात है। प्रत्येक नाम एक निश्चित डिग्री माप या उसके अंतराल से मेल खाता है।

न्यून कोण वह कोण होता है जिसका माप 90 डिग्री से अधिक नहीं होता है।

अधिक कोण 90 डिग्री से अधिक का कोण होता है।

एक कोण को समकोण कहा जाता है जब उसका माप 90 होता है।

उस स्थिति में जब यह एक सतत सीधी रेखा से बनता है, और इसकी डिग्री माप 180 है, इसे तैनात कहा जाता है।

ऐसे कोण जिनका एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है, जिसका दूसरा पक्ष एक दूसरे को जारी रखता है, आसन्न कहलाते हैं। वे या तो तेज या कुंद हो सकते हैं। रेखा का प्रतिच्छेदन आसन्न कोण बनाता है। उनके गुण इस प्रकार हैं:

1. ऐसे कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होगा (इसे साबित करने वाला एक प्रमेय है)। इसलिए, उनमें से एक की गणना आसानी से की जा सकती है यदि दूसरा ज्ञात हो।
2. पहले बिंदु से यह निष्कर्ष निकलता है कि आसन्न कोण दो अधिक या दो न्यून कोणों से नहीं बन सकते हैं।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, कोई हमेशा किसी अन्य कोण के मान या कम से कम उनके बीच के अनुपात को देखते हुए कोण के डिग्री माप की गणना कर सकता है।

लंब कोण

कोण जिनकी भुजाएँ एक-दूसरे की निरंतरता होती हैं, लंबवत कहलाती हैं। उनकी कोई भी किस्म ऐसी जोड़ी के रूप में कार्य कर सकती है। लंबवत कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं।

ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करने पर बनती हैं। उनके साथ, आसन्न कोने हमेशा मौजूद होते हैं। एक कोण एक के लिए आसन्न और दूसरे के लिए लंबवत दोनों हो सकता है।

एक मनमानी रेखा को पार करते समय, कई और प्रकार के कोणों पर भी विचार किया जाता है। ऐसी रेखा को एक छेदक कहा जाता है, और यह संबंधित, एकतरफा और क्रॉस-झूठ वाले कोण बनाती है। वे एक दूसरे के बराबर हैं। उन्हें उन गुणों के प्रकाश में देखा जा सकता है जो लंबवत और आसन्न कोण हैं।

इस प्रकार, कोनों का विषय काफी सरल और समझने योग्य लगता है। उनके सभी गुणों को याद रखना और सिद्ध करना आसान है। समस्याओं को हल करना तब तक मुश्किल नहीं है जब तक कि कोण एक संख्यात्मक मान के अनुरूप हों। पहले से ही, जब पाप और कारण का अध्ययन शुरू होता है, तो आपको कई जटिल सूत्रों, उनके निष्कर्षों और परिणामों को याद रखना होगा। तब तक, आप केवल आसान पहेलियों का आनंद ले सकते हैं जिसमें आपको आसन्न कोनों को खोजने की आवश्यकता होती है।

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक किरणें हों। आकृति 20 में, कोण AOB और BOC आसन्न हैं।

आसन्न कोणों का योग 180° . होता है

प्रमेय 1. आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

प्रमाण। OB बीम (चित्र 1 देखें) विकसित कोण की भुजाओं के बीच से गुजरता है। इसलिए एओबी + ∠ बीओसी = 180°.

प्रमेय 1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण बराबर होते हैं।

लंबवत कोण बराबर होते हैं

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक किरणें हों। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बने कोण AOB और COD, BOD और AOC लंबवत हैं (चित्र 2)।

प्रमेय 2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।

प्रमाण। ऊर्ध्वाधर कोणों AOB और COD पर विचार करें (चित्र 2 देखें)। कोण BOD प्रत्येक कोण AOB और COD के निकट है। प्रमेय 1 से, AOB + ∠ BOD = 180°, COD + ∠ BOD = 180°।

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि AOB = COD।

उपफल 1. समकोण से लगा हुआ कोण समकोण होता है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AC और BD पर विचार कीजिए (चित्र 3)। वे चार कोनों का निर्माण करते हैं। यदि उनमें से एक समकोण है (चित्र 3 में कोण 1), तो अन्य कोण भी समकोण हैं (कोण 1 और 2, 1 और 4 आसन्न हैं, कोण 1 और 3 लंबवत हैं)। इस मामले में, इन रेखाओं को समकोण पर प्रतिच्छेद करने के लिए कहा जाता है और इन्हें लंबवत (या परस्पर लंबवत) कहा जाता है। AC और BD की लंबता को निम्नानुसार दर्शाया गया है: AC BD।

एक खंड का लंब समद्विभाजक इस खंड के लंबवत और उसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।

एएन - रेखा के लंबवत

एक रेखा a और एक बिंदु A पर विचार करें जो उस पर नहीं है (चित्र 4)। बिंदु A को एक खंड के साथ बिंदु H से एक सीधी रेखा a से कनेक्ट करें। एक खंड AH को बिंदु A से रेखा a पर खींचा गया लंब कहा जाता है यदि रेखाएँ AN और a लंबवत हैं। बिंदु H को लंब का आधार कहा जाता है।

ड्राइंग स्क्वायर

निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 3. किसी भी बिंदु से जो एक रेखा पर स्थित नहीं है, कोई इस रेखा पर एक लंब खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

चित्र में एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर एक लंब खींचने के लिए, एक आरेखण वर्ग का उपयोग किया जाता है (चित्र 5)।

टिप्पणी। प्रमेय के कथन में आमतौर पर दो भाग होते हैं। एक भाग क्या दिया जाता है के बारे में बात करता है। इस भाग को प्रमेय की स्थिति कहते हैं। दूसरा भाग इस बारे में बात करता है कि क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस भाग को प्रमेय का निष्कर्ष कहते हैं। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 की शर्त ऊर्ध्वाधर कोण है; निष्कर्ष - ये कोण बराबर हैं।

किसी भी प्रमेय को शब्दों में विस्तार से व्यक्त किया जा सकता है ताकि उसकी स्थिति "अगर" शब्द से शुरू हो, और निष्कर्ष "तब" शब्द के साथ शुरू हो। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 को इस प्रकार विस्तार से बताया जा सकता है: "यदि दो कोण लंबवत हैं, तो वे बराबर हैं।"

उदाहरण 1आसन्न कोणों में से एक 44° का है। दूसरा किसके बराबर है?

फेसला। दूसरे कोण के घात माप को x से निरूपित करें, फिर प्रमेय 1 के अनुसार।
44° + x = 180°।
परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं कि x \u003d 136 °। अत: दूसरा कोण 136° है।

उदाहरण 2मान लीजिए चित्र 21 में COD कोण 45° है। कोण AOB और AOC क्या होते हैं?

फेसला। कोण COD और AOB लंबवत हैं, इसलिए प्रमेय 1.2 के अनुसार वे बराबर हैं, अर्थात ZAOB = 45°। कोण AOC कोण COD के निकट है, इसलिए प्रमेय 1 के अनुसार।
AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°।

उदाहरण 3आसन्न कोण खोजें यदि उनमें से एक दूसरे से 3 गुना है।

फेसला। छोटे कोण की डिग्री माप को x से निरूपित करें। तब बड़े कोण का घात माप Zx होगा। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° (प्रमेय 1) है, तो x + 3x = 180°, जहाँ से x = 45° है।
अतः आसन्न कोण 45° और 135° हैं।

उदाहरण 4दो ऊर्ध्वाधर कोणों का योग 100° होता है। चारों कोणों में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला। मान लीजिए आकृति 2 समस्या की स्थिति के अनुरूप है। COD से AOB तक के लंबवत कोण बराबर हैं (प्रमेय 2), जिसका अर्थ है कि उनके डिग्री माप भी बराबर हैं। इसलिए, COD = AOB = 50° (उनका योग शर्त के अनुसार 100° है)। कोण बीओडी (कोण एओसी भी) कोण सीओडी के निकट है, और इसलिए, प्रमेय 1 द्वारा
बीओडी = ∠ एओसी = 180° - 50° = 130°।

आसन्न कोने- दो कोण जिनमें एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, और अन्य दो एक दूसरे की निरंतरता होती है।

आसन्न कोणों का योग 180° . होता है

लंब कोणऐसे दो कोण हैं जिनमें एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की निरंतरता होती हैं।

लंबवत कोण बराबर होते हैं।

2. त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

मैं हस्ताक्षर करता हूँ: यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

द्वितीय संकेत: यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ और उसके आसन्न दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

तृतीय संकेत: यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं

3. दो रेखाओं के समांतरता के लक्षण: एक तरफा कोण, अनुप्रस्थ और संगत:

समतल में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

क्रॉसवाइज झूठ बोलने वाले कोण: 3 और 5, 4 और 6;

एकतरफा कोने: 4 और 5, 3 और 6; चावल। पेज 55

संगत कोण: 1 और 5, 4 और 8, 2 और 6, 3 और 7;

प्रमेय: यदि एक तिर्यक रेखा की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर स्थित कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।

प्रमेय: यदि किसी छेदक की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समांतर होती हैं।

प्रमेय: यदि एक छेदक की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक तरफा कोणों का योग 180° के बराबर हो, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।

प्रमेय: यदि दो समानांतर रेखाएं एक छेदक द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो अनुप्रस्थ कोण बराबर होते हैं

प्रमेय: यदि दो समांतर रेखाएं एक छेदक द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं

प्रमेय: यदि दो समांतर रेखाओं को एक छेदक द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो एक तरफा कोणों का योग 180° . होता है

4. त्रिभुज के कोणों का योग:

त्रिभुज के कोणों का योग 180° . होता है

5. एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण:

प्रमेय: एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

प्रमेय: एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींचा गया द्विभाजक माध्यिका होता है और ऊँचाई (माध्यिका इसके विपरीत होती है), (द्विभाजक कोण को समद्विभाजित करता है, माध्यिका भुजा को समद्विभाजित करती है, ऊँचाई 90 ° का कोण बनाती है)

चिन्ह: यदि किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समद्विबाहु होता है।

6. समकोण त्रिभुज:

सही त्रिकोणएक त्रिभुज है जिसमें एक कोण समकोण होता है (अर्थात यह 90 डिग्री होता है)

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पैर से लंबा होता है

1. एक समकोण त्रिभुज के दो न्यून कोणों का योग 90° . होता है

2. एक समकोण त्रिभुज की टांग, जो 30° के कोण के सम्मुख स्थित है, कर्ण के आधे के बराबर है

3. यदि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के आधे के बराबर है, तो इस पैर के सामने का कोण 30 ° . है

7. समबाहु त्रिभुज:

समबाहु त्रिभुज, एक सपाट आकृति जिसमें तीन भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं; भुजाओं द्वारा बनाए गए तीन आंतरिक कोण भी 60°C के बराबर और बराबर हैं।

8. पाप, क्योंकि, टीजी, सीटीजी:

पाप= , Cos= , tg= , ctg= , tg= ,सीटीजी=

9. चतुर्भुज के चिन्ह^

चतुर्भुज के कोणों का योग 2 π = 360° होता है।

एक चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि विपरीत कोणों का योग 180° . हो

10. त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

मैं हस्ताक्षर करता हूँ: यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे के दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं

द्वितीय संकेत: यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच लगे कोण बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

तृतीय संकेत: यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के समानुपाती हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं

11. सूत्र:

· पाइथागोरस प्रमेय: a 2 +b 2 =c 2

· पाप प्रमेय:

· कॉस प्रमेय:

· 3 त्रिभुज क्षेत्र सूत्र:

· एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल:एस = एस =

· एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल:

· समांतर चतुर्भुज क्षेत्र:एस = आह

· वर्गाकार क्षेत्र:एस = ए2

· ट्रेपेज़ियम क्षेत्र:

· समचतुर्भुज क्षेत्र:

· आयत क्षेत्र:एस = अब

· समान भुजाओं वाला त्रिकोण। ऊंचाई: एच =

· त्रिकोणमितीय इकाई:पाप 2 a+cos 2 a=1

· त्रिभुज की मध्य रेखा:एस =

· समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा:एमके=

©2015-2019 साइट
सभी अधिकार उनके लेखकों के हैं। यह साइट लेखकत्व का दावा नहीं करती है, लेकिन मुफ्त उपयोग प्रदान करती है।
पेज बनाने की तारीख: 2017-12-12

अध्याय 1।

बुनियादी अवधारणाओं।

§ग्यारह। आसन्न और लंबवत कोण।

1. आसन्न कोने।

यदि हम किसी कोने की भुजा को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें दो कोने प्राप्त होंगे (चित्र 72): / एक सूरज और / SVD, जिसमें एक भुजा BC उभयनिष्ठ है, और अन्य दो AB और BD एक सीधी रेखा बनाते हैं।

दो कोण जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और अन्य दो एक सीधी रेखा बनाते हैं, आसन्न कोण कहलाते हैं।

आसन्न कोण इस प्रकार भी प्राप्त किए जा सकते हैं: यदि हम एक सीधी रेखा पर किसी बिंदु से एक किरण खींचते हैं (दी गई सीधी रेखा पर स्थित नहीं है), तो हमें आसन्न कोण मिलते हैं।
उदाहरण के लिए, / एडीएफ और / FDВ - आसन्न कोने (चित्र। 73)।

आसन्न कोनों में विभिन्न प्रकार के स्थान हो सकते हैं (चित्र 74)।

आसन्न कोण एक सीधे कोण में जुड़ते हैं, इसलिए दो आसन्न कोणों का उमा है 2डी।

इसलिए, एक समकोण को उसके आसन्न कोण के बराबर कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

आसन्न कोणों में से एक का मान जानने के बाद, हम दूसरे आसन्न कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आसन्न कोणों में से एक 3/5 . है डी, तो दूसरा कोण इसके बराबर होगा:

2डी- 3 / 5 डी= एल 2 / 5 डी.

2. लंबवत कोण।

यदि हम किसी कोण की भुजाओं को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोण प्राप्त होते हैं। 75 आरेखण में, कोण EOF और AOC लंबवत हैं; कोण AOE और COF भी लंबवत हैं।

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं का विस्तार हों।

रहने दो / 1 = 7 / 8 डी(चित्र। 76)। इसके समीप / 2 बराबर होगा 2 डी- 7 / 8 डी, यानी 1 1/8 डी.

इसी तरह, आप गणना कर सकते हैं कि क्या बराबर हैं / 3 और / 4.
/ 3 = 2डी - 1 1 / 8 डी = 7 / 8 डी; / 4 = 2डी - 7 / 8 डी = 1 1 / 8 डी(चित्र। 77)।

हमने देखा कि / 1 = / 3 और / 2 = / 4.

आप समान समस्याओं में से कई को हल कर सकते हैं, और हर बार आपको एक ही परिणाम मिलता है: लंबवत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, व्यक्तिगत संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि विशेष उदाहरणों से निकाले गए निष्कर्ष कभी-कभी गलत हो सकते हैं।

तर्क द्वारा, प्रमाण द्वारा ऊर्ध्वाधर कोणों के गुण की वैधता को सत्यापित करना आवश्यक है।

प्रमाण निम्नानुसार किया जा सकता है (चित्र 78):

/ ए +/ सी = 2डी;
/ बी +/ सी = 2डी;

(चूंकि आसन्न कोणों का योग 2 . है डी).

/ ए +/ सी = / बी +/ सी

(चूंकि इस समानता का बायां भाग 2 . के बराबर है डी, और इसका दाहिना भाग भी 2 . के बराबर है डी).

इस समानता में एक ही कोण शामिल है साथ.

यदि हम समान मानों में से समान रूप से घटाते हैं, तो यह समान रूप से रहेगा। परिणाम होगा: / ए = / बी, यानी, ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर हैं।

ऊर्ध्वाधर कोणों के प्रश्न पर विचार करते समय, हमने पहले समझाया कि कौन से कोण लंबवत कहलाते हैं, अर्थात, हमने दिया परिभाषाऊर्ध्वाधर कोनों।

फिर हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की समानता के बारे में एक निर्णय (कथन) किया और हम प्रमाण द्वारा इस निर्णय की वैधता के बारे में आश्वस्त थे। ऐसे निर्णय, जिनकी वैधता सिद्ध की जानी चाहिए, कहलाते हैं प्रमेयों. इस प्रकार, इस भाग में हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की परिभाषा दी है, और उनके गुणधर्म के बारे में एक प्रमेय भी बताया और सिद्ध किया है।

भविष्य में, ज्यामिति का अध्ययन करते समय, हमें लगातार प्रमेयों की परिभाषाओं और प्रमाणों से मिलना होगा।

3. एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले कोणों का योग।

ड्राइंग 79 . पर / 1, / 2, / 3 और / 4 एक सीधी रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं और इस सीधी रेखा पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण एक सीधा कोण बनाते हैं, अर्थात।
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2डी.

ड्राइंग पर 80 / 1, / 2, / 3, / 4 और / 5 एक सामान्य शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण एक पूर्ण कोण बनाते हैं, अर्थात। / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4डी.

व्यायाम।

1. आसन्न कोणों में से एक 0.72 . है डी।इन आसन्न कोणों के द्विभाजक द्वारा बनाए गए कोण की गणना करें।

2. सिद्ध कीजिए कि दो आसन्न कोणों के समद्विभाजक एक समकोण बनाते हैं।

3. सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।

4. 81 ड्राइंग में आसन्न कोनों के कितने जोड़े हैं?

5. क्या आसन्न कोणों के युग्म में दो न्यून कोण हो सकते हैं? दो तिरछे कोनों से? समकोण और अधिक कोण से? एक समकोण और तीव्र कोण से?

6. यदि आसन्न कोणों में से एक समकोण है, तो उसके आसन्न कोण के मान के बारे में क्या कहा जा सकता है?

7. यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक समकोण हो, तो अन्य तीन कोणों के आकार के बारे में क्या कहा जा सकता है?