जाहिर है, शक्तियों वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें एक-एक करके उनके चिन्हों के साथ जोड़कर.

अत: a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चर की समान शक्तियांजोड़ा या घटाया जा सकता है।

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि हम दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a लेते हैं।

लेकिन डिग्री विभिन्न चरऔर विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों में जोड़कर जोड़ा जाना चाहिए।

अत: a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग होता है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, न तो a के वर्ग का दोगुना है, बल्कि a के घन का दोगुना है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही किया जाता है, सिवाय इसके कि सबट्रेंड के संकेतों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3एच 2 बी 6 - 4एच 2 बी 6 = -एच 2 बी 6
5 (ए - एच) 6 - 2 (ए - एच) 6 = 3 (ए - एच) 6

शक्ति गुणन

घातों वाली संख्याओं को उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना एक के बाद एक लिखकर अन्य राशियों की तरह गुणा किया जा सकता है।

तो, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
एक्स -3 ए एम = ए एम एक्स -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

अंतिम उदाहरण में परिणाम समान चर जोड़कर आदेश दिया जा सकता है।
व्यंजक रूप लेगा: a 5 b 5 y 3 ।

कई संख्याओं (चर) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) होता है जिसकी घात बराबर होती है जोड़शर्तों की डिग्री।

तो, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।

तो, a n .a m = a m+n ।

a n के लिए, a को n की घात जितनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

और a m को उतनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है, जितनी बार घात m के बराबर होता है;

इसलिए, समान आधार वाली घातों को घातांक जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 । और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6।

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन + 1

गुणा करें (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
उत्तर: x 4 - y 4।
गुणा करें (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1)।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सत्य है जिनके घातांक हैं - नकारात्मक.

1. तो, a -2 .a -3 = a -5 । इसे (1/आ) के रूप में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआ।

2. y-n .y-m = y-n-m ।

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 होगा, अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।

यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री।

तो, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 ।
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ।
(ए 4 - वाई 4)⋅(ए 4 + वाई 4) = ए 8 - वाई 8।

शक्तियों का विभाजन

घातांकों को भाजक से घटाकर या भिन्न रूप में रखकर अन्य संख्याओं की तरह विभाजित किया जा सकता है।

तो a 3 b 2 को b 2 से भाग देने पर a 3 होता है।

या:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 को 3 से विभाजित करना $\frac(a^5)(a^3)$ जैसा दिखता है। लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के संकेतक।

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं।.

तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 । यानी $\frac(yyy)(yy) = y$।

और a n+1:a = a n+1-1 = a n । यानी, $\frac(aa^n)(a) = a^n$।

या:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (बी + वाई) एन: 3 (बी + वाई) 3 = 4 (बी + वाई) एन -3

नियम संख्याओं के लिए भी मान्य है नकारात्मकडिग्री मान।
-5 को -3 से विभाजित करने का परिणाम एक -2 है।
साथ ही, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (एए) $।

एच 2: एच -1 = एच 2+1 = एच 3 या $ एच ^ 2: \ फ्रैक (1) (एच) = एच ^ 2। \ फ्रैक (एच) (1) = एच ^ 3 $

शक्तियों के गुणन और विभाजन में बहुत अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि इस तरह के ऑपरेशन बीजगणित में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

घातांक वाली संख्याओं वाले भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के उदाहरण

1. घातांक को $\frac(5a^4)(3a^2)$ में कम करें उत्तर: $\frac(5a^2)(3)$।

2. घातांक को $\frac(6x^6)(3x^5)$ में घटाएं। उत्तर: $\frac(2x)(1)$ या 2x।

3. घातांक a 2 / a 3 और a -3 / a -4 घटाएं और एक सामान्य हर में लाएं।
a 2 .a -4 एक -2 प्रथम अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 ।

4. घातांक 2a 4/5a 3 और 2/a 4 को घटाकर एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2a 3/5a 7 और 5a 5/5a 7 या 2a 3/5a 2 और 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।

8. 4 /y 3 को 3 /y 2 से भाग दें। उत्तर: ए / वाई।

9. (h 3 - 1)/d 4 को (d n + 1)/h से भाग दें।

) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।

भिन्न गुणन सूत्र:

उदाहरण के लिए:

अंशों और हरों के गुणन के साथ आगे बढ़ने से पहले, भिन्न में कमी की संभावना की जांच करना आवश्यक है। यदि आप भिन्न को कम करने का प्रबंधन करते हैं, तो आपके लिए गणना करना जारी रखना आसान होगा।

साधारण भिन्न का भिन्न से भाग।

एक प्राकृत संख्या वाले भिन्नों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्णांक को भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों का गुणन।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित में बदलना;
• भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करें;
• हम अंश को कम करते हैं;
• यदि हमें अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

टिप्पणी!मिश्रित भिन्न को किसी अन्य मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

टिप्पणी!किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि यह विकल्प उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जब एक अंश के हर को एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाजित किया जाता है।

बहुस्तरीय अंश।

हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग किया जाता है:

टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

टिप्पणी, उदाहरण के लिए:

एक को किसी भिन्न से भाग देने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:

भिन्नों को गुणा और भाग करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणना सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। अपने दिमाग में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले कार्यों में - साधारण भिन्नों के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक घटाते हैं जब तक कि इसे कम करना संभव न हो।

4. हम 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए बहु-स्तरीय भिन्नात्मक व्यंजकों को साधारण व्यंजकों में लाते हैं।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

पिछले पाठ में, हमने सीखा कि दशमलव भिन्नों को कैसे जोड़ना और घटाना है (पाठ "दशमलव भिन्नों को जोड़ना और घटाना")। उसी समय, उन्होंने अनुमान लगाया कि सामान्य "दो-कहानी" अंशों की तुलना में गणना कितनी सरल है।

दुर्भाग्य से, दशमलव अंशों के गुणा और भाग के साथ, यह प्रभाव नहीं होता है। कुछ मामलों में, दशमलव अंकन भी इन कार्यों को जटिल बनाता है।

सबसे पहले, आइए एक नई परिभाषा पेश करें। हम उससे बहुत बार मिलेंगे, और न केवल इस पाठ में।

किसी संख्या का महत्वपूर्ण हिस्सा ट्रेलरों सहित पहले और अंतिम गैर-शून्य अंकों के बीच सब कुछ है। हम केवल संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, दशमलव बिंदु को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

किसी संख्या के सार्थक भाग में सम्मिलित अंक सार्थक अंक कहलाते हैं। उन्हें दोहराया जा सकता है और शून्य के बराबर भी हो सकता है।

उदाहरण के लिए, कई दशमलव भिन्नों पर विचार करें और उनके संगत महत्वपूर्ण भागों को लिखें:

1. 91.25 → 9125 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (केवल एक महत्वपूर्ण आंकड़ा है: 3)।

कृपया ध्यान दें: संख्या के महत्वपूर्ण भाग के अंदर शून्य कहीं नहीं जाता है। जब हमने दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलना सीखा (पाठ "दशमलव भिन्न" देखें) तो हम पहले ही कुछ इसी तरह का सामना कर चुके हैं।

यह बिंदु बहुत महत्वपूर्ण है, और यहां इतनी बार त्रुटियां की जाती हैं कि मैं निकट भविष्य में इस विषय पर एक परीक्षण प्रकाशित करूंगा। अभ्यास करना सुनिश्चित करें! और हम, एक महत्वपूर्ण भाग की अवधारणा से लैस होकर, वास्तव में, पाठ के विषय पर आगे बढ़ेंगे।

दशमलव गुणन

गुणन संक्रिया में लगातार तीन चरण होते हैं:

1. प्रत्येक भिन्न के लिए महत्वपूर्ण भाग लिखिए। आपको दो साधारण पूर्णांक मिलेंगे - बिना किसी हर और दशमलव अंक के;
2. इन नंबरों को किसी भी सुविधाजनक तरीके से गुणा करें। सीधे, यदि संख्याएँ छोटी हैं, या किसी स्तंभ में हैं। हमें वांछित अंश का महत्वपूर्ण भाग मिलता है;
3. पता लगाएं कि संबंधित महत्वपूर्ण भाग प्राप्त करने के लिए दशमलव बिंदु को मूल भिन्नों में कहां और कितने अंकों से स्थानांतरित किया गया है। पिछले चरण में प्राप्त महत्वपूर्ण भाग पर रिवर्स शिफ्ट करें।

मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि महत्वपूर्ण भाग के किनारों पर शून्य को कभी भी ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस नियम की अनदेखी करने से त्रुटियां होती हैं।

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 1.08;
3. 132.5 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 10,000।

हम पहली अभिव्यक्ति के साथ काम करते हैं: 0.28 12.5।

1. आइए इस व्यंजक से संख्याओं के महत्वपूर्ण भाग लिखें: 28 और 125;
2. उनका उत्पाद: 28 125 = 3500;
3. पहले गुणक में, दशमलव बिंदु को 2 अंकों को दाईं ओर (0.28 → 28) स्थानांतरित किया जाता है, और दूसरे में - एक और 1 अंक। कुल मिलाकर, तीन अंकों के बाईं ओर एक बदलाव की आवश्यकता है: 3500 → 3.500 = 3.5।

अब आइए व्यंजक 6.3 1.08 से निपटें।

1. आइए महत्वपूर्ण भागों को लिखें: 63 और 108;
2. उनका उत्पाद: 63 108 = 6804;
3. फिर से, दो शिफ्ट दाईं ओर: क्रमशः 2 और 1 अंकों से। कुल मिलाकर - फिर से 3 अंक दाईं ओर, इसलिए रिवर्स शिफ्ट बाईं ओर 3 अंक होगी: 6804 → 6.804। इस बार अंत में कोई शून्य नहीं है।

हमें तीसरी अभिव्यक्ति मिली: 132.5 0.0034।

1. महत्वपूर्ण भाग: 1325 और 34;
2. उनका उत्पाद: 1325 34 = 45,050;
3. पहले अंश में, दशमलव बिंदु 1 अंक से दाईं ओर जाता है, और दूसरे में - 4 तक। कुल: 5 दाईं ओर। हम 5 से बाईं ओर शिफ्ट करते हैं: 45050 → .45050 = 0.4505। शून्य को अंत में हटा दिया गया था, और सामने जोड़ा गया ताकि "नंगे" दशमलव बिंदु न छोड़ें।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति: 0.0108 1600.5।

1. हम महत्वपूर्ण भाग लिखते हैं: 108 और 16 005;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 108 16 005 = 1 728 540;
3. हम दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं की गणना करते हैं: पहली संख्या में 4 हैं, दूसरे में - 1. कुल - फिर से 5. हमारे पास: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854 है। अंत में, "अतिरिक्त" शून्य हटा दिया गया था।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति: 5.25 10,000।

1. महत्वपूर्ण भाग: 525 और 1;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 525 1 = 525;
3. पहली भिन्न को 2 अंकों को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, और दूसरे भिन्न को 4 अंकों को बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है (10,000 → 1.0000 = 1)। कुल 4 - 2 = 2 अंक बाईं ओर। हम 2 अंकों से दाईं ओर एक रिवर्स शिफ्ट करते हैं: 525, → 52 500 (हमें शून्य जोड़ना था)।

अंतिम उदाहरण पर ध्यान दें: चूंकि दशमलव बिंदु अलग-अलग दिशाओं में चलता है, कुल बदलाव अंतर के माध्यम से होता है। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! यहाँ एक और उदाहरण है:

1.5 और 12,500 की संख्या पर विचार करें। हमारे पास: 1.5 → 15 (1 से दाईं ओर शिफ्ट); 12 500 → 125 (2 को बाईं ओर शिफ्ट करें)। हम दाईं ओर 1 अंक और फिर बाईं ओर 2 अंक "कदम" करते हैं। नतीजतन, हमने बाईं ओर 2 - 1 = 1 अंक बढ़ा दिया।

दशमलव विभाजन

डिवीजन शायद सबसे कठिन ऑपरेशन है। बेशक, यहां आप गुणन के साथ सादृश्य द्वारा कार्य कर सकते हैं: महत्वपूर्ण भागों को विभाजित करें, और फिर दशमलव बिंदु को "स्थानांतरित करें"। लेकिन इस मामले में, कई सूक्ष्मताएं हैं जो संभावित बचत को नकारती हैं।

तो आइए एक सामान्य एल्गोरिथ्म को देखें जो थोड़ा लंबा है, लेकिन बहुत अधिक विश्वसनीय है:

1. सभी दशमलवों को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलें। थोड़े से अभ्यास के साथ, यह कदम आपको कुछ ही सेकंड में ले जाएगा;
2. परिणामी भिन्नों को शास्त्रीय तरीके से विभाजित करें। दूसरे शब्दों में, पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करें (पाठ "संख्यात्मक अंशों का गुणा और भाग" देखें);
3. यदि संभव हो, तो परिणाम को दशमलव के रूप में लौटाएं। यह कदम भी तेज है, क्योंकि अक्सर हर में पहले से ही दस की शक्ति होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

हम पहली अभिव्यक्ति पर विचार करते हैं। सबसे पहले, आइए ओबी अंशों को दशमलव में बदलें:

हम दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करते हैं। पहले अंश का अंश फिर से कारकों में विघटित हो जाता है:

तीसरे और चौथे उदाहरण में एक महत्वपूर्ण बिंदु है: दशमलव अंकन से छुटकारा पाने के बाद, रद्द करने योग्य अंश दिखाई देते हैं। हालांकि, हम यह कटौती नहीं करेंगे।

अंतिम उदाहरण दिलचस्प है क्योंकि दूसरे अंश का अंश एक अभाज्य संख्या है। यहां कारक बनाने के लिए कुछ भी नहीं है, इसलिए हम इसे "रिक्त के माध्यम से" मानते हैं:

कभी-कभी विभाजन का परिणाम पूर्णांक में होता है (मैं अंतिम उदाहरण के बारे में बात कर रहा हूं)। इस मामले में, तीसरा चरण बिल्कुल नहीं किया जाता है।

इसके अलावा, विभाजित करते समय, "बदसूरत" अंश अक्सर दिखाई देते हैं जिन्हें दशमलव में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। यह वह जगह है जहां विभाजन गुणा से भिन्न होता है, जहां परिणाम हमेशा दशमलव रूप में व्यक्त किए जाते हैं। बेशक, इस मामले में, अंतिम चरण फिर से नहीं किया जाता है।

तीसरे और चौथे उदाहरण पर भी ध्यान दें। उनमें हम दशमलव से प्राप्त साधारण भिन्नों को जानबूझकर कम नहीं करते हैं। अन्यथा, यह व्युत्क्रम समस्या को जटिल बना देगा - अंतिम उत्तर को फिर से दशमलव रूप में प्रदर्शित करना।

याद रखें: एक भिन्न की मूल संपत्ति (गणित में किसी भी अन्य नियम की तरह) का अर्थ यह नहीं है कि इसे हर जगह और हमेशा, हर अवसर पर लागू किया जाना चाहिए।

उदाहरण।

बीजीय भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए और।

फेसला।

भिन्नों का गुणन करने से पहले, हम पहले भिन्न के अंश और दूसरे के हर में बहुपद का गुणनखंड करते हैं। संबंधित संक्षिप्त गुणन सूत्र इसमें हमारी सहायता करेंगे: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 और x 2 −1=(x−1) (x+1) । इस प्रकार, ।

जाहिर है, परिणामी अंश को कम किया जा सकता है (हमने इस प्रक्रिया की चर्चा बीजगणितीय भिन्नों के अपचयन पर लेख में की है)।

यह केवल परिणाम को बीजीय अंश के रूप में लिखने के लिए रहता है, जिसके लिए आपको बहुपद को हर में बहुपद से गुणा करना होगा: .

आमतौर पर, समाधान को बिना स्पष्टीकरण के समानता के अनुक्रम के रूप में लिखा जाता है:

जवाब:

.

कभी-कभी बीजगणितीय अंशों के साथ जिन्हें गुणा या विभाजित करने की आवश्यकता होती है, इन कार्यों के कार्यान्वयन को आसान और तेज़ बनाने के लिए कुछ परिवर्तन किए जाने चाहिए।

उदाहरण।

एक बीजीय भिन्न को भिन्न से भाग दें।

फेसला।

आइए भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाकर एक बीजीय भिन्न के रूप को सरल करें। ऐसा करने के लिए, हम इसके अंश और हर को 7 से गुणा करते हैं, जो हमें बीजीय भिन्न की मुख्य संपत्ति बनाने की अनुमति देता है, हमारे पास है .

अब यह स्पष्ट हो गया है कि परिणामी भिन्न का हर और जिस भिन्न से हमें विभाजित करने की आवश्यकता है उसका हर विपरीत व्यंजक हैं। भिन्न के अंश और हर के चिह्नों को बदलें, हमारे पास है .

शुद्ध गणित अपने तरीके से तार्किक विचार की कविता है। अल्बर्ट आइंस्टीन

इस लेख में, हम आपको सरल गणितीय ट्रिक्स का चयन प्रदान करते हैं, जिनमें से कई जीवन में काफी प्रासंगिक हैं और आपको तेजी से गिनने की अनुमति देते हैं।

1. तेज ब्याज गणना

शायद, ऋण और किश्तों के युग में, सबसे प्रासंगिक गणितीय कौशल को ब्याज की एक गुणी मानसिक गणना कहा जा सकता है। किसी संख्या के एक निश्चित प्रतिशत की गणना करने का सबसे तेज़ तरीका यह है कि दिए गए प्रतिशत को इस संख्या से गुणा करें और फिर परिणामी परिणाम में अंतिम दो अंकों को छोड़ दें, क्योंकि प्रतिशत कुछ और नहीं बल्कि एक सौवां है।

70 का 20% कितना होता है? 70 × 20 = 1400। हम दो अंक छोड़ते हैं और 14 प्राप्त करते हैं। जब आप कारकों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो उत्पाद नहीं बदलता है, और यदि आप 20 के 70% की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो उत्तर भी 14 होगा।

गोल संख्याओं के मामले में यह विधि बहुत सरल है, लेकिन क्या होगा यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, संख्या 72 या 29 का प्रतिशत? ऐसी स्थिति में, आपको गति के लिए सटीकता का त्याग करना होगा और संख्या को गोल करना होगा (हमारे उदाहरण में, 72 को 70 तक और 29 से 30 तक गोल किया गया है), और फिर उसी चाल का उपयोग करके अंतिम को गुणा और त्यागें दो अंक।

2. त्वरित विभाज्यता जांच

क्या 408 कैंडी को 12 बच्चों में बराबर बाँटा जा सकता है? कैलकुलेटर की मदद के बिना इस प्रश्न का उत्तर देना आसान है, अगर हम विभाज्यता के सरल संकेतों को याद करते हैं जो हमें स्कूल में वापस पढ़ाए गए थे।

• एक संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक 2 से विभाज्य हो।
• एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि संख्या बनाने वाले अंकों का योग 3 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, संख्या 501 लें, इसे 5 + 0 + 1 = 6 के रूप में निरूपित करें। 6, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या 501 स्वयं 3 से विभाज्य है।
• एक संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, 2340 लें। अंतिम दो अंक संख्या 40 बनाते हैं, जो 4 से विभाज्य है।
• एक संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक 0 या 5 है।
• एक संख्या 6 से विभाज्य है यदि वह 2 और 3 से विभाज्य है।
• एक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि संख्या बनाने वाले अंकों का योग 9 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 6,390 लें और इसे 6 + 3 + 9 + 0 = 18 के रूप में प्रस्तुत करें। 18, 9 से विभाज्य है, अर्थात संख्या 6 ही 390, 9 से विभाज्य है।
• एक संख्या 12 से विभाज्य है यदि वह 3 और 4 से विभाज्य है।

3. वर्गमूल की तेजी से गणना

4 का वर्गमूल 2 है। उसे कोई भी गिन सकता है। 85 के वर्गमूल के बारे में क्या?

एक त्वरित अनुमानित समाधान के लिए, हम दिए गए के लिए निकटतम वर्ग संख्या पाते हैं, इस मामले में यह 81 = 9^2 है।

अब अगला निकटतम वर्ग ज्ञात कीजिए। इस मामले में यह 100 = 10^2 है।

85 का वर्गमूल 9 और 10 के बीच कहीं है, और चूँकि 85, 100 की तुलना में 81 के करीब है, उस संख्या का वर्गमूल 9 कुछ है।

4. उस समय की त्वरित गणना जिसके बाद एक निश्चित प्रतिशत पर नकद जमा दोगुना हो जाएगा

क्या आप तुरंत पता लगाना चाहते हैं कि एक निश्चित ब्याज दर पर आपकी नकद जमा राशि को दोगुना करने में कितना समय लगेगा? कैलकुलेटर की भी आवश्यकता नहीं है, यह "72 का नियम" जानने के लिए पर्याप्त है।

हम अपनी ब्याज दर से संख्या 72 को विभाजित करते हैं, जिसके बाद हमें अनुमानित अवधि मिलती है जिसके बाद जमा राशि दोगुनी हो जाएगी।

यदि जमा 5% प्रतिवर्ष की दर से किया जाता है, तो इसे दोगुना होने में 14 वर्ष का समय लगेगा।

क्यों ठीक 72 (कभी-कभी वे 70 या 69 लेते हैं)? यह काम किस प्रकार करता है? इन सवालों के जवाब विकिपीडिया द्वारा विस्तार से दिए जाएंगे।

5. उस समय की त्वरित गणना जिसके बाद एक निश्चित प्रतिशत पर नकद जमा तीन गुना हो जाएगा

इस मामले में, जमा पर ब्याज दर 115 का भाजक बन जाना चाहिए।

अगर जमा 5 फीसदी सालाना की दर से किया जाता है तो इसे तिगुना होने में 23 साल लगेंगे।

6. प्रति घंटा की दर की त्वरित गणना

कल्पना कीजिए कि आप दो नियोक्ताओं के साथ साक्षात्कार कर रहे हैं जो सामान्य "रूबल प्रति माह" प्रारूप में वेतन नहीं देते हैं, लेकिन वार्षिक वेतन और प्रति घंटा वेतन के बारे में बात करते हैं। जल्दी से गणना कैसे करें कि वे कहाँ अधिक भुगतान करते हैं? जहां वार्षिक वेतन 360,000 रूबल है, या जहां वे प्रति घंटे 200 रूबल का भुगतान करते हैं?

वार्षिक वेतन की आवाज़ देते समय एक घंटे के काम के भुगतान की गणना करने के लिए, नामित राशि से अंतिम तीन वर्णों को छोड़ना आवश्यक है, और फिर परिणामी संख्या को 2 से विभाजित करें।

360,000 प्रति घंटे 360 2 = 180 रूबल में बदल जाता है। अन्य बातें समान होने पर पता चलता है कि दूसरा प्रस्ताव बेहतर है।

7. उंगलियों पर उन्नत गणित

आपकी उंगलियां साधारण जोड़ और घटाव की तुलना में बहुत अधिक करने में सक्षम हैं।

यदि आप अचानक गुणा तालिका भूल गए हैं तो अपनी उंगलियों से आप आसानी से 9 से गुणा कर सकते हैं।

आइए हाथों की उंगलियों को बाएं से दाएं 1 से 10 तक नंबर दें।

अगर हम 9 को 5 से गुणा करना चाहते हैं, तो हम बाईं ओर से पांचवीं उंगली को मोड़ते हैं।

आइए अब हाथों को देखें। यह मुड़ी हुई चार अंगुलियों को मोड़ता है। वे दसियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। और पाँच उँगलियाँ एक के बाद एक मुड़ी हुई। वे इकाइयों का प्रतिनिधित्व करते हैं। उत्तर: 45.

अगर हम 9 को 6 से गुणा करना चाहते हैं, तो हम छठी उंगली को बाईं ओर से मोड़ते हैं। हमें मुड़ी हुई उंगली से पहले पांच और बाद में चार उंगलियां मिलती हैं। उत्तर : 54.

इस प्रकार, आप गुणा के पूरे कॉलम को 9 से पुन: उत्पन्न कर सकते हैं।

8. 4 . से तेज गुणा

बिजली की तेजी से बड़ी संख्या को 4 से गुणा करने का एक बेहद आसान तरीका है। ऐसा करने के लिए, यह ऑपरेशन को दो चरणों में विघटित करने के लिए पर्याप्त है, वांछित संख्या को 2 से गुणा करके, और फिर 2 से।

अपने आप को देखो। हर कोई अपने दिमाग में 1,223 को तुरंत 4 से गुणा नहीं कर सकता। और अब हम 1223 × 2 = 2446 और फिर 2446 × 2 = 4892 करते हैं। यह बहुत आसान है।

9. आवश्यक न्यूनतम का त्वरित निर्धारण

कल्पना कीजिए कि आप पांच परीक्षणों की एक श्रृंखला ले रहे हैं, जिसके लिए आपको उत्तीर्ण होने के लिए न्यूनतम 92 अंकों की आवश्यकता है। अंतिम परीक्षा बनी हुई है, और पिछले वाले के परिणाम हैं: 81, 98, 90, 93। आवश्यक की गणना कैसे करें न्यूनतम कि आपको अंतिम परीक्षा में प्राप्त करने की आवश्यकता है?

ऐसा करने के लिए, हम इस बात पर विचार करते हैं कि पहले से उत्तीर्ण परीक्षणों में हम कितने अंक चूक गए / चले गए, नकारात्मक संख्याओं के साथ कमी को दर्शाते हुए, और एक मार्जिन के साथ परिणाम - सकारात्मक।

तो, 81 - 92 = -11; 98 - 92 = 6; 90 - 92 = -2; 93 - 92 = 1.

इन संख्याओं को जोड़ने पर, हम आवश्यक न्यूनतम के लिए समायोजन प्राप्त करते हैं: -11 + 6 - 2 + 1 = -6।

यह 6 अंकों की कमी को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि आवश्यक न्यूनतम वृद्धि: 92 + 6 = 98। चीजें खराब हैं। :(

10. एक साधारण भिन्न के मान का त्वरित निरूपण

यदि आप पहली बार इसे सरल और समझने योग्य अनुपात: 1/4, 1/3, 1/2 और 3/4 पर लाते हैं, तो एक साधारण अंश का अनुमानित मान बहुत तेज़ी से दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक अंश 28/77 है, जो 28/84 = 1/3 के बहुत करीब है, लेकिन चूंकि हमने हर को बढ़ाया है, मूल संख्या थोड़ी बड़ी होगी, यानी 0.33 से थोड़ी अधिक।

11. संख्या अनुमान लगाने की ट्रिक

आप डेविड ब्लेन का थोड़ा सा खेल सकते हैं और अपने दोस्तों को एक दिलचस्प लेकिन बहुत ही सरल गणित की चाल से आश्चर्यचकित कर सकते हैं।

1. किसी मित्र से किसी पूर्ण संख्या का अनुमान लगाने के लिए कहें।
2. उसे 2 से गुणा करने दें।
3. फिर परिणामी संख्या में 9 जोड़ें।
4. अब परिणामी संख्या में से 3 घटाते हैं।
5. और अब उसे परिणामी संख्या को आधे में विभाजित करने दें (इसे बिना किसी शेष के विभाजित किया जाएगा)।
6. अंत में, उसे परिणामी संख्या में से उस संख्या को घटाने के लिए कहें, जिसके बारे में उसने शुरुआत में सोचा था।

उत्तर हमेशा 3 होगा।

हाँ, बहुत बेवकूफ, लेकिन अक्सर प्रभाव सभी अपेक्षाओं से अधिक होता है।

बक्शीश

और, ज़ाहिर है, हम इस पोस्ट में उसी तस्वीर को गुणा करने के बहुत अच्छे तरीके से डालने में मदद नहीं कर सके।