क्या आप जानना चाहते हैं कि आपके दांव के सफल होने की गणितीय संभावनाएं क्या हैं? तो हमारे पास आपके लिए दो खुशखबरी है। पहला: पेटेंट की गणना करने के लिए, आपको जटिल गणना करने और बहुत समय बिताने की आवश्यकता नहीं है। सरल सूत्रों का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है, जिसके साथ काम करने में कुछ मिनट लगेंगे। दूसरा, इस लेख को पढ़ने के बाद, आप आसानी से अपने किसी भी ट्रेड को पास करने की संभावना की गणना करने में सक्षम होंगे।

पेटेंट को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, आपको तीन कदम उठाने होंगे:

• सट्टेबाज के कार्यालय के अनुसार किसी घटना के परिणाम की संभावना के प्रतिशत की गणना करें;
• सांख्यिकीय डेटा से संभाव्यता की गणना स्वयं करें;
• दोनों संभावनाओं को देखते हुए एक दांव का मूल्य ज्ञात कीजिए।

आइए हम न केवल सूत्रों, बल्कि उदाहरणों का भी उपयोग करते हुए प्रत्येक चरण पर विस्तार से विचार करें।

तेज़ मार्ग

बेटिंग ऑड्स में सन्निहित प्रायिकता की गणना

पहला कदम यह पता लगाना है कि सट्टेबाज किस संभावना के साथ किसी विशेष परिणाम की संभावना का मूल्यांकन करता है। आखिरकार, यह स्पष्ट है कि सट्टेबाज इस तरह से दांव नहीं लगाते हैं। इसके लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

पीबी=(1/कश्मीर)*100%,

जहां पी बी बुकमेकर के कार्यालय के अनुसार परिणाम की संभावना है;

K - सट्टेबाज परिणाम के लिए ऑड्स।

मान लीजिए कि बायर्न के खिलाफ द्वंद्वयुद्ध में लंदन आर्सेनल की जीत की संभावना 4 है। इसका मतलब है कि बीसी द्वारा इसकी जीत की संभावना को (1/4) * 100% = 25% माना जाता है। या जोकोविच साउथ के खिलाफ खेल रहे हैं। नोवाक की जीत का गुणक 1.2 है, उसकी संभावना (1/1.2)*100%=83% के बराबर है।

इस प्रकार सट्टेबाज स्वयं प्रत्येक खिलाड़ी और टीम के लिए सफलता की संभावना का मूल्यांकन करता है। पहला चरण पूरा करने के बाद, हम दूसरे पर आगे बढ़ते हैं।

खिलाड़ी द्वारा किसी घटना की संभावना की गणना

हमारी योजना का दूसरा बिंदु घटना की संभावना का हमारा अपना आकलन है। चूंकि हम गणितीय रूप से प्रेरणा, गेम टोन जैसे मापदंडों को ध्यान में नहीं रख सकते हैं, हम एक सरलीकृत मॉडल का उपयोग करेंगे और केवल पिछली बैठकों के आंकड़ों का उपयोग करेंगे। किसी परिणाम की सांख्यिकीय संभावना की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

पीऔर\u003d (यूएम / एम) * 100%,

कहाँ पेपीऔर- खिलाड़ी के अनुसार घटना की संभावना;

UM - सफल मैचों की संख्या जिसमें ऐसा आयोजन हुआ;

एम मैचों की कुल संख्या है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए उदाहरण दें। एंडी मरे और राफेल नडाल ने 14 मैच खेले हैं। उनमें से 6 में, कुल 21 से कम खेल दर्ज किए गए, 8 में - कुल ओवर। यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि अगला मैच कुल ओवर के लिए खेला जाएगा: (8/14)*100=57%। वालेंसिया ने मेस्टल्ला में एटलेटिको के खिलाफ 74 मैच खेले, जिसमें उन्होंने 29 जीत हासिल की। वालेंसिया के जीतने की प्रायिकता: (29/74)*100%=39%।

और हम सभी इसे केवल पिछले खेलों के आंकड़ों के लिए धन्यवाद जानते हैं! स्वाभाविक रूप से, किसी नई टीम या खिलाड़ी के लिए ऐसी संभावना की गणना नहीं की जा सकती है, इसलिए सट्टेबाजी की यह रणनीति केवल उन मैचों के लिए उपयुक्त है जिनमें विरोधी पहली बार नहीं मिलते हैं। अब हम जानते हैं कि सट्टेबाजी और परिणामों की अपनी संभावनाओं का निर्धारण कैसे किया जाता है, और हमारे पास अंतिम चरण तक जाने के लिए सभी ज्ञान हैं।

एक शर्त के मूल्य का निर्धारण

दांव का मूल्य (मूल्यवानता) और पास करने की क्षमता सीधे संबंधित हैं: मूल्यांकन जितना अधिक होगा, पास होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। मूल्य की गणना निम्नानुसार की जाती है:

वी =पीऔर* के -100%,

जहां वी मूल्य है;

पीआई - बेहतर के अनुसार परिणाम की संभावना;

K - सट्टेबाज परिणाम के लिए ऑड्स।

मान लीजिए कि हम रोमा के खिलाफ मैच जीतने के लिए मिलान पर दांव लगाना चाहते हैं और हमने गणना की कि रेड-ब्लैक के जीतने की संभावना 45% है। बुकमेकर हमें इस परिणाम के लिए 2.5 का गुणांक प्रदान करता है। क्या ऐसा दांव मूल्यवान होगा? हम गणना करते हैं: वी \u003d 45% * 2.5-100% \u003d 12.5%। बढ़िया, हमारे पास पास होने की अच्छी संभावनाओं के साथ एक मूल्यवान शर्त है।

चलिए एक और मामला लेते हैं। मारिया शारापोवा पेट्रा क्वितोवा के खिलाफ खेलती हैं। हम मारिया के जीतने के लिए एक सौदा करना चाहते हैं, जिसकी हमारी गणना के अनुसार, 60% संभावना है। सट्टेबाज इस परिणाम के लिए 1.5 के गुणक की पेशकश करते हैं। मान निर्धारित करें: वी = 60% * 1.5-100 = -10%। जैसा कि आप देख सकते हैं, इस दांव का कोई मूल्य नहीं है और इससे बचना चाहिए।

एक ऑन्कोलॉजिकल श्रेणी के रूप में किसी भी स्थिति में किसी भी इकाई के उभरने की संभावना के माप को दर्शाता है। इस अवधारणा की गणितीय और तार्किक व्याख्याओं के विपरीत, ऑटोलॉजिकल वी। खुद को मात्रात्मक अभिव्यक्ति की आवश्यकता से नहीं जोड़ता है। V. का मान नियतिवाद और सामान्य रूप से विकास की प्रकृति को समझने के संदर्भ में प्रकट होता है।

महान परिभाषा

अधूरी परिभाषा

संभावना

एक अवधारणा जो मात्राओं की विशेषता है। एक निश्चित घटना के एक निश्चित समय पर प्रकट होने की संभावना का एक उपाय। स्थितियाँ। वैज्ञानिक में ज्ञान वी की तीन व्याख्याएं हैं। वी की शास्त्रीय अवधारणा, जो गणितीय से उत्पन्न हुई। जुए का विश्लेषण और बी. पास्कल, जे. बर्नौली और पी. लाप्लास द्वारा पूरी तरह से विकसित, वी को अनुकूल मामलों की संख्या के अनुपात के रूप में सभी समान रूप से संभव की कुल संख्या के रूप में मानता है। उदाहरण के लिए, जब एक पासे को 6 भुजाओं के साथ फेंका जाता है, तो उनमें से प्रत्येक से 1/6 के बराबर V आने की उम्मीद की जा सकती है, क्योंकि किसी भी पक्ष को दूसरे पर लाभ नहीं होता है। खेलों का आयोजन करते समय अनुभव के परिणामों की ऐसी समरूपता को विशेष रूप से ध्यान में रखा जाता है, लेकिन विज्ञान और अभ्यास में वस्तुनिष्ठ घटनाओं के अध्ययन में अपेक्षाकृत दुर्लभ है। क्लासिक वी. की व्याख्या ने सांख्यिकीय को रास्ता दिया। वी. की अवधारणाएं, जिसके मूल में मान्य हैं। अवधि के दौरान एक निश्चित घटना की उपस्थिति का अवलोकन। ठीक निश्चित परिस्थितियों में अनुभव। अभ्यास इस बात की पुष्टि करता है कि जितनी अधिक बार कोई घटना घटित होती है, उसके घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना की डिग्री उतनी ही अधिक होती है, या वी। इसलिए, सांख्यिकीय। वी. की व्याख्या संबंधित की अवधारणा पर आधारित है। आवृत्तियों, एक कटौती को अनुभवजन्य रूप से निर्धारित किया जा सकता है। वी। सैद्धांतिक के रूप में। अवधारणा कभी भी एक अनुभवजन्य रूप से निर्धारित आवृत्ति के साथ मेल नहीं खाती है, हालांकि, कई मायनों में। मामलों में, यह व्यावहारिक रूप से रिश्तेदार से बहुत कम भिन्न होता है। अवधि के परिणामस्वरूप आवृत्ति पाई गई। अवलोकन। कई सांख्यिकीविद वी. को "डबल" के रूप में संदर्भित करते हैं। आवृत्ति, बढ़त सांख्यिकीय द्वारा निर्धारित की जाती है। अवलोकन परिणामों का अध्ययन

या प्रयोग। वी की परिभाषा कम यथार्थवादी थी जैसा कि सीमा से संबंधित है। आर. मिसेस द्वारा प्रस्तावित सामूहिक घटनाओं या सामूहिक घटनाओं की आवृत्तियाँ। वी। के लिए आवृत्ति दृष्टिकोण के एक और विकास के रूप में, एक स्वभाव, या प्रवृत्ति, वी की व्याख्या को आगे रखा गया है (के। पॉपर, जे। हेकिंग, एम। बंज, टी। सेटल)। इस व्याख्या के अनुसार, वी। उदाहरण के लिए, परिस्थितियों को उत्पन्न करने की संपत्ति की विशेषता है। प्रयोग। स्थापना, बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं का एक क्रम प्राप्त करने के लिए। यह वह रवैया है जो भौतिक को जन्म देता है स्वभाव, या पूर्वाग्रह, V. to-rykh को रिश्तेदार के माध्यम से जांचा जा सकता है। आवृत्तियों।

सांख्यिकीय वी. की व्याख्या वैज्ञानिक पर हावी है। ज्ञान, क्योंकि यह विशिष्ट को दर्शाता है। एक यादृच्छिक प्रकृति की सामूहिक घटनाओं में निहित पैटर्न की प्रकृति। कई भौतिक, जैविक, आर्थिक, जनसांख्यिकीय में और अन्य सामाजिक प्रक्रियाओं में, कई यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई को ध्यान में रखना आवश्यक है, राई को एक स्थिर आवृत्ति द्वारा विशेषता है। इस स्थिर आवृत्ति और मात्रा की पहचान। वी की मदद से इसका मूल्यांकन आवश्यकता को प्रकट करना संभव बनाता है, जो कई दुर्घटनाओं की संचयी कार्रवाई के माध्यम से अपना रास्ता बनाता है। यह वह जगह है जहाँ अवसर के आवश्यकता में परिवर्तन की द्वंद्वात्मकता अपनी अभिव्यक्ति पाती है (देखें एफ। एंगेल्स, पुस्तक में: के। मार्क्स और एफ। एंगेल्स, सोच।, वॉल्यूम। 20, पीपी। 535-36)।

तार्किक या आगमनात्मक तर्क परिसर और गैर-प्रदर्शनकारी और विशेष रूप से, आगमनात्मक तर्क के निष्कर्ष के बीच संबंध को दर्शाता है। कटौती के विपरीत, प्रेरण के परिसर निष्कर्ष की सच्चाई की गारंटी नहीं देते हैं, लेकिन केवल इसे कम या ज्यादा प्रशंसनीय बनाते हैं। इस विश्वसनीयता, सटीक रूप से तैयार परिसर के साथ, कभी-कभी वी की मदद से अनुमान लगाया जा सकता है। इस वी का मूल्य अक्सर तुलना करके निर्धारित किया जाता है। अवधारणाएँ (इससे अधिक, कम या बराबर), और कभी-कभी संख्यात्मक तरीके से। तर्क व्याख्या का उपयोग अक्सर आगमनात्मक तर्क का विश्लेषण करने और संभाव्य तर्कशास्त्र की विभिन्न प्रणालियों के निर्माण के लिए किया जाता है (आर। कार्नाप, आर। जेफरी)। शब्दार्थ में तार्किक अवधारणाएं। वी को अक्सर दूसरों द्वारा एक कथन की पुष्टि की डिग्री के रूप में परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के लिए, इसके अनुभवजन्य डेटा की परिकल्पना)।

निर्णय लेने और खेल के सिद्धांतों के विकास के संबंध में, तथाकथित। वी की व्यक्तिगत व्याख्या। हालांकि इस मामले में वी। विषय के विश्वास की डिग्री और एक निश्चित घटना की घटना को व्यक्त करता है, वी। खुद को इस तरह से चुना जाना चाहिए कि वी की गणना के स्वयंसिद्ध संतुष्ट हैं। इसलिए, वी। इस तरह की व्याख्या के साथ तर्कसंगत विश्वास के रूप में व्यक्तिपरक की डिग्री इतनी ज्यादा नहीं व्यक्त करता है। नतीजतन, ऐसे वी के आधार पर किए गए निर्णय तर्कसंगत होंगे, क्योंकि वे मनोवैज्ञानिक को ध्यान में नहीं रखते हैं। विषय की विशेषताएं और झुकाव।

ज्ञानमीमांसा से टी. सपा. सांख्यिकीय के बीच अंतर। तार्किक। और वी। की व्यक्तिगत व्याख्या इस तथ्य में निहित है कि यदि पहले एक यादृच्छिक प्रकृति के बड़े पैमाने पर घटना के उद्देश्य गुणों और संबंधों की विशेषता है, तो अंतिम दो व्यक्तिपरक, संज्ञानात्मक की विशेषताओं का विश्लेषण करते हैं। अनिश्चितता की स्थिति में मानवीय गतिविधियाँ।

संभावना

विज्ञान की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, दुनिया की एक विशेष प्रणालीगत दृष्टि, इसकी संरचना, विकास और अनुभूति की विशेषता है। दुनिया के संभाव्य दृष्टिकोण की विशिष्टता अस्तित्व की बुनियादी अवधारणाओं के बीच मौका, स्वतंत्रता और पदानुक्रम (संरचना और प्रणालियों के निर्धारण में स्तरों के विचार) की अवधारणाओं को शामिल करने के माध्यम से प्रकट होती है।

संभाव्यता के बारे में विचार पुरातनता में उत्पन्न हुए और हमारे ज्ञान की विशेषताओं से संबंधित थे, जबकि संभाव्य ज्ञान की उपस्थिति को मान्यता दी गई थी, जो विश्वसनीय ज्ञान और असत्य से भिन्न है। वैज्ञानिक सोच पर प्रायिकता के विचार का प्रभाव, ज्ञान के विकास पर गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता के सिद्धांत के विकास से सीधा संबंध है। संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत की उत्पत्ति 17 वीं शताब्दी में हुई, जब अवधारणाओं के मूल का विकास जो अनुमति देता है। मात्रात्मक (संख्यात्मक) विशेषताओं और एक संभाव्य विचार व्यक्त करना।

ज्ञान के विकास के लिए संभाव्यता के गहन अनुप्रयोग दूसरी मंजिल पर आते हैं। 19- पहली मंजिल। 20 वीं सदी शास्त्रीय सांख्यिकीय भौतिकी, आनुवंशिकी, क्वांटम सिद्धांत, साइबरनेटिक्स (सूचना सिद्धांत) जैसे प्रकृति के ऐसे मौलिक विज्ञानों की संरचनाओं में प्रायिकता प्रवेश कर गई है। तदनुसार, संभाव्यता विज्ञान के विकास में उस चरण का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे अब गैर-शास्त्रीय विज्ञान के रूप में परिभाषित किया गया है। संभाव्य सोच के तरीके की नवीनता, विशेषताओं को प्रकट करने के लिए, संभाव्यता सिद्धांत के विषय के विश्लेषण और इसके कई अनुप्रयोगों की नींव से आगे बढ़ना आवश्यक है। संभाव्यता सिद्धांत को आमतौर पर गणितीय अनुशासन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कुछ शर्तों के तहत बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटना के नियमों का अध्ययन करता है। यादृच्छिकता का अर्थ है कि सामूहिक चरित्र के ढांचे के भीतर, प्रत्येक प्राथमिक घटना का अस्तित्व अन्य घटनाओं के अस्तित्व पर निर्भर नहीं करता है और न ही निर्धारित होता है। इसी समय, घटना की बहुत ही द्रव्यमान प्रकृति में एक स्थिर संरचना होती है, जिसमें कुछ नियमितताएं होती हैं। एक द्रव्यमान घटना को काफी सख्ती से उप-प्रणालियों में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक उप-प्रणालियों (सापेक्ष आवृत्ति) में प्राथमिक घटनाओं की सापेक्ष संख्या बहुत स्थिर होती है। इस स्थिरता की तुलना प्रायिकता से की जाती है। समग्र रूप से एक सामूहिक घटना को संभावनाओं के वितरण की विशेषता है, अर्थात, उप-प्रणालियों का असाइनमेंट और उनकी संबंधित संभावनाएं। संभाव्यता सिद्धांत की भाषा संभाव्यता वितरण की भाषा है। तदनुसार, संभाव्यता के सिद्धांत को वितरण के साथ संचालन के सार विज्ञान के रूप में परिभाषित किया गया है।

संभाव्यता ने विज्ञान में सांख्यिकीय नियमितताओं और सांख्यिकीय प्रणालियों के बारे में विचारों को जन्म दिया। उत्तरार्द्ध स्वतंत्र या अर्ध-स्वतंत्र संस्थाओं से बने सिस्टम हैं, उनकी संरचना संभाव्यता वितरण द्वारा विशेषता है। लेकिन स्वतंत्र संस्थाओं से सिस्टम बनाना कैसे संभव है? आमतौर पर यह माना जाता है कि अभिन्न विशेषताओं वाली प्रणालियों के निर्माण के लिए, यह आवश्यक है कि उनके तत्वों के बीच पर्याप्त रूप से स्थिर बंधन हों जो सिस्टम को मजबूत करते हैं। सांख्यिकीय प्रणालियों की स्थिरता बाहरी परिस्थितियों, बाहरी वातावरण, आंतरिक बलों के बजाय बाहरी की उपस्थिति से दी जाती है। संभाव्यता की परिभाषा हमेशा प्रारंभिक द्रव्यमान घटना के गठन के लिए शर्तों को निर्धारित करने पर आधारित होती है। एक अन्य महत्वपूर्ण विचार जो संभाव्य प्रतिमान की विशेषता है, वह है पदानुक्रम (अधीनता) का विचार। यह विचार व्यक्तिगत तत्वों की विशेषताओं और प्रणालियों की अभिन्न विशेषताओं के बीच संबंध को व्यक्त करता है: उत्तरार्द्ध, जैसा कि यह था, पूर्व के शीर्ष पर बनाया गया है।

अनुभूति में संभाव्य तरीकों का महत्व इस तथ्य में निहित है कि वे हमें वस्तुओं और प्रणालियों की संरचना और व्यवहार के पैटर्न का पता लगाने और सैद्धांतिक रूप से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं जिनमें एक पदानुक्रमित, "दो-स्तरीय" संरचना होती है।

संभाव्यता की प्रकृति का विश्लेषण इसकी आवृत्ति, सांख्यिकीय व्याख्या पर आधारित है। साथ ही, बहुत लंबे समय तक विज्ञान में प्रायिकता की ऐसी समझ हावी रही, जिसे तार्किक, या आगमनात्मक, संभाव्यता कहा गया। तार्किक संभावना कुछ शर्तों के तहत एक अलग, व्यक्तिगत निर्णय की वैधता के सवालों में रुचि रखती है। क्या मात्रात्मक रूप में आगमनात्मक निष्कर्ष (काल्पनिक निष्कर्ष) की पुष्टि (विश्वसनीयता, सत्य) की डिग्री का आकलन करना संभव है? संभाव्यता के सिद्धांत के गठन के दौरान, ऐसे प्रश्नों पर बार-बार चर्चा की गई, और वे काल्पनिक निष्कर्षों की पुष्टि की डिग्री के बारे में बात करने लगे। संभाव्यता का यह माप किसी दिए गए व्यक्ति के निपटान में जानकारी, उसके अनुभव, दुनिया पर विचार और मनोवैज्ञानिक मानसिकता से निर्धारित होता है। ऐसे सभी मामलों में, संभाव्यता का परिमाण सख्त माप के लिए उत्तरदायी नहीं है और व्यावहारिक रूप से एक सुसंगत गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता सिद्धांत की क्षमता से बाहर है।

विज्ञान में एक उद्देश्य, प्रायिकता की आवृत्ति व्याख्या काफी कठिनाई से स्थापित की गई थी। प्रारंभ में, संभाव्यता की प्रकृति की समझ उन दार्शनिक और पद्धतिगत विचारों से काफी प्रभावित थी जो शास्त्रीय विज्ञान की विशेषता थी। ऐतिहासिक रूप से, भौतिकी में संभाव्य तरीकों का गठन यांत्रिकी के विचारों के निर्णायक प्रभाव में हुआ: सांख्यिकीय प्रणालियों को केवल यांत्रिक के रूप में माना जाता था। चूंकि संबंधित समस्याओं को यांत्रिकी के सख्त तरीकों से हल नहीं किया गया था, बयान सामने आए कि संभाव्य तरीकों और सांख्यिकीय नियमितताओं के लिए अपील हमारे ज्ञान की अपूर्णता का परिणाम है। शास्त्रीय सांख्यिकीय भौतिकी के विकास के इतिहास में, शास्त्रीय यांत्रिकी के आधार पर इसे प्रमाणित करने के कई प्रयास किए गए हैं, लेकिन वे सभी असफल रहे। संभाव्यता का आधार यह है कि यह यांत्रिकी की प्रणालियों के अलावा, सिस्टम के एक निश्चित वर्ग की संरचना की विशेषताओं को व्यक्त करता है: इन प्रणालियों के तत्वों की स्थिति अस्थिरता और एक विशेष (यांत्रिकी के लिए कम नहीं) बातचीत की प्रकृति की विशेषता है। .

अनुभूति में संभाव्यता के प्रवेश से कठोर नियतत्ववाद की अवधारणा का खंडन होता है, शास्त्रीय विज्ञान के निर्माण की प्रक्रिया में विकसित होने और अनुभूति के मूल मॉडल से इनकार किया जाता है। सांख्यिकीय सिद्धांतों द्वारा प्रस्तुत मूल मॉडल एक अलग, अधिक सामान्य प्रकृति के हैं: उनमें यादृच्छिकता और स्वतंत्रता के विचार शामिल हैं। संभाव्यता का विचार वस्तुओं और प्रणालियों की आंतरिक गतिशीलता के प्रकटीकरण से जुड़ा है, जिसे बाहरी परिस्थितियों और परिस्थितियों से पूरी तरह से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

दुनिया की एक संभाव्य दृष्टि की अवधारणा, स्वतंत्रता के बारे में विचारों की निरपेक्षता (पहले की तरह, कठोर दृढ़ संकल्प के प्रतिमान) पर आधारित है, ने अब अपनी सीमाओं का खुलासा किया है, जो आधुनिक विज्ञान के जटिल अध्ययन के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों के संक्रमण को सबसे अधिक प्रभावित करता है। संगठित प्रणाली और स्व-संगठन घटना की भौतिक और गणितीय नींव।

महान परिभाषा

अधूरी परिभाषा

संभावनाओं पर कार्रवाई की आवश्यकता तब होती है जब कुछ घटनाओं की संभावनाएं ज्ञात होती हैं, और इन घटनाओं से जुड़ी अन्य घटनाओं की संभावनाओं की गणना करने की आवश्यकता होती है।

संभाव्यता जोड़ का उपयोग तब किया जाता है जब संयोजन की संभावना या यादृच्छिक घटनाओं के तार्किक योग की गणना करना आवश्यक होता है।

घटनाओं का योग एऔर बीनामित ए + बीया ए ∪ बी. दो घटनाओं का योग एक घटना है जो तब होती है जब और केवल तभी होती है जब कम से कम एक घटना घटित होती है। इसका मतलब है कि ए + बी- एक घटना जो तब होती है जब अवलोकन के दौरान कोई घटना होती है एया घटना बी, या एक ही समय में एऔर बी.

अगर घटनाएं एऔर बीपारस्परिक रूप से असंगत हैं और उनकी संभावनाएं दी गई हैं, एक परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक घटना होने की संभावना की गणना संभावनाओं के योग का उपयोग करके की जाती है।

प्रायिकताओं के योग का प्रमेय।दो परस्पर असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय दो गोलियां चलाई गईं। घटना लेकिन- पहले शॉट से डक मारना, घटना पर- दूसरे शॉट से हिट, घटना ( लेकिन+ पर) - पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा। तो अगर दो घटनाएं लेकिनऔर परअसंगत घटनाएँ हैं, तो लेकिन+ पर- इनमें से कम से कम एक घटना या दो घटनाओं का होना।

उदाहरण 1एक बॉक्स में समान आकार की 30 गेंदें हैं: 10 लाल, 5 नीली और 15 सफेद। इस संभावना की गणना करें कि एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद बिना देखे ही ली जाती है।

फेसला। आइए मान लें कि घटना लेकिन- "लाल गेंद ली जाती है", और घटना पर- "नीली गेंद ली गई है।" फिर घटना है "एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद ली जाती है"। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए लेकिन:

और घटनाएं पर:

आयोजन लेकिनऔर पर- परस्पर असंगत, क्योंकि यदि एक गेंद ली जाती है, तो विभिन्न रंगों की गेंदें नहीं ली जा सकतीं। इसलिए, हम संभावनाओं के जोड़ का उपयोग करते हैं:

कई असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय।यदि घटनाएँ घटनाओं का पूरा समूह बनाती हैं, तो उनकी प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होता है:

विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग भी 1 के बराबर होता है:

विपरीत घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा सेट बनाती हैं, और घटनाओं के एक पूरे सेट की संभावना 1 है।

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं को आमतौर पर छोटे अक्षरों में दर्शाया जाता है। पीऔर क्यू. विशेष रूप से,

जिससे विपरीत घटनाओं की प्रायिकता के लिए निम्नलिखित सूत्र अनुसरण करते हैं:

उदाहरण 2डैश में लक्ष्य को 3 जोनों में बांटा गया है। संभावना है कि एक निश्चित शूटर पहले ज़ोन में एक लक्ष्य पर गोली मारेगा 0.15, दूसरे ज़ोन में - 0.23, तीसरे ज़ोन में - 0.17। निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता और निशानेबाज के निशाने से चूकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शूटर लक्ष्य से चूक जाता है:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" ।

पारस्परिक रूप से संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का जोड़

दो यादृच्छिक घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है यदि एक घटना की घटना एक ही अवलोकन में दूसरी घटना की घटना को रोकती नहीं है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकते समय, घटना लेकिनसंख्या 4 की घटना माना जाता है, और घटना पर- एक सम संख्या गिराना। चूँकि संख्या 4 एक सम संख्या है, इसलिए दोनों घटनाएँ संगत हैं। व्यवहार में, पारस्परिक रूप से संयुक्त घटनाओं में से एक की घटना की संभावनाओं की गणना के लिए कार्य हैं।

संयुक्त घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय।संयुक्त घटनाओं में से एक होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है, जिसमें से दोनों घटनाओं की सामान्य घटना की संभावना घटा दी जाती है, यानी संभावनाओं का उत्पाद। संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का सूत्र इस प्रकार है:

क्योंकि घटनाएं लेकिनऔर परसंगत, घटना लेकिन+ परतब होता है जब तीन संभावित घटनाओं में से एक होता है: या अब. असंगत घटनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार, हम निम्नानुसार गणना करते हैं:

घटना लेकिनतब होता है जब दो असंगत घटनाओं में से एक होता है: या अब. हालाँकि, कई असंगत घटनाओं में से एक घटना के घटित होने की संभावना इन सभी घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर होती है:

इसी तरह:

व्यंजकों (6) और (7) को व्यंजक (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम संयुक्त घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र प्राप्त करते हैं:

सूत्र (8) का उपयोग करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि घटनाएं लेकिनऔर परहो सकता है:

• परस्पर स्वतंत्र;
• परस्पर आश्रित।

परस्पर स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

परस्पर निर्भर घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

अगर घटनाएं लेकिनऔर परअसंगत हैं, तो उनका संयोग एक असंभव मामला है और इस प्रकार, पी(अब) = 0. असंगत घटनाओं के लिए चौथा प्रायिकता सूत्र इस प्रकार है:

उदाहरण 3ऑटो रेसिंग में, पहली कार में ड्राइविंग करते समय, दूसरी कार में ड्राइविंग करते समय जीतने की संभावना। ढूँढ़ने के लिए:

• दोनों कारों के जीतने की प्रायिकता;
• संभावना है कि कम से कम एक कार जीत जाएगी;

1) पहली कार के जीतने की प्रायिकता दूसरी कार के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएं लेकिन(पहली कार जीतती है) और पर(दूसरी कार जीतती है) - स्वतंत्र घटनाएँ। दोनों कारों के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

2) दो कारों में से एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" ।

प्रायिकताओं को जोड़ने की समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4दो सिक्के फेंके जाते हैं। घटना ए- पहले सिक्के पर हथियारों के कोट का खो जाना। घटना बी- दूसरे सिक्के पर हथियारों के कोट का खो जाना। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए सी = ए + बी .

प्रायिकता गुणन

प्रायिकताओं के गुणन का उपयोग तब किया जाता है जब घटनाओं के तार्किक गुणनफल की प्रायिकता की गणना की जाती है।

इस मामले में, यादृच्छिक घटनाओं को स्वतंत्र होना चाहिए। दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि एक घटना की घटना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता गुणन प्रमेय।दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता लेकिनऔर परइन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण 5सिक्के को लगातार तीन बार उछाला जाता है। संभावना है कि हथियारों का कोट तीनों बार गिर जाएगा।

फेसला। संभावना है कि हथियारों का कोट एक सिक्के के पहले उछाल पर, दूसरी बार और तीसरी बार पर गिरेगा। संभावना है कि हथियारों का कोट तीनों बार गिर जाएगा:

संभावनाओं को गुणा करने के लिए समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6नौ नई टेनिस गेंदों के साथ एक बॉक्स है। खेल के लिए तीन गेंदें ली जाती हैं, खेल के बाद उन्हें वापस रख दिया जाता है। गेंदों का चयन करते समय, वे खेली गई और न खेली गई गेंदों के बीच अंतर नहीं करते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीन गेमों के बाद बॉक्स में कोई न खेली गई गेंदें नहीं होंगी?

उदाहरण 7कटे हुए वर्णमाला के कार्डों पर रूसी वर्णमाला के 32 अक्षर लिखे गए हैं। एक के बाद एक यादृच्छया पांच कार्ड निकाले जाते हैं और उन्हें उसी क्रम में टेबल पर रखा जाता है जिस क्रम में वे दिखाई देते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अक्षर "अंत" शब्द बनाएंगे।

उदाहरण 8ताश के पत्तों (52 शीट) के एक पूरे डेक से एक बार में चार पत्ते निकाले जाते हैं। इन चारों पत्तों के एक ही सूट के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9उदाहरण 8 की तरह ही समस्या है, लेकिन प्रत्येक कार्ड को ड्रॉ होने के बाद डेक पर वापस कर दिया जाता है।

अधिक जटिल कार्य, जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है, साथ ही "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" पृष्ठ पर कई घटनाओं के उत्पाद की गणना करने की आवश्यकता होती है।

संभावना है कि पारस्परिक रूप से स्वतंत्र घटनाओं में से कम से कम एक घटित होगी, की गणना 1 से विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद को घटाकर की जा सकती है, जो कि सूत्र द्वारा है:

उदाहरण 10माल परिवहन के तीन साधनों द्वारा पहुँचाया जाता है: नदी, रेल और सड़क परिवहन। नदी परिवहन द्वारा माल की डिलीवरी की संभावना 0.82, रेल द्वारा 0.87, सड़क द्वारा 0.90 है। इस संभावना का पता लगाएं कि माल परिवहन के तीन तरीकों में से कम से कम एक द्वारा वितरित किया जाएगा।

• प्रायिकता - किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री (सापेक्ष माप, मात्रात्मक मूल्यांकन)। जब किसी संभावित घटना के होने के कारण वास्तव में विपरीत कारणों से अधिक होते हैं, तो इस घटना को संभावित कहा जाता है, अन्यथा - असंभावित या असंभव। नकारात्मक आधारों पर सकारात्मक आधारों की प्रधानता, और इसके विपरीत, अलग-अलग डिग्री हो सकती है, जिसके परिणामस्वरूप संभावना (और असंभवता) अधिक या कम होती है। इसलिए, संभाव्यता का मूल्यांकन अक्सर गुणात्मक स्तर पर किया जाता है, विशेष रूप से ऐसे मामलों में जहां अधिक या कम सटीक मात्रात्मक मूल्यांकन असंभव या अत्यंत कठिन होता है। संभाव्यता के "स्तरों" के विभिन्न क्रमांकन संभव हैं।

  गणितीय दृष्टिकोण से संभाव्यता का अध्ययन एक विशेष अनुशासन है - संभाव्यता का सिद्धांत। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों में, संभाव्यता की अवधारणा को एक घटना की संख्यात्मक विशेषता के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है - एक संभाव्यता माप (या इसका मूल्य) - घटनाओं के एक सेट पर एक उपाय (प्राथमिक घटनाओं के एक सेट का सबसेट), मान लेना से

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 0)

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 1)

  अर्थ

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 1)

  एक वैध घटना के अनुरूप है। एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है (विपरीत आम तौर पर हमेशा सत्य नहीं होता है)। यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है

  (\ डिस्प्लेस्टाइल पी)

  तब इसके न होने की प्रायिकता बराबर होती है

  (\displaystyle 1-पी)

  विशेष रूप से संभावना

  (\displaystyle 1/2)

  अर्थात घटना के घटित होने और न होने की समान प्रायिकता।

  प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा परिणामों की समसंभाव्यता की अवधारणा पर आधारित है। संभाव्यता उन परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी दिए गए घटना के पक्ष में समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक सिक्का उछाल में "सिर" या "पूंछ" प्राप्त करने की संभावना 1/2 है, यदि यह माना जाता है कि केवल ये दो संभावनाएं होती हैं और वे समान रूप से होने की संभावना है। संभाव्यता की इस शास्त्रीय "परिभाषा" को संभावित मूल्यों की अनंत संख्या के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना के किसी सीमित क्षेत्र के किसी भी बिंदु (अंकों की संख्या अनंत है) पर समान संभावना के साथ हो सकता है अंतरिक्ष (विमान), तो इस अनुमेय क्षेत्र के किसी भाग में होने की संभावना इस भाग के आयतन (क्षेत्रफल) के अनुपात के बराबर है और सभी संभावित बिंदुओं के क्षेत्रफल का आयतन (क्षेत्रफल) है। .

  संभाव्यता की अनुभवजन्य "परिभाषा" एक घटना के घटित होने की आवृत्ति से संबंधित है, इस तथ्य के आधार पर कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ, आवृत्ति को इस घटना की संभावना के उद्देश्य की डिग्री तक ले जाना चाहिए। संभाव्यता के सिद्धांत की आधुनिक प्रस्तुति में, संभाव्यता को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जाता है, एक सेट के माप के सार सिद्धांत के एक विशेष मामले के रूप में। हालाँकि, अमूर्त माप और प्रायिकता के बीच की कड़ी, जो किसी घटना की संभावना की डिग्री को व्यक्त करती है, ठीक इसके अवलोकन की आवृत्ति है।

  कुछ घटनाओं का संभाव्य विवरण आधुनिक विज्ञान में व्यापक हो गया है, विशेष रूप से अर्थमिति में, मैक्रोस्कोपिक (थर्मोडायनामिक) प्रणालियों के सांख्यिकीय भौतिकी में, जहां कणों की गति के शास्त्रीय नियतात्मक विवरण के मामले में भी, संपूर्ण प्रणाली का एक नियतात्मक विवरण। कणों का व्यावहारिक रूप से संभव और उपयुक्त नहीं है। क्वांटम भौतिकी में, वर्णित प्रक्रियाएं स्वयं एक संभाव्य प्रकृति की हैं।

यदि घटनाएँ H 1, H 2,…, H n एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो एक मनमाना घटना की प्रायिकता की गणना करने के लिए, आप कुल प्रायिकता सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

पी (ए) \u003d पी (ए / एच 1) पी (एच 1) + पी (ए / एच 2) पी (एच 2)

जिसके अनुसार घटना ए के होने की संभावना को घटना ए की सशर्त संभावनाओं के उत्पादों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इन घटनाओं की बिना शर्त संभावनाओं द्वारा घटनाओं के घटित होने की स्थिति के तहत एच i। इन घटनाओं H को परिकल्पना कहा जाता है।

बेयस सूत्र कुल संभाव्यता सूत्र का अनुसरण करता है:

प्रायिकताएँ P(H i) की परिकल्पना H i को प्राथमिक प्रायिकताएँ कहा जाता है - प्रयोगों से पहले की प्रायिकताएँ।
प्रायिकताएँ P(A/H i) को पश्च प्रायिकताएँ कहा जाता है - प्रयोग के परिणामस्वरूप परिशोधित परिकल्पनाओं की प्रायिकताएँ H i।

सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटर को वर्ड प्रारूप में समाधान के पूरे पाठ्यक्रम के डिजाइन के साथ कुल संभावना की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है (समस्या समाधान के उदाहरण देखें)।

वस्तुओं की संख्या 2 3 4 5
उत्पादों की संख्या निर्धारित है दोषपूर्ण उत्पादों की संभावनाएं दी गई हैं
फैक्टरी # 1: पी (एच 1) = . मानक उत्पादों की संभावना: P(A|H1) =
संयंत्र #2: P(H2) = . मानक उत्पादों की संभावना: P(A|H2) =
फैक्टरी #3: पी (एच 3) = . मानक उत्पादों की संभावना: P(A|H3) =
फैक्टरी # 4: पी (एच 4) = . मानक उत्पादों की संभावना: P(A|H4) =
फैक्टरी # 5: पी (एच 5) = . मानक उत्पादों की संभावना: P(A|H5) =

यदि स्रोत डेटा को प्रतिशत (%) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो इसे एक शेयर के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, 60% : 0.6 ।

उदाहरण 1। स्टोर को दो कारखानों से प्रकाश बल्ब प्राप्त होते हैं, जिसमें पहले कारखाने का हिस्सा 25% होता है। यह ज्ञात है कि इन कारखानों में दोषों का हिस्सा सभी निर्मित उत्पादों का क्रमशः 5% और 10% है। विक्रेता बेतरतीब ढंग से एक प्रकाश बल्ब लेता है। क्या संभावना है कि यह दोषपूर्ण होगा?
फेसला:घटना को A द्वारा निरूपित करें - "प्रकाश बल्ब ख़राब होगा।" इस प्रकाश बल्ब की उत्पत्ति के बारे में निम्नलिखित परिकल्पनाएँ संभव हैं: एच 1- "प्रकाश बल्ब पहले कारखाने से आया था।" एच 2- "लाइट बल्ब दूसरी फैक्ट्री से आया था।" चूँकि पहले पौधे का हिस्सा 25% है, इन परिकल्पनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः हैं ; .
सशर्त संभावना है कि पहले कारखाने द्वारा एक दोषपूर्ण प्रकाश बल्ब का उत्पादन किया गया था , दूसरा पौधा - पी (ए / एच 2)=वांछित संभावना है कि विक्रेता ने एक दोषपूर्ण प्रकाश बल्ब लिया, हम कुल संभावना सूत्र द्वारा पाते हैं
0.25 0.05+0.75 0.10=0.0125+0.075=0.0875
जवाब: पी (ए)= 0,0875.

उदाहरण # 2। स्टोर को एक ही नाम के एक ही उत्पाद के दो बैच मिले, जो मात्रा में बराबर थे। ज्ञात हो कि पहले बैच का 25% और दूसरे बैच का 40% प्रथम श्रेणी का माल है। क्या प्रायिकता है कि किसी वस्तु की यादृच्छिक रूप से चुनी गई इकाई प्रथम श्रेणी की नहीं होगी?
फेसला:
घटना को ए द्वारा निरूपित करें - "उत्पाद प्रथम श्रेणी का होगा।" इस उत्पाद की उत्पत्ति के बारे में निम्नलिखित परिकल्पनाएँ संभव हैं: एच 1- "पहले बैच से माल।" एच 2- "दूसरे बैच से माल"। चूँकि प्रथम पक्ष का हिस्सा 25% है, तो इन परिकल्पनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः बराबर होती हैं ; .
सशर्त संभावना है कि पहले बैच में आइटम है , दूसरे बैच से - वांछित संभावना है कि माल की एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई इकाई पहली कक्षा की होगी
पी(ए) \u003d पी (एच 1) पी (ए / एच 1) + पी (एच 2) (ए / एच 2) \u003d 0.25 0.5+0.4 0.5=0.125+0.2=0.325
फिर, वस्तुओं की एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई इकाई के प्रथम श्रेणी न होने की प्रायिकता बराबर होगी: 1- 0.325 = 0.675
जवाब: .

उदाहरण #3। यह ज्ञात है कि 5% पुरुष और 1% महिलाएं कलर ब्लाइंड हैं। एक यादृच्छिक रूप से चयनित व्यक्ति वर्णान्ध नहीं था। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक पुरुष है (मान लें कि पुरुष और महिला समान रूप से विभाजित हैं)।
फेसला.
घटना ए - एक यादृच्छिक रूप से चयनित व्यक्ति कलरब्लाइंड नहीं था।
इस घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
पी(ए) = पी(ए|एच=पुरुष) + पी(ए|एच=महिला) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
तब संभावना है कि यह एक आदमी होगा: पी = पी (ए | एच = पुरुष) / पी (ए) = 0.475/0.97 = 0.4897

उदाहरण # 4। खेल ओलंपियाड में प्रथम वर्ष के 4 छात्र, दूसरे से - 6, तीसरे से - 5 भाग लेते हैं। पहले, दूसरे, तीसरे वर्ष के एक छात्र के ओलंपियाड जीतने की संभावना क्रमशः 0.9 के बराबर है; 0.7 और 0.8।
क) यादृच्छिक रूप से चुने गए प्रतिभागी के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
b) इस समस्या की परिस्थितियों में, एक छात्र ने ओलंपियाड जीता। सबसे अधिक संभावना है कि वह किस समूह से संबंधित है?
फेसला.
इवेंट ए - यादृच्छिक चयनित प्रतिभागी पर जीत।
यहाँ P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333,
P(A|H1) = 0.9, P(A|H2) = 0.7, P(A|H3) = 0.8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333*0.8 = 0.787
b) इस कैलकुलेटर का उपयोग करके समाधान प्राप्त किया जा सकता है।
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
p1, p2, p3 में से अधिकतम चुनें।

उदाहरण संख्या 5. कंपनी के पास एक ही तरह की तीन मशीनें हैं। उनमें से एक कुल उत्पादन का 20% देता है, दूसरा - 30%, तीसरा - 50%। वहीं, पहली मशीन 5% रिजेक्ट करती है, दूसरी 4%, तीसरी - 2%। पहली मशीन द्वारा बेतरतीब ढंग से चुने गए अनुपयोगी उत्पाद के बनने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।