दो त्रिभुजों को सर्वांगसम कहा जाता है यदि उन्हें अतिव्याप्त किया जा सकता है। चित्र 1 में समान त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 दिखाया गया है। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज को दूसरे पर आरोपित किया जा सकता है ताकि वे पूरी तरह से संगत हों, अर्थात उनके शीर्ष और भुजाएँ एक साथ जोड़ी गई हों। यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में इन त्रिभुजों के कोणों को जोड़े में जोड़ा जाएगा।

इस प्रकार, यदि दो त्रिभुज समान हैं, तो एक त्रिभुज के तत्व (अर्थात, भुजाएँ और कोण) क्रमशः दूसरे त्रिभुज के तत्वों के बराबर होते हैं। ध्यान दें कि समान त्रिभुजों में क्रमशः समान भुजाओं के सामने(अर्थात् अतिव्यापी होने पर अतिव्यापी) समान कोणों पर झूठ बोलनाऔर वापस: सम्मुख संगत रूप से समान कोण समान भुजाएँ रखते हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, समान त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 में, जो चित्र 1 में दिखाया गया है, समान भुजाओं AB और A 1 B 1 के सामने क्रमशः समान कोण C और C 1 स्थित हैं। त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 की समानता को निम्नानुसार दर्शाया जाएगा: Δ एबीसी = Δ ए 1 बी 1 सी 1। यह पता चला है कि दो त्रिभुजों की समानता उनके कुछ तत्वों की तुलना करके स्थापित की जा सकती है।

प्रमेय 1. त्रिभुजों की समानता का पहला संकेत।यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं (चित्र 2)।

प्रमाण। त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 पर विचार करें, जिसमें एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1 ∠ ए \u003d ∠ ए 1 (चित्र 2 देखें)। आइए हम सिद्ध करें कि ABC = A 1 B 1 C 1 ।

चूंकि ∠ ए \u003d ∠ ए 1, तो त्रिभुज एबीसी को त्रिभुज ए 1 बी 1 सी 1 पर आरोपित किया जा सकता है ताकि शीर्ष ए को शीर्ष ए 1 के साथ गठबंधन किया जा सके, और पक्षों एबी और एसी को क्रमशः सुपरइम्पोज़ किया जा सके। किरणें ए 1 बी 1 और ए 1 सी एक। चूंकि एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1, तो साइड एबी को साइड ए 1 बी 1 और साइड एसी के साथ जोड़ा जाएगा - साइड ए 1 सी 1 के साथ; विशेष रूप से, अंक बी और बी 1, सी और सी 1 संयोग करेंगे। इसलिए, भुजाएँ BC और B 1 C 1 संरेखित होंगी। तो, त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 पूरी तरह से संगत हैं, जिसका अर्थ है कि वे बराबर हैं।

प्रमेय 2 इसी प्रकार अध्यारोपण विधि से सिद्ध होता है।

प्रमेय 2। त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की भुजा और उसके निकट के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं (चित्र 34)।

टिप्पणी। प्रमेय 2 के आधार पर, प्रमेय 3 की स्थापना की जाती है।

प्रमेय 3. किसी त्रिभुज के किन्हीं दो अंतः कोणों का योग 180° से कम होता है।

प्रमेय 4 अंतिम प्रमेय का अनुसरण करता है।

प्रमेय 4. किसी त्रिभुज का एक बाह्य कोण किसी ऐसे आंतरिक कोण से बड़ा होता है जो उसके निकट न हो।

प्रमेय 5. त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर () होते हैं।

उदाहरण 1त्रिभुज ABC और DEF में (चित्र 4)

ए = ∠ ई, एबी = 20 सेमी, एसी = 18 सेमी, डीई = 18 सेमी, ईएफ = 20 सेमी। त्रिभुज एबीसी और डीईएफ की तुलना करें। त्रिभुज DEF में कौन सा कोण कोण B के बराबर है?

फेसला। ये त्रिभुज पहले चिन्ह में बराबर होते हैं। त्रिभुज DEF का कोण F, त्रिभुज ABC के कोण B के बराबर है, क्योंकि ये कोण संगत समान भुजाओं DE और AC के विपरीत स्थित हैं।

उदाहरण 2खंड AB और CD (चित्र 5) बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो उनमें से प्रत्येक का मध्य बिंदु है। यदि खंड AC 6 मीटर है तो खंड BD क्या है?

फेसला। त्रिभुज AOC और BOD बराबर हैं (पहले मानदंड के अनुसार): AOC = BOD (ऊर्ध्वाधर), AO = OB, CO = OD (शर्त के अनुसार)।
इन त्रिभुजों की समानता से उनकी भुजाओं की समानता का अनुसरण होता है, अर्थात् AC = BD। लेकिन चूँकि, शर्त के अनुसार, AC = 6 m, तो BD = 6 m।

प्रमाण: हम एबीसी को ए 1 बी 1 सी 1 पर लगाते हैं ताकि बिंदु ए 1 ए के साथ मेल खाता हो। चूंकि एसी \u003d ए 1 सी 1 है, तो, खंडों को स्थगित करने के स्वयंसिद्ध के अनुसार, बिंदु सी 1 सी के साथ मेल खाएगा। चूंकि ए \u003d ए 1 , फिर, कोणों को बंद करने के स्वयंसिद्ध के अनुसार, बीम ए 1 बी 1 बीम एबी के साथ मेल खाएगा। चूंकि एबी \u003d ए 1 बी 1, फिर, स्थगित खंडों के स्वयंसिद्ध के अनुसार, बिंदु बी 1 बिंदु बी के साथ मेल खाएगा। त्रिकोण ए 1 बी 1 सी 1 और एबीसी संयोग हुआ, जिसका अर्थ है एबीसी \u003d ए 1 बी 1 सी 1 सी.टी.डी.

प्रमाण: हम एबीसी को ए 1 बी 1 सी 1 पर लगाते हैं ताकि बिंदु ए 1 ए के साथ मेल खाता हो। चूंकि एसी \u003d ए 1 सी 1 है, तो, खंडों को स्थगित करने के स्वयंसिद्ध के अनुसार, बिंदु सी 1 सी के साथ मेल खाएगा। चूंकि ए \u003d ए 1 , फिर, कोणों को बंद करने के स्वयंसिद्ध के अनुसार, बीम ए 1 बी 1 बीम एबी के साथ मेल खाएगा। C \u003d C 1 के बाद से, कोणों को बिछाने के स्वयंसिद्ध के अनुसार, किरण C 1 IN 1 किरण CB के साथ मेल खाएगा। बिंदु बी 1 बिंदु बी के साथ मेल खाएगा। त्रिभुज ए 1 बी 1 सी 1 और एबीसी संयोग हुआ, जिसका अर्थ है एबीसी \u003d ए 1 बी 1 सी 1 एफटीडी

मेडियाना त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक का एक खंड जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ता है, त्रिभुज का समद्विभाजक कहलाता है। माध्याद्विभाजक 1 ऊँचाई त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज की ऊँचाई कहलाता है। त्रिभुज के शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला रेखाखंड त्रिभुज का माध्यिका कहलाता है। ऊंचाई

ए बी सी के एम ओ टी एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाइयाँ शीर्ष C पर प्रतिच्छेद करती हैं। एक न्यूनकोण त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है, जो त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित है। ओ ए बी सी ऊंचाई के चौराहे के बिंदु को ऑर्थोसेंटर कहा जाता है।

त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक का वह खंड जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा के एक बिंदु से जोड़ता है, त्रिभुज का समद्विभाजक कहलाता है। यह बिंदु भी उल्लेखनीय है - द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र है। ओ बी आई एस एस ई सी टी आर आई सी ए

1 त्रिभुज के शीर्ष से सम्मुख भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज की ऊँचाई कहलाता है। ऊँचाई एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई, टाँग से मेल खाती है। एक न्यून कोण के शीर्ष से खींचे गए एक अधिक त्रिभुज में ऊँचाई त्रिभुज के बाहरी क्षेत्र से होकर गुजरती है। ऊंचाई 11

निष्कर्ष 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार तक खींची गई ऊँचाई माध्यिका और समद्विभाजक होती है। 2. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ओर खींची गई माध्यिका ऊँचाई और समद्विभाजक होती है। 3. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींचा गया समद्विभाजक माध्यिका और ऊँचाई होता है।

इनमें से कौन से कथन सही हैं? उनकी संख्या लिखिए।
1) यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
2) यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत हैं, तो यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
3) एक वृत्त का क्षेत्रफल उसके व्यास की लंबाई के वर्ग से कम होता है।

समस्या का समाधान :

आइए प्रत्येक कथन पर विचार करें।
1) "यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं", यह कथन गलत है, क्योंकि त्रिभुजों की समानता के किसी भी मानदंड के अनुरूप नहीं है।
2) "यदि एक चतुर्भुज में विकर्ण लंबवत हैं, तो यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है", यह कथन गलत है, क्योंकि समचतुर्भुज की किसी भी संपत्ति से पूरी तरह मेल नहीं खाता। उदाहरण के लिए, आकृति में दिखाया गया चतुर्भुज, इसके विकर्ण लंबवत हैं, लेकिन यह स्पष्ट है कि यह एक समचतुर्भुज नहीं है।
3) "एक वृत्त का क्षेत्रफल उसके व्यास की लंबाई के वर्ग से कम होता है।" वृत्त का क्षेत्रफल ΠR 2 , या D 2 /4 है। संख्या (पाई) लगभग 3.14 है। फिर एस सर्कल \u003d 0.785D 2. और यह, निश्चित रूप से, D 2 से कम है। कथन सत्य है

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कार्य #03A3EF

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 722 3 है। न्यून कोणों में से एक 30° का है। इस कोण के विपरीत पैर की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समस्या #9FCAB9

त्रिभुज ABC में, समद्विभाजक BE और माध्यिका AD लंबवत हैं और उनकी लंबाई 96 के बराबर है। त्रिभुज ABC की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

समान त्रिभुज वे होते हैं जिनकी संगत भुजाएँ बराबर होती हैं।

प्रमेय (त्रिभुजों की समानता के लिए पहला मानदंड)।
यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रमेय (त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरा मानदंड)।
यदि एक त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोण क्रमशः एक अन्य त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रमेय (त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरा मानदंड)।
यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि कोण समान हों और समान भुजाएँ समानुपाती हों: , जहां समानता गुणांक है।

मैं त्रिकोणों की समानता का संकेत देता हूं।यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे के दो कोणों के बराबर हों, तो ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

त्रिभुजों की समानता का II चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के समानुपाती हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

त्रिभुजों की समानता का III चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच के कोण बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 1.1. यदि एक रेखा जो त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से नहीं गुजरती है, उसकी एक भुजा को काटती है, तो वह अन्य दो भुजाओं में से केवल एक को प्रतिच्छेद करती है।

प्रमेय 2.1. आसन्न कोणों का योग 180 . है के विषय में .
परिणाम:
यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण बराबर होते हैं।
यदि कोण विकसित नहीं होता है, तो इसका डिग्री माप 180 . से कम होता है के विषय में .
समकोण से लगा हुआ कोण समकोण होता है।

प्रमेय 2.2. लंबवत कोण बराबर होते हैं।

प्रमेय 2.3. एक रेखा के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से, कोई उस पर लंबवत रेखा खींच सकता है, और केवल एक।

प्रमेय 3.1 (त्रिभुजों की समानता के लिए पहला मानदंड)। यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दो भुजाओं और दूसरे त्रिभुज की उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रमेय 3.2 (त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरा मानदंड)। यदि एक त्रिभुज की एक भुजा और उसके निकट के कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रमेय 3.3 (एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों का गुणधर्म)। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

प्रमेय 3.4 (एक समद्विबाहु त्रिभुज का चिन्ह)। यदि किसी त्रिभुज में दो कोण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है।

प्रमेय 3.5 (एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका का गुण)। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ओर खींची गई माध्यिका समद्विभाजक और ऊँचाई होती है।

प्रमेय 3.6 (त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरा मानदंड)। यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

प्रमेय 4.1. एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ समानांतर हैं।

प्रमेय 4.2 (समानांतर रेखाओं के लिए एक मानदंड)। यदि आंतरिक अनुप्रस्थ कोण बराबर हैं या आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180 . है के विषय में , तो रेखाएँ समानांतर हैं।

प्रमेय 4.3 (प्रमेय 4.2 के विपरीत)। यदि दो समांतर रेखाओं को एक तीसरी रेखा द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो अंतः अनुप्रस्थ कोण बराबर होते हैं, और आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180 होता है। के विषय में .

प्रमेय 4.4। त्रिभुज के कोणों का योग 180 . होता है के विषय में .
परिणाम: प्रत्येक त्रिभुज में कम से कम दो न्यून कोण होते हैं।

प्रमेय 4.5. किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण दो अंतः कोणों के योग के बराबर होता है जो उसके निकट नहीं होते हैं।
परिणाम: किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण किसी ऐसे आंतरिक कोण से बड़ा होता है जो उससे सटा नहीं होता है।

प्रमेय 4.6। किसी भी बिंदु से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, कोई इस रेखा पर लंबवत गिरा सकता है, और केवल एक।

प्रमेय 5.1. एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त का केंद्र त्रिभुज की भुजाओं के लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, जो इन भुजाओं के मध्य बिंदुओं के माध्यम से खींचा जाता है।

प्रमेय 5.2. त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र उसके समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

प्रमेय 5.3. दो दिए गए बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान रेखा खंड के लंबवत रेखा है जो इन बिंदुओं को जोड़ती है और इसके मध्य बिंदु से गुजरती है।

प्रमेय 6.1. यदि एक चतुर्भुज प्रतिच्छेद और प्रतिच्छेदन बिंदु के विकर्णों को समद्विभाजित किया जाता है, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

प्रमेय 6.2 (प्रमेय 6.1 के विपरीत)। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होते हैं।

प्रमेय 6.3। एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान और सम्मुख कोण समान होते हैं।

प्रमेय 6.4. एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

प्रमेय 6.5. समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

प्रमेय 6.6 (थेल्स प्रमेय)। यदि किसी कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समान्तर रेखाएँ उसकी एक भुजा पर समान खंडों को काटती हैं, तो वे दूसरी ओर के समान खंडों को काटती हैं।

प्रमेय 6.7. किसी त्रिभुज की मध्य रेखा दो दी गई भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाली तीसरी भुजा के समांतर होती है और उसकी आधी के बराबर होती है।

प्रमेय 6.8. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।

प्रमेय 6.9. कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समांतर रेखाएँ कोण की भुजाओं से आनुपातिक खंडों को काटती हैं।

प्रमेय 7.1. किसी कोण की कोज्या केवल कोण की डिग्री माप पर निर्भर करती है और त्रिभुज के स्थान और आकार पर निर्भर नहीं करती है।

प्रमेय 7.2 (पाइथागोरस प्रमेय)। एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
परिणाम:
- एक समकोण त्रिभुज में, दोनों में से कोई भी पैर कर्ण से छोटा होता है।
- कोसा
-यदि एक बिंदु से एक सीधी रेखा के लिए एक लंबवत और तिरछा खींचा जाता है, तो कोई भी तिरछा लंब से बड़ा होता है, समान तिरछे का समान अनुमान होता है, दो तिरछे का, सबसे बड़ा प्रक्षेपण वाला बड़ा होता है।

प्रमेय 7.3 (त्रिभुज असमानता)। तीन बिंदु जो भी हों, इनमें से किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी तीसरे बिंदु से उनकी दूरियों के योग से अधिक नहीं होती है।
परिणाम: किसी भी त्रिभुज में, प्रत्येक भुजा अन्य दो के योग से कम होती है।

प्रमेय 7.4. किसी न्यून कोण A . के लिए.
पाप (90 .) हे -ए) = कोसा, कॉस (90 .) हे -ए) = पाप।

प्रमेय 7.5. जैसे-जैसे न्यून कोण बढ़ता हैसिनाऔरटीजीएबढ़ रहे हैं, औरकोसाघटता है।

प्रमेय 9.1. एक सीधी रेखा पर स्थित बिंदु, चलते समय, एक सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं में गुजरते हैं, और उनकी पारस्परिक व्यवस्था का क्रम संरक्षित रहता है।
परिणाम: चलते समय, सीधी रेखाएँ सीधी रेखाओं में, आधी रेखाएँ आधी-रेखाओं में, खंडों से खंडों में बदल जाती हैं।

प्रमेय 9.2. एक बिंदु के बारे में एक समरूपता परिवर्तन एक आंदोलन है।

प्रमेय 9.3। एक रेखा के बारे में एक समरूपता परिवर्तन एक आंदोलन है।

प्रमेय 9.4. दो बिंदु जो भी होंलेकिन औरलेकिन ', एक और केवल एक समानांतर अनुवाद है जिसमें बिंदुलेकिन बिंदु पर जाता हैलेकिन ’.

प्रमेय 10.1। अंक जो भी होलेकिन , पर , साथ में , वेक्टर समानता

प्रमेय 10.2। वेक्टर का निरपेक्ष मान के बराबर है . वेक्टर दिशा पर वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाता है , अगरमैं > 0, और वेक्टर की दिशा के विपरीत , अगरमैं

प्रमेय 10.3। सदिशों का अदिश गुणन उनके निरपेक्ष मानों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की कोज्या के बराबर होता है।
परिणाम:
यदि सदिश लंबवत हैं, तो उनका डॉट गुणनफल 0 है।
यदि गैर-0 सदिशों का डॉट गुणनफल 0 है, तो सदिश लंब हैं।

प्रमेय 11.1. समरूपता एक समानता परिवर्तन है।

प्रमेय 11.2 (दो कोणों में त्रिभुजों की समरूपता के लिए एक परीक्षण)। यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 11.3 (दो पक्षों पर त्रिभुजों की समानता और उनके बीच के कोण के लिए एक परीक्षण)। यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं से बनने वाले कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 11.4 (तीन पक्षों पर त्रिभुज समरूपता मानदंड)। यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 11.5. एक वृत्त में एक खुदा हुआ कोण संबंधित केंद्रीय कोण का आधा होता है।
परिणाम:
- खुदे हुए कोण जिनकी भुजाएँ वृत्त के बिंदु A और B से होकर गुजरती हैं, और जिनके शीर्ष रेखा AB के एक ही तरफ स्थित हैं, बराबर हैं।
-व्यास के आधार पर उत्कीर्ण कोण सीधे होते हैं।

प्रमेय 12.1 (कोसाइन प्रमेय)। एक त्रिभुज की किसी भी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, उन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण के कोज्या से दोगुना किए बिना।

प्रमेय 12.2 (साइन प्रमेय)। त्रिभुज की भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं।

प्रमेय 13.1। पॉलीलाइन की लंबाई इसके सिरों को जोड़ने वाले खंड की लंबाई से कम नहीं है।

प्रमेय 13.2. उत्तल के कोणों का योगएन-गॉन 180 . है 0 (एन – 2).

प्रमेय 13.3। एक नियमित उत्तल बहुभुज एक वृत्त में अंकित होता है और वृत्त के चारों ओर परिबद्ध होता है।

प्रमेय 13.4. नियमित उत्तलएन-गॉन समान हैं। विशेष रूप से, यदि उनकी भुजाएँ समान हैं, तो वे समान हैं।

प्रमेय 13.5. किसी वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात वृत्त पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात। किन्हीं दो वृत्तों के लिए समान।

प्रमेय 15.1.

प्रमेय 15.2.
परिणाम:

प्रमेय 15.3.

प्रमेय 15.4. एक्सऔरयूXYएक्सऔरयूXYविमान को पार करता है।

प्रमेय 16.1.

प्रमेय 16.2.

प्रमेय 16.5.

प्रमेय 17.3.

प्रमेय 17.4.

प्रमेय 17.6.

प्रमेय 15.1. एक रेखा और उस पर न पड़े एक बिंदु के माध्यम से, कोई एक विमान खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमेय 15.2. यदि किसी रेखा के दो बिंदु एक समतल के हों, तो पूरी रेखा उसी तल की होती है।
परिणाम: एक तल और उस पर न पड़ी हुई रेखा या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद या प्रतिच्छेद नहीं करती है।

प्रमेय 15.3. तीन बिंदुओं के माध्यम से जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, एक विमान खींचना संभव है, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमेय 15.4. विमान अंतरिक्ष को दो आधे स्थानों में विभाजित करता है। अगर अंकएक्सऔरयूएक ही आधे स्थान से संबंधित हैं, फिर खंडXYविमान को पार नहीं करता है। अगर अंकएक्सऔरयूअलग-अलग अर्ध-रिक्त स्थान से संबंधित हैं, फिर खंडXYविमान को पार करता है।

प्रमेय 16.1. किसी दी गई रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, कोई इस रेखा के समानांतर एक रेखा खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक ही।

प्रमेय 16.2. तीसरी रेखा के समानांतर दो रेखाएँ समानांतर हैं।

प्रमेय 16.3. यदि एक रेखा जो किसी समतल से संबंधित नहीं है, उस तल की किसी भी रेखा के समानांतर है, तो वह भी समतल के समानांतर होती है।

प्रमेय 16.4. यदि एक तल की दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ क्रमशः दूसरे तल की दो रेखाओं के समानांतर हों, तो ये तल समानांतर होते हैं।

प्रमेय 16.5. किसी दिए गए विमान के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, कोई दिए गए विमान के समानांतर एक विमान खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमेय 17.1. यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ क्रमशः दो लम्ब रेखाओं के समानांतर हों, तो वे भी लंबवत होती हैं।

प्रमेय 17.2. यदि एक रेखा समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, तो यह दिए गए तल पर लंबवत है।

प्रमेय 17.3. यदि एक तल दो समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरी के लिए भी लंबवत है।

प्रमेय 17.4. एक ही तल पर लंबवत दो रेखाएँ समानांतर हैं।

प्रमेय 17.5. यदि किसी समतल में तिरछी रेखा के आधार से होकर खींची गई सीधी रेखा उसके प्रक्षेपण के लंबवत हो, तो वह तिरछी रेखा के लंबवत होती है। और वापस: यदि एक तल में एक सीधी रेखा एक तिरछी रेखा के लंबवत है, तो यह तिरछी रेखा के प्रक्षेपण के लिए भी लंबवत है।

प्रमेय 17.6. यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं।

प्रमेय 18.1. एक समतल पर बहुभुज के एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल उसके क्षेत्रफल के गुणनफल और बहुभुज के तल और प्रक्षेपण तल के बीच के कोण के कोज्या के बराबर होता है।