विषयों पर पाठ और प्रस्तुति: "आर्क्सिन। आर्कसिन टेबल। फॉर्मूला y=arcsin(x)"

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हम ज्यामिति में समस्याओं को हल करते हैं। अंतरिक्ष में निर्माण के लिए इंटरएक्टिव कार्य

हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. आर्कसिन क्या है?
2. आर्कसिन का पदनाम।
3. थोड़ा सा इतिहास।
4. परिभाषा।

6. उदाहरण।

आर्कसिन क्या है?

दोस्तों, हम पहले ही सीख चुके हैं कि कोसाइन के समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, अब आइए जानें कि साइन के लिए समान समीकरणों को कैसे हल किया जाए। पाप (x) = 3/2 पर विचार करें। इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको एक सीधी रेखा y= 3/2 बनाने की आवश्यकता है और देखें: यह संख्या वृत्त को किन बिंदुओं पर काटती है। यह देखा जा सकता है कि रेखा वृत्त को दो बिंदुओं F और G पर काटती है। ये बिंदु हमारे समीकरण का हल होंगे। F का नाम X1 और G का नाम x2 रखें। हम पहले ही इस समीकरण का हल खोज चुके हैं और प्राप्त कर चुके हैं: x1= /3 + 2πk,
और x2= 2π/3 + 2πk।

इस समीकरण को हल करना काफी सरल है, लेकिन कैसे हल करें, उदाहरण के लिए, समीकरण
पाप (एक्स) = 5/6। जाहिर है, इस समीकरण की भी दो जड़ें होंगी, लेकिन संख्या सर्कल पर समाधान के अनुरूप कौन से मूल्य होंगे? आइए हमारे sin(x)=5/6 समीकरण पर करीब से नज़र डालें।
हमारे समीकरण का हल दो बिंदु होगा: F= x1 + 2πk और G= x2 ​​+ 2πk,
जहां x1 चाप AF की लंबाई है, x2 चाप AG की लंबाई है।
नोट: x2= - x1, क्योंकि एएफ = एसी - एफसी, लेकिन एफसी = एजी, एएफ = एसी - एजी = π - x1।
लेकिन ये बिंदु क्या हैं?

इसी तरह की स्थिति का सामना करते हुए, गणितज्ञ एक नया प्रतीक - आर्क्सिन (x) लेकर आए। यह एक आर्क्सिन की तरह पढ़ता है।

तब हमारे समीकरण का हल इस प्रकार लिखा जाएगा: x1= arcsin(5/6), x2= -arcsin(5/6)।

और सामान्य समाधान: x= arcsin(5/6) + 2πk और x= π - arcsin(5/6) + 2πk।
आर्क्साइन कोण (आर्क लंबाई AF, AG) साइन है, जो 5/6 के बराबर है।

थोड़ा सा आर्कसिन इतिहास

हमारे प्रतीक की उत्पत्ति का इतिहास बिल्कुल आर्ककोस जैसा ही है। पहली बार, आर्कसिन प्रतीक गणितज्ञ शेफ़र और प्रसिद्ध फ्रांसीसी वैज्ञानिक जे.एल. लैग्रेंज। कुछ समय पहले, आर्क्सिन की अवधारणा को डी. बर्नुली ने माना था, हालांकि उन्होंने इसे अन्य प्रतीकों के साथ लिखा था।

इन प्रतीकों को आम तौर पर केवल 18 वीं शताब्दी के अंत में ही स्वीकार किया गया था। उपसर्ग "आर्क" लैटिन "आर्कस" (धनुष, चाप) से आया है। यह अवधारणा के अर्थ के साथ काफी संगत है: आर्क्सिन एक्स एक कोण है (या आप एक चाप कह सकते हैं), जिसकी साइन एक्स के बराबर है।

आर्क्सिन की परिभाषा

यदि |a|≤ 1, तो arcsin(a) अंतराल से एक ऐसी संख्या है [- π/2; /2], जिसकी ज्या है a.

यदि |a|≤ 1, तो समीकरण sin(x)= a का एक हल है: x= arcsin(a) + 2πk और
एक्स = π - आर्क्सिन (ए) + 2πk

आइए फिर से लिखें:

x= - आर्कसिन(ए) + 2πk = -आर्कसिन(ए) + π(1 + 2k)।

दोस्तों, हमारे दो समाधानों को ध्यान से देखें। आप क्या सोचते हैं: क्या उन्हें एक सामान्य सूत्र में लिखा जा सकता है? ध्यान दें कि यदि आर्क्सिन से पहले एक धन चिह्न है, तो को एक सम संख्या 2πk से गुणा किया जाता है, और यदि चिह्न ऋणात्मक है, तो गुणक विषम 2k+1 है।
इसे ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण sin(x)=a के लिए सामान्य समाधान सूत्र लिखते हैं:

ऐसे तीन मामले हैं जिनमें कोई सरल तरीके से समाधान लिखना पसंद करता है:

पाप (एक्स) = 0, फिर एक्स = πk,

पाप(x)=1, फिर x= /2 + 2πk,

sin(x)=-1, फिर x= -π/2 + 2πk।

किसी भी -1 a ≤ 1 के लिए, निम्नलिखित समानता रखती है: arcsin(-a)=-arcsin(a)।

आइए कोसाइन मानों की एक तालिका को उल्टा लिखें और आर्क्साइन के लिए एक तालिका प्राप्त करें।

उदाहरण

1. गणना करें: आर्क्सिन (√3/2)।
हल: मान लीजिए arcsin(√3/2)= x, तो sin(x)= √3/2. परिभाषा के अनुसार: - /2 x≤ /2. आइए तालिका में साइन के मानों को देखें: x= /3, क्योंकि sin(π/3)= √3/2 और –π/2 π/3 π/2.
उत्तर: आर्क्सिन(√3/2)= π/3।

2. गणना करें: आर्क्सिन (-1/2)।
हल: मान लीजिए आर्क्सिन(-1/2)= x, तो sin(x)= -1/2. परिभाषा के अनुसार: - /2 x≤ /2. आइए तालिका में साइन के मूल्यों को देखें: x= -π/6, क्योंकि पाप(-π/6)= -1/2 और -π/2 -π/6≤ /2.
उत्तर: आर्क्सिन(-1/2)=-π/6.

3. गणना करें: आर्क्सिन(0)।
हल: मान लीजिए arcsin(0)= x, फिर sin(x)= 0. परिभाषा के अनुसार: - π/2 ≤x≤ π/2. आइए तालिका में साइन के मूल्यों को देखें: इसका अर्थ है x = 0, क्योंकि पाप(0)= 0 और - /2 ≤ 0 /2. उत्तर: आर्क्सिन(0)=0.

4. समीकरण हल करें: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk और x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk।
आइए तालिका में मान देखें: आर्क्सिन (-√2/2)= -π/4.
उत्तर: x= -π/4 + 2πk और x= 5π/4 + 2πk।

5. समीकरण को हल करें: sin(x) = 0.
समाधान: आइए परिभाषा का उपयोग करें, फिर समाधान फॉर्म में लिखा जाएगा:
x= आर्कसिन(0) + 2πk और x= π - आर्क्सिन(0) + 2πk। आइए तालिका में मान देखें: arcsin(0)= 0.
उत्तर: x= 2πk और x= + 2πk

6. समीकरण हल करें: sin(x) = 3/5।
समाधान: आइए परिभाषा का उपयोग करें, फिर समाधान फॉर्म में लिखा जाएगा:
x= आर्कसिन(3/5) + 2πk और x= π - आर्कसिन(3/5) + 2πk।
उत्तर: x= (-1) n - आर्क्सिन(3/5) + k।

7. असमानता को हल करें sin(x) हल: साइन संख्यात्मक वृत्त के बिंदु की कोटि है। तो: हमें ऐसे बिंदुओं को खोजने की जरूरत है, जिनकी कोटि 0.7 से कम है। आइए एक सीधी रेखा y=0.7 खींचते हैं। यह संख्या वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। असमानता y तब असमानता का समाधान होगा: -π - arcsin(0.7) + 2πk

स्वतंत्र समाधान के लिए आर्क्साइन पर समस्याएं

1) गणना करें: ए) आर्क्सिन (√2/2), बी) आर्क्सिन (1/2), सी) आर्क्सिन (1), डी) आर्क्सिन (-0.8)।
2) समीकरण हल करें: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0.25,
ई) पाप (एक्स) = -1.2।
3) असमानता को हल करें: ए) पाप (एक्स)> 0.6, बी) पाप (एक्स) ≤ 1/2।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए सूत्र प्राप्त करने की एक विधि प्रस्तुत की गई है। नकारात्मक तर्कों के सूत्र, आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट से संबंधित व्यंजक प्राप्त किए जाते हैं। आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट के योग के लिए सूत्र प्राप्त करने की एक विधि का संकेत दिया गया है।

मूल सूत्र

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति सरल है, लेकिन प्रत्यक्ष कार्यों के तर्कों के मूल्यों पर नियंत्रण की आवश्यकता होती है। यह इस तथ्य के कारण है कि त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं और इसलिए, उनके प्रतिलोम फलन बहुमान होते हैं। जब तक अन्यथा न कहा गया हो, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का अर्थ है उनके प्रमुख मान। मुख्य मान का निर्धारण करने के लिए, त्रिकोणमितीय फलन की परिभाषा के क्षेत्र को उस अंतराल तक सीमित कर दिया जाता है जिस पर यह एकरस और निरंतर होता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति त्रिकोणमितीय कार्यों के सूत्रों और व्युत्क्रम कार्यों के गुणों पर आधारित है। व्युत्क्रम कार्यों के गुणों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है।

पहले समूह में वे सूत्र शामिल हैं जो व्युत्क्रम कार्यों के पूरे डोमेन में मान्य हैं:
पाप (आर्कसिन x) = x
cos(arccos x) = x
टीजी (आर्कटीजी एक्स) = एक्स (-∞ < x < +∞ )
सीटीजी (आर्कटीजी एक्स) = एक्स (-∞ < x < +∞ )

दूसरे समूह में ऐसे सूत्र शामिल हैं जो केवल व्युत्क्रम कार्यों के मूल्यों के सेट पर मान्य हैं।
आर्कसिन (पाप x) = xपर
आर्ककोस (cos x) = xपर
आर्कटीजी (टीजी एक्स) = एक्सपर
आर्कसीटीजी (सीटीजी एक्स) = एक्सपर

यदि चर x उपरोक्त अंतराल में नहीं आता है, तो इसे त्रिकोणमितीय कार्यों के सूत्रों का उपयोग करके इसे कम किया जाना चाहिए (इसके बाद n एक पूर्णांक है):
sinx = पाप (-x-π); sinx = पाप (π-x); sinx = sin(x+2πn);
कॉस एक्स = कॉस (-एक्स); cosx = cos(2π-x); cosx = cos(x+2πn);
टीजीएक्स = टीजी(एक्स+πएन); सीटीजीएक्स = सीटीजी (एक्स+πएन)

उदाहरण के लिए, यदि यह ज्ञात हो कि
आर्कसिन (पाप x) = arcsin(sin(π - x )) = π - x ।

यह देखना आसान है कि - x के लिए आवश्यक अंतराल के भीतर आता है। ऐसा करने के लिए, -1: से गुणा करें और π जोड़ें: या सब कुछ सही है।

नकारात्मक तर्क के व्युत्क्रम कार्य

उपरोक्त सूत्रों और त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों को लागू करने पर, हम एक ऋणात्मक तर्क के प्रतिलोम फलनों के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं।

आर्कसिन (-x) = आर्क्सिन (-सिन आर्क्सिन x) = आर्क्सिन (पाप (-आर्क्सिन एक्स)) = - आर्कसिन x

तब से -1 से गुणा करने पर, हमारे पास है: or
साइन तर्क आर्क्साइन श्रेणी की स्वीकार्य सीमा के भीतर आता है। इसलिए सूत्र सही है।

इसी तरह अन्य कार्यों के लिए।
आर्ककोस (-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = - आर्ककोस x

आर्कटिक (-x) = आर्कटीजी (-टीजी आर्कटीजी एक्स) = आर्कटीजी (टीजी (-आर्कटग एक्स)) = - आर्कटिक एक्स

आर्कसीटीजी (-एक्स) = आर्कसीटीजी (-सीटीजी आर्कसीटीजी एक्स) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = - आर्कसीटीजी एक्स

आर्ककोसाइन के संदर्भ में आर्क्साइन की अभिव्यक्ति और आर्ककोटैंजेंट के संदर्भ में आर्कटैंगेंट

हम आर्क्साइन को आर्ककोसाइन के रूप में व्यक्त करते हैं।

इन असमानताओं के लिए सूत्र मान्य है क्योंकि

इसे सत्यापित करने के लिए, हम असमानताओं को -1 से गुणा करते हैं और π/2 जोड़ते हैं या सब कुछ सही है।

इसी तरह, हम चाप स्पर्शरेखा के माध्यम से चाप स्पर्शरेखा को व्यक्त करते हैं।

आर्कटेंजेंट के माध्यम से आर्क्साइन की अभिव्यक्ति, आर्ककोसाइन आर्ककोटैंजेंट के माध्यम से और इसके विपरीत

हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं।

योग और अंतर सूत्र

इसी तरह, हम आर्क्सिन के योग के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं।

आइए हम सूत्र की प्रयोज्यता की सीमाएँ स्थापित करें। बोझिल अभिव्यक्तियों से निपटने के लिए, हम संकेतन का परिचय देते हैं: X = आर्कसिन x, वाई = आर्कसिन यू. सूत्र तब लागू होता है जब
. इसके अलावा, हम ध्यान दें कि, चूंकि आर्कसिन (- x) = - आर्क्सिन x, आर्कसिन (- y) = - आर्कसिन y,तो अलग-अलग चिह्नों के लिए, x और y, X और Y के भी अलग-अलग चिह्न हैं, और इसलिए असमानताएँ बनी रहती हैं। x और y के लिए विभिन्न चिह्नों की स्थिति को एक असमानता के साथ लिखा जा सकता है: . यानी जब फॉर्मूला मान्य हो।

अब मामले पर विचार करें x > 0 और तुम > 0 , या एक्स > 0 और यू > 0 . तब सूत्र के लागू होने की शर्त असमानता की पूर्ति है: . चूंकि कोसाइन नीरस रूप से अंतराल में तर्क के मूल्यों के लिए घट जाती है 0 , तक, तब हम इस असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों की कोज्या लेते हैं और व्यंजक को रूपांतरित करते हैं:
;
;
;
.
चूंकि और; तो यहां शामिल कोसाइन ऋणात्मक नहीं हैं। असमानता के दोनों भाग सकारात्मक हैं। हम उन्हें वर्गाकार करते हैं और कोज्या को ज्या के माध्यम से परिवर्तित करते हैं:
;
.
विकल्प पाप एक्स = पाप चाप पाप एक्स = एक्स:
;
;
;
.

तो, परिणामी सूत्र या के लिए मान्य है।

अब मामले पर विचार करें x > 0, y > 0 और x 2 + y 2 > 1 . यहाँ साइन तर्क मान लेता है: . इसे आर्क्सिन मान क्षेत्र के अंतराल तक कम करने की आवश्यकता है:

इसलिए,

मैं पर।

x और y को - x और - y से प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

मैं पर।
हम परिवर्तन करते हैं:

मैं पर।
या

मैं पर।

इसलिए, हमें आर्क्सिन के योग के लिए निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त हुए:

पर या;

के लिए और ;

पर और।

आर्क्साइन, आर्ककोसाइन क्या है? चाप स्पर्शरेखा, चाप स्पर्शरेखा क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

अवधारणाओं के लिए आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट, आर्ककोटैंजेंट छात्र आबादी सतर्क है। वह इन शर्तों को नहीं समझता है और इसलिए, इस गौरवशाली परिवार पर भरोसा नहीं करता है।) लेकिन व्यर्थ। ये बहुत ही सरल अवधारणाएं हैं। जो, वैसे, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय एक जानकार व्यक्ति के लिए जीवन को बहुत आसान बना देता है!

सादगी के बारे में उलझन में? व्यर्थ।) यहीं और अभी आपको इस बात का यकीन हो जाएगा।

बेशक, समझने के लिए, यह जानना अच्छा होगा कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं। हां, कुछ कोणों के लिए उनकी तालिका मान ... कम से कम सबसे सामान्य शब्दों में। फिर यहां भी कोई दिक्कत नहीं होगी।

तो, हम हैरान हैं, लेकिन याद रखें: आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटिक और आर्ककोटैंजेंट कुछ ही कोण हैं।न आधिक न कम। एक कोण है, मान लीजिए 30°। और एक कोण है आर्कसिन0.4. या आर्कटग (-1.3)। कोण सभी प्रकार के होते हैं।) आप कोणों को अलग-अलग तरीकों से आसानी से लिख सकते हैं। आप कोण को डिग्री या रेडियन में लिख सकते हैं। या आप कर सकते हैं - इसकी साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के माध्यम से ...

अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है

आर्कसिन 0.4?

यह वह कोण है जिसकी ज्या 0.4 . है! हाँ हाँ। यह आर्कसिन का अर्थ है। मैं विशेष रूप से दोहराता हूं: आर्क्सिन 0.4 एक कोण है जिसकी ज्या 0.4 है।

और बस।

इस सरल विचार को लंबे समय तक अपने दिमाग में रखने के लिए, मैं इस भयानक शब्द का एक विराम भी दूंगा - आर्क्सिन:

आर्क पाप 0,4
इंजेक्शन, जिसकी ज्या बराबर 0.4

जैसा लिखा जाता है, वैसा ही सुना जाता है।) लगभग। उपसर्ग आर्कसाधन आर्क(शब्द मेहराबपता है?), क्योंकि प्राचीन लोग कोनों के बजाय चाप का इस्तेमाल करते थे, लेकिन इससे मामले का सार नहीं बदलता है। गणितीय शब्द के इस प्राथमिक डिकोडिंग को याद रखें! इसके अलावा, चाप कोसाइन, चाप स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के लिए, डिकोडिंग केवल फ़ंक्शन के नाम में भिन्न होती है।

आर्ककोस 0.8 क्या है?
यह एक कोण है जिसकी कोज्या 0.8 है।

आर्कटिक (-1,3) क्या है?
यह एक ऐसा कोण है जिसकी स्पर्श रेखा -1.3 है।

आर्कसीटीजी 12 क्या है?
यह एक ऐसा कोण है जिसका कोटैंजेंट 12 है।

इस तरह की प्राथमिक डिकोडिंग, वैसे, महाकाव्य भूलों से बचने की अनुमति देती है।) उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति arccos1,8 काफी ठोस दिखती है। आइए डिकोडिंग शुरू करें: arccos1,8 एक कोण है जिसकी कोज्या 1.8 के बराबर है... गो-गो-गो!? 1.8!? कोसाइन एक से बड़ा नहीं हो सकता!

सही। अभिव्यक्ति arccos1,8 का कोई अर्थ नहीं है। और किसी उत्तर में इस तरह के व्यंजक को लिखने से सत्यापनकर्ता को बहुत मज़ा आएगा।)

प्राथमिक, जैसा कि आप देख सकते हैं।) प्रत्येक कोण की अपनी व्यक्तिगत ज्या और कोज्या होती है। और लगभग सभी की अपनी स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट होती है। इसलिए त्रिकोणमितीय फलन को जानकर आप कोण को ही लिख सकते हैं। इसके लिए, आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट का इरादा है। आगे मैं इस पूरे परिवार को छोटा कहूँगा - मेहराबकम टाइप करने के लिए।)

ध्यान! प्राथमिक मौखिक और सचेतमेहराब को समझने से आप विभिन्न प्रकार के कार्यों को शांति और आत्मविश्वास से हल कर सकते हैं। और में असामान्यकार्य केवल वह बचाती है।

क्या मेहराब से साधारण डिग्री या रेडियन में स्विच करना संभव है?- मैं एक सतर्क प्रश्न सुनता हूं।)

क्यों नहीं!? सरलता। आप वहां जा सकते हैं और वापस जा सकते हैं। इसके अलावा, कभी-कभी ऐसा करना आवश्यक होता है। मेहराब एक साधारण चीज है, लेकिन उनके बिना यह किसी तरह शांत है, है ना?)

उदाहरण के लिए: आर्क्सिन 0.5 क्या है?

आइए डिक्रिप्शन को देखें: आर्क्सिन 0.5 वह कोण है जिसकी ज्या 0.5 है।अब अपना सिर (या Google) चालू करें और याद रखें कि किस कोण पर 0.5 की ज्या है? ज्या 0.5 y . है 30 डिग्री का कोण. यही सब है इसके लिए: आर्कसिन 0.5 एक 30° का कोण है।आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

आर्कसिन 0.5 = 30°

या, अधिक ठोस रूप से, रेडियन के संदर्भ में:

यही है, आप आर्क्सिन के बारे में भूल सकते हैं और सामान्य डिग्री या रेडियन के साथ काम कर सकते हैं।

अगर आपको एहसास हुआ आर्क्साइन, आर्ककोसाइन क्या है ... आर्कटेंजेंट, आर्ककोटैंजेंट क्या है ...तब आप आसानी से निपट सकते हैं, उदाहरण के लिए, ऐसे राक्षस।)

एक अज्ञानी व्यक्ति भय से पीछे हट जाएगा, हाँ...) और एक जानकार डिक्रिप्शन याद रखें:आर्क्साइन वह कोण है जिसकी ज्या है ... ठीक है, इत्यादि। यदि कोई जानकार व्यक्ति भी ज्याओं की तालिका जानता है ... कोसाइन की तालिका। स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा की एक तालिका, तो कोई समस्या नहीं है!

यह विचार करने के लिए पर्याप्त है:

मैं समझूंगा, यानी। सूत्र का शब्दों में अनुवाद करें: कोण जिसकी स्पर्श रेखा 1 है (arctg1) 45° का कोण है। या, जो समान है, पाई/4। इसी तरह:

और बस इतना ही ... हम सभी मेहराबों को रेडियन में मानों से बदल देते हैं, सब कुछ कम हो जाता है, यह गणना करना बाकी है कि 1 + 1 कितना होगा। यह 2 होगा।) जो सही उत्तर है।

इस प्रकार आप आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्कटेंजेंट से साधारण डिग्री और रेडियन तक जा सकते हैं (और चाहिए)। यह डरावने उदाहरणों को बहुत सरल करता है!

अक्सर, ऐसे उदाहरणों में, मेहराब के अंदर होते हैं नकारात्मकमूल्य। जैसे, arctg(-1.3), या, उदाहरण के लिए, arccos(-0.8)... यह कोई समस्या नहीं है। नकारात्मक से सकारात्मक में जाने के लिए यहां कुछ सरल सूत्र दिए गए हैं:

एक व्यंजक का मान निर्धारित करने के लिए आपको कहना होगा:

आप इसे त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके हल कर सकते हैं, लेकिन आप इसे खींचना नहीं चाहते हैं। चलो ठीक है। से जा रहे हैं नकारात्मकचाप कोसाइन के अंदर का मान to सकारात्मकदूसरे सूत्र के अनुसार:

पहले से ही दाहिनी ओर आर्ककोसाइन के अंदर सकारात्मकअर्थ। क्या

आपको बस जानना है। यह चाप कोसाइन के बजाय रेडियन को प्रतिस्थापित करने और उत्तर की गणना करने के लिए बनी हुई है:

बस इतना ही।

आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट, आर्ककोटैंजेंट पर प्रतिबंध।

क्या उदाहरण 7-9 में कोई समस्या है? खैर, हाँ, वहाँ कुछ चाल है।)

ये सभी उदाहरण, पहली से नौवीं तक, धारा 555 में अलमारियों पर सावधानीपूर्वक छांटे गए हैं। क्या, कैसे और क्यों। सभी गुप्त जाल और चाल के साथ। इसके अलावा समाधान को नाटकीय रूप से सरल बनाने के तरीके। वैसे, इस खंड में सामान्य रूप से त्रिकोणमिति पर बहुत सारी उपयोगी जानकारी और व्यावहारिक सुझाव शामिल हैं। और न केवल त्रिकोणमिति में। बहुत मदद करता है।

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा और उनके ग्राफ दिए गए हैं। साथ ही व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित सूत्र, योग और अंतर के सूत्र।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा

चूँकि त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, उनके प्रतिलोम फलन एकल-मान नहीं होते हैं। तो, समीकरण y = पाप x, दिए गए के लिए, असीम रूप से कई जड़ें हैं। वास्तव में, ज्या की आवर्तता के कारण, यदि x ऐसा मूल है, तो एक्स + 2एन(जहाँ n एक पूर्णांक है) भी समीकरण का मूल होगा। इस प्रकार, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन बहुमान हैं. उनके साथ काम करना आसान बनाने के लिए, उनके मुख्य मूल्यों की अवधारणा पेश की जाती है। उदाहरण के लिए, ज्या पर विचार करें: y = पाप x. यदि हम तर्क x को अंतराल तक सीमित करते हैं, तो उस पर फलन y = पाप xएकरसता से बढ़ता है। इसलिए, इसका एक एकल-मान प्रतिलोम फलन है, जिसे आर्क्साइन कहा जाता है: x = आर्कसिन यू.

जब तक अन्यथा न कहा गया हो, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का अर्थ उनके प्रमुख मान हैं, जिन्हें निम्नलिखित परिभाषाओं द्वारा परिभाषित किया गया है।

आर्कसिन ( वाई = आर्कसिन x) साइन का उलटा कार्य है ( एक्स = पापी

चाप कोसाइन ( वाई = आर्ककोस x) कोसाइन का उलटा कार्य है ( एक्स = आरामदेह) जिसमें परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट है।

आर्कटिक ( वाई = आर्कटिक एक्स) स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम कार्य है ( एक्स = टीजी यू) जिसमें परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट है।

चाप स्पर्शरेखा ( वाई = आर्कसीटीजी एक्स) कोटैंजेंट का उलटा कार्य है ( एक्स = सीटीजी यू) जिसमें परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के रेखांकन त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ से सीधी रेखा y = x के संबंध में दर्पण परावर्तन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। अनुभाग देखें साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट।

वाई = आर्कसिन x

वाई = आर्ककोस x

वाई = आर्कटिक एक्स

वाई = आर्कसीटीजी एक्स

मूल सूत्र

यहां उन अंतरालों पर विशेष ध्यान देना चाहिए जिनके लिए सूत्र मान्य हैं।

आर्कसिन (पाप x) = xपर
पाप (आर्कसिन x) = x
आर्ककोस (cos x) = xपर
cos(arccos x) = x

आर्कटीजी (टीजी एक्स) = एक्सपर
टीजी (आर्कटीजी एक्स) = एक्स
आर्कसीटीजी (सीटीजी एक्स) = एक्सपर
सीटीजी (आर्कटीजी एक्स) = एक्स

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सूत्र

योग और अंतर सूत्र

or . पर

पर और

पर और

or . पर

पर और

पर और

पर

पर

पर

पर

sin, cos, tg, और ctg फ़ंक्शंस हमेशा एक आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट के साथ होते हैं। एक दूसरे का परिणाम है, और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए कार्यों के जोड़े समान रूप से महत्वपूर्ण हैं।

एक इकाई वृत्त की ड्राइंग पर विचार करें, जो त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को ग्राफिक रूप से प्रदर्शित करता है।

यदि आप चाप OA, चाप OC, चाप DE और चाप MK की गणना करते हैं, तो वे सभी कोण α के मान के बराबर होंगे। नीचे दिए गए सूत्र मुख्य त्रिकोणमितीय फलनों और उनके संगत चापों के बीच संबंध दर्शाते हैं।

आर्क्सिन के गुणों के बारे में अधिक समझने के लिए, इसके कार्य पर विचार करना आवश्यक है। अनुसूची निर्देशांक के केंद्र से गुजरने वाले एक असममित वक्र का रूप है।

आर्कसिन गुण:

अगर हम रेखांकन की तुलना करते हैं पापऔर चाप पाप, दो त्रिकोणमितीय फलन सामान्य प्रतिमान प्राप्त कर सकते हैं।

चाप कोसाइन

संख्या a का चाप कोण α का मान है, जिसकी कोज्या a के बराबर है।

वक्र y = आर्कोस xआर्क्सिन एक्स के प्लॉट को दर्पण करता है, केवल अंतर यह है कि यह ओए अक्ष पर बिंदु π/2 से गुजरता है।

आर्ककोसाइन फ़ंक्शन पर अधिक विस्तार से विचार करें:

1. फ़ंक्शन को खंड [-1; पर परिभाषित किया गया है; एक]।
2. आर्ककोस के लिए ODZ - .
3. ग्राफ पूरी तरह से I और II क्वार्टर में स्थित है, और फ़ंक्शन स्वयं न तो सम और न ही विषम है।
4. वाई = 0 x = 1 के लिए।
5. वक्र इसकी पूरी लंबाई के साथ घटता जाता है। चाप कोज्या के कुछ गुण कोज्या फलन के समान हैं।

चाप कोज्या के कुछ गुण कोज्या फलन के समान हैं।

यह संभव है कि "मेहराब" का ऐसा "विस्तृत" अध्ययन स्कूली बच्चों के लिए अतिश्योक्तिपूर्ण लगेगा। हालाँकि, अन्यथा, कुछ प्राथमिक विशिष्ट USE कार्य छात्रों को एक मृत अंत तक ले जा सकते हैं।

अभ्यास 1।चित्र में दिखाए गए कार्यों को निर्दिष्ट करें।

जवाब:चावल। 1 - 4, अंजीर। 2 - 1।

इस उदाहरण में, छोटी चीज़ों पर ज़ोर दिया गया है। आमतौर पर, छात्र रेखांकन के निर्माण और कार्यों की उपस्थिति के प्रति बहुत असावधान होते हैं। दरअसल, वक्र के रूप को याद क्यों करें, अगर इसे हमेशा गणना किए गए बिंदुओं से बनाया जा सकता है। यह मत भूलो कि परीक्षण की स्थितियों में, अधिक जटिल कार्यों को हल करने के लिए एक साधारण कार्य के लिए ड्राइंग पर लगने वाले समय की आवश्यकता होगी।

आर्कटिक

आर्कटिकसंख्या a, कोण α का ऐसा मान है कि इसकी स्पर्श रेखा a के बराबर होती है।

यदि हम चाप स्पर्शरेखा के भूखंड पर विचार करते हैं, तो हम निम्नलिखित गुणों को अलग कर सकते हैं:

1. ग्राफ अनंत है और अंतराल (- ∞; + ∞) पर परिभाषित है।
2. आर्कटैंगेंट एक विषम फलन है, इसलिए, आर्कटैन (- x) = - आर्कटैन x।
3. वाई = 0 x = 0 के लिए।
4. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में वक्र बढ़ता है।

आइए एक तालिका के रूप में tg x और arctg x का एक संक्षिप्त तुलनात्मक विश्लेषण दें।

चाप स्पर्शरेखा

संख्या a का चाप - अंतराल (0; ) से α का ऐसा मान लेता है कि इसका कोटैंजेंट a के बराबर होता है।

चाप कोटेंगेंट फ़ंक्शन के गुण:

1. फ़ंक्शन परिभाषा अंतराल अनंत है।
2. स्वीकार्य मूल्यों की सीमा अंतराल (0; ) है।
3. F(x) न तो सम है और न ही विषम।
4. इसकी पूरी लंबाई के दौरान, फ़ंक्शन का ग्राफ़ कम हो जाता है।

सीटीजी एक्स और आर्कटजी एक्स की तुलना करना बहुत आसान है, आपको केवल दो चित्र बनाने और वक्रों के व्यवहार का वर्णन करने की आवश्यकता है।

कार्य 2.ग्राफ और फ़ंक्शन के रूप को सहसंबंधित करें।

तार्किक रूप से, रेखांकन दिखाते हैं कि दोनों कार्य बढ़ रहे हैं। इसलिए, दोनों आंकड़े कुछ आर्कट फ़ंक्शन प्रदर्शित करते हैं। चाप स्पर्शरेखा के गुणों से ज्ञात होता है कि x = 0 के लिए y=0,

जवाब:चावल। 1 - 1, अंजीर। 2-4.

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ आर्कसिन, आर्कोस, आर्कटग और आर्कसीटीजी

पहले, हम पहले ही मेहराब और त्रिकोणमिति के मुख्य कार्यों के बीच संबंध की पहचान कर चुके हैं। इस निर्भरता को कई फ़ार्मुलों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो व्यक्त करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, एक तर्क की ज्या इसके आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, या इसके विपरीत। विशिष्ट उदाहरणों को हल करने में ऐसी सर्वसमिकाओं का ज्ञान उपयोगी हो सकता है।

arctg और arcctg के लिए भी अनुपात हैं:

सूत्रों की एक और उपयोगी जोड़ी एक ही कोण के आर्क्सिन और आर्कोस और आर्कक्टग और आर्कक्टग मानों के योग के लिए मान निर्धारित करती है।

समस्या समाधान के उदाहरण

त्रिकोणमिति कार्यों को सशर्त रूप से चार समूहों में विभाजित किया जा सकता है: किसी विशेष अभिव्यक्ति के संख्यात्मक मान की गणना करें, किसी दिए गए फ़ंक्शन को प्लॉट करें, इसकी परिभाषा या ODZ का डोमेन खोजें, और उदाहरण को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक परिवर्तन करें।

पहले प्रकार के कार्यों को हल करते समय, निम्नलिखित कार्य योजना का पालन करना आवश्यक है:

कार्यों के रेखांकन के साथ काम करते समय, मुख्य बात उनके गुणों और वक्र की उपस्थिति का ज्ञान है। त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सर्वसमिका तालिकाओं की आवश्यकता होती है। विद्यार्थी जितने अधिक सूत्र याद रखता है, कार्य का उत्तर खोजना उतना ही आसान होता है।

मान लीजिए परीक्षा में इस प्रकार के समीकरण का उत्तर खोजना आवश्यक है:

यदि आप व्यंजक को सही ढंग से रूपांतरित करके वांछित रूप में लाते हैं, तो इसे हल करना बहुत सरल और तेज़ है। सबसे पहले, आइए आर्क्सिन x को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं।

अगर हमें सूत्र याद है आर्कसिन (sinα) = α, तो हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए उत्तरों की खोज को कम कर सकते हैं:

मॉडल x पर बाधा उत्पन्न हुई, फिर से आर्क्सिन के गुणों से: ODZ x [-1; एक]। जब एक 0, प्रणाली का हिस्सा x1 = 1 और x2 = - 1/a जड़ों के साथ एक द्विघात समीकरण है। a = 0 के साथ, x 1 के बराबर होगा।