प्राचीन। सुंदर शब्द।) शुरू करने के लिए, थोड़ा रूसी। इस तरह शब्द का उच्चारण किया जाता है, नहीं "आदिम" जैसा लग सकता है। एंटीडेरिवेटिव संपूर्ण इंटीग्रल कैलकुलस की मूल अवधारणा है। कोई भी अभिन्न - अनिश्चित, निश्चित (आप पहले से ही इस सेमेस्टर में उनसे परिचित होंगे), साथ ही डबल, ट्रिपल, कर्विलिनियर, सतह (और ये दूसरे वर्ष के मुख्य पात्र हैं) - इस प्रमुख अवधारणा पर बनाए गए हैं। यह मास्टर करने के लिए पूरी तरह से समझ में आता है। जाओ।)

एक प्रतिअवकलन की अवधारणा से परिचित होने से पहले, आइए सबसे सामान्य शब्दों में सबसे सामान्य शब्दों को याद करें यौगिक. सीमाओं के उबाऊ सिद्धांत, तर्क की वृद्धि और अन्य चीजों में तल्लीन किए बिना, हम कह सकते हैं कि व्युत्पन्न (या भेदभाव) सिर्फ एक गणितीय ऑपरेशन है समारोह. और बस। कोई भी फ़ंक्शन लिया जाता है (उदाहरण के लिए, एफ (एक्स) = एक्स 2) तथा कुछ नियमों के अनुसारमें बदल जाता है नयी विशेषता. और यही है नयी विशेषताऔर बुलाया यौगिक.

हमारे मामले में, भेदभाव से पहले एक कार्य था एफ (एक्स) = एक्स 2, और भेदभाव के बाद यह पहले से ही बन गया अन्य समारोह एफ'(एक्स) = 2x.

यौगिक- क्योंकि हमारा नया कार्य एफ'(एक्स) = 2x हो गईसमारोह से एफ (एक्स) = एक्स 2. भेदभाव ऑपरेशन के परिणामस्वरूप। और इसके अलावा, यह उसी से है, न कि किसी अन्य कार्य से ( एक्स 3, उदाहरण के लिए)।

मोटे तौर पर बोल, एफ (एक्स) = एक्स 2- यह माँ है, एफ'(एक्स) = 2x- उसकी प्यारी बेटी।) यह समझ में आता है। आगे बढ़ो।

गणितज्ञ बेचैन लोग हैं। हर क्रिया के लिए वे प्रतिक्रिया खोजने की कोशिश करते हैं। :) जोड़ है - घटाव भी है। गुणा है और विभाजन है। एक शक्ति को ऊपर उठाना एक जड़ निकाल रहा है। साइन आर्क्सिन है। बिल्कुल वैसा ही है भेदभावइसका मतलब है कि वहाँ है ... एकीकरण.)

और अब ऐसी ही एक दिलचस्प समस्या पेश करते हैं। उदाहरण के लिए, हमारे पास इतना सरल कार्य है एफ (एक्स) = 1. और हमें इस प्रश्न का उत्तर देना होगा:

WHAT फ़ंक्शन का व्युत्पन्न हमें फ़ंक्शन देता हैएफ(एक्स) = 1?

दूसरे शब्दों में, बेटी को डीएनए विश्लेषण का उपयोग करते हुए देखकर पता लगाएं कि उसकी मां कौन है। :) तो किससे मूलफ़ंक्शन (चलिए इसे F(x) कहते हैं) हमारा यौगिकफलन f(x) = 1? या, गणितीय रूप में, किसलिएसमारोह एफ (एक्स) समानता पूरी हो गई है:

एफ'(एक्स) = एफ(एक्स) = 1?

एक प्रारंभिक उदाहरण। मैंने कोशिश की।) हम केवल फ़ंक्शन F (x) चुनते हैं ताकि समानता काम करे। :) अच्छा, आपने इसे कैसे उठाया? ओह यकीनन! एफ (एक्स) = एक्स। इसलिये:

एफ'(एक्स) = एक्स' = 1 = एफ(एक्स).

बेशक माँ मिल गई एफ (एक्स) = एक्सआपको इसे कुछ कहना होगा, हाँ।) मुझसे मिलो!

एक समारोह के लिए एक विरोधी व्युत्पन्नएफ(एक्स) एक ऐसा कार्य हैएफ(एक्स), जिसका व्युत्पन्न . के बराबर हैएफ(एक्स), अर्थात। जिसके लिए समानताएफ’(एक्स) = एफ(एक्स).

बस इतना ही। कोई और वैज्ञानिक चाल नहीं। सख्त परिभाषा में, एक अतिरिक्त वाक्यांश जोड़ा जाता है "एक्स के बीच". लेकिन हम अभी इन सूक्ष्मताओं में तल्लीन नहीं करेंगे, क्योंकि हमारा प्राथमिक कार्य यह सीखना है कि इन बहुत ही आदिम को कैसे खोजा जाए।

हमारे मामले में, यह सिर्फ यह पता चला है कि फ़ंक्शन एफ (एक्स) = एक्सहै प्राचीनसमारोह के लिए एफ (एक्स) = 1।

क्यों? इसलिये एफ'(एक्स) = एफ(एक्स) = 1. x का व्युत्पन्न एकता है। कोई आपत्ति नहीं।)

एक परोपकारी तरीके से "आदिम" शब्द का अर्थ है "पूर्वज", "माता-पिता", "पूर्वज"। हम तुरंत सबसे प्रिय और करीबी व्यक्ति को याद करते हैं।) और एंटीडेरिवेटिव की खोज ही मूल कार्य की बहाली है इसके ज्ञात व्युत्पन्न द्वारा. दूसरे शब्दों में, यह क्रिया भेदभाव के विपरीत. और बस! इस आकर्षक प्रक्रिया को ही काफी वैज्ञानिक रूप से भी कहा जाता है - एकीकरण. लेकिन के बारे में अभिन्न- बाद में। धैर्य, दोस्तों!

याद है:

एकीकरण एक फ़ंक्शन पर एक गणितीय ऑपरेशन है (ठीक भेदभाव की तरह)।

एकीकरण भेदभाव का विलोम है।

एंटीडेरिवेटिव एकीकरण का परिणाम है।

अब चलो कार्य को जटिल करते हैं। आइए अब हम फलन के लिए प्रतिअवकलज ज्ञात करें एफ (एक्स) = एक्स. यानी आइए जानें ऐसा समारोह एफ (एक्स) , प्रति इसका व्युत्पन्नएक्स के बराबर होगा:

एफ'(एक्स) = एक्स

डेरिवेटिव के साथ कौन दोस्त है, शायद कुछ इस तरह से दिमाग में आएगा:

(एक्स 2)' = 2x।

खैर, उन लोगों का सम्मान और सम्मान जो डेरिवेटिव की तालिका को याद करते हैं!) यह सही है। लेकिन एक समस्या है। हमारा मूल कार्य एफ (एक्स) = एक्स, एक (x2)' = 2 एक्स. दोएक्स। और विभेदन के बाद, हमें प्राप्त करना चाहिए बस x. ठीक नहीं। परंतु…

हम वैज्ञानिक लोग हैं। हमें प्रमाण पत्र प्राप्त हुए।) और हम स्कूल से जानते हैं कि किसी भी समानता के दोनों हिस्सों को एक ही संख्या से गुणा और विभाजित किया जा सकता है (बिल्कुल शून्य को छोड़कर)! इसलिए व्यवस्थित। आइए इस अवसर का लाभ उठाएं।)

आखिरकार, हम चाहते हैं कि एक साफ X दाईं ओर बना रहे, है ना? और ड्यूस हस्तक्षेप करता है ... इसलिए हम व्युत्पन्न (x 2) '= 2x के लिए अनुपात लेते हैं और विभाजित करते हैं इसके दोनों भागइसके लिए दो:

तो, यह कुछ चीजें साफ़ कर रहा है। आगे बढ़ो। हम जानते हैं कि कोई भी स्थिरांक हो सकता है इसे व्युत्पन्न के संकेत से बाहर निकालें।ऐशे ही:

गणित में सभी सूत्र बाएं से दाएं और इसके विपरीत - दाएं से बाएं दोनों पर काम करते हैं। इसका मतलब है कि, समान सफलता के साथ, कोई भी स्थिरांक हो सकता है व्युत्पन्न चिह्न के तहत डालें:

हमारे मामले में, हम दोनों को हर में छिपाते हैं (या, जो समान है, गुणांक 1/2) व्युत्पन्न के संकेत के तहत:

और अब सावधानी सेआइए एक नजर डालते हैं अपने रिकॉर्ड पर। हम क्या देखते हैं? हम यह कहते हुए एक समानता देखते हैं कि का व्युत्पन्न कुछ(ये है कुछ- कोष्ठक में) x के बराबर है।

परिणामी समानता का अर्थ है कि फ़ंक्शन के लिए वांछित प्रतिपक्षी एफ (एक्स) = एक्स कार्य करता है एफ (एक्स) = x2/2 . वह जो स्ट्रोक के नीचे कोष्ठक में है। सीधे एंटीडेरिवेटिव के अर्थ के अनुसार।) अच्छा, आइए परिणाम की जाँच करें। आइए व्युत्पन्न खोजें:

उत्कृष्ट! मूल कार्य मिला एफ (एक्स) = एक्स. उन्होंने जो नृत्य किया, उसी से वे लौट आए। इसका मतलब है कि हमारा एंटीडेरिवेटिव सही पाया गया है।)

क्या हो अगर एफ (एक्स) = एक्स 2? इसका आदिम किसके बराबर है? कोई बात नहीं! आप और मैं जानते हैं (फिर से, भेदभाव के नियमों से) कि:

3x2 = (x3)'

तथा, वह है,

समझ गया? अब हम, अगोचर रूप से अपने लिए, किसी के लिए भी विरोधी व्युत्पन्न गिनना सीख गए हैं शक्ति फलन f(x)=x n. मन में।) हम प्रारंभिक संकेतक लेते हैं एन, इसे एक से बढ़ाएं, और मुआवजे के रूप में हम पूरी संरचना को विभाजित करते हैं एन+1:

परिणामी सूत्र, वैसे, मान्य है न केवल प्राकृतिक संकेतक के लिएडिग्री एन, लेकिन किसी अन्य के लिए भी - नकारात्मक, भिन्नात्मक। इससे सरल से एंटीडेरिवेटिव ढूंढना आसान हो जाता है अंशोंतथा जड़ें

उदाहरण के लिए:

सहज रूप में, एन -1 , अन्यथा सूत्र का हर शून्य है, और सूत्र अपना अर्थ खो देता है।) इस विशेष मामले के बारे में एन = -1थोड़ी देर बाद।)

अनिश्चितकालीन अभिन्न क्या है? इंटीग्रल की तालिका।

आइए बताते हैं कि फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न क्या है एफ (एक्स) = एक्स?खैर, एक, एक - मैं असंतुष्ट उत्तर सुनता हूं ... यह सही है। इकाई। लेकिन... समारोह के लिए जी(एक्स) = एक्स+1यौगिक भी एक के बराबर होगा।:

साथ ही, व्युत्पन्न फ़ंक्शन के लिए एक के बराबर होगा एक्स+1234 , और समारोह के लिए एक्स-10 , और प्रपत्र के किसी अन्य कार्य के लिए एक्स+सी , कहाँ पे से कोई स्थिर है। किसी भी स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और शून्य के जोड़ / घटाव से कोई भी ठंडा या गर्म नहीं होता है।)

यह अस्पष्टता निकलता है। यह पता चला है कि समारोह के लिए एफ (एक्स) = 1एक प्रोटोटाइप के रूप में कार्य करता है न केवल एक समारोह एफ (एक्स) = एक्स , लेकिन यह भी समारोह एफ 1 (एक्स) = एक्स+1234 और समारोह एफ 2 (एक्स) = एक्स -10 और इसी तरह!

हाँ। यह सही है।) सभी के लिए ( अंतराल पर निरंतर) फ़ंक्शन का, केवल एक एंटीडेरिवेटिव नहीं है, लेकिन असीम रूप से कई - एक पूरा परिवार! एक माँ या पिताजी नहीं, बल्कि एक पूरी वंशावली, हाँ।)

परंतु! हमारे सभी आदिम रिश्तेदारों में एक महत्वपूर्ण संपत्ति समान है। इसलिए वे रिश्तेदार हैं।) संपत्ति इतनी महत्वपूर्ण है कि एकीकरण के तरीकों का विश्लेषण करने की प्रक्रिया में, हम इसके बारे में एक से अधिक बार याद करेंगे। और हम लंबे समय तक याद रखेंगे।)

यहाँ यह है, यह संपत्ति:

कोई दो आदिम एफ 1 (एक्स) तथाएफ 2 (एक्स) एक ही समारोह सेएफ(एक्स) एक स्थिरांक से भिन्न होता है:

एफ 1 (एक्स) - एफ 2 (एक्स) = सी.

प्रमाण की कौन परवाह करता है - साहित्य या व्याख्यान नोट्स का अध्ययन करें।) ठीक है, ठीक है, मैं इसे साबित करूँगा। सौभाग्य से, यहाँ प्रमाण एक चरण में प्राथमिक है। हम समानता लेते हैं

एफ 1 (एक्स) - एफ 2 (एक्स) = सी

तथा आइए दोनों भागों में अंतर करें।यही है, हम मूर्खतापूर्ण तरीके से स्ट्रोक लगाते हैं:

बस इतना ही। जैसा कि वे कहते हैं, सीटीडी। :)

यह संपत्ति क्या कहती है? और वह दो अलग-अलग आदिम एक ही समारोह से एफ (एक्स)द्वारा भिन्न नहीं हो सकता x . के साथ कुछ व्यंजक . केवल सख्ती से स्थिर! दूसरे शब्दों में, यदि हमारे पास किसी प्रकार का ग्राफ है अग्रदूतों में से एक(इसे F(x) होने दें), फिर ग्राफ़ के सिवाय प्रत्येकहमारे प्रतिअवकलजों का निर्माण y-अक्ष के अनुदिश ग्राफ F(x) के समानांतर अनुवाद द्वारा किया गया है।

आइए देखें कि यह उदाहरण फ़ंक्शन पर कैसा दिखता है एफ (एक्स) = एक्स. इसके सभी आदिम, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, सामान्य रूप है एफ(एक्स) = एक्स 2 /2+सी . तस्वीर में ऐसा लग रहा है परवलय की अनंत संख्यास्थिरांक के मान के आधार पर ओए अक्ष के साथ ऊपर या नीचे शिफ्ट करके "मुख्य" परवलय y = x 2 / 2 से प्राप्त किया जाता है से.

एक समारोह की साजिश रचने वाले स्कूल को याद रखें y=f(x)+aशेड्यूल शिफ्ट वाई = एफ (एक्स)वाई-अक्ष के साथ "ए" इकाइयों द्वारा?) यहां यह वही है।)

और, ध्यान दें: हमारे परवलय कहीं पार मत करो!यह कुदरती हैं। आखिरकार, दो अलग-अलग कार्य y 1 (x) और y 2 (x) अनिवार्य रूप से मेल खाते हैं स्थिरांक के दो भिन्न मान – 1 सेतथा 2 . से.

इसलिए, समीकरण y 1 (x) = y 2 (x) के कभी भी हल नहीं होते हैं:

सी 1 = सी 2

एक्स , इसलिये सी 1 सी2

और अब हम समाकलन कलन की दूसरी आधारशिला अवधारणा को सहजता से प्राप्त करते हैं। जैसा कि हमने अभी-अभी स्थापित किया है, प्रत्येक फलन f(x) में अनंत अवकलज F(x) + C का अनंत समुच्चय होता है जो एक दूसरे से अचर द्वारा भिन्न होता है। इस सबसे अनंत सेट का अपना विशेष नाम भी है।) अच्छा, कृपया प्यार और एहसान करें!

अनिश्चितकालीन अभिन्न क्या है?

एक फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव्स का सेट एफ(एक्स) कहा जाता है अनिश्चितकालीन अभिन्नसमारोह सेएफ(एक्स).

यही पूरी परिभाषा है।)

"अनिश्चित" - क्योंकि एक ही कार्य के लिए सभी प्रतिपदार्थों का समुच्चय अंतहीन. बहुत सारे विकल्प।)

"अभिन्न" - हम अगले बड़े खंड में इस क्रूर शब्द के विस्तृत डिकोडिंग से परिचित होंगे निश्चित समाकलन. इस बीच, किसी न किसी रूप में, हम एक अभिन्न वस्तु के रूप में विचार करेंगे सामान्य, एक, संपूर्ण. और एकीकरण एक संस्था, सामान्यकरण, इस मामले में, विशेष (व्युत्पन्न) से सामान्य (एंटीडेरिवेटिव) में संक्रमण। ऐसा कुछ।

अनिश्चितकालीन अभिन्न को निम्नानुसार दर्शाया गया है:

जैसा लिखा है वैसा ही पढ़ता है: एक्स डी एक्स . का अभिन्न प्रभाव. या अभिन्न सेएक्स डी एक्स से एफई।खैर, आप विचार समझ गए।)

अब आइए नोटेशन से निपटें।

∫ - अभिन्न चिह्न।अर्थ व्युत्पन्न के लिए स्ट्रोक के समान है।)

डी - आइकनअंतर। हम चिंतित नहीं है! वहां इसकी आवश्यकता क्यों है - थोड़ा कम।

एफ (एक्स) - एकीकृत("एस" के माध्यम से)।

एफ (एक्स) डीएक्स - एकीकृतया, मोटे तौर पर, अभिन्न की "भराई"।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के अर्थ के अनुसार,

यहां एफ (एक्स)- वही एक antiderivativeसमारोह के लिए एफ (एक्स)जो हम किसी तरह खुद को पाया।उन्होंने वास्तव में कैसे पाया यह बात नहीं है। उदाहरण के लिए, हमने स्थापित किया है कि एफ (एक्स) = x2/2के लिये एफ (एक्स) = एक्स.

"से" - मनमाना स्थिरांक।या, अधिक वैज्ञानिक रूप से, अभिन्न स्थिरांक. या एकीकरण स्थिरांक।सब कुछ एक है।)

आइए अब हम अपने पहले अवकलज-विरोधी उदाहरणों पर वापस आते हैं। अनिश्चितकालीन समाकल के संदर्भ में, अब हम सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

एक अभिन्न स्थिरांक क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है?

सवाल बहुत दिलचस्प है। और बहुत (बहुत!) महत्वपूर्ण। एंटीडेरिवेटिव के संपूर्ण अनंत सेट से अभिन्न स्थिरांक उस रेखा को एकल करता है, जो दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है।

क्या बात है। एंटीडेरिवेटिव्स के मूल अनंत सेट से (यानी। अनिश्चितकालीन अभिन्न) दिए गए बिंदु से गुजरने वाले वक्र का चयन करना आवश्यक है। कुछ के साथ विशिष्ट निर्देशांक।इस तरह का कार्य हमेशा और हर जगह इंटीग्रल के साथ प्रारंभिक परिचित के दौरान सामना करना पड़ता है। स्कूल और विश्वविद्यालय दोनों में।

विशिष्ट समस्या:

फलन के सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय में से f=x उस बिंदु का चयन करें जो बिंदु (2;2) से होकर गुजरता है।

हम अपने सिर के साथ सोचना शुरू करते हैं ... सभी आदिम का सेट - इसका मतलब है कि आपको सबसे पहले करने की आवश्यकता है हमारे मूल कार्य को एकीकृत करें।यानी, एक्स (एक्स)। हमने इसे थोड़ा अधिक किया और निम्नलिखित उत्तर मिला:

और अब हम समझते हैं कि वास्तव में हमें क्या मिला। हमें न केवल एक समारोह मिला है, बल्कि कार्यों का एक पूरा परिवार।जो लोग? विडा वाई = एक्स 2 /2+सी . स्थिरांक C के मान पर निर्भर करता है। और अब हमें स्थिरांक के इस मान को "पकड़ना" है।) अच्छा, आइए इसे पकड़ें?)

हमारी मछली पकड़ने वाली छड़ी - घटता का परिवार (परवलय) वाई=x2/2+सी।

स्थिरांक - ये मछली हैं। बहुत अधिक। लेकिन प्रत्येक का अपना हुक और चारा होता है।)

और चारा क्या है? सही ढंग से! हमारी बात है (-2;2)।

इसलिए हम अपने बिंदु के निर्देशांक को सामान्य रूप से प्रतिपदार्थों के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं! हम पाते हैं:

वाई(2) = 2

यहां से इसे ढूंढना आसान है सी = 0.

सियो क्या मतलब है इसका अर्थ है कि रूप के परवलय के संपूर्ण अनंत सेट में सेवाई = एक्स 2 /2+सीकेवल निरंतर सी = 0 . के साथ परवलयहमें सूट करता है! अर्थात्:वाई = एक्स 2/2। और केवल वह। केवल यह परवलय उस बिंदु से गुजरेगा जिसकी हमें आवश्यकता है (-2; 2)। और मेंहमारे परिवार से अन्य सभी परवलय गुजरते हैं इस बिंदु अब नहीं होगा।विमान के कुछ अन्य बिंदुओं के माध्यम से - हाँ, लेकिन बिंदु के माध्यम से (2; 2) - अब नहीं। समझ गया?

स्पष्टता के लिए, यहाँ आपके लिए दो चित्र हैं - परवलयों का पूरा परिवार (अर्थात, अनिश्चित समाकलन) और कुछ कंक्रीट परवलयतदनुसार स्थिरांक का विशिष्ट मानऔर गुजर रहा है विशिष्ट बिंदु:

देखें कि स्थिरांक पर विचार करना कितना महत्वपूर्ण है सेएकीकृत करते समय! तो इस अक्षर "सी" की उपेक्षा न करें और अंतिम उत्तर को विशेषता देना न भूलें।

और अब आइए जानें कि इंटीग्रल के अंदर प्रतीक हर जगह क्यों लटका रहता है डीएक्स . छात्र अक्सर इसके बारे में भूल जाते हैं ... और यह भी एक गलती है! और काफी कड़वा। मुद्दा यह है कि एकीकरण भेदभाव का विलोम है। और वास्तव में क्या है भेदभाव का परिणाम? व्युत्पन्न? सच है, लेकिन वास्तव में नहीं। अंतर!

हमारे मामले में, समारोह के लिए एफ (एक्स)इसके व्युत्पन्न का अंतर एफ (एक्स), होगा:

जो कोई भी इस श्रृंखला को नहीं समझता है - अंतर की परिभाषा और अर्थ को तत्काल दोहराएं और यह वास्तव में कैसे प्रकट होता है! नहीं तो आप अभिन्नता में बेरहमी से धीमे पड़ जाओगे....

मैं आपको सबसे अशिष्ट परोपकारी रूप में याद दिला दूं कि किसी भी फ़ंक्शन f (x) का अंतर केवल उत्पाद है एफ'(एक्स)डीएक्स. और बस! व्युत्पन्न लें और इसे गुणा करें तर्क के अंतर के लिए(यानी डीएक्स)। यही है, कोई भी अंतर, वास्तव में, सामान्य की गणना के लिए कम हो जाता है यौगिक.

इसलिए, कड़ाई से बोलते हुए, अभिन्न "लिया" जाता है, से नहीं कार्यों एफ (एक्स), जैसा कि आमतौर पर माना जाता है, और अंतर एफ (एक्स) डीएक्स!लेकिन, एक सरलीकृत संस्करण में, यह कहने की प्रथा है कि "अभिन्न समारोह से लिया जाता है". या: "फ़ंक्शन को एकीकृत करता है f(एक्स)". यह बिल्कुल वैसा है।और हम वही कहेंगे। लेकिन आइकन के बारे में डीएक्सचलो हालांकि मत भूलना! :)

और अब मैं आपको बताऊंगा कि रिकॉर्डिंग करते समय इसे कैसे न भूलें। पहले कल्पना कीजिए कि आप चर x के संबंध में साधारण अवकलज की गणना कर रहे हैं। आप इसे आमतौर पर कैसे लिखते हैं?

इस तरह: f'(x), y'(x), y'x। या अधिक ठोस रूप से, अंतर के अनुपात के माध्यम से: डाई/डीएक्स। ये सभी रिकॉर्ड हमें दिखाते हैं कि व्युत्पन्न एक्स द्वारा सटीक रूप से लिया जाता है। और "y", "te" या किसी अन्य चर द्वारा नहीं।)

इंटीग्रल के लिए भी यही सच है। रिकॉर्डिंग ∫ एफ (एक्स) डीएक्सहमें भी मानोदिखाता है कि एकीकरण बिल्कुल सही किया गया है चर x . द्वारा. बेशक, यह सब बहुत सरल और कच्चा है, लेकिन यह स्पष्ट है, मुझे आशा है। और संभावनाएं भूल जाओसर्वव्यापी विशेषता डीएक्सतेजी से गिरना।)

तो, वही अनिश्चितकालीन अभिन्न क्या है - इसका पता लगा लिया। बढ़िया।) अब इन बहुत ही अनिश्चित समाकलों को सीखना अच्छा होगा calculate. या, सीधे शब्दों में कहें, "ले लो"। :) और यहां छात्र दो समाचारों की प्रतीक्षा कर रहे हैं - अच्छा और इतना अच्छा नहीं। अभी के लिए, चलो अच्छे से शुरू करते हैं।)

खबर अच्छी है। इंटीग्रल के लिए, साथ ही डेरिवेटिव के लिए, एक टेबल है। और सभी अभिन्न अंग जो हम रास्ते में मिलेंगे, यहां तक ​​​​कि सबसे भयानक और फैंसी वाले भी, हम कुछ नियमों के अनुसारहम किसी तरह इन बहुत ही सारणीबद्ध लोगों को कम कर देंगे।)

तो वह यहाँ है अभिन्न तालिका!

यहां सबसे लोकप्रिय कार्यों से इंटीग्रल की ऐसी सुंदर तालिका है। मैं सूत्र 1-2 (स्थिर और शक्ति फ़ंक्शन) के समूह पर विशेष ध्यान देने की सलाह देता हूं। इंटीग्रल्स में ये सबसे आम सूत्र हैं!

सूत्रों का तीसरा समूह (त्रिकोणमिति), जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, डेरिवेटिव के लिए संबंधित सूत्रों को केवल उलटा करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए:

सूत्रों के चौथे समूह (घातीय कार्य) के साथ - सब कुछ समान है।

और यहाँ हमारे लिए सूत्रों के अंतिम चार समूह (5-8) हैं नया।वे कहाँ से आए थे और किस तरह के गुणों के लिए ये विदेशी कार्य अचानक बुनियादी अभिन्न की तालिका में प्रवेश कर गए? फ़ंक्शंस के ये समूह बाकी फ़ंक्शंस से इतने अलग क्यों हैं?

तो यह ऐतिहासिक रूप से विकास की प्रक्रिया में हुआ एकीकरण के तरीके . जब हम सबसे विविध समाकलों को लेने के लिए प्रशिक्षण लेते हैं, तो आप समझेंगे कि तालिका में सूचीबद्ध कार्यों के समाकलन बहुत, बहुत सामान्य हैं। इतनी बार कि गणितज्ञों ने उन्हें सारणीबद्ध के रूप में वर्गीकृत किया है।) अधिक जटिल निर्माणों से, उनके माध्यम से बहुत से अन्य समाकलन व्यक्त किए जाते हैं।

रुचि के लिए, आप इनमें से एक भयानक सूत्र ले सकते हैं और अंतर कर सकते हैं। :) उदाहरण के लिए, सबसे क्रूर 7वां सूत्र।

सब कुछ ठीक है। गणितज्ञों ने धोखा नहीं दिया। :)

इंटीग्रल की तालिका, साथ ही डेरिवेटिव की तालिका को दिल से जानना वांछनीय है। किसी भी स्थिति में, सूत्रों के पहले चार समूह। यह उतना मुश्किल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। अंतिम चार समूहों को याद करें (भिन्न और जड़ों के साथ) अलविदाइसके लायक नहीं। वैसे भी, पहले तो आप भ्रमित होंगे कि लॉगरिदम कहाँ लिखना है, आर्कटेंजेंट कहाँ है, आर्क्साइन कहाँ है, 1/a कहाँ है, 1/2a कहाँ है ... केवल एक ही रास्ता है - अधिक उदाहरणों को हल करने के लिए। तब तालिका धीरे-धीरे अपने आप याद हो जाएगी, और संदेह कुतरना बंद हो जाएगा।)

विशेष रूप से जिज्ञासु व्यक्ति, मेज को करीब से देखते हुए, पूछ सकते हैं: तालिका में अन्य प्राथमिक "स्कूल" कार्यों - स्पर्शरेखा, लघुगणक, "मेहराब" के अभिन्न अंग कहाँ हैं? मान लीजिए कि तालिका में साइन का एक अभिन्न अंग क्यों है, लेकिन स्पर्शरेखा का एक अभिन्न अंग नहीं है, कहते हैं टीजी एक्स? या लघुगणक से कोई समाकल नहीं है एलएन एक्स? आर्कसिन से आर्कसिन x? वे बदतर क्यों हैं? लेकिन यह कुछ "बाएं" कार्यों से भरा है - जड़ों, अंशों, वर्गों के साथ ...

उत्तर। कुछ भी बुरा नहीं।) बस उपरोक्त इंटीग्रल (स्पर्शरेखा, लघुगणक, आर्क्सिन, आदि से) सारणीबद्ध नहीं हैं . और वे व्यवहार में तालिका में प्रस्तुत किए गए लोगों की तुलना में बहुत कम पाए जाते हैं। तो जानिए रटकर, जिसके वे बराबर हैं, बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। बस इतना जानना काफी है वे कैसे है गणना.)

क्या, कोई अभी भी असहनीय है? तो यह हो, खासकर तुम्हारे लिए!

अच्छा, तुम पढ़ाई कैसे करोगे? :) आप नहीं करेंगे? और न करें।) लेकिन चिंता न करें, हम निश्चित रूप से ऐसे सभी अभिन्न अंग पाएंगे। प्रासंगिक पाठों में। :)

खैर, अब हम अनिश्चित समाकल के गुणों की ओर मुड़ते हैं। हाँ, कुछ नहीं करना है! एक नई अवधारणा पेश की जाती है, और इसके कुछ गुणों पर तुरंत विचार किया जाता है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण।

अब इतनी अच्छी खबर नहीं है।

भेदभाव के विपरीत, सामान्य मानक एकीकरण नियम, निष्पक्ष सभी अवसरों के लिए, गणित में मौजूद नहीं है। यह शानदार है!

उदाहरण के लिए, आप सभी अच्छी तरह से जानते हैं (मुझे आशा है!) कि कोईकाम कोईदो कार्य f(x) g(x) इस तरह विभेदित हैं:

(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).

कोईभागफल इस तरह विभेदित है:

और कोई भी जटिल कार्य, चाहे वह कितना भी मुड़ा हुआ क्यों न हो, इस तरह विभेदित होता है:

और कोई फर्क नहीं पड़ता कि एफ और जी अक्षरों के नीचे कौन से कार्य छिपे हुए हैं, सामान्य नियम अभी भी काम करेंगे और व्युत्पन्न, एक तरफ या कोई अन्य, मिल जाएगा।

लेकिन इंटीग्रल के साथ, ऐसी संख्या अब काम नहीं करेगी: एक उत्पाद के लिए, एक भागफल (अंश), साथ ही साथ सामान्य एकीकरण फ़ार्मुलों का एक जटिल कार्य मौजूद नहीं! कोई मानक नियम नहीं हैं!बल्कि हैं। मैंने व्यर्थ में गणित को नाराज कर दिया।) लेकिन, सबसे पहले, उनमें से बहुत कम हैं भेदभाव के सामान्य नियमों की तुलना में। और दूसरी बात, एकीकरण के अधिकांश तरीके जिनके बारे में हम निम्नलिखित पाठों में बात करेंगे, वे बहुत, बहुत विशिष्ट हैं। और वे केवल एक निश्चित, बहुत सीमित वर्ग के कार्यों के लिए मान्य हैं। चलो बस के लिए कहते हैं भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्य. या कुछ अन्य।

और कुछ अभिन्न, हालांकि वे प्रकृति में मौजूद हैं, आम तौर पर प्राथमिक "स्कूल" कार्यों के माध्यम से किसी भी तरह से व्यक्त नहीं किए जाते हैं! हाँ, हाँ, और ऐसे बहुत से अभिन्न अंग हैं! :)

इसीलिए एकीकरण भेदभाव की तुलना में कहीं अधिक समय लेने वाला और श्रमसाध्य कार्य है। लेकिन इसका अपना ही उत्साह है। यह गतिविधि रचनात्मक और बहुत ही रोमांचक है।) और, यदि आप इंटीग्रल की तालिका में अच्छी तरह से महारत हासिल करते हैं और कम से कम दो बुनियादी तकनीकों में महारत हासिल करते हैं, जिनके बारे में हम बाद में (और) बात करेंगे, तो आप वास्तव में एकीकरण को पसंद करेंगे। :)

और अब आइए परिचित हों, वास्तव में, अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों के साथ। वे कुछ भी नहीं हैं। वे यहाँ हैं।

पहले दो गुण पूरी तरह से डेरिवेटिव के लिए समान गुणों के अनुरूप हैं और कहलाते हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न के रैखिकता गुण . यहां सब कुछ सरल और तार्किक है: योग / अंतर का अभिन्न अंग के योग / अंतर के बराबर है, और स्थिर कारक को अभिन्न चिह्न से निकाला जा सकता है।

लेकिन निम्नलिखित तीन गुण हमारे लिए मौलिक रूप से नए हैं। आइए उनका अधिक विस्तार से विश्लेषण करें। वे रूसी में इस प्रकार ध्वनि करते हैं।

तीसरी संपत्ति

समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है

सब कुछ सरल है, जैसे एक परी कथा में। यदि आप फ़ंक्शन को एकीकृत करते हैं, और फिर परिणाम के व्युत्पन्न को वापस ढूंढते हैं, तो ... आपको मूल इंटीग्रैंड मिलता है। :) अंतिम एकीकरण परिणाम की जांच के लिए इस संपत्ति का हमेशा (और चाहिए) उपयोग किया जा सकता है। हमने अभिन्न की गणना की - उत्तर को अलग करें! हमें इंटीग्रैंड मिला - ठीक है। उन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया, जिसका अर्थ है कि उन्होंने कहीं गड़बड़ कर दी। त्रुटि की तलाश करें।)

बेशक, जवाब में, इस तरह के क्रूर और बोझिल कार्यों को प्राप्त किया जा सकता है कि यह उन्हें अलग करने के लिए अनिच्छुक है, हां। लेकिन अगर संभव हो तो बेहतर होगा कि आप खुद को परखने की कोशिश करें। कम से कम उन उदाहरणों में जहां यह आसान है।)

चौथी संपत्ति

समाकल का अंतर समाकलन के बराबर होता है .

यहां कुछ खास नहीं है। सार वही है, अंत में केवल dx दिखाई देता है। पिछली संपत्ति और अंतर के विस्तार के नियमों के अनुसार।

पांचवी संपत्ति

किसी फलन के अवकलन का समाकल इस फलन के योग और एक मनमाना स्थिरांक के बराबर होता है .

इसके अलावा एक बहुत ही साधारण संपत्ति। समाकलों को हल करने की प्रक्रिया में भी हम इसका नियमित रूप से उपयोग करेंगे। विशेषकर - में और.

यहां कुछ उपयोगी विशेषताएं दी गई हैं। मैं यहां उनके सख्त सबूतों के साथ बोर नहीं होने जा रहा हूं। मेरा सुझाव है कि जो लोग इसे स्वयं करना चाहते हैं। सीधे व्युत्पन्न और अंतर के अर्थ के अनुसार। मैं केवल अंतिम, पांचवीं संपत्ति साबित करूंगा, क्योंकि यह कम स्पष्ट है।

तो हमारे पास एक बयान है:

हम अपने अभिन्न के "भराई" को निकालते हैं और इसे अंतर की परिभाषा के अनुसार खोलते हैं:

बस मामले में, मैं आपको याद दिलाता हूं कि, व्युत्पन्न और प्रतिपक्षी के हमारे अंकन के अनुसार, एफ’(एक्स) = एफ(एक्स) .

अब हम अपना परिणाम वापस इंटीग्रल के अंदर डालते हैं:

बिल्कुल प्राप्त किया अनिश्चितकालीन अभिन्न की परिभाषा (रूसी भाषा मुझे माफ कर सकती है)! :)

बस इतना ही।)

कुंआ। इस पर, मैं मानता हूं कि अभिन्नों की रहस्यमय दुनिया के साथ हमारा प्रारंभिक परिचय हुआ है। आज मैं राउंड ऑफ करने का प्रस्ताव करता हूं। टोही पर जाने के लिए हमारे पास पहले से ही पर्याप्त हथियार हैं। यदि मशीन गन के साथ नहीं, तो कम से कम बुनियादी गुणों वाली पानी की पिस्तौल और एक टेबल के साथ। :) अगले पाठ में, हम पहले से ही तालिका के सीधे आवेदन और लिखित गुणों के लिए इंटीग्रल के सबसे सरल हानिरहित उदाहरणों की प्रतीक्षा कर रहे हैं।

मिलते हैं!

लक्ष्य:

• आदिम की अवधारणा का गठन।
• अभिन्न की धारणा के लिए तैयारी।
• कंप्यूटिंग कौशल का गठन।
• सौंदर्य की भावना की शिक्षा (असामान्य में सौंदर्य देखने की क्षमता)।

गणितीय विश्लेषण - गणित के वर्गों का एक सेट जो कार्यों के अध्ययन और उनके सामान्यीकरण के लिए अंतर और अभिन्न कलन के तरीकों से समर्पित है।

अब तक, हमने गणितीय विश्लेषण के एक खंड का अध्ययन किया है जिसे डिफरेंशियल कैलकुलस कहा जाता है, जिसका सार "छोटे" में एक फ़ंक्शन का अध्ययन करना है।

वे। परिभाषा के प्रत्येक बिंदु के पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस में कार्य का अध्ययन। भेदभाव के संचालन में से एक व्युत्पन्न (अंतर) ढूंढ रहा है और इसे कार्यों के अध्ययन में लागू कर रहा है।

उलटा समस्या भी उतनी ही महत्वपूर्ण है। यदि किसी फ़ंक्शन का व्यवहार उसकी परिभाषा के प्रत्येक बिंदु के आसपास के क्षेत्र में जाना जाता है, तो फ़ंक्शन को समग्र रूप से कैसे पुनर्स्थापित किया जाए, अर्थात। इसकी परिभाषा की पूरी श्रृंखला में। यह समस्या तथाकथित समाकलन के अध्ययन का विषय है।

एकीकरण भेदभाव की विपरीत क्रिया है। या दिए गए व्युत्पन्न f`(x) से फलन f(x) का पुनर्स्थापन। लैटिन शब्द "इंटीग्रो" का अर्थ है बहाली।

उदाहरण 1.

मान लीजिए (x)`=3x 2 ।
एफ (एक्स) खोजें।

समाधान:

विभेदन नियम के आधार पर यह अनुमान लगाना आसान है कि f (x) \u003d x 3, क्योंकि (x 3)` \u003d 3x 2
हालांकि, यह देखना आसान है कि f(x) अस्पष्ट रूप से पाया जाता है।
f(x) के रूप में हम ले सकते हैं
च (एक्स) \u003d एक्स 3 +1
च (एक्स) \u003d एक्स 3 +2
एफ (एक्स) \u003d एक्स 3 -3, आदि।

क्योंकि उनमें से प्रत्येक का अवकलज 3x2 है। (स्थिरांक का व्युत्पन्न 0 है)। ये सभी कार्य एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं। इसलिए, समस्या का सामान्य समाधान f(x)= x 3 +C के रूप में लिखा जा सकता है, जहां C कोई भी स्थिर वास्तविक संख्या है।

कोई भी पाया गया फलन f(x) कहलाता है मुख्यफलन के लिए F`(x) = 3x 2

परिभाषा। फलन F(x) दिए गए अंतराल J पर फलन f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहलाता है, यदि इस अंतराल से सभी x के लिए F`(x) = f(x)। तो फ़ंक्शन F (x) \u003d x 3 f (x) \u003d 3x 2 पर (- ; ) के लिए प्रतिपक्षी है।
चूँकि, सभी x ~ R के लिए, समानता सत्य है: F`(x)=(x 3)`=3x 2

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, इस फलन में प्रतिअवकलजों का एक अनंत समुच्चय है (उदाहरण संख्या 1 देखें)।

उदाहरण # 2। फलन F(x)=x अंतराल (0; +) पर सभी f(x)= 1/x के लिए प्रतिअवकलज है, क्योंकि इस अंतराल से सभी x के लिए, समानता है।
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

उदाहरण #3 फलन F(x)=tg3x अंतराल पर f(x)=3/cos3x का प्रतिअवकलन है (-n/ 2; पी/ 2),
इसलिये F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

उदाहरण #4 फलन F(x)=3sin4x+1/x-2 अंतराल पर f(x)=12cos4x-1/x 2 के लिए प्रतिअवकलन है (0;∞)
इसलिये F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)= 4cos4x-1/x 2

व्याख्यान 2

विषय: आदिम। एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन की मुख्य संपत्ति।

प्रतिअवकलन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित अभिकथन पर भरोसा करेंगे। फलन की स्थिरता का चिन्ह: यदि अंतराल J पर फलन का अवकलज Ψ(х) 0 के बराबर है, तो इस अंतराल पर फलन (х) स्थिर रहता है।

इस कथन को ज्यामितीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है।

यह ज्ञात है कि Ψ(x)=tgα, γde α - भुज x 0 वाले बिंदु पर फलन (x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण। अगर Ψ(υ)=0 अंतराल J के किसी भी बिंदु पर, फिर tgα=0 फ़ंक्शन के ग्राफ के किसी भी स्पर्शरेखा के लिए Ψ(x)। इसका मतलब है कि किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर होती है। इसलिए, संकेतित अंतराल पर, फलन (x) का ग्राफ सीधी रेखा खंड y=C के साथ मेल खाता है।

अत: फलन f(x)=c अंतराल J पर स्थिर है यदि f`(x)=0 इस अंतराल पर।

वास्तव में, अंतराल J से मनमाने ढंग से x 1 और x 2 के लिए, फ़ंक्शन के माध्य मान पर प्रमेय के अनुसार, हम लिख सकते हैं:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), क्योंकि f`(c)=0, फिर f(x 2)= f(x 1)

प्रमेय: (एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन की मूल संपत्ति)

यदि F(x) अंतराल J पर फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है, तो इस फलन के सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय का रूप है: F(x)+C, जहां C कोई वास्तविक संख्या है।

सबूत:

माना F(x) = f(x), फिर (F(x)+C)= F`(x)+C= f(x), x - J के लिए।
मान लीजिए कि (x) मौजूद है - अंतराल J पर f (x) के लिए एक अन्य प्रतिअवकलज है, अर्थात। `(x) = f(x),
तब (Φ(х) - F(х)) = f (х) - f (х) = 0, x J के लिए।
इसका अर्थ है कि (x) - F(x) अंतराल J पर स्थिर है।
इसलिए, (x) - F(x) = C.
जहां से (x)= F(x)+C.
इसका अर्थ यह है कि यदि F (x) अंतराल J पर फलन f (x) के लिए प्रतिअवकलज है, तो इस फलन के सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय का रूप होता है: F (x) + C, जहां C कोई वास्तविक संख्या है।
इसलिए, किसी दिए गए फलन के किन्हीं दो प्रतिअवकलज एक दूसरे से अचर पद से भिन्न होते हैं।

उदाहरण: फलन f (x) = cos x के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात कीजिए। पहले तीन का आलेख खींचिए।

समाधान: sin x - फलन f (x) = cos x . के प्रतिअवकलजों में से एक
F(x) = sin x + C सभी अवकलजों का समुच्चय है।

एफ 1 (एक्स) = पाप x-1
एफ 2 (एक्स) = पाप एक्स
एफ 3 (एक्स) \u003d पाप एक्स + 1

ज्यामितीय चित्रण:किसी भी प्रतिअवकलन F(x)+C का आलेख, समानांतर अनुवाद r (0;c) का उपयोग करते हुए प्रतिअवकलन F(x) के आलेख से प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण: फ़ंक्शन f (x) \u003d 2x के लिए, प्रतिपक्षी खोजें, जिसका ग्राफ t.M (1; 4) से होकर गुजरता है

समाधान: F(х)=х 2 +С सभी प्रतिपदार्थों का समुच्चय है, F(1)=4 - समस्या की स्थिति के अनुसार।
इसलिए, 4 \u003d 1 2 +सी
सी = 3
एफ (एक्स) \u003d एक्स 2 +3

भेदभाव के संचालन में से एक व्युत्पन्न (अंतर) ढूंढ रहा है और इसे कार्यों के अध्ययन में लागू कर रहा है।

उलटा समस्या भी उतनी ही महत्वपूर्ण है। यदि किसी फ़ंक्शन का व्यवहार उसकी परिभाषा के प्रत्येक बिंदु के आसपास के क्षेत्र में जाना जाता है, तो फ़ंक्शन को समग्र रूप से कैसे पुनर्स्थापित किया जाए, अर्थात। इसकी परिभाषा की पूरी श्रृंखला में। यह समस्या तथाकथित समाकलन के अध्ययन का विषय है।

एकीकरण भेदभाव की विपरीत क्रिया है। या दिए गए व्युत्पन्न f`(x) से फलन f(x) का पुनर्स्थापन। लैटिन शब्द "इंटीग्रो" का अर्थ है बहाली।

उदाहरण 1.

माना (f(x))' = 3x 2 । एफ (एक्स) खोजें।

समाधान:

विभेदन नियम के आधार पर यह अनुमान लगाना आसान है कि f (x) \u003d x 3, क्योंकि

(x 3) '= 3x 2 हालांकि, यह देखना आसान है कि f (x) अस्पष्ट रूप से पाया जाता है। f (x) के रूप में आप f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3, आदि ले सकते हैं।

इसलिये उनमें से प्रत्येक का व्युत्पन्न 3x2 है। (स्थिरांक का व्युत्पन्न 0 है)। ये सभी कार्य एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं। इसलिए, समस्या का सामान्य समाधान f(x)= x 3 +C के रूप में लिखा जा सकता है, जहां C कोई भी स्थिर वास्तविक संख्या है।

कोई भी पाया गया फलन f(x) कहलाता है प्राचीनफलन के लिए F`(x) = 3x 2

परिभाषा।

फलन F(x) दिए गए अंतराल J पर फलन f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहलाता है, यदि इस अंतराल से सभी x के लिए F`(x) = f(x)। तो फ़ंक्शन F (x) \u003d x 3 f (x) \u003d 3x 2 पर (- ; ) के लिए प्रतिपक्षी है। चूँकि, सभी x ~ R के लिए, समानता सत्य है: F`(x)=(x 3)`=3x 2

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, इस फलन में प्रतिअवकलजों का अनंत समुच्चय होता है।

उदाहरण # 2।

फलन अंतराल (0; +∞) पर सभी के लिए अवकलज विरोधी है, क्योंकि इस अंतराल से सभी h के लिए, समानता धारण करती है।

एकीकरण का कार्य किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए इसके सभी एंटीडेरिवेटिव्स को खोजना है। निम्नलिखित कथन इस समस्या को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है:

एक समारोह की स्थिरता का एक संकेत। यदि F "(x) \u003d 0 कुछ अंतराल I पर, तो फ़ंक्शन F इस अंतराल पर एक स्थिरांक है।

सबूत।

आइए हम अंतराल I से कुछ x 0 निर्धारित करें। फिर ऐसे अंतराल से किसी भी संख्या x के लिए, लैग्रेंज सूत्र के आधार पर, कोई व्यक्ति x और x 0 के बीच ऐसी संख्या c निर्दिष्ट कर सकता है कि

एफ (एक्स) - एफ (एक्स 0) \u003d एफ "(सी) (एक्स-एक्स 0)।

शर्त के अनुसार, F' (c) = 0, क्योंकि c 1 इसलिए,

एफ (एक्स) - एफ (एक्स 0) = 0।

अत: अंतराल I . से सभी x के लिए

अर्थात् फलन F स्थिर रहता है।

सभी प्रतिअवकलन फलन f को एक सूत्र का प्रयोग करके लिखा जा सकता है, जिसे कहते हैं फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव का सामान्य रूपएफ। निम्नलिखित प्रमेय सत्य है ( आदिम की मूल संपत्ति):

प्रमेय। अंतराल I पर फलन f के लिए कोई भी प्रतिअवकलज इस प्रकार लिखा जा सकता है

F(x) + C, (1) जहां F(x) अंतराल I पर फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है, और C एक मनमाना स्थिरांक है।

आइए हम इस कथन की व्याख्या करें, जिसमें प्रतिअवकलज के दो गुण संक्षेप में निरूपित किए गए हैं:

1. हम C के स्थान पर व्यंजक (1) में जो भी संख्या डालते हैं, हमें अंतराल I पर f के लिए प्रतिअवकलन प्राप्त होता है;
2. अंतराल I पर f के लिए जो भी प्रतिअवकलन लिया जाता है, कोई ऐसी संख्या C चुन सकता है कि अंतराल I से सभी x के लिए समानता संतुष्ट होगी

सबूत।

1. शर्त के अनुसार, फ़ंक्शन F अंतराल I पर f के लिए प्रतिअवकलन है। इसलिए, F "(x) \u003d f (x) किसी भी x∈1 के लिए, इसलिए (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" \u003d f(x)+0=f(x), यानी F(x) + C फलन f का प्रतिअवकलन है।
2. मान लीजिए (х) समान अंतराल I पर फलन f के लिए एक प्रतिअवकलज है, अर्थात सभी x∈I के लिए "(x) = f (х)।

तब (Ф (x) - F (x)) "= " (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0.

यह यहाँ से अनुसरण करता है। फ़ंक्शन की स्थिरता के संकेत के कारण, अंतर Ф (х) - F (х) एक ऐसा फ़ंक्शन है जो अंतराल I पर कुछ स्थिर मान C लेता है।

इस प्रकार, अंतराल I से सभी x के लिए, समानता Ф(х) - F(x)=С सत्य है, जिसे सिद्ध किया जाना था। एंटीडेरिवेटिव की मुख्य संपत्ति को एक ज्यामितीय अर्थ दिया जा सकता है: फलन f के किन्हीं दो अवकलजों के आलेख एक दूसरे से y-अक्ष के समानांतर अनुवाद द्वारा प्राप्त किए जाते हैं

सार के लिए प्रश्न

फलन F(x) फलन f(x) के लिए एक अवकलज है। F(1) ज्ञात कीजिए यदि f(x)=9x2 - 6x + 1 और F(-1) = 2।

किसी फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव खोजें

फलन (x) = cos2 * sin2x के लिए, यदि F(0) = 0 है, तो प्रतिअवकलन F(x) ज्ञात कीजिए।

किसी फलन के लिए, वह प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए जिसका आलेख बिंदु से होकर जाता है

हमने देखा है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोग हैं: व्युत्पन्न गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); व्युत्पन्न फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का ढलान है; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; व्युत्पन्न अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

लेकिन वास्तविक जीवन में, उलटी समस्याओं को भी हल करना पड़ता है: उदाहरण के लिए, गति के एक ज्ञात नियम से गति खोजने की समस्या के साथ-साथ गति के नियम को एक ज्ञात गति से बहाल करने की समस्या भी है। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।

उदाहरण 1एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा के साथ चलता है, समय t पर इसकी गति की गति सूत्र u = tg द्वारा दी जाती है। गति का नियम ज्ञात कीजिए।

समाधान।मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = u"(t). इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हमें चुनना होगा समारोह s = s(t), जिसका अवकलज tg के बराबर है। यह अनुमान लगाना आसान है

हम तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अपूर्ण रूप से। हमने प्राप्त किया है कि वास्तव में, समस्या के असीम रूप से कई समाधान हैं: रूप का कोई भी कार्य मनमाना स्थिरांक, गति के नियम के रूप में कार्य कर सकता है, क्योंकि

कार्य को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करना था: किसी बिंदु पर चलती बिंदु के समन्वय को इंगित करें, उदाहरण के लिए, टी = 0 पर। यदि, कहते हैं, s (0) \u003d s 0, तो समानता से हम s (0) \u003d 0 + C, अर्थात S 0 \u003d C प्राप्त करते हैं। अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है:
गणित में, परस्पर प्रतिलोम संक्रियाओं को अलग-अलग नाम दिए गए हैं, विशेष अंकन का आविष्कार किया गया है: उदाहरण के लिए, वर्गमूल (x 2) और वर्गमूल साइन (sinx) निकालना और आर्कसिन(आर्कसिन एक्स), आदि। किसी दिए गए फ़ंक्शन के संबंध में व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विभेदन कहा जाता है, और व्युत्क्रम संक्रिया, अर्थात। किसी दिए गए व्युत्पन्न द्वारा एक फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया - एकीकरण द्वारा।
"व्युत्पन्न" शब्द को "सांसारिक तरीके से" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y - f (x) "दुनिया में पैदा करता है" एक नया फ़ंक्शन y "= f" (x) फ़ंक्शन y \u003d f (x) एक "माता-पिता" के रूप में कार्य करता है, लेकिन गणितज्ञ, निश्चित रूप से, इसे "माता-पिता" या "निर्माता" नहीं कहते हैं, वे कहते हैं कि यह फ़ंक्शन y "=f" (x) के संबंध में, प्राथमिक छवि है , या, संक्षेप में, प्रतिपक्षी।

परिभाषा 1.फ़ंक्शन y \u003d F (x) को दिए गए अंतराल X पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है, यदि X से सभी x के लिए समानता F "(x) \u003d f (x) सत्य है .

व्यवहार में, अंतराल एक्स आमतौर पर निर्दिष्ट नहीं है, लेकिन निहित है (फ़ंक्शन के प्राकृतिक डोमेन के रूप में)।

यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

1) फ़ंक्शन y \u003d x 2 फ़ंक्शन y \u003d 2x के लिए एक प्रतिपक्षी है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (x 2) "\u003d 2x सत्य है।
2) फ़ंक्शन y - x 3 फ़ंक्शन y-3x 2 के लिए प्रतिपक्षी है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (x 3)" \u003d 3x 2 सत्य है।
3) फलन y-sinx फलन y=cosx के लिए एक प्रतिअवकलन है, क्योंकि सभी x के लिए समानता (sinx) "=cosx मान्य है।
4) फलन अंतराल पर फलन के लिए अवकलज विरोधी है क्योंकि सभी x > 0 के लिए समानता सत्य है
सामान्य तौर पर, डेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों को जानना, एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों की एक तालिका संकलित करना मुश्किल नहीं है।

हमें उम्मीद है कि आप समझ गए होंगे कि यह तालिका कैसे संकलित की गई है: दूसरे कॉलम में लिखे गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पहले कॉलम की संबंधित पंक्ति में लिखे गए फ़ंक्शन के बराबर है (इसे जांचें, आलसी मत बनो, यह है बहुत उपयोगी)। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y \u003d x 5 के लिए, एंटीडेरिवेटिव, जैसा कि आप स्थापित करते हैं, फ़ंक्शन है (तालिका की चौथी पंक्ति देखें)।

टिप्पणियाँ: 1. नीचे हम इस प्रमेय को सिद्ध करते हैं कि यदि y = F(x) एक फलन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो फलन y = f(x) में अपरिमित रूप से कई प्रतिअवकलन होते हैं और उन सभी का रूप y = F होता है। (x) + C. इसलिए, तालिका के दूसरे कॉलम में हर जगह C शब्द जोड़ना अधिक सही होगा, जहाँ C एक मनमानी वास्तविक संख्या है।
2. संक्षिप्तता के लिए, कभी-कभी वाक्यांश के बजाय "फ़ंक्शन y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x)" के लिए प्रतिअवकलन है, वे कहते हैं कि F(x) f(x) के लिए प्रतिअवकलन है ".

2. प्रतिपदार्थ ज्ञात करने के नियम

एंटीडेरिवेटिव की खोज करते समय, साथ ही डेरिवेटिव की खोज करते समय, न केवल सूत्रों का उपयोग किया जाता है (वे पृष्ठ 196 पर तालिका में सूचीबद्ध हैं), बल्कि कुछ नियम भी हैं। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।

हम जानते हैं कि किसी योग का अवकलज व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। यह नियम एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए एक समान नियम उत्पन्न करता है।

नियम 1किसी योग का प्रतिअवकलज प्रतिअवकलजों के योग के बराबर होता है।

हम आपका ध्यान इस शब्दांकन के कुछ "हल्केपन" की ओर आकर्षित करते हैं। वास्तव में, एक प्रमेय तैयार करना आवश्यक होगा: यदि फलन y = f(x) और y=g(x) के अंतराल X पर क्रमशः, y-F(x) और y-G(x) प्रतिअवकलन हैं, तो योगफल फलन y = f(x) + g(x) का अंतराल X पर एक प्रतिअवकलन है और यह प्रतिअवकलन फलन y = F(x) + G(x) है। लेकिन आमतौर पर, नियम बनाते समय (और प्रमेय नहीं), केवल कीवर्ड बचे हैं - यह नियम को व्यवहार में लागू करने के लिए अधिक सुविधाजनक है।

उदाहरण 2फलन y = 2x + cos x के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए।

समाधान। 2x के लिए प्रतिअवकलन x "है; cosx का प्रतिअवकलन sin x है। इसलिए, फलन y \u003d 2x + cos x के लिए प्रतिअवकलन फलन y \u003d x 2 + sin x (और सामान्य रूप से किसी भी फलन फॉर्म Y \u003d x 1 + sinx + C) ।
हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए एक समान नियम उत्पन्न करता है।

नियम 2अचर गुणनखंड को अवकलज-विरोधी चिह्न से निकाला जा सकता है।

उदाहरण 3

समाधान। a) sin x का प्रतिअवकलज -cos x है; इसलिए, फ़ंक्शन y \u003d 5 sin x के लिए, एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन y \u003d -5 cos x होगा।

b) cos x का प्रतिअवकलज sin x है; इसलिए, प्रतिअवकलन फलन के लिए एक फलन होगा
c) x 3 के लिए प्रतिअवकलन x के लिए प्रतिअवकलन है, फलन y \u003d 1 के लिए प्रतिअवकलन है, फलन y \u003d x है। एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए पहले और दूसरे नियमों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d 12x 3 + 8x-1 के लिए एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन है
टिप्पणी।जैसा कि आप जानते हैं, किसी उत्पाद का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर नहीं है (किसी उत्पाद को अलग करने का नियम अधिक जटिल है) और भागफल का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के भागफल के बराबर नहीं है। इसलिए, उत्पाद के व्युत्पन्न या दो कार्यों के भागफल के प्रतिपक्षी को खोजने के लिए कोई नियम नहीं हैं। ध्यान से!
हमें प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए एक और नियम प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d f (kx + m) के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

यह नियम एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए एक समान नियम उत्पन्न करता है।
नियम 3यदि y \u003d F (x) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए प्रतिपक्षी है, तो फ़ंक्शन y \u003d f (kx + m) के लिए प्रतिपक्षी कार्य है

वास्तव में,

इसका मतलब है कि यह फ़ंक्शन y \u003d f (kx + m) के लिए एक प्रतिपक्षी है।
तीसरे नियम का अर्थ इस प्रकार है। यदि आप जानते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन y \u003d F (x) है, और आपको फ़ंक्शन y \u003d f (kx + m) के एंटीडेरिवेटिव को खोजने की आवश्यकता है, तो आगे बढ़ें निम्नानुसार है: समान फ़ंक्शन F लें, लेकिन तर्क x के बजाय, व्यंजक xx+m को प्रतिस्थापित करें; इसके अलावा, फ़ंक्शन के संकेत से पहले "सुधार कारक" लिखना न भूलें
उदाहरण 4दिए गए कार्यों के लिए एंटीडेरिवेटिव खोजें:

समाधान, a) sin x का प्रतिअवकलन है -cos x; इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y \u003d sin2x के लिए, एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन होगा
b) cos x का प्रतिअवकलज sin x है; इसलिए, प्रतिअवकलन फलन के लिए एक फलन होगा

c) x 7 के लिए प्रतिअवकलन इसलिए है, फलन y \u003d (4-5x) 7 के लिए, प्रतिअवकलन फलन होगा

3. अनिश्चितकालीन अभिन्न

हम पहले ही ऊपर नोट कर चुके हैं कि दिए गए फलन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात करने की समस्या के एक से अधिक हल हैं। आइए इस मुद्दे पर अधिक विस्तार से चर्चा करें।

सबूत। 1. मान लें कि y \u003d F (x) अंतराल X पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए प्रतिपक्षी है। इसका मतलब है कि X से सभी x के लिए समानता x "(x) \u003d f (x) है सत्य। फॉर्म y \u003d F (x) + C के किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
(एफ (एक्स) + सी) \u003d एफ "(एक्स) + सी \u003d एफ (एक्स) + 0 \u003d एफ (एक्स)।

तो, (एफ(एक्स)+सी) = एफ(एक्स)। इसका अर्थ है कि y \u003d F (x) + C फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।
इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) में एक एंटीडेरिवेटिव y \u003d F (x) है, तो फ़ंक्शन (f \u003d f (x) में असीम रूप से कई एंटीडेरिवेटिव हैं, उदाहरण के लिए, का कोई भी फ़ंक्शन फॉर्म y \u003d F (x) +C प्रतिअवकलन है।
2. आइए अब हम सिद्ध करें कि एंटीडेरिवेटिव का पूरा सेट संकेतित प्रकार के कार्यों से समाप्त हो गया है।

मान लीजिए y=F 1 (x) और y=F(x) अंतराल X पर फलन Y = f(x) के लिए दो अवकलज हैं। इसका अर्थ है कि अंतराल X से सभी x के लिए निम्नलिखित संबंध हैं: F^( एक्स) = एफ (एक्स); एफ "(एक्स) \u003d एफ (एक्स)।

फ़ंक्शन y \u003d F 1 (x) -.F (x) पर विचार करें और इसका व्युत्पन्न खोजें: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (एक्स) - एफ (एक्स) = 0।
यह ज्ञात है कि यदि अंतराल X पर किसी फलन का अवकलज समान रूप से शून्य के बराबर है, तो फलन अंतराल X पर स्थिर रहता है (§ 35 में प्रमेय 3 देखें)। इसलिए, एफ 1 (एक्स) -एफ (एक्स) \u003d सी, यानी। एफएक्स) \u003d एफ (एक्स) + सी।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 5समय से गति परिवर्तन का नियम v=-5sin2t निर्धारित है। गति का नियम s = s(t) ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि उस समय t=0 बिंदु का निर्देशांक संख्या 1.5 (अर्थात s(t) = 1.5) के बराबर था।

समाधान।चूंकि गति समय के एक फलन के रूप में निर्देशांक का व्युत्पन्न है, इसलिए हमें सबसे पहले गति के प्रतिअवकलन ज्ञात करने की आवश्यकता है, अर्थात्। फलन v = -5sin2t के लिए प्रतिअवकलन। इस तरह के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फंक्शन है, और सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट का रूप है:

अचर C का एक विशिष्ट मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार, s(0) = 1.5. सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर (1) मान t=0, S = 1.5, हम प्राप्त करते हैं:

प्राप्त मान C को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें ब्याज की गति का नियम प्राप्त होता है:

परिभाषा 2.यदि किसी फलन y = f(x) में अंतराल X पर एक प्रतिअवकलन y = F(x) है, तो सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय, अर्थात् फॉर्म y \u003d F (x) + C के कार्यों के सेट को फ़ंक्शन y \u003d f (x) का अनिश्चितकालीन अभिन्न कहा जाता है और निरूपित किया जाता है:

(वे पढ़ते हैं: "x de x का अनिश्चितकालीन अभिन्न ef")।
अगले भाग में हम जानेंगे कि इस संकेतन का छिपा हुआ अर्थ क्या है।
इस पैराग्राफ में उपलब्ध एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका के आधार पर, हम बुनियादी अनिश्चित इंटीग्रल की एक तालिका संकलित करेंगे:

एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए उपरोक्त तीन नियमों के आधार पर, हम संबंधित एकीकरण नियम बना सकते हैं।

नियम 1कार्यों के योग का समाकलन इन कार्यों के समाकलों के योग के बराबर होता है:

नियम 2अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:

नियम 3यदि एक

उदाहरण 6अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

समाधान, ए) पहले और दूसरे एकीकरण नियमों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

अब हम तीसरे और चौथे एकीकरण फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं:

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

बी) तीसरे एकीकरण नियम और सूत्र 8 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

ग) दिए गए समाकल के प्रत्यक्ष निर्धारण के लिए हमारे पास न तो संगत सूत्र है और न ही संगत नियम। ऐसे मामलों में, अभिन्न संकेत के तहत निहित अभिव्यक्ति के प्रारंभिक समान परिवर्तन कभी-कभी मदद करते हैं।

आइए डिग्री घटाने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करें:

फिर क्रमिक रूप से हम पाते हैं:

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित ग्रेड 10

गणित में कैलेंडर-विषयगत योजना, वीडियोगणित में ऑनलाइन, स्कूल में गणित

एंटीडेरिवेटिव की परिभाषा।

अंतराल पर एक प्रतिअवकलन फलन f(x) (a; b) ऐसा फलन F(x) है जो दिए गए अंतराल से किसी भी x के लिए समानता रखता है।

अगर हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हैं कि स्थिर सी का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो समानता . इस प्रकार, फलन f(x) में एक मनमाना स्थिरांक C के लिए प्रतिअवकलन F(x)+C का एक समुच्चय है, और ये प्रतिअवकलन एक दूसरे से मनमाने स्थिर मान से भिन्न हैं।

अनिश्चितकालीन अभिन्न की परिभाषा।

फलन f(x) के प्रतिअवकलजों के पूरे समुच्चय को इस फलन का अनिश्चित समाकल कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है। .

अभिव्यक्ति कहा जाता है एकीकृत, और एफ (एक्स) एकीकृत. समाकलन फलन f(x) का अंतर है।

किसी अज्ञात फलन को उसके दिए गए अवकलन द्वारा ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है ढुलमुलएकीकरण, क्योंकि एकीकरण का परिणाम एक फ़ंक्शन F(x) नहीं है, बल्कि इसके एंटीडेरिवेटिव्स F(x)+C का सेट है।

व्युत्पत्ति के गुणों के आधार पर, कोई बना सकता है और साबित कर सकता है अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण(एंटीडेरिवेटिव के गुण)।

स्पष्टीकरण के लिए अनिश्चितकालीन अभिन्न के पहले और दूसरे गुणों की मध्यवर्ती समानताएं दी गई हैं।

तीसरे और चौथे गुणों को साबित करने के लिए, समानता के दाहिने हाथ के व्युत्पन्न को खोजने के लिए पर्याप्त है:

ये डेरिवेटिव इंटीग्रेंड के बराबर हैं, जो पहली संपत्ति के आधार पर प्रमाण है। इसका उपयोग अंतिम संक्रमणों में भी किया जाता है।

इस प्रकार, एकीकरण समस्या भेदभाव की विपरीत समस्या है, और इन समस्याओं के बीच बहुत घनिष्ठ संबंध है:

• पहली संपत्ति एकीकरण की जाँच की अनुमति देती है। प्रदर्शन किए गए एकीकरण की शुद्धता की जांच करने के लिए, प्राप्त परिणाम के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए पर्याप्त है। यदि विभेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त फलन समाकलन के बराबर हो जाता है, तो इसका अर्थ यह होगा कि समाकलन सही ढंग से किया गया है;
• अनिश्चितकालीन समाकलन का दूसरा गुण हमें किसी फलन के ज्ञात अवकलन से इसके अवकलज ज्ञात करने की अनुमति देता है। अनिश्चितकालीन समाकलों की प्रत्यक्ष गणना इसी गुण पर आधारित है।

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

उस फलन का प्रतिअवकलज ज्ञात कीजिए जिसका मान x = 1 पर एक के बराबर है।

समाधान।

डिफरेंशियल कैलकुलस से हम जानते हैं कि (बस बुनियादी प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका देखें)। इस तरह, . दूसरी संपत्ति द्वारा . यानी, हमारे पास एंटीडेरिवेटिव्स का एक सेट है। x = 1 के लिए हमें मान मिलता है। शर्त के अनुसार, यह मान एक के बराबर होना चाहिए, इसलिए, = 1। वांछित प्रतिअवकलन का रूप ले लेगा।

उदाहरण।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं और विभेदन द्वारा परिणाम की जांच करें।

समाधान।

त्रिकोणमिति से द्विकोण की ज्या के सूत्र के अनुसार , इसीलिए