विषय संख्या 2।

बीजीय व्यंजकों को परिवर्तित करना

मैं. सैद्धांतिक सामग्री

बुनियादी अवधारणाओं

बीजीय व्यंजक: पूर्णांक, भिन्नात्मक, परिमेय, अपरिमेय।

दायरा, अभिव्यक्ति के मान्य मूल्य।

बीजीय व्यंजक का मान।

एकपदी, बहुपद।

संक्षिप्त गुणन सूत्र।

फैक्टराइजेशन, सामान्य कारक को ब्रैकेट करना।

एक अंश की मूल संपत्ति।

डिग्री, डिग्री के गुण।

कॉर्टीम, जड़ों के गुण।

तर्कसंगत और तर्कहीन अभिव्यक्तियों का परिवर्तन।

जोड़, घटाव, गुणा, भाग, परिमेय शक्ति तक बढ़ाने, मूल निकालने और कोष्ठक का उपयोग करके संख्याओं और चरों से बना व्यंजक कहलाता है बीजीय।

उदाहरण के लिए: ;
;
;

;
;
;
.

यदि किसी बीजीय व्यंजक में चरों में विभाजन और चरों से मूल का निष्कर्षण (विशेष रूप से, भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक) शामिल नहीं है, तो इसे कहा जाता है पूरा का पूरा।

उदाहरण के लिए:
;
;
.

यदि एक बीजीय व्यंजक संख्याओं और चरों से बना होता है जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, घातांक के साथ एक प्राकृतिक घातांक और भाग का उपयोग किया जाता है, और चर के साथ व्यंजकों में विभाजन का उपयोग किया जाता है, तो इसे कहा जाता है आंशिक.

उदाहरण के लिए:
;
.

पूर्णांक और भिन्नात्मक व्यंजक कहलाते हैं विवेकीभाव।

उदाहरण के लिए: ;
;

.

यदि कोई बीजीय व्यंजक चरों से मूल के निष्कर्षण का उपयोग करता है (या चरों को भिन्नात्मक घात तक बढ़ाता है), तो ऐसा बीजीय व्यंजक कहलाता है तर्कहीन।

उदाहरण के लिए:
;
.

चरों के वे मान जिनके लिए बीजीय व्यंजक समझ में आता है, कहलाते हैं वैध चर मान.

चरों के सभी अनुमेय मानों के समुच्चय को कहते हैं परिभाषा का क्षेत्र.

संपूर्ण बीजीय व्यंजक का प्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।

भिन्नात्मक बीजगणितीय व्यंजक का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है, सिवाय उन संख्याओं के जो हर को शून्य में बदल देते हैं।

उदाहरण के लिए: समझ में आता है जब
;

समझ में आता है जब
, तभी
.

एक अपरिमेय बीजीय व्यंजक का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है, सिवाय उन संख्याओं के जो ऋणात्मक संख्या में बदल जाती हैं, एक सम अंश के मूल के चिह्न के नीचे या भिन्नात्मक घात में वृद्धि के चिह्न के तहत व्यंजक।

उदाहरण के लिए:
समझ में आता है जब
;

समझ में आता है जब
, तभी
.

एक बीजीय व्यंजक में चरों के अनुमेय मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त संख्यात्मक मान कहलाता है बीजीय व्यंजक का मान.

उदाहरण के लिए: अभिव्यक्ति
पर
,
मान लेता है
.

एक बीजीय व्यंजक जिसमें केवल संख्याएं, चरों की प्राकृतिक शक्तियां और उनके गुणनफल होते हैं, कहलाते हैं एकपदी

उदाहरण के लिए:
;
;
.

पहले स्थान पर संख्यात्मक कारक के उत्पाद के रूप में लिखा गया एकपदी, और विभिन्न चर की शक्तियों को घटाया जाता है मानक दृश्य.

उदाहरण के लिए:
;
.

एकपदी के मानक अंकन के संख्यात्मक कारक को कहा जाता है एकपदी गुणांक. सभी चरों के घातांकों के योग को कहते हैं मोनोमियल डिग्री.

जब एकपदी को एकपदी से गुणा करते हैं और एकपदी को एक प्राकृतिक घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें एक एकपदी प्राप्त होती है, जिसे एक मानक रूप में घटाया जाना चाहिए।

एकपदी का योग कहलाता है बहुपद.

उदाहरण के लिए:
; ;
.

यदि बहुपद के सभी पदों को मानक रूप में लिखा जाता है और समान पदों की कमी की जाती है, तो परिणामी मानक रूप बहुपद.

उदाहरण के लिए: .

यदि बहुपद में केवल एक चर है, तो इस चर का सबसे बड़ा घातांक कहलाता है बहुपद डिग्री.

उदाहरण के लिए: बहुपद में पांचवीं डिग्री होती है।

एक चर का वह मान जिसके लिए बहुपद का मान शून्य होता है, कहलाता है बहुपद जड़.

उदाहरण के लिए: बहुपद जड़ें
संख्या 1.5 और 2 हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के विशेष मामले

वर्ग अंतर:
या

योग का वर्ग:
या

अंतर का वर्ग:
या

क्यूब्स का योग:
या

क्यूब्स का अंतर:
या

योग घन:
या

अंतर घन:
या

एक बहुपद का अनेक कारकों (बहुपद या एकपदी) के गुणनफल में परिवर्तन कहलाता है एक बहुपद का गुणनखंडन।

उदाहरण के लिए:.

एक बहुपद के गुणनखंड की विधियाँ

उदाहरण के लिए: .

आशुलिपि गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग करना.

उदाहरण के लिए: .

समूहीकरण विधि. क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम आपको बहुपद की शर्तों को विभिन्न तरीकों से समूहित करने की अनुमति देते हैं। तरीकों में से एक इस तथ्य की ओर जाता है कि वही अभिव्यक्ति कोष्ठक में प्राप्त की जाती है, जो बदले में कोष्ठक से ली जाती है।

उदाहरण के लिए:.

किसी भी भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक को हर में एक चर के साथ दो परिमेय व्यंजकों के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए:
.

एक भिन्न जिसमें अंश और हर परिमेय व्यंजक होते हैं और हर में एक चर होता है, कहलाता है तर्कसंगत अंश.

उदाहरण के लिए:
;
;
.

यदि एक परिमेय भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या, एकपदी या बहुपद से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। इस अभिव्यक्ति को कहा जाता है एक अंश की मूल संपत्ति:

.

किसी भिन्न के अंश और हर को समान संख्या से विभाजित करने की क्रिया कहलाती है अंश में कमी:

.

उदाहरण के लिए:
;
.

कार्य एनगुणक, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ए,कहाँ पे एएक मनमाना बीजीय व्यंजक या एक वास्तविक संख्या है, और एनएक प्राकृत संख्या है, कहलाती है डिग्रीए :

.

बीजगणतीय अभिव्यक्ति एबुलाया डिग्री का आधार, संख्या
एन – सूचक.

उदाहरण के लिए:
.

परिभाषा के अनुसार यह माना जाता है कि किसी के लिए ए, शून्य के बराबर नहीं:

और
.

यदि एक
, तब
.

डिग्री गुण

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

यदि एक ,
, फिर अभिव्यक्ति एन- जिसकी डिग्री के बराबर है ए, कहा जाता है जड़एन की डिग्रीए . इसे आमतौर पर कहा जाता है
. जिसमें एबुलाया कट्टरपंथी अभिव्यक्ति, एनबुलाया मूल सूचक.

उदाहरण के लिए:
;
;
.

मूल गुणएनए . की डिग्री

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

डिग्री और मूल की अवधारणा को सामान्य करते हुए, हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा प्राप्त करते हैं:

.

विशेष रूप से,
.

जड़ों पर की जाने वाली क्रियाएं

उदाहरण के लिए: .

द्वितीय. व्यावहारिक सामग्री

कार्यों को पूरा करने के उदाहरण

उदाहरण 1. भिन्न का मान ज्ञात कीजिए
.

जवाब: .

उदाहरण 2. व्यंजक को सरल कीजिए
.

आइए पहले कोष्ठक में व्यंजक को रूपांतरित करें:

, अगर
.

आइए दूसरे कोष्ठक में व्यंजक को रूपांतरित करें:

.

पहले कोष्ठक से परिणाम को दूसरे कोष्ठक के परिणाम से विभाजित करें:

जवाब:

उदाहरण 3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

.

उदाहरण 4. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

आइए पहले भिन्न को रूपांतरित करें:

.

आइए दूसरे अंश को रूपांतरित करें:

.

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.

उदाहरण 5व्यंजक को सरल कीजिए
.

फेसला। आइए कार्रवाई करें:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

जवाब:
.

उदाहरण 6पहचान साबित करें
.

1)
;

2)
;

उदाहरण 7अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

.

फेसला। हम कार्रवाई करते हैं:

;

2)
.

उदाहरण 8पहचान साबित करें
.

फेसला। हम कार्रवाई करते हैं:

1)
;

2)

;

3)
.

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

1. व्यंजक को सरल कीजिए:

ए)
;

बी)
;

2. फैक्टर आउट:

ए)
;

बी)
;.दस्तावेज़

विषयसंख्या 5.1। त्रिकोणमितीय समीकरण I. सैद्धांतिकसामग्रीमूल अवधारणाएँ त्रिकोणमितीय समीकरण... विभिन्न का उपयोग करते हुए बीजगणितीयऔर त्रिकोणमितीय सूत्र और परिवर्तनों. द्वितीय. व्यावहारिक सामग्रीकार्यों के उदाहरण ...

बाहरी समूहों और सत्र के छात्रों के लिए सैद्धांतिक सामग्री सामग्री की तालिका पाठ 1 सूचना विज्ञान पाठ 2 जानकारी

पाठ

सैद्धांतिकसामग्रीके लिए... , परिवर्तनों, स्थानांतरण और उपयोग। जानकारी ज्ञान है उच्चारण... और पहले जमा हुआ, विषयइस प्रकार, प्रगतिशील में योगदान ... उनकी सच्चाई की मदद से बीजगणितीयतरीके। कहावतें और बयान...

विषय "प्री-प्रोफाइल प्रशिक्षण के भाग के रूप में एक वैकल्पिक पाठ्यक्रम कार्यक्रम का विकास" पूरा हुआ

दस्तावेज़

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शिक्षक का सहायक

... विषय 1. समान परिवर्तनोंबीजगणितीयभाव विषय 2. बीजगणितीय सैद्धांतिकसामग्री

और कोंडौरोवा ने स्कूली बच्चों की गणित की अतिरिक्त गणितीय शिक्षा के सिद्धांत और शिक्षण के तरीकों के अध्यायों का चयन किया

शिक्षक का सहायक

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संख्याओं के जोड़ और गुणा के मूल गुण।

जोड़ की क्रमागत संपत्ति: जब शर्तों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो योग का मूल्य नहीं बदलता है। किसी भी संख्या a और b के लिए, समानता सत्य है

जोड़ का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी का योग जोड़ सकते हैं। किसी भी संख्या a, b और c के लिए समानता सत्य है

गुणन का कम्यूटेटिव गुण: कारकों के क्रमपरिवर्तन से उत्पाद का मूल्य नहीं बदलता है। किसी भी संख्या a, b और c के लिए, समानता सत्य है

गुणन का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं।

किसी भी संख्या a, b और c के लिए, समानता सत्य है

वितरण गुण: किसी संख्या को योग से गुणा करने के लिए, आप उस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं। किसी भी संख्या a, b और c के लिए समानता सत्य है

यह जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से इस प्रकार है कि किसी भी राशि में आप अपनी पसंद के अनुसार शब्दों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और उन्हें समूहों में एक मनमाना तरीके से जोड़ सकते हैं।

उदाहरण 1 आइए 1.23+13.5+4.27 के योग की गणना करें।

ऐसा करने के लिए, पहले पद को तीसरे के साथ जोड़ना सुविधाजनक है। हम पाते हैं:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

यह गुणन के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से अनुसरण करता है: किसी भी उत्पाद में, आप कारकों को किसी भी तरह से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और मनमाने ढंग से उन्हें समूहों में जोड़ सकते हैं।

उदाहरण 2 आइए गुणनफल 1.8 0.25 64 0.5 का मान ज्ञात करें।

पहले कारक को चौथे के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ मिलाने पर, हमारे पास होगा:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4।

वितरण गुण तब भी मान्य होता है जब संख्या को तीन या अधिक पदों के योग से गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या a, b, c और d के लिए, समानता सत्य है

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

हम जानते हैं कि घटाव को घटाव में विपरीत संख्या जोड़कर घटाव द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

यह फॉर्म ए-बी की संख्यात्मक अभिव्यक्ति को संख्याओं ए और -बी के योग पर विचार करने की अनुमति देता है, फॉर्म ए + बी-सी-डी की संख्यात्मक अभिव्यक्ति को संख्याओं ए, बी, -सी, -डी, आदि का योग माना जाता है। कार्यों की मानी गई संपत्तियां भी ऐसी राशियों के लिए मान्य हैं।

उदाहरण 3 आइए व्यंजक 3.27-6.5-2.5+1.73 का मान ज्ञात करें।

यह व्यंजक संख्या 3.27, -6.5, -2.5 और 1.73 का योग है। जोड़ गुणों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4।

उदाहरण 4 आइए गुणनफल 36·() की गणना करें।

गुणक को संख्याओं और - के योग के रूप में माना जा सकता है। गुणन के वितरण गुण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

36()=36-36=9-10=-1.

पहचान

परिभाषा। दो व्यंजक जिनके संगत मान चर के किसी भी मान के लिए समान होते हैं, समान रूप से समान कहलाते हैं।

परिभाषा। एक समानता जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान कहलाती है।

आइए x=5, y=4 के लिए व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y के मान ज्ञात करें:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

हमें वही परिणाम मिला। यह वितरण संपत्ति से इस प्रकार है कि, सामान्य रूप से, चर के किसी भी मूल्य के लिए, अभिव्यक्तियों के संबंधित मान 3(x+y) और 3x+3y बराबर हैं।

अब व्यंजकों 2x+y और 2xy पर विचार करें। x=1, y=2 के लिए वे समान मान लेते हैं:

हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे कि इन भावों के मान समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=3, y=4, तो

व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y समान रूप से समान हैं, लेकिन व्यंजक 2x+y और 2xy समान रूप से समान नहीं हैं।

समानता 3(x+y)=x+3y, x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान है।

वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं।

तो, सर्वसमिकाएँ संख्याओं पर क्रियाओं के मुख्य गुणों को व्यक्त करने वाली समानताएँ हैं:

ए+बी=बी+ए, (ए+बी)+सी=ए+(बी+सी),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

पहचान के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

ए 1=ए, ए (-बी)=-एबी, (-ए)(-बी)=एबी।

अभिव्यक्तियों की पहचान परिवर्तन

एक व्यंजक के स्थान पर दूसरे व्यंजक के स्थान पर, समान रूप से उसके समान, समरूप रूपांतरण या केवल व्यंजक का रूपांतरण कहलाता है।

संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।

x, y, z दिए गए व्यंजक xy-xz का मान ज्ञात करने के लिए, आपको तीन चरण करने होंगे। उदाहरण के लिए, x=2.3, y=0.8, z=0.2 से हम पाते हैं:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

यह परिणाम केवल दो चरणों में प्राप्त किया जा सकता है, अभिव्यक्ति x(y-z) का उपयोग करके, जो समान रूप से अभिव्यक्ति xy-xz के बराबर है:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

हमने व्यंजक xy-xz को समान रूप से समान व्यंजक x(y-z) से प्रतिस्थापित करके परिकलनों को सरल बनाया है।

अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना और अन्य समस्याओं को हल करने में अभिव्यक्तियों के पहचान परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कुछ समान परिवर्तन पहले ही किए जा चुके हैं, उदाहरण के लिए, समान शब्दों की कमी, कोष्ठक का उद्घाटन। इन परिवर्तनों को करने के नियमों को याद करें:

समान पदों को लाने के लिए, उनके गुणांकों को जोड़ना और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना आवश्यक है;

यदि कोष्ठक के सामने धन का चिह्न है, तो कोष्ठकों में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बनाए रखते हुए कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है;

यदि कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बदलकर कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है।

उदाहरण 1 आइए योग 5x+2x-3x में समान पदों को जोड़ें।

हम समान पदों को कम करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x।

यह परिवर्तन गुणन के वितरण गुण पर आधारित है।

उदाहरण 2 आइए व्यंजक 2a+(b-3c) में कोष्ठकों का विस्तार करें।

प्लस चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के नियम को लागू करना:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

किया गया परिवर्तन जोड़ की साहचर्य संपत्ति पर आधारित है।

उदाहरण 3 आइए व्यंजक a-(4b-c) में कोष्ठकों का विस्तार करें।

आइए ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करने के लिए नियम का उपयोग करें:

a-(4b-c)=a-4b+c.

किया गया परिवर्तन गुणन के वितरण गुण और योग के साहचर्य गुण पर आधारित है। आइए इसे दिखाते हैं। आइए इस व्यंजक में दूसरे पद -(4b-c) को एक गुणनफल (-1)(4b-c) के रूप में निरूपित करें:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)।

क्रियाओं के इन गुणों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

संख्यात्मक और बीजीय व्यंजक। अभिव्यक्ति रूपांतरण।

गणित में एक अभिव्यक्ति क्या है? अभिव्यक्ति रूपांतरणों की आवश्यकता क्यों है?

सवाल, जैसा कि वे कहते हैं, दिलचस्प है ... तथ्य यह है कि ये अवधारणाएं सभी गणित का आधार हैं। सभी गणित में भाव और उनके परिवर्तन होते हैं। बहुत स्पष्ट नहीं है? मुझे समझाने दो।

मान लीजिए कि आपके पास एक बुरा उदाहरण है। बहुत बड़ा और बहुत जटिल। मान लीजिए कि आप गणित में अच्छे हैं और आप किसी भी चीज़ से डरते नहीं हैं! क्या आप तुरंत जवाब दे सकते हैं?

तुमको करना होगा निर्णय करनायह उदाहरण। क्रमिक रूप से, चरण दर चरण, यह उदाहरण सरल. कुछ नियमों के अनुसार, बिल्कुल। वे। बनाना अभिव्यक्ति रूपांतरण. आप इन परिवर्तनों को कितनी सफलतापूर्वक अंजाम देते हैं, इसलिए आप गणित में मजबूत हैं। यदि आप नहीं जानते कि सही परिवर्तन कैसे करें, तो गणित में आप ऐसा नहीं कर सकते कुछ नहीं...

इस तरह के असहज भविष्य (या वर्तमान ...) से बचने के लिए, इस विषय को समझने में कोई दिक्कत नहीं है।)

आरंभ करने के लिए, आइए जानें गणित में एक अभिव्यक्ति क्या है. क्या संख्यात्मक अभिव्यक्तिऔर क्या है बीजगणतीय अभिव्यक्ति।

गणित में एक अभिव्यक्ति क्या है?

गणित में अभिव्यक्तिएक बहुत व्यापक अवधारणा है। गणित में हम जो कुछ भी करते हैं वह लगभग गणितीय अभिव्यक्तियों का एक समूह है। कोई भी उदाहरण, सूत्र, भिन्न, समीकरण, और इसी तरह - इसमें सभी शामिल हैं गणितीय अभिव्यक्ति.

3+2 एक गणितीय व्यंजक है। सी 2 - डी 2एक गणितीय अभिव्यक्ति भी है। और एक स्वस्थ भिन्न, और एक भी संख्या - ये सभी गणितीय व्यंजक हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण है:

5x + 2 = 12

एक समान चिह्न द्वारा जुड़े दो गणितीय व्यंजकों से मिलकर बना है। एक अभिव्यक्ति बाईं ओर है, दूसरी दाईं ओर है।

सामान्य शब्दों में, शब्द गणितीय अभिव्यक्ति" का उपयोग अक्सर, गड़गड़ाहट न करने के लिए किया जाता है। वे आपसे पूछेंगे कि एक साधारण अंश क्या है, उदाहरण के लिए? और कैसे उत्तर दें?!

उत्तर 1: "यह है ... एम-एम-एम-एम... ऐसी चीज ... जिसमें ... क्या मैं भिन्न को बेहतर तरीके से लिख सकता हूं? आप कौन सा चाहते है?"

दूसरा उत्तर विकल्प: "एक साधारण अंश है (खुशी और खुशी से!) गणितीय अभिव्यक्ति , जिसमें एक अंश और एक हर होता है!"

दूसरा विकल्प किसी तरह अधिक प्रभावशाली है, है ना?)

इस प्रयोजन के लिए, वाक्यांश " गणितीय अभिव्यक्ति "बहुत अच्छा। सही और ठोस दोनों। लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, आपको अच्छी तरह से वाकिफ होना चाहिए गणित में विशिष्ट प्रकार के व्यंजक .

विशिष्ट प्रकार एक और मामला है। ये है बिलकुल दूसरी बात!प्रत्येक प्रकार के गणितीय व्यंजक में होता है मेरानियमों और तकनीकों का एक सेट जिसका उपयोग निर्णय में किया जाना चाहिए। भिन्नों के साथ काम करने के लिए - एक सेट। त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए - दूसरा। लघुगणक के साथ काम करने के लिए - तीसरा। आदि। कहीं ये नियम मेल खाते हैं, कहीं वे तेजी से भिन्न होते हैं। लेकिन इन भयानक शब्दों से डरो मत। लघुगणक, त्रिकोणमिति और अन्य रहस्यमय चीजें हम संबंधित वर्गों में महारत हासिल करेंगे।

यहां हम दो मुख्य प्रकार के गणितीय व्यंजकों में महारत हासिल करेंगे (या - जैसा आप चाहें, दोहराएं)। संख्यात्मक व्यंजक और बीजीय व्यंजक।

संख्यात्मक भाव।

क्या संख्यात्मक अभिव्यक्ति? यह एक बहुत ही सरल अवधारणा है। नाम से ही संकेत मिलता है कि यह संख्याओं के साथ एक व्यंजक है। ऐसा ही है। अंकगणितीय संक्रियाओं के अंकों, कोष्ठकों और चिह्नों से बने गणितीय व्यंजक को अंकीय व्यंजक कहते हैं।

7-3 एक अंकीय व्यंजक है।

(8+3.2) 5.4 भी एक अंकीय व्यंजक है।

और यह राक्षस:

एक सांख्यिक व्यंजक भी, हाँ...

एक साधारण संख्या, एक अंश, बिना एक्स और अन्य अक्षरों के कोई भी गणना उदाहरण - ये सभी संख्यात्मक अभिव्यक्ति हैं।

मुख्य विशेषता संख्यात्मकइसमें भाव कोई पत्र नहीं. कोई भी नहीं। केवल संख्याएं और गणितीय चिह्न (यदि आवश्यक हो)। यह आसान है, है ना?

और संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ क्या किया जा सकता है? संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को आमतौर पर गिना जा सकता है। ऐसा करने के लिए, कभी-कभी आपको कोष्ठक खोलने, संकेत बदलने, संक्षिप्त करने, शब्दों को स्वैप करने की आवश्यकता होती है - अर्थात। बनाना अभिव्यक्ति रूपांतरण. लेकिन उस पर और नीचे।

यहाँ हम ऐसे मज़ेदार मामले से निपटेंगे जब एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के साथ आपको कुछ नहीं करना है।खैर, कुछ भी नहीं! यह अच्छा ऑपरेशन कुछ भी नहीं करने के लिए)- निष्पादित किया जाता है जब अभिव्यक्ति कोई मतलब नहीं है.

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति कब समझ में नहीं आती है?

निःसंदेह यदि हम अपने सामने किसी प्रकार का अब्रकद्र देखते हैं, जैसे

तो हम कुछ नहीं करेंगे। चूंकि यह स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ क्या करना है। कुछ बकवास। जब तक, प्लसस की संख्या गिनने के लिए ...

लेकिन बाहरी तौर पर काफी अच्छे भाव हैं। उदाहरण के लिए यह:

(2+3) : (16 - 2 8)

हालाँकि, यह अभिव्यक्ति भी है कोई मतलब नहीं है! साधारण कारण के लिए कि दूसरे कोष्ठक में - यदि आप गिनते हैं - तो आपको शून्य मिलता है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते! यह गणित में निषिद्ध ऑपरेशन है। इसलिए, इस अभिव्यक्ति के साथ भी कुछ करने की आवश्यकता नहीं है। ऐसी अभिव्यक्ति वाले किसी भी कार्य के लिए, उत्तर हमेशा एक ही होगा: "अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है!"

ऐसा उत्तर देने के लिए, निश्चित रूप से, मुझे यह गणना करनी थी कि कोष्ठक में क्या होगा। और कभी-कभी कोष्ठकों में ऐसा मोड़ ... ठीक है, इसके बारे में करने के लिए कुछ नहीं है।

गणित में इतने सारे निषिद्ध ऑपरेशन नहीं हैं। इस धागे में केवल एक ही है। शून्य से विभाजन। प्रासंगिक विषयों में जड़ों और लघुगणक में उत्पन्न होने वाले अतिरिक्त निषेधों पर चर्चा की गई है।

तो, एक विचार क्या है संख्यात्मक अभिव्यक्ति- मिलना। संकल्पना संख्यात्मक अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है- एहसास हुआ। चलिए और आगे बढ़ते हैं।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ।

यदि संख्यात्मक व्यंजक में अक्षर प्रकट होते हैं, तो यह व्यंजक बन जाता है... व्यंजक बन जाता है... हाँ! यह बनता है बीजगणतीय अभिव्यक्ति. उदाहरण के लिए:

5ए 2; 3x-2y; 3 (जेड-2); 3.4 मीटर/एन; एक्स 2 +4x-4; (ए + बी) 2; ...

ऐसे भावों को भी कहा जाता है शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ।या चर के साथ अभिव्यक्ति।यह व्यावहारिक रूप से वही बात है। अभिव्यक्ति 5ए +सी, उदाहरण के लिए - शाब्दिक और बीजीय दोनों, और चर के साथ व्यंजक।

संकल्पना बीजगणतीय अभिव्यक्ति -संख्यात्मक से अधिक व्यापक। यह शामिलऔर सभी संख्यात्मक भाव। वे। एक संख्यात्मक व्यंजक भी एक बीजीय व्यंजक है, केवल अक्षरों के बिना। हर हेरिंग एक मछली है, लेकिन हर मछली एक हेरिंग नहीं है...)

क्यों शाब्दिक- यह स्पष्ट है। खैर, चूंकि पत्र हैं ... वाक्यांश चर के साथ अभिव्यक्तिभी बहुत हैरान करने वाला नहीं है। अगर आप समझते हैं कि अक्षरों के नीचे अंक छिपे होते हैं। अक्षरों के नीचे सभी प्रकार की संख्याएँ छिपाई जा सकती हैं ... और 5, और -18, और जो भी आपको पसंद हो। यानी एक पत्र कर सकते हैं बदलने केअलग-अलग नंबरों के लिए। इसलिए अक्षरों को कहा जाता है चर.

अभिव्यक्ति में वाई+5, उदाहरण के लिए, पर- चर। या यूँ ही कहो " चर", "मूल्य" शब्द के बिना। पांच के विपरीत, जो एक स्थिर मूल्य है। या केवल - लगातार.

अवधि बीजगणतीय अभिव्यक्तिइसका मतलब है कि इस अभिव्यक्ति के साथ काम करने के लिए, आपको कानूनों और नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है बीजगणित. यदि एक अंकगणितविशिष्ट संख्याओं के साथ काम करता है, तब बीजगणित- एक ही बार में सभी नंबरों के साथ। स्पष्टीकरण के लिए एक सरल उदाहरण।

अंकगणित में, कोई यह लिख सकता है कि

लेकिन अगर हम बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के माध्यम से समान समानता लिखते हैं:

ए + बी = बी + ए

हम तुरंत फैसला करेंगे सबप्रशन। के लिए सभी नंबरआघात। अनंत चीजों के लिए। क्योंकि अक्षरों के नीचे एऔर बीगर्भित सबसंख्याएं। और न केवल संख्याएँ, बल्कि अन्य गणितीय व्यंजक भी। इस तरह बीजगणित काम करता है।

बीजीय व्यंजक का कब कोई अर्थ नहीं होता?

संख्यात्मक अभिव्यक्ति के बारे में सब कुछ स्पष्ट है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। और अक्षरों से, क्या यह पता लगाना संभव है कि हम किससे भाग कर रहे हैं?!

आइए निम्नलिखित चर अभिव्यक्ति को एक उदाहरण के रूप में लें:

2: (ए - 5)

क्या इस का कोई मतलब निकलता है? लेकिन उसे कौन जानता है? ए- कोई संख्या...

कोई भी, कोई भी... लेकिन इसका एक अर्थ है ए, जिसके लिए यह अभिव्यक्ति बिल्कुलकोई मतलब नहीं है! और वह संख्या क्या है? हां! यह 5 है! यदि चर एप्रतिस्थापित करें (वे कहते हैं - "विकल्प") संख्या 5 के साथ, कोष्ठक में, शून्य निकलेगा। जिसे विभाजित नहीं किया जा सकता है। तो यह पता चलता है कि हमारी अभिव्यक्ति कोई मतलब नहीं है, अगर ए = 5. लेकिन अन्य मूल्यों के लिए एक्या इस का कोई मतलब निकलता है? क्या आप अन्य नंबरों को स्थानापन्न कर सकते हैं?

निश्चित रूप से। ऐसे मामलों में, यह केवल कहा जाता है कि अभिव्यक्ति

2: (ए - 5)

किसी भी मूल्य के लिए समझ में आता है ए, a = 5 . को छोड़कर .

संख्याओं का पूरा सेट कर सकते हैंदिए गए व्यंजक के स्थानापन्न को कहते हैं मान्य रेंजयह अभिव्यक्ति।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी मुश्किल नहीं है। हम चर के साथ अभिव्यक्ति को देखते हैं, और सोचते हैं: चर के किस मूल्य पर निषिद्ध ऑपरेशन प्राप्त होता है (शून्य से विभाजन)?

और फिर असाइनमेंट के प्रश्न को देखना सुनिश्चित करें। वे क्या पूछ रहे हैं?

कोई मतलब नहीं है, हमारा निषिद्ध मूल्य उत्तर होगा।

यदि वे पूछते हैं कि चर के किस मूल्य पर अभिव्यक्ति अर्थ है(अंतर महसूस करो!), जवाब होगा अन्य सभी नंबरनिषिद्ध को छोड़कर।

हमें अभिव्यक्ति के अर्थ की आवश्यकता क्यों है? वह वहाँ है, वह नहीं है... क्या फर्क है?! तथ्य यह है कि हाई स्कूल में यह अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण हो जाती है। अत्यंत महत्वपूर्ण! यह ऐसी ठोस अवधारणाओं का आधार है जैसे मान्य मानों की सीमा या किसी फ़ंक्शन का दायरा। इसके बिना आप गंभीर समीकरणों या असमानताओं को बिल्कुल भी हल नहीं कर पाएंगे। इस प्रकार सं.

अभिव्यक्ति रूपांतरण। पहचान परिवर्तन।

हम संख्यात्मक और बीजीय व्यंजकों से परिचित हुए। समझें कि "अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है" वाक्यांश का क्या अर्थ है। अब हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि क्या अभिव्यक्ति रूपांतरण।उत्तर सरल है, अपमानजनक।) यह एक अभिव्यक्ति के साथ कोई भी क्रिया है। और बस। आप ये परिवर्तन प्रथम श्रेणी से करते आ रहे हैं।

शांत संख्यात्मक व्यंजक 3+5 लें। इसे कैसे परिवर्तित किया जा सकता है? हाँ, बहुत आसान! गणना करें:

यह गणना व्यंजक का रूपांतरण होगी। आप एक ही एक्सप्रेशन को दूसरे तरीके से लिख सकते हैं:

हमने यहां कुछ भी नहीं गिना। बस व्यंजक लिखिए एक अलग रूप में।यह भी अभिव्यक्ति का रूपांतरण होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

और यह भी एक अभिव्यक्ति का रूपांतरण है। आप इनमें से जितने चाहें उतने परिवर्तन कर सकते हैं।

कोई भीएक अभिव्यक्ति पर कार्रवाई कोई भीइसे भिन्न रूप में लिखने को व्यंजक रूपान्तरण कहते हैं। और सभी चीजें। सब कुछ बहुत सरल है। लेकिन यहाँ एक बात है बहुत महत्वपूर्ण नियम।इतना महत्वपूर्ण है कि इसे सुरक्षित रूप से कहा जा सकता है मुख्य नियमसभी गणित। इस नियम को तोड़ना अनिवार्य रूप सेत्रुटियों की ओर ले जाता है। क्या हम समझते हैं?)

मान लें कि हमने अपनी अभिव्यक्ति को मनमाने ढंग से इस तरह बदल दिया है:

परिवर्तन? निश्चित रूप से। हमने व्यंजक को भिन्न रूप में लिखा, यहाँ गलत क्या है?

ऐसा नहीं है।) तथ्य यह है कि परिवर्तन "जो भी हो"गणित की बिल्कुल भी दिलचस्पी नहीं है।) सारा गणित उन परिवर्तनों पर बना है जिनमें उपस्थिति बदल जाती है, लेकिन अभिव्यक्ति का सार नहीं बदलता है।थ्री प्लस फाइव किसी भी रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन यह आठ होना चाहिए।

परिवर्तन, भाव जो सार को नहीं बदलतेबुलाया सदृश।

बिल्कुल समान परिवर्तनऔर हमें, कदम दर कदम, एक जटिल उदाहरण को एक सरल अभिव्यक्ति में बदलने की अनुमति देते हैं उदाहरण का सार।यदि हम परिवर्तनों की श्रृंखला में कोई गलती करते हैं, हम एक समान परिवर्तन नहीं करेंगे, तो हम निर्णय लेंगे एक औरउदाहरण। अन्य उत्तरों के साथ जो सही से संबंधित नहीं हैं।)

यहां किसी भी कार्य को हल करने का मुख्य नियम है: परिवर्तनों की पहचान का अनुपालन।

मैंने स्पष्टता के लिए संख्यात्मक अभिव्यक्ति 3 + 5 के साथ एक उदाहरण दिया। बीजीय व्यंजकों में समान रूपान्तरण सूत्रों और नियमों द्वारा दिए जाते हैं। मान लीजिए कि बीजगणित में एक सूत्र है:

ए (बी + सी) = एबी + एसी

तो, किसी भी उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति के बजाय कर सकते हैं ए (बी + सी)एक अभिव्यक्ति लिखने के लिए स्वतंत्र महसूस करें एबी+एसी. और इसके विपरीत। ये है समान परिवर्तन।गणित हमें इन दो भावों का विकल्प देता है। और कौन सा लिखना है यह विशिष्ट उदाहरण पर निर्भर करता है।

एक और उदाहरण। सबसे महत्वपूर्ण और आवश्यक परिवर्तनों में से एक अंश की मूल संपत्ति है। आप लिंक पर अधिक विवरण देख सकते हैं, लेकिन यहां मैं केवल नियम को याद दिलाता हूं: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, या एक व्यंजक जो शून्य के बराबर नहीं है, तो भिन्न नहीं बदलेगा।इस संपत्ति के लिए समान परिवर्तनों का एक उदाहरण यहां दिया गया है:

जैसा कि आपने शायद अनुमान लगाया था, इस श्रृंखला को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है...) एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति। यह वह है जो आपको सभी प्रकार के राक्षसों को सफेद और शराबी में बदलने की अनुमति देता है।)

समान परिवर्तनों को परिभाषित करने वाले कई सूत्र हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण - काफी उचित राशि। बुनियादी परिवर्तनों में से एक कारककरण है। इसका उपयोग सभी गणित में किया जाता है - प्राथमिक से उन्नत तक। आइए उसके साथ शुरू करते हैं। अगले पाठ में।)

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मैं। वे व्यंजक जिनमें अक्षरों के साथ-साथ अंकगणितीय संक्रियाओं और कोष्ठकों का प्रयोग किया जा सकता है, बीजगणितीय व्यंजक कहलाते हैं।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण:

2एम-एन; 3 · (2ए+बी); 0.24x; 0.3a-बी · (4ए + 2बी); ए 2 - 2ab;

चूँकि बीजगणितीय व्यंजक में एक अक्षर को कुछ भिन्न संख्याओं से बदला जा सकता है, अक्षर को एक चर कहा जाता है, और बीजीय व्यंजक को एक चर के साथ व्यंजक कहा जाता है।

द्वितीय. यदि किसी बीजीय व्यंजक में अक्षरों (चर) को उनके मानों से बदल दिया जाता है और निर्दिष्ट क्रियाएं की जाती हैं, तो परिणामी संख्या को बीजीय व्यंजक का मान कहा जाता है।

उदाहरण। एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1) a + 2b -c a = -2 के लिए; बी = 10; सी = -3.5।

2) |x| + |y| -|जेड| एक्स = -8 पर; वाई = -5; जेड = 6.

फेसला.

1) a + 2b -c a = -2 के लिए; बी = 10; सी = -3.5। चर के बजाय, हम उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|जेड| एक्स = -8 पर; वाई = -5; z = 6. हम संकेतित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। याद रखें कि एक ऋणात्मक संख्या का मापांक उसकी विपरीत संख्या के बराबर होता है, और एक धनात्मक संख्या का मापांक स्वयं इस संख्या के बराबर होता है। हम पाते हैं:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.एक अक्षर (चर) के वे मान जिनके लिए बीजीय व्यंजक समझ में आता है, अक्षर के मान्य मान (चर) कहलाते हैं।

उदाहरण। चर के किन मूल्यों पर अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है?

फेसला।हम जानते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव है, इसलिए, इनमें से प्रत्येक अभिव्यक्ति का उस अक्षर (चर) के मान से कोई मतलब नहीं होगा जो भिन्न के हर को शून्य में बदल देता है!

उदाहरण 1 में, यह मान a = 0 है। वास्तव में, यदि हम 0 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो संख्या 6 को 0 से विभाजित करने की आवश्यकता होगी, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है। उत्तर: व्यंजक 1) का कोई मतलब नहीं है जब a = 0.

उदाहरण 2) में x = 4 पर हर x - 4 = 0 है, इसलिए यह मान x = 4 है और इसे नहीं लिया जा सकता है। उत्तर: व्यंजक 2) x = 4 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है।

उदाहरण 3) में x = -2 के लिए हर x + 2 = 0 है। उत्तर: व्यंजक 3) x = -2 पर कोई अर्थ नहीं रखता।

उदाहरण 4 में हर 5 -|x| . है = 0 |x| . के लिए = 5. और चूंकि |5| = 5 और |-5| \u003d 5, तो आप x \u003d 5 और x \u003d -5 नहीं ले सकते। उत्तर: व्यंजक 4) x = -5 और x = 5 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है।
चतुर्थ। दो अभिव्यक्तियों को समान रूप से समान कहा जाता है, यदि चर के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए, इन अभिव्यक्तियों के संबंधित मान समान हैं।

उदाहरण: 5 (ए - बी) और 5 ए - 5 बी समान हैं, क्योंकि समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी ए और बी के किसी भी मूल्य के लिए सही होगी। समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी एक पहचान है।

पहचान एक समानता है जो इसमें शामिल चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए मान्य है। आप पहले से ही ज्ञात सर्वसमिकाओं के उदाहरण हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के गुण, वितरण गुण।

एक व्यंजक के स्थान पर दूसरे व्यंजक के स्थान पर, समान रूप से उसके समान, समरूप रूपांतरण या केवल व्यंजक का रूपांतरण कहलाता है। संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।

उदाहरण।

ए)गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में परिवर्तित करें:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (ए -2 बी + 4 सी); 3) ए · (6 मी -2 एन + के)।

फेसला. गुणन की वितरण संपत्ति (कानून) को याद करें:

(ए+बी) सी=ए सी+बी सी(जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं)।
(ए-बी) सी=ए सी-बी सी(घटाव के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के अंतर को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को अलग-अलग घटा और घटाकर गुणा कर सकते हैं और पहले परिणाम से दूसरे को घटा सकते हैं)।

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y।

2) 1.5 (ए -2 बी + 4 सी) = 1.5 ए -3 बी + 6 सी।

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak।

बी)जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से समान में बदलना:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3ए + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s।

फेसला।हम जोड़ के कानून (गुण) लागू करते हैं:

ए+बी=बी+ए(विस्थापन: योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है)।
(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(संयुक्त: दो पदों के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरे और तीसरे का योग जोड़ सकते हैं)।

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9।

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5।

में)गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में बदलना:

7) 4 · एक्स · (-2,5); 8) -3,5 · 2 वर्ष · (-एक); 9) 3ए · (-3) · 2एस.

फेसला।आइए गुणन के नियम (गुण) लागू करें:

ए बी = बी ए(विस्थापन: कारकों का क्रमपरिवर्तन उत्पाद को नहीं बदलता है)।
(ए बी) सी = ए (बी सी)(संयुक्त: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)।

बीजगणित में जिन विभिन्न व्यंजकों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी के योग महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।

आमतौर पर, एक चर वाले मानक रूप बहुपद के पदों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हुए। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठकों के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठकों में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम भाव हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा कि संकेतित व्यंजकों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग के योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं हिस्सों को दाएं से बदलने की अनुमति देती हैं और इसके विपरीत - बाएं हिस्से के साथ दाएं हिस्से। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखना और यह समझना कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।