बीजगणित में "बहुपद" और "बहुपद के गुणनखंड" की अवधारणाएं बहुत आम हैं, क्योंकि बड़ी बहु-मूल्यवान संख्याओं के साथ आसानी से गणना करने के लिए आपको उन्हें जानने की आवश्यकता होती है। यह लेख कई अपघटन विधियों का वर्णन करेगा। वे सभी उपयोग करने के लिए काफी सरल हैं, आपको बस प्रत्येक मामले में सही चुनने की आवश्यकता है।

एक बहुपद की अवधारणा

एक बहुपद एकपदी का योग है, अर्थात्, केवल गुणन संक्रिया वाले व्यंजक।

उदाहरण के लिए, 2 * x * y एक एकपदी है, लेकिन 2 * x * y + 25 एक बहुपद है, जिसमें 2 एकपदी होते हैं: 2 * x * y और 25. ऐसे बहुपदों को द्विपद कहा जाता है।

कभी-कभी, बहु-मूल्यवान मूल्यों के साथ उदाहरणों को हल करने की सुविधा के लिए, अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक निश्चित संख्या में कारकों में विघटित होना, यानी संख्या या अभिव्यक्ति जिसके बीच गुणन ऑपरेशन किया जाता है। बहुपद को गुणनखंड करने के कई तरीके हैं। उन्हें सबसे आदिम से शुरू करने पर विचार करना उचित है, जिसका उपयोग प्राथमिक कक्षाओं में भी किया जाता है।

ग्रुपिंग (सामान्य प्रविष्टि)

सामान्य रूप से समूहीकरण विधि द्वारा बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित करने का सूत्र इस प्रकार है:

एसी + बीडी + बीसी + विज्ञापन = (एसी + बीसी) + (विज्ञापन + बीडी)

एकपदी का समूह बनाना आवश्यक है ताकि प्रत्येक समूह में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड प्रकट हो। पहले कोष्ठक में, यह कारक c है, और दूसरे में - d। यह तब किया जाना चाहिए ताकि इसे ब्रैकेट से बाहर निकाला जा सके, जिससे गणनाओं को सरल बनाया जा सके।

एक विशिष्ट उदाहरण पर अपघटन एल्गोरिथ्म

समूहन विधि का उपयोग करके बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित करने का सबसे सरल उदाहरण नीचे दिया गया है:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

पहले ब्रैकेट में, आपको कारक ए के साथ शर्तों को लेना होगा, जो सामान्य होगा, और दूसरे में - कारक बी के साथ। समाप्त अभिव्यक्ति में + और - चिह्नों पर ध्यान दें। हमने एकपदी के सामने वह चिन्ह रखा जो प्रारंभिक व्यंजक में था। यही है, आपको अभिव्यक्ति 25a के साथ नहीं, बल्कि अभिव्यक्ति -25 के साथ काम करने की आवश्यकता है। माइनस साइन, जैसा कि यह था, इसके पीछे की अभिव्यक्ति के लिए "चिपका हुआ" है और इसे गणना में हमेशा ध्यान में रखा जाता है।

अगले चरण में, आपको उस गुणनखंड को, जो सामान्य है, कोष्ठक से बाहर निकालना होगा। यही समूहीकरण के लिए है। इसे कोष्ठक से बाहर निकालने का अर्थ है कोष्ठक से पहले (गुणा चिह्न को छोड़कर) उन सभी कारकों को लिखना जो कोष्ठक में सभी शब्दों में बिल्कुल दोहराए गए हैं। यदि कोष्ठक में 2 नहीं, बल्कि 3 या अधिक पद हैं, तो उनमें से प्रत्येक में उभयनिष्ठ गुणनखंड अवश्य होना चाहिए, अन्यथा इसे कोष्ठक से बाहर नहीं किया जा सकता है।

हमारे मामले में, कोष्ठक में केवल 2 पद हैं। समग्र गुणक तुरंत दिखाई देता है। पहला कोष्ठक a है, दूसरा b है। यहां आपको डिजिटल गुणांक पर ध्यान देने की आवश्यकता है। पहले कोष्ठक में, दोनों गुणांक (10 और 25) 5 के गुणज हैं। इसका अर्थ यह है कि न केवल a, बल्कि 5a को भी कोष्ठक में रखा जा सकता है। ब्रैकेट से पहले, 5a लिखें, और फिर निकाले गए सामान्य कारक द्वारा कोष्ठक में प्रत्येक शब्द को विभाजित करें, और भागफल को कोष्ठक में भी लिखें, + और - चिह्नों को न भूलें। दूसरे ब्रैकेट के साथ भी ऐसा ही करें। , 7b निकालें, क्योंकि 14 और 35 7 के गुणज हैं।

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5)।

यह 2 पद निकला: 5a (2c - 5) और 7b (2c - 5)। उनमें से प्रत्येक में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है (यहां कोष्ठकों में संपूर्ण व्यंजक समान है, जिसका अर्थ है कि यह एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है): 2c - 5. इसे भी कोष्ठक से निकालने की आवश्यकता है, अर्थात पद 5a और 7b दूसरे ब्रैकेट में रहें:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)।

तो पूर्ण अभिव्यक्ति है:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b)।

इस प्रकार, बहुपद 10ac + 14bc - 25a - 35b 2 कारकों में विघटित हो जाता है: (2c - 5) और (5a + 7b)। लिखते समय उनके बीच गुणन चिह्न छोड़ा जा सकता है

कभी-कभी इस प्रकार के भाव होते हैं: 5a 2 + 50a 3, यहां आप न केवल a या 5a, बल्कि 5a 2 को भी ब्रैकेट कर सकते हैं। आपको हमेशा सबसे बड़े संभव सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने का प्रयास करना चाहिए। हमारे मामले में, यदि हम प्रत्येक पद को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

5ए 2/5ए 2 = 1; 50ए 3 / 5ए 2 = 10ए(समान आधारों के साथ कई घातों के भागफल की गणना करते समय, आधार संरक्षित होता है, और घातांक घटाया जाता है)। इस प्रकार, एक ब्रैकेट में रहता है (किसी भी स्थिति में यदि आप किसी एक शब्द को पूरी तरह से ब्रैकेट से निकालते हैं तो उसे लिखना न भूलें) और भागफल: 10a। परिणाम यह निकला:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

वर्ग सूत्र

गणना की सुविधा के लिए, कई सूत्र निकाले गए हैं। उन्हें कम गुणन सूत्र कहा जाता है और अक्सर उपयोग किया जाता है। ये सूत्र घातों वाले बहुपदों को गुणनखंड बनाने में मदद करते हैं। यह कारक बनाने का एक और शक्तिशाली तरीका है। तो यहाँ वे हैं:

• ए 2 + 2एबी + बी 2 = (ए + बी) 2 -सूत्र, जिसे "योग का वर्ग" कहा जाता है, क्योंकि एक वर्ग में विस्तार के परिणामस्वरूप, कोष्ठक में संलग्न संख्याओं का योग लिया जाता है, अर्थात इस योग का मान स्वयं 2 गुना से गुणा किया जाता है, जो यानी यह एक गुणक है।
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - अंतर के वर्ग का सूत्र, यह पिछले वाले के समान है। परिणाम एक वर्ग शक्ति में निहित कोष्ठक में संलग्न अंतर है।
• ए 2 - बी 2 \u003d (ए + बी) (ए - बी)- यह वर्गों के अंतर का सूत्र है, क्योंकि शुरू में बहुपद में 2 वर्ग संख्याएँ या व्यंजक होते हैं जिनके बीच घटाव किया जाता है। यह शायद तीनों में से सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है।

वर्गों के सूत्रों द्वारा गणना के उदाहरण

उन पर गणना काफी सरलता से की जाती है। उदाहरण के लिए:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - सूत्र "योग का वर्ग" का प्रयोग करें।
2. 25x 2 5x का वर्ग है। 20xy 2*(5x*2y) के गुणनफल का दोगुना है, और 4y 2 2y का वर्ग है।
3. तो 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y)।यह बहुपद 2 कारकों में विघटित होता है (कारक समान हैं, इसलिए इसे एक वर्ग शक्ति के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है)।

अंतर के वर्ग के सूत्र के अनुसार संचालन इसी तरह किया जाता है। जो बचा है वह वर्ग सूत्र का अंतर है। इस सूत्र के उदाहरण अन्य अभिव्यक्तियों के बीच पहचानना और खोजना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20)। 25a 2 \u003d (5a) 2, और 400 \u003d 20 2 . के बाद से
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y)। 36x 2 \u003d (6x) 2, और 25y 2 \u003d (5y 2) के बाद से
• सी 2 - 169 बी 2 \u003d (सी - 13 बी) (सी + 13 बी)। चूँकि 169b 2 = (13b) 2

यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक पद किसी न किसी व्यंजक का वर्ग हो। तब इस बहुपद को वर्ग सूत्र के अंतर से गुणनखंड करना होता है। इसके लिए यह आवश्यक नहीं है कि संख्या से ऊपर दूसरी शक्ति हो। बड़ी घात वाले बहुपद हैं, लेकिन फिर भी इन सूत्रों के लिए उपयुक्त हैं।

ए 8 +10ए 4 +25 = (ए 4) 2 + 2*ए 4 *5 + 5 2 = (ए 4 +5) 2

इस उदाहरण में, 8 को (a 4) 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात एक निश्चित व्यंजक का वर्ग। 25 5 2 है और 10a 4 . है - यह 2*a 4 *5 पदों का दोहरा उत्पाद है। यही है, यह अभिव्यक्ति, बड़े घातांक के साथ डिग्री की उपस्थिति के बावजूद, बाद में उनके साथ काम करने के लिए 2 कारकों में विघटित हो सकती है।

घन सूत्र

घनों वाले बहुपदों के गुणनखंड के लिए समान सूत्र मौजूद हैं। वे वर्गों वाले लोगों की तुलना में थोड़े अधिक जटिल हैं:

• ए 3 + बी 3 \u003d (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)- इस सूत्र को घनों का योग कहते हैं, क्योंकि इसके प्रारंभिक रूप में बहुपद एक घन में संलग्न दो व्यंजकों या संख्याओं का योग होता है।
• ए 3 - बी 3 \u003d (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2) -पिछले एक के समान एक सूत्र को घनों के अंतर के रूप में दर्शाया जाता है।
• ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3 = (ए + बी) 3 - योग घन, गणनाओं के परिणामस्वरूप, संख्याओं या भावों का योग प्राप्त होता है, कोष्ठक में संलग्न होता है और स्वयं को 3 बार गुणा किया जाता है, अर्थात घन में स्थित होता है
• ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3 = (ए - बी) 3 -गणितीय संक्रियाओं (प्लस और माइनस) के केवल कुछ संकेतों में परिवर्तन के साथ पिछले एक के साथ सादृश्य द्वारा संकलित सूत्र को "डिफरेंस क्यूब" कहा जाता है।

अंतिम दो सूत्र व्यावहारिक रूप से बहुपद के गुणन के उद्देश्य से उपयोग नहीं किए जाते हैं, क्योंकि वे जटिल हैं, और बहुपदों को ढूंढना काफी दुर्लभ है जो पूरी तरह से ऐसी संरचना से मेल खाते हैं ताकि उन्हें इन सूत्रों के अनुसार विघटित किया जा सके। लेकिन आपको अभी भी उन्हें जानने की जरूरत है, क्योंकि उन्हें विपरीत दिशा में कार्यों के लिए आवश्यक होगा - कोष्ठक खोलते समय।

घन सूत्रों के उदाहरण

एक उदाहरण पर विचार करें: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 )

हमने यहां काफी अभाज्य संख्याएं ली हैं, इसलिए आप तुरंत देख सकते हैं कि 64a 3, (4a) 3 है और 8b 3 (2b) 3 है। इस प्रकार, इस बहुपद को घनों के सूत्र अंतर से 2 गुणनखंडों में विस्तारित किया जाता है। घनों के योग के सूत्र पर क्रिया सादृश्य द्वारा की जाती है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि सभी बहुपदों को कम से कम एक तरीके से विघटित नहीं किया जा सकता है। लेकिन ऐसे व्यंजक हैं जिनमें वर्ग या घन से बड़ी घातें होती हैं, लेकिन उन्हें संक्षिप्त गुणन रूपों में भी विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 - x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2)।

इस उदाहरण में 12 डिग्री तक हैं। लेकिन यहां तक ​​कि घनों के योग के सूत्र का उपयोग करके भी इसका गुणनखंड किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको x 12 को (x 4) 3 के रूप में प्रस्तुत करना होगा, अर्थात किसी व्यंजक के घन के रूप में। अब, a के बजाय, आपको इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। खैर, व्यंजक 125y 3 5y का घन है। अगला कदम फॉर्मूला लिखना और गणना करना है।

सबसे पहले, या जब संदेह हो, तो आप हमेशा व्युत्क्रम गुणन द्वारा जांच कर सकते हैं। आपको परिणामी व्यंजक में केवल कोष्ठक खोलने और समान शब्दों के साथ कार्य करने की आवश्यकता है। यह विधि कटौती के सभी सूचीबद्ध तरीकों पर लागू होती है: दोनों एक सामान्य कारक और समूह के साथ काम करने के लिए, और क्यूब्स और वर्ग शक्तियों के सूत्रों पर संचालन के लिए।

अनुभाग: गणित

पाठ प्रकार:

• संचालन की विधि के अनुसार - एक व्यावहारिक पाठ;
• उपदेशात्मक उद्देश्य के लिए - ज्ञान और कौशल के अनुप्रयोग में एक पाठ।

लक्ष्य:बहुपद को गुणनखंड करने की क्षमता बनाते हैं।

कार्य:

• शिक्षाप्रद: छात्रों के ज्ञान, कौशल को व्यवस्थित, विस्तारित और गहरा करना, बहुपद को कारकों में विभाजित करने के विभिन्न तरीकों को लागू करना। विभिन्न तकनीकों के संयोजन द्वारा बहुपद के अपघटन को कारकों में लागू करने की क्षमता बनाना। इस विषय पर ज्ञान और कौशल को लागू करने के लिए: "एक बहुपद का कारकों में अपघटन" एक बुनियादी स्तर पर कार्यों को पूरा करने और बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों को पूरा करने के लिए।
• शिक्षात्मक: विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करके मानसिक गतिविधि विकसित करना, हल करने के सबसे तर्कसंगत तरीकों को खोजना और उनका विश्लेषण करना सीखना, अध्ययन किए गए तथ्यों को सामान्य बनाने की क्षमता के निर्माण में योगदान देना, अपने विचारों को स्पष्ट और स्पष्ट रूप से व्यक्त करना।
• शिक्षात्मक: स्वतंत्र और टीम वर्क, आत्म-नियंत्रण कौशल के कौशल विकसित करना।

काम करने के तरीके:

• मौखिक;
• तस्वीर;
• व्यावहारिक।

सबक उपकरण:इंटरएक्टिव व्हाइटबोर्ड या ओवरहेड स्कोप, संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों वाली तालिकाएँ, निर्देश, समूह कार्य के लिए हैंडआउट।

पाठ संरचना:

1. आयोजन का समय। 1 मिनट
2. पाठ-अभ्यास के विषय, लक्ष्य और उद्देश्य तैयार करना। दो मिनट
3. गृहकार्य की जाँच करना। 4 मिनट
4. छात्रों के बुनियादी ज्ञान और कौशल को अद्यतन करना। 12 मिनट
5. फ़िज़्कुल्टमिनुत्का। दो मिनट
6. कार्यशाला के कार्यों को पूरा करने के निर्देश। दो मिनट
7. समूहों में कार्य करना। 15 मिनटों
8. कार्यों के प्रदर्शन की जाँच करना और चर्चा करना। कार्य विश्लेषण। 3 मिनट
9. होमवर्क सेट करना। 1 मिनट
10. रिजर्व असाइनमेंट। 3 मिनट

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

शिक्षक कक्षा की तैयारी और पाठ के लिए छात्रों की जाँच करता है।

2. पाठ-अभ्यास के विषय, लक्ष्य और उद्देश्यों का निरूपण

• विषय पर अंतिम पाठ के बारे में संदेश।
• छात्रों की शैक्षिक गतिविधि की प्रेरणा।
• लक्ष्य तैयार करना और पाठ के उद्देश्यों को निर्धारित करना (छात्रों के साथ)।

3. गृहकार्य की जाँच करना

बोर्ड पर होमवर्क अभ्यास संख्या 943 (ए, सी) को हल करने के उदाहरण हैं; नंबर 945 (सी, डी)। नमूने कक्षा के छात्रों द्वारा बनाए गए थे। (छात्रों के इस समूह की पहचान पिछले पाठ में की गई थी, उन्होंने अवकाश के समय अपने निर्णय को औपचारिक रूप दिया)। छात्र समाधानों का "बचाव" करने की तैयारी करते हैं।

शिक्षक:

छात्र नोटबुक में होमवर्क के लिए जाँच करता है।

कक्षा के छात्रों को इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आमंत्रित करता है: "असाइनमेंट के कारण क्या कठिनाइयाँ हुईं?"।

बोर्ड पर समाधान के साथ उनके समाधान की तुलना करने की पेशकश करता है।

ब्लैकबोर्ड पर छात्रों को उन सवालों के जवाब देने के लिए आमंत्रित करता है जो छात्रों के पास नमूनों की जाँच करते समय थे।

वह छात्रों के उत्तरों पर टिप्पणी करता है, उत्तरों को पूरक करता है, व्याख्या करता है (यदि आवश्यक हो)।

होमवर्क को सारांशित करता है।

छात्र:

शिक्षक को गृहकार्य प्रस्तुत करें।

नोटबुक बदलें (जोड़े में) और एक दूसरे के साथ जांचें।

शिक्षक के प्रश्नों का उत्तर दें।

नमूने के साथ अपने समाधान की जाँच करें।

वे विरोधियों के रूप में कार्य करते हैं, जोड़ देते हैं, सुधार करते हैं, एक अलग विधि लिखते हैं यदि नोटबुक में समाधान विधि बोर्ड पर विधि से भिन्न होती है।

छात्रों से, शिक्षक से आवश्यक स्पष्टीकरण मांगें।

परिणामों की जांच करने के तरीके खोजें।

ब्लैकबोर्ड पर कार्यों की गुणवत्ता के मूल्यांकन में भाग लें।

4. छात्रों के बुनियादी ज्ञान और कौशल को अद्यतन करना

1. मौखिक कार्य

शिक्षक:

प्रश्नों के उत्तर दें:

1. बहुपद के गुणनखंड का क्या अर्थ है?
2. आप कितनी अपघटन विधियों को जानते हैं?
3. उनके नाम क्या हैं?
4. सबसे आम क्या है?

2. बोर्ड पर बहुपद लिखे गए हैं:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

शिक्षकबहुपद संख्या 1-3 को गुणनखंड करने के लिए छात्रों को आमंत्रित करता है:

• विकल्प I - एक सामान्य कारक निकालकर;
• विकल्प II - संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना;
• III संस्करण - समूहीकरण के माध्यम से।

एक छात्र को बहुपद संख्या 4 का गुणनखंड करने की पेशकश की जाती है (बढ़ी हुई कठिनाई का एक व्यक्तिगत कार्य, कार्य ए 4 प्रारूप पर किया जाता है)। फिर कार्य संख्या 1-3 (शिक्षक द्वारा किया गया) के लिए एक नमूना समाधान, कार्य संख्या 4 (छात्र द्वारा किया गया) के लिए एक नमूना समाधान बोर्ड पर दिखाई देता है।

3. वार्म अप

शिक्षक सही उत्तर से जुड़े अक्षर को कारक बनाने और चुनने के निर्देश देता है। अक्षरों को जोड़ने से आपको 17वीं शताब्दी के महानतम गणितज्ञ का नाम मिलेगा, जिन्होंने समीकरणों को हल करने के सिद्धांत के विकास में बहुत बड़ा योगदान दिया। (डेसकार्टेस)

5. शारीरिक शिक्षा छात्र कथन पढ़ते हैं। यदि कथन सत्य है, तो छात्रों को हाथ ऊपर उठाना चाहिए, और यदि यह सत्य नहीं है, तो डेस्क पर बैठ जाएं। (अनुलग्नक 2)

6. कार्यशाला के कार्यों को कैसे पूरा किया जाए, इस पर निर्देश।

एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड या एक अलग पोस्टर पर, निर्देशों के साथ एक टेबल।

बहुपद को कारकों में विघटित करते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन किया जाना चाहिए:

1. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठकों में से निकाल दें (यदि कोई हो);

2. संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें (यदि संभव हो);

3. समूहन विधि लागू करें;

4. गुणन द्वारा प्राप्त परिणाम की जाँच करें।

शिक्षक:

छात्रों को निर्देश प्रदान करता है (चरण 4 पर जोर देता है)।

समूहों में कार्यशाला असाइनमेंट के कार्यान्वयन की पेशकश करता है।

नोटबुक में असाइनमेंट पूरा करने और उनके बाद के सत्यापन के लिए वर्कशीट को समूहों में वितरित करता है, कार्बन पेपर के साथ शीट।

समूहों में काम करने का समय, नोटबुक में काम करने का समय निर्धारित करता है।

छात्रों:

वे निर्देश पढ़ते हैं।

शिक्षक ध्यान से सुनें।

उन्हें समूहों में बैठाया जाता है (प्रत्येक में 4-5 लोग)।

व्यावहारिक कार्य की तैयारी करें।

7. समूहों में कार्य करना

समूहों के लिए कार्यों के साथ कार्यपत्रक। (अनुलग्नक 3)

शिक्षक:

समूहों में स्वतंत्र कार्य का प्रबंधन करता है।

छात्रों की स्वतंत्र रूप से काम करने की क्षमता, समूह में काम करने की क्षमता, वर्कशीट के डिजाइन की गुणवत्ता का मूल्यांकन करता है।

छात्रों:

कार्यपुस्तिका में संलग्न कार्बन पेपर की शीट पर कार्य करें।

तर्कसंगत समाधानों पर चर्चा करें।

समूह के लिए एक वर्कशीट तैयार करें।

अपने काम का बचाव करने के लिए तैयार रहें।

8. असाइनमेंट की जाँच करना और उस पर चर्चा करना

व्हाइटबोर्ड पर उत्तर।

शिक्षक:

निर्णयों की प्रतियां एकत्र करता है।

वर्कशीट पर रिपोर्टिंग करने वाले छात्रों के काम का प्रबंधन करता है।

बोर्ड पर अपने काम का स्व-मूल्यांकन करने, नोटबुक, वर्कशीट और नमूनों में उत्तरों की तुलना करने की पेशकश करता है।

इसके कार्यान्वयन में भागीदारी के लिए, काम के लिए ग्रेडिंग के मानदंडों को याद करता है।

उभरते हुए निर्णय या स्व-मूल्यांकन के मुद्दों पर स्पष्टीकरण प्रदान करता है।

व्यावहारिक कार्य और प्रतिबिंब के पहले परिणामों को सारांशित करता है।

पाठ को सारांशित करता है (छात्रों के साथ)।

कहते हैं कि अंतिम परिणाम छात्रों द्वारा किए गए कार्यों की प्रतियों की जांच के बाद सारांशित किया जाएगा।

छात्रों:

शिक्षक को प्रतियां दें।

वर्कशीट बोर्ड से जुड़ी हुई है।

काम के प्रदर्शन पर रिपोर्टिंग।

कार्य प्रदर्शन का स्व-मूल्यांकन और स्व-मूल्यांकन करना।

9. होमवर्क सेट करना

बोर्ड पर होमवर्क लिखा है: नंबर 1016 (ए, बी); 1017 (सी, डी); नंबर 1021 (डी, ई, एफ)*

शिक्षक:

घर पर असाइनमेंट का अनिवार्य हिस्सा लिखने का प्रस्ताव।

इसके कार्यान्वयन पर एक टिप्पणी देता है।

अधिक तैयार छात्रों को नंबर 1021 (डी, ई, एफ) * लिखने के लिए आमंत्रित करता है।

आपको अगले समीक्षा समीक्षा पाठ की तैयारी करने के लिए कहता है

अनुभाग: गणित

पाठ प्रकार:

• संचालन की विधि के अनुसार - एक व्यावहारिक पाठ;
• उपदेशात्मक उद्देश्य के लिए - ज्ञान और कौशल के अनुप्रयोग में एक पाठ।

लक्ष्य:बहुपद को गुणनखंड करने की क्षमता बनाते हैं।

कार्य:

• शिक्षाप्रद: छात्रों के ज्ञान, कौशल को व्यवस्थित, विस्तारित और गहरा करना, बहुपद को कारकों में विभाजित करने के विभिन्न तरीकों को लागू करना। विभिन्न तकनीकों के संयोजन द्वारा बहुपद के अपघटन को कारकों में लागू करने की क्षमता बनाना। इस विषय पर ज्ञान और कौशल को लागू करने के लिए: "एक बहुपद का कारकों में अपघटन" एक बुनियादी स्तर पर कार्यों को पूरा करने और बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों को पूरा करने के लिए।
• शिक्षात्मक: विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करके मानसिक गतिविधि विकसित करना, हल करने के सबसे तर्कसंगत तरीकों को खोजना और उनका विश्लेषण करना सीखना, अध्ययन किए गए तथ्यों को सामान्य बनाने की क्षमता के निर्माण में योगदान देना, अपने विचारों को स्पष्ट और स्पष्ट रूप से व्यक्त करना।
• शिक्षात्मक: स्वतंत्र और टीम वर्क, आत्म-नियंत्रण कौशल के कौशल विकसित करना।

काम करने के तरीके:

• मौखिक;
• तस्वीर;
• व्यावहारिक।

सबक उपकरण:इंटरएक्टिव व्हाइटबोर्ड या ओवरहेड स्कोप, संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों वाली तालिकाएँ, निर्देश, समूह कार्य के लिए हैंडआउट।

पाठ संरचना:

1. आयोजन का समय। 1 मिनट
2. पाठ-अभ्यास के विषय, लक्ष्य और उद्देश्य तैयार करना। दो मिनट
3. गृहकार्य की जाँच करना। 4 मिनट
4. छात्रों के बुनियादी ज्ञान और कौशल को अद्यतन करना। 12 मिनट
5. फ़िज़्कुल्टमिनुत्का। दो मिनट
6. कार्यशाला के कार्यों को पूरा करने के निर्देश। दो मिनट
7. समूहों में कार्य करना। 15 मिनटों
8. कार्यों के प्रदर्शन की जाँच करना और चर्चा करना। कार्य विश्लेषण। 3 मिनट
9. होमवर्क सेट करना। 1 मिनट
10. रिजर्व असाइनमेंट। 3 मिनट

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

शिक्षक कक्षा की तैयारी और पाठ के लिए छात्रों की जाँच करता है।

2. पाठ-अभ्यास के विषय, लक्ष्य और उद्देश्यों का निरूपण

• विषय पर अंतिम पाठ के बारे में संदेश।
• छात्रों की शैक्षिक गतिविधि की प्रेरणा।
• लक्ष्य तैयार करना और पाठ के उद्देश्यों को निर्धारित करना (छात्रों के साथ)।

3. गृहकार्य की जाँच करना

बोर्ड पर होमवर्क अभ्यास संख्या 943 (ए, सी) को हल करने के उदाहरण हैं; नंबर 945 (सी, डी)। नमूने कक्षा के छात्रों द्वारा बनाए गए थे। (छात्रों के इस समूह की पहचान पिछले पाठ में की गई थी, उन्होंने अवकाश के समय अपने निर्णय को औपचारिक रूप दिया)। छात्र समाधानों का "बचाव" करने की तैयारी करते हैं।

शिक्षक:

छात्र नोटबुक में होमवर्क के लिए जाँच करता है।

कक्षा के छात्रों को इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आमंत्रित करता है: "असाइनमेंट के कारण क्या कठिनाइयाँ हुईं?"।

बोर्ड पर समाधान के साथ उनके समाधान की तुलना करने की पेशकश करता है।

ब्लैकबोर्ड पर छात्रों को उन सवालों के जवाब देने के लिए आमंत्रित करता है जो छात्रों के पास नमूनों की जाँच करते समय थे।

वह छात्रों के उत्तरों पर टिप्पणी करता है, उत्तरों को पूरक करता है, व्याख्या करता है (यदि आवश्यक हो)।

होमवर्क को सारांशित करता है।

छात्र:

शिक्षक को गृहकार्य प्रस्तुत करें।

नोटबुक बदलें (जोड़े में) और एक दूसरे के साथ जांचें।

शिक्षक के प्रश्नों का उत्तर दें।

नमूने के साथ अपने समाधान की जाँच करें।

वे विरोधियों के रूप में कार्य करते हैं, जोड़ देते हैं, सुधार करते हैं, एक अलग विधि लिखते हैं यदि नोटबुक में समाधान विधि बोर्ड पर विधि से भिन्न होती है।

छात्रों से, शिक्षक से आवश्यक स्पष्टीकरण मांगें।

परिणामों की जांच करने के तरीके खोजें।

ब्लैकबोर्ड पर कार्यों की गुणवत्ता के मूल्यांकन में भाग लें।

4. छात्रों के बुनियादी ज्ञान और कौशल को अद्यतन करना

1. मौखिक कार्य

शिक्षक:

प्रश्नों के उत्तर दें:

1. बहुपद के गुणनखंड का क्या अर्थ है?
2. आप कितनी अपघटन विधियों को जानते हैं?
3. उनके नाम क्या हैं?
4. सबसे आम क्या है?

2. बोर्ड पर बहुपद लिखे गए हैं:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

शिक्षकबहुपद संख्या 1-3 को गुणनखंड करने के लिए छात्रों को आमंत्रित करता है:

• विकल्प I - एक सामान्य कारक निकालकर;
• विकल्प II - संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना;
• III संस्करण - समूहीकरण के माध्यम से।

एक छात्र को बहुपद संख्या 4 का गुणनखंड करने की पेशकश की जाती है (बढ़ी हुई कठिनाई का एक व्यक्तिगत कार्य, कार्य ए 4 प्रारूप पर किया जाता है)। फिर कार्य संख्या 1-3 (शिक्षक द्वारा किया गया) के लिए एक नमूना समाधान, कार्य संख्या 4 (छात्र द्वारा किया गया) के लिए एक नमूना समाधान बोर्ड पर दिखाई देता है।

3. वार्म अप

शिक्षक सही उत्तर से जुड़े अक्षर को कारक बनाने और चुनने के निर्देश देता है। अक्षरों को जोड़ने से आपको 17वीं शताब्दी के महानतम गणितज्ञ का नाम मिलेगा, जिन्होंने समीकरणों को हल करने के सिद्धांत के विकास में बहुत बड़ा योगदान दिया। (डेसकार्टेस)

5. शारीरिक शिक्षा छात्र कथन पढ़ते हैं। यदि कथन सत्य है, तो छात्रों को हाथ ऊपर उठाना चाहिए, और यदि यह सत्य नहीं है, तो डेस्क पर बैठ जाएं। (अनुलग्नक 2)

6. कार्यशाला के कार्यों को कैसे पूरा किया जाए, इस पर निर्देश।

एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड या एक अलग पोस्टर पर, निर्देशों के साथ एक टेबल।

बहुपद को कारकों में विघटित करते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन किया जाना चाहिए:

1. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठकों में से निकाल दें (यदि कोई हो);

2. संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें (यदि संभव हो);

3. समूहन विधि लागू करें;

4. गुणन द्वारा प्राप्त परिणाम की जाँच करें।

शिक्षक:

छात्रों को निर्देश प्रदान करता है (चरण 4 पर जोर देता है)।

समूहों में कार्यशाला असाइनमेंट के कार्यान्वयन की पेशकश करता है।

नोटबुक में असाइनमेंट पूरा करने और उनके बाद के सत्यापन के लिए वर्कशीट को समूहों में वितरित करता है, कार्बन पेपर के साथ शीट।

समूहों में काम करने का समय, नोटबुक में काम करने का समय निर्धारित करता है।

छात्रों:

वे निर्देश पढ़ते हैं।

शिक्षक ध्यान से सुनें।

उन्हें समूहों में बैठाया जाता है (प्रत्येक में 4-5 लोग)।

व्यावहारिक कार्य की तैयारी करें।

7. समूहों में कार्य करना

समूहों के लिए कार्यों के साथ कार्यपत्रक। (अनुलग्नक 3)

शिक्षक:

समूहों में स्वतंत्र कार्य का प्रबंधन करता है।

छात्रों की स्वतंत्र रूप से काम करने की क्षमता, समूह में काम करने की क्षमता, वर्कशीट के डिजाइन की गुणवत्ता का मूल्यांकन करता है।

छात्रों:

कार्यपुस्तिका में संलग्न कार्बन पेपर की शीट पर कार्य करें।

तर्कसंगत समाधानों पर चर्चा करें।

समूह के लिए एक वर्कशीट तैयार करें।

अपने काम का बचाव करने के लिए तैयार रहें।

8. असाइनमेंट की जाँच करना और उस पर चर्चा करना

व्हाइटबोर्ड पर उत्तर।

शिक्षक:

निर्णयों की प्रतियां एकत्र करता है।

वर्कशीट पर रिपोर्टिंग करने वाले छात्रों के काम का प्रबंधन करता है।

बोर्ड पर अपने काम का स्व-मूल्यांकन करने, नोटबुक, वर्कशीट और नमूनों में उत्तरों की तुलना करने की पेशकश करता है।

इसके कार्यान्वयन में भागीदारी के लिए, काम के लिए ग्रेडिंग के मानदंडों को याद करता है।

उभरते हुए निर्णय या स्व-मूल्यांकन के मुद्दों पर स्पष्टीकरण प्रदान करता है।

व्यावहारिक कार्य और प्रतिबिंब के पहले परिणामों को सारांशित करता है।

पाठ को सारांशित करता है (छात्रों के साथ)।

कहते हैं कि अंतिम परिणाम छात्रों द्वारा किए गए कार्यों की प्रतियों की जांच के बाद सारांशित किया जाएगा।

छात्रों:

शिक्षक को प्रतियां दें।

वर्कशीट बोर्ड से जुड़ी हुई है।

काम के प्रदर्शन पर रिपोर्टिंग।

कार्य प्रदर्शन का स्व-मूल्यांकन और स्व-मूल्यांकन करना।

9. होमवर्क सेट करना

बोर्ड पर होमवर्क लिखा है: नंबर 1016 (ए, बी); 1017 (सी, डी); नंबर 1021 (डी, ई, एफ)*

शिक्षक:

घर पर असाइनमेंट का अनिवार्य हिस्सा लिखने का प्रस्ताव।

इसके कार्यान्वयन पर एक टिप्पणी देता है।

अधिक तैयार छात्रों को नंबर 1021 (डी, ई, एफ) * लिखने के लिए आमंत्रित करता है।

आपको अगले समीक्षा समीक्षा पाठ की तैयारी करने के लिए कहता है

पाठ का उद्देश्य: बहुपद को विभिन्न तरीकों से गुणनखंडों में विभाजित करने के कौशल का निर्माण;  सटीकता, दृढ़ता, परिश्रम, जोड़े में काम करने की क्षमता विकसित करना। उपकरण: मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, पीसी, उपदेशात्मक सामग्री। पाठ योजना: 1. संगठनात्मक क्षण; 2. गृहकार्य की जाँच करना; 3. मौखिक कार्य; 4. नई सामग्री सीखना; 5. शारीरिक शिक्षा; 6. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन; 7. जोड़े में काम करें; 8. गृहकार्य; 9. संक्षेप। पाठ का कोर्स: 1. संगठनात्मक क्षण। छात्रों को पाठ के लिए असाइन करें। शिक्षा ज्ञान की मात्रा में नहीं है, बल्कि जो कुछ भी जानता है उसे पूरी तरह से समझने और कुशल उपयोग में शामिल है। (जॉर्ज हेगेल) 2. गृहकार्य की जाँच करना। उन कार्यों का विश्लेषण जिनके समाधान में छात्रों को कठिनाइयाँ हुईं। 3. मौखिक कार्य।  गुणनखंड: 1) 2) 3); 4)।  बाएँ और दाएँ कॉलम के भावों के बीच एक पत्राचार स्थापित करें: a. 1. ख. 2. ग. 3. घ. 4. घ. 5..  समीकरणों को हल करें: 1. 2. 3. 4. नई सामग्री सीखना। बहुपदों का गुणनखंड करने के लिए, हमने कोष्ठक, समूहीकरण और संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग किया। कभी-कभी एक के बाद एक अनेक विधियों को लागू करके बहुपद का गुणनखंड करना संभव होता है। यदि संभव हो, तो आपको सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से निकालकर रूपांतरण शुरू करना चाहिए। ऐसे उदाहरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आज हम उनके सुसंगत अनुप्रयोग के लिए एक योजना विकसित करने का प्रयास करेंगे।

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यह अभिव्यक्ति को सरल बनाने के सबसे प्राथमिक तरीकों में से एक है। इस पद्धति को लागू करने के लिए, आइए योग के संबंध में गुणन के वितरण नियम को याद करें (इन शब्दों से डरो मत, आपको यह कानून पता होना चाहिए, आप इसका नाम भूल गए होंगे)।

कानून कहता है: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा करना होगा और परिणामों को दूसरे शब्दों में जोड़ना होगा।

आप रिवर्स ऑपरेशन भी कर सकते हैं, और यह रिवर्स ऑपरेशन है जो हमें रूचि देता है। जैसा कि नमूने से देखा जा सकता है, सामान्य कारक a को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है।

एक समान ऑपरेशन दोनों चर के साथ किया जा सकता है, जैसे और, उदाहरण के लिए, और संख्याओं के साथ:।

हां, यह एक बहुत ही प्राथमिक उदाहरण है, जैसे पहले दिए गए उदाहरण की तरह, एक संख्या के अपघटन के साथ, क्योंकि हर कोई जानता है कि संख्याएं क्या हैं, और विभाज्य हैं, लेकिन क्या होगा यदि आपको अधिक जटिल अभिव्यक्ति मिलती है:

कैसे पता करें कि, उदाहरण के लिए, किसी संख्या को कैलकुलेटर के साथ विभाजित किया गया है, नहीं, कोई भी कर सकता है, लेकिन इसके बिना यह कमजोर है? और इसके लिए विभाज्यता के संकेत हैं, ये संकेत वास्तव में जानने योग्य हैं, वे आपको जल्दी से समझने में मदद करेंगे कि क्या सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर निकालना संभव है।

विभाज्यता के लक्षण

उन्हें याद रखना इतना मुश्किल नहीं है, सबसे अधिक संभावना है, उनमें से अधिकांश पहले से ही आपसे परिचित थे, और कुछ नई उपयोगी खोज होगी, तालिका में अधिक विवरण:

नोट: तालिका में 4 से विभाज्यता का चिह्न नहीं है। यदि अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं, तो पूर्ण संख्या 4 से विभाज्य होगी।

अच्छा, आपको यह चिन्ह कैसा लगा? मैं आपको इसे याद रखने की सलाह देता हूं!

ठीक है, आइए व्यंजक पर वापस आते हैं, शायद इसे कोष्ठक से बाहर निकाल दें और बस इतना ही पर्याप्त है? नहीं, यह गणितज्ञों के लिए सरल बनाने की प्रथा है, इसलिए पूर्ण रूप से, जो कुछ भी निकाला गया है उसे बाहर निकालो!

और इसलिए, खिलाड़ी के साथ सब कुछ स्पष्ट है, लेकिन अभिव्यक्ति के संख्यात्मक भाग के बारे में क्या? दोनों संख्याएँ विषम हैं, इसलिए आप से विभाजित नहीं कर सकते

आप विभाज्यता के चिह्न का उपयोग अंकों के योग से कर सकते हैं, और, जिसमें से संख्या शामिल है, बराबर है, और इससे विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि यह इससे विभाज्य है।

यह जानकर, आप सुरक्षित रूप से एक कॉलम में विभाजित कर सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें विभाजित किया जाता है (विभाज्यता के संकेत काम आए!) इस प्रकार, हम y की तरह ही कोष्ठक से संख्या निकाल सकते हैं, और परिणामस्वरूप हमारे पास:

यह सुनिश्चित करने के लिए कि सब कुछ सही ढंग से विघटित हो गया है, आप गुणा द्वारा विस्तार की जांच कर सकते हैं!

साथ ही, घात व्यंजकों में उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकाला जा सकता है। यहां, उदाहरण के लिए, क्या आप सामान्य कारक देखते हैं?

इस व्यंजक के सभी सदस्यों में x है - हम निकालते हैं, सभी विभाजित होते हैं - हम फिर से निकालते हैं, हम देखते हैं कि क्या हुआ: ।

2. संक्षिप्त गुणन सूत्र

संक्षिप्त गुणन सूत्र सिद्धांत में पहले ही उल्लेख किए जा चुके हैं, यदि आपको शायद ही याद हो कि यह क्या है, तो आपको उन्हें अपनी स्मृति में ताज़ा करना चाहिए।

ठीक है, अगर आप अपने आप को बहुत स्मार्ट समझते हैं और आप इस तरह की जानकारी के बादल को पढ़ने के लिए बहुत आलसी हैं, तो बस पढ़ें, सूत्रों को देखें और तुरंत उदाहरणों पर विचार करें।

इस अपघटन का सार यह है कि आप अपने सामने अभिव्यक्ति में कुछ निश्चित सूत्र को नोटिस करें, इसे लागू करें और इस प्रकार कुछ और कुछ का उत्पाद प्राप्त करें, वह सब अपघटन है। निम्नलिखित सूत्र हैं:

अब उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके निम्नलिखित व्यंजकों को गुणनखंड करने का प्रयास करें:

और यहाँ वही है जो होना चाहिए था:

जैसा कि आपने देखा, ये सूत्र फैक्टरिंग का एक बहुत ही प्रभावी तरीका है, यह हमेशा उपयुक्त नहीं होता है, लेकिन यह बहुत उपयोगी हो सकता है!

3. ग्रुपिंग या ग्रुपिंग विधि

यहां आपके लिए एक और उदाहरण दिया गया है:

अच्छा, आप इसके साथ क्या करने जा रहे हैं? ऐसा लगता है कि यह किसी चीज में और कुछ में और कुछ में और में विभाज्य है

लेकिन आप सब कुछ एक साथ एक चीज़ में विभाजित नहीं कर सकते, ठीक है कोई सामान्य कारक नहीं है, कैसे न देखें कि क्या है, और इसे बिना फैक्टरिंग के छोड़ दें?

यहां आपको सरलता दिखाने की जरूरत है, और इस सरलता का नाम समूह है!

इसका उपयोग तब किया जाता है जब सभी सदस्यों के पास सामान्य भाजक नहीं होते हैं। ग्रुपिंग के लिए आपको चाहिए उन शब्दों के समूह खोजें जिनमें सामान्य भाजक होंऔर उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें ताकि प्रत्येक समूह से समान गुणक प्राप्त किया जा सके।

बेशक, स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करना आवश्यक नहीं है, लेकिन यह दृश्यता देता है, स्पष्टता के लिए, आप अभिव्यक्ति के अलग-अलग हिस्सों को कोष्ठक में ले सकते हैं, उन्हें जितना चाहें उतना रखना मना नहीं है, मुख्य बात यह नहीं है संकेतों को भ्रमित करें।

यह सब बहुत स्पष्ट नहीं है? मुझे एक उदाहरण के साथ समझाता हूँ:

एक बहुपद में - एक सदस्य रखें - सदस्य के बाद - हमें मिलता है

हम पहले दो शब्दों को एक अलग ब्रैकेट में समूहित करते हैं और तीसरे और चौथे शब्दों को उसी तरह समूहित करते हैं, ब्रैकेट से ऋण चिह्न छोड़कर, हम प्राप्त करते हैं:

और अब हम दो "ढेर" में से प्रत्येक को अलग-अलग देखते हैं जिसमें हमने कोष्ठक के साथ अभिव्यक्ति को तोड़ा है।

चाल यह है कि इसे ऐसे ढेर में तोड़ दिया जाए जिससे सबसे बड़ा संभव कारक निकालना संभव हो, या, इस उदाहरण में, सदस्यों को समूहबद्ध करने का प्रयास करें ताकि ढेर से कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालने के बाद, हम कोष्ठक के अंदर समान भाव हैं।

दोनों कोष्ठकों से हम पहले कोष्ठक से सदस्यों के उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं, और दूसरे कोष्ठक से, हम प्राप्त करते हैं:

लेकिन यह अपघटन नहीं है!

पीगधाअपघटन केवल गुणन ही रहना चाहिए, लेकिन अभी के लिए हमारे पास एक बहुपद है जिसे केवल दो भागों में विभाजित किया गया है ...

लेकिन! इस बहुपद का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। ये है

ब्रैकेट के बाहर और हमें अंतिम उत्पाद मिलता है

बिंगो! जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही एक उत्पाद है और कोष्ठक के बाहर न तो जोड़ और न ही घटाव है, अपघटन पूरा हो गया है, क्योंकि हमारे पास कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए और कुछ नहीं है।

यह एक चमत्कार की तरह लग सकता है कि कोष्ठक से गुणनखंड निकालने के बाद भी हमें कोष्ठकों में वही भाव मिलते हैं, जिन्हें हमने फिर से कोष्ठक से निकाला था।

और यह बिल्कुल भी चमत्कार नहीं है, तथ्य यह है कि पाठ्यपुस्तकों और परीक्षा में उदाहरण विशेष रूप से इस तरह से बनाए जाते हैं कि कार्यों में अधिकांश अभिव्यक्ति सरलीकरण या गुणनउनके लिए सही दृष्टिकोण के साथ, वे आसानी से सरल हो जाते हैं और जब आप एक बटन दबाते हैं तो अचानक एक छतरी की तरह ढह जाते हैं, इसलिए प्रत्येक अभिव्यक्ति में उसी बटन को देखें।

मैं कुछ पचाता हूं, हमारे पास सरलीकरण के साथ क्या है? जटिल बहुपद ने सरल रूप धारण कर लिया: .

सहमत हूं, उतना भारी नहीं है जितना पहले हुआ करता था?

4. एक पूर्ण वर्ग का चयन।

कभी-कभी, संक्षिप्त गुणन (विषय को दोहराएं) के लिए सूत्रों को लागू करने के लिए, मौजूदा बहुपद को बदलना आवश्यक है, इसके एक शब्द को दो शब्दों के योग या अंतर के रूप में प्रस्तुत करना।

किस मामले में आपको यह करना है, आप उदाहरण से सीखेंगे:

इस रूप में एक बहुपद को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके विघटित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे परिवर्तित किया जाना चाहिए। शायद पहली बार में यह आपके लिए स्पष्ट नहीं होगा कि किस शब्द को किस में विभाजित करना है, लेकिन समय के साथ आप संक्षिप्त गुणन सूत्रों को तुरंत देखना सीखेंगे, भले ही वे पूरी तरह से मौजूद न हों, और आप जल्दी से यह निर्धारित कर लेंगे कि यहां क्या गुम है पूर्ण सूत्र के लिए, लेकिन अभी के लिए - सीखो , एक छात्र, अधिक सटीक रूप से एक स्कूली छात्र।

अंतर के वर्ग के पूर्ण सूत्र के लिए, यहां आपको इसकी आवश्यकता है। आइए तीसरे पद को अंतर के रूप में निरूपित करें, हमें यह प्राप्त होता है: (वर्गों के अंतर से भ्रमित न हों !!!), हमारे पास है: , इस व्यंजक के लिए, हम वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं (वर्ग अंतर के साथ भ्रमित होने की नहीं !!!), यह कल्पना करते हुए कि हम कैसे प्राप्त करते हैं: .

अभिव्यक्ति हमेशा गुणनखंडित नहीं होती है, यह अपघटन से पहले की तुलना में सरल और छोटी दिखती है, लेकिन इस रूप में यह अधिक मोबाइल हो जाती है, इस अर्थ में कि आप बदलते संकेतों और अन्य गणितीय बकवास के बारे में चिंता नहीं कर सकते। ठीक है, आपको स्वयं निर्णय लेने के लिए, निम्नलिखित भावों पर विचार करने की आवश्यकता है।

उदाहरण:

उत्तर:

5. एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन

एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के लिए, नीचे अपघटन उदाहरणों में देखें।

एक बहुपद के गुणनखंड के लिए 5 विधियों के उदाहरण

1. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना। उदाहरण।

क्या आपको याद है कि वितरण कानून क्या है? यह ऐसा नियम है:

उदाहरण:

एक बहुपद का गुणनखंड कीजिए।

फेसला:

एक और उदाहरण:

गुणा करें।

फेसला:

यदि पूरे पद को कोष्ठक से निकाल दिया जाए, तो उसके स्थान पर एक कोष्ठक में रह जाता है!

2. संक्षिप्त गुणन के सूत्र। उदाहरण।

सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्र वर्गों का अंतर, घनों का अंतर और घनों का योग हैं। ये सूत्र याद हैं? यदि नहीं, तो तत्काल विषय को दोहराएं!

उदाहरण:

अभिव्यक्ति का कारक।

फेसला:

इस व्यंजक में, घनों के अंतर का पता लगाना आसान है:

उदाहरण:

फेसला:

3. समूहन विधि। उदाहरण

कभी-कभी शब्दों को इस तरह से बदलना संभव होता है कि पड़ोसी शब्दों के प्रत्येक जोड़े से एक और एक ही कारक निकाला जा सके। इस उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है और मूल बहुपद एक गुणनफल में बदल जाएगा।

उदाहरण:

बहुपद का गुणनखंड कीजिए।

फेसला:

हम शर्तों को इस प्रकार समूहित करते हैं:
.

पहले समूह में, हम कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं, और दूसरे में - :
.

अब सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से भी निकाला जा सकता है:
.

4. पूर्ण वर्ग के चयन की विधि। उदाहरण।

यदि बहुपद को दो व्यंजकों के वर्गों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो जो कुछ बचा है वह संक्षिप्त गुणन सूत्र (वर्गों का अंतर) को लागू करना है।

उदाहरण:

बहुपद का गुणनखंड कीजिए।

फेसला:उदाहरण:

\ शुरू (सरणी) (* (35) (एल))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(square\ sums\ ((\बाएं) (x+3 \right))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\बाएं(x+3+4 \दाएं)\बाएं(x+3-4 \दाएं)=\बाएं(x+7 \दाएं)\बाएं(x-1 \दाएं) \\
\ अंत (सरणी)

बहुपद का गुणनखंड कीजिए।

फेसला:

\ शुरू (सरणी) (* (35) (एल))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(वर्ग\ अंतर((\बाएं(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\बाएं(((x)) (2))-2 \दाएं))^(2))-5= \\
=\बाएं(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\ अंत (सरणी)

5. एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन। उदाहरण।

एक वर्ग ट्रिनोमियल फॉर्म का एक बहुपद है, जहां एक अज्ञात है, कुछ संख्याएं हैं, इसके अलावा।

परिवर्तनीय मान जो वर्ग त्रिपद को शून्य में बदल देते हैं, त्रिपद के मूल कहलाते हैं। इसलिए, त्रिपद के मूल द्विघात समीकरण के मूल होते हैं।

प्रमेय।

उदाहरण:

आइए वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करें: .

सबसे पहले, हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं: अब हम इस वर्ग त्रिपद के गुणनखंड को कारकों में लिख सकते हैं:

अब आपकी राय...

हमने विस्तार से वर्णन किया है कि बहुपद का गुणनखंड कैसे और क्यों किया जाता है।

हमने बहुत सारे उदाहरण दिए कि इसे व्यवहार में कैसे किया जाए, नुकसान की ओर इशारा किया, समाधान दिया ...

आपका क्या कहना है?

आपको यह लेख कैसा लगा? क्या आप इन तरकीबों का इस्तेमाल करते हैं? क्या आप उनका सार समझते हैं?

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अब तक, यह आपके जीवन की सबसे महत्वपूर्ण बात है।