फलन का ग्राफ (2.33) चित्र 2.5 में दिखाया गया है। रफ़्तार,मैक्सवेल वक्र के अधिकतम के संगत को कहा जाता हैसबसे अधिक संभावना में। यह फ़ंक्शन की अधिकतम स्थिति का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

या

एक अणु की औसत गति (गणितीय अपेक्षा) सामान्य नियम द्वारा पाई जा सकती है [देखें। (2.20)]। चूंकि गति का औसत मूल्य निर्धारित किया जाता है, एकीकरण सीमा 0 से तक ली जाती है (गणितीय विवरण छोड़े जाते हैं):

कहाँ पे एम = टी 0 एनए गैस का दाढ़ द्रव्यमान है, आर = क एनए सार्वत्रिक गैस नियतांक है, एनए अवोगाद्रो की संख्या है।

जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, मैक्सवेल वक्र का अधिकतम उच्च वेगों की ओर शिफ्ट हो जाता है और अणुओं का वितरण के साथ होता है  संशोधित किया गया है (चित्र 2.6; टी 1 < Т 2 ) मैक्सवेल वितरण आपको उन अणुओं की संख्या की गणना करने की अनुमति देता है जिनके वेग एक निश्चित अंतराल  में होते हैं। हमें संबंधित सूत्र मिलता है।

चूंकि कुल संख्या एनगैस में अणु आमतौर पर बड़े होते हैं, तो संभावना d पीसंख्या d . के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है एनअणु जिनके वेग एक निश्चित अंतराल में समाहित होते हैं डी , कुल संख्या के लिए एनअणु:

(2.34) और (2.37) से यह निम्नानुसार है

फॉर्मूला (2.38) आपको उन अणुओं की संख्या निर्धारित करने की अनुमति देता है जिनके वेग i: से i> 2 की सीमा में होते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें एकीकृत करने की आवश्यकता है (2.38):

या रेखांकन से लेकर वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करें  1 इससे पहले  2 (चित्र। 2.7)।

यदि गति अंतराल डी पर्याप्त रूप से छोटा है, तो अणुओं की संख्या जिनके वेग इस अंतराल के अनुरूप हैं, लगभग सूत्र (2.38) या रेखांकन के आधार पर एक आयत के क्षेत्र के रूप में गणना की जा सकती है डी .

इस प्रश्न के लिए कि कितने अणुओं की गति किसी विशेष मान के बराबर है, एक अजीब, पहली नज़र में, उत्तर इस प्रकार है: यदि गति बिल्कुल बिल्कुल दी गई है, तो गति अंतराल शून्य है (डी = 0) और (2.38) से हम शून्य प्राप्त करते हैं, अर्थात्, एक भी अणु की गति पूर्व निर्धारित के बराबर गति नहीं है। यह संभाव्यता के सिद्धांत के प्रावधानों में से एक से मेल खाती है: एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, जो कि गति है, इसके मूल्य का "अनुमान" करना असंभव है, जिसमें गैस में कम से कम एक अणु होता है।

विभिन्न प्रयोगों द्वारा अणुओं के वेग वितरण की पुष्टि की गई है।

मैक्सवेल वितरण को न केवल वेग के संदर्भ में, बल्कि गतिज ऊर्जा के संदर्भ में भी अणुओं के वितरण के रूप में माना जा सकता है (क्योंकि ये अवधारणाएं परस्पर संबंधित हैं)।

बोल्ट्जमैन वितरण।यदि अणु किसी बाहरी बल क्षेत्र में हैं, उदाहरण के लिए, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, तो उनकी संभावित ऊर्जाओं पर वितरण का पता लगाना संभव है, अर्थात, कणों की एकाग्रता को स्थापित करना, जिनमें संभावित ऊर्जा का कुछ विशिष्ट मूल्य होता है।

si . में संभावित ऊर्जाओं पर कणों का वितरणमछली पकड़ने के खेत-गुरुत्वाकर्षण, विद्युत, आदि।-बोल्ट्जमान वितरण कहलाता है।

जैसा कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पर लागू होता है, इस वितरण को एकाग्रता निर्भरता के रूप में लिखा जा सकता है पीऊंचाई से अणु एच जमीनी स्तर से ऊपर या अणु की संभावित ऊर्जा से एमजीएच:

अभिव्यक्ति (2.40) आदर्श गैस कणों के लिए मान्य है। ग्राफिक रूप से, यह घातीय निर्भरता अंजीर में दिखाई गई है। 2.8.

आणविक-गतिज अवधारणाओं के ढांचे के भीतर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अणुओं का ऐसा वितरण गुणात्मक रूप से हो सकता है, इस तथ्य से समझाया गया है कि अणु दो विपरीत कारकों से प्रभावित होते हैं: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, जिसके प्रभाव में सभी अणु आकर्षित होते हैं पृथ्वी, और आणविक-अराजक गति, जो अणुओं को पूरी तरह से संभव रूप से समान रूप से बिखेरती है।

अंत में, मैक्सवेल और बोल्ट्ज़मान वितरण में घातीय शर्तों के बीच कुछ समानताएं नोट करना उपयोगी है:

पहले वितरण में, घातांक में, अणु की गतिज ऊर्जा का अनुपात के.टी., दूसरे में - स्थितिज ऊर्जा का अनुपात के.टी..

मैक्सवेल और बोल्ट्जमैन वितरण। स्थानांतरण घटना

व्याख्यान योजना:

वेगों पर अणुओं के वितरण पर मैक्सवेल का नियम। अणुओं के अभिलक्षणिक वेग।

बोल्ट्जमैन वितरण।

मतलब अणुओं का मुक्त पथ।

स्थानांतरण घटना:

ए) प्रसार;

बी) आंतरिक घर्षण (चिपचिपापन);

ग) तापीय चालकता।

वेगों पर अणुओं के वितरण पर मैक्सवेल का नियम। अणुओं के अभिलक्षणिक वेग।

गैस के अणु बेतरतीब ढंग से चलते हैं और टकराव के परिणामस्वरूप, उनके वेग परिमाण और दिशा में बदल जाते हैं। गैस में, बहुत अधिक और बहुत कम वेग वाले अणु होते हैं। कोई उन अणुओं की संख्या का प्रश्न उठा सकता है जिनके वेग बाहरी बल क्षेत्रों की अनुपस्थिति में थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में गैस के लिए और अंतराल में होते हैं। इस मामले में, अणुओं का कुछ स्थिर वेग वितरण समय के साथ नहीं बदलता है, जो सैद्धांतिक रूप से मैक्सवेल द्वारा प्राप्त सांख्यिकीय कानून का पालन करता है।

अणुओं की कुल संख्या जितनी अधिक होगी, अणुओं की संख्या उतनी ही अधिक होगी N के वेग से और की सीमा में होंगे; वेगों का अंतराल जितना बड़ा होगा, अणुओं की संख्या उतनी ही अधिक होगी, निर्दिष्ट अंतराल में वेगों का मान होगा।

हम आनुपातिकता के गुणांक का परिचय देते हैं एफ( .

, 

जहां f( को वितरण फलन कहा जाता है, जो अणुओं की गति पर निर्भर करता है और गति से अधिक अणुओं के वितरण की विशेषता है।

यदि फलन का रूप ज्ञात हो, तो अणुओं की संख्या ज्ञात की जा सकती है, जिनके वेग से अंतराल में होते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों और सांख्यिकी के नियमों का उपयोग करते हुए, मैक्सवेल ने 1860 में। सैद्धांतिक रूप से एक सूत्र प्राप्त किया जो कि से की सीमा में वेग वाले अणुओं की संख्या निर्धारित करता है।

, (2)

- मैक्सवेल वितरण से पता चलता है कि किसी गैस के अणुओं की कुल संख्या के अनुपात में वेग से लेकर किस अनुपात में है।

समीकरणों से और  फलन . के रूप का अनुसरण करते हैं

- (3)

आदर्श गैस अणुओं का वेग वितरण कार्य।

(3) से यह देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन का विशिष्ट रूप गैस के प्रकार (अणु के द्रव्यमान पर) पर निर्भर करता है एम 0 ) और तापमान।

अक्सर, वेग द्वारा अणुओं के वितरण का नियम रूप में लिखा जाता है:

फलन का ग्राफ असममित है (चित्र 1)। अधिकतम की स्थिति सबसे अधिक बार सामना की जाने वाली गति को दर्शाती है, जिसे सबसे संभावित कहा जाता है। से अधिक गति  में, कम गति की तुलना में अधिक सामान्य हैं।

इस अंतराल में वेग वाले अणुओं की कुल संख्या का अंश है।

एस कुल = 1.

जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, वितरण अधिकतम उच्च वेगों की ओर शिफ्ट हो जाता है, और वक्र चपटा हो जाता है, लेकिन वक्र के नीचे का क्षेत्र नहीं बदलता है, क्योंकि एस कुल = 1 .

सबसे संभावित गति वह है जिसके करीब किसी दिए गए गैस के अधिकांश अणुओं की गति होती है।

इसे निर्धारित करने के लिए, हम अधिकतम का पता लगाते हैं।

4,

पहले, यह दिखाया गया था कि

, ,

 .

एमकेटी में, एक आदर्श गैस के अणुओं की स्थानांतरीय गति के अंकगणितीय माध्य वेग की अवधारणा का भी उपयोग किया जाता है।

- सभी अणुओं के वेगों के मापांक के योग के अनुपात के बराबर है

अणुओं की संख्या।

.

यह तुलना (चित्र 2) से देखा जा सकता है कि सबसे छोटा है  में .

बोल्ट्जमैन वितरण।

दो कारक - अणुओं की ऊष्मीय गति और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की उपस्थिति गैस को ऐसी स्थिति में लाती है जिसमें ऊँचाई के साथ इसकी सांद्रता और दबाव कम होता जाता है।

यदि वायुमंडलीय वायु के अणुओं की तापीय गति नहीं होती, तो वे सभी पृथ्वी की सतह पर केंद्रित होते। यदि गुरुत्वाकर्षण नहीं होता, तो वायुमंडल के कण पूरे ब्रह्मांड में बिखर जाते। आइए ऊंचाई के साथ दाब परिवर्तन का नियम ज्ञात करें।

गैस कॉलम का दबाव सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

चूँकि ऊँचाई बढ़ने के साथ दाब घटता है,

कहाँ पे  ऊंचाई पर गैस घनत्व एच.

हमे पता करने दें पीमेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण से

या।

आइए हम यह मानकर एक समतापी वातावरण के लिए परिकलन करें टी =स्थिरांक(ऊंचाई पर निर्भर नहीं करता है)।

.

पर एच = 0 , , ,

, , ,

बैरोमीटर का सूत्र किसी भी ऊंचाई पर गैस के दबाव को निर्धारित करता है।

हमें किसी भी ऊँचाई पर अणुओं की सांद्रता के लिए व्यंजक प्राप्त होता है।

ऊंचाई पर अणु की संभावित ऊर्जा कहां है एच.

बाहरी संभावित क्षेत्र में बोल्ट्जमैन वितरण।

नतीजतन, ऊंचाई में अणुओं का वितरण ऊर्जा में उनका वितरण है। बोल्ट्जमैन ने साबित किया कि यह वितरण न केवल स्थलीय गुरुत्वाकर्षण बलों के संभावित क्षेत्र के मामले में मान्य है, बल्कि अराजक थर्मल गति की स्थिति में किसी भी समान कणों के संग्रह के लिए बलों के किसी भी संभावित क्षेत्र में भी मान्य है।

बोल्ट्जमान वितरण से यह पता चलता है कि अणु उच्च सांद्रता वाले स्थित होते हैं जहां उनकी संभावित ऊर्जा कम होती है।

बोल्ट्जमान वितरण - एक संभावित बल क्षेत्र में कणों का वितरण।

मतलब अणुओं का मुक्त पथ।

गैस के अणुओं की अराजक तापीय गति के कारण लगातार आपस में टकराने के कारण, एक जटिल वक्र पथ से गुजरते हैं। 2 टक्करों के बीच, अणु एक समान रूप से एक सीधी रेखा में गति करते हैं।

एम वह न्यूनतम दूरी जिस पर दो अणुओं के केंद्र टक्कर के दौरान एक दूसरे के पास पहुंचते हैं, अणु का प्रभावी व्यास कहलाता है। डी(चित्र 4)।

मात्रा को अणु का प्रभावी अनुप्रस्थ काट कहा जाता है।

आइए हम प्रति इकाई समय में एक सजातीय गैस अणु के टकराव की औसत संख्या ज्ञात करें। टकराव तब होगा जब अणुओं के केंद्र से कम या उसके बराबर दूरी पर पहुंचें डी. हम मानते हैं कि अणु गति के साथ चलता है, और बाकी अणु आराम पर हैं। फिर टक्करों की संख्या उन अणुओं की संख्या से निर्धारित होती है जिनके केंद्र एक आयतन में स्थित होते हैं जो एक आधार के साथ एक सिलेंडर होता है और 1s में अणु द्वारा यात्रा किए गए पथ के बराबर ऊंचाई होती है, अर्थात। .

पर वास्तव में, सभी अणु गति करते हैं, और 2 अणुओं के टकराने की संभावना उनकी सापेक्ष गति निर्धारित करती है। यह दिखाया जा सकता है कि यदि अणुओं के वेगों के लिए मैक्सवेल वितरण को अपनाया जाता है, .

.

सामान्य परिस्थितियों में अधिकांश गैसों के लिए

.

औसत मुक्त पथदो क्रमिक टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी है। यह बीते हुए समय के अनुपात के बराबर है  टीइस दौरान टकराव की संख्या के लिए रास्ता।

मैक्सवेल और बोल्ट्जमैन वितरण। स्थानांतरण घटना

व्याख्यान योजना:

1. वेगों पर अणुओं के वितरण पर मैक्सवेल का नियम। अणुओं के अभिलक्षणिक वेग।

2. बोल्ट्जमान वितरण।

3. अणुओं का माध्य मुक्त पथ।

4. स्थानांतरण घटना:

ए) प्रसार;

बी) आंतरिक घर्षण (चिपचिपापन);

ग) तापीय चालकता।

1. वेगों पर अणुओं के वितरण पर मैक्सवेल का नियम। अणुओं के अभिलक्षणिक वेग।

गैस के अणु बेतरतीब ढंग से चलते हैं और टक्करों के परिणामस्वरूप उनकी गति परिमाण और दिशा में बदल जाती है; गैस में बहुत अधिक और बहुत कम वेग वाले अणु होते हैं। कोई उन अणुओं की संख्या का प्रश्न उठा सकता है जिनके वेग बाहरी बल क्षेत्रों की अनुपस्थिति में थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में गैस के लिए और अंतराल में होते हैं। इस मामले में, अणुओं का कुछ स्थिर वेग वितरण समय के साथ नहीं बदलता है, जो सैद्धांतिक रूप से मैक्सवेल द्वारा प्राप्त सांख्यिकीय कानून का पालन करता है।

अणुओं की कुल संख्या जितनी अधिक होगी, अणुओं की संख्या उतनी ही अधिक होगी डीएन के अंतराल ओ में वेग होंगे और वेगों का अंतराल जितना बड़ा होगा, अणुओं की संख्या उतनी ही अधिक होगी, संकेतित अंतराल में वेग होंगे।

हम आनुपातिकता के गुणांक का परिचय देते हैं च (यू).

, (1)

जहाँ f(u) को वितरण फलन कहा जाता है, जो अणुओं की गति पर निर्भर करता है और गति से अधिक अणुओं के वितरण की विशेषता है।

यदि फलन का रूप ज्ञात हो, तो अणुओं की संख्या ज्ञात की जा सकती है, जिनके वेग से अंतराल में होते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों और सांख्यिकी के नियमों का उपयोग करते हुए, मैक्सवेल ने 1860 में। सैद्धांतिक रूप से एक सूत्र प्राप्त किया जो कि से की सीमा में वेग वाले अणुओं की संख्या निर्धारित करता है।

, (2)

- मैक्सवेल वितरण से पता चलता है कि किसी गैस के अणुओं की कुल संख्या के अनुपात में वेग से लेकर किस अनुपात में है।

समीकरण (1) और (2) फ़ंक्शन के रूप को दर्शाते हैं:

- (3)

आदर्श गैस अणुओं का वेग वितरण कार्य।

(3) से यह देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन का विशिष्ट रूप गैस के प्रकार (अणु के द्रव्यमान पर) पर निर्भर करता है एम 0) और तापमान।

प्राय: अणुओं के वितरण का नियम के अनुसार गति को इस प्रकार लिखा जाता है:

फलन का ग्राफ असममित है (चित्र 1)। अधिकतम की स्थिति सबसे अधिक बार सामना की जाने वाली गति को दर्शाती है, जिसे सबसे संभावित कहा जाता है। से अधिक गति आप में, कम गति की तुलना में अधिक सामान्य हैं।

इस अंतराल में वेग वाले अणुओं की कुल संख्या का अंश है।

एस कुल = 1.

जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, वितरण अधिकतम उच्च वेगों की ओर शिफ्ट हो जाता है, और वक्र चपटा हो जाता है, लेकिन वक्र के नीचे का क्षेत्र नहीं बदलता है, क्योंकि एस कुल = 1.

सबसे संभावित गति वह है जिसके करीब किसी दिए गए गैस के अधिकांश अणुओं की गति होती है।

इसे निर्धारित करने के लिए, हम अधिकतम का पता लगाते हैं।

4 ,

, .

पहले, यह दिखाया गया था कि

, ,

=> .

एमकेटी में, एक आदर्श गैस के अणुओं की स्थानांतरीय गति के अंकगणितीय माध्य वेग की अवधारणा का भी उपयोग किया जाता है।

- सभी अणुओं के वेगों के मापांक के योग के अनुपात के बराबर है

अणुओं की संख्या।

.

यह तुलना (चित्र 2) से देखा जा सकता है कि सबसे छोटा है आप में.

2. बोल्ट्जमैन वितरण।

दो कारक - अणुओं की ऊष्मीय गति और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की उपस्थिति गैस को ऐसी स्थिति में लाती है जिसमें ऊँचाई के साथ इसकी सांद्रता और दबाव कम होता जाता है।

यदि वायुमंडलीय वायु के अणुओं की तापीय गति नहीं होती, तो वे सभी पृथ्वी की सतह पर केंद्रित होते। यदि गुरुत्वाकर्षण नहीं होता, तो वायुमंडल के कण पूरे ब्रह्मांड में बिखर जाते। आइए ऊंचाई के साथ दाब परिवर्तन का नियम ज्ञात करें।

गैस कॉलम का दबाव सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

चूँकि ऊँचाई बढ़ने के साथ दाब घटता है,

कहाँ पे आरऊंचाई पर गैस घनत्व एच.

हमे पता करने दें पीमेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण से

या।

आइए हम यह मानकर एक समतापी वातावरण के लिए परिकलन करें टी = स्थिरांक(ऊंचाई पर निर्भर नहीं करता है)।

.

पर एच = 0 , , ,

, , ,

बैरोमीटर का सूत्र किसी भी ऊंचाई पर गैस के दबाव को निर्धारित करता है।

हमें किसी भी ऊँचाई पर अणुओं की सांद्रता के लिए व्यंजक प्राप्त होता है।

ऊंचाई पर अणु की संभावित ऊर्जा कहां है एच.

बाहरी संभावित क्षेत्र में बोल्ट्जमैन वितरण।

नतीजतन, ऊंचाई में अणुओं का वितरण ऊर्जा में उनका वितरण है। बोल्ट्जमैन ने साबित किया कि यह वितरण न केवल स्थलीय गुरुत्वाकर्षण बलों के संभावित क्षेत्र के मामले में मान्य है, बल्कि अराजक थर्मल गति की स्थिति में किसी भी समान कणों के संग्रह के लिए बलों के किसी भी संभावित क्षेत्र में भी मान्य है।

बोल्ट्जमान वितरण से यह पता चलता है कि अणु उच्च सांद्रता वाले स्थित होते हैं जहां उनकी संभावित ऊर्जा कम होती है।

बोल्ट्जमान वितरण - एक संभावित बल क्षेत्र में कणों का वितरण।

3. मतलब अणुओं का मुक्त पथ।

गैस के अणुओं की अराजक तापीय गति के कारण लगातार आपस में टकराने के कारण, एक जटिल वक्र पथ से गुजरते हैं। 2 टक्करों के बीच, अणु एक समान रूप से एक सीधी रेखा में गति करते हैं।

एम वह न्यूनतम दूरी जिस पर दो अणुओं के केंद्र टक्कर के दौरान एक दूसरे के पास पहुंचते हैं, अणु का प्रभावी व्यास कहलाता है। डी(चित्र 4)।

मात्रा को अणु का प्रभावी अनुप्रस्थ काट कहा जाता है।

आइए हम प्रति इकाई समय में एक सजातीय गैस अणु के टकराव की औसत संख्या ज्ञात करें। टकराव तब होगा जब अणुओं के केंद्र से कम या उसके बराबर दूरी पर पहुंचें डी. हम मानते हैं कि अणु गति के साथ चलता है, और बाकी अणु आराम पर हैं। फिर टक्करों की संख्या उन अणुओं की संख्या से निर्धारित होती है जिनके केंद्र एक आयतन में स्थित होते हैं जो एक आधार के साथ एक सिलेंडर होता है और 1s में अणु द्वारा यात्रा किए गए पथ के बराबर ऊंचाई होती है, अर्थात। .

सांख्यिकीय पद्धति में, मुख्य विशेषता निर्धारित करने के लिए (एक्स सिस्टम के सभी कणों के निर्देशांक और गति का सेट है), विचाराधीन शरीर की संरचना के एक या दूसरे मॉडल का उपयोग किया जाता है।

यह पता चला है कि सामान्य सांख्यिकीय नियमितताओं के सामान्य गुणों को खोजना संभव है जो पदार्थ की संरचना पर निर्भर नहीं हैं और सार्वभौमिक हैं। थर्मल प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए ऐसी नियमितताओं की पहचान थर्मोडायनामिक विधि का मुख्य कार्य है। ऊष्मप्रवैगिकी की सभी बुनियादी अवधारणाओं और नियमों को सांख्यिकीय सिद्धांत के आधार पर प्रकट किया जा सकता है।

एक पृथक (बंद) प्रणाली या एक स्थिर बाहरी क्षेत्र में एक प्रणाली के लिए, राज्य को सांख्यिकीय रूप से संतुलन कहा जाता है यदि वितरण कार्य समय पर निर्भर नहीं करता है।

विचाराधीन प्रणाली के वितरण कार्य का विशिष्ट रूप बाहरी मापदंडों की समग्रता और आसपास के निकायों के साथ बातचीत की प्रकृति दोनों पर निर्भर करता है। इस मामले में बाहरी मापदंडों के तहत हम उन निकायों की स्थिति से निर्धारित मात्रा को समझेंगे जो विचाराधीन प्रणाली में शामिल नहीं हैं। ये हैं, उदाहरण के लिए, सिस्टम V का आयतन, बल क्षेत्र की तीव्रता आदि। आइए दो सबसे महत्वपूर्ण मामलों पर विचार करें:

1) विचाराधीन प्रणाली ऊर्जावान रूप से पृथक है। कण E की कुल ऊर्जा स्थिर है। वहीं। ई को ए में शामिल किया जा सकता है, लेकिन इसे उजागर करना ई की विशेष भूमिका पर जोर देता है। दिए गए बाहरी मापदंडों के लिए सिस्टम के अलगाव की स्थिति को समानता द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

2) सिस्टम बंद नहीं है - ऊर्जा विनिमय संभव है। इस मामले में, यह नहीं पाया जा सकता है, यह सामान्यीकृत निर्देशांक और आसपास के निकायों के कणों के गति पर निर्भर करेगा। यह संभव है अगर आसपास के निकायों के साथ विचाराधीन प्रणाली की अंतःक्रियात्मक ऊर्जा।

इस स्थिति के तहत, माइक्रोस्टेट का वितरण कार्य आसपास के निकायों के थर्मल गति की औसत तीव्रता पर निर्भर करता है, जो कि आसपास के निकायों के तापमान टी द्वारा विशेषता है:।

तापमान भी एक विशेष भूमिका निभाता है। यांत्रिकी में इसका (ए के विपरीत) एनालॉग नहीं है: (टी पर निर्भर नहीं है)।

सांख्यिकीय संतुलन की स्थिति में समय पर निर्भर नहीं होता है, और सभी आंतरिक पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं। ऊष्मप्रवैगिकी में, इस अवस्था को थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति कहा जाता है। सांख्यिकीय और थर्मोडायनामिक संतुलन की अवधारणाएं समतुल्य हैं।

एक सूक्ष्म पृथक प्रणाली का वितरण कार्य - गिब्स माइक्रोकैनोनिकल वितरण

ऊर्जावान रूप से पृथक प्रणाली का मामला। आइए हम इस स्थिति के लिए वितरण फलन का रूप ज्ञात करें।

वितरण फलन को खोजने में एक आवश्यक भूमिका केवल गति - ऊर्जा, - निकाय के संवेग और - कोणीय संवेग के समाकलन द्वारा निभाई जाती है। केवल उन्हें नियंत्रित किया जाता है।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में एक विशेष भूमिका निभाता है, क्योंकि यह हैमिल्टनियन फ़ंक्शन है जो कण गति समीकरण के रूप को निर्धारित करता है। इस स्थिति में निकाय के कुल संवेग और कोणीय संवेग का संरक्षण गति के समीकरणों का परिणाम है।

इसलिए, यह लिउविल समीकरण के ठीक ऐसे समाधान हैं जो अकेले हैं जब निर्भरता केवल हैमिल्टनियन के माध्यम से प्रकट होती है:

इसलिये, ।

एक्स (सिस्टम के सभी कणों के निर्देशांक और गति का सेट) के सभी संभावित मूल्यों में से, जो स्थिति के अनुकूल हैं, उन्हें चुना जाता है। सामान्यीकरण की स्थिति से निरंतर सी पाया जा सकता है:

चरण स्थान में हाइपरसर्फेस का क्षेत्र कहां है, जो ऊर्जा स्थिरता की स्थिति से अलग है।

वे। माइक्रोकैनोनिकल गिब्स वितरण है।

संतुलन राज्य के क्वांटम सिद्धांत में, एक माइक्रोकैनोनिकल गिब्स वितरण भी है। आइए संकेतन का परिचय दें: - कणों की एक प्रणाली के माइक्रोस्टेट की विशेषता वाले क्वांटम संख्याओं का एक पूरा सेट, - संबंधित स्वीकार्य ऊर्जा मान। उन्हें विचाराधीन निकाय के तरंग फलन के लिए स्थिर समीकरण को हल करके पाया जा सकता है।

इस मामले में माइक्रोस्टेट का वितरण कार्य सिस्टम के एक निश्चित अवस्था में होने की संभावना होगी: ।

क्वांटम माइक्रोकैनोनिकल गिब्स वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

क्रोनकर प्रतीक कहाँ है, - सामान्यीकरण से: किसी दिए गए ऊर्जा मूल्य (साथ ही) के साथ माइक्रोस्टेट की संख्या है। इसे सांख्यिकीय भार कहते हैं।

परिभाषा से, सभी राज्य जो शर्त को पूरा करते हैं, समान संभावना है, समान है। इस प्रकार, क्वांटम माइक्रोकैनोनिकल गिब्स वितरण समान प्राथमिक संभावनाओं के सिद्धांत पर आधारित है।

थर्मोस्टेट में सिस्टम के माइक्रोस्टेट का वितरण कार्य विहित गिब्स वितरण है।

अब आसपास के निकायों के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करने वाली प्रणाली पर विचार करें। थर्मोडायनामिक दृष्टिकोण से, यह दृष्टिकोण तापमान टी के साथ एक बहुत बड़े थर्मोस्टेट से घिरे सिस्टम से मेल खाता है। एक बड़ी प्रणाली (हमारे सिस्टम + थर्मोस्टेट) के लिए, माइक्रोकैनोनिकल वितरण का उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि ऐसी प्रणाली को पृथक माना जा सकता है। हम मान लेंगे कि विचाराधीन प्रणाली तापमान T और उसमें कणों की संख्या के साथ एक बड़े सिस्टम का एक छोटा लेकिन मैक्रोस्कोपिक हिस्सा है। यानी समानता (>>) संतुष्ट है।

हम अपने सिस्टम के वैरिएबल को X से और थर्मोस्टैट वैरिएबल को X1 से निरूपित करेंगे।

फिर हम पूरे सिस्टम के लिए माइक्रोकैनोनिकल डिस्ट्रीब्यूशन लिखते हैं:

हम थर्मोस्टेट के किसी भी संभावित राज्यों के लिए एन कणों की एक प्रणाली की स्थिति की संभावना में रुचि लेंगे। यह संभावना थर्मोस्टेट राज्यों पर इस समीकरण को एकीकृत करके पाई जा सकती है

सिस्टम और थर्मोस्टेट के हैमिल्टन फ़ंक्शन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

हम सिस्टम की ऊर्जा और थर्मोस्टेट की ऊर्जा दोनों की तुलना में सिस्टम और थर्मोस्टेट के बीच बातचीत की ऊर्जा की उपेक्षा करेंगे। ऐसा इसलिए किया जा सकता है क्योंकि एक मैक्रोसिस्टम के लिए अंतःक्रियात्मक ऊर्जा उसके सतह क्षेत्र के समानुपाती होती है, जबकि किसी सिस्टम की ऊर्जा उसके आयतन के समानुपाती होती है। हालांकि, सिस्टम की ऊर्जा की तुलना में अंतःक्रियात्मक ऊर्जा की उपेक्षा करने का मतलब यह नहीं है कि यह शून्य के बराबर है, अन्यथा समस्या का सूत्रीकरण अपना अर्थ खो देता है।

इस प्रकार, विचाराधीन प्रणाली के लिए संभाव्यता वितरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

आइए हम थर्मोस्टेट ऊर्जा पर एकीकरण की ओर मुड़ें

इसलिए, -फंक्शन प्रॉपर्टी का उपयोग करना

जब थर्मोस्टैट बहुत बड़ा होता है, तो हम सीमित मामले में आगे बढ़ेंगे। आइए हम एक विशेष मामले पर विचार करें जब थर्मोस्टैट N, कणों के साथ एक आदर्श गैस है जिसका द्रव्यमान m प्रत्येक है।

आइए वह मान ज्ञात करें जो मान का प्रतिनिधित्व करता है

हाइपरसर्फ़ के भीतर निहित चरण स्थान का आयतन कहाँ है। फिर हाइपरस्फेरिक परत का आयतन है (त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए अभिव्यक्ति के साथ तुलना करें

एक आदर्श गैस के लिए, एकीकरण का क्षेत्र शर्त द्वारा दिया जाता है

निर्दिष्ट सीमाओं के भीतर एकीकरण के परिणामस्वरूप, हम त्रिज्या के साथ 3N1-आयामी गेंद का आयतन प्राप्त करते हैं जो इसके बराबर होगा। इस प्रकार, हमारे पास है

हमें कहाँ मिलता है

इस प्रकार, हमारे पास संभाव्यता वितरण के लिए है

आइए अब हम N1 की सीमा पर जाएं, हालांकि, यह मानते हुए कि अनुपात स्थिर रहता है (तथाकथित थर्मोडायनामिक सीमा)। तब हमें मिलता है

इसे ध्यान में रखते हुए

तब थर्मोस्टेट में सिस्टम का वितरण कार्य इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहां सी सामान्यीकरण की स्थिति से पाया जाता है:

फ़ंक्शन को शास्त्रीय सांख्यिकीय अभिन्न कहा जाता है। इस प्रकार, थर्मोस्टैट में सिस्टम के वितरण कार्य को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यह विहित गिब्स वितरण (1901) है।

इस वितरण में, टी थर्मल गति की औसत तीव्रता को दर्शाता है - पर्यावरण के कणों का पूर्ण तापमान।

गिब्स वितरण लिखने का दूसरा रूप

निर्धारित करते समय, सूक्ष्म अवस्थाओं को अलग-अलग माना जाता था, केवल व्यक्तिगत कणों के पुनर्व्यवस्था में भिन्न। इसका मतलब है कि हम प्रत्येक कण पर नज़र रखने में सक्षम हैं। हालाँकि, यह धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है।

क्वांटम विहित गिब्स वितरण के लिए अभिव्यक्ति शास्त्रीय एक के साथ सादृश्य द्वारा लिखी जा सकती है:

सांख्यिकीय योग: .

यह सांख्यिकीय अभिन्न का एक आयामहीन एनालॉग है। तब मुक्त ऊर्जा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

आइए अब हम एक थर्मोस्टैट में स्थित एक प्रणाली पर विचार करें और पर्यावरण के साथ ऊर्जा और कणों का आदान-प्रदान करने में सक्षम है। इस मामले के लिए गिब्स वितरण फलन की व्युत्पत्ति कई मायनों में विहित वितरण की व्युत्पत्ति के समान है। क्वांटम मामले के लिए, वितरण का रूप है:

इस वितरण को गिब्स भव्य विहित वितरण कहा जाता है। यहां एम सिस्टम की रासायनिक क्षमता है, जो थर्मोडायनामिक क्षमता में परिवर्तन की विशेषता है जब सिस्टम में कणों की संख्या एक से बदल जाती है।

Z - सामान्यीकरण की स्थिति से:

यहां योग न केवल वर्ग संख्याओं पर जाता है, बल्कि कणों की संख्या के सभी संभावित मूल्यों पर भी जाता है।

लेखन का दूसरा रूप: हम एक फ़ंक्शन का परिचय देते हैं, लेकिन जैसा कि पहले थर्मोडायनामिक्स से प्राप्त किया गया था, जहां एक बड़ी थर्मोडायनामिक क्षमता है। परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

यहाँ कणों की संख्या का औसत मान है।

शास्त्रीय वितरण समान है।

मैक्सवेल और बोल्ट्जमैन वितरण

विहित गिब्स वितरण सभी निर्देशांक और कणों के गति (6N-चर) के मूल्यों के लिए वितरण फ़ंक्शन का स्पष्ट रूप (दिए गए के लिए) स्थापित करता है। लेकिन ऐसा कार्य बहुत जटिल है। अक्सर सरल कार्य पर्याप्त होते हैं।

आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए मैक्सवेल वितरण। हम प्रत्येक गैस अणु को थर्मोस्टेट से संबंधित "विचाराधीन प्रणाली" के रूप में मान सकते हैं। इसलिए, दिए गए अंतराल में किसी भी अणु के संवेग होने की प्रायिकता विहित गिब्स वितरण द्वारा दी जाती है: .

संवेग को वेगों से बदलकर और सामान्यीकरण स्थितियों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

वेग घटकों के लिए मैक्सवेल का वितरण फलन। वितरण मोडुलो भी प्राप्त करना आसान है।

किसी भी प्रणाली में, जिसकी ऊर्जा व्यक्तिगत कणों की ऊर्जा के योग के बराबर होती है, मैक्सवेल के समान एक अभिव्यक्ति होती है। यह मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण है। फिर से, हम मान लेंगे कि "सिस्टम" कोई एक कण है, जबकि बाकी थर्मोस्टैट की भूमिका निभाते हैं। तब इस चुने हुए कण की अन्य किसी भी अवस्था के लिए स्थिति की प्रायिकता विहित वितरण द्वारा दी जाती है: , । बाकी मात्राओं के लिए ... एकीकृत

मैक्सवेल और बोल्ट्जमैन वितरण

मैक्सवेल वितरण (गैस अणुओं का वेग वितरण)।एक संतुलन अवस्था में, गैस के पैरामीटर (दबाव, आयतन और तापमान) अपरिवर्तित रहते हैं, लेकिन माइक्रोस्टेट - अणुओं की पारस्परिक व्यवस्था, उनके वेग - लगातार बदल रहे हैं। अणुओं की बड़ी संख्या के कारण, किसी भी क्षण उनके वेगों के मूल्यों को निर्धारित करना व्यावहारिक रूप से असंभव है, लेकिन अणुओं की गति को एक सतत यादृच्छिक चर के रूप में देखते हुए, वेगों पर अणुओं के वितरण को इंगित करना संभव है।

आइए एक एकल अणु को अलग करें। आंदोलन की यादृच्छिकता, उदाहरण के लिए, गति के प्रक्षेपण के लिए अनुमति देती है आप एक्सअणु एक सामान्य वितरण कानून लेते हैं। इस मामले में, जैसा कि जेके मैक्सवेल द्वारा दिखाया गया है, संभाव्यता घनत्व निम्नानुसार लिखा गया है:

अन्य कुल्हाड़ियों के लिए समान

(2.28), (2.31) से हम प्राप्त करते हैं:

ध्यान दें कि (2.32) से कोई भी वेग के निरपेक्ष मूल्यों के मैक्सवेलियन संभाव्यता वितरण समारोह को प्राप्त कर सकता है (मैक्सवेल वेग वितरण):

एक अणु की औसत गति (गणितीय अपेक्षा) सामान्य नियम द्वारा पाई जा सकती है [देखें। (2.20)]। चूंकि गति का औसत मूल्य निर्धारित किया जाता है, एकीकरण सीमा 0 से तक ली जाती है (गणितीय विवरण छोड़े जाते हैं):

कहाँ पे एम = टी 0 एनए गैस का दाढ़ द्रव्यमान है, आर = केएनए - सार्वभौमिक गैस स्थिरांक, एनए अवोगाद्रो की संख्या है।

जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, मैक्सवेल वक्र का अधिकतम उच्च वेगों की ओर शिफ्ट हो जाता है और अणुओं का वितरण के साथ होता है तुमसंशोधित किया गया है (चित्र 2.6; टी 1< Т 2 ) मैक्सवेल वितरण किसी को अणुओं की संख्या की गणना करने की अनुमति देता है जिनके वेग एक निश्चित अंतराल ड्यू के भीतर होते हैं। हमें संबंधित सूत्र मिलता है।

चूंकि कुल संख्या एनगैस में अणु आमतौर पर बड़े होते हैं, तो संभावना d पीसंख्या d . के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है एनअणु जिनके वेग एक निश्चित अंतराल में समाहित होते हैं डु,कुल संख्या के लिए एनअणु:

या रेखांकन से लेकर वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करें आप 1इससे पहले तुम 2 (चित्र। 2.7)।

यदि गति अंतराल ड्यूपर्याप्त रूप से छोटा है, तो अणुओं की संख्या जिनके वेग इस अंतराल के अनुरूप हैं, लगभग सूत्र (2.38) या रेखांकन के आधार पर एक आयत के क्षेत्र के रूप में गणना की जा सकती है डु.

इस प्रश्न के लिए कि कितने अणुओं की गति किसी विशेष मान के बराबर है, एक अजीब, पहली नज़र में, उत्तर इस प्रकार है: यदि गति बिल्कुल बिल्कुल दी गई है, तो गति अंतराल शून्य है (डु= 0) और (2.38) से हम शून्य प्राप्त करते हैं, अर्थात्, एक भी अणु की गति पूर्व निर्धारित के बराबर गति नहीं है। यह संभाव्यता के सिद्धांत के प्रावधानों में से एक से मेल खाती है: एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, जो कि गति है, इसके मूल्य का "अनुमान" करना असंभव है, जिसमें गैस में कम से कम एक अणु होता है।

विभिन्न प्रयोगों द्वारा अणुओं के वेग वितरण की पुष्टि की गई है।

मैक्सवेल वितरण को न केवल वेग के संदर्भ में, बल्कि गतिज ऊर्जा के संदर्भ में भी अणुओं के वितरण के रूप में माना जा सकता है (क्योंकि ये अवधारणाएं परस्पर संबंधित हैं)।

बोल्ट्जमैन वितरण।यदि अणु किसी बाहरी बल क्षेत्र में हैं, उदाहरण के लिए, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, तो उनकी संभावित ऊर्जाओं पर वितरण का पता लगाना संभव है, अर्थात, कणों की एकाग्रता को स्थापित करना, जिनमें संभावित ऊर्जा का कुछ विशिष्ट मूल्य होता है।

बल क्षेत्रों में संभावित ऊर्जा पर कणों का वितरण- गुरुत्वाकर्षण, विद्युत, आदि।- बोल्ट्जमान वितरण कहलाता है।

जैसा कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पर लागू होता है, इस वितरण को एकाग्रता निर्भरता के रूप में लिखा जा सकता है पीऊंचाई से अणु एचजमीनी स्तर से ऊपर या अणु की संभावित ऊर्जा से एमजीएच:

अभिव्यक्ति (2.40) आदर्श गैस कणों के लिए मान्य है। ग्राफिक रूप से, यह घातीय निर्भरता अंजीर में दिखाई गई है। 2.8.

आणविक-गतिज अवधारणाओं के ढांचे के भीतर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अणुओं का ऐसा वितरण गुणात्मक रूप से हो सकता है, इस तथ्य से समझाया गया है कि अणु दो विपरीत कारकों से प्रभावित होते हैं: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, जिसके प्रभाव में सभी अणु आकर्षित होते हैं पृथ्वी, और आणविक-अराजक गति, जो समान रूप से अणुओं को समान रूप से बिखेरती है।

अंत में, मैक्सवेल और बोल्ट्ज़मान वितरण में घातीय शर्तों के बीच कुछ समानताएं नोट करना उपयोगी है:

पहले वितरण में, घातांक में, अणु की गतिज ऊर्जा का अनुपात केटी,दूसरे में - स्थितिज ऊर्जा का अनुपात के.टी.