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पाठ मकसद:

1. जोड़, घटाव, गुणा और भाग के संकेतों का उपयोग करके परिमेय संख्याओं से बने संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मूल्यों को खोजने के लिए छात्रों की क्षमता को दोहराने और गहरा करने के लिए;
2. विद्यार्थियों को पता होना चाहिए कि शून्य से क्रिया विभाजन वाले व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।
3. एक नया विषय सीखने में छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि विकसित करना।
4. सोच, स्मृति, भाषण विकसित करना, छात्रों के कम्प्यूटेशनल कौशल में सुधार करना, इष्टतम गति से काम करने की क्षमता।

उपकरण:पीसी, मल्टीमीडिया स्थापना; होमवर्क कार्ड (परिशिष्ट 1)

पाठ प्रकार:गणित ग्रेड 5-6 के दौरान प्राप्त ज्ञान की पुनरावृत्ति और सामान्यीकरण का पाठ।

काम के रूप:ललाट, सामूहिक, स्वतंत्र कार्य।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण (2-4 मिनट)

नए स्कूल वर्ष की शुरुआत पर छात्रों को बधाई।

***
और फिर से चिनार की गिल्डिंग में,
और स्कूल घाट पर एक जहाज की तरह है,
जहां शिक्षक छात्रों की प्रतीक्षा करते हैं
एक नया जीवन शुरू करने के लिए।

***
खुशियों को अपने दरवाजे पर दस्तक दें
इसे व्यापक रूप से खोलें।
जीवन पथ रहस्य में डूबा हुआ है,
लेकिन यह इस दुनिया में बहुत खूबसूरत है!
और खिड़की में हमेशा रोशनी रहने दो,
माँ की मुस्कान - दहलीज से।
कई अच्छे साल हो सकते हैं
और जीवन आसान है!

***
शरद ऋतु के उद्देश्य
यह खूबसूरत महिला है AUTUMN
मैंने अपने आप को तिरछी हवा के हवाले कर दिया,
और वह जो कुछ भी कहता है, जो कुछ भी पूछता है,
उसने माप को महसूस किए बिना उसे दे दिया।
पत्ते बहुरंगी बड़े आर्मफुल
शादी के गुलदस्ते के साथ उनके चरणों में फेंक दिया,
और हिंसक रंग, और सूर्य के अवशेष,
और बारिश के आँसू, और भोर से पहले कोहरा।
और हवा दुनिया भर में एक भटका हुआ घूमने वाला है,
केवल अपने आप से प्यार करना, अपनी सनक,
और यहां तक ​​कि यह खूबसूरत महिला
जितना हो सके चोट पहुंचाने की कोशिश की
एक चुटीले आवेग के साथ उसकी पोशाक को चीरने के लिए,
ताकि वह सर्दियों तक नग्न खड़ी रहे ...
शरद ने क्षमा कर दी, केवल एक शांत पीड़ा के साथ
पहले से ही बर्बाद आंसू गिर गए।
सर्दियों की बाहों में वह मर जाती है,
और अब भूरे बाल, नीले नहीं।
स्नो केप के नीचे किसी को पता नहीं चलेगा
यह खूबसूरत महिला ऑटम है।
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2. बीजगणित किसका अध्ययन करता है?

यू: पिछले साल हमने किस विषय का अध्ययन किया था?

छात्र:गणित।

गणित के बारे में एक अफवाह है
कि वह अपने दिमाग को क्रम में रखे।
बहुत अच्छे शब्द
लोग अक्सर उसके बारे में बात करते हैं।

डब्ल्यू.:हम गणित की कक्षा में क्या करते हैं?

छात्र:उन्होंने निर्देशांक तल में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याओं, हल किए गए समीकरणों, समस्याओं, निर्मित आंकड़ों के साथ गणना की।

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डब्ल्यू.:यह सब "गणित" विषय की सामग्री थी। इस विषय को बड़ी संख्या में स्वतंत्र विषयों में विभाजित किया गया है: बीजगणित, ज्यामिति, संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय विश्लेषण, खेल सिद्धांत, आदि। हम बीजगणित का अध्ययन शुरू करते हैं। आप पहले ही घर पर पाठ्यपुस्तक पढ़ चुके हैं। उदाहरण के लिए, यह साहित्य की पाठ्यपुस्तक से किस प्रकार भिन्न है?

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छात्र:इसमें बहुत सारी संख्याएँ और अक्षर और लैटिन अक्षर हैं।

डब्ल्यू.:आपको और मुझे याद है कि अक्षरों से हमें संख्याओं पर क्रियाओं के गुणों को ऐसे रूप में लिखने में मदद मिलती है जो याद रखने में आसान हो। वे कहते हैं: "कथित कथन गणितीय भाषा में लिखा गया है।" उदाहरण के लिए, गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनफल कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है ( ए · बी = बी · ए) याद रखें कि समय और गति को जानकर दूरी कैसे प्राप्त करें।

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छात्र:दूरी का पता लगाने के लिए, आपको समय को गति से गुणा करना होगा।

डब्ल्यू.:आइए इसे संक्षिप्त में लिखें: एस = वी · टी. यही है, पत्र हमारे लिए ब्याज की मात्रा के मूल्यों को खोजने के लिए सूत्रों के रूप में लिखने में मदद करते हैं। बीजगणित किस प्रकार भिन्न है, उदाहरण के लिए, अंकगणित से? अंकगणितीय समस्याओं में ज्ञात नियमों के अनुसार एक अज्ञात संख्या पाई जाती है। बीजगणित में, एक अज्ञात मात्रा को एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है। यह अज्ञात मात्रा और समस्या की स्थिति में डेटा एक समीकरण द्वारा परस्पर जुड़े होते हैं, जिसके समाधान से अज्ञात मात्रा पाई जाती है। प्राचीन राज्यों - बेबीलोन और मिस्र में कई हजार साल पहले अलग-अलग बीजगणितीय अवधारणाएं और समस्याओं को हल करने के तरीके सामने आए। उन सदियों में गणितीय ज्ञान की स्थिति का अंदाजा प्राचीन शहरों के स्थलों पर मिली प्राचीन पांडुलिपियों (पपीरी) से लगाया जा सकता है।<स्लाइड 5>

लगभग 4000 साल पहले, बेबीलोन और मिस्र में, वैज्ञानिक पहले से ही रैखिक समीकरण लिखना जानते थे, जिसकी मदद से उन्होंने भूमि सर्वेक्षण, निर्माण कला और सैन्य विज्ञान में कई तरह की समस्याओं को हल किया। उदाहरण के लिए, ब्रिटिश संग्रहालय में 2000-1700 की अवधि में रिंडा पेपिरस (इसे अहम्स पेपिरस भी कहा जाता है) का एक कार्य है। ईसा पूर्व e.: "एक संख्या ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि उसमें 2/3 जोड़ने पर और उसके तीसरे के परिणामी योग से घटाने पर संख्या 10 प्राप्त होती है।" इस समस्या का समाधान एक रेखीय समीकरण के समाधान में घटाया गया है:

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7वीं शताब्दी में ईसा पूर्व इ। यूनानियों ने गणित में मिस्रवासियों की उपलब्धियों को सीखा। नौवीं शताब्दी की शुरुआत में (830) खोरेज़मियन विद्वान मुहम्मद-बेन-मूसा अल-ख्वारिज्मी ने "हिसाब अल-जबर वैल-मुकाबाला" ("पुनर्स्थापन और विरोध की विधि") पुस्तक लिखी - यह बीजगणित पर पहली पुस्तक थी। यह गणित के इतिहास में एक मैनुअल के रूप में विशेष महत्व रखता है जिसने लंबे समय से पूरे यूरोप को पढ़ाया है। इसमें उन्होंने सबसे पहले बीजगणित की विधियों और तकनीकों पर विचार किया।

अल जाब्री
(शर्तों का स्थानांतरण)

समीकरण हल करते समय,
यदि भाग एक में,
कोई बात नहीं क्या,
एक नकारात्मक शब्द होगा,
हम दोनों भागों में,
इसके साथ सदस्य की तुलना की जा सकती है।
आइए एक समान पद दें,
केवल दूसरों के लिए एक संकेत के साथ, -
और हमें वह परिणाम मिलेगा जो हम चाहते हैं!

वाल-मुकाबाला
(ला रहा है)

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इस पुस्तक के लेखन के बाद से, बीजगणित एक स्वतंत्र विज्ञान बन गया है। शब्द "बीजगणित" शायद "अल जेब्र" शब्द से आया है, जिसका अर्थ है "बहाली"। अरबी में "बीजगणित" शब्द एक टूटे हुए हाथ या पैर को बहाल करने के लिए एक डॉक्टर की कला थी। अरबों ने सर्जन को बीजगणित कहा। इस प्रकार, गणित ने इस शब्द को चिकित्सा से उधार लिया।

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बीजगणित का आगे विकास मुख्य रूप से भारत में (12वीं शताब्दी तक) और मध्य एशिया में (15वीं शताब्दी तक) हुआ। बीजगणित 17वीं शताब्दी तक। पारंपरिक रूप से अलंकारिक (मौखिक) कहा जाता है। तथ्य यह है कि तब कोई एकल पारंपरिक संकेत "+", "-", "ए 2" और कई अन्य नहीं थे जिनका हम उपयोग करते हैं। समस्या की स्थिति, सभी क्रियाएं और उत्तर पूरी तरह से शब्दों में लिखे गए थे। याद रखने में आसानी के लिए, कभी-कभी यह प्रविष्टि पद्य में की जाती थी। गणितीय प्रतीकों को धीरे-धीरे पेश किया गया। तो समान चिन्ह "=" को 1557 में अंग्रेजी वैज्ञानिक आर. रिकोर्ड द्वारा पेश किया गया था, संकेत ":" और "*" - 17 वीं शताब्दी के अंत में जर्मन गणितज्ञ लाइबनिज द्वारा। , कोष्ठक - XVI सदी। गणितीय प्रतीकों ने विभिन्न देशों के वैज्ञानिकों के लिए एक दूसरे को समझना संभव बनाया। एक विज्ञान के रूप में बीजगणित के निर्माण में, फ्रांसीसी वैज्ञानिक फ्रेंकोइस विएटा और रेने डेसकार्टेस के महान गुण हैं। XVIII-XX सदियों के दौरान। नए गणितीय विज्ञान बीजगणित से विकसित हुए: बहुपद बीजगणित, वेक्टर बीजगणित। इन विज्ञानों का अध्ययन उच्च शिक्षा में किया जाता है।

स्कूल बीजगणित में, समीकरणों को संकलित करके समस्याओं का समाधान किया जाता है, वे स्वयं समीकरणों का अध्ययन करते हैं, मात्राओं के बीच संबंध (इनमें से कुछ संबंधों को कार्य कहा जाता है)। इस मामले में, अक्षरों का उपयोग किया जाता है, अक्षरों वाले भाव विभिन्न परिवर्तनों (समान परिवर्तन) के अधीन होते हैं। लेकिन इन सभी अक्षरों के पीछे अक्सर अंक छिपे होते हैं।

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कभी-कभी वे कहते हैं: "बीजगणित चार स्तंभों पर टिकी हुई है: एक समीकरण, एक संख्या, एक पहचान, एक कार्य।" बीजगणित, जिसका हम अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, एक व्यक्ति को न केवल विभिन्न गणना करने का अवसर देता है, बल्कि उसे सिखाता भी है। इसे जितनी जल्दी हो सके, अधिक तर्कसंगत रूप से करें।

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3. मौखिक व्यायाम।

1. संख्याओं -3.7 और 6.7 (उत्तर 3) का योग ज्ञात कीजिए; संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए संख्याओं के बीच अंतर पाएं साधारण भिन्नों और परिमेय संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ करने के नियमों को दोहराएँ।

2. मैंने तीन नंबरों के बारे में सोचा। यदि आप जानते हैं कि इसके विपरीत की संख्या 6 है, तो पहला ज्ञात कीजिए। यदि इसके विपरीत की संख्या 3 है, तो दूसरी ज्ञात कीजिए, यदि आप जानते हैं, तो इसे इससे गुणा करके ज्ञात कीजिए।

3. गणना करें:

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4. एक नया विषय सीखना।

कई समस्याओं को हल करते समय, दी गई संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन करना आवश्यक है: जोड़, घटाव, गुणा और भाग। लेकिन अक्सर, इनमें से प्रत्येक क्रिया को पूरा करने से पहले, अग्रिम रूप से उस आदेश (योजना) को इंगित करना सुविधाजनक होता है जिसके बाद इन कार्यों को किया जाना चाहिए। यह योजना इस तथ्य पर उबलती है कि, कार्य डेटा के अनुसार, संख्याओं, क्रिया संकेतों और कोष्ठकों का उपयोग करते हुए, a संख्यात्मक अभिव्यक्ति।

उदाहरण:

यदि आप एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में इंगित सभी क्रियाएं करते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें एक संख्या मिलती है जिसके बारे में वे कहते हैं कि यह एक दिए गए संख्यात्मक अभिव्यक्ति के बराबर है।

तो पहला अंकीय व्यंजक 2 के बराबर है, दूसरा भी 2 के बराबर है, और तीसरा 0 के बराबर है।

परिभाषा 1:अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक) का उपयोग करके संख्याओं से बना एक रिकॉर्ड एक संख्यात्मक (अंकगणित) व्यंजक कहलाता है।

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में एक ही संख्या हो सकती है।

परिभाषा 2:सांख्यिक व्यंजक का मान वह संख्या है जो सांख्यिक व्यंजक में निर्दिष्ट क्रियाओं को करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होती है।

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उदाहरण: ट्रेन पहले साठ किलोमीटर प्रति घंटे की गति से 50 मिनट तक चली, फिर स्टेशन पर दस मिनट के लिए रुकी, फिर 40 किमी / घंटा की गति से एक घंटे के लिए आगे बढ़ी। ट्रेन की औसत गति पाएं।

फेसला: परिभाषा के अनुसार, गति की औसत गति इस पथ पर बिताए गए समय के लिए तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर है। आइए गति की दूरी और समय की गणना करें। सबसे पहले, हम इस बात का ध्यान रखते हैं कि (उसी समय इकाइयों पर स्विच किया गया)। आंदोलन की शुरुआत में, अंत में पथ पारित किया गया था - पथ 40 1 (किमी)।

यात्रा की गई कुल दूरी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित है:

इस पथ पर बिताया गया समय (रोकने में लगने वाले समय सहित) को एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जाता है: फिर गति की औसत गति को अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जाता है: यदि हम इस अभिव्यक्ति की गणना करते हैं, तो हमें मिलता है: .

परिभाषा 3:"=" चिन्ह से जुड़े दो अंकीय व्यंजक एक संख्यात्मक समानता बनाते हैं। यदि संख्यात्मक समानता के बाएँ और दाएँ भागों का मान समान है, तो समानता को सत्य कहा जाता है, अन्यथा यह असत्य है।

उदाहरण: - सही संख्यात्मक समानता;

6 + 12 3 \u003d (6 + 12) 3 - 42 54 के बाद से गलत संख्यात्मक समानता।

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कोष्ठक संचालन के क्रम को स्थापित करने में मदद करते हैं। यह माना जाता है कि सभी कार्यों को अंजाम दिया जा सकता है। किसी भी संख्या का जोड़, घटाव और गुणा करना हमेशा संभव होता है। लेकिन आप एक संख्या को दूसरी संख्या से तभी विभाजित कर सकते हैं जब भाजक शून्य के बराबर न हो: आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। यदि इस अभिव्यक्ति में गणना के किसी चरण में इसे शून्य से विभाजित करना आवश्यक है, तो इस अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

उदाहरण: इन भावों का कोई मतलब नहीं है .

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संचालन के क्रम को संख्यात्मक शब्दों में दोहराएं। भिन्नों के साथ संचालन करने के नियमों को दोहराएं।

5. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

आदि। # 1 तय करें कि निम्नलिखित में से कौन सा भाव समझ में आता है और कौन सा नहीं। उन लोगों के लिए जो समझ में आते हैं, वे संख्याएँ खोजें जिनके वे बराबर हैं।

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आदि। #2 समानता के रूप में लिखें और जांचें कि क्या यह सत्य है:

a) संख्या 240 का 20% 62 के बराबर है (240 0.2 = 62 सही नहीं है);

बी) संख्या 18, संख्या 600 का 3% है (18 = 0.03 600 सही नहीं है);

c) संख्याओं और 5 का गुणनफल 700 . की संख्या का 11% है सही;

d) संख्या 18 का चौथा भाग संख्या 90 . का 5% है सही;

ई) संख्या 111:3 संख्या 370 के 10% के बराबर है (111:3 = 0.1 370, दाएं);

च) संख्या 12 का 650% 77 (6.5 12 = 77 78 ≠ 77, सत्य नहीं) के बराबर है।

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आदि। #3 गणना करें:

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6. गृहकार्य:सार, 10 (ए)

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7. पाठ को सारांशित करना

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साहित्य:

1. गणित संख्या 12, 2004
2. बीजगणित: ग्रेड 7. नियंत्रण, स्वतंत्र, रेटिंग कार्य / वी.ए. गोल्डिच। - एम .: एक्समो, 2008। - 144 पी। - (शिक्षक के लिए मास्टर क्लास)।
3. इंटरनेट संसाधन।

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और फिर से चिनार की गिल्डिंग में, और स्कूल घाट पर एक जहाज की तरह है, जहां शिक्षक के छात्र इंतजार कर रहे हैं, एक नया जीवन शुरू करने के लिए। खुशी को अपने दरवाजे पर दस्तक दें, इसे जल्द से जल्द व्यापक खोलें। जीवन का पथ रहस्य में डूबा हुआ है, लेकिन यह इस दुनिया में कितना सुंदर है! और खिड़की में हमेशा रोशनी रहने दो, माँ की मुस्कान - दहलीज से। हो सकता है कि कई अच्छे साल हों और जीवन में एक आसान राह हो!

गणित के बारे में एक अफवाह है कि यह दिमाग को क्रम में रखता है। इसलिए अक्सर लोगों के बीच उनके बारे में अच्छी बातें कही जाती हैं।

एस = वी टी ए बी = बी ए

बेबीलोन मिस्र

लगभग 4000 साल पहले, बेबीलोन और मिस्र में, वैज्ञानिक पहले से ही रैखिक समीकरण लिखना जानते थे, जिसकी मदद से उन्होंने भूमि सर्वेक्षण, निर्माण कला और सैन्य विज्ञान में कई तरह की समस्याओं को हल किया। ब्रिटिश संग्रहालय में रहिंद पेपिरस का एक कार्य है (इसे अहम्स पेपिरस भी कहा जाता था)

रिंडा पेपिरस (इसे अहम्स पेपिरस भी कहा जाता है) का कार्य ब्रिटिश संग्रहालय में रखा गया है। एक संख्या ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि इसमें 2/3 जोड़कर और परिणामी राशि से इसके तीसरे को घटाकर, संख्या ज्ञात करें 10 प्राप्त होता है।

"हिसाब अल-जबर वाल-मुक़ाबला" ("पुनर्स्थापन और विरोध की विधि") - यह बीजगणित पर पहली पुस्तक थी। अल-जबर एक समीकरण को हल करते समय, यदि एक भाग में, कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा एक नकारात्मक सदस्य है, हम दोनों भागों में हैं, हम इस सदस्य के साथ तुलनीय हैं। हम एक समान सदस्य देंगे, दूसरों को केवल एक संकेत के साथ, - और हमें वह परिणाम मिलेगा जो हम चाहते हैं! वल-मुकाबला तब हम समीकरण को देखते हैं, क्या भूत बनाना संभव है, यदि सदस्य समान हैं, तो उनकी तुलना करना सुविधाजनक है। उनमें से एक समान पद घटाकर हम उन्हें घटाकर एक कर देते हैं।

बीजगणित समीकरण संख्या पहचान कार्य बीजगणित, जिसका हम अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, एक व्यक्ति को न केवल विभिन्न गणना करने का अवसर देता है, बल्कि उसे इसे यथासंभव जल्दी और तर्कसंगत रूप से करना भी सिखाता है।

पाठ का विषय: "संख्यात्मक अभिव्यक्ति" संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मूल्यों को खोजने के लिए छात्रों की क्षमता को दोहराने और गहरा करने के लिए; याद रखें कि शून्य से क्रिया विभाजन वाले व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है; एक नया विषय सीखने में छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि विकसित करना। पाठ मकसद:

मौखिक रूप से गणना करें: 6 7 10 80 289 72 8 5 8100 170

अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक) का उपयोग करके संख्याओं से बना एक रिकॉर्ड एक संख्यात्मक (अंकगणित) व्यंजक कहलाता है। 2 2 0 अंकीय व्यंजक का मान वह संख्या है जो सांख्यिक व्यंजक में निर्दिष्ट क्रियाओं को करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होती है। विषय की खोज

"=" चिन्ह से जुड़े दो अंकीय व्यंजक एक संख्यात्मक समानता बनाते हैं। यदि संख्यात्मक समानता के बाएँ और दाएँ भागों का मान समान है, तो समानता को सत्य कहा जाता है, अन्यथा यह असत्य है। सही गलत विषय की खोज करना

यदि इस अभिव्यक्ति में गणना के किसी चरण में इसे शून्य से विभाजित करना आवश्यक है, तो इस अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है। विषय की खोज

टास्क कियोस्क # 1 निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सा भाव समझ में आता है और कौन सा नहीं। उन लोगों के लिए जो समझ में आते हैं, वे संख्याएँ खोजें जिनके वे बराबर हैं। ए) बी) सी) समझ में नहीं आता -3/7 54/95

टास्क कियोस्क नंबर 1 (पहली, दूसरी लाइन), नंबर 3, नंबर 4 (ई-एच), नंबर 5, नंबर 6 (पहली, तीसरी लाइन), नंबर 7 (ए, बी), नंबर। 13

गृहकार्य पी.1 (अध्ययन, परिभाषाएं सीखें), नंबर 2, नंबर 4 (ए - डी), नंबर 6 (बी, ई, एच)

पाठ सारांश आज हमने किन भावों के बारे में बात की? एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति क्या है? संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य क्या है? संख्यात्मक समानता क्या है? आप किस प्रकार की समानताएं जानते हैं? एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति कब समझ में नहीं आती है?

पाठ के लिए धन्यवाद, बच्चों को नए स्कूल वर्ष में रचनात्मक सफलता!

"बीजगणितीय भाव" (ग्रेड 7) विषय पर गणित में प्रस्तुति। यह प्रस्तुति एक नए 7वीं कक्षा के गणित विषय, बीजगणितीय भावों को कवर करने के लिए डिज़ाइन की गई है। बीजीय व्यंजकों के उदाहरण दिए गए हैं, बीजीय व्यंजकों की परिभाषा दी गई है। बीजीय व्यंजक और संख्यात्मक व्यंजक के बीच का अंतर दिखाया गया है। बीजगणितीय व्यंजकों की रचना करने में सक्षम होने के लिए, यानी जहां उनका उपयोग किया जाता है, उसके लिए उदाहरण दिए गए हैं। बीजीय व्यंजकों की रचना के उदाहरणों पर विचार किया जाता है।

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बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ।

गृहकार्य की जाँच करना। अपना गृहकार्य करने की प्रक्रिया में आपको गणित की कौन-सी जानकारी याद रखनी थी?

अंकगणितीय संचालन का क्रम। जोड़ का क्रमागत नियम: a + b = b + a गुणन का क्रमागत नियम: a * b = b * a: abc = (ab)c = a(bc) सामान्य भिन्न की अवधारणा, दशमलव भिन्न, ऋणात्मक संख्या। दशमलव अंशों के साथ अंकगणितीय संचालन। साधारण अंशों के साथ अंकगणितीय संचालन। एक साधारण अंश की मुख्य संपत्ति: दशमलव अंशों के साथ क्रियाओं के नियम।

उदाहरण 1 एक रेफ्रिजरेटर की कीमत $350 है। फिर दो रेफ्रिजरेटर की कीमत दोगुनी है, यानी। 350 2=700$; पांच रेफ्रिजरेटर की कीमत पांच गुना ज्यादा है, यानी। 350 5 = 1750 $ . यह पता लगाना आसान है कि रेफ्रिजरेटर की कीमत कई गुना अधिक है, अर्थात। 350· a $ व्यंजक 350· a का उपयोग करके, आप a के विभिन्न मानों को प्रतिस्थापित करके और गुणन निष्पादित करके एक भिन्न संख्या a रेफ्रिजरेटर की लागत ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि अक्षर a विभिन्न प्राकृतिक मूल्यों को ग्रहण कर सकता है, तो a एक चर है 350 a एक बीजीय व्यंजक है (या एक चर के साथ व्यंजक)

उदाहरण 2. मान लीजिए कि आयत की एक भुजा की लंबाई एक सेमी, दूसरी - b सेमी है। आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए। b a P = 2 a + 2 b a , b - चर 2 a + 2 b - बीजीय व्यंजक

उदाहरण 3. 2a - 3b + 5 - चर a और b के साथ बीजीय व्यंजक रिकॉर्ड करें। - चर x और y के साथ बीजीय व्यंजक।

उदाहरण 4. a = 3 , b = 4 और c = 2 के लिए व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए। हमें एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति मिलती है। क्रियाओं को करने के बाद, हम इसका मान ज्ञात करेंगे: = = = 9 संख्या 9 चर के दिए गए मानों के लिए बीजीय व्यंजक का मान है। एक संख्यात्मक व्यंजक का मान, जो चरों के चयनित मानों को बीजीय व्यंजक में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, बीजीय व्यंजक का मान कहलाता है।

हम कुछ गणितीय व्यंजकों को विभिन्न तरीकों से लिख सकते हैं। हमारे लक्ष्यों के आधार पर, क्या हमारे पास पर्याप्त डेटा है, आदि। संख्यात्मक और बीजीय व्यंजकइसमें अंतर यह है कि हम अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) और कोष्ठकों के संकेतों की सहायता से संयुक्त संख्याओं के रूप में पहली बार लिखते हैं।

यदि आप संख्याओं के बजाय व्यंजक में लैटिन अक्षर (चर) दर्ज करते हैं, तो यह बीजीय हो जाएगा। बीजीय व्यंजक अक्षरों, संख्याओं, जोड़ और घटाव के चिह्नों, गुणा और भाग का उपयोग करते हैं। और जड़, डिग्री, कोष्ठक के चिन्ह का भी उपयोग किया जा सकता है।

किसी भी मामले में, यह अभिव्यक्ति संख्यात्मक या बीजगणितीय है, यह केवल वर्णों, संख्याओं और अक्षरों का एक यादृच्छिक सेट नहीं हो सकता है - इसका एक अर्थ होना चाहिए। इसका मतलब है कि अक्षरों, संख्याओं, संकेतों को किसी तरह के रिश्ते से जोड़ा जाना चाहिए। सही उदाहरण: 7x + 2: (y + 1)। खराब उदाहरण): + 7x - * 1.

शब्द "चर" ऊपर उल्लेख किया गया था - इसका क्या अर्थ है? यह एक लैटिन अक्षर है, जिसके स्थान पर आप किसी संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। और अगर हम चर के बारे में बात कर रहे हैं, तो इस मामले में, बीजीय व्यंजकों को बीजीय फलन कहा जा सकता है।

चर विभिन्न मूल्यों पर ले सकता है। और इसके स्थान पर किसी संख्या को प्रतिस्थापित करते हुए, हम चर के इस विशेष मान के लिए बीजीय व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। जब चर का मान भिन्न होता है, तो व्यंजक का मान भी भिन्न होगा।

बीजीय व्यंजकों को कैसे हल करें?

उन मूल्यों की गणना करने के लिए जिन्हें आपको करने की आवश्यकता है बीजीय व्यंजकों का रूपांतरण. और इसके लिए आपको अभी भी कुछ नियमों पर विचार करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, एक बीजीय व्यंजक का डोमेन एक चर के सभी संभावित मान होते हैं जिसके लिए व्यंजक समझ में आता है। इसका क्या मतलब है? उदाहरण के लिए, आप किसी वेरिएबल के लिए मान को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं जिसके लिए आपको शून्य से विभाजित करना होगा। व्यंजक 1 / (x - 2) में, 2 को परिभाषा के क्षेत्र से बाहर रखा जाना चाहिए।

दूसरे, याद रखें कि अभिव्यक्तियों को कैसे सरल बनाया जाए: गुणनखंड, ब्रैकेट समान चर, आदि। उदाहरण के लिए: यदि आप शर्तों को स्वैप करते हैं, तो योग नहीं बदलेगा (y + x = x + y)। इसी तरह, यदि कारकों को आपस में बदल दिया जाए तो उत्पाद नहीं बदलेगा (x * y \u003d y * x)।

सामान्य तौर पर, वे बीजीय व्यंजकों को सरल बनाने के लिए उत्कृष्ट हैं। संक्षिप्त गुणन सूत्र. जिन्होंने अभी तक उन्हें नहीं सीखा है, उन्हें यह अवश्य करना चाहिए - वे अभी भी एक से अधिक बार काम में आएंगे:

हम वर्ग चर का अंतर पाते हैं: x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y);

हम वर्ग का योग पाते हैं: (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2;

हम वर्ग अंतर की गणना करते हैं: (x - y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2;

हम योग करते हैं: (x + y) 3 \u003d x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 या (x + y) 3 \u003d x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

अंतर को घन करें: (x - y) 3 \u003d x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 या (x - y) 3 \u003d x 3 - y 3 - 3xy (x - y);

हम क्यूब किए गए चर का योग पाते हैं: x 3 + y 3 \u003d (x + y) (x 2 - xy + y 2);

हम क्यूब किए गए चर के अंतर की गणना करते हैं: x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2);

हम जड़ों का उपयोग करते हैं: xa 2 + ya + z \u003d x (a - a 1) (a - a 2), और 1 और 2 व्यंजक xa 2 + ya + z के मूल हैं।

आपको बीजीय व्यंजकों के प्रकारों के बारे में भी जानकारी होनी चाहिए। वो हैं:

तर्कसंगत, और बदले में उन्हें विभाजित किया गया है:

पूर्णांक (उनके पास चर में विभाजन नहीं है, चर से जड़ों का कोई निष्कर्षण नहीं है और कोई भिन्नात्मक शक्ति नहीं है): 3a 3 b + 4a 2 b * (a - b)। दायरा सभी संभावित मान है चर के;

भिन्नात्मक (अन्य गणितीय संक्रियाओं को छोड़कर, जैसे जोड़, घटाव, गुणा, इन भावों में वे एक चर से विभाजित होते हैं और एक शक्ति (एक प्राकृतिक घातांक के साथ) तक बढ़ाते हैं: (2 / b - 3 / a + c / 4) 2 परिभाषा का क्षेत्र - सभी मान चर जिनके लिए व्यंजक शून्य के बराबर नहीं है;

अपरिमेय - एक बीजीय व्यंजक को इस रूप में माने जाने के लिए, इसमें भिन्नात्मक घातांक वाली घात के लिए चरों का घातांक और/या चरों से जड़ों का निष्कर्षण शामिल होना चाहिए: a + b 3/4। परिभाषा का क्षेत्र वेरिएबल्स के सभी मान हैं, उन्हें छोड़कर जिसमें एक सम डिग्री की जड़ के नीचे या एक भिन्नात्मक डिग्री के तहत अभिव्यक्ति एक ऋणात्मक संख्या बन जाती है।

बीजीय व्यंजकों की पहचान रूपांतरणउन्हें हल करने के लिए एक और उपयोगी तकनीक है। एक पहचान एक अभिव्यक्ति है जो परिभाषा के क्षेत्र में शामिल किसी भी चर के लिए सही होगी जो इसमें प्रतिस्थापित हैं।

एक व्यंजक जो कुछ चरों पर निर्भर करता है, किसी अन्य व्यंजक के समान हो सकता है यदि वह समान चरों पर निर्भर करता है और यदि दोनों व्यंजकों के मान समान हैं, तो चरों के जो भी मान चुने जाते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि किसी व्यंजक को दो भिन्न तरीकों (अभिव्यक्तियों) में व्यक्त किया जा सकता है जिनके मान समान हैं, तो ये व्यंजक समान रूप से समान हैं। उदाहरण के लिए: y + y \u003d 2y, या x 7 \u003d x 4 * x 3, या x + y + z \u003d z + x + y।

बीजीय व्यंजकों के साथ कार्य करते समय, समान परिवर्तन यह सुनिश्चित करने का कार्य करता है कि एक व्यंजक को उसके समान दूसरे व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, x 9 को उत्पाद x 5 * x 4 से बदलें।

समाधान उदाहरण

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें। बीजीय व्यंजकों का रूपांतरण. इस स्तर के कार्य एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए KIM में पाए जा सकते हैं।

कार्य 1: व्यंजक ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 -1) का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान: ((12x) 2 - 12x) / (12x 2 - 1) \u003d (12x (12x -1)) / x * (12x - 1) \u003d 12.

कार्य 2: व्यंजक (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x +3) का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान: (4x 2 - 9) * (1 / (2x - 3) - 1 / (2x + 3) \u003d (2x - 3) (2x + 3) (2x + 3 - 2x + 3) / (2x - 3 )(2x + 3) = 6।

निष्कर्ष

स्कूल परीक्षण, यूएसई और जीआईए परीक्षा की तैयारी करते समय, आप हमेशा इस सामग्री को संकेत के रूप में उपयोग कर सकते हैं। ध्यान रखें कि बीजीय व्यंजक लैटिन अक्षरों में व्यक्त संख्याओं और चरों का एक संयोजन होता है। और अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग), कोष्ठक, डिग्री, मूल के संकेत भी।

बीजीय व्यंजकों को बदलने के लिए लघु गुणन सूत्रों और पहचान समीकरणों के ज्ञान का उपयोग करें।

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अध्याय 3अध्याय 1। व्यंजक, सर्वसमिकाएँ, समीकरण(22 घंटे)

विषय. संख्यात्मक भाव।

लक्ष्य। एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति की अवधारणाओं का परिचय दें, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य; संख्याओं पर संक्रियाएँ करके और कोष्ठकों का उपयोग करके संख्यात्मक व्यंजक का मान ज्ञात करने की क्षमता बनाना।

कक्षाओं के दौरान।

आयोजन का समय।

नैदानिक ​​कार्य का विश्लेषण।

बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।

उदाहरण 1 गणना करें। (मौखिक रूप से)।

क) 13 - 18.5 = -5.5; बी) -19 + 21.3 = 2.3; ग) -14 - 71.03 = -85.03;

घ) 17 - (-21.3) = 38.3; ई) - (-3 - 2.8) = 5.8; च) 3 15 - 7 = 38;

छ) (15 - 2) (-3) = - 39; एच) ; को) ।

नई सामग्री की व्याख्या।

1. कई समस्याओं को हल करते समय, दी गई संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन करना आवश्यक है: जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

परिभाषा . सांख्यिक व्यंजक - संख्याओं और क्रिया चिह्नों से युक्त व्यंजक.

लेकिन अक्सर, इनमें से प्रत्येक क्रिया को पूरा करने से पहले, अग्रिम रूप से उस आदेश (योजना) को इंगित करना सुविधाजनक होता है जिसके बाद इन कार्यों को किया जाना चाहिए। यह योजना इस तथ्य पर उबलती है कि, कार्य डेटा के अनुसार, संख्याओं, क्रिया संकेतों और कोष्ठकों का उपयोग करते हुए, a संख्यात्मक अभिव्यक्ति।

2. संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के उदाहरण:

3. यदि इसमें दर्शाई गई सभी क्रियाएं संख्यात्मक व्यंजक में की जाती हैं, तो परिणामस्वरूप हमें एक वास्तविक संख्या प्राप्त होती है, जिसके बारे में वे कहते हैं कि यह एक दिए गए संख्यात्मक व्यंजक के बराबर है और कहलाती है अभिव्यक्ति मूल्य .

परिभाषा . किसी अंकीय व्यंजक का मान ज्ञात करने का अर्थ है उसमें सभी क्रियाओं को करना।

उदाहरण 2. एक सांख्यिक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

4. निश्चित रूप से, हम मानते हैं कि सभी गतिविधियाँ संभव हैं। आइए इन शब्दों की व्याख्या करें। किसी भी संख्या का जोड़, घटाव और गुणा करना हमेशा संभव होता है। लेकिन संख्याओं को एक दूसरे से विभाजित करना तभी संभव है जब भाजक शून्य के बराबर न हो: आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। यदि किसी दिए गए व्यंजक में किसी स्तर पर इसे शून्य से विभाजित करना आवश्यक है, तो यह आवश्यकता संभव नहीं है। ऐसी अभिव्यक्ति कोई मतलब नहीं है।

उदाहरण 3क्या अभिव्यक्ति समझ में आती है:

इन भावों का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें बताए गए कार्यों को करते समय, शून्य से विभाजित करना आवश्यक हो जाता है।

5. आइए याद करें कि किसी संख्या का भिन्न कैसे ज्ञात करें।

परिभाषा। किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए, आपको उस संख्या को भिन्न से गुणा करना होगा।

उदाहरण 4 34 से खोजें।

6. आइए याद करें कि किसी संख्या को उसके भिन्न से कैसे ज्ञात किया जाए।

परिभाषा। किसी संख्या को उसके भिन्न का ज्ञात मान देने के लिए, इस मान को दिए गए भिन्न से भाग देना आवश्यक है।

उदाहरण 5वह संख्या ज्ञात कीजिए जो 45 के बराबर हो।

7. आइए याद करें कि प्रतिशत क्या है।

परिभाषा। किसी भी मान या संख्या के सौवें हिस्से को प्रतिशत कहा जाता है।

8. याद करें कि किसी दी गई संख्या का प्रतिशत कैसे ज्ञात करें?

परिभाषा। किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत को भिन्न के रूप में लिखें और उस संख्या को भिन्न से गुणा करें।

उदाहरण 6 400 का 8% ज्ञात कीजिए।

2) 400 ∙ 0,08 = 32.

9. याद कीजिए कि किसी संख्या को उसके प्रतिशत से कैसे ज्ञात किया जाता है?

परिभाषा। किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करने के लिए, आपको प्रतिशत को भिन्न के रूप में लिखना होगा और इस मान को भिन्न से विभाजित करना होगा।

उदाहरण 7संख्या ज्ञात कीजिए यदि उस संख्या का 16% 80 है,

कौशल और क्षमताओं का गठन।

Uch.s.6 नंबर 5 (पहला पृष्ठ)।

Uch.s.6 नंबर 6 (पहला पृष्ठ)।

Uch.s.7 नंबर 8।दूध के पैकेज का कहना है कि दूध में 3.2% वसा, 2.5% प्रोटीन और 4.7% कार्बोहाइड्रेट होता है। इनमें से प्रत्येक पदार्थ एक गिलास (200 ग्राम) दूध में कितना होता है?

दूध - 200 ग्राम

मोटा - ? घ, कुल का 3.2%

प्रोटीन - ? जी, कुल का 2.5%

कार्बोहाइड्रेट - ? घ, कुल का 4.7%

2) 200 0.032 = 6.4 (जी) - वसा;

4) 200 0.025 = 5 (जी) - प्रोटीन;

6) 200 0.047 = 9.4 (जी) - कार्बोहाइड्रेट। जवाब: 6.4g, 5g, 9.4g

4. उत्पाद की कीमत में पहले 20% की वृद्धि हुई, और फिर उसी प्रतिशत की कमी हुई। मूल कीमत की तुलना में कीमत कैसे और कितने प्रतिशत तक बदली है?

फेसला।

1) ,

2) 1 क 0 - 0.96ए 0 = 0.04a 0 ;

3) 0,04 = 4%. जवाब : 4% की कमी।

पाठ को सारांशित करना।

सांख्यिक व्यंजक में कोष्ठक क्यों होते हैं?

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति कब समझ में आती है? ऐसे व्यंजक का एक उदाहरण दीजिए।

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति कब समझ में नहीं आती है? ऐसे व्यंजक का एक उदाहरण दीजिए।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य क्या है?

संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करते समय संचालन का क्रम क्या है?

15% को सामान्य और दशमलव भिन्न के रूप में कैसे व्यक्त करें?

गृहकार्य।आइटम 1 (सिद्धांत जानें)। नंबर 5(2str), 6(2str), 10, 13(2.4), 15.