102. प्रारंभिक स्पष्टीकरण।

पिछले भाग में, हमने सभी संभावित हरों वाली भिन्नों पर विचार किया और उन्हें साधारण भिन्न कहा। हम हर उस अंश में रुचि रखते थे जो मापने या विभाजित करने की प्रक्रिया में उत्पन्न हुआ था, भले ही हमें किस प्रकार का भाजक मिला हो।

अब, भिन्नों के पूरे सेट से, हम हर के साथ भिन्नों का चयन करेंगे: 10, 100, 1,000, 10,000, आदि। अनेक)। ऐसे भिन्न कहलाते हैं दशमलव।

यहाँ दशमलव के उदाहरण हैं:

हम पहले दशमलव भिन्नों के साथ मिल चुके हैं, लेकिन उनमें निहित किसी विशेष गुण का संकेत नहीं दिया है। अब हम दिखाएंगे कि उनके पास कुछ उल्लेखनीय गुण हैं, जो भिन्नों के साथ सभी गणनाओं को सरल बनाते हैं।

103. हर के बिना दशमलव भिन्न की छवि।

दशमलव भिन्न आमतौर पर सामान्य भिन्नों की तरह नहीं, बल्कि उन नियमों के अनुसार लिखे जाते हैं जिनके द्वारा पूर्ण संख्याएँ लिखी जाती हैं।

यह समझने के लिए कि बिना हर के दशमलव अंश कैसे लिखा जाता है, आपको यह याद रखना होगा कि दशमलव प्रणाली में कोई भी पूर्ण संख्या कैसे लिखी जाती है। यदि, उदाहरण के लिए, हम केवल संख्या 2, यानी संख्या 222 का उपयोग करके तीन अंकों की संख्या लिखते हैं, तो इन दोनों में से प्रत्येक का एक विशेष अर्थ होगा, जो उस संख्या के स्थान पर निर्भर करता है। दाईं ओर से पहला दो इकाइयों के लिए, दूसरा दहाई के लिए और तीसरा सैकड़ों के लिए है। इस प्रकार, किसी भी अन्य अंक के बाईं ओर कोई भी अंक पिछले अंक द्वारा इंगित इकाइयों की तुलना में दस गुना बड़ी इकाइयों को दर्शाता है। यदि कोई अंक लुप्त हो तो उसके स्थान पर शून्य लिखा जाता है।

तो, एक पूर्ण संख्या में, इकाइयाँ दाईं ओर पहले स्थान पर हैं, दहाई दूसरे स्थान पर हैं, आदि।

अब हम यह प्रश्न उठाते हैं कि यदि हम संख्या 222 में हैं तो हमें किस श्रेणी की इकाई प्राप्त होगी। सहीपक्ष में हम एक और संख्या जोड़ेंगे। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह ध्यान रखना होगा कि अंतिम दो (दाईं ओर से पहला) इकाइयों को दर्शाता है।

इसलिए, यदि ड्यूस के बाद, इकाइयों को निरूपित करते हुए, हम, थोड़ा पीछे हटते हैं, कुछ अन्य संख्या लिखते हैं, उदाहरण के लिए 3, तो यह इकाइयों को निरूपित करेगा, पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा, दूसरे शब्दों में, यह निरूपित करेगा दसवांइकाइयां; परिणाम एक संख्या है जिसमें 222 पूर्ण इकाइयाँ और एक इकाई का 3 दहाई भाग होता है।

संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच अल्पविराम लगाने की प्रथा है, अर्थात, इस तरह लिखें:

यदि इस संख्या में त्रिगुण के बाद हम एक और संख्या जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए 4, तो इसका अर्थ होगा 4 सैकड़ाएक इकाई के अंश; नंबर दिखेगा:

और उच्चारित किया गया है: दो सौ बाईस अंक, चौंतीस सौवां।

एक नया अंक, उदाहरण के लिए 5, इस संख्या को सौंपा जा रहा है, हमें देता है हजारवें: 222.345 (दो सौ बाईस अंक, तीन सौ पैंतालीस हजारवां)।

अधिक स्पष्टता के लिए, पूर्णांक और भिन्नात्मक अंकों की व्यवस्था को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

इस प्रकार, हमने समझाया है कि दशमलव भिन्न को हर के बिना कैसे लिखा जाता है। आइए इनमें से कुछ भिन्नों को लिखें।

हर 5/10 के बिना एक अंश लिखने के लिए, आपको यह ध्यान रखना होगा कि इसमें पूर्णांक नहीं हैं और इसलिए, पूर्णांकों के स्थान पर शून्य होना चाहिए, अर्थात 5/10 = 0.5।

भाजक 2 9/100 बिना हर के इस प्रकार लिखा जाएगा: 2.09, अर्थात दहाई के स्थान पर शून्य लगाना चाहिए। यदि हम इस 0 को छोड़ देते हैं, तो हमें एक पूरी तरह से भिन्न भिन्न प्राप्त होती है, अर्थात् 2.9, यानी दो पूर्ण अंक और नौ दसवां अंश।

इसलिए, दशमलव भिन्न लिखते समय, आपको लापता पूर्णांक और भिन्नात्मक अंकों को शून्य से निरूपित करना होगा:

0.325 - कोई पूर्णांक नहीं,
0.012 - कोई पूर्णांक और कोई दहाई नहीं,
1.208 - कोई सौवां नहीं,
0.20406 - कोई पूर्णांक नहीं, कोई सौवां नहीं, और कोई दस-हजारवां नहीं।

दशमलव बिंदु के दाईं ओर की संख्याएँ दशमलव स्थान कहलाती हैं।

दशमलव भिन्न लिखते समय गलतियों से बचने के लिए, आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि दशमलव भिन्न की छवि में दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि हर में शून्य होंगे यदि हम इस भिन्न को हर के साथ लिखते हैं, अर्थात।

0.1 \u003d 1 / 10 (दशमलव बिंदु के बाद हर में एक शून्य और एक अंक होता है);

§ 104. दशमलव भिन्न में शून्य निर्दिष्ट करना।

पिछले पैराग्राफ में, यह वर्णन किया गया था कि बिना हर के दशमलव अंश कैसे प्रदर्शित होते हैं। दशमलव भिन्न लिखते समय शून्य का बहुत महत्व है। प्रत्येक नियमित दशमलव अंश में पूर्णांकों के स्थान पर एक शून्य होता है, यह इंगित करने के लिए कि ऐसे अंश में पूर्णांक नहीं होते हैं। अब हम 0, 3 और 5 संख्याओं का प्रयोग करते हुए कई भिन्न-भिन्न दशमलव लिखेंगे।

0.35 - 0 पूर्णांक, 35 सौवां,
0.035 - 0 पूर्णांक, 35 हजारवां,
0.305 - 0 पूर्णांक, 305 हजारवां,
0.0035 - 0 पूर्णांक, 35 दस-हजारवां।

आइए अब जानें कि दशमलव भिन्न के अंत में, यानी दाईं ओर स्थित नल का क्या अर्थ है।

यदि हम एक पूर्णांक लें, उदाहरण के लिए 5, उसके बाद अल्पविराम लगाएं, और फिर अल्पविराम के बाद शून्य लिखें, तो इस शून्य का अर्थ शून्य दहाई होगा। इसलिए, दाईं ओर दिया गया यह शून्य संख्या के मान को प्रभावित नहीं करेगा, अर्थात।

अब हम संख्या 6.1 लेते हैं और इसमें दाईं ओर शून्य जोड़ते हैं, हमें 6.10 मिलता है, यानी दशमलव बिंदु के बाद हमारे पास 1/10 था, और यह 10/100 हो गया, लेकिन 10/100 1/10 के बराबर हैं। इसका मतलब है कि संख्या का मान नहीं बदला है, और असाइनमेंट से शून्य के दाईं ओर, केवल संख्या और उच्चारण का रूप बदल गया है (6.1 - छह बिंदु एक दसवां; 6.10 - छह बिंदु दस सौवां)।

इसी तरह के तर्क से, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि दशमलव अंश के दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करने से उसका मान नहीं बदलता है। इसलिए, हम निम्नलिखित समानताएँ लिख सकते हैं:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6.7 = 6.70000 आदि।

यदि हम दशमलव भिन्न के बाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करते हैं, तो उनका कोई अर्थ नहीं होगा। दरअसल, यदि हम संख्या 4.6 के बाईं ओर शून्य लिखते हैं, तो संख्या 04.6 का रूप ले लेगी। शून्य कहाँ है? यह दहाई के स्थान पर खड़ा होता है, अर्थात यह दर्शाता है कि इस संख्या में दहाई नहीं हैं, लेकिन यह शून्य के बिना भी स्पष्ट है।

हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि कभी-कभी दायीं ओर दशमलव अंशों को शून्य दिया जाता है। उदाहरण के लिए, चार भिन्न हैं: 0.32; 2.5; 13.1023; 5,238. हम उन भिन्नों के दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद कम दशमलव स्थान होते हैं: 0.3200; 2.5000; 13.1023; 5.2380.

यह किस लिए है? दायीं ओर शून्य निर्दिष्ट करते हुए, हमें प्रत्येक संख्या के लिए दशमलव बिंदु के बाद चार अंक मिले, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक अंश में 10,000 का हर होगा, और शून्य निर्दिष्ट करने से पहले, पहले अंश का हर 100 था, दूसरा 10, तीसरा 10,000 और चौथा 1,000। इसलिए, शून्य निर्दिष्ट करके, हमने अपने अंशों के दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर कर दिया, अर्थात, उन्हें एक सामान्य हर में लाया। इसलिए, इन भिन्नों को शून्य निर्दिष्ट करके दशमलव अंशों को एक सामान्य हर में घटाया जाता है।

दूसरी ओर, यदि किसी दशमलव भिन्न के दाईं ओर शून्य है, तो हम उसका मान बदले बिना उसे त्याग सकते हैं, उदाहरण के लिए: 2.60 = 2.6; 3.150 = 3.15; 4.200 = 4.2.

दशमलव भिन्न के दायीं ओर शून्य के इस तरह के त्याग को किसी को कैसे समझना चाहिए? यह इसकी कमी के बराबर है, और यह देखा जा सकता है यदि हम इन दशमलव अंशों को हर के साथ लिखते हैं:

§ 105. परिमाण में दशमलव भिन्नों की तुलना।

दशमलव भिन्नों का उपयोग करते समय, भिन्नों की एक-दूसरे से तुलना करने और इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है कि उनमें से कौन सा समान है, कौन सा बड़ा है और कौन सा कम है। दशमलवों की तुलना पूर्णांकों की तुलना से अलग तरीके से की जाती है। उदाहरण के लिए, दो-अंकीय पूर्णांक हमेशा एक-अंकीय संख्या से बड़ा होता है, भले ही एकल-अंकों की संख्या में कितने भी हों; एक तीन अंकों की संख्या दो अंकों की संख्या से अधिक होती है, और इससे भी अधिक एक अंक वाली संख्या होती है। लेकिन दशमलव भिन्नों की तुलना करते समय, उन सभी चिह्नों को गिनना एक भूल होगी जिनके साथ भिन्न लिखे गए हैं।

आइए दो भिन्न लें: 3.5 और 2.5, और आकार में उनकी तुलना करें। उनके पास समान दशमलव स्थान हैं, लेकिन पहले अंश में 3 पूर्णांक हैं, और दूसरे में 2 हैं। पहला अंश दूसरे से बड़ा है, अर्थात।

आइए अन्य भिन्न लें: 0.4 और 0.38। इन भिन्नों की तुलना करने के लिए, पहले भिन्न के दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करना उपयोगी होता है। फिर हम भिन्नों की तुलना 0.40 और 0.38 करेंगे। उनमें से प्रत्येक में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, जिसका अर्थ है कि इन भिन्नों में एक ही हर 100 है।

हमें केवल उनके अंशों की तुलना करने की आवश्यकता है, लेकिन अंश 40 38 से बड़ा है। इसलिए पहला अंश दूसरे से बड़ा है, अर्थात।

पहले अंश में दूसरे की तुलना में दसवां अधिक है, हालांकि, दूसरे अंश में 8 अधिक सौवां है, लेकिन वे एक दसवें से कम हैं, क्योंकि 1/10 \u003d 10/100।

आइए अब ऐसे भिन्नों की तुलना करें: 1.347 और 1.35। हम दूसरे भिन्न के दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करते हैं और दशमलव भिन्नों की तुलना करते हैं: 1.347 और 1.350। पूर्णांक भाग समान हैं, इसलिए आपको केवल भिन्न भागों की तुलना करने की आवश्यकता है: 0.347 और 0.350। इन भिन्नों का हर सामान्य है, लेकिन दूसरे अंश का अंश पहले के अंश से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दूसरा अंश पहले से बड़ा है, अर्थात 1.35\u003e 1.347।

अंत में, आइए दो और भिन्नों की तुलना करें: 0.625 और 0.62473। हम पहले भिन्न में दो शून्य जोड़ते हैं ताकि अंक बराबर हों, और परिणामी भिन्नों की तुलना करें: 0.62500 और 0.62473। उनके हर समान हैं, लेकिन पहले अंश 62 500 का अंश दूसरे अंश 62 473 के अंश से बड़ा है। इसलिए, पहला अंश दूसरे से बड़ा है, अर्थात 0.625\u003e 0.62473।

पूर्वगामी के आधार पर, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: दो दशमलव अंशों में से, अधिक पूर्णांक वाला बड़ा होता है; जब पूर्णांक बराबर होते हैं, तो वह भिन्न बड़ा होता है, जिसमें दहाई की संख्या अधिक होती है; जब पूर्णांक और दहाई बराबर होते हैं, तो वह भिन्न बड़ा होता है, जिसमें सौवें की संख्या अधिक होती है, आदि।

106. दशमलव भिन्न में 10, 100, 1,000, आदि गुना की वृद्धि और कमी।

हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव में शून्य जोड़ने से उसका मान प्रभावित नहीं होता है। जब हमने पूर्णांकों का अध्ययन किया, तो हमने देखा कि दाईं ओर निर्दिष्ट प्रत्येक शून्य संख्या में 10 गुना वृद्धि करता है। ऐसा क्यों हुआ, यह समझना मुश्किल नहीं है। यदि हम एक पूर्णांक लें, उदाहरण के लिए 25, और उसके दाईं ओर शून्य जोड़ें, तो संख्या 10 गुना बढ़ जाएगी, संख्या 250 25 से 10 गुना अधिक है। जब शून्य दाईं ओर दिखाई देता है, तो संख्या 5, जो इकाइयों को निरूपित करते थे, अब दहाई को निरूपित करने लगे हैं, और संख्या 2, जो दहाई के लिए होती थी, अब सैकड़ों के लिए है। तो, शून्य की उपस्थिति के लिए धन्यवाद, पुराने अंकों को नए से बदल दिया गया, वे बड़े हो गए, वे एक स्थान बाईं ओर चले गए। जब दशमलव अंश को बढ़ाना आवश्यक हो, उदाहरण के लिए, 10 गुना, तो हमें अंकों को एक स्थान बाईं ओर ले जाना होगा, लेकिन ऐसा आंदोलन शून्य से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। एक दशमलव अंश में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है, जिसे अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। दशमलव बिंदु के बाईं ओर सबसे छोटा पूर्णांक अंक है, दाईं ओर उच्चतम भिन्नात्मक अंक है। एक अंश पर विचार करें:

हम इसमें अंकों को कम से कम एक स्थान से कैसे स्थानांतरित कर सकते हैं, यानी दूसरे शब्दों में, हम इसे 10 गुना कैसे बढ़ा सकते हैं? यदि हम अल्पविराम को एक स्थान दाईं ओर ले जाते हैं, तो सबसे पहले यह पाँचों के भाग्य को प्रभावित करेगा: यह भिन्नात्मक संख्याओं के क्षेत्र से पूर्णांकों के क्षेत्र में आता है। संख्या तब रूप लेगी: 12345.678। परिवर्तन अन्य सभी संख्याओं के साथ हुआ, न कि केवल पाँचों के साथ। संख्या में शामिल सभी नंबरों ने एक नई भूमिका निभानी शुरू की, निम्नलिखित हुआ (तालिका देखें):

सभी रैंकों ने अपना नाम बदल दिया, और सभी रैंक इकाइयां, इसलिए बोलने के लिए, एक स्थान ऊपर उठीं। इससे कुल संख्या 10 गुना बढ़ गई। इस प्रकार, अल्पविराम एक वर्ण को दाईं ओर ले जाने से संख्या 10 गुना बढ़ जाती है।

आइए कुछ और उदाहरण देखें:

1) भिन्न 0.5 लें और अल्पविराम को एक जगह दाईं ओर ले जाएँ; हमें संख्या 5 प्राप्त होती है, जो 0.5 से 10 गुना अधिक है, क्योंकि पांच से पहले एक इकाई का दसवां हिस्सा था, और अब इसका अर्थ है संपूर्ण इकाइयाँ।

2) 1.234 दो अंकों की संख्या में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाएँ; संख्या 123.4 हो जाती है। यह संख्या पिछले एक की तुलना में 100 गुना बड़ी है, क्योंकि इसमें संख्या 3 इकाइयों को दर्शाती है, संख्या 2 - दहाई, और संख्या 1 - सैकड़ों।

इस प्रकार, दशमलव अंश को 10 से बढ़ाने के लिए, आपको इसमें अल्पविराम को एक स्थान पर दाईं ओर ले जाना होगा; इसे 100 गुना बढ़ाने के लिए, आपको अल्पविराम को दो स्थानों पर दाईं ओर ले जाना होगा; 1,000 गुना बढ़ाने के लिए - दाईं ओर तीन अंक, आदि।

यदि एक ही समय में संख्या के लिए पर्याप्त संकेत नहीं हैं, तो इसे दाईं ओर शून्य दिया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए अल्पविराम को दो अंकों से घुमाकर भिन्न को 1.5 से 100 गुना बढ़ाएं; हमें 150 मिलते हैं। आइए भिन्न 0.6 को 1,000 गुना बढ़ाएं; हमें 600 मिलते हैं।

यदि आवश्यक हो तो वापस कमीदशमलव अंश को 10, 100, 1,000, आदि से गुणा करें, फिर आपको अल्पविराम को बाईं ओर एक, दो, तीन, आदि वर्णों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। मान लीजिए भिन्न 20.5 दिया गया है; आइए इसे 10 गुना कम करें; ऐसा करने के लिए, हम अल्पविराम एक चिह्न को बाईं ओर ले जाते हैं, भिन्न 2.05 का रूप लेगा। आइए भिन्न 0.015 को 100 गुना कम करें; हमें 0.00015 मिलते हैं। आइए संख्या 334 को 10 गुना कम करें; हमें 33.4 मिलता है।

0.8 के रूप में लिखे गए भिन्न; 0.13; 2.856; 5.2; 0.04 को दशमलव कहते हैं। वास्तव में, दशमलव भिन्न साधारण भिन्नों का सरलीकृत प्रतिनिधित्व है। यह अंकन उन सभी भिन्नों के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है जिनके हर 10, 100, 1000, आदि हैं।

उदाहरणों पर विचार करें (0.5 को शून्य बिंदु पांच के रूप में पढ़ा जाता है);

(0.15 को शून्य बिंदु पंद्रह सौवां के रूप में पढ़ा जाता है);

(5.3 को पाँच सूत्री तीन के रूप में पढ़ा जाता है)।

ध्यान दें कि एक दशमलव अंश के अंकन में, एक अल्पविराम संख्या के पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक से अलग करता है, एक उचित अंश का पूर्णांक भाग 0 होता है। दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग के अंकन में उतने ही अंक होते हैं जितने वहाँ हैं संगत साधारण भिन्न के हर में शून्य होते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें, , , .

कुछ मामलों में, एक प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश के रूप में मानना ​​आवश्यक हो सकता है, जिसमें भिन्नात्मक भाग शून्य के बराबर होता है। यह लिखने की प्रथा है कि, 5 = 5.0; 245 = 245.0 इत्यादि। ध्यान दें कि एक प्राकृतिक संख्या के दशमलव अंकन में, सबसे कम महत्वपूर्ण अंक की इकाई आसन्न सबसे महत्वपूर्ण अंक की इकाई से 10 गुना कम है। दशमलव अंशों में समान गुण होते हैं। इसलिए, दशमलव बिंदु के तुरंत बाद दसवां स्थान आता है, फिर सौवां स्थान, फिर हजारवां स्थान, इत्यादि। नीचे संख्या 31.85431 के अंकों के नाम हैं, पहले दो स्तंभ पूर्णांक भाग हैं, शेष स्तंभ भिन्नात्मक भाग हैं।

इस अंश को इकतीस दशमलव पचहत्तर हजार चार सौ इकतीस सौ हजारवें भाग के रूप में पढ़ा जाता है।

दशमलव को जोड़ना और घटाना

पहला तरीका दशमलव को कॉमन में बदलना और उन्हें जोड़ना है।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, यह विधि बहुत असुविधाजनक है और दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, जो कि अधिक सही है, दशमलव अंशों को साधारण अंशों में परिवर्तित किए बिना। दो दशमलव जोड़ने के लिए:

• दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को पदों में बराबर करना;
• शब्दों को एक दूसरे के नीचे इस प्रकार लिखें कि दूसरे पद का प्रत्येक अंक पहले पद के संगत अंक के नीचे हो;
• परिणामी संख्याओं को उसी प्रकार जोड़ें जैसे प्राकृत संख्याओं को जोड़ना;
• परिणामी राशि में अल्पविराम के तहत अल्पविराम लगाएं।

उदाहरणों पर विचार करें:

• दशमलव बिंदु के बाद घटाए गए और घटाए गए अंकों की संख्या में बराबर करें;
• सबट्रेंड को मिन्यूएंड के नीचे लिखें ताकि सबट्रेंड का प्रत्येक बिट मिन्यूएंड के संगत बिट के नीचे हो;
• उसी तरह घटाएं जैसे प्राकृतिक संख्याओं को घटाया जाता है;
• अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं और परिणामी अंतर में घटाएं।

उदाहरणों पर विचार करें:

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, यह देखा जा सकता है कि दशमलव अंशों का जोड़ और घटाव थोड़ा-थोड़ा करके किया गया था, अर्थात उसी तरह जैसे हमने प्राकृतिक संख्याओं के साथ समान संचालन किया था। यह भिन्नों के लिए दशमलव संकेतन का मुख्य लाभ है।

दशमलव गुणन

दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, इत्यादि से गुणा करने के लिए, इस भिन्न में अल्पविराम को क्रमशः 1, 2, 3, इत्यादि संख्याओं से दाईं ओर ले जाना आवश्यक है। इसलिए, यदि अल्पविराम को 1, 2, 3 और इसी तरह संख्याओं से दाईं ओर ले जाया जाता है, तो अंश क्रमशः 10, 100, 1000 और इसी तरह कई गुना बढ़ जाएगा। दो दशमलव गुणा करने के लिए:

• अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के रूप में गुणा करें;
• परिणामी उत्पाद में, दाईं ओर अल्पविराम से उतने अंकों को अलग करें, जितने दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद हैं।

ऐसे मामले होते हैं जब उत्पाद में अल्पविराम से अलग होने के लिए आवश्यक अंकों से कम अंक होते हैं, इस उत्पाद से पहले बाईं ओर आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ दिए जाते हैं, और फिर अल्पविराम को आवश्यक अंकों की संख्या से बाईं ओर ले जाया जाता है।

उदाहरणों पर विचार करें: 2 * 4 = 8, फिर 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, फिर 0.023 * 0.35 = 0.00805।

ऐसे मामले हैं जब कारकों में से एक 0.1 के बराबर है; 0.01; 0.001 और इसी तरह, निम्नलिखित नियम का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

• दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001 और इसी तरह, इस दशमलव अंश में क्रमशः 1, 2, 3 और इसी तरह की संख्याओं में अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना आवश्यक है।

उदाहरणों पर विचार करें: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576।

प्राकृतिक संख्याओं के गुणन गुण दशमलव भिन्नों के लिए भी मान्य हैं।

• अब = बीए- गुणन की कम्यूटेटिव संपत्ति;
• (एबी) सी = ए (बीसी)- गुणन की साहचर्य संपत्ति;
• ए (बी + सी) = एबी + एसीजोड़ के संबंध में गुणन का वितरण गुण है।

दशमलव विभाजन

यह ज्ञात है कि यदि हम एक प्राकृत संख्या को विभाजित करते हैं एएक प्राकृतिक संख्या के लिए बीऐसी प्राकृतिक संख्या ज्ञात करने का अर्थ है सी, जिसे, से गुणा करने पर बीनंबर देता है ए. यह नियम सही रहता है यदि कम से कम एक संख्या ए, बी, सीएक दशमलव है।

एक उदाहरण पर विचार करें, आप अल्पविराम को अनदेखा करते हुए 43.52 को 17 कोनों से विभाजित करना चाहते हैं। इस मामले में, निजी में अल्पविराम लाभांश में दशमलव बिंदु के उपयोग के बाद पहले अंक से ठीक पहले रखा जाना चाहिए।

ऐसे मामले हैं जब लाभांश भाजक से कम होता है, तो भागफल का पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होता है। एक उदाहरण पर विचार करें:

आइए एक और दिलचस्प उदाहरण देखें।

विभाजन प्रक्रिया रोक दी गई है क्योंकि लाभांश की संख्या समाप्त हो गई है, और शेष को शून्य प्राप्त नहीं हुआ है। यह ज्ञात है कि एक दशमलव भिन्न नहीं बदलेगा यदि इसे दाईं ओर शून्य की कोई संख्या दी जाए। तब यह स्पष्ट हो जाता है कि लाभांश की संख्या समाप्त नहीं हो सकती है।

दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 आदि से विभाजित करने के लिए, इस भिन्न में दशमलव बिंदु को बाईं ओर 1, 2, 3 और इसी तरह की संख्याओं से ले जाना आवश्यक है। एक उदाहरण पर विचार करें: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751।

यदि लाभांश और भाजक को एक साथ 10, 100, 1000 और इसी तरह कई बार बढ़ाया जाता है, तो भागफल नहीं बदलेगा।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें: 39.44: 1.6 = 24.65 आइए लाभांश और भाजक को 10 गुना बढ़ाएँ 394.4: 16 = 24.65 यह कहना उचित होगा कि दूसरे उदाहरण में एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना आसान है।

दशमलव को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

• भाजक में दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक होते हैं उतने अंकों से भाजक और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाएं;
• एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

एक उदाहरण पर विचार करें: 23.6: 0.02 ध्यान दें कि भाजक में दो दशमलव स्थान हैं, इसलिए हम दोनों संख्याओं को 100 से गुणा करते हैं और हमें 2360: 2 = 1180 प्राप्त होता है हम परिणाम को 100 से विभाजित करते हैं और हमें उत्तर 11.80 या 23.6: 0 मिलता है, 02 = 11.8।

दशमलव तुलना

दशमलव की तुलना करने के दो तरीके हैं। विधि एक, आपको दो दशमलव अंशों 4.321 और 4.32 की तुलना करने की आवश्यकता है, दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें और बिट द्वारा बिट की तुलना करना शुरू करें, दसवें के साथ दसवें, सौवें के साथ सौवां, और इसी तरह, परिणामस्वरूप, हमें 4.321\u003e 4.320 मिलता है।

दशमलव अंशों की तुलना करने का दूसरा तरीका गुणा का उपयोग करके किया जाता है, उपरोक्त उदाहरण को 1000 से गुणा करें और 4321\u003e 4320 की तुलना करें। कौन सी विधि अधिक सुविधाजनक है, हर कोई अपने लिए चुनता है।

जैसा:

± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 …

जहां ± भिन्न चिह्न है: या तो + या -,

, - दशमलव बिंदु, जो संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच विभाजक के रूप में कार्य करता है,

डीके- दशमलव अंक।

उसी समय, अल्पविराम (इसके बाईं ओर) से पहले अंकों के क्रम का अंत होता है (जैसे न्यूनतम 1-प्रति अंक), और अल्पविराम के बाद (दाईं ओर) यह परिमित हो सकता है (एक विकल्प के रूप में, अल्पविराम के बाद कोई अंक नहीं हो सकता है), और अनंत।

दशमलव मान ± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 … एक वास्तविक संख्या है:

जो एक परिमित या अनंत संख्या के पदों के योग के बराबर होता है।

दशमलव भिन्नों का उपयोग करते हुए वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व दशमलव संख्या प्रणाली में पूर्णांकों के अंकन का एक सामान्यीकरण है। एक पूर्णांक के दशमलव प्रतिनिधित्व में दशमलव बिंदु के बाद कोई अंक नहीं होता है, और इस प्रकार, यह प्रतिनिधित्व इस तरह दिखता है:

± डी एम … डी 1 डी 0 ,

और यह दशमलव संख्या प्रणाली में हमारी संख्या के रिकॉर्ड के साथ मेल खाता है।

दशमलव- यह 1 को 10, 100, 1000 आदि भागों में विभाजित करने का परिणाम है। ये भिन्न परिकलन के लिए काफी सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे उसी स्थितीय प्रणाली पर आधारित हैं जिस पर पूर्णांकों की गिनती और अंकन बनाए जाते हैं। इसके कारण, दशमलव भिन्नों के लिए अंकन और नियम लगभग पूर्णांकों के समान ही होते हैं।

दशमलव अंश लिखते समय, आपको हर को चिह्नित करने की आवश्यकता नहीं होती है, यह संबंधित आंकड़े के कब्जे वाले स्थान से निर्धारित होता है। सबसे पहले, संख्या का पूर्णांक भाग लिखें, फिर दाईं ओर एक दशमलव बिंदु रखें। दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - सौवें की संख्या, तीसरा - हजारवें की संख्या, और इसी तरह। दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ हैं दशमलव स्थानों.

उदाहरण के लिए:

दशमलव भिन्नों का एक लाभ यह है कि उन्हें बहुत आसानी से साधारण भिन्नों में बदला जा सकता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्या (हमारा 5047 है) है मीटर; भाजकबराबरी एनवें डिग्री 10, जहां एन- दशमलव स्थानों की संख्या (हमारे पास यह है एन = 4):

जब दशमलव भिन्न में कोई पूर्णांक भाग नहीं होता है, तो हम दशमलव बिंदु के सामने शून्य डालते हैं:

दशमलव अंशों के गुण।

1. शून्य को दाईं ओर जोड़ने पर दशमलव नहीं बदलता है:

13.6 =13.6000.

2. जब दशमलव के अंत में स्थित शून्य हटा दिए जाते हैं तो दशमलव नहीं बदलता है:

0.00123000 = 0.00123.

ध्यान!शून्य जो दशमलव के अंत में नहीं हैं उन्हें नहीं हटाया जाना चाहिए!

3. दशमलव भिन्न में 10, 100, 1000 की वृद्धि होती है, और इसी तरह जब हम दशमलव बिंदु को 1-वेल, 2, 2, और इसी तरह क्रमशः दाईं ओर ले जाते हैं:

3.675 → 367.5 (अंश सौ गुना बढ़ गया है)।

4. दशमलव अंश दस, एक सौ, एक हजार से कम हो जाता है, और इसी तरह जब हम दशमलव बिंदु को क्रमशः 1-वेल, 2, 3, और इसी तरह बाईं ओर की स्थिति में ले जाते हैं:

1536.78 → 1.53678 (अंश एक हजार गुना छोटा हो गया है)।

दशमलव के प्रकार।

दशमलव को द्वारा विभाजित किया जाता है अंतिम, अनंतऔर आवधिक दशमलव.

अंतिम दशमलव -यह एक अंश है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है (या वे वहां बिल्कुल नहीं होते हैं), यानी। ऐसा दिखता है:

एक वास्तविक संख्या को एक परिमित दशमलव अंश के रूप में तभी दर्शाया जा सकता है जब यह संख्या परिमेय हो और जब इसे एक अपरिमेय भिन्न के रूप में लिखा जाए पी क्यूभाजक क्यू 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य भाजक नहीं है।

अनंत दशमलव.

अंकों का एक असीमित दोहराव वाला समूह होता है जिसे कहा जाता है अवधि. अवधि कोष्ठक में लिखी गई है। उदाहरण के लिए, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

आवधिक दशमलव- यह एक ऐसा अनंत दशमलव अंश है जिसमें एक निश्चित स्थान से शुरू होने वाले दशमलव बिंदु के बाद अंकों का क्रम समय-समय पर अंकों का समूह होता है। दूसरे शब्दों में, आवधिक अंशएक दशमलव है जो इस तरह दिखता है:

इस तरह के अंश को आमतौर पर संक्षेप में इस तरह लिखा जाता है:

संख्या समूह बी 1 ... बी एल, जो दोहराया जाता है, is भिन्न अवधि, इस समूह में अंकों की संख्या है अवधि.

जब किसी आवर्त भिन्न में आवर्त दशमलव बिंदु के ठीक बाद आता है, तो भिन्न है शुद्ध आवधिक. जब अल्पविराम और प्रथम आवर्त के बीच संख्याएँ हों, तब भिन्न होती है मिश्रित आवधिक, और दशमलव के बाद अंकों का एक समूह 1 आवर्त चिह्न तक इंगित करता है - अंश पूर्व अवधि.

उदाहरण के लिए, भिन्न 1,(23) = 1.2323… शुद्ध आवर्त है, और भिन्न 0.1(23)=0.12323… मिश्रित आवर्त है।

आवधिक अंशों की मुख्य संपत्ति, जिसके कारण उन्हें दशमलव भिन्नों के पूरे सेट से अलग किया जाता है, इस तथ्य में निहित है कि आवधिक भिन्न और केवल वे परिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित होता है:

कोई भी अनंत आवर्ती दशमलव एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत, जब एक परिमेय संख्या को अनंत दशमलव भिन्न में विघटित किया जाता है, तो यह भिन्न आवर्त होगी।

इस लेख में, हम समझेंगे कि दशमलव अंश क्या है, इसकी क्या विशेषताएं और गुण हैं। जाना! मैं

दशमलव भिन्न साधारण भिन्नों का एक विशेष मामला है (जिसमें हर 10 का गुणज होता है)।

परिभाषा

दशमलव वे भिन्न होते हैं जिनके हर एक से मिलकर बनी संख्या होती है और उसके बाद एक निश्चित संख्या में शून्य होते हैं। यानी ये 10, 100, 1000, आदि के हर वाले भिन्न हैं। अन्यथा, एक दशमलव अंश को 10 के हर या दस की घातों में से एक के साथ भिन्न के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

अंश उदाहरण:

, ,

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न से भिन्न लिखा जाता है। इन भिन्नों के साथ संचालन भी सामान्य के साथ संचालन से भिन्न होते हैं। उन पर संचालन के नियम काफी हद तक पूर्णांकों पर संचालन के नियमों के करीब हैं। यह, विशेष रूप से, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उनकी प्रासंगिकता को निर्धारित करता है।

दशमलव अंकन में एक अंश का प्रतिनिधित्व

दशमलव अंकन में कोई हर नहीं है, यह अंश की संख्या प्रदर्शित करता है। सामान्य तौर पर, दशमलव अंश इस प्रकार लिखे जाते हैं:

जहाँ X भिन्न का पूर्णांक भाग है, Y इसका भिन्नात्मक भाग है, "," दशमलव बिंदु है।

दशमलव के रूप में एक साधारण अंश के सही प्रतिनिधित्व के लिए, यह आवश्यक है कि यह सही हो, यानी एक हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग (यदि संभव हो) और एक अंश जो हर से कम हो। फिर, दशमलव अंकन में, पूर्णांक भाग को दशमलव बिंदु (X) से पहले लिखा जाता है, और साधारण अंश का अंश दशमलव बिंदु (Y) के बाद लिखा जाता है।

यदि अंश हर में शून्य की संख्या से कम अंकों वाली संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, तो Y भाग में दशमलव अंकन में अंकों की लापता संख्या अंश अंकों के सामने शून्य से भर जाती है।

उदाहरण:

यदि साधारण भिन्न 1 से कम है, अर्थात्। पूर्णांक भाग नहीं है, तो X के लिए दशमलव रूप में 0 लिखा जाता है।

भिन्नात्मक भाग (Y) में, अंतिम महत्वपूर्ण (शून्य के अलावा) अंक के बाद, शून्य की एक मनमानी संख्या दर्ज की जा सकती है। यह अंश के मूल्य को प्रभावित नहीं करता है। और इसके विपरीत: दशमलव भिन्न के भिन्नात्मक भाग के अंत में सभी शून्यों को छोड़ा जा सकता है।

दशमलव पढ़ना

भाग X को सामान्य स्थिति में इस प्रकार पढ़ा जाता है: "X पूर्णांक।"

Y भाग को हर में संख्या के अनुसार पढ़ा जाता है। हर 10 के लिए, आपको पढ़ना चाहिए: "Y दसवां", हर 100 के लिए: "Y सौवां", हर 1000 के लिए: "Y हजारवां" और इसी तरह ...

भिन्नात्मक भाग के अंकों की संख्या गिनने के आधार पर पढ़ने का एक और तरीका अधिक सही माना जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि भिन्नात्मक अंक दर्पण छवि में भिन्न के पूर्णांक भाग के अंकों के संबंध में स्थित होते हैं।

सही पठन के लिए नाम तालिका में दिए गए हैं:

इसके आधार पर भिन्नात्मक भाग के अंतिम अंक की श्रेणी के नाम के पत्राचार पर आधारित होना चाहिए।

• 3.5 पढ़ता है "तीन बिंदु पांच"
• 0.016 "शून्य बिंदु सोलह हज़ारवां" जैसा पढ़ता है

एक मनमाना साधारण अंश को दशमलव में बदलना

यदि किसी साधारण भिन्न का हर 10 या कुछ घात दस है, तो भिन्न को ऊपर वर्णित अनुसार परिवर्तित किया जाता है। अन्य स्थितियों में, अतिरिक्त परिवर्तनों की आवश्यकता होती है।

अनुवाद करने के 2 तरीके हैं।

अनुवाद का पहला तरीका

अंश और हर को ऐसे पूर्णांक से गुणा किया जाना चाहिए कि हर 10 या दस की शक्तियों में से एक हो। और फिर अंश को दशमलव संकेतन में दर्शाया जाता है।

यह विधि भिन्नों के लिए लागू होती है, जिसका हर केवल 2 और 5 में विघटित होता है। इसलिए, पिछले उदाहरण में . यदि विस्तार में अन्य प्रमुख कारक हैं (उदाहरण के लिए, ), तो आपको दूसरी विधि का सहारा लेना होगा।

अनुवाद का दूसरा तरीका

दूसरी विधि यह है कि अंश को हर द्वारा कॉलम में या कैलकुलेटर पर विभाजित किया जाए। पूर्णांक भाग, यदि कोई हो, परिवर्तन में शामिल नहीं है।

दीर्घ विभाजन नियम जिसके परिणामस्वरूप दशमलव होता है, नीचे वर्णित है (दशमलवों को विभाजित करना देखें)।

दशमलव को साधारण में बदलें

ऐसा करने के लिए, इसके भिन्नात्मक भाग (अल्पविराम के दाईं ओर) को अंश के रूप में लिखा जाना चाहिए, और भिन्नात्मक भाग को पढ़ने के परिणाम को हर में संबंधित संख्या के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, यदि संभव हो तो, आपको परिणामी अंश को कम करने की आवश्यकता है।

अंत और अनंत दशमलव

दशमलव अंश को अंतिम कहा जाता है, जिसके भिन्नात्मक भाग में अंकों की एक सीमित संख्या होती है।

उपरोक्त सभी उदाहरणों में बिल्कुल अंतिम दशमलव भिन्न हैं। हालांकि, प्रत्येक साधारण अंश को अंतिम दशमलव के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है। यदि किसी दिए गए भिन्न के लिए पहली अनुवाद विधि लागू नहीं होती है, और दूसरी विधि दर्शाती है कि विभाजन पूरा नहीं किया जा सकता है, तो केवल एक अनंत दशमलव अंश प्राप्त किया जा सकता है।

अनंत भिन्न को उसके पूर्ण रूप में लिखना असंभव है। अपूर्ण रूप में, ऐसे भिन्नों को निरूपित किया जा सकता है:

1. दशमलव स्थानों की वांछित संख्या में कमी के परिणामस्वरूप;
2. आवधिक अंश के रूप में।

एक भिन्न को आवर्त कहा जाता है, जिसमें दशमलव बिंदु के बाद आप अंकों के अनंत आवर्ती अनुक्रम का चयन कर सकते हैं।

शेष भिन्नों को गैर-आवधिक कहा जाता है। गैर-आवधिक भिन्नों के लिए, केवल पहली प्रतिनिधित्व विधि (गोलीकरण) की अनुमति है।

एक आवधिक अंश का एक उदाहरण: 0.8888888 ... यहां एक दोहराई जाने वाली आकृति 8 है, जो, जाहिर है, अनिश्चित काल तक दोहराई जाएगी, क्योंकि अन्यथा मानने का कोई कारण नहीं है। इस नंबर को कहा जाता है भिन्न अवधि.

आवधिक अंश शुद्ध और मिश्रित होते हैं। एक दशमलव अंश शुद्ध होता है, जिसमें अवधि दशमलव बिंदु के तुरंत बाद शुरू होती है। मिश्रित भिन्न में दशमलव बिंदु से पहले 1 या अधिक अंक होते हैं।

54.33333 ... - आवधिक शुद्ध दशमलव अंश

2.5621212121 ... - आवधिक मिश्रित अंश

अनंत दशमलव लिखने के उदाहरण:

दूसरा उदाहरण दिखाता है कि आवधिक अंश में अवधि को ठीक से कैसे बनाया जाए।

आवधिक दशमलव अंशों को साधारण में बदलना

एक शुद्ध आवर्त भिन्न को एक साधारण आवर्त में बदलने के लिए, इसे अंश में लिखें, और हर में एक संख्या लिखें जिसमें अवधि में अंकों की संख्या के बराबर नौ हों।

एक मिश्रित आवर्ती दशमलव का अनुवाद इस प्रकार किया जाता है:

1. आपको अवधि से पहले दशमलव बिंदु के बाद की संख्या और पहली अवधि से मिलकर एक संख्या बनाने की आवश्यकता है;
2. परिणामी संख्या में से आवर्त से पहले दशमलव बिंदु के बाद की संख्या घटाएं। परिणाम एक साधारण भिन्न का अंश होगा;
3. हर में, आपको एक संख्या दर्ज करनी होगी जिसमें अवधि के अंकों की संख्या के बराबर नौ की संख्या हो, उसके बाद शून्य हो, जिसकी संख्या दशमलव बिंदु से पहले की संख्या के अंकों की संख्या के बराबर हो। पहली अवधि।

दशमलव तुलना

दशमलव भिन्नों की तुलना प्रारंभ में उनके पूरे भागों से की जाती है। बड़ा वह अंश होता है जिसमें बड़ा पूर्णांक भाग होता है।

यदि पूर्णांक भाग समान हैं, तो भिन्नात्मक भाग के संगत अंकों के अंकों की तुलना पहले (दसवें से) से शुरू करके की जाती है। वही सिद्धांत यहां लागू होता है: भिन्नों में से बड़ा, जिसका दसवां रैंक बड़ा होता है; यदि दहाई के अंक समान हैं, तो सौवें अंकों की तुलना की जाती है, इत्यादि।

जहां तक ​​कि

, चूंकि भिन्नात्मक भाग में समान पूर्णांक भागों और बराबर दसवें भाग के साथ, दूसरे भिन्न में अधिक सौवां भाग होता है।

दशमलव को जोड़ना और घटाना

दशमलवों को उसी तरह जोड़ा और घटाया जाता है जैसे पूर्ण संख्याएँ, संबंधित अंकों को एक के नीचे एक लिखती हैं। ऐसा करने के लिए, आपके पास एक दूसरे के नीचे दशमलव बिंदु होने चाहिए। फिर पूर्णांक भाग की इकाइयाँ (दहाई, आदि), साथ ही भिन्नात्मक भाग के दसवें (सौवें, आदि) का मिलान होगा। भिन्नात्मक भाग के लुप्त अंक शून्य से भरे हुए हैं। सीधे जोड़ और घटाव की प्रक्रिया उसी तरह से की जाती है जैसे पूर्णांक के लिए।

दशमलव गुणन

दशमलव अंशों को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें एक के नीचे एक लिखना होगा, अंतिम अंक के साथ संरेखित करना होगा और दशमलव बिंदुओं के स्थान पर ध्यान नहीं देना होगा। फिर आपको संख्याओं को उसी तरह से गुणा करना होगा जैसे पूर्णांकों को गुणा करते समय। परिणाम प्राप्त करने के बाद, आपको दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की पुनर्गणना करनी चाहिए और परिणामी संख्या में भिन्नात्मक अंकों की कुल संख्या को अल्पविराम से अलग करना चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो उन्हें शून्य से बदल दिया जाता है।

दशमलव को 10 n . से गुणा और विभाजित करना

ये क्रियाएं सरल हैं और दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए नीचे आती हैं। पी गुणा करते समय, अल्पविराम को 10 n में शून्य की संख्या के बराबर अंकों की संख्या से दाईं ओर ले जाया जाता है (अंश बढ़ता है), जहां n एक मनमाना पूर्णांक शक्ति है। अर्थात्, अंकों की एक निश्चित संख्या को भिन्नात्मक भाग से पूर्णांक में स्थानांतरित किया जाता है। विभाजित करते समय, अल्पविराम को क्रमशः बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है (संख्या घट जाती है), और कुछ अंक पूर्णांक भाग से भिन्नात्मक भाग में स्थानांतरित हो जाते हैं। यदि स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो लापता अंक शून्य से भर जाते हैं।

एक दशमलव और एक पूर्णांक को एक पूर्णांक और एक दशमलव से विभाजित करना

एक दशमलव को एक पूर्णांक से विभाजित करना दो पूर्णांकों को विभाजित करने के समान है। इसके अतिरिक्त, केवल दशमलव बिंदु की स्थिति को ध्यान में रखा जाना चाहिए: अंक के अंक को अल्पविराम के बाद ध्वस्त करते समय, उत्पन्न उत्तर के वर्तमान अंक के बाद अल्पविराम डालना आवश्यक है। फिर आपको शून्य होने तक विभाजित करते रहने की आवश्यकता है। यदि पूर्ण विभाजन के लिए लाभांश में पर्याप्त संकेत नहीं हैं, तो उनके रूप में शून्य का उपयोग किया जाना चाहिए।

इसी तरह, 2 पूर्णांकों को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है यदि लाभांश के सभी अंकों को ध्वस्त कर दिया गया है, और पूर्ण विभाजन अभी तक पूरा नहीं हुआ है। इस मामले में, लाभांश के अंतिम अंक के विध्वंस के बाद, परिणामी उत्तर में एक दशमलव बिंदु रखा जाता है, और शून्य को ध्वस्त अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है। वे। यहाँ लाभांश, वास्तव में, एक शून्य भिन्नात्मक भाग के साथ दशमलव अंश के रूप में दर्शाया गया है।

दशमलव अंश (या पूर्णांक) को दशमलव संख्या से विभाजित करने के लिए, लाभांश और भाजक को संख्या 10 n से गुणा करना आवश्यक है, जिसमें शून्य की संख्या दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या के बराबर होती है। भाजक इस तरह, वे उस भिन्न के दशमलव बिंदु से छुटकारा पाते हैं जिससे आप विभाजित करना चाहते हैं। इसके अलावा, विभाजन प्रक्रिया वही है जो ऊपर वर्णित है।

दशमलव का आलेखीय निरूपण

आलेखीय रूप से, दशमलव अंशों को एक निर्देशांक रेखा के माध्यम से दर्शाया जाता है। इसके लिए एकल खंडों को अतिरिक्त रूप से 10 समान भागों में विभाजित किया जाता है, जैसे सेंटीमीटर और मिलीमीटर एक ही समय में एक शासक पर जमा किए जाते हैं। यह सुनिश्चित करता है कि दशमलव सटीक रूप से प्रदर्शित होते हैं और निष्पक्ष रूप से तुलना की जा सकती है।

एकल खंडों पर पिच विभाजन समान होने के लिए, किसी को ध्यान से एकल खंड की लंबाई पर विचार करना चाहिए। ऐसा होना चाहिए कि अतिरिक्त विभाजन की सुविधा सुनिश्चित की जा सके।

भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हाई स्कूल में अंश बहुत कष्टप्रद नहीं हैं। उतने समय के लिए। जब तक आपको परिमेय घातांक और लघुगणक वाले घातांक नहीं मिलते। और वहाँ…। आप दबाते हैं, आप कैलकुलेटर दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं के सभी पूर्ण स्कोरबोर्ड दिखाता है। आपको अपने दिमाग से सोचना होगा, जैसे तीसरी कक्षा में।

आइए भिन्नों से निपटें, अंत में! अच्छा, आप उनमें कितना भ्रमित हो सकते हैं!? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, अंश क्या हैं?

अंशों के प्रकार। परिवर्तन।

अंश तीन प्रकार के होते हैं।

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी, क्षैतिज रेखा के बजाय, वे एक स्लैश लगाते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, कुआं, इत्यादि। यहाँ हम अक्सर इस वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या को कहा जाता है मीटर, निचला - हर।यदि आप लगातार इन नामों को भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है ...), अपने आप को अभिव्यक्ति के साथ वाक्यांश बताएं: " ज़ज़्ज़्ज़याद रखना! ज़ज़्ज़्ज़हर - बाहर ज़ज़्ज़तुम!" देखो, सब कुछ याद रहेगा।)

एक पानी का छींटा, जो क्षैतिज है, जो तिरछा है, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे की संख्या (भाजक)। और बस! एक डैश के बजाय, एक विभाजन चिह्न - दो बिंदु रखना काफी संभव है।

जब विभाजन पूरी तरह से संभव हो, तो इसे किया जाना चाहिए। तो, अंश "32/8" के बजाय संख्या "4" लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ। जो भी सिर्फ "4" है। और अगर यह पूरी तरह से विभाजित नहीं होता है, तो हम इसे एक अंश के रूप में छोड़ देते हैं। कभी-कभी आपको उल्टा करना पड़ता है। एक पूर्ण संख्या से भिन्न बनाओ। लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि कार्यों "बी" के उत्तर लिखना आवश्यक होगा।

3. मिश्रित संख्या , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में बदलना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से यह जानना होगा कि यह कैसे करना है! और फिर इतनी संख्या पहेली में आ जाएगी और लटक जाएगी ... खरोंच से। लेकिन हमें यह प्रक्रिया याद है! थोड़ा नीचे।

सबसे बहुमुखी सामान्य भिन्न. आइए उनके साथ शुरू करते हैं। वैसे, यदि भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हों, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सब कुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएं साधारण भिन्न वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

एक अंश की मूल संपत्ति।

तो चलते हैं! सबसे पहले मैं आपको हैरान कर दूंगा। भिन्न भिन्न परिवर्तनों की पूरी विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहते हैं एक अंश की मूल संपत्ति. याद है: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलेगी।वे:

यह स्पष्ट है कि आप आगे लिख सकते हैं, जब तक कि आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लॉगरिदम को भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। समझने वाली मुख्य बात यह है कि ये सभी विभिन्न भाव हैं एक ही अंश . 2/3.

और हमें इसकी आवश्यकता है, ये सभी परिवर्तन? और कैसे! अब आप खुद देख लेंगे। सबसे पहले, आइए के लिए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें भिन्न संक्षिप्ताक्षर. ऐसा लगता है कि बात प्राथमिक है। हम अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करते हैं और बस! गलत होना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप हर जगह गलतियाँ कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे अंश को कम नहीं करना है, बल्कि सभी प्रकार के अक्षरों के साथ एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को कम करना है।

बिना अनावश्यक काम किए भिन्नों को सही ढंग से और जल्दी से कैसे कम करें, विशेष धारा 555 में पाया जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और हर को समान संख्या (या व्यंजक) से विभाजित करने की जहमत नहीं उठाता! वह ऊपर और नीचे से समान रूप से सब कुछ काट देता है! यह वह जगह है जहां एक सामान्य गलती छिपी हुई है, एक गलती, यदि आप चाहें तो।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

सोचने की कोई बात नहीं है, हम ऊपर से "ए" अक्षर और नीचे से ड्यूस को पार करते हैं! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन वास्तव में आपने साझा किया पूरा अंश और पूरा भाजक "ए"। यदि आप बस पार करने के आदी हैं, तो, जल्दी में, आप अभिव्यक्ति में "ए" को पार कर सकते हैं

और फिर से प्राप्त करें

जो स्पष्ट रूप से गलत होगा। क्योंकि यहाँ पूरापहले से ही "ए" पर अंश सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता है। वैसे, ऐसा संक्षिप्त नाम है, उम ... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती। यह माफ नहीं किया गया है! याद है? कम करते समय, विभाजित करना आवश्यक है पूरा अंश और पूरा हर!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। और अब उसके साथ कैसे काम करें? कैलकुलेटर के बिना? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग !? और अगर आप बहुत आलसी नहीं हैं, लेकिन ध्यान से पांच से कम करें, और यहां तक ​​​​कि पांच, और यहां तक ​​​​कि ... जबकि इसे कम किया जा रहा है, संक्षेप में। हमें 3/8 मिलते हैं! बहुत अच्छा, है ना?

भिन्न का मूल गुण आपको साधारण भिन्न को दशमलव में और इसके विपरीत बदलने की अनुमति देता है कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक रूप से दूसरे रूप में कैसे बदलें।

दशमलव के साथ यह आसान है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25। यह शून्य बिंदु है, पच्चीस सौवां। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम कम करते हैं (अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य अंश मिलता है: 1/4। हर चीज़। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता है। 0.3 की तरह। यह तीन दसवां हिस्सा है, यानी। 3/10.

क्या होगा यदि पूर्णांक गैर-शून्य हैं? ठीक है। पूरा अंश लिखिए बिना किसी अल्पविराम केअंश में, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17. यह तीन पूरे, सत्रह सौवां हिस्सा है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं, हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी कम नहीं हुआ यानी सब कुछ। यही उत्तर है। प्राथमिक वाटसन! उपरोक्त सभी से, एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है .

लेकिन रिवर्स रूपांतरण, साधारण से दशमलव, कुछ कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते। लेकिन तुम्हें चाहिए! आप परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे !? हम इस प्रक्रिया को ध्यान से पढ़ते हैं और इसमें महारत हासिल करते हैं।

दशमलव अंश क्या है? उसके पास हर में है हमेशा 10 या 100 या 1000 या 10000 के लायक है और इसी तरह। यदि आपके सामान्य भिन्न में ऐसा हर है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4। या 7/100 = 0.07। या 12/10 = 1.2। और अगर खंड "बी" के कार्य के उत्तर में यह 1/2 निकला? प्रत्युत्तर में हम क्या लिखेंगे? दशमलव की आवश्यकता है...

हम याद रखते हैं एक अंश की मूल संपत्ति ! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को समान संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। वैसे किसी के लिए भी! शून्य को छोड़कर, बिल्कुल। आइए इस सुविधा का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (छोटा बेहतर है, निश्चित रूप से...)? 5, जाहिर है। हर को गुणा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें (यह है हमआवश्यक) 5 से। लेकिन, फिर अंश को भी 5 से गुणा किया जाना चाहिए। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमांग! हमें 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 3/16 गिर जाएगा। इसे आज़माएं, पता करें कि 16 को 100, या 1000 प्राप्त करने के लिए क्या गुणा करना है ... काम नहीं करता है? फिर आप केवल 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको एक कोने में, कागज के एक टुकड़े पर विभाजित करना होगा, जैसा कि उन्होंने प्राथमिक ग्रेड में पढ़ाया था। हम 0.1875 प्राप्त करते हैं।

और कुछ बहुत बुरे भाजक हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को एक अच्छे दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। कैलकुलेटर और कागज़ के टुकड़े दोनों पर, हमें 0.3333333 मिलता है ... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश में अनुवाद नहीं करता. जैसे 1/7, 5/6 वगैरह। उनमें से कई अनुवाद योग्य नहीं हैं। इसलिए एक और उपयोगी निष्कर्ष। प्रत्येक सामान्य अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। !

वैसे, यह आत्मनिरीक्षण के लिए उपयोगी जानकारी है। जवाब में खंड "बी" में, आपको एक दशमलव अंश लिखना होगा। और आपको मिला, उदाहरण के लिए, 4/3। यह अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। इसका मतलब है कि कहीं न कहीं आपने गलती की है! वापस आओ, समाधान की जाँच करें।

तो, साधारण और दशमलव अंशों के साथ हल किया गया। यह मिश्रित संख्याओं से निपटने के लिए बनी हुई है। उनके साथ काम करने के लिए, उन सभी को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है। यह कैसे करना है? आप छठे ग्रेडर को पकड़ सकते हैं और उससे पूछ सकते हैं। लेकिन हमेशा छठा ग्रेडर हाथ में नहीं होगा ... हमें इसे खुद करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ें। यह एक उभयनिष्ठ भिन्न का अंश होगा। भाजक के बारे में क्या? भाजक वही रहेगा। यह जटिल लगता है, लेकिन यह वास्तव में काफी सरल है। आइए एक उदाहरण देखें।

समस्या में आपने डरावनी संख्या के साथ देखा:

शांति से, बिना घबराहट के, हम समझते हैं। पूरा पार्ट 1 है। एक। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अतः भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश गिनते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (अंश का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह एक साधारण भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। यह गणितीय संकेतन में और भी सरल दिखता है:

स्पष्ट रूप से? फिर अपनी सफलता सुनिश्चित करें! सामान्य भिन्नों में परिवर्तित करें। आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, अगर... और यदि आप - हाई स्कूल में नहीं हैं - तो आप विशेष धारा 555 में देख सकते हैं। उसी स्थान पर, आप अनुचित भिन्नों के बारे में जानेंगे।

खैर, लगभग सब कुछ। आपने भिन्नों के प्रकार को याद किया और समझा जैसा उन्हें एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित करें। सवाल बना रहता है: क्यों कर दो? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मैं जवाब देता हुँ। कोई भी उदाहरण ही आवश्यक कार्यों का सुझाव देता है। यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव, और यहाँ तक कि मिश्रित संख्याओं को एक गुच्छा में मिला दिया जाता है, तो हम सब कुछ साधारण भिन्नों में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर 0.8 + 0.3 जैसा कुछ लिखा है, तो हम ऐसा सोचते हैं, बिना किसी अनुवाद के। हमें अतिरिक्त काम की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य दशमलव अंशों से भरा है, लेकिन उम ... किसी प्रकार की बुराई, सामान्य लोगों पर जाएं, इसे आजमाएं! देखो सब ठीक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना है। इतना आसान नहीं अगर आपने कैलकुलेटर की आदत नहीं छोड़ी है! आपको न केवल एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, बल्कि यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ डाला जाए! यह निश्चित रूप से मेरे दिमाग में काम नहीं करता है! और अगर आप एक साधारण अंश में जाते हैं?

0.125 = 125/1000। हम 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 पर। हमें 5/40 मिलते हैं। ओह, यह सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है। आसानी से वर्गाकार (आपके दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त करें। हर चीज़!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार के होते हैं। साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव और मिश्रित संख्या हमेशासामान्य अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है। उल्टा अनुवाद हर बार नहींउपलब्ध।

3. कार्य के साथ कार्य करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव इसी कार्य पर निर्भर करता है। यदि एक कार्य में भिन्न प्रकार के भिन्न हैं, तो सबसे विश्वसनीय बात साधारण भिन्नों पर स्विच करना है।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं। सबसे पहले, इन दशमलव अंशों को साधारण अंशों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह के उत्तर मिलने चाहिए (गड़बड़ी में!):

इस पर हम समाप्त करेंगे। इस पाठ में, हमने भिन्नों के मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डाला। हालांकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है ...) अगर कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक महारत हासिल नहीं कर पाया है ... वे एक विशेष धारा 555 में जा सकते हैं। सभी मूल बातें वहां विस्तृत हैं। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं। और वे मक्खी पर अंशों को हल करते हैं)।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।