"स्थानांतरण" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

द्विघात समीकरण पर विचार करें

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0, जहां ए? 0.

इसके दोनों भागों को a से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

ए 2 एक्स 2 + एबीएक्स + एसी = 0।

माना कुल्हाड़ी = y, जहाँ से x = y/a; तब हम समीकरण पर आते हैं

वाई 2 + बाय + एसी = 0,

इस के बराबर। हम वियत प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ें 1 और 2 पर पाते हैं।

अंत में हमें x 1 = y 1 /a और x 1 = y 2 /a मिलता है। इस पद्धति के साथ, गुणांक a को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, इसलिए इसे "स्थानांतरण" विधि कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

* उदाहरण।

हम समीकरण 2x 2 - 11x + 15 = 0 को हल करते हैं।

फेसला। आइए गुणांक 2 को मुक्त अवधि में "स्थानांतरित करें", परिणामस्वरूप हमें समीकरण मिलता है

वाई 2 - 11y + 30 = 0।

विएटा के प्रमेय के अनुसार

वाई 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2.5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3।

उत्तर: 2.5; 3.

द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण

लेकिन।मान लीजिए कि एक द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है, जहाँ a? 0.

1) यदि, a + b + c \u003d 0 (अर्थात, गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 \u003d 1

प्रमाण। समीकरण के दोनों पक्षों को a से विभाजित करें? 0, हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिलता है

एक्स 2 + बी/ए * एक्स + सी/ए = 0।

विएटा के प्रमेय के अनुसार

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d - बी / ए,

एक्स 1 एक्स 2 = 1*सी/ए।

शर्त के अनुसार a - b + c = 0, जहाँ से b = a + c। इस प्रकार,

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d - ए + बी / ए \u003d -1 - सी / ए,

एक्स 1 एक्स 2 \u003d - 1 * (- सी / ए),

वे। x 1 \u003d -1 और x 2 \u003d c / a, जिसे साबित करने के लिए मी की आवश्यकता थी।

• * उदाहरण।
• 1) आइए समीकरण 345x 2 - 137x - 208 = 0 को हल करें।

फेसला। चूंकि a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), तब

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = सी / ए = -208/345।

उत्तर 1; -208/345।

2) समीकरण 132x 2 - 247x + 115 = 0 को हल करें।

फेसला। चूँकि a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), तब

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132।

उत्तर 1; 115/132.

बी।यदि दूसरा गुणांक b = 2k एक सम संख्या है, तो मूल सूत्र

* उदाहरण।

आइए समीकरण 3x2 - 14x + 16 = 0 को हल करें।

फेसला। हमारे पास है: ए = 3, बी = - 14, सी = 16, के = - 7;

हम आपको याद दिलाते हैं कि पूर्ण द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना दिए गए समीकरणों की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल (बस थोड़ा सा) है।

याद है, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है!

अधूरा भी।

बाकी विधियां आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन अगर आपको द्विघात समीकरणों में समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

यदि, तो समीकरण के 2 मूल हैं। चरण 2 पर विशेष ध्यान दें।

विवेचक D हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण पर सूत्र को घटाकर कर दिया जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• अगर, तो हम कदम पर विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए हम द्विघात समीकरण के ज्यामितीय अर्थ की ओर मुड़ें।

फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है:

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9

प्रश्न हल करें

स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

चरण 3

जवाब:

उदाहरण 10

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की एक जड़ है।

जवाब:

उदाहरण 11

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

इसका मतलब है कि हम विवेचक से जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही तरीके से कैसे लिखा जाता है।

जवाब:कोई जड़ नहीं

2. वियत प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

यदि आपको याद हो, तो इस प्रकार के समीकरण होते हैं जिन्हें कम कहा जाता है (जब गुणांक a के बराबर होता है):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण समान है, और मूलों का गुणनफल समान है।

आपको केवल संख्याओं की एक जोड़ी चुनने की आवश्यकता है जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया है।

उदाहरण 12

प्रश्न हल करें

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग है, अर्थात्। हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• और। राशि है;
• और। राशि है;
• और। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

जवाब: ; .

उदाहरण 13

प्रश्न हल करें

जवाब:

उदाहरण 14

प्रश्न हल करें

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

जवाब:

द्विघातीय समीकरण। मध्य स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है, जहाँ - अज्ञात, - कुछ संख्याएँ, इसके अलावा।

संख्या को उच्चतम कहा जाता है या पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, ए - स्वतंत्र सदस्य.

क्योंकि अगर, समीकरण तुरंत रैखिक हो जाएगा, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस मामले में, और शून्य के बराबर हो सकता है। इस कुर्सी में समीकरण कहा जाता है अधूरा.

यदि सभी पद यथा स्थान पर हों, अर्थात् समीकरण - पूर्ण.

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

आरंभ करने के लिए, हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करेंगे - वे सरल हैं।

निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

III. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।

अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के हल पर विचार करें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी। इसलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

अगर हमारे पास दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 15

जवाब:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

उदाहरण 16

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं।

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

जवाब:

उदाहरण 17

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

जवाब:

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि समीकरण का एक हल है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

हम समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं और मूल पाते हैं:

जवाब:

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

1. विभेदक

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

क्या आपने मूल सूत्र में विवेचक की जड़ पर ध्यान दिया?

लेकिन विभेदक नकारात्मक हो सकता है।

क्या करें?

हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• अगर, तो समीकरण की जड़ है:
• यदि, तो समीकरण का एक ही मूल है, लेकिन वास्तव में, एक मूल:

  ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ कहा जाता है।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती है। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

जड़ों की संख्या अलग-अलग क्यों होती है?

आइए हम द्विघात समीकरण के ज्यामितीय अर्थ की ओर मुड़ें। फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है, .

और इसका मतलब है कि द्विघात समीकरण की जड़ें x-अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

परवलय अक्ष को बिल्कुल भी पार नहीं कर सकता है, या यह इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित है) या दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि - तो नीचे की ओर।

द्विघात समीकरणों को हल करने के 4 उदाहरण

उदाहरण 18

जवाब:

उदाहरण 19

जवाब: ।

उदाहरण 20

जवाब:

उदाहरण 21

इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

जवाब: ।

2. विएटा की प्रमेय

Vieta के प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है।

जो तुम्हे चाहिए वो है उठानासंख्याओं का ऐसा युग्म, जिसका गुणनफल समीकरण के मुक्त पद के बराबर होता है, और योग दूसरे गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा का प्रमेय केवल पर लागू किया जा सकता है दिए गए द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 22

प्रश्न हल करें।

फेसला:

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद है:

आइए संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करें, जिनका गुणनफल बराबर है, और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• और। राशि है;
• और। राशि है;
• और। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

जवाब: ; .

उदाहरण 23

फेसला:

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और फिर जाँचते हैं कि उनका योग बराबर है या नहीं:

और: कुल देना।

और: कुल देना। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको केवल कथित जड़ों के संकेतों को बदलने की जरूरत है: और, आखिरकार, उत्पाद।

जवाब:

उदाहरण 24

फेसला:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है। यह तभी संभव है जब एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो। तो जड़ों का योग है उनके मॉड्यूल के अंतर.

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और जिनका अंतर इसके बराबर है:

और: उनका अंतर है - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त। यह केवल याद रखना है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, तो मूल, जो निरपेक्ष मान में छोटा है, ऋणात्मक होना चाहिए: . हम जाँच:

जवाब:

उदाहरण 25

प्रश्न हल करें।

फेसला:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक होता है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जिनका गुणनफल बराबर होता है, और फिर यह निर्धारित करते हैं कि किन मूलों में ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें और पहली शर्त के लिए उपयुक्त हैं:

जवाब:

उदाहरण 26

प्रश्न हल करें।

फेसला:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

जड़ों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक मूल ऋणात्मक है। लेकिन चूँकि उनका गुणनफल धनात्मक है, इसका अर्थ है कि दोनों मूल ऋणात्मक हैं।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं, जिनका गुणनफल इसके बराबर होता है:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

जवाब:

सहमत हूं, यह बहुत सुविधाजनक है - जड़ों का आविष्कार मौखिक रूप से करने के लिए, इस गंदे भेदभाव को गिनने के बजाय।

जितनी बार संभव हो Vieta के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें!

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए वियत प्रमेय की आवश्यकता है।

आपके लिए इसका उपयोग करना लाभदायक बनाने के लिए, आपको क्रियाओं को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें।

लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल Vieta की प्रमेय!

स्व-अध्ययन के लिए विएटा के प्रमेय के 5 उदाहरण

उदाहरण 27

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम उत्पाद के साथ चयन शुरू करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वह है जो आपको चाहिए।

जवाब: ; .

उदाहरण 28

कार्य 2.

और फिर, हमारा पसंदीदा वीटा प्रमेय: योग को काम करना चाहिए, लेकिन उत्पाद बराबर है।

लेकिन चूंकि ऐसा नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेतों को बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

जवाब: ; .

उदाहरण 29

कार्य 3.

हम्म... कहाँ है?

सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है:

जड़ों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

हाँ रुको! समीकरण नहीं दिया गया है।

लेकिन विएटा की प्रमेय दिए गए समीकरणों में ही लागू होती है।

तो पहले आपको समीकरण लाने की जरूरत है।

यदि आप इसे सामने नहीं ला सकते हैं, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)।

मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण लाने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को इसके बराबर बनाना:

फिर जड़ों का योग बराबर है, और उत्पाद।

यहां चुनना आसान है: आखिरकार - एक प्रमुख संख्या (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

जवाब: ; .

उदाहरण 30

कार्य 4.

मुक्त शब्द ऋणात्मक है।

इसमें ऐसा क्या खास है?

और यह तथ्य कि जड़ें अलग-अलग संकेतों की होंगी।

और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल के बीच के अंतर की जांच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन उत्पाद।

तो, जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक माइनस के साथ है।

विएटा की प्रमेय हमें बताती है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, अर्थात्।

इसका मतलब है कि छोटी जड़ में एक ऋण होगा: और, चूंकि।

जवाब: ; .

उदाहरण 31

कार्य 5.

पहले क्या करने की जरूरत है?

यह सही है, समीकरण दीजिए:

दोबारा: हम संख्या के कारकों का चयन करते हैं, और उनका अंतर बराबर होना चाहिए:

जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि माइनस के साथ एक बड़ा रूट होगा।

जवाब: ; .

संक्षेप

1. Vieta के प्रमेय का प्रयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
2. विएटा प्रमेय का उपयोग करके, आप मौखिक रूप से चयन द्वारा जड़ों का पता लगा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त पद के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्णांक जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चयन विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन के सूत्रों से पदों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर के परिवर्तन के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 32

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

जवाब:

उदाहरण 33

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

जवाब:

सामान्य तौर पर, परिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या यह आपको कुछ याद नहीं दिलाता?

यह भेदभाव करने वाला है! ठीक इसी तरह से विभेदक सूत्र प्राप्त किया गया था।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है, जहां अज्ञात है, द्विघात समीकरण के गुणांक हैं, मुक्त पद है।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

घटा हुआ द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अधूरा द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

• यदि गुणांक, समीकरण का रूप है: ,
• यदि एक मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप है: ,
• अगर और, समीकरण का रूप है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के संकेत की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण के दो मूल हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) आइए कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालें: ,

2) गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. फॉर्म का अधूरा द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम जहां

2.1. विवेचक का उपयोग करके समाधान

1) आइए समीकरण को मानक रूप में लाएं: ,

2) सूत्र का उपयोग करके विभेदक की गणना करें: , जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है।

2.2. Vieta के प्रमेय का उपयोग कर समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (रूप का एक समीकरण, जहाँ) के मूलों का योग बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल बराबर होता है, अर्थात्। , ए।

2.3. पूर्ण वर्ग समाधान

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। वास्तविक, बहु और जटिल जड़ों के मामलों पर विचार किया जाता है। एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन। ज्यामितीय व्याख्या। मूल निर्धारण और गुणनखंडन के उदाहरण।

विषय

यह सभी देखें: द्विघात समीकरणों को ऑनलाइन हल करना

मूल सूत्र

द्विघात समीकरण पर विचार करें:
(1) .
द्विघात समीकरण की जड़ें(1) सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
; .
इन सूत्रों को इस प्रकार जोड़ा जा सकता है:
.
जब द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात हो जाते हैं, तब दूसरी डिग्री के बहुपद को कारकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है (तथ्यात्मक):
.

इसके अलावा, हम मानते हैं कि वास्तविक संख्याएं हैं।
विचार करना द्विघात समीकरण का विभेदक:
.
यदि विवेचक धनात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं:
; .
तब वर्ग त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.
यदि विभेदक शून्य है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो गुणक (बराबर) वास्तविक मूल हैं:
.
गुणनखंडन:
.
यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो जटिल संयुग्म मूल हैं:
;
.
यहाँ काल्पनिक इकाई है;
और जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं:
; .
फिर

.

ग्राफिक व्याख्या

यदि हम फलन को रेखांकन करते हैं
,
जो एक परवलय है, तो अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण के मूल होंगे
.
जब , ग्राफ भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं () पर काटता है।
जब , ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु () पर स्पर्श करता है।
जब , ग्राफ x-अक्ष () को पार नहीं करता है।

द्विघात समीकरण से संबंधित उपयोगी सूत्र

(एफ.1) ;
(एफ.2) ;
(एफ.3) .

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

हम रूपांतरण करते हैं और सूत्र (f.1) और (f.3) लागू करते हैं:




,
कहाँ पे
; .

तो, हमें दूसरी डिग्री के बहुपद के लिए सूत्र के रूप में मिला:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया
और ।
अर्थात्, और द्विघात समीकरण के मूल हैं
.

द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने के उदाहरण

उदाहरण 1

(1.1) .

.
हमारे समीकरण (1.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं:
;
;
.

यहाँ से हम वर्ग त्रिपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:

.

फलन का ग्राफ y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह दो बिंदुओं पर x-अक्ष (अक्ष) को पार करता है:
और ।
ये बिंदु मूल समीकरण (1.1) के मूल हैं।

;
;
.

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(2.1) .

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
.
मूल समीकरण (2.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक शून्य है, समीकरण के दो बहु (बराबर) मूल हैं:
;
.

फिर त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.

फलन का ग्राफ y = x 2 - 4 x + 4एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह एक बिंदु पर x-अक्ष (अक्ष) को स्पर्श करता है:
.
यह बिंदु मूल समीकरण (2.1) का मूल है। चूँकि यह जड़ दो बार गुणनखंडित होती है:
,
तब ऐसे मूल को गुणज कहते हैं। अर्थात्, वे मानते हैं कि दो समान जड़ें हैं:
.

;
.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(3.1) .

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
(1) .
आइए मूल समीकरण (3.1) को फिर से लिखें:
.
(1) की तुलना में, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
विभेदक ऋणात्मक है, . इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आप जटिल जड़ें पा सकते हैं:
;
;
.

फिर


.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष को पार नहीं करता है। कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह भुज (अक्ष) को पार नहीं करता है। इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। जटिल जड़ें:
;
;
.

यह सभी देखें:

हम विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं समीकरणों का हल". हम पहले ही रैखिक समीकरणों से परिचित हो चुके हैं और अब हम इससे परिचित होने जा रहे हैं द्विघातीय समीकरण.

सबसे पहले, हम चर्चा करेंगे कि द्विघात समीकरण क्या है, इसे सामान्य रूप में कैसे लिखा जाता है, और संबंधित परिभाषाएँ देंगे। उसके बाद, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। इसके बाद, आइए पूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें, जड़ों के लिए सूत्र प्राप्त करें, द्विघात समीकरण के विवेचक से परिचित हों, और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें। अंत में, हम जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध का पता लगाते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

द्विघात समीकरण क्या है? उनके प्रकार

पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि द्विघात समीकरण क्या है। इसलिए, द्विघात समीकरण की परिभाषा के साथ-साथ उससे संबंधित परिभाषाओं के साथ द्विघात समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करना तर्कसंगत है। उसके बाद, आप मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरणों पर विचार कर सकते हैं: कम और गैर-कम, साथ ही पूर्ण और अपूर्ण समीकरण।

द्विघात समीकरणों की परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

द्विघात समीकरणफॉर्म का एक समीकरण है ए एक्स 2 +बी एक्स+सी=0, जहाँ x एक चर है, a , b और c कुछ संख्याएँ हैं, और a शून्य से भिन्न है।

आइए तुरंत कहें कि द्विघात समीकरणों को अक्सर दूसरी डिग्री के समीकरण कहा जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि द्विघात समीकरण है बीजीय समीकरणदूसरी उपाधि।

ध्वनि की परिभाषा हमें द्विघात समीकरणों के उदाहरण देने की अनुमति देती है। तो 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, आदि। द्विघात समीकरण हैं।

परिभाषा।

नंबर ए, बी और सी कहा जाता है द्विघात समीकरण के गुणांक a x 2 + b x + c \u003d 0, और गुणांक a को पहला, या वरिष्ठ, या गुणांक x 2 कहा जाता है, b दूसरा गुणांक है, या x पर गुणांक है, और c एक मुक्त सदस्य है।

उदाहरण के लिए, आइए 5 x 2 −2 x−3=0 के रूप का द्विघात समीकरण लें, यहां प्रमुख गुणांक 5 है, दूसरा गुणांक −2 है, और मुक्त पद −3 है। ध्यान दें कि जब गुणांक b और/या c ऋणात्मक होते हैं, जैसा कि अभी दिए गए उदाहरण में है, फॉर्म 5 x 2 −2 x−3=0 के द्विघात समीकरण के संक्षिप्त रूप का उपयोग किया जाता है, न कि 5 x 2 +(- 2 )x+(−3)=0 ।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब गुणांक a और / या b 1 या -1 के बराबर होते हैं, तो वे आमतौर पर द्विघात समीकरण के संकेतन में स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं होते हैं, जो कि इस तरह के अंकन की ख़ासियत के कारण होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण y 2 −y+3=0 में, प्रमुख गुणांक एक है, और y पर गुणांक -1 है।

कम और गैर कम द्विघात समीकरण

अग्रणी गुणांक के मूल्य के आधार पर, कम और गैर-कम द्विघात समीकरण प्रतिष्ठित हैं। आइए हम संबंधित परिभाषाएं दें।

परिभाषा।

एक द्विघात समीकरण जिसमें अग्रणी गुणांक 1 होता है, कहलाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण. अन्यथा, द्विघात समीकरण है कम किया हुआ.

इस परिभाषा के अनुसार, द्विघात समीकरण x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, आदि। - घटाया गया, उनमें से प्रत्येक में पहला गुणांक एक के बराबर है। और 5 x 2 −x−1=0 , आदि। - अपरिष्कृत द्विघात समीकरण, उनके प्रमुख गुणांक 1 से भिन्न होते हैं।

किसी भी गैर-घटित द्विघात समीकरण से, इसके दोनों भागों को अग्रणी गुणांक से विभाजित करके, आप घटाए गए समीकरण पर जा सकते हैं। यह क्रिया एक समतुल्य परिवर्तन है, अर्थात, इस तरह से प्राप्त कम द्विघात समीकरण की जड़ें मूल गैर-घटित द्विघात समीकरण के समान हैं, या, इसकी तरह, कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं कि कैसे एक असंबद्ध द्विघात समीकरण से एक कम किए गए समीकरण में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण।

समीकरण 3 x 2 +12 x−7=0 से, संगत घटाए गए द्विघात समीकरण पर जाएं।

फेसला।

हमारे लिए मूल समीकरण के दोनों भागों को प्रमुख गुणांक 3 से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, यह गैर-शून्य है, इसलिए हम यह क्रिया कर सकते हैं। हमारे पास (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 है, जो समान है (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , और इसी तरह (3 x 2): :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , कहां से । तो हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिला, जो मूल समीकरण के बराबर है।

जवाब:

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण की परिभाषा में एक शर्त a≠0 है। समीकरण a x 2 +b x+c=0 के बिल्कुल वर्गाकार होने के लिए यह शर्त आवश्यक है, क्योंकि a=0 के साथ यह वास्तव में b x+c=0 रूप का एक रैखिक समीकरण बन जाता है।

गुणांक बी और सी के लिए, वे शून्य के बराबर हो सकते हैं, दोनों अलग-अलग और एक साथ। इन मामलों में, द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा।

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 कहा जाता है अधूरा, यदि कम से कम एक गुणांक b , c शून्य के बराबर है।

इसकी बारी में

परिभाषा।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक समीकरण है जिसमें सभी गुणांक शून्य से भिन्न होते हैं।

ये नाम संयोग से नहीं दिए गए हैं। यह निम्नलिखित चर्चा से स्पष्ट हो जाएगा।

यदि गुणांक b शून्य के बराबर है, तो द्विघात समीकरण a x 2 +0 x+c=0 रूप लेता है, और यह समीकरण a x 2 +c=0 के बराबर है। यदि c=0 , अर्थात द्विघात समीकरण का रूप a x 2 +b x+0=0 है, तो इसे a x 2 +b x=0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। और b=0 और c=0 से हमें द्विघात समीकरण a·x 2 =0 मिलता है। परिणामी समीकरण पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न होते हैं कि उनके बाएँ हाथ की भुजाओं में या तो चर x वाला कोई पद नहीं है, या एक मुक्त पद, या दोनों नहीं हैं। इसलिए उनके नाम - अपूर्ण द्विघात समीकरण।

तो समीकरण x 2 +x+1=0 और −2 x 2 −5 x+0,2=0 पूर्ण द्विघात समीकरणों के उदाहरण हैं, और x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

यह पिछले पैराग्राफ की जानकारी से इस प्रकार है कि वहाँ है तीन प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण:

• a x 2 =0 , गुणांक b=0 और c=0 इसके अनुरूप हैं;
• a x 2 +c=0 जब b=0 ;
• और a x 2 +b x=0 जब c=0 ।

आइए हम इस क्रम में विश्लेषण करें कि इनमें से प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

ए एक्स 2 \u003d 0

आइए अधूरे द्विघात समीकरणों को हल करके शुरू करें जिसमें गुणांक b और c शून्य के बराबर हैं, अर्थात, x 2 = 0 के रूप के समीकरणों के साथ। समीकरण a·x 2 =0 समीकरण x 2 =0 के समतुल्य है, जो मूल से इसके दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, समीकरण x 2 \u003d 0 की जड़ शून्य है, 0 2 \u003d 0 से। इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे समझाया गया है, वास्तव में, किसी भी गैर-शून्य संख्या p के लिए, असमानता p 2 >0 होती है, जिसका अर्थ है कि p≠0 के लिए, समानता p 2 = 0 कभी हासिल नहीं होती है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 \u003d 0 का एक मूल x \u003d 0 है।

उदाहरण के तौर पर, हम एक अपूर्ण द्विघात समीकरण −4·x 2 =0 का हल देते हैं। यह समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है, इसका एकमात्र मूल x \u003d 0 है, इसलिए मूल समीकरण का एक मूल शून्य है।

इस मामले में एक संक्षिप्त समाधान निम्नानुसार जारी किया जा सकता है:
−4 x 2 \u003d 0,
एक्स 2 \u003d 0,
एक्स = 0।

ए एक्स 2 +सी = 0

अब विचार करें कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, जिसमें गुणांक b शून्य के बराबर होता है, और c≠0, अर्थात्, a x 2 +c=0 के रूप के समीकरण। हम जानते हैं कि समीकरण के एक तरफ से विपरीत चिह्न के साथ एक पद का स्थानांतरण, साथ ही साथ एक गैर-शून्य संख्या द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों का विभाजन, एक समान समीकरण देता है। इसलिए, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 के निम्नलिखित समतुल्य परिवर्तन किए जा सकते हैं:

• c को दाईं ओर ले जाएँ, जो समीकरण a x 2 =−c देता है,
• और इसके दोनों भागों को a से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है।

परिणामी समीकरण हमें इसकी जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। a और c के मानों के आधार पर, व्यंजक का मान ऋणात्मक हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि a=1 और c=2 , तो ) या धनात्मक, (उदाहरण के लिए, यदि a=−2 और c=6 , तब), यह शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि शर्त c≠0 के अनुसार। हम अलग से मामलों का विश्लेषण करेंगे और .

यदि , तो समीकरण का कोई मूल नहीं है। यह कथन इस तथ्य का अनुसरण करता है कि किसी भी संख्या का वर्ग एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जब , तब किसी संख्या p के लिए समता सत्य नहीं हो सकती।

यदि , तो समीकरण की जड़ों के साथ स्थिति अलग है। इस मामले में, अगर हम याद करते हैं, तो समीकरण की जड़ तुरंत स्पष्ट हो जाती है, यह संख्या है, क्योंकि। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या भी समीकरण की जड़ है, वास्तव में,। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, जिन्हें दिखाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा। हो जाए।

आइए समीकरण के उचित स्वर वाले मूलों को x 1 और −x 1 के रूप में निरूपित करें। मान लीजिए कि समीकरण का एक और मूल x 2 है जो संकेतित मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। यह ज्ञात है कि इसकी जड़ों के x के बजाय समीकरण में प्रतिस्थापन समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है। x 1 और −x 1 के लिए हमारे पास है, और x 2 के लिए हमारे पास है। संख्यात्मक समानता के गुण हमें वास्तविक संख्यात्मक समानता का पद-दर-अवधि घटाव करने की अनुमति देते हैं, इसलिए समानता के संगत भागों को घटाने पर x 1 2 - x 2 2 = 0 प्राप्त होता है। संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण हमें परिणामी समानता को (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देते हैं। हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, यह प्राप्त समानता का अनुसरण करता है कि x 1 −x 2 =0 और/या x 1 +x 2 =0 , जो समान है, x 2 =x 1 और/या x 2 = −x 1 । इसलिए हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, क्योंकि शुरुआत में हमने कहा था कि समीकरण x 2 का मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। इससे सिद्ध होता है कि समीकरण का और के अलावा और कोई मूल नहीं है।

आइए इस पैराग्राफ में जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करें। अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 समीकरण के समतुल्य है, जो

• कोई जड़ नहीं है अगर ,
• दो जड़ें हैं और यदि .

a·x 2 +c=0 रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

आइए द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 से शुरू करें। मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद, यह 9·x 2 =−7 का रूप ले लेगा। परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं। चूँकि दायीं ओर एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, इसलिए मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 का कोई मूल नहीं है।

आइए एक और अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 हल करें। हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: -x 2 \u003d -9। अब हम दोनों भागों को -1 से विभाजित करते हैं, हमें x 2 =9 प्राप्त होता है। दाईं ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि या । अंतिम उत्तर लिखने के बाद: अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 के दो मूल x=3 या x=−3 हैं।

ए एक्स 2 +बी एक्स=0

यह c=0 के लिए अंतिम प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान से निपटने के लिए बनी हुई है। फॉर्म के अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 आपको हल करने की अनुमति देता है गुणनखंडन विधि. जाहिर है, हम समीकरण के बाईं ओर स्थित हो सकते हैं, जिसके लिए यह सामान्य कारक x को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए पर्याप्त है। यह हमें मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण से x·(a·x+b)=0 रूप के समतुल्य समीकरण में जाने की अनुमति देता है। और यह समीकरण दो समीकरणों x=0 और a x+b=0 के समुच्चय के समतुल्य है, जिनमें से अंतिम रैखिक है और इसका मूल x=−b/a है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 के दो मूल x=0 और x=−b/a हैं।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक विशिष्ट उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

फेसला।

हम कोष्ठक में से x निकालते हैं, यह समीकरण देता है। यह दो समीकरणों x=0 और के बराबर है। हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं: और मिश्रित संख्या को एक साधारण भिन्न से विभाजित करने के बाद, हम पाते हैं। इसलिए, मूल समीकरण के मूल x=0 और हैं।

आवश्यक अभ्यास प्राप्त करने के बाद, ऐसे समीकरणों के हल संक्षेप में लिखे जा सकते हैं:

जवाब:

एक्स = 0,।

विभेदक, द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, एक मूल सूत्र है। आइए लिखते हैं द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र: , कहाँ पे डी=बी 2 −4 ए सी- तथाकथित द्विघात समीकरण का विभेदक. नोटेशन का अनिवार्य रूप से मतलब है कि .

यह जानना उपयोगी है कि मूल सूत्र कैसे प्राप्त किया गया था, और इसे द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने में कैसे लागू किया जाता है। आइए इससे निपटें।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 को हल करें। आइए कुछ समकक्ष परिवर्तन करें:

• हम इस समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित कर सकते हैं, परिणामस्वरूप हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिलता है।
• अभी एक पूर्ण वर्ग चुनेंइसके बाईं ओर: . उसके बाद, समीकरण रूप लेगा।
• इस स्तर पर, हमारे पास विपरीत चिन्ह के साथ अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है।
• और दायीं ओर के व्यंजक को भी रूपांतरित करते हैं: .

नतीजतन, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो मूल द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 के बराबर है।

जब हमने विश्लेषण किया तो हम पिछले पैराग्राफ में समान रूप में समीकरणों को पहले ही हल कर चुके हैं। यह हमें समीकरण की जड़ों के बारे में निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:

• यदि , तो समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है;
• यदि , तो समीकरण का वह रूप है , इसलिए , जिससे उसका एकमात्र मूल दिखाई देता है;
• यदि , तो या , जो या के समान है, अर्थात समीकरण के दो मूल हैं।

इस प्रकार, समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति, और इसलिए मूल द्विघात समीकरण, दायीं ओर के व्यंजक के चिन्ह पर निर्भर करता है। बदले में, इस व्यंजक का चिह्न अंश के चिह्न से निर्धारित होता है, क्योंकि हर 4 a 2 हमेशा धनात्मक होता है, अर्थात व्यंजक b 2 −4 a c का चिह्न। यह व्यंजक b 2 −4 a c कहलाता है द्विघात समीकरण का विभेदकऔर पत्र के साथ चिह्नित डी. यहां से, विवेचक का सार स्पष्ट है - इसके मूल्य और चिन्ह से, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें हैं, और यदि हां, तो उनकी संख्या क्या है - एक या दो।

हम समीकरण पर लौटते हैं, इसे विवेचक के संकेतन का उपयोग करके फिर से लिखते हैं:। और हम निष्कर्ष निकालते हैं:

• अगर डी<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• यदि D=0, तो इस समीकरण का एक ही मूल है;
• अंत में, यदि D>0, तो समीकरण के दो मूल हैं या, जिसे या के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और भिन्नों को एक सामान्य हर में विस्तारित और कम करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं।

इसलिए हमने द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र निकाले, वे ऐसे दिखते हैं, जहां विभेदक D की गणना सूत्र D=b 2 −4 a c द्वारा की जाती है।

उनकी मदद से, एक सकारात्मक विवेचक के साथ, आप द्विघात समीकरण के दोनों वास्तविक मूलों की गणना कर सकते हैं। जब विभेदक शून्य के बराबर होता है, तो दोनों सूत्र द्विघात समीकरण के एकमात्र समाधान के अनुरूप समान मूल मान देते हैं। और एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते समय, हमें एक ऋणात्मक संख्या से वर्गमूल निकालने का सामना करना पड़ता है, जो हमें स्कूली पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर ले जाता है। एक नकारात्मक विवेचक के साथ, द्विघात समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, लेकिन एक जोड़ी होती है जटिल सन्युग्मजड़ें, जिन्हें हमने प्राप्त किए गए मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

व्यवहार में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, आप तुरंत मूल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिसके साथ उनके मूल्यों की गणना की जा सकती है। लेकिन यह जटिल जड़ों को खोजने के बारे में अधिक है।

हालाँकि, एक स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, हम आमतौर पर जटिल के बारे में नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के बारे में बात करते हैं। इस मामले में, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले पहले विवेचक को खोजने की सलाह दी जाती है, सुनिश्चित करें कि यह गैर-ऋणात्मक है (अन्यथा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और उसके बाद जड़ों के मूल्यों की गणना करें।

उपरोक्त तर्क हमें लिखने की अनुमति देता है द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c \u003d 0 को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

• विभेदक सूत्र D=b 2 −4 a c का उपयोग करके इसके मान की गणना करें;
• यह निष्कर्ष निकालें कि यदि विभेदक ऋणात्मक है तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है;
• सूत्र का उपयोग करके समीकरण के एकमात्र मूल की गणना करें यदि D=0 ;
• यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

यहां हम केवल यह नोट करते हैं कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है, यह वही मान देगा जो .

आप द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म को लागू करने के उदाहरणों पर आगे बढ़ सकते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य विवेचक वाले तीन द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करें। उनके हल से निपटने के बाद, सादृश्य द्वारा किसी अन्य द्विघात समीकरण को हल करना संभव होगा। चलो शुरू करो।

उदाहरण।

समीकरण x 2 +2 x−6=0 के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

इस मामले में, हमारे पास द्विघात समीकरण के निम्नलिखित गुणांक हैं: a=1 , b=2 और c=−6 । एल्गोरिथ्म के अनुसार, आपको पहले विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है, इसके लिए हम संकेतित a, b और c को विवेचक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है डी=बी 2 −4 ए सी=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. चूँकि 28>0, अर्थात् विवेचक शून्य से बड़ा है, द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उन्हें जड़ों के सूत्र द्वारा खोजें, हमें मिलता है, यहाँ हम करके प्राप्त किए गए व्यंजकों को सरल बना सकते हैं जड़ के चिन्ह को बाहर निकालनाइसके बाद अंश में कमी:

जवाब:

आइए अगले विशिष्ट उदाहरण पर चलते हैं।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण −4 x 2 +28 x−49=0 को हल करें।

फेसला।

हम विवेचक को ढूंढकर शुरू करते हैं: डी=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. इसलिए, इस द्विघात समीकरण का एक ही मूल है, जिसे हम पाते हैं, अर्थात्,

जवाब:

एक्स = 3.5।

यह नकारात्मक विवेचक के साथ द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण।

समीकरण 5 y 2 +6 y+2=0 हल कीजिए।

फेसला।

द्विघात समीकरण के गुणांक यहां दिए गए हैं: a=5 , b=6 और c=2 । इन मूल्यों को विवेचक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है डी=बी 2 −4 ए सी=6 2 −4 5 2=36−40=−4. विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

यदि आपको जटिल जड़ों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, तो हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं, और प्रदर्शन करते हैं जटिल संख्याओं के साथ संचालन:

जवाब:

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, जटिल जड़ें हैं: .

एक बार फिर, हम ध्यान दें कि यदि द्विघात समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है, तो स्कूल आमतौर पर तुरंत उत्तर लिख देता है, जिसमें वे इंगित करते हैं कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, और उन्हें जटिल जड़ें नहीं मिलती हैं।

दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र, जहां D=b 2 −4 a c आपको एक अधिक कॉम्पैक्ट सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है जो आपको x पर एक सम गुणांक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है (या केवल एक गुणांक के साथ जो 2 n जैसा दिखता है) , उदाहरण के लिए, या 14 ln5=2 7 ln5 )। चलो उसे बाहर निकालते हैं।

मान लीजिए कि हमें a x 2 +2 n x + c=0 रूप के द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। आइए हम ज्ञात सूत्र का उपयोग करके इसकी जड़ें खोजें। ऐसा करने के लिए, हम विवेचक की गणना करते हैं D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), और फिर हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

व्यंजक n 2 -a c को D 1 के रूप में निरूपित करें (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ माना द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र रूप लेता है , जहां डी 1 =एन 2 -ए सी।

यह देखना आसान है कि D=4·D 1 , या D 1 =D/4 । दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का चौथा भाग है। यह स्पष्ट है कि D 1 का चिन्ह D के चिन्ह के समान है। अर्थात्, चिह्न D 1 भी द्विघात समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति का सूचक है।

तो, दूसरे गुणांक 2 n के साथ द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए

• D 1 =n 2 −a·c परिकलित करें;
• अगर डी 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• यदि डी 1 = 0, तो सूत्र का उपयोग करके समीकरण की एकमात्र जड़ की गणना करें;
• यदि D 1 >0, तो सूत्र का प्रयोग कर दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

इस अनुच्छेद में प्राप्त मूल सूत्र का उपयोग करके उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण 5 x 2 −6 x−32=0 को हल करें।

फेसला।

इस समीकरण के दूसरे गुणांक को 2·(−3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी, आप मूल द्विघात समीकरण को 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 के रूप में फिर से लिख सकते हैं, यहां a=5 , n=−3 और c=−32 , और इसके चौथे भाग की गणना कर सकते हैं विभेदक: डी 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. चूँकि इसका मान धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें संबंधित मूल सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करना संभव था, लेकिन इस मामले में, अधिक कम्प्यूटेशनल कार्य करना होगा।

जवाब:

द्विघात समीकरणों के रूप का सरलीकरण

कभी-कभी, सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना शुरू करने से पहले, यह प्रश्न पूछने में कोई दिक्कत नहीं होती है: "क्या इस समीकरण के रूप को सरल बनाना संभव है"? सहमत हैं कि गणना के संदर्भ में द्विघात समीकरण 11 x 2 −4 x −6=0 को 1100 x 2 −400 x−600=0 से हल करना आसान होगा।

आमतौर पर, द्विघात समीकरण के रूप का एक सरलीकरण इसके दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा या विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, पिछले पैराग्राफ में, हम दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करके समीकरण 1100 x 2 −400 x −600=0 का सरलीकरण प्राप्त करने में सफल रहे।

द्विघात समीकरणों के साथ एक समान परिवर्तन किया जाता है, जिसके गुणांक नहीं होते हैं। इस मामले में, समीकरण के दोनों भागों को आमतौर पर इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 12 x 2 −42 x+48=0 लेते हैं। इसके गुणांकों के निरपेक्ष मान: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 । मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करने पर, हम समतुल्य द्विघात समीकरण 2 x 2 −7 x+8=0 पर पहुंचते हैं।

और द्विघात समीकरण के दोनों भागों का गुणन आमतौर पर भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है। इस मामले में, गुणन इसके गुणांकों के हर पर किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण के दोनों भागों को LCM(6, 3, 1)=6 से गुणा किया जाता है, तो यह एक सरल रूप x 2 +4 x−18=0 ले लेगा।

इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि लगभग हमेशा सभी पदों के संकेतों को बदलकर द्विघात समीकरण के उच्चतम गुणांक पर ऋण से छुटकारा मिलता है, जो दोनों भागों को -1 से गुणा (या विभाजित) करने के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, आमतौर पर द्विघात समीकरण −2·x 2 −3·x+7=0 से समाधान 2·x 2 +3·x−7=0 पर जाएं।

द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र समीकरण के मूलों को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त करता है। मूलों के सूत्र के आधार पर, आप मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं।

प्रपत्र के Vieta प्रमेय से सबसे प्रसिद्ध और लागू सूत्र और . विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 x 2 −7 x+22=0 के रूप में, हम तुरंत कह सकते हैं कि इसके मूलों का योग 7/3 है, और मूलों का गुणनफल 22/3 है।

पहले से लिखे गए सूत्रों का उपयोग करके, आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों के योग को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: .

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इस लेख में हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों के हल पर विचार करेंगे।

लेकिन पहले, आइए दोहराएं कि किन समीकरणों को द्विघात कहा जाता है। फॉर्म का एक समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0, जहां एक्स एक चर है, और गुणांक ए, बी और सी कुछ संख्याएं हैं, और ए 0, कहा जाता है वर्ग. जैसा कि हम देख सकते हैं, x 2 पर गुणांक शून्य के बराबर नहीं है, और इसलिए x या मुक्त पद पर गुणांक शून्य के बराबर हो सकता है, इस मामले में हमें एक अपूर्ण द्विघात समीकरण मिलता है।

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:

1) यदि b \u003d 0, c 0, फिर कुल्हाड़ी 2 + c \u003d 0;

2) यदि बी 0, सी \u003d 0, फिर कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स \u003d 0;

3) यदि b \u003d 0, c \u003d 0, फिर कुल्हाड़ी 2 \u003d 0।

• आइए देखें कि वे कैसे हल करते हैं कुल्हाड़ी 2 + सी = 0 के रूप के समीकरण।

समीकरण को हल करने के लिए, हम मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर से स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है

कुल्हाड़ी 2 = s। 0 के बाद से, हम समीकरण के दोनों भागों को a से विभाजित करते हैं, फिर x 2 \u003d -c / a।

यदि с/а > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं

एक्स = ±√(-सी/ए) ।

यदि c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

आइए उदाहरणों के साथ समझने की कोशिश करें कि ऐसे समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण 1. समीकरण 2x 2 - 32 = 0 को हल करें।

उत्तर: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4।

उदाहरण 2. समीकरण 2x 2 + 8 = 0 को हल कीजिए।

उत्तर: समीकरण का कोई हल नहीं है।

• आइए देखें कि वे कैसे हल करते हैं ax 2 + bx = 0 के रूप के समीकरण।

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स \u003d 0 को हल करने के लिए, हम इसे कारकों में विघटित करते हैं, अर्थात, हम कोष्ठक से x निकालते हैं, हमें x (कुल्हाड़ी + बी) \u003d 0 मिलता है। उत्पाद शून्य है यदि कम से कम एक कारक शून्य है। फिर या तो = 0 या ах + b = 0. समीकरण ах + b = 0 को हल करने पर, हम ах = - b प्राप्त करते हैं, जहां से х = - b/a। फॉर्म का एक समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स \u003d 0 में हमेशा दो जड़ें होती हैं x 1 \u003d 0 और x 2 \u003d - b / a। देखें कि इस प्रकार के समीकरणों का हल आरेख पर कैसा दिखता है।

आइए अपने ज्ञान को एक ठोस उदाहरण पर समेकित करें।

उदाहरण 3. समीकरण 3x 2 - 12x = 0 को हल करें।

एक्स(3x - 12) = 0

x \u003d 0 या 3x - 12 \u003d 0

उत्तर: x 1 = 0, x 2 = 4।

• तीसरे प्रकार के समीकरण कुल्हाड़ी 2 = 0बहुत सरलता से हल किया।

यदि कुल्हाड़ी 2 \u003d 0, तो x 2 \u003d 0. समीकरण की दो समान जड़ें हैं x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0।

स्पष्टता के लिए, आरेख पर विचार करें।

उदाहरण 4 को हल करते समय, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि इस प्रकार के समीकरणों को बहुत सरलता से हल किया जाए।

उदाहरण 4समीकरण 7x 2 = 0 को हल करें।

उत्तर: x 1, 2 = 0.

यह हमेशा तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि हमें किस प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करना है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा करें, अर्थात 30 . से

चलो काटते हैं

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90।

आइए कोष्ठक खोलें

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90।

यहाँ समान हैं

आइए समीकरण के बाईं ओर से 99 को दाईं ओर ले जाएं, चिह्न को विपरीत में बदलते हुए

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

हमने विश्लेषण किया है कि अधूरे द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। मुझे आशा है कि अब आपको ऐसे कार्यों में कठिनाई नहीं होगी। अपूर्ण द्विघात समीकरण के प्रकार का निर्धारण करते समय सावधान रहें, तब आप सफल होंगे।

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