लयबद्ध दोलक(शास्त्रीय यांत्रिकी में) - एक प्रणाली, जो अपनी संतुलन स्थिति से हटाए जाने पर, एक पुनर्स्थापना बल की क्रिया का अनुभव करती है एफ, विस्थापन के समानुपाती एक्स :

,

कहाँ पे क- निरंतर गुणांक।

यदि एक एफ- तंत्र पर कार्य करने वाला एकमात्र बल, तब निकाय कहलाता है सरलया रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला. ऐसी प्रणाली के मुक्त दोलन संतुलन की स्थिति (हार्मोनिक दोलन) के चारों ओर एक आवधिक गति का प्रतिनिधित्व करते हैं। आवृत्ति और आयाम स्थिर हैं, और आवृत्ति आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

एक हार्मोनिक थरथरानवाला के यांत्रिक उदाहरण एक गणितीय पेंडुलम (छोटे विक्षेपण कोणों के साथ), एक मरोड़ पेंडुलम और ध्वनिक प्रणाली हैं। एक हार्मोनिक थरथरानवाला के गैर-यांत्रिक एनालॉग्स के बीच, कोई एक विद्युत हार्मोनिक थरथरानवाला (एलसी सर्किट देखें) को बाहर कर सकता है।

एक रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला के मुक्त दोलन

समीकरण और उसके समाधान

होने देना एक्स- अपनी संतुलन स्थिति के सापेक्ष एक भौतिक बिंदु का विस्थापन, और एफ- रूप की किसी भी प्रकृति के बल को बहाल करने वाले बिंदु पर कार्य करना

F = - k x (\displaystyle F=-kx),

कहाँ पे क= स्थिरांक फिर, न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके, त्वरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).

दर्शाने ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m)और बदल रहा है एकसमय के संबंध में निर्देशांक के दूसरे व्युत्पन्न के लिए x (\displaystyle (\ddot (x))), अपने पास

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

यह अंतर समीकरण एक रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला के व्यवहार का वर्णन करता है। मूल्य ω 0 (\displaystyle \omega _(0))चक्रीय आवृत्ति कहलाती है। (यह वृत्ताकार आवृत्ति को संदर्भित करता है, जिसे रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है। इसे हर्ट्ज़ में व्यक्त आवृत्ति में बदलने के लिए, इसे विभाजित किया जाना चाहिए 2 (\displaystyle 2\pi ).)

हम इस समीकरण का हल इस रूप में खोजेंगे

x (t) = एक पाप ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).

यहां ए- आयाम, - दोलन आवृत्ति, - प्रारंभिक चरण।

हम अंतर समीकरण में स्थानापन्न करते हैं और प्राप्त करते हैं:

x ¨ (टी) = − ए ω 2 पाप ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − A ω 2 sin ⁡ (ω t + ) + ω 0 2 एक पाप ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).

आयाम कम हो जाता है। इसका मतलब है कि इसका कोई भी मूल्य हो सकता है (शून्य सहित - इसका मतलब है कि भौतिक बिंदु संतुलन की स्थिति में आराम पर है)। ज्या को भी कम किया जा सकता है, क्योंकि समानता किसी भी समय होनी चाहिए टी. इस प्रकार, दोलन आवृत्ति की स्थिति बनी रहती है:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) = ± 0 । (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).)

सरल हार्मोनिक गति अधिक जटिल प्रकार की गति के विश्लेषण के कुछ तरीकों का आधार है। इन विधियों में से एक फूरियर रूपांतरण पर आधारित है, जिसका सार सरल हार्मोनिक गतियों की एक श्रृंखला में अधिक जटिल प्रकार की गति को विघटित करना है।

थरथरानवाला के उदाहरण

कोई भी प्रणाली जिसमें सरल हार्मोनिक गति होती है, उसके दो प्रमुख गुण होते हैं:

• जब सिस्टम संतुलन से बाहर हो जाता है, तो सिस्टम को वापस संतुलन में लाने के लिए एक पुनर्स्थापना बल होना चाहिए;
• पुनर्स्थापन बल विस्थापन के ठीक या लगभग समानुपाती होना चाहिए।

नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

क्षैतिज स्प्रिंग-लोड सिस्टम

एक प्रणाली का एक विशिष्ट उदाहरण जिसमें सरल हार्मोनिक गति होती है, एक आदर्श द्रव्यमान-वसंत प्रणाली है जिसमें एक द्रव्यमान एक वसंत से जुड़ा होता है और एक क्षैतिज सतह पर रखा जाता है। यदि स्प्रिंग को संपीडित नहीं किया जाता है और बढ़ाया नहीं जाता है, तो कोई भी परिवर्तनशील बल भार पर कार्य नहीं करता है और यह यांत्रिक संतुलन की स्थिति में होता है। हालांकि, यदि भार को संतुलन की स्थिति से हटा दिया जाता है, तो वसंत विकृत हो जाता है और एक बल अपनी तरफ से कार्य करेगा, जिससे भार को संतुलन की स्थिति में वापस कर दिया जाएगा। लोड-स्प्रिंग सिस्टम के मामले में, ऐसा बल स्प्रिंग का लोचदार बल होता है, जो हुक के नियम का पालन करता है:

F = - k x (\displaystyle F=-kx),

कहाँ पे कइसका एक बहुत विशिष्ट अर्थ है - यह वसंत कठोरता का गुणांक है।

एक बार जब विस्थापित भार एक पुनर्स्थापना बल की क्रिया के अधीन हो जाता है, तो इसे तेज कर देता है और इसे प्रारंभिक बिंदु पर वापस करने के लिए प्रवृत्त होता है, अर्थात संतुलन की स्थिति में। जैसे-जैसे भार संतुलन की स्थिति के करीब पहुंचता है, पुनर्स्थापना बल कम हो जाता है और शून्य हो जाता है। हालांकि, स्थिति में एक्स = 0 भार में एक निश्चित मात्रा में गति (गति) होती है, जिसे पुनर्स्थापना बल की क्रिया के कारण प्राप्त किया जाता है। इसलिए, भार संतुलन की स्थिति को छोड़ देता है, वसंत को फिर से विकृत करना शुरू कर देता है (लेकिन विपरीत दिशा में)। गति शून्य होने तक पुनर्स्थापना बल इसे धीमा कर देगा; और बल फिर से भार को उसकी संतुलन स्थिति में लौटाने का प्रयास करेगा।

यदि कोई ऊर्जा हानि नहीं होती है, तो भार ऊपर वर्णित अनुसार दोलन करेगा; यह आंदोलन आवधिक है।

लंबवत लोड-वसंत प्रणाली

एक स्प्रिंग पर लंबवत रूप से निलंबित भार के मामले में, लोचदार बल के साथ, गुरुत्वाकर्षण कार्य करता है, अर्थात कुल बल होगा

F = - k x - m g (\displaystyle F=-kx-mg).

यदि हम गैर-मूल्य पर काम करने के लिए चर का परिवर्तन करते हैं x (\displaystyle x), और मूल्य X = x + m g / k (\displaystyle X=x+mg/k), तो गति का समीकरण क्षैतिज ज्यामिति के मामले के समान रूप लेगा, केवल चर के लिए एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स).

समान आवृत्ति के साथ दोलन होंगे ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). हालांकि, अगर क्षैतिज मामले में एक विकृत वसंत की स्थिति संतुलन के अनुरूप होती है, तो ऊर्ध्वाधर संस्करण में संतुलन में वसंत बढ़ाया जाएगा। फ्री फॉल त्वरण के परिमाण पर आवृत्ति की निर्भरता जी (\ डिस्प्लेस्टाइल जी)जबकि नहीं; जी (\ डिस्प्लेस्टाइल जी)केवल संतुलन स्थिति के बदलाव को प्रभावित करता है एमजी / के (\displaystyle मिलीग्राम/के).

एक वसंत पर भार के दोलनों की आवृत्ति (या अवधि) के मापन का उपयोग शरीर के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए उपकरणों में किया जाता है - तथाकथित द्रव्यमान मीटर, अंतरिक्ष स्टेशनों पर उपयोग किया जाता है जब संतुलन भारहीनता के कारण कार्य नहीं कर सकता है।

यूनिवर्सल सर्कुलर मोशन

सरल हार्मोनिक गति को कुछ मामलों में सार्वभौमिक परिपत्र गति के एक आयामी प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है।

यदि कोई वस्तु त्रिज्या के वृत्त के अनुदिश नियत कोणीय वेग से गति करती है आर, जिसका केंद्र विमान की उत्पत्ति है एक्स - वाई, तो प्रत्येक समन्वय अक्ष के साथ ऐसी गति आयाम के साथ सरल हार्मोनिक है आरऔर वृत्ताकार आवृत्ति .

एक साधारण पेंडुलम के रूप में वजन

छोटे कोणों के सन्निकटन में, एक साधारण लोलक की गति सरल आवर्त के निकट होती है। लंबाई की एक छड़ से जुड़े ऐसे लोलक के दोलन की अवधि ℓ , सूत्र द्वारा दिया गया है

टी = 2πℓg। (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g)))।)

कहाँ पे जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण। इससे पता चलता है कि दोलन की अवधि पेंडुलम के आयाम और द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है, बल्कि निर्भर करती है जी, इसलिए, पेंडुलम की समान लंबाई के साथ, चंद्रमा पर यह अधिक धीरे-धीरे झूलेगा, क्योंकि वहां गुरुत्वाकर्षण कमजोर है और मुक्त गिरावट त्वरण का मूल्य कम है।

निर्दिष्ट सन्निकटन केवल छोटे विक्षेपण कोणों पर ही सही है, क्योंकि कोणीय त्वरण के लिए व्यंजक निर्देशांक की ज्या के समानुपाती होता है:

ℓ एमजी पाप ⁡ = मैं α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

कहाँ पे मैं- निष्क्रियता के पल ; इस मामले में मैं = मी 2. छोटे कोणों को उन परिस्थितियों में महसूस किया जाता है जब दोलन आयाम छड़ की लंबाई से बहुत कम होता है।

ℓ एमजी θ = मैं α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

जो कोणीय त्वरण को कोण के सीधे आनुपातिक बनाता है, और यह सरल हार्मोनिक गति की परिभाषा को संतुष्ट करता है।

एक नम हार्मोनिक थरथरानवाला के मुक्त दोलन

समीकरण और उसके समाधान

एक नम थरथरानवाला पर विचार करते समय, एक रूढ़िवादी थरथरानवाला के मॉडल को एक आधार के रूप में लिया जाता है, जिसमें चिपचिपा घर्षण बल जोड़ा जाता है। श्यान घर्षण बल माध्यम के सापेक्ष भार की गति के विरुद्ध निर्देशित होता है और इस गति के सीधे आनुपातिक होता है। तब भार पर कार्य करने वाला कुल बल इस प्रकार लिखा जाता है:

एफ = - के एक्स - α वी। (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, हम एक अवमंदित थरथरानवाला का वर्णन करते हुए एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0 ।)

यहाँ संकेतन है: 2 = α / मी (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m). गुणक (\displaystyle \गामा )अवमंदन स्थिरांक कहलाता है। इसमें आवृत्ति का आयाम भी है।

समाधान तीन मामलों में आता है।

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

कहाँ पे ω f = ω 0 2 - γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- मुक्त दोलनों की आवृत्ति।

एक्स (टी) = (ए + बी टी) ई - γ टी। (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)।) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) टी))

कहाँ पे β 1, 2 = ± 2 - ω 0 2। (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2)))।)

योजना:

परिचय

• 1 मुक्त कंपन
  • 1.1 रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला
    • 1.1.1
      • 1.1.1.1 सरल हार्मोनिक गति की गतिशीलता
      • 1.1.1.2 सरल आवर्त गति की ऊर्जा
      • 1.1.1.3 उदाहरण
        • 1.1.1.3.1 वसंत भार
        • 1.1.1.3.2 यूनिवर्सल सर्कुलर मोशन
        • 1.1.1.3.3 एक साधारण पेंडुलम के रूप में वजन
  • 1.2 नम हार्मोनिक थरथरानवाला
• 2 मजबूर कंपन
साहित्य
टिप्पणियाँ

परिचय

लयबद्ध दोलक(शास्त्रीय यांत्रिकी में) एक ऐसी प्रणाली है, जो संतुलन की स्थिति से विस्थापित होने पर, विस्थापन के अनुपात में एक पुनर्स्थापना बल का अनुभव करती है (हुक के नियम के अनुसार):

कहाँ पे कप्रणाली की कठोरता का वर्णन करने वाला एक सकारात्मक स्थिरांक है।

यदि निकाय पर कार्य करने वाला एकमात्र बल है, तो निकाय कहलाता है सरलया रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला. ऐसी प्रणाली के मुक्त दोलन संतुलन की स्थिति (हार्मोनिक दोलन) के चारों ओर एक आवधिक गति का प्रतिनिधित्व करते हैं। आवृत्ति और आयाम स्थिर हैं, और आवृत्ति आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

यदि गति की गति (चिपचिपा घर्षण) के समानुपाती घर्षण बल (क्षीणन) भी हो, तो ऐसी प्रणाली कहलाती है लुप्त होतीया अपव्यय थरथरानवाला. यदि घर्षण बहुत अधिक नहीं है, तो सिस्टम लगभग आवधिक गति करता है - एक निरंतर आवृत्ति के साथ साइनसॉइडल दोलन और एक घातीय रूप से घटते आयाम। एक नम थरथरानवाला के मुक्त दोलनों की आवृत्ति बिना घर्षण के एक समान थरथरानवाला की तुलना में कुछ कम होती है।

यदि थरथरानवाला अपने आप में छोड़ दिया जाता है, तो यह कहा जाता है कि यह मुक्त दोलन करता है। यदि कोई बाहरी बल (समय के आधार पर) है, तो हम कहते हैं कि थरथरानवाला मजबूर दोलनों का अनुभव करता है।

एक हार्मोनिक थरथरानवाला के यांत्रिक उदाहरण एक गणितीय पेंडुलम (छोटे विस्थापन कोणों के साथ), एक वसंत पर एक भार, एक मरोड़ पेंडुलम और ध्वनिक प्रणाली हैं। हार्मोनिक थरथरानवाला के अन्य एनालॉग्स में, यह विद्युत हार्मोनिक थरथरानवाला (एलसी सर्किट देखें) को उजागर करने के लायक है।

1. मुक्त कंपन

1.1. रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला

एक रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला के एक मॉडल के रूप में, चलो एक वसंत पर एक कठोरता के साथ तय किया गया एक द्रव्यमान भार लेते हैं।

मान लीजिए संतुलन की स्थिति के सापेक्ष भार का विस्थापन है। फिर, हुक के नियम के अनुसार, पुनर्स्थापना बल उस पर कार्य करेगा:

न्यूटन के दूसरे नियम का प्रयोग करते हुए हम लिखते हैं

समय के संबंध में निर्देशांक के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा त्वरण को निरूपित और प्रतिस्थापित करते हुए, हम लिखते हैं:

यह अंतर समीकरण एक रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला के व्यवहार का वर्णन करता है। गुणांक 0 को थरथरानवाला की चक्रीय आवृत्ति कहा जाता है। (यह वृत्ताकार आवृत्ति को संदर्भित करता है, जिसे रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है। इसे हर्ट्ज़ में व्यक्त आवृत्ति में बदलने के लिए, आपको परिपत्र आवृत्ति को 2π से विभाजित करना होगा)

हम इस समीकरण का हल इस रूप में खोजेंगे:

यहाँ - आयाम, - दोलन आवृत्ति (आवश्यक रूप से प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर नहीं), - प्रारंभिक चरण।

हम अंतर समीकरण में स्थानापन्न करते हैं।

आयाम कम हो जाता है। इसका मतलब है कि इसका कोई भी मूल्य हो सकता है (शून्य सहित - इसका मतलब है कि भार संतुलन की स्थिति में आराम पर है)। ज्या को भी कम किया जा सकता है, क्योंकि समानता किसी भी समय होनी चाहिए टी. और दोलन आवृत्ति की स्थिति बनी रहती है:

नकारात्मक आवृत्ति को त्याग दिया जा सकता है, क्योंकि इस संकेत की पसंद में मनमानी प्रारंभिक चरण की पसंद में मनमानी द्वारा कवर की जाती है।

परिपत्र गति और हार्मोनिक गति

समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जाता है:

,

जहां आयाम एऔर प्रारंभिक चरण मनमानी स्थिरांक हैं। यह रिकॉर्ड अंतर समीकरण के सभी समाधानों को समाप्त कर देता है, क्योंकि यह किसी भी प्रारंभिक स्थिति (लोड की प्रारंभिक स्थिति और इसकी प्रारंभिक गति) को संतुष्ट करने की अनुमति देता है।

संक्षेप में, एक रूढ़िवादी हार्मोनिक थरथरानवाला विशुद्ध रूप से हार्मोनिक दोलनों को अपनी प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ, किसी भी परिमाण के आयाम के साथ और एक मनमाना प्रारंभिक चरण के साथ कर सकता है।

गतिज ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जाता है

.

और संभावित ऊर्जा है

तब कुल ऊर्जा स्थिर होती है

1.1.1. सरल हार्मोनिक आंदोलन

सरल हार्मोनिक आंदोलनएक साधारण आंदोलन है लयबद्ध दोलक, एक आवधिक गति जो न तो मजबूर है और न ही नम है। सरल हार्मोनिक गति में एक शरीर एक एकल चर बल के अधीन होता है जो विस्थापन के निरपेक्ष मान में सीधे आनुपातिक होता है एक्स, और विपरीत दिशा में निर्देशित है।

यह गति आवधिक है: शरीर एक साइनसॉइडल कानून के अनुसार संतुलन की स्थिति के आसपास दोलन करता है। प्रत्येक बाद का दोलन पिछले एक जैसा ही होता है, और दोलनों की अवधि, आवृत्ति और आयाम स्थिर रहते हैं। यदि हम स्वीकार करते हैं कि संतुलन की स्थिति शून्य के बराबर निर्देशांक वाले बिंदु पर है, तो विस्थापन एक्सशरीर किसी भी समय सूत्र द्वारा दिया जाता है:

एदोलनों का आयाम है, एफ- आवृत्ति, φ - पहला भाग।

गति की आवृत्ति प्रणाली के विशिष्ट गुणों (उदाहरण के लिए, गतिमान पिंड का द्रव्यमान) द्वारा निर्धारित की जाती है, जबकि आयाम और प्रारंभिक चरण प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं - दोलनों के समय शरीर का विस्थापन और गति शुरू करना। निकाय की गतिज और स्थितिज ऊर्जाएं भी इन गुणों और स्थितियों पर निर्भर करती हैं।

सरल हार्मोनिक आंदोलन। इस एनिमेटेड चित्र में, कण निर्देशांक को ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है ( एक्ससूत्र में), और समय क्षैतिज अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है ( टी).

सरल हार्मोनिक गति विभिन्न प्रकार की गति के गणितीय मॉडल हो सकते हैं, जैसे कि स्प्रिंग का दोलन। अन्य मामले जिन्हें मोटे तौर पर सरल हार्मोनिक गति के रूप में माना जा सकता है, वे हैं एक पेंडुलम की गति और अणुओं का कंपन।

सरल हार्मोनिक गति अधिक जटिल प्रकार की गति के विश्लेषण के कुछ तरीकों का आधार है। इन विधियों में से एक फूरियर रूपांतरण पर आधारित है, जिसका सार सरल हार्मोनिक गतियों की एक श्रृंखला में अधिक जटिल प्रकार की गति को विघटित करना है।

वास्तविक स्थान और चरण स्थान में एक साथ दिखाए गए सरल हार्मोनिक गति। यहां, वेग अक्ष और स्थिति अक्ष को समन्वय अक्षों के सामान्य प्रतिनिधित्व से अलग दिखाया गया है - ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि दोनों आंकड़े एक दूसरे के अनुरूप हों। वास्तविक स्थान - वास्तविक स्थान; चरण स्थान - चरण स्थान; संवेग की गति; स्थिति - स्थिति (स्थिति)।

एक प्रणाली का एक विशिष्ट उदाहरण जिसमें सरल हार्मोनिक गति होती है, एक आदर्श द्रव्यमान-वसंत प्रणाली है जिसमें एक द्रव्यमान वसंत से जुड़ा होता है। यदि स्प्रिंग को संपीडित नहीं किया जाता है और बढ़ाया नहीं जाता है, तो कोई भी परिवर्तनशील बल भार पर कार्य नहीं करता है, और भार यांत्रिक संतुलन की स्थिति में होता है। हालांकि, यदि भार को संतुलन की स्थिति से हटा दिया जाता है, तो वसंत विकृत हो जाता है, और एक बल उसकी तरफ से भार पर कार्य करेगा, जो भार को संतुलन की स्थिति में वापस कर देगा। लोड-स्प्रिंग सिस्टम के मामले में, ऐसा बल स्प्रिंग का लोचदार बल होता है, जो हुक के नियम का पालन करता है:

एफ = − कएक्स, एफ- बहाल बल एक्स- भार की गति (वसंत विरूपण), क- वसंत की कठोरता का गुणांक।

कोई भी प्रणाली जिसमें सरल हार्मोनिक गति होती है, उसके दो प्रमुख गुण होते हैं:

1. जब एक प्रणाली संतुलन से बाहर होती है, तो सिस्टम को वापस संतुलन में लाने के लिए एक पुनर्स्थापना बल होना चाहिए।
2. प्रत्यानयन बल विस्थापन के बिल्कुल समानुपाती या लगभग समानुपाती होना चाहिए।

भार-वसंत प्रणाली इन दोनों स्थितियों को संतुष्ट करती है।

एक बार जब विस्थापित भार एक पुनर्स्थापना बल की कार्रवाई के अधीन हो जाता है, तो उसे तेज कर देता है, और प्रारंभिक बिंदु पर लौटने की प्रवृत्ति होती है, अर्थात संतुलन की स्थिति में। जैसे-जैसे भार संतुलन की स्थिति के करीब पहुंचता है, पुनर्स्थापना बल कम हो जाता है और शून्य हो जाता है। हालांकि, स्थिति में एक्स= 0 भार में एक निश्चित मात्रा में गति (गति) होती है, जो पुनर्स्थापना बल की क्रिया के कारण प्राप्त होती है। इसलिए, भार संतुलन की स्थिति को छोड़ देता है, वसंत को फिर से विकृत करना शुरू कर देता है (लेकिन विपरीत दिशा में)। गति शून्य होने तक पुनर्स्थापना बल इसे धीमा कर देगा; और बल फिर से भार को उसकी संतुलन स्थिति में लौटाने का प्रयास करेगा।

जब तक सिस्टम में कोई ऊर्जा हानि नहीं होती है, ऊपर वर्णित अनुसार लोड दोलन करेगा; ऐसे आंदोलन को आवधिक कहा जाता है।

आगे के विश्लेषण से पता चलेगा कि द्रव्यमान-वसंत प्रणाली के मामले में, गति सरल हार्मोनिक है।

1.1.1.1. सरल हार्मोनिक गति की गतिशीलता

एक आयामी अंतरिक्ष में एक दोलन के लिए, न्यूटन का दूसरा नियम दिया गया है ( एफ = एमदो एक्स/डी टी² ) और हुक का नियम ( एफ = −केएक्स, जैसा कि ऊपर वर्णित है), हमारे पास एक दूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण है:

एमशरीर का द्रव्यमान है एक्स- संतुलन की स्थिति के सापेक्ष इसका विस्थापन, क- स्थिर (वसंत कठोरता कारक)।

इस अंतर समीकरण का समाधान साइनसॉइडल है; एक समाधान यह है:

कहाँ पे ए, ω , तथा φ स्थिरांक हैं, और संतुलन की स्थिति को प्रारंभिक के रूप में लिया जाता है। इनमें से प्रत्येक स्थिरांक गति की एक महत्वपूर्ण भौतिक संपत्ति का प्रतिनिधित्व करता है: एआयाम है ω = 2π एफवृत्ताकार आवृत्ति है, और φ - पहला भाग।

हार्मोनिक थरथरानवाला की स्थिति, वेग और त्वरण

समय के एक फलन के रूप में अंतर कलन, गति और त्वरण के तरीकों का उपयोग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

चरण तल पर सरल आवर्त गति की स्थिति, वेग और त्वरण

त्वरण को विस्थापन के फलन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

क्यों कि एमए = −मी² एक्स = −केएक्स , फिर

मान लें कि ω = 2π एफ, हम पाते हैं

और क्योंकि टी = 1/एफ, जहाँ T दोलन काल है, तब

ये सूत्र बताते हैं कि अवधि और आवृत्ति आंदोलन के आयाम और प्रारंभिक चरण पर निर्भर नहीं करती है।

1.1.1.2. सरल आवर्त गति की ऊर्जा

गतिज ऊर्जा कसमय के एक समारोह के रूप में सिस्टम टीहै:

और संभावित ऊर्जा है

हालाँकि, सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा का एक स्थिर मूल्य होता है

1.1.1.3. उदाहरण

एक अविरल द्रव्यमान-वसंत प्रणाली जिसमें सरल हार्मोनिक गति होती है।

सरल आवर्त गति को विभिन्न सरल भौतिक प्रणालियों में दर्शाया जाता है और कुछ उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

1.1.1.3.1. वसंत पर वजन

वज़न एमनिरंतर कठोरता के वसंत से जुड़ा हुआ कअंतरिक्ष में सरल हार्मोनिक गति का एक उदाहरण है। सूत्र

दर्शाता है कि दोलन अवधि आयाम और गुरुत्वाकर्षण त्वरण पर निर्भर नहीं करती है।

1.1.1.3.2. यूनिवर्सल सर्कुलर मोशन

सरल हार्मोनिक गति को कुछ मामलों में सार्वभौमिक परिपत्र गति के एक आयामी प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है। यदि कोई वस्तु कोणीय वेग से गति कर रही है ω त्रिज्या की परिधि के चारों ओर आर, जिसका केंद्र विमान की उत्पत्ति है एक्स-आप, तो प्रत्येक समन्वय अक्ष के साथ ऐसी गति आयाम के साथ सरल हार्मोनिक है आरऔर वृत्ताकार आवृत्ति ω .

1.1.1.3.3। एक साधारण पेंडुलम के रूप में वजन

यदि दोलन का आयाम छड़ की लंबाई की तुलना में बहुत छोटा हो तो बिना अवमंदन के एक लोलक की गति को लगभग एक साधारण आवर्त गति के रूप में माना जा सकता है।

छोटे कोणों के सन्निकटन में, एक साधारण लोलक की गति सरल आवर्त के निकट होती है। लंबाई की एक छड़ से जुड़े ऐसे लोलक के दोलन की अवधि ℓ मुक्त गिरावट त्वरण के साथ जीसूत्र द्वारा दिया जाता है

इससे पता चलता है कि दोलन की अवधि पेंडुलम के आयाम और द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है, बल्कि मुक्त गिरावट त्वरण पर निर्भर करती है जी, इसलिए, पेंडुलम की समान लंबाई के साथ, चंद्रमा पर यह अधिक धीरे-धीरे घूमेगा, क्योंकि वहां गुरुत्वाकर्षण कमजोर है और मुक्त गिरावट त्वरण का मूल्य कम है।

निर्दिष्ट सन्निकटन केवल छोटे कोणों पर ही सही है, क्योंकि कोणीय त्वरण के लिए व्यंजक निर्देशांक की ज्या के समानुपाती होता है:

मैं- निष्क्रियता के पल; इस मामले में मैं = मी 2 .

जो कोणीय त्वरण को कोण के समानुपाती बनाता है θ , और यह सरल हार्मोनिक गति की परिभाषा को संतुष्ट करता है।

1.2. नम हार्मोनिक थरथरानवाला

उसी मॉडल को आधार के रूप में लेते हुए, हम इसमें चिपचिपा घर्षण बल जोड़ते हैं। श्यान घर्षण बल माध्यम के सापेक्ष भार की गति की गति के विरुद्ध निर्देशित होता है और इस गति के समानुपाती होता है। तब भार पर कार्य करने वाला कुल बल इस प्रकार लिखा जाता है:

इसी तरह की क्रियाओं को करते हुए, हम एक अवमंदित थरथरानवाला का वर्णन करते हुए एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं:

संकेतन यहां पेश किया गया है:। गुणांक को अवमंदन स्थिरांक कहा जाता है। इसमें आवृत्ति का आयाम भी है।

समाधान तीन मामलों में आता है।

• कम घर्षण पर (γ< ω 0 ) общее решение записывается в виде:

, मुक्त दोलनों की आवृत्ति कहाँ है।

• अवमंदन = 0 कहलाता है नाजुक. भिगोना सूचकांक के इस मूल्य से शुरू होकर, थरथरानवाला तथाकथित गैर-दोलन करेगा। सीमा मामले में, कानून के अनुसार गति होती है:

• मजबूत घर्षण > ω 0 के लिए, समाधान इस तरह दिखता है:

, कहाँ पे

क्रिटिकल डम्पिंग इस तथ्य के लिए उल्लेखनीय है कि यह क्रिटिकल डंपिंग के दौरान होता है कि ऑसिलेटर सबसे तेजी से संतुलन की स्थिति में जाता है। यदि घर्षण महत्वपूर्ण से कम है, तो यह तेजी से संतुलन की स्थिति में पहुंच जाएगा, हालांकि, यह जड़ता से "फिसल जाएगा", और दोलन करेगा। यदि घर्षण क्रांतिक से अधिक है, तो थरथरानवाला तेजी से संतुलन की स्थिति में आ जाएगा, लेकिन जितना धीमा होगा, घर्षण उतना ही अधिक होगा।

इसलिए, डायल गेज में (उदाहरण के लिए, एमीटर में), वे आमतौर पर इसके रीडिंग को जल्द से जल्द पढ़ने के लिए सटीक रूप से महत्वपूर्ण क्षीणन को पेश करने का प्रयास करते हैं।

एक थरथरानवाला की भिगोना भी अक्सर एक आयाम रहित पैरामीटर द्वारा विशेषता होती है जिसे गुणवत्ता कारक कहा जाता है। गुणवत्ता कारक आमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है क्यू. परिभाषा के अनुसार, गुणवत्ता कारक है:

गुणवत्ता कारक जितना अधिक होगा, थरथरानवाला क्षय के दोलनों को धीमा कर देगा।

महत्वपूर्ण भिगोना वाले एक थरथरानवाला में 0.5 का गुणवत्ता कारक होता है। तदनुसार, गुणवत्ता कारक थरथरानवाला के व्यवहार की प्रकृति को इंगित करता है। यदि गुणवत्ता कारक 0.5 से अधिक है, तो थरथरानवाला का मुक्त संचलन एक दोलन है; समय के साथ, यह संतुलन की स्थिति को असीमित संख्या में पार कर जाएगा। 0.5 से कम या उसके बराबर एक गुणवत्ता कारक थरथरानवाला के गैर-ऑसिलेटरी आंदोलन से मेल खाता है; मुक्त गति में, यह एक बार में संतुलन की स्थिति को पार कर जाएगा।

गुणवत्ता कारक को कभी-कभी थरथरानवाला का लाभ कहा जाता है, क्योंकि उत्तेजना के कुछ तरीकों के साथ, जब उत्तेजना आवृत्ति गुंजयमान आयाम के साथ मेल खाती है, तो दोलन आयाम लगभग हो जाता है क्यूकम आवृत्ति पर उत्तेजित होने की तुलना में कई गुना अधिक।

इसके अलावा, गुणवत्ता कारक दोलन चक्रों की संख्या के लगभग बराबर है, जिसके दौरान दोलन आयाम कम हो जाता है इबार से गुणा किया जाता है।

ऑसिलेटरी गति के मामले में, क्षीणन को भी इस तरह के मापदंडों की विशेषता है:

• जीवन कालझिझक, यह क्षय समय, यह है आराम का समय. τ वह समय है जिसके दौरान दोलन आयाम कम हो जाएगा इएक बार।

= 1 / इस समय को दोलनों के अवमंदन (समाप्ति) के लिए आवश्यक समय माना जाता है (हालाँकि औपचारिक रूप से मुक्त दोलन अनिश्चित काल तक जारी रहते हैं)।

2. मजबूर कंपन

मुख्य लेख: जबरन कंपन

एक थरथरानवाला के दोलनों को मजबूर कहा जाता है जब उस पर कुछ अतिरिक्त बाहरी प्रभाव डाला जाता है। यह प्रभाव विभिन्न तरीकों से और विभिन्न कानूनों के अनुसार उत्पन्न किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बल उत्तेजना एक बल द्वारा भार पर प्रभाव है जो एक निश्चित कानून के अनुसार केवल समय पर निर्भर करता है। गतिज उत्तेजना किसी दिए गए नियम के अनुसार स्प्रिंग फिक्सिंग पॉइंट की गति द्वारा थरथरानवाला पर होने वाली क्रिया है। घर्षण का प्रभाव भी संभव है - यह तब होता है, उदाहरण के लिए, जिस माध्यम से भार घर्षण का अनुभव करता है वह किसी दिए गए कानून के अनुसार चलता है।

साहित्य

बुटिकोव ईआई एक रैखिक थरथरानवाला के प्राकृतिक दोलन। ट्यूटोरियल

टिप्पणियाँ

सरल संबंध, सरल क्षेत्र, सरल वाक्य, अभाज्य संख्या।

प्रतिलिपि

1 IV भौतिकी पर Yakovlev सामग्री MathUs.ru हार्मोनिक गति पत्रक समस्याओं को हल करने से पहले, लेख "यांत्रिक कंपन" दोहराया जाना चाहिए, जिसमें सभी आवश्यक सिद्धांत कहा गया है। हार्मोनिक गति के साथ, शरीर का समन्वय साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदलता है। उदाहरण के लिए, यदि x = A sin t, तो वेग का प्रक्षेपण और त्वरण का प्रक्षेपण v x = = Aω cos t, a x = v x = = Aω sin t है। टास्क 1. ("स्पैरो हिल्स पर विजय प्राप्त करें!", 014,) M द्रव्यमान वाले दो पिंड और एक स्प्रिंग द्वारा जुड़े हुए हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। शरीर आवृत्ति और आयाम A के साथ ऊर्ध्वाधर के साथ हार्मोनिक कंपन करता है। वसंत भारहीन होता है। तालिका के तल पर सबसे बड़े F1 और सिस्टम दबाव के सबसे छोटे F बलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। मुक्त गिरावट त्वरण g है। F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω (M +)g > Aω समस्या के लिए। (Vseross., 006, final, 9) द्रव्यमान M की एक छड़, जो एक क्षैतिज मेज पर टिकी हुई है, और एक स्प्रिंग लोलक, जिसमें द्रव्यमान का भार और एक हल्का लंबा स्प्रिंग होता है, एक आदर्श पर फेंके गए एक हल्के अविनाशी धागे से जुड़े होते हैं। अचल ब्लॉक (आंकड़ा देखें)। बार के आधार और तालिका की सतह के बीच घर्षण का गुणांक = 0.3। बार के द्रव्यमान का भार के द्रव्यमान का अनुपात M/ = 8 है। भार T = 0.5 s की अवधि के साथ ऊर्ध्वाधर दोलन करता है। ऐसे दोलनों का अधिकतम संभव आयाम A क्या है जिस पर वे हार्मोनिक रहते हैं? ए () µm 1 gt 4pi = 8.8 सेमी, A gt 4π = 6.3 सेमी; इस प्रकार, ए = 6.3 सेमी समस्या 3. लोलक हार्मोनिक दोलन करता है। दोलन की अवधि के किस अंश के दौरान पेंडुलम को संतुलन की स्थिति से आधे से अधिक आयाम से हटा दिया जाता है? 1/3 समस्या 4. (MIPT, 006) एक लोचदार स्प्रिंग पर लटकी हुई गेंद, अवधि T और आयाम A के साथ लंबवत रूप से दोलन करती है। गेंद का द्रव्यमान स्प्रिंग के द्रव्यमान से बहुत अधिक होता है। 1) गेंद v की अधिकतम गति (मॉड्यूलो) ज्ञात कीजिए। गेंद का त्वरण (मॉड्यूलो) उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी गति (मॉड्यूलो) v / 3 के बराबर हो। 1) वी = πए टी;) ए = 8 π ए 3 टी 1

2 समस्या 5. (MIPT, 1996) स्प्रिंग तुला के भार वाला एक कप विरामावस्था में है। एक और भार कप पर रखा गया था। कप के दोलनों का आयाम ज्ञात कीजिए। स्प्रिंग में कठोरता। A = g समस्या 6. (MIPT, 1996) एक स्प्रिंग छत से मजबूती से जुड़ा हुआ है और एक बार एक द्रव्यमान द्वारा (आकृति देखें)। बार स्टैंड पर स्थित है ताकि स्प्रिंग की धुरी लंबवत हो और स्प्रिंग को मान L द्वारा संकुचित किया जाए। स्टैंड को जल्दी से हटा दिया जाता है। बार के कंपनों का आयाम ज्ञात कीजिए। ए = एल + जी धागे को जलाने के बाद, ऊपरी भार आयाम A के साथ दोलन करने लगा। निचले भार का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए। = एजी समस्या 8. (एमआईपीटी, 1996) एक वजन को एक ब्लॉक पर फेंके गए धागे से दूसरे वजन से बांधा जाता है, जो दीवार से जुड़ी एक स्प्रिंग द्वारा एक चिकनी क्षैतिज मेज पर रखा जाता है (आकृति देखें)। धागे को जला दिया जाता है, और मेज पर भार आयाम ए के साथ दोलन करना शुरू कर देता है। वसंत की कठोरता का पता लगाएं। = जी ए समस्या 9. (एमआईपीटी, 199) कुल द्रव्यमान के साथ दो भार = 1 किलो, एक लोचदार वसंत से कठोरता के साथ जुड़ा हुआ = 100 एन/एम, एक धागे पर लटका (आंकड़ा देखें)। उन सभी संभावित दूरियों का पता लगाएं, जिनके लिए निचले वजन को लंबवत रूप से नीचे खींचा जाना चाहिए और फिर छोड़ा जाना चाहिए ताकि इसके बाद के दोलनों के दौरान ऊपरी वजन गतिहीन रहे। ए जी 10 सेमी समस्या 10. (एमआईपीटी, 199) कुल द्रव्यमान वाले दो वजन = 1 किलो, एक धागे से जुड़े, एक लोचदार वसंत पर एक कठोरता के साथ लटका = 100 एन/एम (आकृति देखें)। उन सभी संभावित दूरियों का पता लगाएं, जिन तक बाटों को लंबवत नीचे की ओर खींचा जाना चाहिए और फिर छोड़ा जाना चाहिए ताकि बाटों के बाद के कंपन के दौरान धागा शिथिल न हो। A g 10 cm समस्या 11. (MIPT, 199) एक बोर्ड जिसके ऊपर एक छड़ पड़ी है, एक मेज के चिकने क्षैतिज पृष्ठ पर रखा गया है (चित्र देखें)। ब्लॉक बोर्ड से पांच गुना भारी है। सिस्टम बार से जुड़े स्प्रिंग की क्रिया के तहत टेबल की सतह के साथ आयाम A = 8 सेमी और अवधि T = 0.8 s के साथ दोलन करता है। कंपन के दौरान बोर्ड और बार एक दूसरे के सापेक्ष गतिहीन होते हैं। बोर्ड और बार के बीच घर्षण के गुणांक के किन मूल्यों पर ऐसे दोलन संभव हैं? 4π ए जीटी एम 0.1

3 समस्या 1. (एमआईपीटी, 199) एक बोर्ड जिसके ऊपर एक बार पड़ा है, मेज की एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है (आकृति देखें)। प्रणाली एक अवधि T = 1 और अधिकतम वेग v = 0.5 m/s के साथ एक सीधी रेखा के साथ एक लोचदार वसंत की क्रिया के तहत दोलन करती है। इस मामले में, बोर्ड और बार एक दूसरे के सापेक्ष गतिहीन होते हैं। बोर्ड और बार के बीच फिसलने वाले घर्षण के गुणांक के किन मूल्यों पर ऐसे दोलन संभव हैं? टी वी जी 0.3 समस्या 13. (एमआईपीटी, 005) क्षितिज α के झुकाव के कोण के साथ एक चिकनी झुकाव वाले विमान पर, द्रव्यमान का एक वॉशर और द्रव्यमान का एक बार 3 आयाम के साथ एक सीधी रेखा के साथ एक इकाई के रूप में दोलन करता है बार से जुड़ी कठोरता के साथ वसंत की क्रिया (देखें। चित्र)। वॉशर और बार के बीच फिसलने वाले घर्षण के किस न्यूनतम गुणांक पर ऐसे दोलन संभव हैं? 3 α µin = tg α + A 4g cos α चित्र देखें)। बार और बोर्ड के बीच फिसलने वाले घर्षण का गुणांक है। दोलनों के किस अधिकतम आयाम पर ऐसे दोलन संभव हैं? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) समस्या 15. (MIPT, 007) द्रव्यमान का एक खंड एक लोचदार स्प्रिंग की क्रिया के तहत एक चिकनी क्षैतिज तालिका की सतह पर एक सीधी रेखा के साथ आयाम A 0 के साथ दोलन करता है। उस समय जब संतुलन की स्थिति से बार का विस्थापन A 0 / 3 था, एक द्रव्यमान के साथ प्लास्टिसिन का एक टुकड़ा उस पर गिर गया और प्रभाव से पहले लंबवत गति से चिपक गया। प्रभाव समय दोलन अवधि की तुलना में बहुत कम है, और प्रभाव के दौरान बार टेबल से बाहर नहीं आता है। 1) दोलन की अवधि कैसे और कितनी बार बदली है?) प्लास्टिसिन चिपकाने के बाद बार के दोलन के आयाम का पता लगाएं। 1) टी टी0 = 3;) ए = 17 7 ए 0 नए कार्गो का द्रव्यमान मूल से तीन गुना था। 1) परिणामी दोलनों के दौरान अधिकतम त्वरण a ax का मान कितनी बार मुक्त पतन त्वरण g से भिन्न होता है?) उस समय भार किस परिमाण के साथ गति करता है जब इसकी गतिज ऊर्जा T = 3यू 0 होती है? दोलनों की भिगोना पर ध्यान न दें। 1) aax = g 3;) a = 1 3 g 3

4 समस्या 17. (MIPT, 003) एक गेंद गुरुत्वीय क्षेत्र g में एक स्प्रिंग पर लटकती है। संतुलन की स्थिति में, वसंत ने यू 0 के बराबर ऊर्जा संग्रहीत की है। गेंद को नीचे खींचा जाता है ताकि ऊर्जा यू 1 \u003d 9यू 0 /4 वसंत में संग्रहीत हो, और फिर जारी हो। 1) अधिकतम त्वरण a कुल्हाड़ी का मान क्या है जिसके परिणामस्वरूप ऊर्ध्वाधर दोलनों के दौरान गेंद चलती है?) उस समय गेंद की गति की गतिज ऊर्जा T क्या होती है जब इसका त्वरण a = a ax / होता है? दोलनों की भिगोना पर ध्यान न दें। 1) aax = g;) T = 3 16 U 0 समस्या 18. (MIPT, 000) गेंदें एक सीधी क्षैतिज स्पोक पर लगाई जाती हैं और बिना घर्षण के इसके साथ-साथ खिसक सकती हैं (चित्र देखें)। एक हल्का स्प्रिंग गेंद से द्रव्यमान द्वारा जुड़ा हुआ है, और यह आराम पर है। द्रव्यमान की एक गेंद v की गति से चलती है। गेंदों की त्रिज्या वसंत की लंबाई से बहुत कम है। 1) वसंत से अलग होने के बाद गेंद के द्रव्यमान की गति निर्धारित करें।) वसंत के साथ गेंद के द्रव्यमान का संपर्क समय निर्धारित करें। v 1) v1 = v 3;) t = T = π 3 समस्या 19. (MIPT, 000) द्रव्यमान की दो छड़ें v 3 और 3, एक धागे से जुड़ी हुई हैं, एक स्थिर गति v के साथ एक चिकनी क्षैतिज तालिका की सतह के साथ चलती हैं। सलाखों के बीच कठोरता के साथ एक स्प्रिंग होता है, जो x 0 द्वारा संकुचित होता है (चित्र देखें)। वसंत केवल द्रव्यमान द्वारा बार से जुड़ा होता है। धागे की लंबाई की तुलना में सलाखों के आयाम छोटे होते हैं, वसंत के द्रव्यमान की उपेक्षा की जाती है, सलाखों की गति धागे के साथ निर्देशित होती है। आंदोलन के दौरान, धागा टूट जाता है, और बार धागे की प्रारंभिक दिशा के साथ अलग हो जाते हैं। 1) वसंत से अलग होने के बाद द्रव्यमान 3 की छड़ की गति ज्ञात कीजिए।) वसंत और द्रव्यमान 3 की छड़ के बीच संपर्क का समय ज्ञात कीजिए, जिस क्षण से धागा टूटता है। 1) वी = वी + एक्स 0 3;) टी = 4 3 समस्या 0. (एमआईपीटी, 1999) द्रव्यमान का एक छोटा खंड एक कठोर फ्रेम के अंदर एक चिकनी मेज पर स्थित है। फ्रेम की लंबाई एल, वजन है। एक हल्की छड़ और एक स्प्रिंग की मदद से, बार को एक निश्चित समर्थन से मजबूती से जोड़ा जाता है (आकृति देखें)। बार को फ्रेम के विपरीत दिशा में ले जाया जाता है और छोड़ा जाता है। लोचदार टकराव के परिणामस्वरूप, बार और फ्रेम आवधिक गति करते हैं। 1) पहली बार बार से टकराने के तुरंत बाद फ्रेम की गति ज्ञात कीजिए।) बार के दोलन की अवधि ज्ञात कीजिए। 1) वी = एल;) टी = (π + 1) 4

5 समस्या 1. (एमआईपीटी, 1999) द्रव्यमान का एक छोटा सा ब्लॉक लंबाई L और द्रव्यमान के एक कठोर फ्रेम के अंदर एक चिकनी मेज पर स्थित होता है। एक हल्की छड़ और एक स्प्रिंग की मदद से बार को एक निश्चित समर्थन 1 (आकृति देखें) से मजबूती से जोड़ा जाता है। फ्रेम एक स्प्रिंग द्वारा एक निश्चित समर्थन से मजबूती से जुड़ा हुआ है। प्रारंभिक स्थिति में, बार ने फ्रेम के बाईं ओर छुआ, और स्प्रिंग्स विकृत नहीं थे। फ़्रेम को बाईं ओर ले जाया जाता है, जब तक कि बार फ़्रेम की दाहिनी दीवार को स्पर्श नहीं करता है, और छोड़ दिया जाता है। लोचदार टकराव के परिणामस्वरूप, बार और फ्रेम आवधिक गति करते हैं। 1) फ्रेम के साथ पहली टक्कर के तुरंत बाद बार की गति का पता लगाएं।) फ्रेम की दोलन अवधि का पता लगाएं। 1) वी = एल;) टी = π समस्या। (MIPT, 1997) धनात्मक आवेश q के साथ द्रव्यमान की एक छोटी गेंद एक बड़ी गैर-प्रवाहकीय प्लेट P के पास एक लंबे अविभाज्य धागे पर लटकी हुई है (चित्र देखें)। गेंद के छोटे दोलनों की अवधि निर्धारित करें जब प्लेट पर सतह घनत्व के साथ एक ऋणात्मक आवेश होता है, यदि यह ज्ञात है कि इस आवेश की अनुपस्थिति में गेंद के दोलनों की अवधि T 0 के बराबर है। त्वरण पर विचार करें गुरुत्वाकर्षण का दिया जाना है और g के बराबर है। T = T0 1+ σg ε 0 g समस्या 3. (MIPT, 1997) एक चिकनी आंतरिक सतह वाला एक पतली दीवार वाला बेलन क्षैतिज रूप से स्थित गैर-प्रवाहकीय प्लेट P पर गतिहीन रहता है (चित्र देखें)। प्लेट के आयाम (क्षैतिज तल में) सिलेंडर के आयामों से काफी बड़े होते हैं। यह ज्ञात है कि प्लेट के सतह आवेशों के एक निश्चित धनात्मक घनत्व पर सिलेंडर के अंदर एक छोटी ऋणात्मक आवेशित गेंद की दोलन अवधि का अनुपात = 0 पर दोलन अवधि के बराबर है T x /T 0 = α . दिए गए अनुपात α, बॉल चार्ज q, इसका द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण त्वरण g को ध्यान में रखते हुए σ x निर्धारित करें। σx = ε 0(1 α)g α q समस्या 4. ("स्पैरो हिल्स पर विजय प्राप्त करें!", 015,) समकोण पर मुड़े हुए स्थिर क्रॉस सेक्शन की एक चिकनी ट्यूब की ऊर्ध्वाधर कोहनी एक तरल से भरी होती है जिसे हो सकता है लगभग आदर्श माना जाता है। इस कोहनी की ऊंचाई एल के बराबर है (और यह ट्यूब के अनुप्रस्थ आयाम से काफी बड़ी है), और एक क्षैतिज कोहनी में इसके आधान की अनुमति नहीं है क्योंकि प्रकाश प्लग गतिहीन है। कुछ बिंदु पर, कॉर्क को धीरे से छोड़ा जाता है। कॉर्क को ट्यूब से बाहर निकलने में कितना समय लगेगा? क्षैतिज कोहनी की लंबाई 3L/ है, सतह तनाव को नजरअंदाज कर दिया जाता है। टी = π+1 एल जी 5

6 कार्य 5. ("स्पैरो हिल्स पर विजय प्राप्त करें!", 014,) चित्र में दिखाई गई प्रणाली में, भार का द्रव्यमान 1 के बराबर होता है और, वसंत की कठोरता, ब्लॉक, धागा और वसंत हैं भारहीन, ब्लॉक बिना घर्षण के घूमते हैं, धागा ब्लॉकों पर स्लाइड नहीं करता है। संतुलन की स्थिति में, वसंत फैला हुआ है। लोड 1 को संतुलन की स्थिति से नीचे की ओर s दूरी से विस्थापित किया जाता है, जिसके बाद भार हार्मोनिक दोलन करता है। कम्पन करने वाले द्रव्यमानों के अधिकतम वेग ज्ञात कीजिए। v1 = s, v = v1/ प्रदान किया गया s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 समस्या 9. (एमएफओ, 016, 11) यह आंकड़ा एक यांत्रिक प्रणाली को दर्शाता है जिसमें एक भारहीन अटूट धागा छत से जुड़ी एक क्षैतिज अक्ष के साथ भारहीन ब्लॉक के माध्यम से फेंका जाता है। धागे के सिरों से जुड़े छोटे द्रव्यमान होते हैं और। भार एक क्षैतिज समर्थन पर है। भार लटक रहा है। एक दूसरा समान भार भारहीन आदर्श वसंत के माध्यम से भार से जुड़ा होता है, कठोरता के साथ, लंबवत स्थित होता है और एक छोटी लंबाई एल 0 होता है। प्रारंभिक क्षण में, वसंत विकृत नहीं होता है, और दूसरा भार भार के समान समर्थन पर होता है। शीर्ष भार से ब्लॉक तक की दूरी l 0 के बराबर है। धागे के मुक्त खंड जो ब्लॉक के चरखी पर नहीं होते हैं वे लंबवत होते हैं। समय t = 0 पर, समर्थन गायब हो जाता है (इसे जल्दी से नीचे की ओर हटा दिया जाता है)। कुछ समय बाद उसके बाद, एक बाट ने गुटके को छुआ। यह कार्गो क्या है? l 0 के किस मान पर अधिकतम समय है? का यह अधिकतम मान क्या है? कार्गो; ax = π 3 4 l 0 = g 7 . के लिए

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कार्गो के साथ दो नावों का द्रव्यमान M और M है। नावें समानांतर पाठ्यक्रमों में एक-दूसरे की ओर जाती हैं। जब नावें एक-दूसरे के विपरीत होती हैं, तो प्रत्येक नाव से एक थैला एक साथ दूसरी नाव पर फेंका जाता है।

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सी1.1. एक हल्के स्प्रिंग से जुड़े दो समान बार एक चिकनी क्षैतिज टेबल सतह पर आराम करते हैं। क्षण t = 0 पर, दायां ब्लॉक चलना शुरू हो जाता है ताकि समय x में यह अंतिम गति प्राप्त कर ले

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1.2.1. जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली। न्यूटन का पहला नियम। गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत 28(C1).1. बस स्टॉप पर एक बस यात्री ने से भरे हल्के गुब्बारे को बांध दिया

1 कीनेमेटीक्स 1 भौतिक बिंदु x अक्ष के साथ चलता है ताकि बिंदु का समय समन्वय x(0) B हो, x (t) V x खोजें प्रारंभिक क्षण में भौतिक बिंदु x अक्ष के साथ चलता है ताकि कुल्हाड़ी A x शुरुआत में

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216 वर्ष कक्षा 9 टिकट 9-1 1 द्रव्यमान के दो भार m और एक चिकनी क्षैतिज मेज पर स्थित एक धागे से जुड़े होते हैं और एक भारहीन ब्लॉक पर फेंके गए दूसरे धागे द्वारा द्रव्यमान 3m के भार से जुड़े होते हैं (चित्र देखें।) घर्षण द्वारा

यांत्रिकी 2013/14 में गणना कार्य (एनएमआई) के लिए कार्य 1. किनेमेटिक्स 1. एक पत्थर को 10 मीटर की ऊंचाई से 8 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। रखकर तीन संस्करणों में गति का समीकरण लिखिए

7.. द्रव्यमान m और लंबाई L की एक पतली सजातीय छड़ छड़ के ऊपरी सिरे से गुजरने वाली एक निश्चित क्षैतिज अक्ष O के चारों ओर घूम सकती है। रॉड के निचले सिरे से जुड़ा एक क्षैतिज का अंत है

समूह 12-ईयूएन विकल्प 1. 5.49। 1. ब्रेक लगाने पर 313 किग्रा द्रव्यमान वाली वस्तु एकसमान गति से चलती है। इसकी गति 42 सेकंड में 17 मीटर/सेकेंड से घटकर 2 मीटर/सेकेंड हो जाती है। ब्रेकिंग बल का पता लगाएं। 2. कार बंद

पाठ 7 संरक्षण कानून टास्क 1 यह आंकड़ा विभिन्न द्रव्यमानों की दो परस्पर क्रिया वाली गाड़ियों की गति में परिवर्तन के ग्राफ को दर्शाता है (एक गाड़ी पकड़ती है और दूसरी को धक्का देती है)। कार्ट के बारे में क्या जानकारी

2. अनुवाद की गति की गतिकी 134. एक स्थिर बल F = 10-2 N पिंड पर कार्य करता है। पिंड त्वरण के साथ गति करता है a = 0.5 m/s 2. पिंड का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए। 135. एक पिंड जिसका द्रव्यमान 250 ग्राम है त्वरण के साथ चलता है

2015(2)2.2(5) 1. एक स्प्रिंग द्वारा दीवार से जुड़ा एक भार खुरदरी सतह पर होता है। वसंत विकृत नहीं है। यदि भार को L की दूरी पर खींचा जाता है और छोड़ा जाता है, तो यह अपनी मूल स्थिति में रुक जाएगा,

स्थगित कार्य (88) गति से लंबवत ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद कुछ समय बाद पृथ्वी की सतह पर गिर गई। कौन सा ग्राफ गति के समय पर x-अक्ष पर गति के प्रक्षेपण की निर्भरता से मेल खाता है?

पृष्ठ 1 का 9 04/11/2016 21:29 एक विशाल बोर्ड को एक हल्की छड़ पर छत से मुख्य रूप से निलंबित कर दिया गया है। 0.2 किग्रा वजन की प्लास्टिसिन की एक गेंद 10 मीटर/सेकेंड की गति से एक बोर्ड से टकराती है और उससे चिपक जाती है। गेंद की गति पहले

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टिकट एन 5 टिकट एन 4 प्रश्न एन 1 द्रव्यमान के साथ दो बार एम 1 \u003d 10.0 किग्रा और मी 2 \u003d 8.0 किग्रा, एक हल्के अटूट धागे से जुड़ा हुआ है, झुकाव के कोण के साथ एक झुकाव वाले विमान के साथ स्लाइड करें \u003d 30। निर्धारित करें प्रणाली का त्वरण।

वर्ष 16 कक्षा 1 टिकट 1-1 1। एक चिकनी क्षैतिज मेज पर स्थित दो भार और 5, एक धागे से जुड़े होते हैं और भार से जुड़े होते हैं, एक भारहीन ब्लॉक पर फेंके गए दूसरे धागे के द्रव्यमान के साथ (अंजीर देखें।) . टकराव

"दोलन और लहरें" व्यक्तिगत कार्य 1. विकल्प 1. 1. गणितीय पेंडुलम की लंबाई को लंबाई के किस भाग से कम किया जाना चाहिए ताकि 10 किमी की ऊंचाई पर इसके दोलनों की अवधि इसकी अवधि के बराबर हो। दोलनों

सामान्य शिक्षा विषय "भौतिकी" वसंत में स्कूली बच्चों के लिए ओलंपियाड की शैक्षणिक प्रतियोगिता का दूसरा अंतिम चरण "भविष्य में कदम", 6 साल विकल्प 3 समस्या एक समान रूप से चलने वाला निकाय

विषय "यांत्रिकी" विषय पर भौतिकी में परीक्षा की तैयारी में विषयगत निदान कार्य दिसंबर 18, 2014 ग्रेड 10 विकल्प PHI00103 (90 मिनट) जिला। नगर (नगर)। स्कूल कक्षा उपनाम। नाम।

छात्र की समस्या पुस्तक izprtalru 6 रेक्टिलिनर गति की गतिशीलता जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में स्थिर द्रव्यमान के शरीर के लिए एक भौतिक बिंदु (न्यूटन का दूसरा नियम) की गतिशीलता के मूल समीकरण का रूप है

स्कूली बच्चों के लिए ओलंपियाड की शैक्षणिक प्रतियोगिता का दूसरा (अंतिम) चरण "भविष्य में कदम" सामान्य शिक्षा विषय "भौतिकी" वसंत, 6 y में

किसी कण की त्रिज्या-सदिश r के परिवर्तन का नियम ज्ञात है: r (t) b t। यहाँ t समय है, एक धनात्मक स्थिरांक है, b एक सदिश है, परिमाण और दिशा में स्थिर है। पथ s का पता लगाएं कि कण ने यात्रा की है

1. चाल से लंबवत ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद कुछ समय बाद पृथ्वी की सतह पर गिरती है। कौन सा ग्राफ गति के समय पर x-अक्ष पर गति के प्रक्षेपण की निर्भरता से मेल खाता है? OX अक्ष निर्देशित है

भौतिक विज्ञान। श्रेणी 9 प्रशिक्षण "जड़ता। न्यूटन के नियम। यांत्रिकी में बल » 1 जड़ता। न्यूटन के नियम। यांत्रिकी में बल विकल्प 1 1 एक धातु की छड़ को एक स्प्रिंग से लटकाया जाता है और पानी के साथ एक बर्तन में पूरी तरह से डुबोया जाता है,

मैकेनिक्स किरिलोव एएम, व्यायामशाला 44 के शिक्षक, सोची (http://kirillandrey72.narod.ru/) ।, खोरुज़ी वी.डी.

टिकट एन 5 टिकट एन 4 प्रश्न एन 1 2.0 किलो मीटर के द्रव्यमान के साथ एक शरीर पर एक क्षैतिज बल कार्य करना शुरू कर देता है, जिसका मापांक समय पर रैखिक रूप से निर्भर करता है: एफ टी, जहां 0.7 एन / एस। घर्षण गुणांक k 0.1. पल निर्धारित करें

समस्याओं का समाधान "यांत्रिक दोलन एक वसंत पेंडुलम के हार्मोनिक दोलनों के साथ, लोड का समन्वय समय के साथ बदलता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। अवधि T और दोलनों का आयाम A बराबर हैं

टिकट N 5 टिकट N 4 प्रश्न N 1 द्रव्यमान M 0 = 1 किग्रा और लंबाई l = 60 सेमी की एक पतली छड़ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर स्थित है। रॉड एक निश्चित ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकता है

IV याकोवलेव भौतिक विज्ञान पर सामग्री MathUs.ru आवेशों की ऊर्जा यदि बिंदु आवेश 1 और एक दूसरे से r दूरी पर हैं, तो उनकी परस्पर क्रिया की स्थितिज ऊर्जा W = k 1 के बराबर होती है। r स्थितिज ऊर्जा

I. V. Yakovlev भौतिक विज्ञान पर सामग्री MathUs.ru सामग्री घर्षण बल 1 भौतिकी में स्कूली बच्चों के लिए अखिल रूसी ओलंपियाड...................... 1 2 मास्को भौतिकी ओलंपियाड .................. 3 3 एमआईपीटी

भौतिकी में कार्य A22 1. यदि एक हल्के लोचदार वसंत से भार को निलंबित कर दिया जाता है, तो वसंत, संतुलन में होने के कारण, 10 सेमी तक बढ़ाया जाएगा। इस भार के मुक्त दोलनों की अवधि क्या होगी,

भौतिक विज्ञान। ग्रेड 11। प्रशिक्षण "प्रकृति में बल" 1 प्रकृति में बल प्रशिक्षण के लिए कार्य 1 1.5 किलो वजन का पानी एक कटे हुए शंकु के आकार वाले बर्तन में डाला जाता है (आंकड़ा देखें)। बर्तन के तल का क्षेत्रफल 100 सेमी 2 है,

गृहकार्य के लिए विकल्प हार्मोनिक दोलन और लहरें विकल्प 1. 1. चित्र a दोलन गति का एक ग्राफ दिखाता है। दोलन समीकरण x = असिन(ωt + α o)। प्रारंभिक चरण निर्धारित करें। एक्स ओ टी

IV Yakovlev सामग्री भौतिकी MathUs.ru इच्छुक विमान समस्या 1. द्रव्यमान का एक खंड झुकाव के कोण के साथ एक चिकनी झुकाव वाले विमान पर रखा जाता है और जारी किया जाता है। बार का त्वरण और बार द्वारा लगाए गए बल का पता लगाएं

सी1.1. धक्का देने के बाद, बर्फ चिकनी दीवारों वाले गड्ढे में लुढ़क गई, जिसमें यह लगभग बिना घर्षण के चल सकती है। यह आंकड़ा पृथ्वी के साथ एक बर्फ के तैरने की परस्पर क्रिया की ऊर्जा की निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है

छात्रों के स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य मॉड्यूल 6 "यांत्रिक कंपन" ... 3 विषय 1. हार्मोनिक कंपन की गतिज... 3 विषय 2. कंपन का जोड़ ... 8 विषय 3. हार्मोनिक कंपन की गतिशीलता ...

IV Yakovlev सामग्री भौतिकी पर MathUs.ru एक कठोर शरीर का घूर्णन समस्या 1. (एमआईपीटी, 2003)

"DYNAMICS" विषय पर नियंत्रण कार्य 1 (ए) 65 किलो वजन का एक पैराशूटिस्ट एक खुले पैराशूट के साथ उतरता है। स्थिर स्काइडाइवर की गति के मामले में वायु प्रतिरोध F c का बल क्या है? परिणाम क्या है

DZ 3.3 (01) 1. बिंदु A और B के बीच एक सीधी रेखा के साथ हार्मोनिक दोलन करता है। यह जानते हुए कि इसकी अधिकतम गति V m \u003d 10 m / s है, A से B के रास्ते में इसकी औसत गति ज्ञात करें। 2 चरण पर

दूरस्थ प्रशिक्षण अबितुरु भौतिकी लेख न्यूटन के नियम सैद्धांतिक सामग्री इस लेख में हम न्यूटन के नियमों को लागू करने के कार्यों पर विचार करेंगे

टिकट एन 10 टिकट एन 9 प्रश्न एन 1 जाइरोस्कोप निचले आधार के आसपास होता है। जाइरोस्कोप की जड़ता का क्षण I \u003d 0.2 किग्रा m 2 है, घूर्णन का कोणीय वेग 0 \u003d 1000 s -1 है, द्रव्यमान m \u003d 20 किग्रा, द्रव्यमान का केंद्र है

व्यक्तिगत गृहकार्य के लिए समस्याएँ 3 1. 40 सेमी त्रिज्या वाली एक समांगी डिस्क एक क्षैतिज अक्ष के परितः दोलन करती है जो एक निलंबन बिंदु से होकर गुजरती है और डिस्क की सतह के एक जेनरेटर से मेल खाती है।

समस्या समाधान के उदाहरण उदाहरण 1 एक भारहीन अविभाज्य धागा एक क्षैतिज अक्ष के चारों ओर घूमते हुए एक ब्लॉक के माध्यम से फेंका जाता है (चित्र 1 ए), जिसके सिरों तक वजन 1 और

6.1. द्रव्यमान M और त्रिज्या R का एक सजातीय सिलेंडर क्षैतिज अक्ष के चारों ओर घर्षण के बिना घूम सकता है। बेलन के चारों ओर एक धागा लपेटा जाता है, जिसके सिरे पर m द्रव्यमान का भार जुड़ा होता है। गतिज ऊर्जा की निर्भरता का पता लगाएं

I. V. Yakovlev सामग्री भौतिकी पर MathUs.ru ओलंपियाड "फिजटेक" भौतिकी में ग्रेड 11, ऑनलाइन चरण, 2013/14

I. V. Yakovlev भौतिकी सामग्री MathUs.ru रूढ़िवादी प्रणाली निकायों की एक प्रणाली को रूढ़िवादी कहा जाता है यदि इसके लिए यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कानून को संतुष्ट किया जाता है: K + W = const, जहां K गतिज है

ग्रेड 10। राउंड 1 1. टास्क 1 यदि क्षैतिज रूप से निर्देशित 15 N के बल के साथ 0.5 किग्रा वजन वाली बार को खुरदरी खड़ी दीवार के खिलाफ दबाया जाता है, तो यह समान रूप से नीचे की ओर खिसकेगी। किस मोडुलो त्वरण के साथ होगा

1.2.1. जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली। न्यूटन का पहला नियम। गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत 27.1. बस स्टॉप पर एक बस यात्री ने हीलियम से भरे एक हल्के गुब्बारे को एक धागे से सीट के हैंडल से बांध दिया।

स्टैटिक्स लीवर 1. दो कप असमान पैमाने पर संतुलित होते हैं। चश्मे के केंद्रों के बीच की दूरी l है। पानी का एक द्रव्यमान एक गिलास से लिया गया और दूसरे में डाला गया। यदि उसी समय शेष राशि का समर्थन ले जाया जाता है

कार्य #1 "यांत्रिक कंपन" विषय पर परीक्षण एक दोलनशील पिंड का समन्वय नियम के अनुसार बदलता है X=5ˑcos(/2)t (m)। दोलन आवृत्ति क्या है? सभी मात्राओं को SI मात्रकों में व्यक्त किया जाता है। 1) 2 हर्ट्ज। 2) 1/2

पाठ 3. गतिकी के मूल सिद्धांत। बल: गुरुत्वाकर्षण, प्रतिक्रियाएं, लोच विकल्प 3 ... कई बल 0 किलो के द्रव्यमान वाले शरीर पर कार्य करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप स्थिर और 5 एन के बराबर होता है। जड़त्वीय के सापेक्ष

1 विकल्प A1. प्रणाली में दो निकाय ए और बी होते हैं। आकृति में, दिए गए पैमाने पर तीर इन निकायों के गति को इंगित करते हैं। 1) 2.0 किग्रा मी/से 2) 3.6 किग्रा मी/से 3) 7.2 किग्रा मी/से 4) 10.0 किग्रा मी/से ए2। m द्रव्यमान का व्यक्ति कूद रहा है

1 आवेग। संवेग संरक्षण का नियम 1. किसी पिंड के संवेग की गणना के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है? 1) पी एम) पी एम 3) पी एम 4) पी फीट। शरीर की गति में क्या परिवर्तन होता है? 1) शरीर की गति में परिवर्तन) कार्य करने वाले बल का आवेग

गतिशील 008। ड्राइव बेल्ट और चरखी के बीच होने वाला बल जब यह चलता है तो बल A) तनाव का होता है। बी) घर्षण घर्षण। सी) रोलिंग घर्षण। डी) लोच। ई) स्थैतिक घर्षण .. तीन . का परिणाम

कार्य 1 यांत्रिकी पर गणना और ग्राफिक कार्य। 1 शरीर के कुछ आंदोलन के लिए समय पर त्वरण की निर्भरता को अंजीर में दिखाया गया है। पहले 8 सेकंड के लिए औसत जमीनी गति निर्धारित करें। प्रारंभिक गति

विकल्प 1 1. स्टील की छड़ x=1 मिमी लंबाई एल = 1 मीटर और क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र एस 1 सेमी 2 के बराबर फैलाने के लिए ए को क्या कार्य करने की आवश्यकता है? 2. कठोरता के साथ दो स्प्रिंग्स k 1 =0.3 kN/m और k 2

संरक्षण के नियम किसी पिंड का संवेग (भौतिक बिंदु) एक भौतिक सदिश राशि है जो शरीर के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर होती है। p = m υ [p] = kg m/s p बल का आवेग एक सदिश भौतिक मात्रा है,

समीकरण (21.2) के समाधान में कोसाइन से पता चलता है कि हार्मोनिक गति का वृत्तीय गति से कुछ लेना-देना है। यह तुलना, निश्चित रूप से, कृत्रिम है, क्योंकि एक रेखीय गति में एक वृत्त प्राप्त करने के लिए कहीं नहीं है: वजन सख्ती से ऊपर और नीचे चलता है। हम अपने आप को इस तथ्य से न्यायोचित ठहरा सकते हैं कि जब हमने एक वृत्त में गति के यांत्रिकी का अध्ययन किया तो हमने पहले ही हार्मोनिक गति के समीकरण को हल कर लिया है। यदि कोई कण वृत्त के अनुदिश नियत चाल से गति करता है, तो वृत्त के केंद्र से कण तक त्रिज्या सदिश एक ऐसे कोण से घूमता है जिसका परिमाण समय के समानुपाती होता है। आइए इस कोण को निरूपित करें (चित्र 21.2)। फिर . यह ज्ञात है कि त्वरण और केंद्र की ओर निर्देशित। किसी दिए गए क्षण में गतिमान बिंदु के निर्देशांक हैं

त्वरण के बारे में क्या कहा जा सकता है? त्वरण का घटक क्या है? यह मान विशुद्ध रूप से ज्यामितीय रूप से पाया जा सकता है: यह प्रक्षेपण कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए त्वरण मान के बराबर है; परिणामी अभिव्यक्ति से पहले, आपको ऋण चिह्न लगाना होगा, क्योंकि त्वरण केंद्र की ओर निर्देशित होता है:

दूसरे शब्दों में, जब कोई कण वृत्त में गति करता है, तो गति के क्षैतिज घटक का त्वरण केंद्र से क्षैतिज विस्थापन के समानुपाती होता है। बेशक, हम परिपत्र गति के मामले के समाधान जानते हैं:। समीकरण (21.7) में वृत्त की त्रिज्या नहीं है; यह किसी भी वृत्त के साथ समान रूप से चलते समय समान होता है।

अंजीर। 21.2. एक कण एक स्थिर गति से एक वृत्त में घूम रहा है।

इस प्रकार, ऐसे कई कारण हैं जिनकी हमें उम्मीद करनी चाहिए कि वसंत पर भार का विक्षेपण आनुपातिक होगा और आंदोलन ऐसा लगेगा जैसे हम कोणीय वेग के साथ एक वृत्त में घूम रहे एक कण के -निर्देशांक का अनुसरण कर रहे हैं। आप यह दिखाने के लिए एक प्रयोग स्थापित करके इसकी जांच कर सकते हैं कि स्प्रिंग पर किसी भार के ऊपर और नीचे की गति एक वृत्त के अनुदिश बिंदु की गति से बिल्कुल मेल खाती है। अंजीर में। 21.3 एक आर्क लैंप की रोशनी स्क्रीन पर एक घूर्णन डिस्क में फंसी सुई की छाया और एक लंबवत कंपन वजन के साथ-साथ चलती है। यदि आप वजन को समय पर और सही जगह से दोलन करते हैं, और फिर डिस्क की गति की गति को ध्यान से चुनें ताकि उनके आंदोलनों की आवृत्तियां मेल खा सकें, स्क्रीन पर छाया एक के बाद एक का पालन करेगी। यह सुनिश्चित करने का एक और तरीका है कि, एक संख्यात्मक समाधान ढूंढकर, हम लगभग कोसाइन के करीब आ गए हैं।

अंजीर। 21.3. सरल आवर्त गति और एकसमान वृत्तीय गति की तुल्यता का प्रदर्शन।

यहां इस बात पर जोर दिया जा सकता है कि चूंकि एक वृत्त के साथ एकसमान गति का गणित ऊपर और नीचे दोलन गति के गणित के समान है, यदि इस गति को एक वृत्त के साथ गति के प्रक्षेपण के रूप में दर्शाया जाता है, तो दोलन गति का विश्लेषण बहुत सरल हो जाएगा। . दूसरे शब्दों में, हम समीकरण (21.2) को पूरक कर सकते हैं, जो कि दोनों समीकरणों के लिए एक पूरी तरह से अनावश्यक समीकरण प्रतीत होता है और एक साथ विचार करता है। ऐसा करने के बाद, हम एक आयामी दोलनों को एक सर्कल में गति में कम कर देंगे, जो हमें एक अंतर समीकरण को हल करने से बचाएगा। आप एक और तरकीब कर सकते हैं - जटिल संख्याओं का परिचय दें, लेकिन अगले अध्याय में उस पर और अधिक।

समीकरण (21.2) के समाधान में कोसाइन से पता चलता है कि हार्मोनिक गति का वृत्तीय गति से कुछ लेना-देना है। यह तुलना, निश्चित रूप से, कृत्रिम है, क्योंकि एक रेखीय गति में एक वृत्त प्राप्त करने के लिए कहीं नहीं है: वजन सख्ती से ऊपर और नीचे चलता है। हम अपने आप को इस तथ्य से न्यायोचित ठहरा सकते हैं कि जब हमने एक वृत्त में गति के यांत्रिकी का अध्ययन किया तो हमने पहले ही हार्मोनिक गति के समीकरण को हल कर लिया है। यदि कोई कण एक वृत्त के अनुदिश एक नियत चाल v से गति करता है, तो वृत्त के केंद्र से कण तक त्रिज्या सदिश एक कोण से घूमता है, जिसका मान समय के समानुपाती होता है। आइए इस कोण को =vt/R निरूपित करें (चित्र 21.2)। तब dQθ/dt=ω 0 =v/R. यह ज्ञात है कि त्वरण a=v 2 /R = 2 0 R और केंद्र की ओर निर्देशित है। किसी दिए गए क्षण में गतिमान बिंदु के निर्देशांक हैं
एक्स = आर कॉस , वाई = आर पाप ।

त्वरण के बारे में क्या कहा जा सकता है? त्वरण का x-घटक, d 2 x/dt 2 क्या है? यह मान विशुद्ध रूप से ज्यामितीय रूप से पाया जा सकता है: यह प्रक्षेपण कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए त्वरण मान के बराबर है; परिणामी अभिव्यक्ति से पहले, आपको ऋण चिह्न लगाना होगा, क्योंकि त्वरण केंद्र की ओर निर्देशित होता है:

दूसरे शब्दों में, जब कोई कण वृत्त में गति करता है, तो गति के क्षैतिज घटक का त्वरण केंद्र से क्षैतिज विस्थापन के समानुपाती होता है। बेशक, हम परिपत्र गति के मामले के समाधान जानते हैं: x=R cos 0 t। समीकरण (21.7) में वृत्त की त्रिज्या नहीं है; यह समान ω 0 के लिए किसी वृत्त के अनुदिश चलते समय समान होता है। इस प्रकार, ऐसे कई कारण हैं जिनसे हमें यह उम्मीद करनी चाहिए कि वसंत पर भार का विक्षेपण cos 0 t के समानुपाती होगा और आंदोलन ऐसा लगेगा जैसे हम एक वृत्त में घूम रहे एक कण के x-निर्देशांक का अनुसरण कर रहे हैं। कोणीय वेग 0 । आप यह दिखाने के लिए एक प्रयोग स्थापित करके इसकी जांच कर सकते हैं कि स्प्रिंग पर भार का ऊपर और नीचे की गति वृत्त के अनुदिश बिंदु की गति से बिल्कुल मेल खाती है। अंजीर में। 21.3 एक आर्क लैंप की रोशनी स्क्रीन पर एक घूर्णन डिस्क में फंसी सुई की छाया और एक लंबवत कंपन वजन के साथ-साथ चलती है। यदि आप वजन को समय पर और सही जगह से दोलन करते हैं, और फिर डिस्क की गति की गति को ध्यान से चुनें ताकि उनके आंदोलनों की आवृत्तियां मेल खा सकें, स्क्रीन पर छाया एक के बाद एक का पालन करेगी। यह सुनिश्चित करने का एक और तरीका है कि, एक संख्यात्मक समाधान ढूंढकर, हम लगभग कोसाइन के करीब आ गए हैं।

यहां इस बात पर जोर दिया जा सकता है कि चूंकि एक वृत्त के साथ एकसमान गति का गणित ऊपर और नीचे दोलन गति के गणित के समान है, यदि इस गति को एक वृत्त के साथ गति के प्रक्षेपण के रूप में दर्शाया जाता है, तो दोलन गति का विश्लेषण बहुत सरल हो जाएगा। . दूसरे शब्दों में, हम समीकरण (21.2) को पूरक कर सकते हैं, जो कि y के लिए पूरी तरह से निरर्थक समीकरण प्रतीत होगा, और दोनों समीकरणों पर एक साथ विचार करें। ऐसा करने के बाद, हम एक आयामी दोलनों को एक सर्कल में गति में कम कर देंगे, जो हमें एक अंतर समीकरण को हल करने से बचाएगा। एक और तरकीब जो आप कर सकते हैं वह है सम्मिश्र संख्याओं का परिचय देना, लेकिन उस पर और अधिक अगले अध्याय में।