संख्यात्मक अनुक्रम VI

l48. एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग

अब तक, योगों की बात करें तो, हमने हमेशा माना है कि इन योगों में पदों की संख्या परिमित है (उदाहरण के लिए, 2, 15, 1000, आदि)। लेकिन कुछ समस्याओं (विशेष रूप से उच्च गणित) को हल करते समय, किसी को अनंत शब्दों के योग से निपटना पड़ता है

एस = ए 1 + ए 2 + ... + ए एन + ... . (1)

ये राशियाँ क्या हैं? ए-प्राथमिकता अनंत पदों का योग ए 1 , ए 2 , ..., ए एन , ... को योग S . की सीमा कहते हैं एन प्रथम पी नंबर जब पी -> ∞ :

एस = एस एन = (ए 1 + ए 2 + ... + ए एन ). (2)

सीमा (2), निश्चित रूप से, मौजूद हो भी सकती है और नहीं भी। तदनुसार, योग (1) को अस्तित्व में कहा जाता है या नहीं।

कैसे पता करें कि प्रत्येक विशेष मामले में योग (1) मौजूद है या नहीं? इस प्रश्न का एक सामान्य समाधान हमारे कार्यक्रम के दायरे से बहुत आगे निकल जाता है। हालांकि, एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है जिस पर हमें अभी विचार करना है। हम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के बारे में बात करेंगे।

रहने दो ए 1 , ए 1 क्यू , ए 1 क्यू 2 , ... एक अपरिमित रूप से घटती गुणोत्तर श्रेणी है। इसका मतलब है कि | क्यू |< 1. Сумма первых पी इस प्रगति के सदस्य बराबर हैं

चर की सीमा पर मूल प्रमेयों से (देखें 136) हम प्राप्त करते हैं:

लेकिन 1 = 1, ए क्यू नहीं = 0. इसलिए

तो, एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग इस प्रगति के पहले पद के बराबर होता है, जो इस प्रगति के हर के एक ऋण से विभाजित होता है।

1) गुणोत्तर श्रेणी 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... का योग है

और एक गुणोत्तर प्रगति का योग 12 है; -6; 3; - 3 / 2 , ... बराबर

2) एक साधारण आवर्त भिन्न 0.454545 ... एक साधारण अंश में बदल जाता है।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम इस भिन्न को अनंत योग के रूप में निरूपित करते हैं:

इस समानता का दाहिना भाग एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, जिसका पहला पद 45/100 है, और हर 1/100 है। इसलिए

वर्णित तरीके से, साधारण आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने का सामान्य नियम भी प्राप्त किया जा सकता है (अध्याय II, 38 देखें):

एक साधारण आवधिक अंश को एक साधारण में बदलने के लिए, आपको निम्नानुसार आगे बढ़ने की आवश्यकता है: दशमलव अंश की अवधि को अंश में रखें, और हर में - एक संख्या जिसमें नाइन शामिल हैं जितनी बार अवधि में अंक होते हैं दशमलव अंश का।

3) मिश्रित आवर्त भिन्न 0.58333 .... साधारण भिन्न में बदल जाते हैं।

आइए इस भिन्न को अनंत योग के रूप में निरूपित करें:

इस समानता के दाईं ओर, 3/1000 से शुरू होने वाले सभी पद, एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का निर्माण करते हैं, जिसका पहला पद 3/1000 है, और हर 1/10 है। इसलिए

वर्णित तरीके से मिश्रित आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने का सामान्य नियम भी प्राप्त किया जा सकता है (देखें अध्याय II, 38)। हम जानबूझकर इसे यहां शामिल नहीं करते हैं। इस बोझिल नियम को याद रखने की जरूरत नहीं है। यह जानना बहुत अधिक उपयोगी है कि किसी भी मिश्रित आवधिक अंश को एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति और कुछ संख्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और सूत्र

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए, निश्चित रूप से, याद रखना चाहिए।

एक अभ्यास के रूप में, हम आपको नीचे दी गई समस्या संख्या 995-1000 के अलावा, एक बार फिर समस्या संख्या 301 38 की ओर मुड़ने के लिए आमंत्रित करते हैं।

अभ्यास

995. अपरिमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग क्या कहलाता है?

996. अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात कीजिए:

997. किन मूल्यों के लिए एक्स प्रगति

असीम रूप से घट रहा है? ऐसी प्रगति का योग ज्ञात कीजिए।

998. एक समबाहु त्रिभुज में जिसकी एक भुजा है ए इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़कर एक नया त्रिभुज अंकित किया गया है; इस त्रिभुज में उसी तरह एक नया त्रिभुज अंकित किया गया है, और इसी तरह एड इनफिनिटम पर।

क) इन सभी त्रिभुजों के परिमापों का योग;

बी) उनके क्षेत्रों का योग।

999. एक भुजा वाले वर्ग में ए इसके किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़कर एक नया वर्ग अंकित किया गया है; इस वर्ग में उसी तरह एक वर्ग अंकित किया गया है, और इसी तरह एड इनफिनिटम पर। इन सभी वर्गों के परिमापों का योग और उनके क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए।

1000. एक असीम रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति करें, जैसे कि इसका योग 25/4 के बराबर हो, और इसके पदों के वर्गों का योग 625/24 के बराबर हो।

एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद गैर-शून्य है, और प्रत्येक अगला पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर है।

ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा

ज्यामितीय प्रगति को b1,b2,b3, …, bn,… द्वारा निरूपित किया जाता है।

ज्यामितीय त्रुटि के किसी भी पद का उसके पिछले पद से अनुपात समान संख्या के बराबर होता है, अर्थात b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/बीएन =…. यह सीधे एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा से आता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है। आमतौर पर एक ज्यामितीय प्रगति के हर को अक्षर q द्वारा दर्शाया जाता है।

|q| . के लिए अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग<1

ज्यामितीय प्रगति को सेट करने का एक तरीका यह है कि इसका पहला पद b1 और ज्यामितीय त्रुटि q का हर सेट किया जाए। उदाहरण के लिए, b1=4, q=-2. ये दो स्थितियां 4, -8, 16, -32, … की ज्यामितीय प्रगति देती हैं।

यदि q>0 (q 1 के बराबर नहीं है), तो प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम, 2, 4,8,16,32, ... एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ अनुक्रम है (b1=2, q=2)।

यदि ज्यामितीय त्रुटि में हर q=1 है, तो ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य एक दूसरे के बराबर होंगे। ऐसे मामलों में, प्रगति को एक निरंतर अनुक्रम कहा जाता है।

संख्यात्मक अनुक्रम (बीएन) के लिए एक ज्यामितीय प्रगति होने के लिए, यह आवश्यक है कि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पड़ोसी सदस्यों का ज्यामितीय माध्य हो। अर्थात् निम्नलिखित समीकरण को पूरा करना आवश्यक है
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), किसी भी n>0 के लिए, जहां n प्राकृत संख्या N के समुच्चय से संबंधित है।

अब हम (Xn) डालते हैं - एक ज्यामितीय प्रगति। ज्यामितीय प्रगति q का हर, |q|∞) के साथ।
यदि अब हम अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग को S से निरूपित करते हैं, तो निम्न सूत्र धारण करेगा:
एस=x1/(1-क्यू)।

एक साधारण उदाहरण पर विचार करें:

अनंत गुणोत्तर श्रेणी 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... का योग ज्ञात कीजिए।

एस को खोजने के लिए, हम एक अनंत अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा सदस्य , संख्या ए 3 — तीसरा आदि। संख्या एक बुलाया अनुक्रम का वां सदस्य , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों से एक और एक +1 सदस्य क्रम एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करनी होगी जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम सदस्य खोजने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम के साथ दिया जाता है nth टर्म फॉर्मूला , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

धनात्मक विषम संख्याओं का क्रम सूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

अनुक्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, अर्थात्, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

यदि एक एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तो संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को निम्नानुसार सेट किया जाता है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम यदि उसके सदस्यों की सीमित संख्या है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से कई सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

प्राइम नंबर अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घट , यदि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से कम है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . एक आरोही क्रम है;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . अवरोही क्रम है। ◄

एक अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ कम नहीं होते हैं, या, इसके विपरीत, नहीं बढ़ते हैं, कहलाते हैं नीरस अनुक्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें समान संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

एक समांतर श्रेणी है यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ पे डी - कुछ संख्या।

इस प्रकार, दी गई अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और अंतर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ एक अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसकी एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

एक अंकगणितीय प्रगति का तीसवां पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

एक=	एक एन-1 + एक एन+1
	2

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्या ए, बी और सी कुछ अंकगणितीय प्रगति के लगातार सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

एक एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इसलिये,

ए एन+1 + ए एन-1	=	2एन- 5 + 2एन- 9	= 2एन- 7 = एक,
2		2

◄

ध्यान दें कि एन -एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला एक को

एक = एक को + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-को + केडी,

एक = एक एन+के - केडी,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-को +ए एन+के
	2

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है, जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, जैसा

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस नहीं= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

प्रथम एन एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, पदों की संख्या के चरम पदों के योग के आधे के गुणनफल के बराबर होते हैं:

इससे, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि शर्तों को जोड़ना आवश्यक है

एक को, एक को +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना को बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक समांतर श्रेणी दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी नहीं, . . .

एक ज्यामितीय प्रगति है यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

बी नहीं +1 = बी नहीं · क्यू,

कहाँ पे क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या।

इस प्रकार, इस ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले एक से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी नहीं +1 / बी नहीं = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

ख 1 = 1,

बी 2 = ख 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

ख 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = ख 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसकी एन -वाँ पद सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

बी नहीं = बी 1 · क्यू नहीं -1 .

उदाहरण के लिए,

एक गुणोत्तर श्रेणी का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बटालियन -1 = ख 1 · क्यू नहीं -2 ,

बी नहीं = ख 1 · क्यू नहीं -1 ,

बी नहीं +1 = बी 1 · क्यू नहीं,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर होता है।

चूँकि विलोम भी सत्य है, निम्नलिखित अभिकथन मानता है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी नहीं= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी नहीं= -3 2 एन,

बी नहीं -1 = -3 2 एन -1 ,

बी नहीं +1 = -3 2 एन +1 .

इसलिये,

बी नहीं 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 .) एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

जो आवश्यक अभिकथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला पद बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = ख 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · क्यू 3,

ख 5 = ख 3 · क्यू2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क,

बी नहीं = बी नहीं - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं - क· बी नहीं + क

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, दूसरे से शुरू होकर, इस प्रगति के सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी नहीं= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ मैं.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , जैसा

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी नहीं

प्रथम एन एक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस नहीं= एन.बी. 1

ध्यान दें कि यदि हमें शर्तों का योग करना है

बी के, बी के +1 , . . . , बी नहीं,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एस नहीं- एस को -1 = बी के + बी के +1 + . . . + बी नहीं = बी के ·	1 - क्यू नहीं - क +1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी जाती है, तो मात्राएँ बी 1 , बी नहीं, क्यू, एनऔर एस नहीं दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित होता है एकरसता गुण :

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति घट रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

यदि एक क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति साइन-अल्टरनेटिंग होती है: इसके विषम-संख्या वाले शब्दों का चिन्ह इसके पहले पद के समान होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों का विपरीत चिन्ह होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी न= ख 1 · बी 2 · ख 3 · . . . · बी नहीं = (ख 1 · बी नहीं) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक . से कम है 1 , अर्थात

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटती क्रम नहीं हो सकती है। यह मामला फिट बैठता है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम संकेत-वैकल्पिक है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताइए जिसमें पहले का योग हो एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति की शर्तें एन . यह संख्या हमेशा परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

एस= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . =	बी 1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरणों पर विचार करें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , तब

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 और

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है क्यू , तब

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 6 और

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

संख्या श्रृंखला के गुणों का उपयोग करके भौतिकी और गणित की कुछ समस्याओं को हल किया जा सकता है। स्कूलों में पढ़ाए जाने वाले दो सरलतम संख्या क्रम बीजगणितीय और ज्यामितीय हैं। इस लेख में, हम और अधिक विस्तार से इस प्रश्न पर विचार करेंगे कि एक ज्यामितीय घटती हुई एक की अनंत प्रगति का योग कैसे प्राप्त किया जाए।

ज्यामितीय अनुक्रम

इन शब्दों का अर्थ वास्तविक संख्याओं की ऐसी श्रृंखला से है, जिसके तत्व a i व्यंजक को संतुष्ट करते हैं:

यहाँ i श्रंखला में तत्वों की संख्या है, r एक अचर संख्या है, जिसे हर कहा जाता है।

इस परिभाषा से पता चलता है कि, प्रगति और उसके हर के किसी भी शब्द को जानने के बाद, संख्याओं की पूरी श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना संभव है। उदाहरण के लिए, यदि 10वाँ तत्व ज्ञात है, तो r से विभाजित करने पर हमें 9वाँ तत्व प्राप्त होता है, फिर इसे फिर से विभाजित करके, हमें 8वाँ तत्व प्राप्त होता है। ये सरल तर्क हमें एक व्यंजक लिखने की अनुमति देते हैं जो विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए मान्य है:

2 के हर के साथ प्रगति का एक उदाहरण होगा:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

यदि हर -2 है, तो एक पूरी तरह से अलग श्रृंखला प्राप्त होती है:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

एक ज्यामितीय प्रगति बीजगणितीय की तुलना में बहुत तेज होती है, अर्थात इसकी शर्तें तेजी से बढ़ती हैं और तेजी से घटती हैं।

प्रगति के i सदस्यों का योग

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, अक्सर संख्यात्मक अनुक्रम के कई तत्वों के योग की गणना करना आवश्यक होता है। इस मामले के लिए, निम्न सूत्र मान्य है:

एस मैं \u003d ए 1 * (आर आई -1) / (आर -1)

यह देखा जा सकता है कि i पदों के योग की गणना करने के लिए, आपको केवल दो संख्याओं को जानने की आवश्यकता है: 1 और r, जो तार्किक है, क्योंकि वे विशिष्ट रूप से संपूर्ण अनुक्रम को निर्धारित करते हैं।

अवरोही क्रम और उसके पदों का योग

आइए अब एक विशेष मामले पर विचार करें। हम मानेंगे कि हर r का निरपेक्ष मान एक से अधिक नहीं है, अर्थात -1

एक घटती हुई ज्यामितीय प्रगति पर विचार करना दिलचस्प है क्योंकि इसकी शर्तों का अनंत योग एक सीमित वास्तविक संख्या की ओर जाता है।

आइए योग सूत्र प्राप्त करें यह करना आसान है यदि हम पिछले पैराग्राफ में दिए गए एस के लिए अभिव्यक्ति लिखते हैं। हमारे पास है:

एस मैं \u003d ए 1 * (आर आई -1) / (आर -1)

उस मामले पर विचार करें जब i->∞. चूँकि हर का मापांक 1 से कम है, तो इसे अनंत घात तक बढ़ाने पर शून्य प्राप्त होगा। इसे उदाहरण r=0.5 का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

नतीजतन, घटती हुई एक अनंत ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योग रूप लेगा:

यह सूत्र अक्सर व्यवहार में प्रयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करने के लिए। इसका उपयोग कछुआ और अकिलीज़ के साथ ज़ेनो ऑफ़ एलिया के विरोधाभास को हल करने में भी किया जाता है।

जाहिर है, एक ज्यामितीय वृद्धि (आर> 1) की अनंत प्रगति के योग पर विचार करने से परिणाम एस ∞ = +∞ होगा।

प्रगति का पहला पद खोजने की समस्या

हम समस्या को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके दिखाएंगे कि उपरोक्त सूत्रों को कैसे लागू किया जाना चाहिए। यह ज्ञात है कि एक अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग 11 है। इसके अलावा, इसका 7 वां पद तीसरे पद से 6 गुना कम है। इस संख्या श्रृंखला के लिए पहला तत्व क्या है?

सबसे पहले, आइए 7वें और तीसरे तत्वों को निर्धारित करने के लिए दो व्यंजक लिखें। हम पाते हैं:

पहली अभिव्यक्ति को दूसरे से विभाजित करने और हर को व्यक्त करने पर, हमारे पास है:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 (a 7 / a 3)

चूँकि समस्या की स्थिति में सातवें और तीसरे पदों का अनुपात दिया गया है, हम इसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं और r ज्ञात कर सकते हैं:

आर \u003d 4 (ए 7 / ए 3) \u003d 4 √ (1/6) 0.63894

हमने दशमलव बिंदु के बाद पांच महत्वपूर्ण अंकों की सटीकता के साथ r की गणना की है। चूंकि परिणामी मान एक से कम है, इसका मतलब है कि प्रगति घट रही है, जो इसके अनंत योग के लिए सूत्र के उपयोग को सही ठहराती है। हम पहले पद के लिए व्यंजक S के योग के रूप में लिखते हैं:

हम इस सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

ए 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166।

तेज़ अकिलीज़ और धीमे कछुए के साथ ज़ेनो का प्रसिद्ध विरोधाभास

एलिया का ज़ेनो एक प्रसिद्ध यूनानी दार्शनिक है जो 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में रहता था। इ। इसके कई उपाख्यान या विरोधाभास वर्तमान समय तक पहुँच चुके हैं, जिसमें गणित में असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे की समस्या तैयार की जाती है।

ज़ेनो के प्रसिद्ध विरोधाभासों में से एक अकिलीज़ और कछुआ के बीच की प्रतियोगिता है। ज़ेनो का मानना ​​​​था कि अगर अकिलीज़ ने कछुए को दूरी में कुछ फायदा दिया, तो वह कभी भी उससे आगे नहीं निकल पाएगा। उदाहरण के लिए, अकिलीज़ को रेंगने वाले जानवर की तुलना में 10 गुना तेज दौड़ने दें, उदाहरण के लिए, उससे 100 मीटर आगे। जब योद्धा 100 मीटर दौड़ता है, तो कछुआ 10 मीटर पीछे रेंगता है। 10 मीटर फिर से दौड़ते हुए, अकिलीज़ देखेंगे कि कछुआ एक और 1 मीटर रेंग गया है। आप इस तरह अनिश्चित काल तक बहस कर सकते हैं, प्रतियोगियों के बीच की दूरी वास्तव में कम हो जाएगी, लेकिन कछुआ हमेशा सामने रहेगा।

उन्होंने ज़ेनो को इस निष्कर्ष पर पहुँचाया कि गति मौजूद नहीं है, और वस्तुओं की चारों ओर की गति एक भ्रम है। बेशक, प्राचीन यूनानी दार्शनिक गलत था।

विरोधाभास का समाधान इस तथ्य में निहित है कि कभी-कभी घटते खंडों का एक अनंत योग एक सीमित संख्या में होता है। उपरोक्त मामले में, एच्लीस द्वारा तय की गई दूरी के लिए, हम प्राप्त करते हैं:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एस \u003d 100 / (1-0.1) 111.111 मीटर

इस परिणाम से पता चलता है कि अकिलीज़ कछुए से आगे निकल जाएगा जब वह केवल 11.111 मीटर रेंगेगा।

प्राचीन यूनानियों को यह नहीं पता था कि गणित में अनंत मात्राओं के साथ कैसे काम किया जाता है। हालाँकि, इस विरोधाभास को हल किया जा सकता है यदि हम उन अनंत अंतरालों पर ध्यान न दें, जिन्हें अकिलीज़ को पार करना होगा, लेकिन लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए धावक को आवश्यक चरणों की सीमित संख्या पर ध्यान देना चाहिए।

इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है, अर्थात प्रत्येक पद पिछले एक से q गुना भिन्न होता है। (हम मान लेंगे कि q 1, अन्यथा सब कुछ बहुत तुच्छ है)। यह देखना आसान है कि ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सामान्य सूत्र b n = b 1 q n – 1 है; संख्या b n और b m वाले पद q n - m गुणा से भिन्न होते हैं।

पहले से ही प्राचीन मिस्र में, वे न केवल अंकगणित, बल्कि ज्यामितीय प्रगति भी जानते थे। यहाँ, उदाहरण के लिए, Rhind पपीरस से एक कार्य है: “सात चेहरों में सात बिल्लियाँ हैं; प्रत्येक बिल्ली सात चूहे खाती है, प्रत्येक चूहा मकई के सात कान खाता है, प्रत्येक कान जौ के सात उपाय उगा सकता है। इस श्रृंखला में कितनी बड़ी संख्याएँ हैं और उनका योग क्या है?

चावल। 1. प्राचीन मिस्र की ज्यामितीय प्रगति समस्या

यह कार्य अन्य समयों में अन्य लोगों के बीच भिन्न भिन्नताओं के साथ कई बार दोहराया गया था। उदाहरण के लिए, XIII सदी में लिखित में। पीसा (फिबोनाची) के लियोनार्डो द्वारा "अबेकस की पुस्तक" में एक समस्या है जिसमें 7 बूढ़ी महिलाएं रोम (जाहिर तौर पर तीर्थयात्री) के रास्ते में दिखाई देती हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 खच्चर हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 बैग हैं, जिनमें से प्रत्येक इसमें 7 रोटियां हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 चाकू हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 म्यान हैं। समस्या पूछती है कि कितने आइटम हैं।

ज्यामितीय प्रगति S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) के पहले n सदस्यों का योग। उदाहरण के लिए, इस सूत्र को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

आइए संख्या b 1 q n को S n में जोड़ें और प्राप्त करें:

एस एन + बी 1 क्यू एन = बी 1 + बी 1 क्यू + बी 1 क्यू 2 + बी 1 क्यू 3 + ... + बी 1 क्यू एन - 1 + बी 1 क्यू एन = बी 1 + (बी 1 + बी 1 क्यू + बी 1 क्यू 2 + बी 1 क्यू 3 + ... + बी 1 क्यू एन -1) क्यू = बी 1 + एस एन क्यू।

इसलिए एस एन (क्यू -1) = बी 1 (क्यू एन -1), और हमें आवश्यक सूत्र मिलता है।

पहले से ही प्राचीन बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों में से एक पर, छठी शताब्दी में वापस डेटिंग। ईसा पूर्व ई. में 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 का योग होता है। सच है, जैसा कि कई अन्य मामलों में है, हम नहीं जानते कि यह तथ्य बेबीलोनियों को कहाँ से पता था। .

कई संस्कृतियों में, विशेष रूप से, भारत में ज्यामितीय प्रगति का तेजी से विकास, ब्रह्मांड की विशालता के दृश्य प्रतीक के रूप में बार-बार उपयोग किया जाता है। शतरंज की उपस्थिति के बारे में प्रसिद्ध किंवदंती में, शासक अपने आविष्कारक को खुद एक इनाम चुनने का अवसर देता है, और वह इतने गेहूं के दाने मांगता है जितना कि शतरंज की बिसात के पहले सेल पर रखने पर प्राप्त होगा। , दूसरे पर दो, तीसरे पर चार, चौथे पर आठ और आदि हर बार संख्या दोगुनी हो जाती है। व्लादिका ने सोचा कि यह, अधिक से अधिक, कुछ बोरे थे, लेकिन उन्होंने गलत अनुमान लगाया। यह देखना आसान है कि शतरंज की बिसात के सभी 64 वर्गों के लिए आविष्कारक को (2 64 - 1) अनाज प्राप्त होना चाहिए, जिसे 20 अंकों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है; भले ही पृथ्वी की पूरी सतह को बो दिया गया हो, फिर भी आवश्यक संख्या में अनाज इकट्ठा करने में कम से कम 8 साल लगेंगे। इस किंवदंती को कभी-कभी शतरंज के खेल में छिपी लगभग असीमित संभावनाओं के संदर्भ के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।

तथ्य यह है कि यह संख्या वास्तव में 20 अंकों की है, यह देखना आसान है:

2 64 \u003d 2 4 (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (अधिक सटीक गणना 1.84 10 19) देती है। लेकिन मुझे आश्चर्य है कि क्या आप यह पता लगा सकते हैं कि यह संख्या किस अंक पर समाप्त होती है?

एक ज्यामितीय प्रगति बढ़ रही है यदि निरपेक्ष मान में हर 1 से अधिक है, या यदि यह एक से कम है तो घट रहा है। बाद के मामले में, संख्या q n पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए मनमाने ढंग से छोटी हो सकती है। जबकि एक बढ़ता हुआ घातांक अप्रत्याशित रूप से तेजी से बढ़ता है, एक घटती हुई घातांक उतनी ही तेजी से घटती है।

बड़ा n, कमजोर संख्या q n शून्य से भिन्न होता है, और ज्यामितीय प्रगति के n सदस्यों का योग S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) संख्या S \u003d b 1 के करीब होता है। / (1 - क्यू)। (इसलिए तर्क दिया, उदाहरण के लिए, एफ। वियत)। संख्या S को अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का योग कहा जाता है। हालांकि, कई शताब्दियों के लिए, सभी ज्यामितीय प्रगति के योग का अर्थ क्या है, इसकी अनंत संख्या के साथ, यह प्रश्न गणितज्ञों के लिए पर्याप्त स्पष्ट नहीं था।

एक घटती ज्यामितीय प्रगति देखी जा सकती है, उदाहरण के लिए, ज़ेनो के एपोरियास "बाइटिंग" और "अकिलीज़ एंड द कछुआ" में। पहले मामले में, यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि पूरी सड़क (लंबाई 1 मान लें) 1/2, 1/4, 1/8, आदि की अनंत संख्या का योग है। यह, निश्चित रूप से, यह कैसा है परिमित योग अनंत ज्यामितीय प्रगति के बारे में विचारों के दृष्टिकोण से। और फिर भी - यह कैसे हो सकता है?

चावल। 2. 1/2 . के गुणनखंड के साथ प्रगति

अकिलीज़ के बारे में एपोरिया में, स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है, क्योंकि यहाँ प्रगति का हर 1/2 के बराबर नहीं है, बल्कि किसी अन्य संख्या के बराबर है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, अकिलीज़ गति v से दौड़ता है, कछुआ u गति से चलता है, और उनके बीच की प्रारंभिक दूरी l है। अकिलीज़ इस दूरी को l/v समय में चलाएगा, कछुआ इस दौरान lu/v की दूरी तय करेगा। जब अकिलीज़ इस खंड से होकर गुजरता है, तो उसके और कछुए के बीच की दूरी l (u / v) 2, आदि के बराबर हो जाएगी। यह पता चला है कि कछुए को पकड़ने का अर्थ है पहले के साथ एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग खोजना पद l और हर u / v। यह योग - वह खंड जिसे अकिलीज़ अंततः कछुए के साथ बैठक स्थल तक चलाएगा - बराबर है l / (1 - u / v) = lv / (v - u) । लेकिन, फिर से, इस परिणाम की व्याख्या कैसे की जानी चाहिए और इसका कोई मतलब क्यों है, यह लंबे समय तक स्पष्ट नहीं था।

चावल। 3. गुणांक 2/3 . के साथ ज्यामितीय प्रगति

एक परवलय के एक खंड के क्षेत्र का निर्धारण करते समय आर्किमिडीज द्वारा ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग किया गया था। परवलय के दिए गए खंड को जीवा AB द्वारा सीमांकित किया जाए और परवलय के बिंदु D पर स्पर्शरेखा को AB के समानांतर होने दें। मान लीजिए C AB का मध्यबिंदु है, E AC का मध्यबिंदु है, F CB का मध्यबिंदु है। बिंदु A , E , F , B से होकर DC के समांतर रेखाएँ खींचिए; मान लीजिए कि बिंदु D पर खींची गई स्पर्शरेखा ये रेखाएं K, L, M, N पर प्रतिच्छेद करती हैं। आइए खंड AD और DB भी बनाते हैं। मान लीजिए कि रेखा EL, रेखा AD को बिंदु G पर और परवलय को बिंदु H पर प्रतिच्छेद करती है; रेखा FM रेखा DB को बिंदु Q पर और परवलय को बिंदु R पर प्रतिच्छेद करती है। शंकु वर्गों के सामान्य सिद्धांत के अनुसार, डीसी एक परवलय का व्यास है (अर्थात, अपनी धुरी के समानांतर एक खंड); यह और बिंदु D पर स्पर्शरेखा समन्वय अक्ष x और y के रूप में काम कर सकती है, जिसमें परवलय समीकरण y 2 \u003d 2px के रूप में लिखा जाता है (x किसी दिए गए व्यास के किसी भी बिंदु से D की दूरी है, y लंबाई की लंबाई है व्यास के इस बिंदु से परवलय के किसी बिंदु तक किसी दिए गए स्पर्शरेखा के समानांतर खंड)।

परवलय समीकरण के आधार पर, DL 2 = 2 p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , और चूंकि DK = 2DL , तो KA = 4LH। चूंकि केए = 2 एलजी, एलएच = एचजी। परवलय के खंड ADB का क्षेत्रफल त्रिभुज ΔADB के क्षेत्रफल और संयुक्त AHD और DRB खंडों के क्षेत्रफल के बराबर है। बदले में, AHD खंड का क्षेत्रफल समान रूप से त्रिभुज AHD और शेष खंडों AH और HD के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक के साथ एक ही ऑपरेशन किया जा सकता है - एक त्रिकोण (Δ) में विभाजित और दो शेष खंड (), आदि:

त्रिभुज ΔAHD का क्षेत्रफल त्रिभुज ΔALD के आधे क्षेत्रफल के बराबर है (उनके पास एक सामान्य आधार AD है, और ऊँचाई 2 गुना भिन्न है), जो बदले में, के आधे क्षेत्र के बराबर है त्रिभुज ΔAKD, और इसलिए त्रिभुज ΔACD का आधा क्षेत्रफल। इस प्रकार त्रिभुज AHD का क्षेत्रफल त्रिभुज ACD के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर होता है। इसी प्रकार त्रिभुज ΔDRB का क्षेत्रफल त्रिभुज DFB के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर होता है। अत: त्रिभुज ∆AHD और ∆DRB का क्षेत्रफल मिलाकर, त्रिभुज ADB के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है। एएच, एचडी, डीआर और आरबी खंडों पर लागू इस ऑपरेशन को दोहराते हुए भी उनमें से त्रिकोण का चयन किया जाएगा, जिसका क्षेत्रफल, एक साथ लिया गया, त्रिभुज ΔAHD और ΔDRB के क्षेत्रफल से 4 गुना कम होगा, एक साथ लिया गया है, और इसलिए त्रिभुज ΔADB के क्षेत्रफल से 16 गुना कम है। आदि:

इस प्रकार, आर्किमिडीज ने साबित किया कि "एक सीधी रेखा और एक परवलय के बीच संलग्न प्रत्येक खंड एक त्रिभुज का चार-तिहाई होता है, जिसका आधार समान और समान ऊंचाई होती है।"