1.7. यांत्रिक तरंगें

अंतरिक्ष में फैलने वाले किसी पदार्थ या क्षेत्र के कंपन को तरंग कहा जाता है। पदार्थ के उतार-चढ़ाव से लोचदार तरंगें उत्पन्न होती हैं (एक विशेष मामला ध्वनि है)।

यांत्रिक तरंगसमय के साथ माध्यम के कणों के दोलनों का प्रसार है।

निरंतर माध्यम में तरंगें कणों के बीच परस्पर क्रिया के कारण फैलती हैं। यदि कोई कण दोलन गति में आता है, तो लोचदार संबंध के कारण, यह गति पड़ोसी कणों में स्थानांतरित हो जाती है, और तरंग फैल जाती है। इस स्थिति में, दोलन करने वाले कण स्वयं तरंग के साथ नहीं चलते हैं, लेकिन हिचकिचानाउनके आसपास संतुलन की स्थिति.

अनुदैर्ध्य तरंगेंवे तरंगें हैं जिनमें कण दोलनों की दिशा x तरंग प्रसार की दिशा के साथ मेल खाती है . अनुदैर्ध्य तरंगें गैसों, तरल पदार्थों और ठोस पदार्थों में फैलती हैं।

पी
ओपेरा तरंगें- ये वे तरंगें हैं जिनमें कण दोलनों की दिशा तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होती है . अनुप्रस्थ तरंगें केवल ठोस माध्यम में ही फैलती हैं।

तरंगों की दो आवृत्तियाँ होती हैं- समय और स्थान में. समय में आवधिकता का अर्थ है कि माध्यम का प्रत्येक कण अपनी संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करता है, और यह गति एक दोलन अवधि T के साथ दोहराई जाती है। अंतरिक्ष में आवधिकता का अर्थ है कि माध्यम के कणों की दोलन गति उनके बीच कुछ निश्चित दूरी पर दोहराई जाती है।

अंतरिक्ष में तरंग प्रक्रिया की आवधिकता को तरंगदैर्घ्य नामक एक मात्रा की विशेषता होती है और इसे निरूपित किया जाता है .

तरंग दैर्ध्य वह दूरी है जिस पर कण दोलन की एक अवधि के दौरान एक तरंग एक माध्यम में फैलती है। .

यहां से
, कहाँ पे - कण दोलन अवधि, - दोलन आवृत्ति, - माध्यम के गुणों के आधार पर तरंग प्रसार की गति।

सेवा तरंग समीकरण कैसे लिखें? बिंदु O (लहर का स्रोत) पर स्थित कॉर्ड के एक टुकड़े को कोसाइन नियम के अनुसार दोलन करने दें

मान लीजिए कोई बिंदु B स्रोत (बिंदु O) से x की दूरी पर है। v वेग से चलने वाली किसी तरंग को उस तक पहुँचने में समय लगता है।
. इसका अर्थ है कि बिंदु B पर दोलन बाद में शुरू होंगे
. अर्थात। इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने के बाद के लिए व्यंजक
और कई गणितीय परिवर्तन, हम प्राप्त करते हैं

,
. आइए संकेतन का परिचय दें:
. फिर। बिंदु B के चुनाव की मनमानी के कारण, यह समीकरण आवश्यक समतल तरंग समीकरण होगा
.

कोज्या चिह्न के नीचे के व्यंजक को तरंग की कला कहते हैं
.

इ यदि दो बिंदु तरंग के स्रोत से अलग-अलग दूरी पर हैं, तो उनके चरण अलग-अलग होंगे। उदाहरण के लिए, दूरी पर स्थित बिंदु बी और सी के चरण और तरंग के स्रोत से, क्रमशः के बराबर होगा

बिंदु B और बिंदु C पर होने वाले दोलनों का चरण अंतर निरूपित किया जाएगा
और यह बराबर होगा

ऐसे मामलों में, यह कहा जाता है कि बिंदु B और C पर होने वाले दोलनों के बीच एक फेज शिफ्ट होता है। ऐसा कहा जाता है कि बिंदु B और C पर दोलन चरण में होते हैं यदि
. यदि एक
, तो बिंदु बी और सी पर दोलन एंटीफेज में होते हैं। अन्य सभी मामलों में, केवल एक चरण परिवर्तन होता है।

"तरंग दैर्ध्य" की अवधारणा को दूसरे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है:

इसलिए k को तरंग संख्या कहते हैं।

हमने नोटेशन पेश किया है
और दिखाया कि
. फिर

.

तरंगदैर्घ्य दोलन की एक अवधि में एक तरंग द्वारा तय किया गया पथ है।

आइए हम तरंग सिद्धांत में दो महत्वपूर्ण अवधारणाओं को परिभाषित करें।

लहर की सतहमाध्यम में बिंदुओं का स्थान है जो एक ही चरण में दोलन करता है। तरंग सतह को माध्यम के किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है, इसलिए इनकी संख्या अनंत होती है।

लहर की सतहें किसी भी आकार की हो सकती हैं, और सबसे सरल मामले में वे एक दूसरे के समानांतर विमानों का एक सेट (यदि तरंग स्रोत एक अनंत विमान है) या संकेंद्रित क्षेत्रों का एक सेट है (यदि तरंग स्रोत एक बिंदु है)।

वेव फ्रंट(लहर मोर्चा) - उन बिंदुओं का स्थान जहाँ तक उतार-चढ़ाव समय के क्षण तक पहुँचते हैं . वेव फ्रंट तरंग प्रक्रिया में शामिल अंतरिक्ष के उस हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करता है जहां अभी तक दोलन नहीं हुए हैं। इसलिए, तरंग मोर्चा तरंग सतहों में से एक है। यह दो क्षेत्रों को अलग करता है: 1 - जिस तक लहर t, 2 तक पहुँची - नहीं पहुँची।

किसी भी समय केवल एक तरंग मोर्चा होता है, और यह लगातार चलती रहती है, जबकि लहर की सतह स्थिर रहती है (वे एक ही चरण में कणों के संतुलन की स्थिति से गुजरती हैं)।

समतल लहर- यह एक लहर है जिसमें तरंग सतह (और लहर सामने) समानांतर विमान हैं।

गोलाकार तरंगएक तरंग है जिसकी तरंग सतह संकेंद्रित गोले हैं। गोलाकार तरंग समीकरण:
.

दो या दो से अधिक तरंगों द्वारा पहुँचे गए माध्यम का प्रत्येक बिंदु प्रत्येक तरंग के कारण अलग-अलग दोलनों में भाग लेगा। परिणामी कंपन क्या होगा? यह कई कारकों पर निर्भर करता है, विशेष रूप से, माध्यम के गुणों पर। यदि तरंग प्रसार की प्रक्रिया के कारण माध्यम के गुण नहीं बदलते हैं, तो माध्यम को रैखिक कहा जाता है। अनुभव से पता चलता है कि तरंगें एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से रैखिक माध्यम में फैलती हैं। हम केवल रैखिक मीडिया में तरंगों पर विचार करेंगे। और उस बिंदु का उतार-चढ़ाव क्या होगा, जो एक ही समय में दो तरंगों तक पहुंच गया हो? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि इस दोहरी क्रिया के कारण होने वाले दोलन के आयाम और चरण का पता कैसे लगाया जाए। परिणामी दोलन के आयाम और चरण को निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक तरंग के कारण होने वाले विस्थापन को खोजना और फिर उन्हें जोड़ना आवश्यक है। कैसे? ज्यामितीय रूप से!

तरंगों के सुपरपोजिशन (ओवरले) का सिद्धांत: जब कई तरंगें एक रैखिक माध्यम में फैलती हैं, तो उनमें से प्रत्येक इस तरह फैलती है जैसे कि कोई अन्य तरंगें नहीं थीं, और किसी भी समय माध्यम के एक कण का परिणामी विस्थापन ज्यामितीय योग के बराबर होता है। तरंग प्रक्रियाओं के प्रत्येक घटक में भाग लेते हुए, कणों को प्राप्त होने वाले विस्थापन।

तरंग सिद्धांत की एक महत्वपूर्ण अवधारणा अवधारणा है सुसंगतता - कई दोलन या तरंग प्रक्रियाओं के समय और स्थान में समन्वित प्रवाह. यदि प्रेक्षण बिंदु पर आने वाली तरंगों का कला अंतर समय पर निर्भर नहीं करता है, तो ऐसी तरंगें कहलाती हैं सुसंगत. जाहिर है, केवल समान आवृत्ति वाली तरंगें सुसंगत हो सकती हैं।

आर आइए विचार करें कि अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर आने वाली दो सुसंगत तरंगों को जोड़ने का परिणाम क्या होगा (अवलोकन बिंदु) बी। गणितीय गणना को सरल बनाने के लिए, हम मान लेंगे कि स्रोत एस 1 और एस 2 द्वारा उत्सर्जित तरंगों का आयाम समान है और प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर। प्रेक्षण बिंदु पर (बिंदु B पर), स्रोत S 1 और S 2 से आने वाली तरंगें माध्यम के कणों के दोलन का कारण बनेंगी:
और
. बिंदु B पर परिणामी उतार-चढ़ाव को योग के रूप में पाया जाता है।

आमतौर पर, प्रेक्षण बिंदु पर होने वाले परिणामी दोलन का आयाम और चरण वेक्टर आरेखों की विधि का उपयोग करके पाया जाता है, जो प्रत्येक दोलन को कोणीय वेग के साथ घूमते हुए वेक्टर के रूप में दर्शाता है। वेक्टर की लंबाई दोलन के आयाम के बराबर होती है। प्रारंभ में, यह वेक्टर दोलनों के प्रारंभिक चरण के बराबर चुनी हुई दिशा के साथ एक कोण बनाता है। फिर परिणामी दोलन का आयाम सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आयाम के साथ दो दोलनों को जोड़ने के हमारे मामले के लिए
,
और चरण
,

.

इसलिए, बिंदु B पर होने वाले दोलनों का आयाम इस बात पर निर्भर करता है कि पथ अंतर क्या है
स्रोत से प्रेक्षण बिंदु तक प्रत्येक तरंग द्वारा अलग-अलग यात्रा की जाती है (
प्रेक्षण बिंदु पर आने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर है)। व्यतिकरण मिनिमा या मैक्सिमा को उन बिंदुओं पर देखा जा सकता है जिनके लिए
. और यह बिंदु S 1 और S 2 पर foci के साथ एक अतिपरवलय का समीकरण है।

अंतरिक्ष में उन बिंदुओं पर जिसके लिए
, परिणामी दोलनों का आयाम अधिकतम और बराबर होगा
. जैसा
, तो दोलन आयाम उन बिंदुओं पर अधिकतम होगा जिनके लिए।

अंतरिक्ष में उन बिंदुओं पर जिसके लिए
, परिणामी दोलनों का आयाम न्यूनतम और बराबर होगा
.दोलन आयाम उन बिंदुओं पर न्यूनतम होगा जिनके लिए .

एक सीमित संख्या में सुसंगत तरंगों के योग से उत्पन्न ऊर्जा पुनर्वितरण की घटना को व्यतिकरण कहा जाता है।

तरंगों के बाधाओं के चारों ओर मुड़ने की घटना को विवर्तन कहते हैं।

कभी-कभी विवर्तन को ज्यामितीय प्रकाशिकी के नियमों से बाधाओं के निकट तरंग प्रसार का कोई विचलन कहा जाता है (यदि बाधाओं के आयाम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप हैं)।

बी
विवर्तन के कारण, तरंगें ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में प्रवेश कर सकती हैं, बाधाओं को पार कर सकती हैं, स्क्रीन में छोटे छिद्रों से प्रवेश कर सकती हैं, आदि। ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में तरंगों के प्रहार की व्याख्या कैसे करें? ह्यूजेन्स सिद्धांत का उपयोग करके विवर्तन की घटना को समझाया जा सकता है: प्रत्येक बिंदु जिस पर एक लहर पहुंचती है वह माध्यमिक तरंगों का स्रोत होता है (एक सजातीय गोलाकार माध्यम में), और इन तरंगों का लिफाफा अगले पल में तरंग मोर्चे की स्थिति निर्धारित करता है। समय।

क्या काम आ सकता है यह देखने के लिए हल्के हस्तक्षेप से डालें

लहरअंतरिक्ष में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया कहलाती है।

लहर की सतहउन बिंदुओं का स्थान है जहां एक ही चरण में दोलन होते हैं।

वेव फ्रंटउन बिन्दुओं का बिन्दुपथ कहलाता है जहाँ पर तरंग एक निश्चित समय में पहुँचती है टी. वेव फ्रंट तरंग प्रक्रिया में शामिल अंतरिक्ष के उस हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करता है जहां अभी तक दोलन नहीं हुए हैं।

एक बिंदु स्रोत के लिए, तरंग मोर्चा स्रोत स्थान S पर केंद्रित एक गोलाकार सतह है। 1, 2, 3 - लहर सतहों; 1 - लहर सामने। स्रोत से निकलने वाली किरण के साथ फैलने वाली गोलाकार तरंग का समीकरण: . यहां - तरंग प्रसार गति, - तरंग दैर्ध्य; लेकिन- दोलन आयाम; - परिपत्र (चक्रीय) दोलन आवृत्ति; - समय t पर बिंदु स्रोत से r दूरी पर स्थित बिंदु की संतुलन स्थिति से विस्थापन।

समतल लहरएक सपाट लहर के साथ एक लहर है। अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश प्रसार करने वाली समतल तरंग का समीकरण आप:
, कहाँ पे एक्स- समय t पर स्रोत से y दूरी पर स्थित बिंदु की संतुलन स्थिति से विस्थापन।

7वीं कक्षा के भौतिकी पाठ्यक्रम में, आपने यांत्रिक कंपनों का अध्ययन किया। अक्सर ऐसा होता है कि एक स्थान पर उत्पन्न होने पर, कंपन अंतरिक्ष के पड़ोसी क्षेत्रों में फैल जाती है। याद करें, उदाहरण के लिए, पानी में फेंके गए कंकड़ से कंपन का प्रसार या भूकंप के उपरिकेंद्र से पृथ्वी की पपड़ी के कंपन का प्रसार। ऐसे मामलों में, वे तरंग गति - तरंगों की बात करते हैं (चित्र 17.1)। इस भाग में आप तरंग गति की विशेषताओं के बारे में जानेंगे।

यांत्रिक तरंगें बनाएं

आइए एक लंबी रस्सी लें, जिसका एक सिरा हम एक ऊर्ध्वाधर सतह से जोड़ेंगे, और दूसरा हम ऊपर और नीचे (दोलन) करेंगे। हाथ से कंपन रस्सी के साथ फैलेंगे, धीरे-धीरे थरथरानवाला आंदोलन में अधिक से अधिक दूर के बिंदुओं को शामिल करते हुए - एक यांत्रिक तरंग रस्सी के साथ चलेगी (चित्र। 17.2)।

एक यांत्रिक तरंग एक लोचदार माध्यम * में दोलनों का प्रसार है।

अब हम क्षैतिज रूप से एक लंबे नरम वसंत को ठीक करते हैं और इसके मुक्त छोर पर लगातार वार की एक श्रृंखला लागू करते हैं - वसंत में एक लहर चलेगी, जिसमें वसंत के कुंडल के संघनन और दुर्लभता शामिल हैं (चित्र। 17.3)।

ऊपर वर्णित तरंगों को देखा जा सकता है, लेकिन अधिकांश यांत्रिक तरंगें अदृश्य होती हैं, जैसे ध्वनि तरंगें (चित्र 17.4)।

पहली नज़र में, सभी यांत्रिक तरंगें पूरी तरह से भिन्न होती हैं, लेकिन उनके होने और फैलने के कारण समान होते हैं।

हमें पता चलता है कि एक माध्यम में एक यांत्रिक तरंग कैसे और क्यों फैलती है

कोई भी यांत्रिक तरंग एक दोलनशील पिंड द्वारा निर्मित होती है - तरंग का स्रोत। एक दोलन गति करते हुए, तरंग स्रोत अपने निकटतम माध्यम की परतों को विकृत करता है (उन्हें संकुचित और फैलाता है या उन्हें विस्थापित करता है)। नतीजतन, लोचदार बल उत्पन्न होते हैं जो माध्यम की पड़ोसी परतों पर कार्य करते हैं और उन्हें मजबूर दोलन करने के लिए मजबूर करते हैं। ये परतें, बदले में, अगली परतों को विकृत करती हैं और उन्हें दोलन करने का कारण बनती हैं। धीरे-धीरे, माध्यम की सभी परतें एक-एक करके दोलन गति में शामिल होती हैं - एक यांत्रिक तरंग माध्यम में फैलती है।

चावल। 17.6 अनुदैर्ध्य तरंग में, माध्यम की परतें तरंग प्रसार की दिशा में दोलन करती हैं

अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य यांत्रिक तरंगों के बीच भेद

आइए एक रस्सी के साथ तरंग प्रसार की तुलना करें (चित्र 17.2 देखें) और एक स्प्रिंग में (चित्र 17.3 देखें)।

रस्सी के अलग-अलग हिस्से तरंग प्रसार की दिशा में लंबवत चलते हैं (दोलन)। ऐसी तरंगों को अनुप्रस्थ कहा जाता है (चित्र 17.5)। अनुप्रस्थ तरंगों के प्रसार के दौरान, माध्यम की कुछ परतें दूसरों के सापेक्ष विस्थापित हो जाती हैं। विस्थापन विकृति केवल ठोस पदार्थों में लोचदार बलों की उपस्थिति के साथ होती है, इसलिए अनुप्रस्थ तरंगें तरल और गैसों में नहीं फैल सकती हैं। अतः अनुप्रस्थ तरंगें केवल ठोस पदार्थों में ही फैलती हैं।

जब एक वसंत में एक लहर फैलती है, तो वसंत के कुंडल तरंग प्रसार की दिशा में चलते हैं (दोलन करते हैं)। ऐसी तरंगों को अनुदैर्ध्य कहा जाता है (चित्र 17.6)। जब एक अनुदैर्ध्य तरंग का प्रसार होता है, तो माध्यम में संपीड़न और तन्य विकृति होती है (तरंग प्रसार की दिशा के साथ, माध्यम का घनत्व या तो बढ़ जाता है या घट जाता है)। किसी भी माध्यम में इस तरह की विकृति लोचदार बलों की उपस्थिति के साथ होती है। इसलिए, अनुदैर्ध्य तरंगें ठोस, तरल और गैसों में फैलती हैं।

द्रव की सतह पर तरंगें न तो अनुदैर्ध्य होती हैं और न ही अनुप्रस्थ। उनके पास एक जटिल अनुदैर्ध्य-अनुप्रस्थ चरित्र है, जबकि तरल कण अंडाकार के साथ चलते हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि क्या आप समुद्र में एक हल्की चिप फेंकते हैं और पानी की सतह पर उसकी गति को देखते हैं।

तरंगों के मूल गुणों का पता लगाना

1. माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऑसिलेटरी गति तुरंत संचरित नहीं होती है, लेकिन कुछ देरी से होती है, इसलिए तरंगें माध्यम में परिमित गति से फैलती हैं।

2. यांत्रिक तरंगों का स्रोत एक दोलनशील पिंड है। जब एक तरंग का प्रसार होता है, तो माध्यम के कुछ हिस्सों के कंपन मजबूर होते हैं, इसलिए माध्यम के प्रत्येक भाग के कंपन की आवृत्ति तरंग स्रोत के कंपन की आवृत्ति के बराबर होती है।

3. यांत्रिक तरंगें निर्वात में नहीं फैल सकती हैं।

4. तरंग गति पदार्थ के स्थानांतरण के साथ नहीं होती है - माध्यम के भाग केवल संतुलन की स्थिति के बारे में दोलन करते हैं।

5. तरंग के आने से माध्यम के भाग गति करने लगते हैं (गतिज ऊर्जा अर्जित करते हैं)। इसका मतलब है कि जब तरंग फैलती है, तो ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

पदार्थ के स्थानान्तरण के बिना ऊर्जा का स्थानान्तरण किसी भी तरंग का सबसे महत्वपूर्ण गुण है।

पानी की सतह पर तरंगों के संचरण को याद रखें (चित्र 17.7)। कौन से अवलोकन तरंग गति के मूल गुणों की पुष्टि करते हैं?

हम दोलनों की विशेषता वाली भौतिक मात्राओं को याद करते हैं

एक तरंग दोलनों का प्रसार है, इसलिए भौतिक मात्राएँ जो दोलनों (आवृत्ति, अवधि, आयाम) को दर्शाती हैं, वे भी तरंग की विशेषता हैं। तो, आइए 7वीं कक्षा की सामग्री को याद करें:

	दोलनों को दर्शाने वाली भौतिक मात्राएँ
	दोलन आवृत्ति	दोलन अवधि टी	दोलन आयाम ए
परिभाषित करना	समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या	एक दोलन का समय	अधिकतम दूरी एक बिंदु अपनी संतुलन स्थिति से विचलित होता है
निर्धारित करने का सूत्र
	N प्रति समय अंतराल t . के दोलनों की संख्या है
एसआई . में इकाई		दूसरा (ओं)

टिप्पणी! जब एक यांत्रिक तरंग का प्रसार होता है, तो माध्यम के सभी भाग जिसमें तरंग का प्रसार होता है, समान आवृत्ति (ν) के साथ दोलन करता है, जो तरंग स्रोत की दोलन आवृत्ति के बराबर होता है, इसलिए अवधि

माध्यम के सभी बिंदुओं के लिए दोलन (T) भी समान होते हैं, क्योंकि

लेकिन तरंग के स्रोत से दूरी के साथ दोलनों का आयाम धीरे-धीरे कम होता जाता है।

हम तरंग के प्रसार की लंबाई और गति का पता लगाते हैं

एक रस्सी के साथ एक लहर के प्रसार को याद रखें। मान लें कि रस्सी का अंत एक पूर्ण दोलन करता है, अर्थात तरंग का प्रसार समय एक आवर्त (t = T) के बराबर होता है। इस समय के दौरान, लहर एक निश्चित दूरी (छवि 17.8, ए) पर फैल गई। इस दूरी को तरंगदैर्घ्य कहते हैं।

तरंग दैर्ध्य वह दूरी है जिस पर तरंग T अवधि के बराबर समय में फैलती है:

जहाँ v तरंग प्रसार की गति है। SI में तरंगदैर्घ्य की इकाई मीटर है:

यह देखना आसान है कि एक दूसरे से एक तरंग दैर्ध्य की दूरी पर स्थित रस्सी के बिंदु समकालिक रूप से दोलन करते हैं - उनके पास दोलन का एक ही चरण होता है (चित्र। 17.8, बी, सी)। उदाहरण के लिए, रस्सी के बिंदु ए और बी एक ही समय में ऊपर जाते हैं, एक ही समय में एक लहर के शिखर पर पहुंचते हैं, फिर उसी समय नीचे की ओर बढ़ना शुरू करते हैं, और इसी तरह आगे भी।

चावल। 17.8. तरंग दैर्ध्य उस दूरी के बराबर है जो तरंग एक दोलन के दौरान यात्रा करती है (यह दो निकटतम शिखरों या दो निकटतम गर्तों के बीच की दूरी भी है)

सूत्र = vT का उपयोग करके, हम प्रसार वेग निर्धारित कर सकते हैं

हम तरंग प्रसार की लंबाई, आवृत्ति और गति के बीच संबंध के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं - तरंग सूत्र:

यदि कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है, तो उसकी प्रसार गति बदल जाती है, लेकिन आवृत्ति वही रहती है, क्योंकि आवृत्ति तरंग के स्रोत द्वारा निर्धारित की जाती है। इस प्रकार, सूत्र v = के अनुसार, जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है, तो तरंगदैर्घ्य बदल जाता है।

तरंग सूत्र

समस्याओं को हल करना सीखना

काम। अनुप्रस्थ तरंग 3 मीटर/सेकेंड की गति से कॉर्ड के साथ फैलती है। अंजीर पर। 1 किसी समय कॉर्ड की स्थिति और तरंग प्रसार की दिशा को दर्शाता है। यह मानते हुए कि पिंजरे का किनारा 15 सेमी है, निर्धारित करें:

1) आयाम, अवधि, आवृत्ति और तरंग दैर्ध्य;

एक शारीरिक समस्या का विश्लेषण, समाधान

तरंग अनुप्रस्थ है, इसलिए कॉर्ड के बिंदु तरंग प्रसार की दिशा में लंबवत दोलन करते हैं (वे कुछ संतुलन स्थितियों के सापेक्ष ऊपर और नीचे जाते हैं)।

1) अंजीर से। 1 हम देखते हैं कि संतुलन स्थिति (लहर का आयाम ए) से अधिकतम विचलन 2 कोशिकाओं के बराबर है। तो ए \u003d 2 15 सेमी \u003d 30 सेमी।

शिखा और गर्त के बीच की दूरी क्रमशः 60 सेमी (4 सेल) है, दो निकटतम शिखरों (तरंग दैर्ध्य) के बीच की दूरी दोगुनी है। अतः, = 2 60 सेमी = 120 सेमी = 1.2 मी।

हम तरंग सूत्र का उपयोग करके तरंग की आवृत्ति ν और आवर्त T ज्ञात करते हैं:

2) कॉर्ड के बिंदुओं की गति की दिशा जानने के लिए, हम एक अतिरिक्त निर्माण करते हैं। तरंग को थोड़े समय अंतराल t में थोड़ी दूरी पर चलने दें। चूंकि तरंग दायीं ओर शिफ्ट हो जाती है, और समय के साथ इसका आकार नहीं बदलता है, इसलिए पिंच पॉइंट चित्र में दिखाई गई स्थिति ले लेंगे। 2 बिंदीदार।

तरंग अनुप्रस्थ होती है, अर्थात गर्भनाल के बिंदु तरंग प्रसार की दिशा में लंबवत गति करते हैं। अंजीर से। 2 हम देखते हैं कि एक समय अंतराल के बाद बिंदु K अपनी प्रारंभिक स्थिति से नीचे होगा, इसलिए इसकी गति नीचे की ओर निर्देशित है; बिंदु बी उच्च गति करेगा, इसलिए, इसके आंदोलन की गति ऊपर की ओर निर्देशित होती है; बिंदु C नीचे की ओर गति करेगा, इसलिए इसकी गति की गति नीचे की ओर निर्देशित है।

उत्तर: ए = 30 सेमी; टी = 0.4 एस; = 2.5 हर्ट्ज; = 1.2 मीटर; के और सी - डाउन, बी - अप।

उपसंहार

लोचदार माध्यम में दोलनों के प्रसार को यांत्रिक तरंग कहा जाता है। एक यांत्रिक तरंग जिसमें माध्यम के भाग तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं, अनुप्रस्थ कहलाते हैं; वह तरंग जिसमें माध्यम के भाग तरंग प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं, अनुदैर्ध्य कहलाती है।

तरंग अंतरिक्ष में तुरंत नहीं, बल्कि एक निश्चित गति से फैलती है। जब एक तरंग का प्रसार होता है, तो पदार्थ के हस्तांतरण के बिना ऊर्जा स्थानांतरित हो जाती है। अवधि के बराबर समय में तरंग जिस दूरी पर फैलती है उसे तरंग दैर्ध्य कहा जाता है - यह दो निकटतम बिंदुओं के बीच की दूरी है जो समकालिक रूप से दोलन करती है (एक ही चरण का दोलन होता है)। तरंग प्रसार की लंबाई λ, आवृत्ति और वेग v तरंग सूत्र द्वारा संबंधित हैं: v = ।

परीक्षण प्रश्न

1. यांत्रिक तरंग को परिभाषित कीजिए। 2. यांत्रिक तरंग के निर्माण और प्रसार की क्रियाविधि का वर्णन कीजिए। 3. तरंग गति के प्रमुख गुणों के नाम लिखिए। 4. किन तरंगों को अनुदैर्ध्य कहा जाता है? अनुप्रस्थ? वे किस वातावरण में फैलते हैं? 5. तरंगदैर्घ्य क्या है? इसे कैसे परिभाषित किया जाता है? 6. तरंग प्रसार की लंबाई, आवृत्ति और गति कैसे संबंधित हैं?

व्यायाम संख्या 17

1. अंजीर में प्रत्येक तरंग की लंबाई निर्धारित करें। एक।

2. महासागर में, तरंग दैर्ध्य 270 मीटर तक पहुंच जाता है, और इसकी अवधि 13.5 एस है। ऐसी तरंग की प्रसार गति ज्ञात कीजिए।

3. क्या तरंग प्रसार की गति और तरंग के प्रसार के माध्यम के बिंदुओं की गति की गति मेल खाती है?

4. एक यांत्रिक तरंग निर्वात में क्यों नहीं फैलती है?

5. भूवैज्ञानिकों द्वारा उत्पन्न विस्फोट के परिणामस्वरूप, पृथ्वी की पपड़ी में 4.5 किमी / सेकंड की गति से एक लहर फैल गई। पृथ्वी की गहरी परतों से परावर्तित तरंग को विस्फोट के 20 सेकंड बाद पृथ्वी की सतह पर दर्ज किया गया। चट्टान किस गहराई पर स्थित है, जिसका घनत्व पृथ्वी की पपड़ी के घनत्व से बहुत अलग है?

6. अंजीर में। 2 दो रस्सियों को दर्शाता है जिसके साथ एक अनुप्रस्थ तरंग का प्रसार होता है। प्रत्येक रस्सी अपने एक बिंदु के दोलन की दिशा दिखाती है। तरंग प्रसार की दिशा निर्धारित करें।

7. अंजीर में। 3 दो फिलामेंट्स की स्थिति को दर्शाता है जिसके साथ तरंग फैलती है, प्रत्येक तरंग के प्रसार की दिशा दिखाती है। प्रत्येक मामले के लिए ए और बी निर्धारित करें: 1) आयाम, अवधि, तरंग दैर्ध्य; 2) एक निश्चित समय में कॉर्ड के बिंदु A, B और C किस दिशा में आगे बढ़ रहे हैं; 3) दोलनों की संख्या जो कॉर्ड का कोई भी बिंदु 30 s में बनाता है। मान लीजिए कि पिंजरे की भुजा 20 सेमी है।

8. समुद्र के किनारे खड़े एक व्यक्ति ने निर्धारित किया कि आसन्न तरंग शिखरों के बीच की दूरी 15 मीटर है। इसके अलावा, उन्होंने गणना की कि 16 तरंग शिखर 75 सेकंड में किनारे पर पहुंच जाते हैं। तरंग प्रसार की गति निर्धारित करें।

यह पाठ्यपुस्तक सामग्री है।

यूएसई कोडिफायर के विषय: यांत्रिक तरंगें, तरंग दैर्ध्य, ध्वनि।

यांत्रिक तरंगें - यह एक लोचदार माध्यम (ठोस, तरल या गैसीय) के कणों के दोलनों के स्थान में प्रसार की प्रक्रिया है।

माध्यम में लोचदार गुणों की उपस्थिति तरंगों के प्रसार के लिए एक आवश्यक शर्त है: किसी भी स्थान पर होने वाली विकृति, पड़ोसी कणों की परस्पर क्रिया के कारण, माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर क्रमिक रूप से स्थानांतरित हो जाती है। विभिन्न प्रकार की विकृतियाँ विभिन्न प्रकार की तरंगों के अनुरूप होंगी।

अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें।

लहर कहा जाता है अनुदैर्ध्य, यदि माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं। एक अनुदैर्ध्य तरंग में प्रत्यावर्ती तन्यता और संपीड़ित उपभेद होते हैं। अंजीर पर। 1 एक अनुदैर्ध्य तरंग दिखाता है, जो माध्यम की सपाट परतों का एक दोलन है; वह दिशा जिसके साथ परतें दोलन करती हैं, तरंग प्रसार की दिशा के साथ मेल खाती हैं (अर्थात, परतों के लंबवत)।

एक तरंग को अनुप्रस्थ कहा जाता है यदि माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं। एक अनुप्रस्थ तरंग दूसरे के सापेक्ष माध्यम की एक परत के अपरूपण विकृति के कारण होती है। अंजीर पर। 2, प्रत्येक परत अपने आप में दोलन करती है, और लहर परतों के लंबवत यात्रा करती है।

अनुदैर्ध्य तरंगें ठोस, तरल और गैसों में फैल सकती हैं: इन सभी माध्यमों में, संपीड़न के लिए एक लोचदार प्रतिक्रिया होती है, जिसके परिणामस्वरूप संपीड़न और विरलन एक के बाद एक चलेंगे।

हालांकि, ठोस पदार्थों के विपरीत, तरल पदार्थ और गैसों में परतों के कतरनी के संबंध में लोच नहीं होता है। इसलिए, अनुप्रस्थ तरंगें ठोस में फैल सकती हैं, लेकिन तरल और गैसों के अंदर नहीं*।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि तरंग के पारित होने के दौरान, माध्यम के कण स्थिर संतुलन स्थितियों के पास दोलन करते हैं, अर्थात औसतन, अपने स्थान पर रहते हैं। लहर इस प्रकार
पदार्थ के हस्तांतरण के बिना ऊर्जा का हस्तांतरण.

सीखने में सबसे आसान हार्मोनिक तरंगें. वे हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलते हुए, पर्यावरण पर बाहरी प्रभाव के कारण होते हैं। जब एक हार्मोनिक तरंग का प्रसार होता है, तो माध्यम के कण बाहरी क्रिया की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन करते हैं। भविष्य में, हम खुद को हार्मोनिक तरंगों तक ही सीमित रखेंगे।

आइए हम तरंग प्रसार की प्रक्रिया पर अधिक विस्तार से विचार करें। मान लीजिए कि माध्यम का कोई कण (कण) आवर्त के साथ दोलन करने लगा। एक पड़ोसी कण पर अभिनय करते हुए, यह इसे अपने साथ खींच लेगा। कण, बदले में, कण को ​​अपने साथ खींच लेगा, आदि। इस प्रकार, एक लहर उत्पन्न होगी जिसमें सभी कण एक अवधि के साथ दोलन करेंगे।

हालांकि, कणों में द्रव्यमान होता है, यानी उनमें जड़ता होती है। उनकी गति को बदलने में कुछ समय लगता है। नतीजतन, अपनी गति में कण कण से कुछ पीछे हो जाएगा, कण कण से पीछे हो जाएगा, आदि। जब कण कुछ समय बाद पहला दोलन पूरा करता है और दूसरा शुरू करता है, कण, कण से एक निश्चित दूरी पर स्थित होता है। , अपना पहला दोलन शुरू करेगा।

तो, कण दोलनों की अवधि के बराबर समय के लिए, माध्यम की गड़बड़ी दूर से फैलती है। इस दूरी को कहा जाता है तरंग दैर्ध्य।कण के दोलन कण के दोलनों के समान होंगे, अगले कण के दोलन कण के दोलनों के समान होंगे, आदि। दोलन, जैसा कि यह था, दूरी पर खुद को पुन: उत्पन्न करना कहा जा सकता है स्थानिक दोलन अवधि; समय अवधि के साथ, यह तरंग प्रक्रिया की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता है। एक अनुदैर्ध्य तरंग में, तरंग दैर्ध्य आसन्न संपीडन या विरलन के बीच की दूरी के बराबर होता है (चित्र 1)। अनुप्रस्थ में - आसन्न कूबड़ या अवसादों के बीच की दूरी (चित्र 2)। सामान्य तौर पर, तरंग दैर्ध्य माध्यम के दो निकटतम कणों के बीच की दूरी (तरंग प्रसार की दिशा के साथ) के बराबर होता है, उसी तरह से दोलन करता है (अर्थात, चरण अंतर के बराबर)।

तरंग प्रसार गति माध्यम के कणों के दोलन की अवधि के लिए तरंग दैर्ध्य का अनुपात है:

तरंग की आवृत्ति कण दोलनों की आवृत्ति है:

यहाँ से हमें तरंग गति, तरंगदैर्घ्य और आवृत्ति का संबंध प्राप्त होता है:

. (1)

आवाज़।

ध्वनि तरंगें व्यापक अर्थ में, लोचदार माध्यम में फैलने वाली किसी भी तरंग को कहा जाता है। संकीर्ण अर्थ में आवाज़आवृत्ति रेंज में ध्वनि तरंगें 16 हर्ट्ज से 20 किलोहर्ट्ज़ तक होती हैं, जिन्हें मानव कान द्वारा माना जाता है। इस श्रेणी के नीचे का क्षेत्र है इन्फ्रासाउंड, ऊपर - क्षेत्र अल्ट्रासाउंड।

ध्वनि की मुख्य विशेषताएं हैं मात्राऔर ऊंचाई.
ध्वनि की प्रबलता ध्वनि तरंग में दबाव के उतार-चढ़ाव के आयाम से निर्धारित होती है और इसे विशेष इकाइयों में मापा जाता है - डेसीबल(डीबी)। तो, 0 डीबी की मात्रा श्रव्यता की दहलीज है, 10 डीबी एक घड़ी की टिकिंग है, 50 डीबी एक सामान्य बातचीत है, 80 डीबी एक चीख है, 130 डीबी श्रव्यता की ऊपरी सीमा है (तथाकथित दर्द की इंतिहा).

सुर - यह वह ध्वनि है जो एक शरीर बनाता है, जिससे हार्मोनिक कंपन होता है (उदाहरण के लिए, एक ट्यूनिंग कांटा या एक स्ट्रिंग)। पिच इन दोलनों की आवृत्ति से निर्धारित होती है: आवृत्ति जितनी अधिक होगी, ध्वनि उतनी ही अधिक होगी। तो, स्ट्रिंग को खींचकर, हम इसके दोलनों की आवृत्ति और, तदनुसार, पिच को बढ़ाते हैं।

विभिन्न माध्यमों में ध्वनि की गति भिन्न होती है: माध्यम जितना अधिक लोचदार होता है, उतनी ही तेज ध्वनि उसमें फैलती है। द्रवों में ध्वनि की चाल गैसों की अपेक्षा अधिक होती है तथा ठोसों में द्रवों की अपेक्षा अधिक होती है।
उदाहरण के लिए, हवा में ध्वनि की गति लगभग 340 मीटर / सेकंड है (इसे "एक किलोमीटर प्रति सेकंड का एक तिहाई" के रूप में याद रखना सुविधाजनक है) *। पानी में, ध्वनि लगभग 1500 मीटर/सेकेंड की गति से फैलती है, और स्टील में - लगभग 5000 मीटर/सेकेंड।
नोटिस जो आवृत्तिसभी माध्यमों में किसी दिए गए स्रोत से ध्वनि समान होती है: माध्यम के कण ध्वनि स्रोत की आवृत्ति के साथ जबरन दोलन करते हैं। सूत्र (1) के अनुसार, हम तब यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ध्वनि की गति के साथ-साथ एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाने पर ध्वनि तरंग की लंबाई बदल जाती है।

किसी भी उत्पत्ति की तरंगों के साथ, कुछ शर्तों के तहत, नीचे सूचीबद्ध चार घटनाएं देखी जा सकती हैं, जिन पर हम हवा में ध्वनि तरंगों और पानी की सतह पर तरंगों के उदाहरण का उपयोग करने पर विचार करेंगे।

तरंगों का परावर्तन।आइए एक ऑडियो फ़्रीक्वेंसी करंट जनरेटर के साथ एक प्रयोग करें जिससे एक लाउडस्पीकर (स्पीकर) जुड़ा हो, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। "ए"। हम एक सीटी की आवाज सुनेंगे। तालिका के दूसरे छोर पर, हम एक आस्टसीलस्कप से जुड़ा एक माइक्रोफोन लगाते हैं। चूंकि स्क्रीन पर एक छोटे आयाम वाली साइन तरंग दिखाई देती है, इसका मतलब है कि माइक्रोफ़ोन एक कमजोर ध्वनि को मानता है।

आइए अब टेबल के ऊपर एक बोर्ड रखें, जैसा कि चित्र "बी" में दिखाया गया है। चूंकि ऑसिलोस्कोप स्क्रीन पर आयाम बढ़ गया है, इसका मतलब है कि माइक्रोफोन तक पहुंचने वाली आवाज तेज हो गई है। यह और कई अन्य प्रयोग बताते हैं कि किसी भी मूल की यांत्रिक तरंगों में दो मीडिया के बीच इंटरफेस से परावर्तित होने की क्षमता होती है।

तरंगों का अपवर्तन।आइए आकृति की ओर मुड़ें, जो तटीय उथले (शीर्ष दृश्य) पर चल रही लहरों को दिखाती है। ग्रे-पीला रंग रेतीले किनारे को दर्शाता है, और नीला - समुद्र का गहरा हिस्सा। उनके बीच एक रेत का किनारा है - उथला पानी।

गहरे पानी से गुजरने वाली लहरें लाल तीर की दिशा में फैलती हैं। परिभ्रमण के स्थान पर तरंग अपवर्तित हो जाती है, अर्थात् यह संचरण की दिशा बदल देती है। इसलिए, तरंग प्रसार की नई दिशा का संकेत देने वाला नीला तीर अलग तरह से स्थित है।

यह और कई अन्य टिप्पणियों से पता चलता है कि किसी भी मूल की यांत्रिक तरंगों को अपवर्तित किया जा सकता है जब प्रसार की स्थिति बदलती है, उदाहरण के लिए, दो मीडिया के बीच इंटरफेस में।

तरंगों का विवर्तन।लैटिन से अनुवादित "डिफ्रैक्टस" का अर्थ है "टूटा हुआ"। भौतिकी में विवर्तन एक ही माध्यम में सीधा प्रसार से तरंगों का विचलन है, जिससे उनके बाधाओं को गोल किया जाता है।

अब समुद्र की सतह पर लहरों के एक और पैटर्न पर एक नज़र डालें (किनारे से देखें)। दूर से हमारी ओर दौड़ती लहरें बाईं ओर एक बड़ी चट्टान से छिप जाती हैं, लेकिन साथ ही वे आंशिक रूप से इसके चारों ओर घूमती हैं। दाईं ओर की छोटी चट्टान लहरों के लिए बिल्कुल भी बाधा नहीं है: वे पूरी तरह से इसके चारों ओर घूमती हैं, एक ही दिशा में फैलती हैं।

अनुभव बताते हैं कि विवर्तन सबसे स्पष्ट रूप से प्रकट होता है यदि आपतित तरंग की लंबाई बाधा के आयामों से अधिक है।उसके पीछे लहर ऐसे फैलती है जैसे कोई बाधा ही न हो।

लहर हस्तक्षेप।हमने एक तरंग के प्रसार से जुड़ी परिघटनाओं पर विचार किया है: परावर्तन, अपवर्तन और विवर्तन। अब एक दूसरे पर दो या दो से अधिक तरंगों के अध्यारोपण के साथ प्रसार पर विचार करें - हस्तक्षेप घटना(लैटिन "इंटर" से - पारस्परिक रूप से और "फेरियो" - मैंने मारा)। आइए इस घटना का प्रयोगात्मक अध्ययन करें।

ऑडियो फ़्रीक्वेंसी करंट जनरेटर के समानांतर जुड़े दो स्पीकर कनेक्ट करें। ध्वनि रिसीवर, पहले प्रयोग की तरह, एक आस्टसीलस्कप से जुड़ा एक माइक्रोफोन होगा।

आइए माइक्रोफ़ोन को दाईं ओर ले जाना शुरू करें। आस्टसीलस्कप दिखाएगा कि ध्वनि कमजोर और मजबूत हो जाती है, इस तथ्य के बावजूद कि माइक्रोफोन स्पीकर से दूर चला जाता है। आइए माइक्रोफ़ोन को स्पीकर्स के बीच की मध्य रेखा पर लौटाते हैं, और फिर हम इसे फिर से स्पीकर से दूर, बाईं ओर ले जाएंगे। आस्टसीलस्कप हमें फिर से क्षीणन दिखाएगा, फिर ध्वनि का प्रवर्धन।

यह और कई अन्य प्रयोग बताते हैं कि ऐसे स्थान में जहां कई तरंगें फैलती हैं, उनके हस्तक्षेप से दोलनों के प्रवर्धन और क्षीणन के साथ वैकल्पिक क्षेत्रों की उपस्थिति हो सकती है।

जब किसी ठोस, तरल या गैसीय माध्यम के किसी भी स्थान पर कण कंपन उत्तेजित होते हैं, तो माध्यम के परमाणुओं और अणुओं की परस्पर क्रिया का परिणाम एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सीमित गति के साथ कंपन का संचरण होता है।

परिभाषा 1

लहरमाध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया है।

यांत्रिक तरंगें निम्न प्रकार की होती हैं:

परिभाषा 2

अनुप्रस्थ तरंग: माध्यम के कण यांत्रिक तरंग के संचरण की दिशा के लंबवत दिशा में विस्थापित होते हैं।

उदाहरण: तनाव में एक स्ट्रिंग या रबर बैंड के साथ फैलने वाली तरंगें (चित्र 2.6.1);

परिभाषा 3

लोंगिट्युडिनल वेव: माध्यम के कण यांत्रिक तरंग के संचरण की दिशा में विस्थापित होते हैं।

उदाहरण: गैस या लोचदार छड़ में फैलने वाली तरंगें (चित्र 2.6.2)।

दिलचस्प बात यह है कि तरल सतह पर तरंगों में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों घटक शामिल होते हैं।

टिप्पणी 1

हम एक महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण की ओर इशारा करते हैं: जब यांत्रिक तरंगें फैलती हैं, तो वे ऊर्जा, रूप को स्थानांतरित करती हैं, लेकिन द्रव्यमान को स्थानांतरित नहीं करती हैं, अर्थात। दोनों प्रकार की तरंगों में तरंग प्रसार की दिशा में पदार्थ का स्थानांतरण नहीं होता है। प्रसार करते समय, माध्यम के कण संतुलन की स्थिति के आसपास दोलन करते हैं। इस मामले में, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, तरंगें ऊर्जा को स्थानांतरित करती हैं, अर्थात् दोलनों की ऊर्जा माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक।

चित्र 2। 6. एक । तनाव में रबर बैंड के साथ अनुप्रस्थ तरंग का प्रसार।

चित्र 2। 6. 2. एक लोचदार छड़ के साथ अनुदैर्ध्य तरंग का प्रसार।

यांत्रिक तरंगों की एक विशिष्ट विशेषता भौतिक मीडिया में उनका प्रसार है, इसके विपरीत, उदाहरण के लिए, प्रकाश तरंगें, जो एक निर्वात में भी फैल सकती हैं। एक यांत्रिक तरंग आवेग की घटना के लिए, एक माध्यम की आवश्यकता होती है जिसमें गतिज और संभावित ऊर्जाओं को संग्रहीत करने की क्षमता हो: अर्थात। माध्यम में अक्रिय और लोचदार गुण होने चाहिए। वास्तविक वातावरण में, इन गुणों को संपूर्ण वॉल्यूम में वितरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक ठोस शरीर के प्रत्येक छोटे तत्व में द्रव्यमान और लोच होता है। इस तरह के शरीर का सबसे सरल एक-आयामी मॉडल गेंदों और झरनों का एक सेट है (चित्र 2.6.3)।

चित्र 2। 6. 3. कठोर शरीर का सबसे सरल एक आयामी मॉडल।

इस मॉडल में, निष्क्रिय और लोचदार गुणों को अलग किया जाता है। गेंदों में द्रव्यमान है एम, और स्प्रिंग्स - कठोरता कश्मीर। इस तरह का एक सरल मॉडल एक ठोस में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ यांत्रिक तरंगों के प्रसार का वर्णन करना संभव बनाता है। जब एक अनुदैर्ध्य तरंग फैलती है, तो गेंदों को श्रृंखला के साथ विस्थापित किया जाता है, और स्प्रिंग्स को बढ़ाया या संकुचित किया जाता है, जो एक खिंचाव या संपीड़न विकृति है। यदि ऐसा विरूपण किसी तरल या गैसीय माध्यम में होता है, तो यह संघनन या विरलीकरण के साथ होता है।

टिप्पणी 2

अनुदैर्ध्य तरंगों की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि वे किसी भी माध्यम में प्रचार करने में सक्षम हैं: ठोस, तरल और गैसीय।

यदि एक कठोर शरीर के निर्दिष्ट मॉडल में एक या कई गेंदों को पूरी श्रृंखला में लंबवत विस्थापन प्राप्त होता है, तो हम एक कतरनी विरूपण की घटना के बारे में बात कर सकते हैं। विस्थापन के परिणामस्वरूप विरूपण प्राप्त करने वाले स्प्रिंग्स विस्थापित कणों को संतुलन की स्थिति में वापस कर देंगे, और निकटतम अस्थिर कण इन कणों को संतुलन की स्थिति से विक्षेपित करने की प्रवृत्ति वाले लोचदार बलों से प्रभावित होने लगेंगे। परिणाम श्रृंखला के साथ दिशा में एक अनुप्रस्थ तरंग की उपस्थिति होगी।

एक तरल या गैसीय माध्यम में, लोचदार कतरनी विरूपण नहीं होता है। एक तरल या गैस परत को पड़ोसी परत के सापेक्ष कुछ दूरी पर विस्थापित करने से परतों के बीच की सीमा पर स्पर्शरेखा बलों की उपस्थिति नहीं होगी। एक तरल और एक ठोस की सीमा पर कार्य करने वाले बल, साथ ही साथ एक तरल पदार्थ की आसन्न परतों के बीच की ताकतों को हमेशा सामान्य के साथ सीमा की ओर निर्देशित किया जाता है - ये दबाव बल हैं। गैसीय माध्यम के बारे में भी यही कहा जा सकता है।

टिप्पणी 3

इस प्रकार, तरल या गैसीय माध्यम में अनुप्रस्थ तरंगों का प्रकट होना असंभव है।

व्यावहारिक अनुप्रयोगों के संदर्भ में, साधारण हार्मोनिक या साइन तरंगें विशेष रुचि रखती हैं। वे कण दोलन आयाम ए, आवृत्ति f और तरंग दैर्ध्य द्वारा विशेषता हैं। साइनसॉइडल तरंगें सजातीय मीडिया में कुछ स्थिर गति के साथ फैलती हैं।

आइए हम O X अक्ष पर समन्वय x पर एक साइनसॉइडल तरंग में संतुलन की स्थिति से माध्यम के कणों के विस्थापन y (x, t) की निर्भरता को दर्शाने वाला एक व्यंजक लिखें, जिसके साथ तरंग का प्रसार होता है, और समय t पर:

y (x, t) = A cos t - x υ = A cos t - k x ।

उपरोक्त व्यंजक में, k = तथाकथित तरंग संख्या है, और ω = 2 π f वृत्तीय आवृत्ति है।

चित्र 2। 6. 4 समय t और t + t पर अपरूपण तरंग के "स्नैपशॉट" दिखाता है। समय अंतराल के दौरान t तरंग अक्ष O X के अनुदिश t की दूरी पर गति करती है। ऐसी तरंगों को यात्रा तरंगें कहते हैं।

चित्र 2। 6. 4. एक समय में एक यात्रा साइन लहर के "स्नैपशॉट"टी और टी + t।

परिभाषा 4

वेवलेंथλ अक्ष पर दो आसन्न बिंदुओं के बीच की दूरी है बैलसमान चरणों में दोलन करते हैं।

दूरी, जिसका मान तरंग दैर्ध्य है, तरंग अवधि T में यात्रा करती है। इस प्रकार, तरंग दैर्ध्य का सूत्र है: λ = T, जहां तरंग प्रसार गति है।

समय बीतने के साथ, निर्देशांक बदल जाता है x तरंग प्रक्रिया को प्रदर्शित करने वाले ग्राफ पर कोई भी बिंदु (उदाहरण के लिए, चित्र 2 में बिंदु A। 6। 4), जबकि व्यंजक t - k x का मान अपरिवर्तित रहता है। एक समय के बाद t बिंदु A अक्ष के अनुदिश गति करेगा बैलकुछ दूरी Δ x = t । इस प्रकार:

टी - के एक्स = ω (टी + ∆ टी) - के (एक्स + ∆ एक्स) = सी ओ एन एस टी या ω ∆ टी = के एक्स।

इस अभिव्यक्ति से यह निम्नानुसार है:

= ∆ x ∆ टी = ω k या k = 2 = ।

यह स्पष्ट हो जाता है कि एक यात्रा करने वाली साइनसॉइडल तरंग की दोहरी आवधिकता होती है - समय और स्थान में। समय अवधि माध्यम के कणों के दोलन अवधि T के बराबर होती है, और स्थानिक अवधि तरंग दैर्ध्य के बराबर होती है।

परिभाषा 5

लहर संख्या k = 2 वृत्ताकार आवृत्ति = - 2 T का स्थानिक एनालॉग है।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि समीकरण y (x, t) = A cos t + k x एक साइनसॉइडल तरंग का वर्णन है जो अक्ष की दिशा के विपरीत दिशा में फैलती है बैल, गति के साथ υ = - k ।

जब एक यात्रा तरंग फैलती है, तो माध्यम के सभी कण एक निश्चित आवृत्ति के साथ हार्मोनिक रूप से दोलन करते हैं। इसका मतलब यह है कि, एक साधारण दोलन प्रक्रिया के रूप में, औसत संभावित ऊर्जा, जो कि माध्यम की एक निश्चित मात्रा का आरक्षित है, समान मात्रा में औसत गतिज ऊर्जा है, जो दोलन आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है।

टिप्पणी 4

पूर्वगामी से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जब एक यात्रा तरंग फैलती है, तो एक ऊर्जा प्रवाह प्रकट होता है जो तरंग की गति और उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होता है।

यात्रा तरंगें कुछ निश्चित वेगों वाले माध्यम में चलती हैं, जो तरंग के प्रकार, माध्यम के अक्रिय और लोचदार गुणों पर निर्भर करती हैं।

जिस गति से अनुप्रस्थ तरंगें तनी हुई डोरी या रबर बैंड में फैलती हैं, वह रैखिक द्रव्यमान μ (या द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई) और तनाव बल पर निर्भर करती है। टी:

जिस गति से अनुदैर्ध्य तरंगें एक अनंत माध्यम में फैलती हैं, उसकी गणना ऐसी मात्राओं की भागीदारी के साथ की जाती है जैसे कि माध्यम का घनत्व (या द्रव्यमान प्रति इकाई आयतन) और थोक मापांक बी(दबाव पी में परिवर्तन और मात्रा Δ वी वी में सापेक्ष परिवर्तन के बीच आनुपातिकता के गुणांक के बराबर, विपरीत संकेत के साथ लिया गया):

पी = - बी ∆ वी वी।

इस प्रकार, अनंत माध्यम में अनुदैर्ध्य तरंगों का प्रसार वेग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

उदाहरण 1

20 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर, पानी में अनुदैर्ध्य तरंगों का प्रसार वेग 1480 m / s, स्टील के विभिन्न ग्रेड 5 - 6 किमी / सेकंड में होता है।

यदि हम लोचदार छड़ों में फैलने वाली अनुदैर्ध्य तरंगों के बारे में बात कर रहे हैं, तो तरंग वेग के सूत्र में संपीड़न मापांक नहीं, बल्कि यंग का मापांक होता है:

स्टील अंतर के लिए इसे बीमहत्वहीन रूप से, लेकिन अन्य सामग्रियों के लिए यह 20-30% या अधिक हो सकता है।

चित्र 2। 6. 5. अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों का मॉडल।

मान लीजिए कि एक निश्चित माध्यम में फैलने वाली एक यांत्रिक तरंग अपने रास्ते में कुछ बाधा का सामना करती है: इस मामले में, उसके व्यवहार की प्रकृति नाटकीय रूप से बदल जाएगी। उदाहरण के लिए, विभिन्न यांत्रिक गुणों वाले दो मीडिया के बीच इंटरफेस में, तरंग आंशिक रूप से परिलक्षित होती है, और आंशिक रूप से दूसरे माध्यम में प्रवेश करती है। रबर बैंड या स्ट्रिंग के साथ चलने वाली एक लहर निश्चित छोर से परावर्तित होगी, और एक काउंटर वेव उत्पन्न होगी। यदि स्ट्रिंग के दोनों सिरों को स्थिर कर दिया जाता है, तो जटिल दोलन दिखाई देंगे, जो विपरीत दिशाओं में फैलने वाली दो तरंगों के सुपरइम्पोज़िशन (सुपरपोज़िशन) का परिणाम हैं और सिरों पर परावर्तन और पुन: प्रतिबिंब का अनुभव करते हैं। इस प्रकार सभी तार वाले वाद्ययंत्रों के तार "काम" करते हैं, जो दोनों सिरों पर तय होते हैं। इसी तरह की प्रक्रिया पवन उपकरणों की आवाज के साथ होती है, विशेष रूप से, अंग पाइप।

यदि स्ट्रिंग के साथ विपरीत दिशाओं में फैलने वाली तरंगों का साइनसॉइडल आकार होता है, तो कुछ शर्तों के तहत वे एक खड़ी लहर बनाती हैं।

मान लीजिए कि लंबाई की एक स्ट्रिंग इस तरह से तय की गई है कि इसका एक सिरा बिंदु x \u003d 0 पर स्थित है, और दूसरा बिंदु x 1 \u003d L (चित्र 2.6.6) पर स्थित है। तार में तनाव है टी.

तस्वीर 2 . 6 . 6 . दोनों सिरों पर तय की गई एक स्ट्रिंग में एक खड़ी लहर का उदय।

समान आवृत्ति वाली दो तरंगें एक साथ स्ट्रिंग के साथ विपरीत दिशाओं में चलती हैं:

• y 1 (x, t) = A cos (ω t + k x) एक तरंग है जो दायें से बायीं ओर फैलती है;
• y 2 (x, t) = A cos (ω t - k x) एक तरंग है जो बाएं से दाएं फैलती है।

बिंदु x = 0 स्ट्रिंग के निश्चित सिरों में से एक है: इस बिंदु पर आपतित तरंग y 1 परावर्तन के परिणामस्वरूप एक तरंग y 2 बनाता है। निश्चित छोर से परावर्तित होकर परावर्तित तरंग आपतित एक के साथ एंटीफेज में प्रवेश करती है। अध्यारोपण के सिद्धांत (जो एक प्रायोगिक तथ्य है) के अनुसार, स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं पर प्रतिप्रचार तरंगों द्वारा निर्मित कंपनों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है। ऊपर से यह इस प्रकार है कि प्रत्येक बिंदु पर अंतिम उतार-चढ़ाव को अलग-अलग तरंगों y 1 और y 2 के कारण होने वाले उतार-चढ़ाव के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार:

y \u003d y 1 (x, t) + y 2 (x, t) \u003d (- 2 पाप ω t) पाप k x।

उपरोक्त अभिव्यक्ति एक खड़ी लहर का वर्णन है। आइए हम ऐसी घटना पर लागू होने वाली कुछ अवधारणाओं को एक स्थायी लहर के रूप में पेश करते हैं।

परिभाषा 6

समुद्री मीलएक खड़ी लहर में गतिहीनता के बिंदु हैं।

एंटीनोड्स- नोड्स के बीच स्थित बिंदु और अधिकतम आयाम के साथ दोलन।

यदि हम इन परिभाषाओं का पालन करते हैं, तो एक स्थायी तरंग उत्पन्न होने के लिए, स्ट्रिंग के दोनों निश्चित छोर नोड्स होने चाहिए। उपरोक्त सूत्र इस शर्त को बाएँ सिरे पर पूरा करता है (x = 0) । दाएँ छोर (x = L) पर संतुष्ट होने की स्थिति के लिए, यह आवश्यक है कि k L = n , जहाँ n कोई पूर्णांक हो। जो कहा गया है, उससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक खड़ी लहर हमेशा एक स्ट्रिंग में नहीं दिखाई देती है, लेकिन केवल तभी जब लंबाई लीस्ट्रिंग अर्ध-तरंग दैर्ध्य की एक पूर्णांक संख्या के बराबर है:

एल = एन λ एन 2 या एन = 2 एल एन (एन = 1, 2, 3, ...)

मानों का सेट n तरंग दैर्ध्य का सेट संभावित आवृत्तियों के सेट से मेल खाता है एफ

एफ एन = υ λ एन = एन υ 2 एल = एन एफ 1।

इस संकेतन में, = T μ वह गति है जिसके साथ अनुप्रस्थ तरंगें स्ट्रिंग के साथ फैलती हैं।

परिभाषा 7

प्रत्येक आवृत्ति f n और इससे जुड़े स्ट्रिंग कंपन के प्रकार को सामान्य मोड कहा जाता है। सबसे कम आवृत्ति f 1 को मौलिक आवृत्ति कहा जाता है, अन्य सभी (f 2, f 3, ...) को हार्मोनिक्स कहा जाता है।

चित्र 2। 6. 6 n = 2 के लिए सामान्य मोड को दर्शाता है।

एक खड़ी लहर में कोई ऊर्जा प्रवाह नहीं होता है। दो पड़ोसी नोड्स के बीच स्ट्रिंग के खंड में कंपन की ऊर्जा, "लॉक" होती है, बाकी स्ट्रिंग में स्थानांतरित नहीं होती है। ऐसे प्रत्येक खंड में, एक आवधिक (प्रति अवधि दो बार) टी) गतिज ऊर्जा का स्थितिज ऊर्जा में रूपांतरण और इसके विपरीत, एक सामान्य दोलन प्रणाली के समान। हालांकि, यहां एक अंतर है: यदि वसंत या पेंडुलम पर वजन में एक ही प्राकृतिक आवृत्ति f 0 = ω 0 2 है, तो स्ट्रिंग को प्राकृतिक (गुंजयमान) आवृत्तियों की अनंत संख्या f n की उपस्थिति की विशेषता है। चित्र 2। 6. 7 दोनों सिरों पर तय की गई एक स्ट्रिंग में खड़ी तरंगों के कई प्रकार दिखाता है।

चित्र 2। 6. 7. एक डोरी के पहले पाँच सामान्य कंपन मोड दोनों सिरों पर स्थिर होते हैं।

अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार, विभिन्न प्रकार की खड़ी तरंगें (विभिन्न मूल्यों के साथ) एन) स्ट्रिंग के कंपन में एक साथ उपस्थित होने में सक्षम हैं।

चित्र 2। 6. आठ । एक स्ट्रिंग के सामान्य मोड का मॉडल।

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