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एक संभावना क्या है?

पहली बार इस शब्द का सामना करना पड़ा, मुझे समझ में नहीं आया कि यह क्या है। तो मैं समझने योग्य तरीके से समझाने की कोशिश करूंगा।

संभावना है कि वांछित घटना घटित होगी।

उदाहरण के लिए, आपने एक दोस्त से मिलने का फैसला किया, प्रवेश द्वार और यहां तक ​​कि जिस मंजिल पर वह रहता है, उसे भी याद रखें। लेकिन मैं अपार्टमेंट का नंबर और लोकेशन भूल गया। और अब आप सीढ़ी पर खड़े हैं, और आपके सामने चुनने के लिए दरवाजे हैं।

क्या संभावना (प्रायिकता) है कि यदि आप पहली घंटी बजाते हैं, तो आपका मित्र इसे आपके लिए खोल देगा? पूरा अपार्टमेंट, और एक दोस्त उनमें से केवल एक के पीछे रहता है। समान अवसर के साथ हम कोई भी द्वार चुन सकते हैं।

लेकिन यह मौका क्या है?

दरवाजे, सही दरवाजा। पहला दरवाजा बजने से अनुमान लगाने की प्रायिकता : . यानी तीन में से एक बार आप निश्चित रूप से अनुमान लगा लेंगे।

हम एक बार कॉल करके जानना चाहते हैं कि हम कितनी बार दरवाजे का अनुमान लगाएंगे? आइए सभी विकल्पों को देखें:

1. आपने को फोन किया 1एक दरवाजा
2. आपने को फोन किया 2एक दरवाजा
3. आपने को फोन किया 3एक दरवाजा

और अब उन सभी विकल्पों पर विचार करें जहां एक मित्र हो सकता है:

ए। पीछे 1द्वार
बी। पीछे 2द्वार
में। पीछे 3द्वार

आइए तालिका के रूप में सभी विकल्पों की तुलना करें। एक टिक विकल्पों को इंगित करता है जब आपकी पसंद किसी मित्र के स्थान से मेल खाती है, एक क्रॉस - जब यह मेल नहीं खाता है।

आप सब कुछ कैसे देखते हैं संभवत: विकल्पदोस्त का स्थान और आपकी पसंद का कौन सा दरवाजा बजना है।

लेकिन सभी के अनुकूल परिणाम . यानी आप एक बार दरवाजा बजाकर समय का अंदाजा लगा लेंगे, यानी। .

यह संभावना है - संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल परिणाम (जब आपकी पसंद किसी मित्र के स्थान के साथ मेल खाती है) का अनुपात।

परिभाषा सूत्र है। प्रायिकता को आमतौर पर p से निरूपित किया जाता है, इसलिए:

इस तरह के एक सूत्र को लिखना बहुत सुविधाजनक नहीं है, इसलिए आइए - अनुकूल परिणामों की संख्या, और के लिए - परिणामों की कुल संख्या लें।

संभाव्यता को प्रतिशत के रूप में लिखा जा सकता है, इसके लिए आपको परिणामी परिणाम को इससे गुणा करना होगा:

शायद, "परिणामों" शब्द ने आपका ध्यान खींचा। चूंकि गणितज्ञ विभिन्न क्रियाओं को कहते हैं (हमारे लिए, ऐसी क्रिया एक दरवाजे की घंटी है) प्रयोग, ऐसे प्रयोगों के परिणाम को परिणाम कहने की प्रथा है।

खैर, परिणाम अनुकूल और प्रतिकूल हैं।

आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। मान लीजिए कि हमने एक दरवाजे पर घंटी बजाई, लेकिन एक अजनबी ने इसे हमारे लिए खोल दिया। हमने अनुमान नहीं लगाया। इसकी क्या प्रायिकता है कि यदि हम बचे हुए दरवाज़ों में से किसी एक पर घंटी बजाते हैं, तो हमारा मित्र उसे हमारे लिए खोल देगा?

अगर आपने ऐसा सोचा है, तो यह एक गलती है। आइए इसका पता लगाते हैं।

हमारे पास दो दरवाजे बचे हैं। तो हमारे पास संभावित कदम हैं:

1) करने के लिए कॉल करें 1एक दरवाजा
2) कॉल करें 2एक दरवाजा

एक दोस्त, इन सबके साथ, निश्चित रूप से उनमें से एक के पीछे है (आखिरकार, वह हमारे द्वारा बुलाए गए के पीछे नहीं था):

ए) एक दोस्त 1द्वार
बी) के लिए एक दोस्त 2द्वार

आइए फिर से तालिका बनाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी विकल्प हैं, जिनमें से - अनुकूल। यानी संभावना बराबर है।

क्यों नहीं?

हमने जिस स्थिति पर विचार किया है वह है आश्रित घटनाओं का उदाहरणपहली घटना पहली डोरबेल है, दूसरी घटना दूसरी डोरबेल है।

और उन्हें आश्रित कहा जाता है क्योंकि वे निम्नलिखित क्रियाओं को प्रभावित करते हैं। आखिरकार, अगर एक दोस्त ने पहली अंगूठी के बाद दरवाजा खोला, तो क्या संभावना होगी कि वह अन्य दो में से एक के पीछे था? सही ढंग से, .

लेकिन अगर आश्रित घटनाएँ हैं, तो वहाँ होना चाहिए स्वतंत्र? सच है, वहाँ हैं।

एक पाठ्यपुस्तक का उदाहरण एक सिक्का उछालना है।

1. हम एक सिक्का उछालते हैं। क्या संभावना है कि, उदाहरण के लिए, शीर्ष आएंगे? यह सही है - क्योंकि हर चीज के लिए विकल्प (या तो सिर या पूंछ, हम एक सिक्के के किनारे पर खड़े होने की संभावना की उपेक्षा करेंगे), लेकिन केवल हमें सूट करता है।
2. लेकिन पूंछ बाहर गिर गई। ठीक है, चलो इसे फिर से करते हैं। अब चित आने की प्रायिकता क्या है? कुछ नहीं बदला, सब कुछ वैसा ही है। कितने विकल्प? दो। हम कितने संतुष्ट हैं? एक।

और पूंछ को कम से कम एक हजार बार एक पंक्ति में गिरने दें। एक बार में सिर गिरने की संभावना समान होगी। हमेशा विकल्प होते हैं, लेकिन अनुकूल होते हैं।

आश्रित घटनाओं को स्वतंत्र घटनाओं से अलग करना आसान है:

1. यदि प्रयोग एक बार किया जाता है (एक बार सिक्का उछाला जाता है, एक बार घंटी बजती है, आदि), तो घटनाएँ हमेशा स्वतंत्र होती हैं।
2. यदि प्रयोग कई बार किया जाता है (एक सिक्का एक बार उछाला जाता है, दरवाजे की घंटी कई बार बजाई जाती है), तो पहली घटना हमेशा स्वतंत्र होती है। और फिर, यदि अनुकूल की संख्या या सभी परिणामों की संख्या में परिवर्तन होता है, तो घटनाएँ निर्भर होती हैं, और यदि नहीं, तो वे स्वतंत्र होती हैं।

आइए संभाव्यता निर्धारित करने के लिए थोड़ा अभ्यास करें।

उदाहरण 1

सिक्का दो बार उछाला जाता है। एक पंक्ति में दो बार चित आने की प्रायिकता क्या है?

फेसला:

सभी संभावित विकल्पों पर विचार करें:

1. ईगल ईगल
2. चील की पूंछ
3. टेल-ईगल
4. पूंछ-पूंछ

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी विकल्प। इनमें से हम केवल संतुष्ट हैं। यही संभावना है:

यदि शर्त केवल प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कहती है, तो उत्तर दशमलव भिन्न के रूप में दिया जाना चाहिए। यदि यह संकेत दिया गया था कि उत्तर प्रतिशत के रूप में दिया जाना चाहिए, तो हम गुणा करेंगे।

जवाब:

उदाहरण 2

चॉकलेट के एक डिब्बे में सभी कैंडी को एक ही रैपर में पैक किया जाता है। हालांकि, मिठाई से - नट्स, कॉन्यैक, चेरी, कारमेल और नूगट के साथ।

एक कैंडी लेने और नट्स के साथ एक कैंडी मिलने की क्या प्रायिकता है? अपना उत्तर प्रतिशत में दें।

फेसला:

कितने संभावित परिणाम हैं? .

यानी एक कैंडी लेते हुए, यह बॉक्स में से एक होगी।

और कितने अनुकूल परिणाम?

क्योंकि बॉक्स में केवल नट्स के साथ चॉकलेट हैं।

जवाब:

उदाहरण 3

गेंदों के डिब्बे में। जिनमें से सफेद और काले हैं।

1. एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है?
2. हमने बॉक्स में और काली गेंदें जोड़ीं। अब एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है?

फेसला:

a) बॉक्स में केवल गेंदें हैं। जिनमें से सफेद हैं।

संभावना है:

b) अब बॉक्स में गेंदें हैं। और उतने ही गोरे बचे हैं।

जवाब:

पूर्ण संभावना

सभी संभावित घटनाओं की प्रायिकता () है।

उदाहरण के लिए, लाल और हरी गेंदों के डिब्बे में। लाल गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है? हरी गेंद? लाल या हरी गेंद?

लाल गेंद निकालने की प्रायिकता

हरी गेंद:

लाल या हरी गेंद:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी संभावित घटनाओं का योग () के बराबर है। इस बिंदु को समझने से आपको कई समस्याओं का समाधान करने में मदद मिलेगी।

उदाहरण 4

बॉक्स में लगा-टिप पेन हैं: हरा, लाल, नीला, पीला, काला।

लाल मार्कर नहीं होने की प्रायिकता क्या है?

फेसला:

चलो संख्या गिनें अनुकूल परिणाम।

लाल मार्कर नहीं, जिसका अर्थ है हरा, नीला, पीला या काला।

किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटा देती है।

स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकताओं को गुणा करने का नियम

आप पहले से ही जानते हैं कि स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं।

और यदि आपको दो (या अधिक) स्वतंत्र घटनाओं के एक पंक्ति में घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है?

मान लीजिए कि हम यह जानना चाहते हैं कि क्या प्रायिकता है कि एक सिक्के को एक बार उछालने पर हमें एक चील दो बार दिखाई देगी?

हम पहले ही विचार कर चुके हैं - .

क्या होगा अगर हम एक सिक्का उछालें? एक चील को लगातार दो बार देखने की प्रायिकता क्या है?

कुल संभावित विकल्प:

1. ईगल-ईगल-ईगल
2. ईगल-सिर-पूंछ
3. सिर-पूंछ-ईगल
4. सिर-पूंछ-पूंछ
5. पूंछ-ईगल-ईगल
6. पूंछ-सिर-पूंछ
7. पूंछ-पूंछ-सिर
8. पूँछ-पूंछ-पूंछ

मैं आपके बारे में नहीं जानता, लेकिन मैंने इस सूची को एक बार गलत बना दिया था। बहुत खूब! और एकमात्र विकल्प (पहला) हमें सूट करता है।

5 रोल के लिए, आप संभावित परिणामों की एक सूची स्वयं बना सकते हैं। लेकिन गणितज्ञ आपके जितने मेहनती नहीं हैं।

इसलिए, उन्होंने पहले देखा, और फिर साबित किया कि स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित अनुक्रम की संभावना हर बार एक घटना की संभावना से घट जाती है।

दूसरे शब्दों में,

उसी के उदाहरण पर विचार करें, बदकिस्मत, सिक्का।

एक परीक्षण में प्रमुखों के आने की संभावना? . अब हम एक सिक्का उछाल रहे हैं।

एक पंक्ति में पट आने की प्रायिकता क्या है?

यह नियम केवल तभी काम करता है जब हमें एक ही घटना के लगातार कई बार घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कहा जाए।

यदि हम टेल्स-ईगल-टेल्स अनुक्रम को लगातार फ़्लिप पर खोजना चाहते हैं, तो हम ऐसा ही करेंगे।

पट - , चित - प्राप्त होने की प्रायिकता ।

अनुक्रम प्राप्त करने की संभावना पूंछ-ईगल-पूंछ-पूंछ:

आप इसे टेबल बनाकर खुद चेक कर सकते हैं।

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का नियम।

इसलिए रोका! नई परिभाषा।

आइए इसका पता लगाते हैं। आइए अपना घिसा-पिटा सिक्का लें और उसे एक बार पलटें।
संभावित विकल्प:

1. ईगल-ईगल-ईगल
2. ईगल-सिर-पूंछ
3. सिर-पूंछ-ईगल
4. सिर-पूंछ-पूंछ
5. पूंछ-ईगल-ईगल
6. पूंछ-सिर-पूंछ
7. पूंछ-पूंछ-सिर
8. पूँछ-पूंछ-पूंछ

तो यहाँ असंगत घटनाएँ हैं, यह घटनाओं का एक निश्चित, दिया गया क्रम है। असंगत घटनाएँ हैं।

यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि दो (या अधिक) असंगत घटनाओं की संभावना क्या है, तो हम इन घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ते हैं।

आपको यह समझने की जरूरत है कि एक बाज या पूंछ का नुकसान दो स्वतंत्र घटनाएं हैं।

यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि किसी अनुक्रम की प्रायिकता क्या है) (या कोई अन्य) बाहर गिरती है, तो हम प्रायिकता को गुणा करने के नियम का उपयोग करते हैं।
पहले टॉस पर हेड आने की और दूसरे और तीसरे पर टेल आने की प्रायिकता क्या है?

लेकिन अगर हम जानना चाहते हैं कि कई अनुक्रमों में से एक प्राप्त करने की संभावना क्या है, उदाहरण के लिए, जब शीर्ष ठीक एक बार आते हैं, यानी। विकल्प और, फिर हमें इन अनुक्रमों की संभावनाओं को जोड़ना होगा।

कुल विकल्प हमें सूट करते हैं।

हम प्रत्येक अनुक्रम के घटित होने की प्रायिकताओं को जोड़कर वही प्राप्त कर सकते हैं:

इस प्रकार, हम संभावनाओं को जोड़ते हैं जब हम कुछ, असंगत, घटनाओं के अनुक्रम की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं।

कब गुणा करना है और कब जोड़ना है, यह भ्रमित न करने में आपकी मदद करने के लिए एक बढ़िया नियम है:

आइए उस उदाहरण पर वापस जाएं जहां हमने एक सिक्का उछाला और एक बार शीर्ष देखने की संभावना जानना चाहते हैं।
क्या होने वाला है?

गिरा देना चाहिए:
(सिर और पूंछ और पूंछ) या (पूंछ और सिर और पूंछ) या (पूंछ और पूंछ और सिर)।
और इसलिए यह पता चला है:

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 5

बॉक्स में पेंसिल हैं। लाल, हरा, नारंगी और पीला और काला। लाल या हरी पेंसिल निकालने की प्रायिकता क्या है?

फेसला:

उदाहरण 6

एक पासे को दो बार फेंका जाता है, कुल 8 आने की क्या प्रायिकता है?

फेसला।

हम अंक कैसे प्राप्त कर सकते हैं?

(और) या (और) या (और) या (और) या (और)।

एक (किसी भी) फलक के गिरने की प्रायिकता है।

हम संभावना की गणना करते हैं:

कसरत करना।

मुझे लगता है कि अब आपके लिए यह स्पष्ट हो गया है कि आपको कब संभावनाओं को गिनना है, कब जोड़ना है और कब गुणा करना है। है की नहीं? आइए कुछ व्यायाम करें।

कार्य:

आइए ताश के पत्तों का एक डेक लें जिसमें कार्ड हुकुम, दिल, 13 क्लब और 13 डफ हैं। प्रत्येक सूट के इक्का से।

1. क्लबों को एक पंक्ति में खींचने की संभावना क्या है (हम पहले कार्ड को वापस डेक में डालते हैं और फेरबदल करते हैं)?
2. एक काला कार्ड (हुकुम या क्लब) निकालने की प्रायिकता क्या है?
3. चित्र (जैक, रानी, ​​​​राजा या इक्का) खींचने की संभावना क्या है?
4. एक पंक्ति में दो चित्र खींचने की प्रायिकता क्या है (हम पहले कार्ड को डेक से हटाते हैं)?
5. क्या प्रायिकता है, दो कार्ड लेने से, एक संयोजन को इकट्ठा करने के लिए - (जैक, क्वीन या किंग) और ऐस जिस क्रम में कार्ड निकाले जाएंगे, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

उत्तर:

यदि आप सभी समस्याओं को स्वयं हल करने में सक्षम थे, तो आप एक महान साथी हैं! अब परीक्षा में संभाव्यता के सिद्धांत पर कार्य आप पागल की तरह क्लिक करेंगे!

सिद्धांत संभावना। मध्य स्तर

एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि हम एक पासा फेंकते हैं। यह किस तरह की हड्डी है, क्या आप जानते हैं? यह एक घन का नाम है जिसके फलकों पर अंक हैं। कितने चेहरे, कितनी संख्याएँ: से कितने तक? पहले।

तो हम एक पासा रोल करते हैं और चाहते हैं कि यह एक या के साथ आए। और हम बाहर गिर जाते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत में वे कहते हैं कि क्या हुआ अनुकूल घटना(अच्छे के साथ भ्रमित होने की नहीं)।

अगर यह गिर गया, तो घटना भी शुभ होगी। कुल मिलाकर, केवल दो अनुकूल घटनाएं हो सकती हैं।

कितने बुरे हैं? सभी संभावित घटनाओं के बाद से, उनमें से प्रतिकूल घटनाएं हैं (यह है अगर यह बाहर हो जाता है या)।

परिभाषा:

प्रायिकता सभी संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल घटनाओं की संख्या का अनुपात है।. अर्थात्, प्रायिकता दर्शाती है कि सभी संभावित घटनाओं में से कौन सा अनुपात अनुकूल है।

वे एक लैटिन अक्षर के साथ संभाव्यता को दर्शाते हैं (जाहिरा तौर पर, अंग्रेजी शब्द प्रायिकता - संभाव्यता से)।

यह संभावना को प्रतिशत के रूप में मापने के लिए प्रथागत है (विषय देखें)। ऐसा करने के लिए, संभाव्यता मान को गुणा किया जाना चाहिए। पासा उदाहरण में, प्रायिकता।

और प्रतिशत में: .

उदाहरण (अपने लिए तय करें):

1. क्या प्रायिकता है कि एक सिक्के का उछाल सिर पर गिरेगा? और पट आने की प्रायिकता क्या है?
2. एक पासे को फेंकने पर एक सम संख्या आने की क्या प्रायिकता है? और किसके साथ - अजीब?
3. सादे, नीले और लाल पेंसिल के एक दराज में। हम बेतरतीब ढंग से एक पेंसिल खींचते हैं। एक साधारण को निकालने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

1. कितने विकल्प हैं? सिर और पूंछ - केवल दो। और उनमें से कितने अनुकूल हैं? केवल एक ही चील है। तो संभावना

   पूंछ के साथ ही: .

2. कुल विकल्प: (घन की कितनी भुजाएँ होती हैं, इतने भिन्न विकल्प)। अनुकूल वाले: (ये सभी सम संख्याएँ हैं :)।
   संभावना। अजीब के साथ, बिल्कुल, वही बात।
3. कुल: । अनुकूल : . संभावना: ।

पूर्ण संभावना

दराज की सभी पेंसिलें हरी हैं। एक लाल पेंसिल खींचने की प्रायिकता क्या है? कोई संभावना नहीं है: संभावना (आखिरकार, अनुकूल घटनाएं -)।

ऐसी घटना को असंभव कहा जाता है।

हरे रंग की पेंसिल निकालने की प्रायिकता क्या है? ठीक उतनी ही अनुकूल घटनाएँ होती हैं जितनी कुल घटनाएँ होती हैं (सभी घटनाएँ अनुकूल होती हैं)। तो संभावना है या।

ऐसी घटना को निश्चित कहा जाता है।

यदि बॉक्स में हरे और लाल पेंसिल हैं, तो हरे या लाल पेंसिल के आने की प्रायिकता क्या है? एक बार फिर। निम्नलिखित बातों पर ध्यान दें: हरे रंग के आने की प्रायिकता बराबर है, और लाल रंग का है।

संक्षेप में, ये संभावनाएं बिल्कुल बराबर हैं। अर्थात, सभी संभावित घटनाओं की संभावनाओं का योग बराबर है या।

उदाहरण:

पेंसिल के एक बॉक्स में, उनमें से नीले, लाल, हरे, साधारण, पीले और शेष नारंगी हैं। हरे रंग के नहीं आने की प्रायिकता क्या है?

फेसला:

याद रखें कि सभी संभावनाएं जुड़ती हैं। और हरे रंग के आने की प्रायिकता बराबर है। इसका मतलब है कि हरे रंग के नहीं आने की संभावना बराबर है।

इस ट्रिक को याद रखें:किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटा देती है।

स्वतंत्र घटनाएँ और गुणन नियम

आप एक सिक्के को दो बार पलटते हैं और आप चाहते हैं कि यह दोनों बार शीर्ष पर आए। इसकी क्या संभावना है?

आइए सभी संभावित विकल्पों को देखें और निर्धारित करें कि कितने हैं:

ईगल-ईगल, पूंछ-ईगल, ईगल-पूंछ, पूंछ-पूंछ। और क्या?

संपूर्ण संस्करण। इनमें से केवल एक ही हमें सूट करता है: ईगल-ईगल। तो संभावना बराबर है।

अच्छा। अब एक सिक्का पलटें। अपने आप को गिनें। हो गई? (जवाब)।

आपने देखा होगा कि प्रत्येक अगले थ्रो को जोड़ने पर प्रायिकता एक कारक से कम हो जाती है। सामान्य नियम कहलाता है गुणन नियम:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएं बदल जाती हैं।

स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं? सब कुछ तार्किक है: ये वे हैं जो एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्के को कई बार उछालते हैं, तो हर बार एक नया टॉस होता है, जिसका परिणाम पिछले सभी उछालों पर निर्भर नहीं करता है। एक ही सफलता के साथ, हम एक ही समय में दो अलग-अलग सिक्के फेंक सकते हैं।

और ज्यादा उदाहरण:

1. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह दोनों बार आएगा?
2. एक सिक्का बार बार उछाला जाता है। पहले चित और फिर दो बार पट आने की प्रायिकता क्या है?
3. खिलाड़ी दो पासा रोल करता है। क्या प्रायिकता है कि उन पर बनी संख्याओं का योग बराबर होगा?

उत्तर:

1. घटनाएँ स्वतंत्र हैं, जिसका अर्थ है कि गुणन नियम काम करता है: .
2. एक चील की संभावना बराबर है। पूंछ की संभावना भी। हम गुणा करते हैं:
3. 12 केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब दो-की फॉल आउट: .

असंगत घटनाएँ और जोड़ नियम

असंगत घटनाएँ वे घटनाएँ हैं जो एक दूसरे के पूर्ण संभाव्यता के पूरक हैं। जैसा कि नाम का तात्पर्य है, वे एक ही समय में नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्का उछालते हैं, तो चित या पट बाहर गिर सकते हैं।

उदाहरण।

पेंसिल के एक बॉक्स में, उनमें से नीले, लाल, हरे, साधारण, पीले और शेष नारंगी हैं। हरे या लाल रंग के आने की प्रायिकता क्या है?

फेसला ।

हरे रंग की पेंसिल निकालने की प्रायिकता बराबर होती है। लाल - ।

सभी की शुभ घटनाएँ: हरा + लाल। तो हरे या लाल रंग के आने की प्रायिकता बराबर है।

समान प्रायिकता को निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

यह अतिरिक्त नियम है:असंगत घटनाओं की संभावनाएं बढ़ जाती हैं।

मिश्रित कार्य

उदाहरण।

सिक्का दो बार उछाला जाता है। क्या प्रायिकता है कि रोलों का परिणाम भिन्न होगा?

फेसला ।

इसका मतलब यह है कि यदि सिर पहले आता है, तो पूंछ दूसरी होनी चाहिए, और इसके विपरीत। यह पता चला है कि यहां दो जोड़ी स्वतंत्र घटनाएं हैं, और ये जोड़े एक दूसरे के साथ असंगत हैं। कहां से गुणा करना है और कहां जोड़ना है, इस बारे में भ्रमित न हों।

ऐसी स्थितियों के लिए एक सरल नियम है। घटनाओं को यूनियनों "AND" या "OR" से जोड़कर क्या होना चाहिए, इसका वर्णन करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, इस मामले में:

रोल करना चाहिए (सिर और पूंछ) या (पूंछ और सिर)।

जहां एक संघ "और" है, वहां गुणा होगा, और जहां "या" जोड़ है:

इसे स्वयं आज़माएं:

1. क्या प्रायिकता है कि दो सिक्के एक ही बार दोनों बार उछाले जाते हैं?
2. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। क्या संभावना है कि योग अंक गिर जाएगा?

समाधान:

एक और उदाहरण:

हम एक बार एक सिक्का उछालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि चित कम से कम एक बार ऊपर आ जाए?

फेसला:

सिद्धांत संभावना। संक्षेप में मुख्य के बारे में

प्रायिकता सभी संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल घटनाओं की संख्या का अनुपात है।

स्वतंत्र कार्यक्रम

दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक की घटना दूसरे के घटित होने की संभावना को नहीं बदलती है।

पूर्ण संभावना

सभी संभावित घटनाओं की प्रायिकता () है।

किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटा देती है।

स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकताओं को गुणा करने का नियम

स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित क्रम की प्रायिकता प्रत्येक घटना की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है

असंगत घटनाएं

असंगत घटनाएँ वे घटनाएँ हैं जो किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप एक साथ नहीं हो सकती हैं। कई असंगत घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

असंगत घटनाओं की संभावनाएं जुड़ती हैं।

यह वर्णन करने के बाद कि क्या होना चाहिए, "AND" या "OR" का उपयोग करते हुए, "AND" के बजाय हम गुणन का चिन्ह लगाते हैं, और "OR" के बजाय - जोड़।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किस लिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है, वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। यह सांख्यिकी है।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

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संभावना 0 से 1 तक की एक संख्या है जो इस संभावना को दर्शाती है कि एक यादृच्छिक घटना घटित होगी, जहां 0 घटना के घटित होने की संभावना का पूर्ण अभाव है, और 1 का अर्थ है कि विचाराधीन घटना निश्चित रूप से घटित होगी।

घटना E की प्रायिकता 1 और 1 के बीच की एक संख्या है।
परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

अनुभवजन्य संभावना- संभाव्यता, जिसे अतीत में घटना की सापेक्ष आवृत्ति के रूप में गणना की जाती है, जिसे ऐतिहासिक डेटा के विश्लेषण से निकाला जाता है।

बहुत दुर्लभ घटनाओं की संभावना की गणना अनुभवजन्य रूप से नहीं की जा सकती है।

व्यक्तिपरक संभावना- ऐतिहासिक डेटा की परवाह किए बिना, घटना के व्यक्तिगत व्यक्तिपरक मूल्यांकन के आधार पर संभावना। शेयर खरीदने और बेचने का निर्णय लेने वाले निवेशक अक्सर व्यक्तिपरक संभावना के आधार पर कार्य करते हैं।

पूर्व संभावना -

संभावना 1 में से… (विषम) कि कोई घटना प्रायिकता की अवधारणा के माध्यम से घटित होगी। किसी घटना के घटित होने की संभावना को प्रायिकता के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: P/(1-P)।

उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना की प्रायिकता 0.5 है, तो किसी घटना की संभावना 2 में से 1 है, क्योंकि 0.5/(1-0.5)।

घटना के घटित न होने की संभावना की गणना सूत्र (1-P)/P . द्वारा की जाती है

असंगत संभावना- उदाहरण के लिए, कंपनी ए के शेयरों की कीमत में, संभावित घटना ई के 85% को ध्यान में रखा जाता है, और कंपनी बी के शेयरों की कीमत में केवल 50%। इसे बेमेल संभावना कहा जाता है। डच सट्टेबाजी प्रमेय के अनुसार, बेमेल संभावना लाभ के अवसर पैदा करती है।

बिना शर्त संभावनाप्रश्न का उत्तर है "घटना घटित होने की क्या प्रायिकता है?"

सशर्त संभाव्यताप्रश्न का उत्तर है: "यदि घटना बी घटित हुई है तो घटना ए की संभावना क्या है।" सशर्त संभावना को पी (ए | बी) के रूप में दर्शाया गया है।

संयुक्त संभाव्यतासंभावना है कि घटना ए और बी एक ही समय में घटित होगी। पी (एबी) के रूप में नामित।

पी (ए | बी) = पी (एबी) / पी (बी) (1)

पी (एबी) = पी (ए | बी) * पी (बी)

प्रायिकता योग नियम:

घटना A या घटना B के घटित होने की प्रायिकता है

पी (ए या बी) = पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी) (2)

यदि घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं, तो

पी (ए या बी) = पी (ए) + पी (बी)

स्वतंत्र कार्यक्रम- घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि

पी (ए | बी) = पी (ए), पी (बी | ए) = पी (बी)

अर्थात्, यह परिणामों का एक क्रम है जहाँ एक घटना से दूसरी घटना के लिए प्रायिकता मान स्थिर रहता है।
एक सिक्का उछालना ऐसी घटना का एक उदाहरण है - प्रत्येक अगले टॉस का परिणाम पिछले एक के परिणाम पर निर्भर नहीं करता है।

आश्रित घटनाएंये वे घटनाएँ हैं जिनमें एक के घटित होने की प्रायिकता दूसरे के घटित होने की प्रायिकता पर निर्भर करती है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम:
यदि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो

पी (एबी) = पी (ए) * पी (बी) (3)

कुल संभावना नियम:

पी(ए) = पी(एएस) + पी(एएस”) = पी(ए|एस”)पी(एस) + पी(ए|एस”)पी(एस”) (4)

एस और एस" परस्पर अनन्य घटनाएं हैं

अपेक्षित मूल्ययादृच्छिक चर यादृच्छिक चर के संभावित परिणामों का औसत है। घटना एक्स के लिए, उम्मीद को ई (एक्स) के रूप में दर्शाया गया है।

मान लीजिए कि हमारे पास एक निश्चित संभावना के साथ पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के 5 मूल्य हैं (उदाहरण के लिए, कंपनी की आय इस तरह की संभावना के साथ ऐसी और ऐसी राशि है)। उम्मीद सभी परिणामों का योग उनकी संभावना से गुणा किया जाता है:

एक यादृच्छिक चर का प्रसरण किसी यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन का उसके अपेक्षित मान से अपेक्षित मान है:

एस 2 = ई( 2 ) (6)

सशर्त अपेक्षित मान - एक यादृच्छिक चर X की अपेक्षा, बशर्ते कि घटना S पहले ही घटित हो चुकी हो।

यह उन प्रेक्षणों की संख्या का अनुपात है जिनमें विचाराधीन घटना घटी है और कुल प्रेक्षणों की संख्या है। पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में टिप्पणियों या प्रयोगों के मामले में ऐसी व्याख्या स्वीकार्य है। उदाहरण के लिए, यदि आप सड़क पर मिलने वाले लोगों में से लगभग आधे महिलाएं हैं, तो आप कह सकते हैं कि आप जिस व्यक्ति से सड़क पर मिलते हैं, उसके एक महिला होने की संभावना 1/2 है। दूसरे शब्दों में, एक यादृच्छिक प्रयोग के स्वतंत्र दोहराव की एक लंबी श्रृंखला में इसकी घटना की आवृत्ति एक घटना की संभावना के अनुमान के रूप में काम कर सकती है।

गणित में प्रायिकता

आधुनिक गणितीय दृष्टिकोण में, शास्त्रीय (अर्थात, क्वांटम नहीं) संभावना कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध द्वारा दी गई है। संभावना एक उपाय है पी, जो सेट पर सेट है एक्स, जिसे प्रायिकता स्थान कहा जाता है। इस उपाय में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:

यह इन स्थितियों से निम्नानुसार है कि संभाव्यता मापती है पीसंपत्ति भी है additivity: अगर सेट ए 1 और ए 2 तब प्रतिच्छेद न करें। इसे साबित करने के लिए, आपको सब कुछ डालना होगा ए 3 , ए 4, ... खाली सेट के बराबर और गणनीय योगात्मकता के गुण को लागू करें।

सेट के सभी सबसेट के लिए संभाव्यता माप को परिभाषित नहीं किया जा सकता है एक्स. इसे सिग्मा-बीजगणित पर परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है जिसमें समुच्चय के कुछ उपसमुच्चय होते हैं एक्स. इस मामले में, यादृच्छिक घटनाओं को अंतरिक्ष के मापने योग्य सबसेट के रूप में परिभाषित किया जाता है एक्स, अर्थात्, सिग्मा बीजगणित के तत्वों के रूप में।

संभाव्यता भाव

जब हम पाते हैं कि कुछ संभावित तथ्य के कारण वास्तव में विपरीत कारणों से अधिक होते हैं, तो हम इस तथ्य पर विचार करते हैं संभावित, अन्यथा - अविश्वसनीय. नकारात्मक आधारों पर सकारात्मक आधारों की यह प्रबलता, और इसके विपरीत, डिग्री के अनिश्चित सेट का प्रतिनिधित्व कर सकती है, जिसके परिणामस्वरूप संभावना(और असंभवता) ऐसा होता है अधिकया कम .

जटिल एकल तथ्य उनकी संभाव्यता की डिग्री की सटीक गणना की अनुमति नहीं देते हैं, लेकिन यहां भी कुछ बड़े उपखंडों को स्थापित करना महत्वपूर्ण है। इसलिए, उदाहरण के लिए, कानून के क्षेत्र में, जब गवाह की गवाही के आधार पर परीक्षण के अधीन एक व्यक्तिगत तथ्य स्थापित किया जाता है, तो यह हमेशा रहता है, सख्ती से बोलना, केवल संभावित, और यह जानना आवश्यक है कि यह संभावना कितनी महत्वपूर्ण है; रोमन कानून में, एक चौगुनी विभाजन यहाँ स्वीकार किया गया था: प्रोबेटियो प्लेना(जहां संभावना व्यावहारिक रूप से बदल जाती है सत्यता), आगे - प्रोबेटियो माइनस प्लेना, तब - प्रोबेटियो सेमीप्लेना मेजरऔर अंत में प्रोबेटियो सेमीप्लेना माइनर .

मामले की संभावना के सवाल के अलावा, कानून के क्षेत्र में और नैतिकता के क्षेत्र में (एक निश्चित नैतिक दृष्टिकोण के साथ) उत्पन्न हो सकता है, सवाल यह है कि किसी विशेष तथ्य की कितनी संभावना है सामान्य कानून का उल्लंघन है। यह प्रश्न, जो तल्मूड के धार्मिक न्यायशास्त्र में मुख्य उद्देश्य के रूप में कार्य करता है, ने रोमन कैथोलिक नैतिक धर्मशास्त्र (विशेष रूप से 16 वीं शताब्दी के अंत से) को बहुत जटिल व्यवस्थित निर्माण और एक विशाल साहित्य, हठधर्मिता और विवादात्मक (संभाव्यता देखें) को जन्म दिया। )

संभाव्यता की अवधारणा अपने आवेदन में एक निश्चित संख्यात्मक अभिव्यक्ति को केवल ऐसे तथ्यों के लिए स्वीकार करती है जो कुछ सजातीय श्रृंखला का हिस्सा हैं। तो (सबसे सरल उदाहरण में), जब कोई एक सिक्के को लगातार सौ बार फेंकता है, तो हम यहां एक सामान्य या बड़ी श्रृंखला (एक सिक्के के सभी गिरने का योग) पाते हैं, जो दो निजी या छोटे से बना होता है, इसमें मामला संख्यात्मक रूप से बराबर, श्रृंखला ("ईगल" गिरती है और "पूंछ" गिरती है); इस बार सिक्के के पट गिरने की प्रायिकता, यानी सामान्य पंक्ति का यह नया सदस्य दो छोटी पंक्तियों में से इस से संबंधित होगा, इस छोटी पंक्ति और बड़ी पंक्ति के बीच संख्यात्मक अनुपात को व्यक्त करने वाले अंश के बराबर है, अर्थात् 1/2, अर्थात समान प्रायिकता दो निजी श्रृंखलाओं में से एक या दूसरे की है। कम सरल उदाहरणों में, समस्या के डेटा से सीधे निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है, लेकिन इसके लिए पूर्व प्रेरण की आवश्यकता होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यह पूछा जाता है: किसी दिए गए नवजात शिशु के 80 वर्ष तक जीवित रहने की क्या संभावना है? यहां समान परिस्थितियों में पैदा हुए और अलग-अलग उम्र में मरने वाले लोगों की एक सामान्य या बड़ी श्रृंखला होनी चाहिए (यह संख्या यादृच्छिक विचलन को खत्म करने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए, और श्रृंखला की एकरूपता को बनाए रखने के लिए पर्याप्त छोटी होनी चाहिए, क्योंकि एक के लिए व्यक्ति, उदाहरण के लिए, सेंट पीटर्सबर्ग में एक समृद्ध सांस्कृतिक परिवार में, शहर की पूरी मिलियन-मजबूत आबादी, जिसका एक महत्वपूर्ण हिस्सा विभिन्न समूहों के लोग हैं जो समय से पहले मर सकते हैं - सैनिक, पत्रकार , खतरनाक व्यवसायों में श्रमिक - संभाव्यता की वास्तविक परिभाषा के लिए बहुत विषम समूह का प्रतिनिधित्व करता है); इस सामान्य श्रृंखला को दस हजार मानव जीवन से युक्त होने दें; इसमें छोटी पंक्तियाँ शामिल हैं जो इस या उस उम्र तक जीने वालों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती हैं; इन छोटी पंक्तियों में से एक 80 वर्ष की आयु तक जीवित रहने वालों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। लेकिन इस छोटी श्रृंखला (साथ ही अन्य सभी) के आकार को निर्धारित करना असंभव है। संभवतः; यह विशुद्ध रूप से आगमनात्मक तरीके से, आँकड़ों के माध्यम से किया जाता है। मान लीजिए कि सांख्यिकीय अध्ययनों ने स्थापित किया है कि मध्यम वर्ग के 10,000 पीटर्सबर्गवासियों में से केवल 45 ही 80 वर्ष की आयु तक जीवित रहते हैं; इस प्रकार, यह छोटी पंक्ति 45 से 10,000 के रूप में बड़ी से संबंधित है, और किसी दिए गए व्यक्ति के लिए इस छोटी पंक्ति से संबंधित होने की संभावना, यानी 80 वर्ष तक जीने की संभावना 0.0045 के अंश के रूप में व्यक्त की जाती है। गणितीय दृष्टिकोण से संभाव्यता का अध्ययन एक विशेष अनुशासन, संभाव्यता के सिद्धांत का गठन करता है।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

साहित्य

• अल्फ्रेड रेनी। संभाव्यता / अनुवाद पर पत्र। हंग से। डी. सास और ए. क्रुमली, एड. बी वी गेडेन्को। एम.: मीर। 1970
• गेदेंको बी.वी.संभाव्यता पाठ्यक्रम। एम।, 2007. 42 पी।
• कुप्त्सोव वी.आई.नियतिवाद और संभावना। एम।, 1976। 256 पी।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

समानार्थक शब्द:

विलोम शब्द:

देखें कि "संभावना" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

सामान्य वैज्ञानिक और दार्शनिक। अवलोकन की निश्चित शर्तों के तहत बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं की घटना की संभावना की मात्रात्मक डिग्री को दर्शाती एक श्रेणी, जो उनके सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता को दर्शाती है। तर्क में, सिमेंटिक डिग्री ... ... दार्शनिक विश्वकोश

प्रायिकता, शून्य से एक तक की सीमा में एक संख्या, समावेशी, इस घटना के होने की संभावना का प्रतिनिधित्व करती है। किसी घटना की प्रायिकता को किसी घटना के घटित होने की संभावना की कुल संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

सभी संभावना में .. रूसी पर्यायवाची शब्द और अर्थ में समान भाव। नीचे। ईडी। एन। अब्रामोवा, एम।: रूसी शब्दकोश, 1999। संभाव्यता, संभावना, संभावना, मौका, उद्देश्य संभावना, मजा, स्वीकार्यता, जोखिम। चींटी। असंभव... पर्यायवाची शब्दकोश

संभावना- एक उपाय जिससे कोई घटना घट सकती है। नोट प्रायिकता की गणितीय परिभाषा "एक यादृच्छिक घटना से संबंधित 0 और 1 के बीच की एक वास्तविक संख्या है।" संख्या टिप्पणियों की एक श्रृंखला में सापेक्ष आवृत्ति को दर्शा सकती है ... ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

संभावना- "कुछ विशिष्ट परिस्थितियों में किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री की गणितीय, संख्यात्मक विशेषता जिसे असीमित बार दोहराया जा सकता है।" इस क्लासिक के आधार पर…… आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

- (संभावना) किसी घटना या किसी निश्चित परिणाम के घटित होने की संभावना। इसे 0 से 1 तक के विभाजन वाले पैमाने के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि किसी घटना की संभावना शून्य है, तो इसकी घटना असंभव है। 1 के बराबर प्रायिकता के साथ, की शुरुआत ... व्यापार शर्तों की शब्दावली

• प्रायिकता - किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री (सापेक्ष माप, मात्रात्मक मूल्यांकन)। जब किसी संभावित घटना के कारण वास्तव में विपरीत कारणों से अधिक होते हैं, तो इस घटना को संभावित कहा जाता है, अन्यथा - असंभावित या असंभव। नकारात्मक आधारों पर सकारात्मक आधारों की प्रधानता, और इसके विपरीत, अलग-अलग डिग्री तक हो सकती है, जिसके परिणामस्वरूप संभावना (और असंभवता) अधिक या कम होती है। इसलिए, संभावना का अक्सर गुणात्मक स्तर पर अनुमान लगाया जाता है, खासकर उन मामलों में जहां अधिक या कम सटीक मात्रात्मक मूल्यांकन असंभव या अत्यंत कठिन होता है। संभाव्यता के "स्तरों" के विभिन्न क्रमांकन संभव हैं।

  गणितीय दृष्टिकोण से संभाव्यता का अध्ययन एक विशेष अनुशासन है - संभाव्यता का सिद्धांत। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों में, संभाव्यता की अवधारणा को एक घटना की संख्यात्मक विशेषता के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है - एक संभाव्यता माप (या इसका मूल्य) - घटनाओं के एक सेट पर एक उपाय (प्राथमिक घटनाओं के एक सेट का सबसेट), मान लेना से

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 0)

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 1)

  अर्थ

  (\ डिस्प्लेस्टाइल 1)

  एक वैध घटना के अनुरूप है। एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है (विपरीत आम तौर पर हमेशा सत्य नहीं होता है)। यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है

  (\ डिस्प्लेस्टाइल पी)

  तब इसके न होने की प्रायिकता बराबर होती है

  (\displaystyle 1-पी)

  विशेष रूप से संभावना

  (\displaystyle 1/2)

  अर्थात घटना के घटित होने और न होने की समान प्रायिकता।

  प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा परिणामों की समसंभाव्यता की अवधारणा पर आधारित है। संभाव्यता उन परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी दिए गए घटना के पक्ष में समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने पर चित या पट आने की प्रायिकता 1/2 है यदि केवल इन दोनों संभावनाओं के घटित होने की कल्पना की जाती है और वे समान रूप से संभाव्य हैं। संभाव्यता की इस शास्त्रीय "परिभाषा" को संभावित मूल्यों की अनंत संख्या के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना के किसी सीमित क्षेत्र के किसी भी बिंदु (अंकों की संख्या अनंत है) पर समान संभावना के साथ हो सकता है अंतरिक्ष (विमान), तो इस अनुमेय क्षेत्र के किसी भाग में होने की संभावना इस भाग के आयतन (क्षेत्रफल) के अनुपात के बराबर है और सभी संभावित बिंदुओं के क्षेत्रफल का आयतन (क्षेत्रफल) है। .

  संभाव्यता की अनुभवजन्य "परिभाषा" एक घटना के घटित होने की आवृत्ति से संबंधित है, इस तथ्य के आधार पर कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ, आवृत्ति को इस घटना की संभावना के उद्देश्य की डिग्री तक ले जाना चाहिए। संभाव्यता के सिद्धांत की आधुनिक प्रस्तुति में, संभाव्यता को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जाता है, एक सेट के माप के सार सिद्धांत के एक विशेष मामले के रूप में। फिर भी, अमूर्त माप और संभाव्यता के बीच की कड़ी, जो किसी घटना की संभावना की डिग्री को व्यक्त करती है, ठीक इसके अवलोकन की आवृत्ति है।

  कुछ घटनाओं का संभाव्य विवरण आधुनिक विज्ञान में व्यापक हो गया है, विशेष रूप से अर्थमिति में, मैक्रोस्कोपिक (थर्मोडायनामिक) प्रणालियों के सांख्यिकीय भौतिकी में, जहां कणों की गति के शास्त्रीय नियतात्मक विवरण के मामले में भी, संपूर्ण प्रणाली का एक नियतात्मक विवरण। कणों का व्यावहारिक रूप से संभव और उपयुक्त नहीं है। क्वांटम भौतिकी में, वर्णित प्रक्रियाएं स्वयं एक संभाव्य प्रकृति की हैं।

एक ऑन्कोलॉजिकल श्रेणी के रूप में किसी भी स्थिति में किसी भी इकाई के उभरने की संभावना के माप को दर्शाता है। इस अवधारणा की गणितीय और तार्किक व्याख्याओं के विपरीत, ऑटोलॉजिकल वी। खुद को मात्रात्मक अभिव्यक्ति की आवश्यकता से नहीं जोड़ता है। V. का मान नियतिवाद और सामान्य रूप से विकास की प्रकृति को समझने के संदर्भ में प्रकट होता है।

महान परिभाषा

अधूरी परिभाषा

संभावना

एक अवधारणा जो मात्राओं की विशेषता है। एक निश्चित घटना के एक निश्चित समय पर प्रकट होने की संभावना का एक उपाय। स्थितियाँ। वैज्ञानिक में ज्ञान वी की तीन व्याख्याएं हैं। वी की शास्त्रीय अवधारणा, जो गणितीय से उत्पन्न हुई। जुए का विश्लेषण और बी. पास्कल, जे. बर्नौली और पी. लाप्लास द्वारा पूरी तरह से विकसित, वी को अनुकूल मामलों की संख्या के अनुपात के रूप में सभी समान रूप से संभव की कुल संख्या के रूप में मानता है। उदाहरण के लिए, जब एक पासे को फेंका जाता है जिसमें 6 भुजाएँ होती हैं, तो उनमें से प्रत्येक से 1/6 के बराबर V आने की उम्मीद की जा सकती है, क्योंकि किसी भी पक्ष को दूसरे पर लाभ नहीं होता है। खेलों का आयोजन करते समय अनुभव के परिणामों की ऐसी समरूपता को विशेष रूप से ध्यान में रखा जाता है, लेकिन विज्ञान और अभ्यास में वस्तुनिष्ठ घटनाओं के अध्ययन में अपेक्षाकृत दुर्लभ है। क्लासिक वी. की व्याख्या ने सांख्यिकीय को रास्ता दिया। वी. की अवधारणाएं, जिसके मूल में मान्य हैं। अवधि के दौरान एक निश्चित घटना की उपस्थिति का अवलोकन। ठीक निश्चित परिस्थितियों में अनुभव। अभ्यास इस बात की पुष्टि करता है कि जितनी अधिक बार कोई घटना घटित होती है, उसके घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना की डिग्री उतनी ही अधिक होती है, या वी। इसलिए, सांख्यिकीय। वी. की व्याख्या संबंधित की अवधारणा पर आधारित है। आवृत्तियों, एक कटौती को अनुभवजन्य रूप से निर्धारित किया जा सकता है। वी। सैद्धांतिक के रूप में। अवधारणा कभी भी एक अनुभवजन्य रूप से निर्धारित आवृत्ति के साथ मेल नहीं खाती है, हालांकि, कई मायनों में। मामलों में, यह व्यावहारिक रूप से रिश्तेदार से बहुत कम भिन्न होता है। अवधि के परिणामस्वरूप आवृत्ति पाई गई। अवलोकन। कई सांख्यिकीविद वी. को "डबल" के रूप में संदर्भित करते हैं। आवृत्ति, बढ़त सांख्यिकीय द्वारा निर्धारित की जाती है। अवलोकन परिणामों का अध्ययन

या प्रयोग। वी की परिभाषा कम यथार्थवादी थी जैसा कि सीमा से संबंधित है। आर. मिसेस द्वारा प्रस्तावित सामूहिक घटनाओं या सामूहिक घटनाओं की आवृत्तियाँ। वी। के लिए आवृत्ति दृष्टिकोण के एक और विकास के रूप में, एक स्वभाव, या प्रवृत्ति, वी की व्याख्या को आगे रखा गया है (के। पॉपर, जे। हेकिंग, एम। बंज, टी। सेटल)। इस व्याख्या के अनुसार, वी। उदाहरण के लिए, परिस्थितियों को उत्पन्न करने की संपत्ति की विशेषता है। प्रयोग। स्थापना, बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं का एक क्रम प्राप्त करने के लिए। यह वह रवैया है जो भौतिक को जन्म देता है स्वभाव, या पूर्वाग्रह, V. to-rykh को रिश्तेदार के माध्यम से जांचा जा सकता है। आवृत्तियों।

सांख्यिकीय वी. की व्याख्या वैज्ञानिक पर हावी है। ज्ञान, क्योंकि यह विशिष्ट को दर्शाता है। एक यादृच्छिक प्रकृति की सामूहिक घटनाओं में निहित पैटर्न की प्रकृति। कई भौतिक, जैविक, आर्थिक, जनसांख्यिकीय में और अन्य सामाजिक प्रक्रियाओं में, कई यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई को ध्यान में रखना आवश्यक है, राई को एक स्थिर आवृत्ति द्वारा विशेषता है। इस स्थिर आवृत्ति और मात्रा की पहचान। वी. की मदद से इसका मूल्यांकन आवश्यकता को प्रकट करना संभव बनाता है, जो कई दुर्घटनाओं की संचयी कार्रवाई के माध्यम से अपना रास्ता बनाता है। यह वह जगह है जहाँ अवसर के आवश्यकता में परिवर्तन की द्वंद्वात्मकता अपनी अभिव्यक्ति पाती है (देखें एफ। एंगेल्स, पुस्तक में: के। मार्क्स और एफ। एंगेल्स, सोच।, वॉल्यूम। 20, पीपी। 535-36)।

तार्किक या आगमनात्मक तर्क परिसर और गैर-प्रदर्शनकारी और विशेष रूप से, आगमनात्मक तर्क के निष्कर्ष के बीच संबंध की विशेषता है। कटौती के विपरीत, प्रेरण के परिसर निष्कर्ष की सच्चाई की गारंटी नहीं देते हैं, लेकिन केवल इसे कम या ज्यादा प्रशंसनीय बनाते हैं। यह विश्वसनीयता, सटीक रूप से तैयार परिसर के साथ, कभी-कभी वी की मदद से अनुमान लगाया जा सकता है। इस वी का मूल्य अक्सर तुलना करके निर्धारित किया जाता है। अवधारणाएँ (इससे अधिक, कम या बराबर), और कभी-कभी संख्यात्मक तरीके से। तर्क व्याख्या का उपयोग अक्सर आगमनात्मक तर्क का विश्लेषण करने और संभाव्य तर्कशास्त्र की विभिन्न प्रणालियों के निर्माण के लिए किया जाता है (आर। कार्नाप, आर। जेफरी)। शब्दार्थ में तार्किक अवधारणाएं। वी। को अक्सर दूसरों द्वारा एक कथन की पुष्टि की डिग्री के रूप में परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के लिए, इसके अनुभवजन्य डेटा की परिकल्पना)।

निर्णय लेने और खेल के सिद्धांतों के विकास के संबंध में, तथाकथित। वी की व्यक्तिगत व्याख्या। हालांकि इस मामले में वी। विषय के विश्वास की डिग्री और एक निश्चित घटना की घटना को व्यक्त करता है, वी। खुद को इस तरह से चुना जाना चाहिए कि वी की गणना के स्वयंसिद्ध संतुष्ट हैं। इसलिए, वी। इस तरह की व्याख्या के साथ तर्कसंगत विश्वास के रूप में व्यक्तिपरक की डिग्री इतनी ज्यादा नहीं व्यक्त करता है। नतीजतन, ऐसे वी के आधार पर किए गए निर्णय तर्कसंगत होंगे, क्योंकि वे मनोवैज्ञानिक को ध्यान में नहीं रखते हैं। विषय की विशेषताएं और झुकाव।

ज्ञानमीमांसा से टी. सपा. सांख्यिकीय के बीच अंतर। तार्किक। और वी। की व्यक्तिगत व्याख्या इस तथ्य में निहित है कि यदि पहले एक यादृच्छिक प्रकृति के बड़े पैमाने पर घटना के उद्देश्य गुणों और संबंधों की विशेषता है, तो अंतिम दो व्यक्तिपरक, संज्ञानात्मक की विशेषताओं का विश्लेषण करते हैं। अनिश्चितता की स्थिति में मानवीय गतिविधियाँ।

संभावना

विज्ञान की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, दुनिया की एक विशेष प्रणालीगत दृष्टि, इसकी संरचना, विकास और अनुभूति की विशेषता है। दुनिया के संभाव्य दृष्टिकोण की विशिष्टता अस्तित्व की बुनियादी अवधारणाओं के बीच मौका, स्वतंत्रता और पदानुक्रम (संरचना और प्रणालियों के निर्धारण में स्तरों के विचार) की अवधारणाओं को शामिल करने के माध्यम से प्रकट होती है।

संभाव्यता के बारे में विचार पुरातनता में उत्पन्न हुए और हमारे ज्ञान की विशेषताओं से संबंधित थे, जबकि संभाव्य ज्ञान की उपस्थिति को मान्यता दी गई थी, जो विश्वसनीय ज्ञान और असत्य से भिन्न है। वैज्ञानिक सोच पर प्रायिकता के विचार का प्रभाव, ज्ञान के विकास पर गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता के सिद्धांत के विकास से सीधा संबंध है। संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत की उत्पत्ति 17 वीं शताब्दी में हुई, जब अवधारणाओं के मूल का विकास जो अनुमति देता है। मात्रात्मक (संख्यात्मक) विशेषताओं और एक संभाव्य विचार व्यक्त करना।

ज्ञान के विकास के लिए संभाव्यता के गहन अनुप्रयोग दूसरी मंजिल पर आते हैं। 19- पहली मंजिल। 20 वीं सदी शास्त्रीय सांख्यिकीय भौतिकी, आनुवंशिकी, क्वांटम सिद्धांत, साइबरनेटिक्स (सूचना सिद्धांत) जैसे प्रकृति के ऐसे मौलिक विज्ञानों की संरचनाओं में प्रायिकता प्रवेश कर गई है। तदनुसार, संभाव्यता विज्ञान के विकास में उस चरण का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे अब गैर-शास्त्रीय विज्ञान के रूप में परिभाषित किया गया है। संभाव्य सोच के तरीके की नवीनता, विशेषताओं को प्रकट करने के लिए, संभाव्यता सिद्धांत के विषय के विश्लेषण और इसके कई अनुप्रयोगों की नींव से आगे बढ़ना आवश्यक है। संभाव्यता सिद्धांत को आमतौर पर गणितीय अनुशासन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कुछ शर्तों के तहत बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटना के नियमों का अध्ययन करता है। यादृच्छिकता का अर्थ है कि सामूहिक चरित्र के ढांचे के भीतर, प्रत्येक प्राथमिक घटना का अस्तित्व अन्य घटनाओं के अस्तित्व पर निर्भर नहीं करता है और न ही निर्धारित होता है। इसी समय, घटना की बहुत ही द्रव्यमान प्रकृति में एक स्थिर संरचना होती है, जिसमें कुछ नियमितताएं होती हैं। एक द्रव्यमान घटना को काफी सख्ती से उप-प्रणालियों में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक उप-प्रणालियों (सापेक्ष आवृत्ति) में प्राथमिक घटनाओं की सापेक्ष संख्या बहुत स्थिर होती है। इस स्थिरता की तुलना प्रायिकता से की जाती है। समग्र रूप से एक सामूहिक घटना को संभावनाओं के वितरण की विशेषता है, अर्थात, उप-प्रणालियों का असाइनमेंट और उनकी संबंधित संभावनाएं। संभाव्यता सिद्धांत की भाषा संभाव्यता वितरण की भाषा है। तदनुसार, संभाव्यता के सिद्धांत को वितरण के साथ संचालन के सार विज्ञान के रूप में परिभाषित किया गया है।

संभाव्यता ने विज्ञान में सांख्यिकीय नियमितताओं और सांख्यिकीय प्रणालियों के बारे में विचारों को जन्म दिया। उत्तरार्द्ध स्वतंत्र या अर्ध-स्वतंत्र संस्थाओं से बने सिस्टम हैं, उनकी संरचना संभाव्यता वितरण द्वारा विशेषता है। लेकिन स्वतंत्र संस्थाओं से सिस्टम बनाना कैसे संभव है? आमतौर पर यह माना जाता है कि अभिन्न विशेषताओं वाले सिस्टम बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि उनके तत्वों के बीच पर्याप्त रूप से स्थिर बंधन मौजूद हों, जो सिस्टम को मजबूत करते हैं। सांख्यिकीय प्रणालियों की स्थिरता बाहरी परिस्थितियों, बाहरी वातावरण, आंतरिक बलों के बजाय बाहरी की उपस्थिति से दी जाती है। संभाव्यता की परिभाषा हमेशा प्रारंभिक द्रव्यमान घटना के गठन के लिए शर्तों को निर्धारित करने पर आधारित होती है। एक अन्य महत्वपूर्ण विचार जो संभाव्य प्रतिमान की विशेषता है, वह है पदानुक्रम (अधीनता) का विचार। यह विचार व्यक्तिगत तत्वों की विशेषताओं और प्रणालियों की अभिन्न विशेषताओं के बीच संबंध को व्यक्त करता है: उत्तरार्द्ध, जैसा कि यह था, पूर्व के शीर्ष पर बनाया गया है।

अनुभूति में संभाव्य तरीकों का महत्व इस तथ्य में निहित है कि वे हमें वस्तुओं और प्रणालियों की संरचना और व्यवहार के पैटर्न का पता लगाने और सैद्धांतिक रूप से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं जिनमें एक पदानुक्रमित, "दो-स्तरीय" संरचना होती है।

संभाव्यता की प्रकृति का विश्लेषण इसकी आवृत्ति, सांख्यिकीय व्याख्या पर आधारित है। साथ ही, बहुत लंबे समय तक विज्ञान में प्रायिकता की ऐसी समझ हावी रही, जिसे तार्किक, या आगमनात्मक, संभाव्यता कहा गया। तार्किक संभावना कुछ शर्तों के तहत एक अलग, व्यक्तिगत निर्णय की वैधता के सवालों में रुचि रखती है। क्या मात्रात्मक रूप में आगमनात्मक निष्कर्ष (काल्पनिक निष्कर्ष) की पुष्टि (विश्वसनीयता, सत्य) की डिग्री का आकलन करना संभव है? संभाव्यता के सिद्धांत के गठन के दौरान, ऐसे प्रश्नों पर बार-बार चर्चा की गई, और वे काल्पनिक निष्कर्षों की पुष्टि की डिग्री के बारे में बात करने लगे। संभाव्यता का यह माप किसी दिए गए व्यक्ति के निपटान में जानकारी, उसके अनुभव, दुनिया पर विचार और मनोवैज्ञानिक मानसिकता से निर्धारित होता है। ऐसे सभी मामलों में, संभाव्यता का परिमाण सख्त माप के लिए उत्तरदायी नहीं है और व्यावहारिक रूप से एक सुसंगत गणितीय अनुशासन के रूप में संभाव्यता सिद्धांत की क्षमता से बाहर है।

विज्ञान में एक उद्देश्य, प्रायिकता की आवृत्ति व्याख्या काफी कठिनाई से स्थापित की गई थी। प्रारंभ में, संभाव्यता की प्रकृति की समझ उन दार्शनिक और पद्धतिगत विचारों से काफी प्रभावित थी जो शास्त्रीय विज्ञान की विशेषता थी। ऐतिहासिक रूप से, भौतिकी में संभाव्य तरीकों का गठन यांत्रिकी के विचारों के निर्णायक प्रभाव में हुआ: सांख्यिकीय प्रणालियों को केवल यांत्रिक के रूप में माना जाता था। चूंकि संबंधित समस्याओं को यांत्रिकी के सख्त तरीकों से हल नहीं किया गया था, बयान सामने आए कि संभाव्य तरीकों और सांख्यिकीय नियमितताओं के लिए अपील हमारे ज्ञान की अपूर्णता का परिणाम है। शास्त्रीय सांख्यिकीय भौतिकी के विकास के इतिहास में, शास्त्रीय यांत्रिकी के आधार पर इसे प्रमाणित करने के कई प्रयास किए गए हैं, लेकिन वे सभी असफल रहे। संभाव्यता का आधार यह है कि यह यांत्रिकी की प्रणालियों के अलावा, सिस्टम के एक निश्चित वर्ग की संरचना की विशेषताओं को व्यक्त करता है: इन प्रणालियों के तत्वों की स्थिति अस्थिरता और एक विशेष (यांत्रिकी के लिए कम नहीं) बातचीत की प्रकृति की विशेषता है। .

अनुभूति में संभाव्यता के प्रवेश से कठोर नियतत्ववाद की अवधारणा का खंडन होता है, शास्त्रीय विज्ञान के निर्माण की प्रक्रिया में विकसित होने और अनुभूति के मूल मॉडल से इनकार किया जाता है। सांख्यिकीय सिद्धांतों द्वारा प्रस्तुत मूल मॉडल एक अलग, अधिक सामान्य प्रकृति के हैं: उनमें यादृच्छिकता और स्वतंत्रता के विचार शामिल हैं। संभाव्यता का विचार वस्तुओं और प्रणालियों की आंतरिक गतिशीलता के प्रकटीकरण से जुड़ा है, जिसे बाहरी परिस्थितियों और परिस्थितियों से पूरी तरह से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

दुनिया की एक संभाव्य दृष्टि की अवधारणा, स्वतंत्रता के बारे में विचारों की निरपेक्षता (पहले की तरह, कठोर दृढ़ संकल्प के प्रतिमान) पर आधारित है, ने अब अपनी सीमाओं का खुलासा किया है, जो आधुनिक विज्ञान के जटिल अध्ययन के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों के संक्रमण को सबसे अधिक प्रभावित करता है। संगठित प्रणाली और स्व-संगठन घटना की भौतिक और गणितीय नींव।

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अधूरी परिभाषा