छात्रों और स्कूली बच्चों द्वारा कवर की गई सामग्री के पूर्ण समेकन और उनके व्यावहारिक कौशल को प्रशिक्षित करने के लिए साइट पर एक ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर। हमारे संसाधन पर सीमा कैलकुलेटर का ऑनलाइन उपयोग कैसे करें? यह बहुत आसानी से किया जाता है, आपको बस मौजूदा फ़ील्ड में मूल फ़ंक्शन दर्ज करने की आवश्यकता है, चयनकर्ता से चर के लिए आवश्यक सीमा मान का चयन करें और "समाधान" बटन पर क्लिक करें। यदि किसी बिंदु पर आपको सीमा मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको इस बिंदु का मान दर्ज करना होगा - या तो संख्यात्मक या प्रतीकात्मक। ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर आपको किसी दिए गए बिंदु पर सीमा मान खोजने में मदद करेगा, फ़ंक्शन परिभाषा अंतराल में सीमा, और यह मान, जहां अध्ययन के तहत फ़ंक्शन का मान किसी दिए गए बिंदु पर जाता है, तो इसका समाधान है सीमा। हमारी साइट पर ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर के अनुसार, हम निम्नलिखित कह सकते हैं - इंटरनेट पर बड़ी संख्या में एनालॉग हैं, आप योग्य पा सकते हैं, आपको इसे खोजना मुश्किल है। लेकिन यहां आप इस तथ्य का सामना करेंगे कि एक साइट से दूसरी साइट अलग है। उनमें से कई हमारे विपरीत, ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर की पेशकश बिल्कुल नहीं करते हैं। यदि किसी भी प्रसिद्ध खोज इंजन में, चाहे वह यांडेक्स हो या Google, आप "ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर" वाक्यांश का उपयोग करके साइटों की खोज करते हैं, तो साइट खोज परिणामों में पहली पंक्तियों पर होगी। इसका मतलब है कि ये खोज इंजन हम पर भरोसा करते हैं, और हमारी साइट पर केवल उच्च गुणवत्ता वाली सामग्री है, और सबसे महत्वपूर्ण बात, स्कूल और विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए उपयोगी है! आइए सीमा कैलकुलेटर के बारे में और सामान्य रूप से सीमा तक जाने के सिद्धांत के बारे में बात करना जारी रखें। बहुत बार, किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा में, पड़ोस की अवधारणा तैयार की जाती है। यहां, कार्यों की सीमाओं के साथ-साथ इन सीमाओं के समाधान का अध्ययन केवल उन बिंदुओं पर किया जाता है जो कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र के लिए सीमित हैं, यह जानते हुए कि ऐसे बिंदु के प्रत्येक पड़ोस में परिभाषा के क्षेत्र से बिंदु हैं यह समारोह। यह हमें किसी दिए गए बिंदु पर एक चर फलन की प्रवृत्ति के बारे में बात करने की अनुमति देता है। यदि फ़ंक्शन के डोमेन के किसी बिंदु पर कोई सीमा है और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन का विस्तृत सीमा समाधान देता है, तो फ़ंक्शन उस बिंदु पर निरंतर होता है। समाधान के साथ हमारे ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर को कुछ सकारात्मक परिणाम दें, और हम इसे अन्य साइटों पर जांचेंगे। यह हमारे संसाधन की गुणवत्ता को साबित कर सकता है, और, जैसा कि बहुत से लोग पहले से ही जानते हैं, यह अपने सर्वोत्तम स्तर पर है और सर्वोच्च प्रशंसा का पात्र है। इसके साथ ही, अध्ययन के विस्तृत समाधान के साथ और स्वतंत्र रूप से, लेकिन एक पेशेवर शिक्षक की नज़दीकी देखरेख में ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमा की संभावना है। अक्सर इस क्रिया से अपेक्षित परिणाम प्राप्त होते हैं। सभी छात्र बस यह सपना देखते हैं कि समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर सेमेस्टर की शुरुआत में शिक्षक द्वारा दिए गए उनके कठिन कार्य का विस्तार से वर्णन करेगा। लेकिन यह इतना आसान नहीं है। आपको पहले सिद्धांत का अध्ययन करना चाहिए, और फिर मुफ्त कैलकुलेटर का उपयोग करना चाहिए। ऑनलाइन सीमाओं की तरह, कैलकुलेटर आपको आवश्यक प्रविष्टियों का विवरण देगा, और आप परिणाम से संतुष्ट होंगे। लेकिन परिभाषा के क्षेत्र का सीमा बिंदु परिभाषा के इसी डोमेन से संबंधित नहीं हो सकता है, और यह ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर द्वारा विस्तृत गणना से साबित होता है। उदाहरण: हम एक खुले खंड के सिरों पर एक फ़ंक्शन की सीमा पर विचार कर सकते हैं जिस पर हमारा कार्य परिभाषित किया गया है। इस मामले में, खंड की सीमाएं स्वयं परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं हैं। इस अर्थ में, इस बिंदु के पड़ोस की प्रणाली उपसमुच्चय के ऐसे आधार का एक विशेष मामला है। विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर वास्तविक समय में तैयार किया जाता है और इसके लिए दिए गए स्पष्ट विश्लेषणात्मक रूप में सूत्र लागू होते हैं। एक विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का उपयोग करने वाले फ़ंक्शन की सीमा एक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है: प्रारंभ में, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की सीमा को सीमा के तत्वों के अनुक्रम की सीमा के रूप में समझा जाता था। किसी दिए गए बिंदु (जिस सीमा पर विचार किया जाता है) में परिवर्तित होने वाले फ़ंक्शन के डोमेन के तत्वों के अनुक्रम के बिंदुओं की छवियों से बना एक फ़ंक्शन; यदि ऐसी कोई सीमा मौजूद है, तो फ़ंक्शन को निर्दिष्ट मान में अभिसरण करने के लिए कहा जाता है; यदि ऐसी सीमा मौजूद नहीं है, तो फ़ंक्शन को विचलन कहा जाता है। सामान्यतया, सीमा तक पारित होने का सिद्धांत सभी गणितीय विश्लेषणों की मूल अवधारणा है। सब कुछ सटीक रूप से सीमा संक्रमण पर आधारित है, अर्थात, सीमाओं का एक विस्तृत समाधान गणितीय विश्लेषण के विज्ञान का आधार है, और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर छात्र सीखने की नींव रखता है। साइट पर विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर वास्तविक समय में सटीक और त्वरित उत्तर प्राप्त करने के लिए एक अनूठी सेवा है। कभी-कभी नहीं, या बहुत बार, गणितीय विश्लेषण के प्रारंभिक अध्ययन के दौरान छात्रों को तुरंत सीमाओं को हल करने में कठिनाई होती है। हम गारंटी देते हैं कि हमारी सेवा पर सीमा कैलकुलेटर को ऑनलाइन हल करना सटीकता की गारंटी है और उच्च गुणवत्ता वाला उत्तर प्राप्त करना है। आपको कुछ ही सेकंड में कैलकुलेटर के साथ सीमा के विस्तृत समाधान का उत्तर प्राप्त होगा, आप तुरंत भी कह सकते हैं . यदि आप गलत डेटा दर्ज करते हैं, अर्थात, वर्ण जो सिस्टम द्वारा अनुमत नहीं हैं, तो ठीक है, सेवा स्वचालित रूप से आपको एक त्रुटि के बारे में सूचित करेगी। पहले दर्ज किए गए फ़ंक्शन (या सीमा बिंदु) को ठीक करें और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर के साथ सही विस्तृत समाधान प्राप्त करें। हम पर भरोसा करें और हम आपको कभी निराश नहीं करेंगे। आप आसानी से साइट का उपयोग कर सकते हैं और समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर समस्या की गणना के लिए चरण-दर-चरण चरणों का विस्तार से वर्णन करेगा। आपको बस कुछ सेकंड प्रतीक्षा करने और प्रतिष्ठित उत्तर प्राप्त करने की आवश्यकता है। एक विस्तृत समाधान के साथ एक ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ सीमाओं को हल करने के लिए, सभी संभावित तकनीकों का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से L'Hospital पद्धति का उपयोग बहुत बार किया जाता है, क्योंकि यह सार्वभौमिक है और किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने के अन्य तरीकों की तुलना में तेजी से उत्तर की ओर जाता है। . संख्या अनुक्रम के योग की गणना के लिए अक्सर एक सीमा कैलकुलेटर द्वारा एक ऑनलाइन विस्तृत समाधान की आवश्यकता होती है। जैसा कि आप जानते हैं, एक संख्यात्मक अनुक्रम का योग खोजने के लिए, आपको केवल इस अनुक्रम के आंशिक योग को सही ढंग से व्यक्त करने की आवश्यकता है, और फिर हमारी मुफ्त साइट सेवा का उपयोग करके सब कुछ सरल है, क्योंकि हमारे ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का उपयोग करके सीमा की गणना की जाती है। आंशिक योग संख्यात्मक अनुक्रम का अंतिम योग होगा। साइट सेवा का उपयोग करके ऑनलाइन एक सीमा कैलकुलेटर के साथ एक विस्तृत समाधान छात्रों को समस्याओं को हल करने की प्रगति को देखने का एक तरीका प्रदान करता है, जो सीमा के सिद्धांत को समझना आसान और लगभग सभी के लिए सुलभ बनाता है। केंद्रित रहें और गलत कार्यों को खराब ग्रेड के साथ परेशानी में न आने दें। ऑनलाइन सेवा सीमा कैलकुलेटर के साथ किसी भी विस्तृत समाधान की तरह, समस्या को एक सुविधाजनक और समझने योग्य रूप में, एक विस्तृत समाधान के साथ, समाधान प्राप्त करने के लिए सभी नियमों और विनियमों के अनुपालन में प्रस्तुत किया जाएगा। साथ ही, आप बचत कर सकते हैं समय और पैसा, क्योंकि हम इसके लिए बिल्कुल कुछ नहीं मांगते हैं। हमारी वेबसाइट पर, ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का विस्तृत समाधान हमेशा चौबीस घंटे उपलब्ध होता है। वास्तव में, समाधान के साथ सभी ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर चरण-दर-चरण समाधान की प्रगति को विस्तार से नहीं बता सकते हैं, आपको इसके बारे में नहीं भूलना चाहिए और सभी को इसका पालन करना चाहिए। जैसे ही विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमा आपको "समाधान" बटन पर क्लिक करने के लिए प्रेरित करती है, तो कृपया पहले सब कुछ जांचें। यानी दर्ज किए गए फ़ंक्शन की जांच करें, सीमा मान भी और उसके बाद ही कार्रवाई के साथ आगे बढ़ें। यह आपको असफल गणनाओं के लिए दर्दनाक अनुभवों से बचाएगा। और फिर विस्तृत कानून के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमाएं चरण-दर-चरण कार्रवाई का सही तथ्यात्मक प्रतिनिधित्व देगी। अगर ऑनलाइन लिमिट कैलकुलेटर ने अचानक विस्तृत समाधान नहीं दिया तो इसके कई कारण हो सकते हैं। सबसे पहले, लिखित फ़ंक्शन अभिव्यक्ति की जांच करें। इसमें चर "x" होना चाहिए, अन्यथा पूरे फ़ंक्शन को सिस्टम द्वारा स्थिर माना जाएगा। इसके बाद, यदि आपने किसी दिए गए बिंदु या प्रतीकात्मक मान को निर्दिष्ट किया है, तो सीमा मान की जाँच करें। इसमें केवल लैटिन अक्षर भी होने चाहिए - यह महत्वपूर्ण है! फिर आप हमारी उत्कृष्ट सेवा पर ऑनलाइन सीमाओं का विस्तृत समाधान खोजने के लिए फिर से प्रयास कर सकते हैं, और परिणाम का उपयोग कर सकते हैं। जैसे ही वे कहते हैं कि ऑनलाइन निर्णय की सीमाएँ विस्तार से बहुत कठिन हैं - इस पर विश्वास न करें, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि घबराओ मत, प्रशिक्षण पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर सब कुछ की अनुमति है। हम अनुशंसा करते हैं कि आप घबराए बिना, हमारी सेवा के लिए बस कुछ मिनट समर्पित करें और दिए गए अभ्यास की जांच करें। यदि, फिर भी, ऑनलाइन समाधान की सीमाओं को विस्तार से हल नहीं किया जा सकता है, तो आपने एक टाइपो बनाया है, अन्यथा साइट बिना किसी कठिनाई के लगभग किसी भी समस्या को हल करती है। लेकिन यह मत सोचिए कि बिना मेहनत और मेहनत के आप तुरंत वांछित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। सामग्री का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त समय समर्पित करने की आवश्यकता पर। एक समाधान के साथ प्रत्येक ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर के लिए उजागर समाधान के निर्माण के चरण में विस्तार से बाहर खड़े होना और विपरीत मान लेना संभव है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसे कैसे व्यक्त किया जाए, क्योंकि हम वैज्ञानिक दृष्टिकोण की प्रक्रिया के बारे में चिंतित हैं। नतीजतन, हम दिखाएंगे कि कैसे ऑनलाइन समाधान के साथ सीमा कैलकुलेटर एक विज्ञान के रूप में गणित के मौलिक पहलू पर विस्तार से आधारित है। पांच मूल सिद्धांतों की पहचान करें, और आगे बढ़ना शुरू करें। आपसे पूछा जाएगा कि क्या सीमा कैलकुलेटर समाधान सभी के लिए विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन उपलब्ध है, और आप उत्तर देंगे - हाँ, यह है! शायद इस अर्थ में परिणामों पर कोई विशेष ध्यान नहीं दिया गया है, लेकिन ऑनलाइन सीमा का विस्तार से थोड़ा अलग अर्थ है, जैसा कि यह अनुशासन का अध्ययन करने की शुरुआत में लग सकता है। एक संतुलित दृष्टिकोण के साथ, बलों के उचित संरेखण के साथ, आप अपने आप को विस्तार से ऑनलाइन सीमा को जल्दी से निकाल सकते हैं।! वास्तव में, यह होगा कि समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर तेजी से चरण-दर-चरण गणना के सभी चरणों का आनुपातिक रूप से प्रतिनिधित्व करना शुरू कर देगा।

अनुक्रमों और कार्यों की सीमा की अवधारणा। जब किसी अनुक्रम की सीमा ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: lim xn=a. अनुक्रमों के ऐसे क्रम में, xn a की ओर जाता है, और n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। एक अनुक्रम को आमतौर पर एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए:
एक्स1, एक्स2, एक्स3...,एक्सएम,...,एक्सएन...।
अनुक्रम आरोही और अवरोही में विभाजित हैं। उदाहरण के लिए:
xn=n^2 - बढ़ते क्रम
वाईएन = 1/एन - अनुक्रम
इसलिए, उदाहरण के लिए, अनुक्रम की सीमा xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

एक्स→∞
यह सीमा शून्य है क्योंकि n→∞ और अनुक्रम 1/n^2 शून्य हो जाता है।

आमतौर पर चर x एक परिमित सीमा a तक जाता है, इसके अलावा, x लगातार a के करीब पहुंच रहा है, और a का मान स्थिर है। यह इस प्रकार लिखा गया है: limx = a, जबकि n भी शून्य और अनंत दोनों की ओर प्रवृत्त हो सकता है। अनंत कार्य हैं, उनके लिए सीमा अनंत तक जाती है। अन्य मामलों में, जब, उदाहरण के लिए, ट्रेन को धीमा करने का कार्य, शून्य की ओर झुकाव वाली सीमा के लिए संभव है।
सीमाओं में कई गुण होते हैं। एक नियम के रूप में, किसी भी फ़ंक्शन की केवल एक सीमा होती है। यह सीमा की मुख्य संपत्ति है। अन्य नीचे सूचीबद्ध हैं:
* योग सीमा सीमा के योग के बराबर है:
लिम(x+y)=limx+limy
* उत्पाद की सीमा सीमा के उत्पाद के बराबर है:
लिम(xy)=limx*limy
* भागफल की सीमा सीमा के भागफल के बराबर होती है:
लिम (एक्स/वाई) = लिम एक्स/लिम वाई
* अचर गुणनखंड को सीमा चिन्ह से बाहर निकाला जाता है:
लिम (सीएक्स) = सी लिम एक्स
एक फलन 1 /x दिया गया है जहाँ x →∞, इसकी सीमा शून्य है। यदि x→0, तो ऐसे फलन की सीमा के बराबर है।
त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए ये नियम हैं। चूँकि sin x फलन हमेशा शून्य की ओर अग्रसर होता है, इसकी पहचान इसके लिए होती है:
लिम पाप x/x=1

कई कार्यों में, अनिश्चितता की सीमा की गणना करते समय - एक ऐसी स्थिति जिसमें सीमा की गणना नहीं की जा सकती है। इस स्थिति से बाहर निकलने का एकमात्र तरीका ल'होपिटल है। अनिश्चितता दो प्रकार की होती है:
* फॉर्म की अनिश्चितता 0/0
* फॉर्म की अनिश्चितता ∞/∞
उदाहरण के लिए, निम्नलिखित रूप की एक सीमा दी गई है: lim f(x)/l(x), इसके अलावा, f(x0)=l(x0)=0. इस मामले में, फॉर्म 0/0 की अनिश्चितता है। ऐसी समस्या को हल करने के लिए, दोनों कार्यों को विभेदित किया जाता है, जिसके बाद परिणाम की सीमा पाई जाती है। फॉर्म 0/0 की अनिश्चितताओं के लिए, सीमा है:
लिम f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0) के रूप में
/∞ प्रकार की अनिश्चितताओं के लिए भी यही नियम सही है। लेकिन इस मामले में, निम्नलिखित समानता सत्य है: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital के नियम की सहायता से कोई भी उन सीमाओं के मान ज्ञात कर सकता है जिनमें अनिश्चितताएँ प्रकट होती हैं। के लिए अनिवार्य शर्त

वॉल्यूम - डेरिवेटिव खोजने में त्रुटियों की अनुपस्थिति। इसलिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन (x^2)" का व्युत्पन्न 2x के बराबर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:
f"(x)=nx^(n-1)

कार्य सीमा- संख्या एकुछ परिवर्तनीय मान की सीमा होगी, यदि इसके परिवर्तन की प्रक्रिया में यह परिवर्तनीय मान अनिश्चित काल तक पहुंचता है ए.

या दूसरे शब्दों में, संख्या एसमारोह की सीमा है वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर X 0, यदि फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से बिंदुओं के किसी अनुक्रम के लिए, के बराबर नहीं है X 0, और जो बिंदु पर अभिसरण करता है एक्स 0 (लिम एक्स एन = एक्स 0), फ़ंक्शन के संगत मानों का क्रम संख्या में परिवर्तित हो जाता है ए.

एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसकी सीमा एक तर्क के साथ है जो अनंत तक जाती है ली:

अर्थ लेकिनएक फ़ंक्शन की सीमा (सीमा मान) एफ (एक्स)बिंदु पर X 0यदि अंकों के किसी क्रम के लिए , जो अभिसरण करता है X 0, लेकिन जिसमें शामिल नहीं है X 0इसके तत्वों में से एक के रूप में (अर्थात पंचर पड़ोस में X 0), फ़ंक्शन मानों का क्रम में अभिसरण करता है ए.

कॉची के अनुसार किसी फलन की सीमा।

अर्थ एहोगा कार्य सीमा एफ (एक्स)बिंदु पर X 0अगर किसी अग्रेषित गैर ऋणात्मक संख्या के लिए ε एक गैर-ऋणात्मक संगत संख्या मिलेगी δ = δ(ε) ऐसा कि प्रत्येक तर्क के लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना 0 < | x - x0 | < δ , असमानता | एफ (एक्स) ए |< ε .

यह बहुत आसान होगा यदि आप सीमा के सार और इसे खोजने के बुनियादी नियमों को समझते हैं। कि समारोह की सीमा एफ(एक्स)पर एक्सके इच्छुक एबराबरी ए, इस प्रकार लिखा गया है:

इसके अलावा, वह मान जिस पर चर प्रवृत्त होता है एक्स, न केवल एक संख्या हो सकती है, बल्कि अनंत (∞), कभी-कभी +∞ या -∞ हो सकती है, या इसकी कोई सीमा नहीं हो सकती है।

समझने के लिए कैसे फ़ंक्शन की सीमाएं पाएं, समाधानों के उदाहरण देखना सबसे अच्छा है।

हमें फ़ंक्शन की सीमाएं खोजने की आवश्यकता है एफ(एक्स) = 1/एक्सपर:

एक्स→ 2, एक्स→ 0, एक्स→ ∞.

आइए पहली सीमा का हल खोजें। ऐसा करने के लिए, आप बस स्थानापन्न कर सकते हैं एक्सवह संख्या जिसकी वह आकांक्षा करता है, अर्थात्। 2, हमें मिलता है:

फ़ंक्शन की दूसरी सीमा खोजें. यहाँ के स्थान पर शुद्ध रूप 0 में प्रतिस्थापित कीजिए एक्सयह असंभव है, क्योंकि 0 से विभाजित नहीं किया जा सकता। लेकिन हम मान को शून्य के करीब ले जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 और इसी तरह, फ़ंक्शन के मूल्य के साथ एफ(एक्स)बढ़ जाएगा: 100; 1000; 10000; 100000 और इतने पर। इस प्रकार, यह समझा जा सकता है कि जब एक्स→ 0 सीमा चिह्न के अंतर्गत आने वाले फलन का मान अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाएगा, अर्थात। अनंत के लिए प्रयास करें। मतलब:

तीसरी सीमा के संबंध में। पिछले मामले की तरह ही स्थिति को प्रतिस्थापित करना असंभव है ∞ अपने शुद्धतम रूप में। हमें असीमित वृद्धि के मामले पर विचार करने की आवश्यकता है एक्स. हम बारी-बारी से 1000 स्थानापन्न करते हैं; 10000; 100000 और इसी तरह, हमारे पास फ़ंक्शन का मान है एफ(एक्स) = 1/एक्सघटेगा: 0.001; 0.0001; 0.00001; और इसी तरह, शून्य की ओर झुकाव। इसलिए:

फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है

दूसरे उदाहरण को हल करना शुरू करते हुए, हम अनिश्चितता देखते हैं। यहाँ से हम अंश और हर की उच्चतम डिग्री पाते हैं - यह है एक्स 3, हम इसे अंश और हर में कोष्ठक से निकालते हैं और फिर इसे घटाते हैं:

जवाब

में पहला कदम इस सीमा का पता लगाना, के बजाय मान 1 को प्रतिस्थापित करें एक्स, जिसके परिणामस्वरूप अनिश्चितता है। इसे हल करने के लिए, हम अंश को कारकों में विघटित करते हैं, हम द्विघात समीकरण की जड़ों को ढूंढकर ऐसा करेंगे एक्स 2 + 2एक्स - 3:

डी \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ डी =√16 = 4

एक्स 1,2 = (-2± 4) / 2→ एक्स 1 \u003d -3;x2= 1.

तो अंश होगा:

जवाब

यह इसके विशिष्ट मूल्य या एक विशिष्ट क्षेत्र की परिभाषा है जहां फ़ंक्शन गिरता है, जो सीमा से सीमित है।

सीमा तय करने के लिए, नियमों का पालन करें:

सार और मुख्य को समझने के बाद सीमा निर्णय नियम, आप उन्हें हल करने के तरीके की एक बुनियादी समझ प्राप्त करेंगे।

मर्यादा गणित के सभी विद्यार्थियों को बहुत परेशानी देती है। सीमा को हल करने के लिए, कभी-कभी आपको बहुत सी तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है और विभिन्न प्रकार के समाधानों में से ठीक वही चुनना होता है जो किसी विशेष उदाहरण के लिए उपयुक्त हो।

इस लेख में, हम आपकी क्षमताओं की सीमाओं को समझने या नियंत्रण की सीमाओं को समझने में आपकी सहायता नहीं करेंगे, लेकिन हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे: उच्च गणित में सीमाओं को कैसे समझें? समझ अनुभव के साथ आती है, इसलिए साथ ही हम स्पष्टीकरण के साथ सीमा को हल करने के कुछ विस्तृत उदाहरण देंगे।

गणित में एक सीमा की अवधारणा

पहला सवाल यह है कि सीमा क्या है और किस की सीमा? हम संख्यात्मक अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं के बारे में बात कर सकते हैं। हम किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा में रुचि रखते हैं, क्योंकि यह उनके साथ है कि छात्रों का सबसे अधिक बार सामना होता है। लेकिन पहले, एक सीमा की सबसे सामान्य परिभाषा:

मान लीजिए कि कुछ चर है। यदि परिवर्तन की प्रक्रिया में यह मान अनिश्चित काल के लिए एक निश्चित संख्या तक पहुँच जाता है ए , तब ए इस मूल्य की सीमा है।

कुछ अंतराल में परिभाषित फ़ंक्शन के लिए एफ (एक्स) = वाई सीमा संख्या है ए , जिसके लिए फ़ंक्शन तब जाता है जब एक्स एक निश्चित बिंदु की ओर झुकाव ए . दूरसंचार विभाग ए उस अंतराल से संबंधित है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है।

यह बोझिल लगता है, लेकिन यह बहुत ही सरलता से लिखा गया है:

लिम- अंग्रेज़ी से सीमा- सीमा।

सीमा की परिभाषा के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या भी है, लेकिन यहां हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, क्योंकि हम मुद्दे के सैद्धांतिक पक्ष की तुलना में व्यावहारिक में अधिक रुचि रखते हैं। जब हम कहते हैं कि एक्स कुछ मूल्य के लिए जाता है, इसका मतलब है कि चर एक संख्या के मूल्य को नहीं लेता है, लेकिन इसके असीम रूप से करीब पहुंचता है।

आइए एक ठोस उदाहरण लें। चुनौती सीमा खोजने की है।

इस उदाहरण को हल करने के लिए, हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स = 3 एक समारोह में। हम पाते हैं:

वैसे, यदि आप रुचि रखते हैं, तो इस विषय पर एक अलग लेख पढ़ें।

उदाहरणों में एक्स किसी भी मूल्य के लिए प्रवृत्त हो सकता है। यह कोई भी संख्या या अनंत हो सकता है। यहाँ एक उदाहरण है जब एक्स अनंत की ओर जाता है:

यह सहज रूप से स्पष्ट है कि हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, फ़ंक्शन द्वारा उतना ही छोटा मान लिया जाएगा। तो, असीमित वृद्धि के साथ एक्स अर्थ 1/x घटेगा और शून्य के करीब पहुंचेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा को हल करने के लिए, आपको फ़ंक्शन में प्रयास करने के लिए मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एक्स . हालाँकि, यह सबसे सरल मामला है। अक्सर सीमा का पता लगाना इतना स्पष्ट नहीं होता है। सीमाओं के भीतर प्रकार की अनिश्चितताएं हैं 0/0 या अनंत/अनंत . ऐसे मामलों में क्या करें? चाल का प्रयोग करें!

भीतर अनिश्चितता

अनंत/अनंत के रूप की अनिश्चितता

एक सीमा होने दो:

यदि हम फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें अंश और हर दोनों में अनंत मिलेगा। सामान्य तौर पर, यह कहने योग्य है कि ऐसी अनिश्चितताओं को हल करने में कला का एक निश्चित तत्व है: आपको यह ध्यान देने की आवश्यकता है कि आप फ़ंक्शन को इस तरह से कैसे बदल सकते हैं कि अनिश्चितता दूर हो जाए। हमारे मामले में, हम अंश और हर को विभाजित करते हैं एक्स वरिष्ठ डिग्री में। क्या होगा?

ऊपर दिए गए उदाहरण से, हम जानते हैं कि हर में x वाले पदों की प्रवृत्ति शून्य होगी। फिर सीमा का समाधान है:

प्रकार की अस्पष्टताओं को उजागर करने के लिए अनंत/अनंतअंश और हर को विभाजित करें एक्सउच्चतम डिग्री तक।

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एक अन्य प्रकार की अनिश्चितता: 0/0

हमेशा की तरह, मान फ़ंक्शन में प्रतिस्थापन एक्स = -1 देता है 0 अंश और हर में। थोड़ा और ध्यान से देखें और आप देखेंगे कि अंश में हमारे पास द्विघात समीकरण है। आइए जड़ों को खोजें और लिखें:

आइए कम करें और प्राप्त करें:

इसलिए, यदि आप प्रकार की अस्पष्टता का सामना करते हैं 0/0 - अंश और हर का गुणनखंड करें।

आपके लिए उदाहरणों को हल करना आसान बनाने के लिए, यहां कुछ फ़ंक्शन की सीमाओं वाली एक तालिका दी गई है:

ल 'हॉस्पिटल का शासन भीतर

दोनों प्रकार की अनिश्चितताओं को दूर करने का एक और शक्तिशाली तरीका। विधि का सार क्या है?

यदि सीमा में अनिश्चितता है, तो हम अंश और हर के व्युत्पन्न को तब तक लेते हैं जब तक अनिश्चितता गायब नहीं हो जाती।

दृष्टिगत रूप से, L'Hopital का नियम इस प्रकार है:

महत्वपूर्ण बिंदु : वह सीमा, जिसमें अंश और हर के व्युत्पन्न अंश और हर के स्थान पर मौजूद हों, मौजूद होना चाहिए।

और अब एक वास्तविक उदाहरण:

एक विशिष्ट अनिश्चितता है 0/0 . अंश और हर का व्युत्पन्न लें:

वोइला, अनिश्चितता जल्दी और सुरुचिपूर्ण ढंग से समाप्त हो जाती है।

हम आशा करते हैं कि आप इस जानकारी को व्यवहार में लाने और "उच्च गणित में सीमाओं को कैसे हल करें" प्रश्न का उत्तर खोजने में सक्षम होंगे। यदि आपको किसी बिंदु पर अनुक्रम की सीमा या फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और "बिल्कुल" शब्द से इस कार्य के लिए कोई समय नहीं है, तो त्वरित और विस्तृत समाधान के लिए एक पेशेवर छात्र सेवा से संपर्क करें।

पहली उल्लेखनीय सीमा को निम्नलिखित समानता कहा जाता है:

\begin(समीकरण)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

चूँकि $\alpha\to(0)$ के लिए हमारे पास $\sin\alpha\to(0)$ है, हम कहते हैं कि पहली उल्लेखनीय सीमा $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता को प्रकट करती है। सामान्यतया, सूत्र (1) में, चर $\alpha$ के बजाय, साइन साइन के तहत और हर में, कोई भी व्यंजक तब तक स्थित हो सकता है, जब तक कि दो शर्तें पूरी नहीं हो जातीं:

1. साइन साइन के तहत और हर में एक साथ भाव शून्य हो जाते हैं, अर्थात। $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है।
2. साइन साइन के नीचे और हर में भाव समान हैं।

पहली उल्लेखनीय सीमा से कोरोलरी का भी अक्सर उपयोग किया जाता है:

\begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \शुरू(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

इस पृष्ठ पर ग्यारह उदाहरण हल किए गए हैं। उदाहरण संख्या 1 सूत्रों के प्रमाण के लिए समर्पित है (2)-(4)। उदाहरण #2, #3, #4 और #5 में विस्तृत टिप्पणियों के साथ समाधान हैं। उदाहरण 6-10 में कम या बिना किसी टिप्पणी के समाधान होते हैं, जैसा कि पिछले उदाहरणों में विस्तृत स्पष्टीकरण दिया गया था। हल करते समय, कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें पाया जा सकता है।

मैं ध्यान देता हूं कि $\frac (0) (0)$ की अनिश्चितता के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब यह नहीं है कि पहली उल्लेखनीय सीमा लागू की जानी चाहिए। कभी-कभी सरल त्रिकोणमितीय परिवर्तन पर्याप्त होते हैं - उदाहरण के लिए, देखें।

उदाहरण 1

साबित करें कि $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

ए) चूंकि $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, तब:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

चूंकि $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ और $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , तब:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

बी) आइए प्रतिस्थापन $\alpha=\sin(y)$ करें। चूंकि $\sin(0)=0$, फिर $\alpha\to(0)$ की स्थिति से हमारे पास $y\to(0)$ है। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जहां $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, इसलिए:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ साबित हुई है।

ग) आइए प्रतिस्थापन $\alpha=\tg(y)$ करें। चूंकि $\tg(0)=0$, शर्तें $\alpha\to(0)$ और $y\to(0)$ बराबर हैं। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जहां $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, इसलिए, बिंदु a के परिणामों पर निर्भर करते हुए), हमारे पास होगा:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ साबित होती है।

समानताएं ए), बी), सी) अक्सर पहली उल्लेखनीय सीमा के साथ उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण #2

गणना सीमा $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( एक्स+7))$।

चूँकि $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ और $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, यानी और भिन्न का अंश और हर एक साथ शून्य हो जाता है, तो यहाँ हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं, अर्थात। किया हुआ। इसके अलावा, यह देखा जा सकता है कि साइन साइन के तहत और हर में भाव समान हैं (यानी, और संतुष्ट हैं):

तो, पृष्ठ की शुरुआत में सूचीबद्ध दोनों शर्तें पूरी होती हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सूत्र लागू होता है, अर्थात्। $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 $।

जवाब: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1$।

उदाहरण #3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ खोजें।

चूंकि $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ और $\lim_(x\to(0))x=0$, हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac( 0 )(0)$, यानी, किया हुआ। हालांकि, साइन साइन के तहत और हर में भाव मेल नहीं खाते। यहां हर में व्यंजक को वांछित रूप में समायोजित करना आवश्यक है। हर में होने के लिए हमें व्यंजक $9x$ की आवश्यकता है - तब यह सत्य हो जाएगा। अनिवार्य रूप से, हम हर में $9$ का कारक खो रहे हैं, जिसे दर्ज करना इतना कठिन नहीं है, बस हर में व्यंजक को $9$ से गुणा करें। स्वाभाविक रूप से, $9$ से गुणा के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए, आपको तुरंत $9$ से विभाजित करना होगा और विभाजित करना होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin) (9x))(9x) $$

अब हर और साइन साइन के तहत भाव समान हैं। $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ की सीमा के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। इसलिए $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$। और इसका मतलब है कि:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

उदाहरण #4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ खोजें।

चूंकि $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ और $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, यहां हम एक अनिश्चितता के साथ काम कर रहे हैं फॉर्म $\frac(0)(0)$. हालांकि, पहली उल्लेखनीय सीमा का रूप टूट गया है। $\sin(5x)$ वाले अंश को हर में $5x$ की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, सबसे आसान तरीका है कि अंश को $5x$ से विभाजित किया जाए, और तुरंत $5x$ से गुणा किया जाए। इसके अलावा, हम हर के साथ एक समान ऑपरेशन करेंगे, $\tg(8x)$ को $8x$ से गुणा और विभाजित करेंगे:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ से कम करने और निरंतर $\frac(5)(8)$ को सीमा चिह्न से बाहर निकालने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

ध्यान दें कि $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यकताओं को पूरी तरह से संतुष्ट करता है। $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू होता है:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8)। $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$।

उदाहरण #5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ खोजें।

चूंकि $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (याद रखें कि $\cos(0)=1$) और $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, तो हम $\frac(0)(0)$ फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। हालांकि, पहली अद्भुत सीमा को लागू करने के लिए, आपको साइन (सूत्र को लागू करने के लिए) या स्पर्शरेखा (फिर सूत्र लागू करने के लिए) पर जाकर अंश में कोसाइन से छुटकारा पाना चाहिए। आप इसे निम्न परिवर्तन के साथ कर सकते हैं:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

आइए सीमा पर वापस जाएं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ पहले उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यक फॉर्म के करीब है। आइए अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ के साथ थोड़ा काम करें, इसे पहली उल्लेखनीय सीमा में समायोजित करें (ध्यान दें कि अंश में और साइन के नीचे के भाव मेल खाने चाहिए):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

आइए विचार की गई सीमा पर लौटते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\बाएं(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

उदाहरण #6

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$।

चूंकि $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ और $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, तब हम $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे पहली उल्लेखनीय सीमा की सहायता से खोलें। ऐसा करने के लिए, आइए कोज्या से ज्या की ओर चलें। चूँकि $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, तब:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

दी गई सीमा को ज्या तक पार करते हुए, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

उदाहरण #7

सीमा की गणना करें $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ दिए गए $\alpha\neq\ beta $.

विस्तृत स्पष्टीकरण पहले दिया गया था, लेकिन यहां हम केवल ध्यान दें कि फिर से $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता है। आइए सूत्र का उपयोग करके कोज्या से ज्या की ओर चलते हैं

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\दाएं| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ बीटा(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\दाएं)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\बाएं(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\पाप\बाएं(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\बाएं(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2)। $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ अल्फा ^ 2) (2) $।

उदाहरण #8

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$।

चूंकि $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin(0)=\tg(0)=0$) और $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे इस तरह तोड़ें:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\दाएं)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2)। $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$।

उदाहरण #9

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$।

चूंकि $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ और $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, फिर $\frac(0)(0)$ के रूप की एक अनिश्चितता है। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, चर को इस तरह से बदलना सुविधाजनक है कि नया चर शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में चर $\alpha \to 0$)। चर $t=x-3$ को पेश करने का सबसे आसान तरीका है। हालांकि, आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए (यह लाभ नीचे दिए गए समाधान के दौरान देखा जा सकता है), यह निम्नलिखित प्रतिस्थापन करने के लायक है: $t=\frac(x-3)(2)$। मैं ध्यान देता हूं कि इस मामले में दोनों प्रतिस्थापन लागू होते हैं, केवल दूसरा प्रतिस्थापन आपको अंशों के साथ कम काम करने की अनुमति देगा। चूंकि $x\to(3)$, फिर $t\to(0)$।

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\दाएं| =\बाएं|\शुरू(गठबंधन)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

जवाब: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$।

उदाहरण #10

सीमा खोजें $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

फिर से हम $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, चर को इस तरह से बदलना सुविधाजनक है कि नया चर शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में चर $\alpha\to(0)$ है)। चर $t=\frac(\pi)(2)-x$ को पेश करने का सबसे आसान तरीका है। चूंकि $x\to\frac(\pi)(2)$, फिर $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\बाएं|\फ्रैक(0)(0)\दाएं| =\बाएं|\शुरू(गठबंधन)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\बाएं(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2)। $$

जवाब: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

उदाहरण #11

सीमा खोजें $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

इस मामले में, हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। कृपया ध्यान दें: पहली और दूसरी दोनों सीमाओं में, केवल त्रिकोणमितीय फलन और संख्याएँ हैं। अक्सर, इस प्रकार के उदाहरणों में, सीमा चिह्न के नीचे स्थित व्यंजक को सरल बनाना संभव होता है। इस मामले में, उल्लिखित सरलीकरण और कुछ कारकों में कमी के बाद, अनिश्चितता गायब हो जाती है। मैंने यह उदाहरण केवल एक उद्देश्य से दिया है: यह दिखाने के लिए कि सीमा चिह्न के तहत त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब पहली उल्लेखनीय सीमा के आवेदन से नहीं है।

चूंकि $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) और $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (याद रखें कि $\cos\frac(\pi)(2)=0$), तो हम अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac(0)(0)$ के रूप में। हालांकि, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि हमें पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता है। अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, यह ध्यान रखना पर्याप्त है कि $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2)। $$

डेमिडोविच की समाधान पुस्तक (संख्या 475) में एक समान समाधान है। दूसरी सीमा के लिए, जैसा कि इस खंड के पिछले उदाहरणों में, हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। यह क्यों उठता है? यह इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ और $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$। हम इन मानों का उपयोग अंश और हर में भावों को बदलने के लिए करते हैं। हमारे कार्यों का उद्देश्य: अंश और हर में योग को उत्पाद के रूप में लिखें। वैसे, एक चर को एक समान रूप में बदलना अक्सर सुविधाजनक होता है ताकि नया चर शून्य हो जाए (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 9 या संख्या 10 देखें)। हालांकि, इस उदाहरण में, चर को बदलने का कोई मतलब नहीं है, हालांकि यदि वांछित हो तो चर $t=x-\frac(2\pi)(3)$ के प्रतिस्थापन को लागू करना आसान है।

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right) )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \बाएं(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 .) )(\sqrt(3))। $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहली अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता नहीं थी। बेशक, यह वांछित होने पर किया जा सकता है (नीचे नोट देखें), लेकिन यह आवश्यक नहीं है।

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करके समाधान क्या होगा? दिखाओ छुपाओ

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ दाएं))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\बाएं(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3))। $$

जवाब: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.