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लघुगणक की परिभाषाइसे गणितीय रूप से लिखने का सबसे आसान तरीका है:

लघुगणक की परिभाषा को दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है:

लघुगणक के आधार पर लगाए गए प्रतिबंधों पर ध्यान दें ( ए) और सबलॉगरिदमिक व्यंजक पर ( एक्स) भविष्य में, ये शर्तें ODZ के लिए महत्वपूर्ण प्रतिबंधों में बदल जाएंगी, जिन्हें लॉगरिदम के साथ किसी भी समीकरण को हल करते समय ध्यान में रखना होगा। तो, अब, ODZ पर प्रतिबंध लगाने वाली मानक स्थितियों के अलावा (सम डिग्री की जड़ों के तहत अभिव्यक्ति की सकारात्मकता, शून्य से हर की गैर-समानता, आदि), निम्नलिखित शर्तों को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए:

• सबलॉगरिदमिक व्यंजक केवल सकारात्मक हो सकता है.
• लघुगणक का आधार केवल धनात्मक हो सकता है और एक के बराबर नहीं।.

ध्यान दें कि न तो लघुगणक का आधार और न ही उपवर्गीय व्यंजक शून्य के बराबर हो सकता है। यह भी ध्यान दें कि लघुगणक का मान स्वयं सभी संभावित मानों को ग्रहण कर सकता है, अर्थात लघुगणक धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। लॉगरिदम में कई अलग-अलग गुण होते हैं जो शक्तियों के गुणों और लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करते हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें। तो, लघुगणक के गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

अंश लघुगणक:

लघुगणक के चिह्न से डिग्री लेना:

उन अंतिम सूचीबद्ध गुणों पर विशेष रूप से ध्यान दें जिनमें डिग्री की घोषणा के बाद मापांक का संकेत दिखाई देता है। यह मत भूलो कि लघुगणक के चिह्न से परे, लघुगणक के नीचे या आधार पर सम अंश लेते समय, आपको मापांक का चिह्न छोड़ना होगा।

लघुगणक के अन्य उपयोगी गुण:

अंतिम संपत्ति का उपयोग अक्सर जटिल लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं में किया जाता है। इसे अन्य सभी लोगों की तरह याद रखना चाहिए, हालाँकि इसे अक्सर भुला दिया जाता है।

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण हैं:

और उनका समाधान एक सूत्र द्वारा दिया जाता है जो सीधे लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करता है:

अन्य सरल लघुगणकीय समीकरण वे हैं, जो बीजगणितीय परिवर्तनों का उपयोग करते हैं और उपरोक्त सूत्रों और लघुगणक के गुणों को इस रूप में कम किया जा सकता है:

ODZ को ध्यान में रखते हुए ऐसे समीकरणों का हल इस प्रकार है:

कुछ दुसरे आधार में एक चर के साथ लघुगणकीय समीकरणके रूप में संक्षेप किया जा सकता है:

ऐसे लघुगणकीय समीकरणों में, समाधान का सामान्य रूप भी लघुगणक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है। केवल इस मामले में, डीएचएस के लिए अतिरिक्त प्रतिबंध हैं जिन्हें ध्यान में रखा जाना चाहिए। नतीजतन, आधार में एक चर के साथ एक लघुगणकीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको निम्नलिखित प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

अधिक जटिल लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय जिन्हें उपरोक्त समीकरणों में से एक में कम नहीं किया जा सकता है, इसका भी सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है परिवर्तनशील परिवर्तन विधि. हमेशा की तरह, इस पद्धति को लागू करते समय, किसी को यह याद रखना चाहिए कि प्रतिस्थापन की शुरुआत के बाद, समीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए और इसमें पुराना अज्ञात नहीं होना चाहिए। आपको चरों के विपरीत प्रतिस्थापन को करने के लिए भी याद रखना होगा।

कभी-कभी, लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय, इसका भी उपयोग करना पड़ता है ग्राफिक विधि. इस पद्धति में एक ही समन्वय विमान पर यथासंभव सटीक रूप से निर्माण करना शामिल है जो समीकरण के बाएं और दाएं किनारों पर हैं, और फिर ड्राइंग के अनुसार उनके चौराहे के निर्देशांक ढूंढते हैं। इस तरह से प्राप्त जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित किया जाना चाहिए।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, यह अक्सर उपयोगी भी होता है समूहन विधि. इस पद्धति का उपयोग करते समय, याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि: कई कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक है कि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो, और बाकी मौजूद थे. जब कारक लघुगणक या लघुगणक के साथ कोष्ठक होते हैं, और न केवल चर के साथ कोष्ठक, जैसा कि तर्कसंगत समीकरणों में होता है, तब कई त्रुटियां हो सकती हैं। चूंकि लॉगरिदम के उस क्षेत्र पर कई प्रतिबंध हैं जहां वे मौजूद हैं।

निर्णय लेते समय लॉगरिदमिक समीकरणों की प्रणालीअक्सर आपको या तो प्रतिस्थापन विधि या चर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना पड़ता है। यदि ऐसी कोई संभावना है, तो लॉगरिदमिक समीकरणों के सिस्टम को हल करते समय, यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना चाहिए कि सिस्टम के प्रत्येक समीकरण व्यक्तिगत रूप से ऐसे रूप में कम हो जाएं जिसमें लॉगरिदमिक समीकरण से संक्रमण करना संभव होगा एक तर्कसंगत।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताओं को समान समीकरणों की तरह ही हल किया जाता है। सबसे पहले, बीजगणितीय परिवर्तनों और लघुगणक के गुणों की सहायता से, किसी को उन्हें एक ऐसे रूप में लाने का प्रयास करना चाहिए, जहां असमानता के बाएँ और दाएँ पक्ष के लघुगणक के आधार समान हों, अर्थात्। फॉर्म की असमानता प्राप्त करें:

उसके बाद, आपको एक तर्कसंगत असमानता पर जाने की आवश्यकता है, यह देखते हुए कि यह संक्रमण निम्नानुसार किया जाना चाहिए: यदि लघुगणक का आधार एक से अधिक है, तो असमानता चिह्न को बदलने की आवश्यकता नहीं है, और यदि आधार का लघुगणक एक से कम है, तो आपको असमानता चिह्न को विपरीत में बदलने की आवश्यकता है (इसका अर्थ है "कम" को "अधिक" या इसके विपरीत बदलना)। उसी समय, पहले से अध्ययन किए गए नियमों को दरकिनार करते हुए, माइनस साइन प्लस को कहीं भी बदलने की आवश्यकता नहीं है। आइए गणितीय रूप से लिखें कि इस तरह के संक्रमण के परिणामस्वरूप हमें क्या मिलता है। यदि आधार एक से बड़ा है, तो हम प्राप्त करते हैं:

यदि लघुगणक का आधार एक से कम है, तो असमानता का चिन्ह बदलें और निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करें:

जैसा कि हम देख सकते हैं, लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते समय, हमेशा की तरह, ओडीजेड को भी ध्यान में रखा जाता है (यह उपरोक्त सिस्टम में तीसरी स्थिति है)। इसके अलावा, इस मामले में दोनों उप-वर्गीय अभिव्यक्तियों की सकारात्मकता की आवश्यकता नहीं है, लेकिन उनमें से केवल छोटे की सकारात्मकता की आवश्यकता के लिए पर्याप्त है।

निर्णय लेते समय आधार में एक चर के साथ लघुगणकीय असमानताएँलघुगणक, दोनों विकल्पों पर स्वतंत्र रूप से विचार करना आवश्यक है (जब आधार एक से कम हो, और एक से अधिक हो) और इन मामलों के समाधानों को कुल में संयोजित करें। उसी समय, किसी को ODZ के बारे में नहीं भूलना चाहिए, अर्थात। इस तथ्य के बारे में कि आधार और सभी लघुगणकीय व्यंजक दोनों सकारात्मक होने चाहिए। इस प्रकार, प्रपत्र की असमानता को हल करते समय:

हमें सिस्टम का निम्नलिखित सेट मिलता है:

चर के परिवर्तन का उपयोग करके अधिक जटिल लघुगणकीय असमानताओं को भी हल किया जा सकता है। कुछ अन्य लघुगणकीय असमानताओं (साथ ही लघुगणक समीकरण) को हल करने के लिए असमानता या समीकरण के दोनों भागों के लघुगणक को एक ही आधार पर ले जाने की प्रक्रिया की आवश्यकता होती है। इसलिए, लॉगरिदमिक असमानताओं के साथ ऐसी प्रक्रिया करते समय, एक सूक्ष्मता होती है। ध्यान दें कि एक से अधिक आधार के साथ लघुगणक लेते समय, असमानता का चिह्न नहीं बदलता है, और यदि आधार एक से कम है, तो असमानता का चिन्ह उलट जाता है।

यदि लॉगरिदमिक असमानता को तर्कसंगत तक कम नहीं किया जा सकता है या प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सकता है, तो इस मामले में किसी को आवेदन करना चाहिए सामान्यीकृत अंतराल विधि, जो इस प्रकार है:

• ओडीजेड निर्धारित करें;
• असमानता को रूपांतरित करें ताकि दाईं ओर शून्य हो (बाईं ओर, यदि संभव हो तो, एक सामान्य भाजक लाएं, गुणनखंड करें, आदि);
• अंश और हर की सभी जड़ों को खोजें और उन्हें संख्या रेखा पर रखें, और यदि असमानता सख्त नहीं है, तो अंश की जड़ों पर पेंट करें, लेकिन किसी भी मामले में, हर की जड़ों को डॉट्स के रूप में छोड़ दें;
• दिए गए अंतराल से एक संख्या को रूपांतरित असमानता में प्रतिस्थापित करते हुए, प्रत्येक अंतराल पर संपूर्ण व्यंजक का चिह्न ज्ञात कीजिए। साथ ही, अक्ष पर बिंदुओं से गुजरते हुए किसी भी तरह से संकेतों को वैकल्पिक करना संभव नहीं है। इस व्यंजक में अंतराल से मान को प्रतिस्थापित करके प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक के चिह्न का निर्धारण करना आवश्यक है, और इसी प्रकार प्रत्येक अंतराल के लिए। कोई अन्य तरीका नहीं है (यह, बड़े पैमाने पर, अंतराल की सामान्यीकृत विधि और सामान्य एक के बीच का अंतर है);
• ODZ के प्रतिच्छेदन और अंतराल का पता लगाएं, जो असमानता को संतुष्ट करते हैं, जबकि असमानता को संतुष्ट करने वाले व्यक्तिगत बिंदुओं को नहीं खोते हैं (गैर-सख्त असमानताओं में अंश की जड़ें), और उत्तर से सभी असमानताओं में सभी भाजक जड़ों को बाहर करना न भूलें।

• वापस
• आगे

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी कैसे करें?

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी करने के लिए, अन्य बातों के अलावा, तीन महत्वपूर्ण शर्तों को पूरा करना होगा:

1. सभी विषयों का अध्ययन करें और इस साइट पर अध्ययन सामग्री में दिए गए सभी परीक्षणों और कार्यों को पूरा करें। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ भी नहीं चाहिए, अर्थात्: भौतिकी और गणित में सीटी की तैयारी के लिए हर दिन तीन से चार घंटे समर्पित करना, सिद्धांत का अध्ययन करना और समस्याओं को हल करना। तथ्य यह है कि सीटी एक ऐसी परीक्षा है जहां केवल भौतिकी या गणित जानना पर्याप्त नहीं है, आपको जल्दी और बिना असफलताओं के हल करने में सक्षम होना चाहिए एक बड़ी संख्या कीविभिन्न विषयों और विभिन्न जटिलता पर कार्य। उत्तरार्द्ध केवल हजारों समस्याओं को हल करके सीखा जा सकता है।
2. भौतिकी में सभी सूत्र और नियम और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, ऐसा करना भी बहुत सरल है, भौतिकी में लगभग 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में भी थोड़ा कम। इनमें से प्रत्येक विषय में बुनियादी स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना कठिनाई के, अधिकांश डिजिटल परिवर्तन को सही समय पर हल किया जा सकता है। उसके बाद, आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में सोचना होगा।
3. भौतिकी और गणित में पूर्वाभ्यास परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी को दो बार देखा जा सकता है। फिर से, डीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है। , उत्तरों और कार्यों की संख्या, या अपने स्वयं के उपनाम को भ्रमित किए बिना। साथ ही, RT के दौरान, कार्यों में प्रश्नों को प्रस्तुत करने की शैली के लिए अभ्यस्त होना महत्वपूर्ण है, जो DT पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत ही असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी पर एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो आप करने में सक्षम हैं।

त्रुटि मिली?

यदि आपको, जैसा कि आपको लगता है, प्रशिक्षण सामग्री में कोई त्रुटि मिली, तो कृपया इसके बारे में मेल द्वारा लिखें। आप सोशल नेटवर्क () पर त्रुटि के बारे में भी लिख सकते हैं। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, कार्य की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि कथित त्रुटि क्या है। आपका पत्र किसी का ध्यान नहीं जाएगा, त्रुटि को या तो ठीक कर दिया जाएगा, या आपको समझाया जाएगा कि यह गलती क्यों नहीं है।

क्या आपको लगता है कि परीक्षा से पहले अभी भी समय है, और आपके पास तैयारी के लिए समय होगा? शायद ऐसा ही है। लेकिन किसी भी मामले में, छात्र जितनी जल्दी प्रशिक्षण शुरू करता है, उतनी ही सफलतापूर्वक वह परीक्षा उत्तीर्ण करता है। आज हमने लॉगरिदमिक असमानताओं के लिए एक लेख समर्पित करने का निर्णय लिया। यह उन कार्यों में से एक है, जिसका अर्थ है एक अतिरिक्त अंक प्राप्त करने का अवसर।

क्या आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक (लॉग) क्या है? हम वास्तव में ऐसा आशा करते हैं। लेकिन अगर आपके पास इस सवाल का जवाब नहीं है, तो भी कोई समस्या नहीं है। यह समझना बहुत आसान है कि लघुगणक क्या है।

ठीक 4 क्यों? 81 प्राप्त करने के लिए आपको संख्या 3 को ऐसी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। जब आप सिद्धांत को समझते हैं, तो आप अधिक जटिल गणनाओं के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

आप कुछ साल पहले असमानताओं से गुजरे थे। और तब से आप लगातार उनसे गणित में मिलते हैं। यदि आपको असमानताओं को हल करने में समस्या हो रही है, तो उपयुक्त अनुभाग देखें।
अब, जब हम अवधारणाओं से अलग-अलग परिचित हो जाते हैं, तो हम सामान्य रूप से उनके विचार पर विचार करेंगे।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानता।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताएं इस उदाहरण तक सीमित नहीं हैं, तीन और हैं, केवल विभिन्न संकेतों के साथ। इसकी आवश्यकता क्यों है? बेहतर ढंग से समझने के लिए कि लघुगणक के साथ असमानता को कैसे हल किया जाए। अब हम एक अधिक लागू उदाहरण देते हैं, फिर भी काफी सरल, हम जटिल लघुगणकीय असमानताओं को बाद के लिए छोड़ देते हैं।

इसे कैसे हल करें? यह सब ODZ से शुरू होता है। यदि आप किसी भी असमानता को हमेशा आसानी से हल करना चाहते हैं तो आपको इसके बारे में और जानना चाहिए।

ODZ क्या है? लॉगरिदमिक असमानताओं के लिए डीपीवी

संक्षिप्त नाम मान्य मानों की श्रेणी के लिए है। परीक्षा के लिए असाइनमेंट में, यह शब्द अक्सर पॉप अप होता है। डीपीवी न केवल लघुगणकीय असमानताओं के मामले में आपके लिए उपयोगी है।

उपरोक्त उदाहरण को फिर से देखें। हम इसके आधार पर ODZ पर विचार करेंगे, ताकि आप सिद्धांत को समझ सकें, और लघुगणकीय असमानताओं का समाधान प्रश्न नहीं उठाता है। यह लघुगणक की परिभाषा से इस प्रकार है कि 2x+4 शून्य से बड़ा होना चाहिए। हमारे मामले में, इसका मतलब निम्नलिखित है।

यह संख्या परिभाषा के अनुसार धनात्मक होनी चाहिए। ऊपर प्रस्तुत असमानता को हल करें। यह मौखिक रूप से भी किया जा सकता है, यहाँ यह स्पष्ट है कि X 2 से कम नहीं हो सकता। असमानता का समाधान स्वीकार्य मूल्यों की सीमा की परिभाषा होगी।
अब आइए सबसे सरल लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

हम असमानता के दोनों भागों से लघुगणक को स्वयं हटा देते हैं। परिणामस्वरूप हमारे लिए क्या बचा है? साधारण असमानता।

इसे हल करना आसान है। X -0.5 से बड़ा होना चाहिए। अब हम दो प्राप्त मूल्यों को सिस्टम में जोड़ते हैं। इस प्रकार,

यह माना लॉगरिदमिक असमानता के लिए स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र होगा।

ODZ की बिल्कुल आवश्यकता क्यों है? यह गलत और असंभव उत्तरों को हटाने का एक अवसर है। यदि उत्तर स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के भीतर नहीं है, तो उत्तर का कोई मतलब नहीं है। यह लंबे समय तक याद रखने योग्य है, क्योंकि परीक्षा में अक्सर ODZ की खोज करने की आवश्यकता होती है, और यह न केवल लघुगणकीय असमानताओं की चिंता करता है।

लॉगरिदमिक असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम

समाधान में कई चरण होते हैं। सबसे पहले, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजना आवश्यक है। ODZ में दो मान होंगे, हमने इसे ऊपर माना है। अगला कदम असमानता को ही हल करना है। समाधान के तरीके इस प्रकार हैं:

• गुणक प्रतिस्थापन विधि;
• अपघटन;
• युक्तिकरण विधि।

स्थिति के आधार पर, उपरोक्त विधियों में से एक का उपयोग किया जाना चाहिए। चलिए सीधे समाधान पर चलते हैं। हम सबसे लोकप्रिय विधि प्रकट करेंगे जो लगभग सभी मामलों में यूएसई कार्यों को हल करने के लिए उपयुक्त है। अगला, हम अपघटन विधि पर विचार करेंगे। यदि आप विशेष रूप से "मुश्किल" असमानता का सामना करते हैं तो यह मदद कर सकता है। तो, लघुगणक असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म।

समाधान उदाहरण :

यह व्यर्थ नहीं है कि हमने ऐसी असमानता को ठीक किया! आधार पर ध्यान दें। याद रखें: यदि यह एक से अधिक है, तो मान्य मानों की सीमा का पता लगाने पर चिह्न वही रहता है; अन्यथा, असमानता के संकेत को बदलना होगा।

परिणामस्वरूप, हमें असमानता मिलती है:

अब हम बायीं ओर को शून्य के बराबर समीकरण के रूप में लाते हैं। "से कम" चिह्न के बजाय, हम "बराबर" डालते हैं, हम समीकरण को हल करते हैं। इस प्रकार, हम ODZ पाएंगे। हम आशा करते हैं कि आपको ऐसे सरल समीकरण को हल करने में कोई समस्या नहीं होगी। उत्तर -4 और -2 हैं। वह सब कुछ नहीं हैं। आपको इन बिंदुओं को चार्ट पर प्रदर्शित करने की आवश्यकता है, "+" और "-" रखें। इसके लिए क्या करने की जरूरत है? अंतराल से व्यंजक में संख्याएँ रखें। जहां मान सकारात्मक हैं, हम वहां "+" डालते हैं।

जवाब: x -4 से बड़ा और -2 से छोटा नहीं हो सकता।

हमने केवल बाईं ओर के लिए मान्य मानों की श्रेणी पाई, अब हमें दाईं ओर के लिए मान्य मानों की श्रेणी खोजने की आवश्यकता है। यह किसी भी तरह से आसान नहीं है। उत्तर: -2। हम दोनों प्राप्त क्षेत्रों को काटते हैं।

और केवल अब हम असमानता को ही हल करना शुरू करते हैं।

आइए इसे तय करना आसान बनाने के लिए इसे जितना संभव हो उतना सरल करें।

हम समाधान में फिर से अंतराल विधि का उपयोग करते हैं। आइए गणनाओं को छोड़ दें, उसके साथ पिछले उदाहरण से सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। जवाब।

लेकिन यह विधि उपयुक्त है यदि लॉगरिदमिक असमानता के समान आधार हैं।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने में एक आधार में प्रारंभिक कमी शामिल है। फिर उपरोक्त विधि का प्रयोग करें। लेकिन एक और पेचीदा मामला भी है। लॉगरिदमिक असमानताओं के सबसे जटिल प्रकारों में से एक पर विचार करें।

चर आधार के साथ लघुगणकीय असमानताएँ

ऐसी विशेषताओं वाली असमानताओं को कैसे हल करें? हां, और ऐसा परीक्षा में पाया जा सकता है। असमानताओं को निम्नलिखित तरीके से हल करने से आपकी शैक्षिक प्रक्रिया पर भी लाभकारी प्रभाव पड़ेगा। आइए इस मुद्दे को विस्तार से देखें। आइए सिद्धांत को एक तरफ रख दें और सीधे अभ्यास पर जाएं। लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए, उदाहरण के साथ खुद को परिचित करना पर्याप्त है।

प्रस्तुत प्रपत्र की लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए, समान आधार के साथ लघुगणक के दाईं ओर को कम करना आवश्यक है। सिद्धांत समकक्ष संक्रमण जैसा दिखता है। नतीजतन, असमानता इस तरह दिखेगी।

वास्तव में, यह लघुगणक के बिना असमानताओं की एक प्रणाली बनाने के लिए बनी हुई है। युक्तिकरण विधि का उपयोग करते हुए, हम असमानताओं की एक समान प्रणाली को पास करते हैं। जब आप उचित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और उनके परिवर्तनों का पालन करते हैं तो आप नियम को स्वयं समझेंगे। प्रणाली में निम्नलिखित असमानताएँ होंगी।

असमानताओं को हल करते समय युक्तिकरण विधि का उपयोग करते हुए, आपको निम्नलिखित को याद रखने की आवश्यकता है: आपको आधार से एक घटाना होगा, x, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, असमानता के दोनों भागों (बाएं से दाएं) से घटाया जाता है, दो व्यंजकों को गुणा किया जाता है और शून्य के सापेक्ष मूल चिह्न के अंतर्गत सेट किया जाता है।

आगे का समाधान अंतराल विधि द्वारा किया जाता है, यहां सब कुछ सरल है। समाधान विधियों में अंतर को समझना आपके लिए महत्वपूर्ण है, फिर सब कुछ आसानी से काम करना शुरू कर देगा।

लॉगरिदमिक असमानताओं में कई बारीकियां हैं। उनमें से सबसे सरल हल करने में काफी आसान हैं। इसे कैसे बनाया जाए ताकि उनमें से प्रत्येक को बिना किसी समस्या के हल किया जा सके? आपको इस लेख में सभी उत्तर पहले ही मिल चुके हैं। अब आपके सामने एक लंबा अभ्यास है। परीक्षा के भीतर विभिन्न समस्याओं को हल करने का लगातार अभ्यास करें और आप उच्चतम अंक प्राप्त करने में सक्षम होंगे। आपके कठिन कार्य में शुभकामनाएँ!

उनके साथ लॉगरिदम के अंदर हैं।

उदाहरण:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

लॉगरिदमिक असमानताओं को कैसे हल करें:

किसी भी लघुगणकीय असमानता को \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) के रूप में कम किया जाना चाहिए (प्रतीक \(˅\) का अर्थ है कोई भी )। यह फ़ॉर्म हमें लघुगणक और उनके आधारों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है, जो कि लघुगणक के तहत अभिव्यक्तियों की असमानता को पारित करके, \(f(x) g(x)\) के रूप में है।

लेकिन यह परिवर्तन करते समय, एक बहुत ही महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है:
\(-\) अगर - एक संख्या और यह 1 से अधिक है - संक्रमण के दौरान असमानता का चिन्ह समान रहता है,
\(-\) यदि आधार 0 से बड़ा लेकिन 1 से कम (शून्य और एक के बीच) है, तो असमानता चिन्ह को उलट दिया जाना चाहिए, यानी।

उदाहरण:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ओडीजेड: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(एक्स<8\) फेसला: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) उत्तर: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ one))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) फेसला: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) उत्तर: \((2;5]\)

बहोत महत्वपूर्ण!किसी भी असमानता में, फॉर्म \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) से लॉगरिदम के तहत अभिव्यक्तियों की तुलना करने के लिए संक्रमण केवल तभी किया जा सकता है जब:

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log\)\(≤-1\)

फेसला:

\(\लॉग\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	हम कोष्ठक खोलते हैं, देते हैं।
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	हम तुलना चिह्न को उलटने के लिए याद करते हुए असमानता को \(-1\) से गुणा करते हैं।
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	आइए एक संख्या रेखा बनाएं और उस पर \(\frac(7)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) बिंदुओं को चिह्नित करें। ध्यान दें कि असमानता सख्त नहीं है, इस तथ्य के बावजूद हर से बिंदु छिद्रित है। तथ्य यह है कि यह बिंदु समाधान नहीं होगा, क्योंकि असमानता में प्रतिस्थापित करने पर, यह हमें शून्य से विभाजित करने की ओर ले जाएगा।
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	अब हम ODZ को उसी संख्यात्मक अक्ष पर प्लॉट करते हैं और ODZ में आने वाले अंतराल के जवाब में लिखते हैं।
	अंतिम उत्तर लिखिए।

जवाब: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

फेसला:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(x>0\)	आइए समाधान पर आते हैं।
समाधान: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	हमसे पहले एक विशिष्ट वर्ग-लघुगणक असमानता है। क र ते हैं।
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	असमानता के बाईं ओर का विस्तार करें।
\(डी=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((टी+1)(टी-2)>0\)
	अब आपको मूल चर - x पर वापस जाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम पास करते हैं, जिसका एक ही समाधान है, और रिवर्स प्रतिस्थापन करें।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) टी>2 \\ टी<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	ट्रांसफ़ॉर्म \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)।
\(\बाएं[ \शुरू(एकत्र) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए तर्कों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। लघुगणक के आधार \(1\) से बड़े होते हैं, इसलिए असमानताओं का चिह्न नहीं बदलता है।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए असमानता के समाधान और ODZ को एक आकृति में संयोजित करें।
	आइए उत्तर लिखते हैं।

जवाब: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)