2. गॉस विधि के संशोधन

मुख्य तत्व की पसंद के साथ गॉस विधि। गाऊसी पद्धति की मुख्य सीमा यह धारणा है कि सभी तत्व जिनमें आगे बढ़ने के प्रत्येक चरण में विभाजन किया गया है, शून्य के बराबर नहीं हैं। ये तत्व प्रधान तत्व कहलाते हैं और मैट्रिक्स A के मुख्य विकर्ण पर स्थित होते हैं।

यदि किसी कदम पर मुख्य तत्व = 0 को आगे बढ़ाया जाए, तो सिस्टम का और समाधान असंभव है। यदि मुख्य तत्व का शून्य के करीब एक छोटा मूल्य है, तो विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त गुणांक के निरपेक्ष मूल्य में तेज वृद्धि के कारण त्रुटि में एक मजबूत वृद्धि संभव है। ऐसी स्थिति में गॉस विधि अस्थिर हो जाती है।

मुख्य तत्व की पसंद के साथ गॉस विधि ऐसे मामलों की घटना को बाहर करने की अनुमति देती है।

इस पद्धति के पीछे का विचार इस प्रकार है। आगे बढ़ने के कुछ k-वें चरण में, अगले चर x k को समीकरणों से बाहर नहीं रखा जाता है, लेकिन ऐसा चर, जिसका गुणांक निरपेक्ष मान में सबसे बड़ा होता है। यह शून्य से विभाजन की अनुपस्थिति और विधि की स्थिरता की गारंटी देता है।

यदि kवें चरण पर को मुख्य तत्व के रूप में चुना जाता है, तो संख्या k और p वाली पंक्तियों और संख्या k और q वाले स्तंभों को मैट्रिक्स A¢ में बदल दिया जाना चाहिए।

पंक्तियों का क्रमपरिवर्तन समाधान को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि यह सिस्टम में समीकरणों के क्रमपरिवर्तन से मेल खाता है, लेकिन स्तंभों के क्रमपरिवर्तन का अर्थ है चरों की संख्या में परिवर्तन। इसलिए, सभी अनुमत स्तंभों के बारे में जानकारी को संरक्षित किया जाना चाहिए ताकि रिवर्स चाल के पूरा होने के बाद, चर की मूल संख्या को बहाल किया जा सके।

गॉस विधि के दो सरल संशोधन हैं:

स्तंभ द्वारा मुख्य तत्व के चुनाव के साथ;

लाइन द्वारा मुख्य तत्व की पसंद के साथ।

पहले मामले में, kth पंक्ति का सबसे बड़ा तत्व (तत्वों के बीच, i =) को मुख्य तत्व के रूप में चुना जाता है। दूसरे में - k-वें कॉलम का सबसे बड़ा निरपेक्ष मान तत्व (तत्वों के बीच, i =)। पहला दृष्टिकोण सबसे व्यापक है, क्योंकि यहां चरों की संख्या नहीं बदलती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संकेतित संशोधन केवल गाऊसी पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम से संबंधित हैं। रिवर्स मूव बिना बदलाव के किया जाता है, लेकिन समाधान प्राप्त करने के बाद, चर की मूल संख्या को पुनर्स्थापित करना आवश्यक हो सकता है।

एलयू अपघटन। आधुनिक कंप्यूटर सॉफ्टवेयर में, गाऊसी पद्धति को LU-अपघटन का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है, जिसे गुणांक मैट्रिक्स A के प्रतिनिधित्व के रूप में समझा जाता है क्योंकि उत्पाद A = दो मैट्रिक्स L और U का LU है, जहां L निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, U है ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स

यदि एलयू-अपघटन प्राप्त किया जाता है, तो समीकरणों की मूल प्रणाली (2) का समाधान त्रिकोणीय गुणांक वाले मैट्रिक्स के साथ समीकरणों की निम्नलिखित दो प्रणालियों के क्रमिक समाधान में कम हो जाता है

रैखिक बीजीय समीकरण संख्यात्मक

जहाँ Y = - सहायक चरों का सदिश।

यह दृष्टिकोण अलग-अलग दाहिने हाथ वाले बी के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को बार-बार हल करना संभव बनाता है। इस मामले में, सबसे अधिक समय लेने वाला हिस्सा (मैट्रिक्स ए का एलयू-अपघटन) केवल एक बार किया जाता है। यह प्रक्रिया प्रत्यक्ष गाऊसी पद्धति से मेल खाती है और इसमें O(n 3) का श्रम इनपुट अनुमान है। समीकरणों (6) और (7) की प्रणालियों का आगे का समाधान बार-बार (विभिन्न बी के लिए) किया जा सकता है, और उनमें से प्रत्येक का समाधान गॉस विधि के रिवर्स रन से मेल खाता है और इसमें कम्प्यूटेशनल जटिलता ओ का अनुमान है (एन 2)।

LU अपघटन प्राप्त करने के लिए, आप निम्न एल्गोरिथम का उपयोग कर सकते हैं।

1. मूल प्रणाली (1) के लिए, प्रत्यक्ष गॉस विधि का प्रदर्शन करें और त्रिकोणीय समीकरणों (5) की एक प्रणाली प्राप्त करें।

2. मैट्रिक्स यू के तत्वों को नियम के अनुसार निर्धारित करें

u ij = C ij (i = ; j = )

3. नियमों के अनुसार मैट्रिक्स एल के तत्वों की गणना करें

प्रणाली (6) को हल करने के लिए गणना सूत्र इस प्रकार हैं:

वाई 1 \u003d बी 1 / एल 11;

प्रणाली को हल करने के लिए गणना सूत्र (7)

(i = n - 1, n - 2, ..., 1)।

उसी समय, वास्तव में उलटा मैट्रिक्स ढूंढना एक श्रमसाध्य प्रक्रिया है, और इसकी प्रोग्रामिंग को शायद ही एक प्राथमिक कार्य कहा जा सकता है। इसलिए, व्यवहार में, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों का अधिक बार उपयोग किया जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में शामिल हैं: गॉस विधि, क्रैमर विधि, पुनरावृत्त विधियां। गॉस विधि में, उदाहरण के लिए, एक काम करता है ...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 x4=0.58557 विधि मान लें कि, बिंदु xi के पड़ोस में, फलन F (x) पर्याप्त संख्या में अवकलनीय है। ...

सरल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए टर्बो पास्कल 7.0 में। 1.2 समस्या का गणितीय सूत्रीकरण मान लें कि A एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स है और हमें एक ऐसी प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है जहां मैट्रिक्स A के विकर्ण तत्व गैर-शून्य हैं। 1.3 समस्या को हल करने के लिए मौजूदा संख्यात्मक तरीकों का अवलोकन गॉस विधि गॉस विधि में, SLAE मैट्रिक्स समकक्ष का उपयोग कर ...

नंबर)। इसके अलावा, सूत्रों के अनुसार (2), xn-1 , xn-2 ,…, x1 क्रमशः i=n-1, n-2,...,1 के लिए पाए जाते हैं। इस प्रकार, फॉर्म (1) के समीकरणों के समाधान को स्वीप विधि नामक एक विधि द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसे तीन सरल सूत्रों का उपयोग करके गणना में घटाया जाता है: तथाकथित स्वीप गुणांक δi, i को i= के लिए सूत्रों (3) का उपयोग करके खोजना 1,2,…,n (प्रत्यक्ष स्वीप) और फिर अज्ञात xi द्वारा...

(SLAE), अज्ञात के साथ समीकरणों से मिलकर:

यह माना जाता है कि सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, अर्थात।

यह आलेख गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम के समाधान के दौरान होने वाली त्रुटि के कारणों पर विचार करेगा, इस त्रुटि को पहचानने और समाप्त करने (कम करने) के तरीके।

विधि का विवरण

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की प्रक्रिया

गॉस विधि के अनुसार 2 चरण होते हैं:

1. हम मानते हैं कि . फिर हम सिस्टम के पहले समीकरण को गुणांक से विभाजित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण प्राप्त करते हैं। फिर, शेष समीकरणों में से, पहले को घटाया जाता है, उपयुक्त गुणांक से गुणा किया जाता है। नतीजतन, सिस्टम फॉर्म में बदल जाता है: 2. यह मानते हुए कि, हम दूसरे समीकरण को गुणांक से विभाजित करते हैं और अज्ञात को बाद के सभी समीकरणों से बाहर कर देते हैं, आदि। 3. हमें त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

• अज्ञात का पिछड़ा प्रत्यक्ष निर्धारण

1. प्रणाली के वें समीकरण से हम निर्धारित करते हैं 2. वें से - हम निर्धारित करते हैं, आदि।

विधि विश्लेषण

यह विधि समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए प्रत्यक्ष विधियों के वर्ग से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि एक सटीक समाधान चरणों की एक सीमित संख्या में प्राप्त किया जा सकता है, बशर्ते कि इनपुट डेटा (मैट्रिक्स और समीकरण के दाईं ओर - ) हैं बिल्कुल निर्दिष्ट किया गया है और गणना गोल किए बिना की जाती है। एक समाधान प्राप्त करने के लिए, गुणा और भाग की आवश्यकता होती है, अर्थात संचालन का क्रम।

जिन परिस्थितियों में विधि एक सटीक समाधान उत्पन्न करती है, वे व्यवहार में व्यवहार्य नहीं हैं - इनपुट डेटा त्रुटियां और गोल करने वाली त्रुटियां दोनों अपरिहार्य हैं। तब प्रश्न उठता है कि गॉस पद्धति का उपयोग करके कितना सटीक हल निकाला जा सकता है, विधि कितनी सही है? आइए हम इनपुट मापदंडों के संबंध में समाधान की स्थिरता का निर्धारण करें। मूल प्रणाली के साथ, परेशान प्रणाली पर विचार करें:

कुछ मानदंड पेश करें। - मैट्रिक्स की कंडीशन नंबर कहलाती है।

3 मामले संभव हैं:

मैट्रिक्स कंडीशन नंबर हमेशा होता है। यदि यह बड़ा () है, तो मैट्रिक्स को खराब स्थिति कहा जाता है। इस मामले में, सिस्टम के दाहिने हाथ की छोटी गड़बड़ी, या तो प्रारंभिक डेटा सेट करने में अशुद्धियों के कारण, या गणना त्रुटियों के कारण, सिस्टम के समाधान को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है। मोटे तौर पर, यदि दाहिने हाथ की त्रुटि है, तो समाधान की त्रुटि होगी।

आइए निम्नलिखित संख्यात्मक उदाहरण पर प्राप्त परिणामों का वर्णन करें: एक प्रणाली को देखते हुए

उसके पास एक उपाय है।

अब विकृत प्रणाली पर विचार करें:

ऐसी प्रणाली का समाधान वेक्टर है।

दाहिनी ओर के एक बहुत छोटे से गड़बड़ी के साथ, हमने समाधान के अनुपात में बड़े पैमाने पर गड़बड़ी प्राप्त की। समाधान की इस "अविश्वसनीयता" को इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि मैट्रिक्स लगभग पतित है: दो समीकरणों के अनुरूप रेखाएं लगभग मेल खाती हैं, जैसा कि ग्राफ में देखा जा सकता है:

मैट्रिक्स की खराब स्थिति के कारण इस तरह के परिणाम की उम्मीद की जा सकती है:

गणना काफी जटिल है, पूरे सिस्टम के समाधान के लिए तुलनीय है, इसलिए, त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, अधिक मोटे, लेकिन आसान-से-कार्यान्वयन विधियों का उपयोग किया जाता है।

त्रुटियों का अनुमान लगाने के तरीके

1) चेक राशि: आमतौर पर कंप्यूटर की मदद के बिना गणना प्रक्रिया में यादृच्छिक त्रुटियों को रोकने के लिए उपयोग किया जाता है।

हम सिस्टम के नियंत्रण तत्वों से मिलकर एक नियंत्रण स्तंभ बनाते हैं:

समीकरणों को परिवर्तित करते समय, नियंत्रण तत्वों पर समीकरणों के मुक्त सदस्यों के समान ही संचालन किया जाता है। परिणामस्वरूप, प्रत्येक नए समीकरण का नियंत्रण तत्व इस समीकरण के गुणांकों के योग के बराबर होना चाहिए। उनके बीच एक बड़ी विसंगति गणना में त्रुटियों या कम्प्यूटेशनल त्रुटि के संबंध में गणना एल्गोरिथ्म की अस्थिरता को इंगित करती है।

2) ज्ञात समाधान की सापेक्ष त्रुटि समाधान की त्रुटि के बारे में निर्णय प्राप्त करने के लिए महत्वपूर्ण अतिरिक्त लागतों के बिना अनुमति देता है।

एक निश्चित वेक्टर घटकों के साथ दिया जाता है, यदि संभव हो तो, वांछित समाधान के घटकों के समान क्रम और चिह्न। वेक्टर की गणना की जाती है, और समीकरणों की मूल प्रणाली के साथ, सिस्टम हल हो जाता है।

चलो और वास्तव में इन प्रणालियों के समाधान प्राप्त करें। वांछित समाधान की त्रुटि पर निर्णय परिकल्पना के आधार पर प्राप्त किया जा सकता है: समान मैट्रिक्स और अलग-अलग दाहिने हाथ वाले सिस्टम के उन्मूलन विधि द्वारा हल करने में सापेक्ष त्रुटियां, जो क्रमशः, मान और भिन्न हैं बहुत बड़ी संख्या में नहीं।

3) पुनर्विक्रय - गणना में पूर्णांकन के कारण होने वाली त्रुटि के वास्तविक मूल्य का अंदाजा लगाने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक।

मूल प्रणाली के साथ, सिस्टम को उसी विधि द्वारा हल किया जाता है

, कहाँ और संख्याएँ हैं

यदि कोई गोलाई त्रुटि नहीं थी, तो समानता मूल और स्केल किए गए सिस्टम के समाधान के लिए होगी: . इसलिए, के लिए तथा , जो दो की घात नहीं हैं, सदिशों की तुलना करते हैं और अभिकलनात्मक त्रुटि के परिमाण का एक विचार देते हैं

गाऊसी उन्मूलन सुधार

नीचे दी गई गॉस पद्धति के संशोधनों से परिणाम की त्रुटि को कम करना संभव हो जाता है।

मुख्य तत्व का चयन

विधि में त्रुटि में मुख्य वृद्धि आगे बढ़ने के दौरान होती है, जब अग्रणी पंक्ति को गुणांक से गुणा किया जाता है। यदि गुणांक 1%20" alt=">1 "> हैं, तो पिछले चरणों में प्राप्त त्रुटियां हैं संचित। प्रमुख तत्व विकल्प के साथ गाऊसी प्रत्येक चरण में, कॉलम द्वारा अधिकतम तत्व विकल्प को सामान्य योजना में निम्नानुसार जोड़ा जाता है:

अज्ञात को समाप्त करने के क्रम में समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करें:

, .

ऐसा खोजें और -वें और -वें समीकरणों की अदला-बदली करें।

कई मामलों में ऐसा परिवर्तन गणना में गोल त्रुटियों के समाधान की संवेदनशीलता को काफी कम कर देता है।

पुनरावृत्त परिणाम सुधार

यदि यह संदेह है कि प्राप्त समाधान दृढ़ता से विकृत है, तो परिणाम को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है। मात्रा को अवशिष्ट कहा जाता है। त्रुटि समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करती है

.

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम एक सन्निकटन प्राप्त करते हैं और सेट करते हैं

.

यदि इस सन्निकटन की सटीकता असंतोषजनक है, तो हम इस ऑपरेशन को दोहराते हैं।

प्रक्रिया को तब तक जारी रखा जा सकता है जब तक कि सभी घटक काफी छोटे न हों। इस मामले में, गणना को केवल इसलिए नहीं रोका जा सकता है क्योंकि अवशिष्ट वेक्टर के सभी घटक पर्याप्त रूप से छोटे हो गए हैं: यह गुणांक मैट्रिक्स की खराब स्थिति का परिणाम हो सकता है।

संख्यात्मक उदाहरण

उदाहरण के लिए एक 7x7 वेंडरमोंड मैट्रिक्स और 2 अलग-अलग दाएं पक्षों पर विचार करें:

इन प्रणालियों को दो तरह से हल किया गया था। डेटा प्रकार फ्लोट है। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए:

पारंपरिक तरीका
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	2.33e-008
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	1.12e-006
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	3.27e-006
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2.9826e-006	0,01818	8.8362e-006
0,006497	4.2608e-007	0,0045451	2.209e-006
0,040152	4.344e-005	0,083938	2.8654e-006

लाइन द्वारा अग्रणी तत्व के चुनाव के साथ
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1.836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	7.16e-006
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1.8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4.3835e-007	0,009439	5.0683e-005
4.2571e-005	6.2622e-008	0,0023542	1.2671e-005
0,010622	9.8016e-007	0,29402	1.4768e-006

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के सबसे सरल तरीकों में से एक तकनीक है जो निर्धारकों की गणना पर आधारित है ( क्रैमर का नियम) इसका लाभ यह है कि यह आपको समाधान को तुरंत रिकॉर्ड करने की अनुमति देता है, यह उन मामलों में विशेष रूप से सुविधाजनक है जहां सिस्टम गुणांक संख्याएं नहीं हैं, लेकिन कुछ पैरामीटर हैं। इसका नुकसान बड़ी संख्या में समीकरणों के मामले में गणना की बोझिलता है, इसके अलावा, क्रैमर का नियम उन प्रणालियों पर सीधे लागू नहीं होता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है। ऐसे मामलों में, यह आमतौर पर प्रयोग किया जाता है गॉस विधि.

रैखिक समीकरणों के निकाय जिनके हल समान होते हैं, कहलाते हैं समकक्ष. जाहिर है, एक रैखिक प्रणाली के समाधान का सेट नहीं बदलेगा यदि कोई समीकरण आपस में बदल दिया जाता है, या यदि समीकरणों में से एक को किसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है, या यदि एक समीकरण को दूसरे में जोड़ा जाता है।

गॉस विधि (अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि) इस तथ्य में निहित है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, सिस्टम को एक समान चरणबद्ध प्रणाली में घटा दिया जाता है। सबसे पहले, पहले समीकरण की मदद से, एक्ससिस्टम के सभी बाद के समीकरणों में से 1। फिर, दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम समाप्त करते हैं एक्सतीसरे और बाद के सभी समीकरणों में से 2। इस प्रक्रिया, कहा जाता है प्रत्यक्ष गॉस विधि, तब तक जारी रहता है जब तक कि अंतिम समीकरण के बाईं ओर केवल एक अज्ञात रहता है एक्स एन. उसके बाद, इसे बनाया जाता है गाऊसी रिवर्स- अंतिम समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं एक्स एन; उसके बाद, इस मान का उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण से हम गणना करते हैं एक्स एन-1 आदि अंतिम हम पाते हैं एक्सप्रथम समीकरण से 1.

गॉसियन परिवर्तन आसानी से समीकरणों के साथ नहीं, बल्कि उनके गुणांक के मैट्रिक्स के साथ परिवर्तन करके आसानी से किए जाते हैं। मैट्रिक्स पर विचार करें:

बुलाया विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली,क्योंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के अलावा, इसमें मुक्त सदस्यों का एक कॉलम शामिल है। गॉस विधि प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक पंक्ति परिवर्तन (!)

उदाहरण 5.1.गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

फेसला. आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और, पहली पंक्ति का उपयोग करके, उसके बाद हम शेष तत्वों को शून्य पर सेट करेंगे:

हमें पहले कॉलम की दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में शून्य मिलता है:

अब हमें दूसरी पंक्ति के नीचे दूसरे कॉलम में सभी तत्वों को शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप दूसरी पंक्ति को -4/7 से गुणा कर सकते हैं और तीसरी पंक्ति में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम दूसरे कॉलम की दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाते हैं और केवल

अब, एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए, आपको तीसरे कॉलम की चौथी पंक्ति के तत्व को शून्य करना होगा, इसके लिए आप तीसरी पंक्ति को 8/54 से गुणा कर सकते हैं और इसे चौथे में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम तीसरी और चौथी पंक्तियों और तीसरे और चौथे कॉलम को स्वैप करेंगे, और उसके बाद ही हम निर्दिष्ट तत्व को रीसेट करेंगे। ध्यान दें कि जब स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो संबंधित चरों की अदला-बदली की जाती है, और इसे याद रखना चाहिए; कॉलम के साथ अन्य प्राथमिक परिवर्तन (एक संख्या से जोड़ और गुणा) नहीं किया जा सकता है!

अंतिम सरलीकृत मैट्रिक्स मूल के बराबर समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाती है:

यहाँ से, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से पाते हैं एक्स 3 = -1; तीसरे से एक्स 4 = -2, दूसरे से एक्स 2 = 2 और पहले समीकरण से एक्स 1 = 1. मैट्रिक्स रूप में, उत्तर को इस प्रकार लिखा जाता है

हमने मामले पर विचार किया है जब सिस्टम निश्चित है, अर्थात। जब एक ही उपाय हो। आइए देखें कि क्या होता है यदि सिस्टम असंगत या अनिश्चित है।

उदाहरण 5.2।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके प्रणाली का अन्वेषण करें:

फेसला. हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं

हम समीकरणों की एक सरलीकृत प्रणाली लिखते हैं:

यहाँ, पिछले समीकरण में, यह निकला कि 0=4, अर्थात्। अंतर्विरोध। इसलिए, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, अर्थात। वह है असंगत. à

उदाहरण 5.3।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का अन्वेषण और समाधान करें:

फेसला. हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं:

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, अंतिम पंक्ति में केवल शून्य प्राप्त हुए। इसका मतलब है कि समीकरणों की संख्या में एक की कमी आई है:

इस प्रकार, सरलीकरण के बाद, दो समीकरण बने रहते हैं, और चार अज्ञात, अर्थात्। दो अज्ञात "अतिरिक्त"। चलो "अनावश्यक", या, जैसा कि वे कहते हैं, मुक्त चर, मर्जी एक्स 3 और एक्स 4. फिर

यह मानते हुए एक्स 3 = 2एऔर एक्स 4 = बी, हम पाते हैं एक्स 2 = 1–एऔर एक्स 1 = 2बी–ए; या मैट्रिक्स रूप में

इस प्रकार लिखा हुआ हल कहलाता है आम, चूंकि, पैरामीटर देकर एऔर बीविभिन्न मूल्यों, सिस्टम के सभी संभावित समाधानों का वर्णन करना संभव है। ए

गॉस विधि, जिसे अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है, में निम्नलिखित शामिल हैं। प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को इस तरह से लाया जाता है कि इसके गुणांक का मैट्रिक्स हो जाता है समलम्बाकार (त्रिकोणीय या चरणबद्ध के समान) या समलंब चतुर्भुज के करीब (गॉस विधि का सीधा कोर्स, तब - बस एक सीधा कदम)। ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण और इसका समाधान ऊपर की आकृति में दिखाया गया है।

ऐसी प्रणाली में, अंतिम समीकरण में केवल एक चर होता है और इसका मान विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है। फिर इस चर के मान को पिछले समीकरण में बदल दिया जाता है ( गाऊसी रिवर्स , फिर - बस एक रिवर्स चाल), जिससे पिछला चर पाया जाता है, और इसी तरह।

एक समलम्बाकार (त्रिकोणीय) प्रणाली में, जैसा कि हम देखते हैं, तीसरे समीकरण में अब चर शामिल नहीं हैं आपऔर एक्स, और दूसरा समीकरण - चर एक्स .

सिस्टम के मैट्रिक्स ने एक ट्रेपोजॉइडल आकार ले लिया है, सिस्टम की संगतता के प्रश्न को हल करना, समाधानों की संख्या निर्धारित करना और स्वयं समाधान ढूंढना मुश्किल नहीं है।

विधि के लाभ:

1. तीन से अधिक समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि क्रैमर विधि की तरह बोझिल नहीं होती है, क्योंकि गॉस विधि को हल करते समय कम गणना की आवश्यकता होती है;
2. गॉस विधि का उपयोग करके, आप रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणाली को हल कर सकते हैं, यानी, एक सामान्य समाधान (और हम इस पाठ में उनका विश्लेषण करेंगे), और क्रैमर विधि का उपयोग करके, आप केवल यह कह सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है;
3. आप रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं है (हम इस पाठ में उनका विश्लेषण भी करेंगे);
4. विधि प्राथमिक (स्कूल) विधियों पर आधारित है - अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि और समीकरणों को जोड़ने की विधि, जिसे हमने संबंधित लेख में छुआ था।

रैखिक समीकरणों के समलम्बाकार (त्रिकोणीय, चरण) प्रणालियों को जिस सरलता से हल किया जाता है, उससे सभी को प्रभावित होने के लिए, हम रिवर्स स्ट्रोक का उपयोग करके ऐसी प्रणाली का समाधान प्रस्तुत करते हैं। इस प्रणाली का एक त्वरित समाधान पाठ की शुरुआत में चित्र में दिखाया गया था।

उदाहरण 1रिवर्स मूव का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

फेसला। इस समलम्बाकार प्रणाली में, चर जेडतीसरे समीकरण से विशिष्ट रूप से पाया जाता है। हम इसके मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं आप:

अब हम दो चरों के मान जानते हैं - जेडऔर आप. हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं एक्स:

पिछले चरणों से, हम समीकरणों की प्रणाली का हल लिखते हैं:

रैखिक समीकरणों की ऐसी समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसे हमने बहुत सरलता से हल किया है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तनों से जुड़े एक प्रत्यक्ष चाल को लागू करना आवश्यक है। यह भी बहुत कठिन नहीं है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ की स्कूल पद्धति को दोहराते हुए, हमने पाया कि सिस्टम के एक और समीकरण को सिस्टम के समीकरणों में से एक में जोड़ा जा सकता है, और प्रत्येक समीकरण को कुछ संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है। इसमें, एक समीकरण में पहले से ही केवल एक चर होता है, जिसके मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक समाधान पर आते हैं। ऐसा जोड़ प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन के प्रकारों में से एक है। गॉस विधि का उपयोग करते समय, हम कई प्रकार के परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं।

ऊपर दिया गया एनीमेशन दिखाता है कि कैसे समीकरणों की प्रणाली धीरे-धीरे एक समलम्बाकार में बदल जाती है। यही है, जिसे आपने पहले एनीमेशन में देखा था और यह सुनिश्चित किया था कि इससे सभी अज्ञात के मूल्यों को खोजना आसान हो। इस तरह के परिवर्तन को कैसे करें और निश्चित रूप से, उदाहरणों पर आगे चर्चा की जाएगी।

समीकरणों की प्रणाली में और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में किसी भी संख्या में समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय कर सकते हैं:

1. स्वैप लाइनें (इस लेख की शुरुआत में ही इसका उल्लेख किया गया था);
2. यदि अन्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समान या आनुपातिक रेखाएँ दिखाई देती हैं, तो उन्हें एक को छोड़कर हटाया जा सकता है;
3. "शून्य" पंक्तियों को हटा दें, जहां सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
4. किसी स्ट्रिंग को किसी संख्या से गुणा या भाग देना;
5. किसी भी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करने पर जोड़ें।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।

एल्गोरिथम और गॉस विधि द्वारा हल करने के उदाहरण प्रणाली के एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली

पहले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान पर विचार करें जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, यानी इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

स्कूल विधियों का उपयोग करते हुए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हुए, हमने किसी एक समीकरण के पद को किसी संख्या से गुणा किया, ताकि दो समीकरणों में पहले चर के गुणांक विपरीत संख्याएं हों। समीकरण जोड़ते समय, यह चर समाप्त हो जाता है। गॉस विधि इसी तरह से काम करती है।

समाधान की उपस्थिति को सरल बनाने के लिए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स की रचना करें:

इस मैट्रिक्स में, अज्ञात के गुणांक लंबवत बार से पहले बाईं ओर स्थित होते हैं, और मुक्त शब्द लंबवत बार के बाद दाईं ओर स्थित होते हैं।

चरों के गुणांकों को विभाजित करने की सुविधा के लिए (एक से विभाजन प्राप्त करने के लिए) सिस्टम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें. हम दिए गए सिस्टम के बराबर एक सिस्टम प्राप्त करते हैं, क्योंकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में कोई भी समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित कर सकता है:

नए पहले समीकरण के साथ चर को समाप्त करें एक्सदूसरे और बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को (हमारे मामले में द्वारा) से गुणा करें, और पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से (हमारे मामले में से) गुणा करें।

यह संभव है क्योंकि

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो पहली पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।

नतीजतन, हम समीकरणों की एक नई प्रणाली के दिए गए सिस्टम के बराबर एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं, जिसमें दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरण एक चर शामिल नहीं है एक्स :

परिणामी प्रणाली की दूसरी पंक्ति को सरल बनाने के लिए, हम इसे गुणा करते हैं और फिर से इस प्रणाली के बराबर समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

अब, परिणामी प्रणाली के पहले समीकरण को अपरिवर्तित रखते हुए, दूसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चर को समाप्त करते हैं आप बाद के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, सिस्टम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को (हमारे मामले में, से) गुणा करके जोड़ें।

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो दूसरी पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।

नतीजतन, हम फिर से रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली के बराबर प्रणाली के मैट्रिक्स को प्राप्त करते हैं:

हमने दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त की है:

यदि समीकरणों और चरों की संख्या हमारे उदाहरण से अधिक है, तो चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सिस्टम मैट्रिक्स समलम्बाकार नहीं हो जाता, जैसा कि हमारे डेमो उदाहरण में है।

हम "अंत से" समाधान पाएंगे - उल्टा. इसके लिए अंतिम समीकरण से हम निर्धारित करते हैं जेड:
.
इस मान को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, पाना आप:

पहले समीकरण से पाना एक्स:

उत्तर: समीकरणों के इस निकाय का हल - .

: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, तो उत्तर भी ऐसा ही होगा, और यह इस पाठ के पांचवें भाग का विषय है।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

हमारे सामने फिर से रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत और निश्चित प्रणाली का एक उदाहरण है, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है। एल्गोरिथम से हमारे डेमो उदाहरण से अंतर यह है कि पहले से ही चार समीकरण और चार अज्ञात हैं।

उदाहरण 4गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। चलो कुछ तैयारी करते हैं। गुणांक के अनुपात के साथ इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, आपको दूसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम में एक इकाई प्राप्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएँ, और परिणामी दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें।

आइए अब हम तीसरे और चौथे समीकरण से चर का वास्तविक विलोपन करें। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति में दूसरी, गुणा करके , और दूसरी को , से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरी को गुणा करके जोड़ें। हमें एक समलम्बाकार आकृति का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है।

हमने समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है, जो दिए गए सिस्टम के बराबर है:

इसलिए, परिणामी और दी गई प्रणालियाँ सुसंगत और निश्चित हैं। हम अंतिम समाधान "अंत से" ढूंढते हैं। चौथे समीकरण से, हम चर "x चौथाई" के मान को सीधे व्यक्त कर सकते हैं:

हम इस मान को निकाय के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

,

,

अंत में, मूल्य प्रतिस्थापन

पहले समीकरण में देता है

,

जहां हम "x पहले" पाते हैं:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है। .

आप कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच कर सकते हैं जो क्रैमर की विधि द्वारा हल करता है: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है।

मिश्र धातुओं के लिए एक समस्या के उदाहरण पर लागू समस्याओं की गॉस विधि द्वारा समाधान

भौतिक दुनिया की वास्तविक वस्तुओं को मॉडल करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली का उपयोग किया जाता है। आइए इनमें से एक समस्या को हल करें - मिश्र धातुओं के लिए। समान कार्य - मिश्रण के लिए कार्य, माल के समूह में व्यक्तिगत वस्तुओं की लागत या विशिष्ट गुरुत्व, और इसी तरह।

उदाहरण 5मिश्र धातु के तीन टुकड़ों का कुल द्रव्यमान 150 किग्रा है। पहले मिश्र धातु में 60% तांबा, दूसरा - 30%, तीसरा - 10% होता है। वहीं दूसरी और तीसरी मिश्रधातु को मिलाकर तांबा पहली मिश्र धातु की तुलना में 28.4 किलोग्राम कम है, और तीसरे मिश्र धातु में तांबा दूसरे की तुलना में 6.2 किलोग्राम कम है। मिश्र धातु के प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

फेसला। हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

दूसरे और तीसरे समीकरण को 10 से गुणा करने पर, हम रैखिक समीकरणों की एक समान प्रणाली प्राप्त करते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

ध्यान, सीधी चाल। जोड़कर (हमारे मामले में, घटाना) एक पंक्ति, एक संख्या से गुणा (हम इसे दो बार लागू करते हैं), सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:

सीधा रन खत्म हो गया है। हमें एक समलम्बाकार आकृति का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिला है।

आइए रिवर्स का उपयोग करें। हम अंत से समाधान ढूंढते हैं। हमने देखा कि ।

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं

तीसरे समीकरण से -

आप कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच कर सकते हैं जो क्रैमर की विधि द्वारा हल करता है: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है।

गॉस पद्धति की सरलता का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इसका आविष्कार करने में केवल 15 मिनट का समय लिया। उनके नाम की विधि के अलावा, गॉस के काम से, "हमें भ्रमित नहीं करना चाहिए जो हमें अविश्वसनीय और अप्राकृतिक लगता है बिल्कुल असंभव के साथ" खोजों को बनाने के लिए एक प्रकार का संक्षिप्त निर्देश है।

कई लागू समस्याओं में, तीसरा प्रतिबंध नहीं हो सकता है, यानी तीसरा समीकरण, तो गॉस विधि द्वारा तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, या, इसके विपरीत, समीकरणों की तुलना में कम अज्ञात हैं। अब हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करना शुरू करते हैं।

गॉस विधि का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई प्रणाली सुसंगत है या असंगत एनके साथ रैखिक समीकरण एनचर।

गॉस विधि और अनंत संख्या में समाधानों के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत लेकिन अनिश्चित प्रणाली है, अर्थात इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद (पंक्तियों को क्रमित करना, पंक्तियों को एक निश्चित संख्या से गुणा और विभाजित करना, एक पंक्ति को दूसरी में जोड़ना), प्रपत्र की पंक्तियाँ

यदि सभी समीकरणों में रूप है

मुक्त सदस्य शून्य के बराबर हैं, इसका मतलब है कि प्रणाली अनिश्चित है, यानी इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं, और इस प्रकार के समीकरण "अनावश्यक" हैं और सिस्टम से बाहर रखे गए हैं।

उदाहरण 6

फेसला। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें। फिर, पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम बाद के समीकरणों से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में, पहले वाले को क्रमशः गुणा करके जोड़ें:

अब दूसरी पंक्ति को तीसरी और चौथी पंक्ति में जोड़ते हैं।

नतीजतन, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

अंतिम दो समीकरण रूप के समीकरण बन गए हैं। ये समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट हैं और इन्हें त्याग दिया जा सकता है।

दूसरे समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, हम और के लिए मनमाना मान चुन सकते हैं, फिर के लिए मान स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा: . पहले समीकरण से, के लिए मान भी विशिष्ट रूप से पाया जाता है: .

दिए गए और अंतिम सिस्टम दोनों संगत हैं लेकिन अनिश्चित हैं, और सूत्र

मनमानी के लिए और हमें दी गई प्रणाली के सभी समाधान दें।

गॉस विधि और रैखिक समीकरणों के सिस्टम जिनका कोई हल नहीं है

निम्नलिखित उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक असंगत प्रणाली है, अर्थात इसका कोई हल नहीं है। ऐसी समस्याओं का उत्तर निम्नानुसार तैयार किया गया है: सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

जैसा कि पहले उदाहरण के संबंध में पहले ही उल्लेख किया गया है, सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद, फॉर्म की लाइनें

फॉर्म के समीकरण के अनुरूप

यदि उनमें से कम से कम एक गैर-शून्य मुक्त पद (यानी) के साथ एक समीकरण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है, और यह इसका समाधान पूरा करता है।

उदाहरण 7गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

फेसला। हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं। पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चर को बाद के समीकरणों से बाहर करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली को दूसरी पंक्ति से गुणा करें, पहली को तीसरी पंक्ति से गुणा करें, और पहली को चौथी पंक्ति से गुणा करें।

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। गुणांकों के पूर्णांक अनुपात प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं।

तीसरे और चौथे समीकरण से बाहर करने के लिए, तीसरी पंक्ति में दूसरी, गुणा करके , और दूसरी को , से गुणा करके चौथी में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरी को गुणा करके जोड़ें।

इस प्रकार दी गई प्रणाली निम्नलिखित के बराबर है:

परिणामी प्रणाली असंगत है, क्योंकि इसका अंतिम समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य से संतुष्ट नहीं हो सकता है। इसलिए, इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

गॉस विधिरैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणालियों को हल करने के लिए बहुत अच्छा है। अन्य तरीकों की तुलना में इसके कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, संगतता के लिए समीकरणों की प्रणाली की पूर्व-जांच की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरे, गॉसियन पद्धति का उपयोग न केवल SLAE को हल करने के लिए किया जा सकता है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-पतित है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी है जिसमें समीकरणों की संख्या होती है अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल नहीं खाता या मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है;
• तीसरा, गॉस विधि अपेक्षाकृत कम संख्या में कम्प्यूटेशनल संचालन के साथ परिणाम देती है।

लेख की संक्षिप्त समीक्षा।

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएँ देते हैं और कुछ संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

अगला, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिथ्म का वर्णन करते हैं, अर्थात रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाता है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक नहीं हैं शून्य के बराबर। समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस पद्धति का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जिसमें अज्ञात चर का क्रमिक उन्मूलन होता है। इसलिए, गॉसियन विधि को अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। आइए हम कई उदाहरणों के विस्तृत समाधान दिखाते हैं।

अंत में, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के गाऊसी समाधान पर विचार करते हैं, जिसका मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या पतित है। ऐसी प्रणालियों के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं, जिनका हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

बुनियादी परिभाषाएँ और संकेतन।

n अज्ञात के साथ p रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें (p n के बराबर हो सकता है):

जहां अज्ञात चर हैं, संख्याएं हैं (वास्तविक या जटिल), स्वतंत्र सदस्य हैं।

यदि एक , तब रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय कहलाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चरों के मानों का समुच्चय, जिसमें निकाय के सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, कहलाते हैं SLAU निर्णय.

यदि रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का कम से कम एक हल हो, तो उसे कहते हैं संयुक्त, अन्यथा - असंगत.

यदि किसी SLAE का एक अनूठा समाधान है, तो उसे कहा जाता है निश्चित. यदि एक से अधिक हल हों, तो निकाय कहलाता है ढुलमुल.

कहा जाता है कि सिस्टम में लिखा गया है समन्वय प्रपत्रअगर इसका रूप है
.

में यह प्रणाली मैट्रिक्स फॉर्मअभिलेखों का रूप है, जहां - SLAE का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के कॉलम का मैट्रिक्स, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1)-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर T द्वारा निरूपित किया जाता है, और मुक्त सदस्यों के स्तंभ को शेष स्तंभों से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है पतितयदि इसका सारणिक शून्य है। यदि , तो मैट्रिक्स A को कहा जाता है गैर पतित.

निम्नलिखित बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के साथ निम्नलिखित क्रियाएं की जाती हैं

• दो समीकरण स्वैप करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक मनमाना और गैर-शून्य वास्तविक (या जटिल) संख्या k से गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों भागों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को एक मनमाना संख्या k से गुणा करके जोड़ें,

तब हमें एक समान प्रणाली मिलती है जिसमें समान समाधान होते हैं (या, मूल की तरह, कोई समाधान नहीं होता है)।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन क्रियाओं का अर्थ होगा पंक्तियों के साथ प्राथमिक परिवर्तन:

• दो तारों की अदला-बदली
• मैट्रिक्स T की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या k से गुणा करना,
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़ना, एक मनमाना संख्या k से गुणा करना।

अब हम गॉस विधि के विवरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

गॉस विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट होता है।

अगर हमें समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने का काम दिया जाए तो हम स्कूल में क्या करेंगे? .

कुछ ऐसा करेंगे।

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के बाईं ओर पहले समीकरण के बाईं ओर और दाईं ओर दाईं ओर जोड़कर, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 ढूंढ सकते हैं:

हम सिस्टम के पहले और तीसरे समीकरणों में पाए गए मान x 1 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि हम निकाय के तीसरे समीकरण के दोनों भागों को -1 से गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संगत भागों में जोड़ते हैं, तो हम अज्ञात चर x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और x 2 पा सकते हैं:

हम प्राप्त मान x 2 \u003d 2 को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर x 3 पाते हैं:

दूसरों ने अन्यथा किया होता।

आइए अज्ञात चर x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों में इस चर को बाहर करने के लिए प्रतिस्थापित करें:

अब x 2 के संबंध में सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करते हैं और अज्ञात चर x 2 को इससे बाहर करने के लिए प्राप्त परिणाम को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यह प्रणाली के तीसरे समीकरण से देखा जा सकता है कि x 3 =3। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं , और पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

परिचित समाधान, है ना?

यहां सबसे दिलचस्प बात यह है कि दूसरी समाधान विधि अनिवार्य रूप से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है, अर्थात गॉस विधि। जब हमने अज्ञात चरों (पहले x 1 , अगले x 2 ) को व्यक्त किया और उन्हें सिस्टम के बाकी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर कर दिया। हमने उस समय तक अपवाद को अंजाम दिया जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात चर नहीं बचा। अज्ञातों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. आगे की चाल पूरी होने के बाद, हमारे पास अंतिम समीकरण में अज्ञात चर की गणना करने का अवसर है। इसकी मदद से, अंतिम समीकरण से, हम अगला अज्ञात चर पाते हैं, और इसी तरह। अंतिम समीकरण से पहले समीकरण की ओर बढ़ते हुए अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से खोजने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 1 को x 2 और x 3 के रूप में व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं समान परिणाम देती हैं:

दरअसल, ऐसी प्रक्रिया हमें अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करने की अनुमति देती है:

गॉस विधि द्वारा अज्ञात चर के उन्मूलन के साथ बारीकियां तब उत्पन्न होती हैं जब सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, SLAU . में पहले समीकरण में, कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम इस अज्ञात चर को शेष समीकरणों से बाहर करने के लिए x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने का तरीका व्यवस्था के समीकरणों की अदला-बदली करना है। चूंकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं, जिनके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य से भिन्न होते हैं, हमेशा एक ऐसा समीकरण मौजूद होता है जिसमें हमें जिस चर की आवश्यकता होती है, वह मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता होती है। हमारे उदाहरण के लिए, सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है , तो आप x 1 के लिए पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और इसे सिस्टम के बाकी समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालाँकि x 1 पहले से ही दूसरे समीकरण में अनुपस्थित है)।

हमें उम्मीद है कि आपको सार मिल गया होगा।

आइए वर्णन करें गॉस विधि एल्गोरिथ्म।

आइए हमें n रेखीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है जिसमें n अज्ञात चर के रूप में है , और इसके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक को गैर-शून्य होने दें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। हम अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, दूसरे से शुरू करते हुए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, पहले को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहां एक .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे गुणा को जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, दूसरे को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहां एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि इसी तरह से कार्य करते हुए सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, प्राप्त मान x n का उपयोग करके हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले से x 1 पाते हैं समीकरण

आइए एक उदाहरण के साथ एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

गाऊसी विधि।

फेसला।

गुणांक ए 11 शून्य से अलग है, तो चलिए गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम पर आगे बढ़ते हैं, अर्थात, पहले वाले को छोड़कर, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को समाप्त करने के लिए। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को क्रमशः गुणा करके जोड़ें, और :

अज्ञात चर x 1 को हटा दिया गया है, आइए बहिष्करण x 2 पर चलते हैं। प्रणाली के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, हम दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को गुणा करके जोड़ते हैं और :

गॉस विधि के आगे के पाठ्यक्रम को पूरा करने के लिए, हमें अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करना होगा। चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में क्रमशः तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करके जोड़ें :

आप गॉस विधि का उल्टा कोर्स शुरू कर सकते हैं।

पिछले समीकरण से हमारे पास है ,
तीसरे समीकरण से हमें मिलता है,
दूसरे से
पहले से।

जाँच करने के लिए, आप अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की मूल प्रणाली में स्थानापन्न कर सकते हैं। सभी समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, जिसका अर्थ है कि गॉस विधि द्वारा हल सही पाया गया।

जवाब:

और अब हम इसी उदाहरण के हल को गॉस विधि द्वारा आव्यूह रूप में देंगे।

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें गाऊसी विधि।

फेसला।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है . प्रत्येक कॉलम के ऊपर अज्ञात चर लिखे होते हैं, जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप होते हैं।

गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक समलम्बाकार रूप में लाना शामिल है। यह प्रक्रिया अज्ञात चर के बहिष्करण के समान है जो हमने सिस्टम के साथ समन्वय रूप में किया था। अब आपको यकीन हो गया होगा।

आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि दूसरे से शुरू होने वाले पहले कॉलम में सभी तत्व शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में, पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें, और क्रमशः:

अगला, हम परिणामी मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं ताकि दूसरे कॉलम में, तीसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाएं। यह अज्ञात चर x 2 को बाहर करने के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें और :

यह अज्ञात चर x 3 को सिस्टम के अंतिम समीकरण से बाहर करने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों में, हम अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है

जो प्रत्यक्ष चाल के बाद पहले प्राप्त हुआ था।

वापस मुड़ने का समय आ गया है। संकेतन के मैट्रिक्स रूप में, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स में परिणामी मैट्रिक्स का ऐसा परिवर्तन शामिल होता है ताकि मैट्रिक्स को आकृति में चिह्नित किया जा सके

विकर्ण बन गया, अर्थात् रूप धारण कर लिया

कुछ नंबर कहां हैं।

ये परिवर्तन गॉस पद्धति के समान हैं, लेकिन पहली पंक्ति से अंतिम तक नहीं, बल्कि अंतिम से पहली तक की जाती हैं।

तीसरी, दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में अंतिम पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें , इत्यादि क्रमश:

अब दूसरी और पहली पंक्तियों के तत्वों में तीसरी पंक्ति के संगत तत्वों को क्रमशः और से गुणा करते हैं:

गॉस विधि के रिवर्स मोशन के अंतिम चरण में, पहली पंक्ति के तत्वों में, हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है , जिसमें से हम अज्ञात चर पाते हैं।

जवाब:

टिप्पणी।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस पद्धति का उपयोग करते समय, अनुमानित गणनाओं से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे बिल्कुल गलत परिणाम हो सकते हैं। हम अनुशंसा करते हैं कि आप दशमलव को गोल न करें। दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न में जाना बेहतर है।

उदाहरण।

गाऊसी विधि द्वारा तीन समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

फेसला।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में, अज्ञात चरों का एक अलग पदनाम है (x 1 , x 2 , x 3 नहीं, बल्कि x, y, z )। आइए सामान्य भिन्नों पर चलते हैं:

सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात x को हटा दें:

परिणामी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में कोई अज्ञात चर y नहीं है, और y तीसरे समीकरण में मौजूद है, इसलिए, हम दूसरे और तीसरे समीकरण को स्वैप करते हैं:

इस बिंदु पर, गॉस विधि का प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम समाप्त हो गया है (आपको y को तीसरे समीकरण से बाहर करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब मौजूद नहीं है)।

चलिये वापस चलते हैं।

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं ,
अंतिम से


पहले समीकरण से हमारे पास है

जवाब:

एक्स = 10, वाई = 5, जेड = -20।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है, या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गॉस विधि द्वारा पतित है।

समीकरणों की प्रणाली जिसका मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्ग पतित है, का कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक एकल समाधान हो सकता है, या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि कैसे गॉस विधि हमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता या असंगति स्थापित करने की अनुमति देती है, और इसकी संगतता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) निर्धारित करें।

सिद्धांत रूप में, ऐसे SLAE के मामले में अज्ञात चर को समाप्त करने की प्रक्रिया समान रहती है। हालांकि, यह कुछ स्थितियों पर विस्तार से ध्यान देने योग्य है जो उत्पन्न हो सकती हैं।

आइए सबसे महत्वपूर्ण कदम पर चलते हैं।

तो, आइए मान लें कि गॉस विधि के फॉरवर्ड रन के पूरा होने के बाद रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है और कोई भी समीकरण कम नहीं हुआ (इस मामले में, हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि सिस्टम असंगत है)। एक तार्किक प्रश्न उठता है: "आगे क्या करना है"?

हम अज्ञात चर लिखते हैं जो परिणामी प्रणाली के सभी समीकरणों के पहले स्थान पर हैं:

हमारे उदाहरण में, ये x 1 , x 4 और x 5 हैं। सिस्टम के समीकरणों के बाएं हिस्सों में, हम केवल उन शब्दों को छोड़ते हैं जिनमें लिखित अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, हम शेष शर्तों को विपरीत चिह्न के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम अज्ञात चरों के लिए मनमाना मान निर्दिष्ट करें जो समीकरणों के दायीं ओर हैं, जहां - मनमानी संख्या:

उसके बाद, हमारे SLAE के सभी समीकरणों के सही भागों में संख्याएँ पाई जाती हैं और हम गॉस विधि के रिवर्स कोर्स के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, हम पाते हैं कि अंतिम समीकरण से, पहले समीकरण से हमें मिलता है

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अज्ञात चर के मूल्यों का समूह है

नंबर देना अलग-अलग मान, हमें समीकरणों की प्रणाली के अलग-अलग समाधान मिलेंगे। अर्थात्, हमारे समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

जवाब:

कहाँ पे - मनमानी संख्या।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कई और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

रैखिक बीजीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

फेसला।

आइए अज्ञात चर x को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को, क्रमशः, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों से गुणा करके, और तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ें। पहला समीकरण, इससे गुणा:

अब हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली के तीसरे समीकरण से y को बाहर करते हैं:

परिणामी SLAE सिस्टम के समतुल्य है .

हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर केवल अज्ञात चर x और y वाले पदों को छोड़ते हैं, और अज्ञात चर z वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: