भग्न होते हैं। अंतरिक्ष अनुसंधान प्रयोगशाला

फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। फ्रैक्टल शब्द लैटिन फ्रैक्टस से लिया गया है और अनुवाद में इसका अर्थ है टुकड़ों से मिलकर। यह बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में प्रस्तावित किया गया था ताकि वे अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं का उल्लेख कर सकें जिनका उन्होंने अध्ययन किया था। फ्रैक्टल ज्यामिति का जन्म आमतौर पर 1977 में मैंडेलब्रॉट की पुस्तक `द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर ’के प्रकाशन से जुड़ा हुआ है। उनके कार्यों में अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया गया था, जिन्होंने उसी क्षेत्र में 1875-1925 की अवधि में काम किया था। जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ लेकिन केवल हमारे समय में उनके कार्यों को एक प्रणाली में जोड़ना संभव था।
आज कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स की भूमिका काफी बड़ी है। वे बचाव के लिए आते हैं, उदाहरण के लिए, जब यह आवश्यक होता है, तो कई गुणांकों की मदद से, बहुत जटिल आकार की रेखाओं और सतहों को परिभाषित करने के लिए। कंप्यूटर ग्राफिक्स के दृष्टिकोण से, कृत्रिम बादलों, पहाड़ों और समुद्र की सतह के निर्माण के लिए फ्रैक्टल ज्यामिति अपरिहार्य है। वास्तव में, जटिल गैर-यूक्लिडियन वस्तुओं का आसानी से प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका मिल गया है, जिनमें से चित्र प्राकृतिक लोगों के समान हैं।
भग्न के मुख्य गुणों में से एक आत्म-समानता है। सबसे सरल मामले में, फ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में पूरे फ्रैक्टल के बारे में जानकारी होती है। मैंडलब्रॉट द्वारा दी गई फ्रैक्टल की परिभाषा इस प्रकार है: "एक फ्रैक्टल एक संरचना है जिसमें ऐसे हिस्से होते हैं जो कुछ अर्थों में पूरे के समान होते हैं।"

बड़ी संख्या में गणितीय वस्तुएं हैं जिन्हें फ्रैक्टल्स (सिएरपिंस्की त्रिकोण, कोच स्नोफ्लेक, पीनो कर्व, मैंडेलब्रॉट सेट और लोरेंट्ज़ अट्रैक्टर) कहा जाता है। भग्न बड़ी सटीकता के साथ वास्तविक दुनिया की कई भौतिक घटनाओं और संरचनाओं का वर्णन करते हैं: पहाड़, बादल, अशांत (भंवर) धाराएं, जड़ें, शाखाएं और पेड़ों की पत्तियां, रक्त वाहिकाएं, जो सरल ज्यामितीय आकृतियों के अनुरूप नहीं हैं। बेनोइट मंडेलब्रॉट ने पहली बार अपने मौलिक काम "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में हमारी दुनिया की फ्रैक्टल प्रकृति के बारे में बात की थी।
फ्रैक्टल शब्द को बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने 1977 में अपने मौलिक कार्य "फ्रैक्टल्स, फॉर्म, कैओस एंड डायमेंशन" में पेश किया था। मैंडलब्रॉट के अनुसार, फ्रैक्टल शब्द लैटिन शब्द फ्रैक्टस - फ्रैक्शनल और फ्रेंजरे - से ब्रेक के लिए आया है, जो फ्रैक्टल के सार को "टूटा", अनियमित सेट के रूप में दर्शाता है।

भग्न का वर्गीकरण।

भग्न की संपूर्ण विविधता का प्रतिनिधित्व करने के लिए, उनके आम तौर पर स्वीकृत वर्गीकरण का सहारा लेना सुविधाजनक है। भग्न के तीन वर्ग हैं।

1. ज्यामितीय भग्न।

इस वर्ग के भग्न सबसे स्पष्ट हैं। द्वि-आयामी मामले में, उन्हें एक पॉलीलाइन (या त्रि-आयामी मामले में सतह) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जिसे जनरेटर कहा जाता है। एल्गोरिथम के एक चरण में, टूटी हुई रेखा को बनाने वाले प्रत्येक खंड को उपयुक्त पैमाने पर टूटे हुए लाइन जनरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय भग्न प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, ऐसी भग्न वस्तुओं में से एक पर विचार करें - कोच त्रैमासिक वक्र।

त्रिक कोच वक्र का निर्माण।

लंबाई 1 का एक सीधी रेखा खंड लें। आइए इसे कहते हैं बीज. आइए हम बीज को 1/3 लंबाई के तीन बराबर भागों में विभाजित करें, मध्य भाग को हटा दें और इसे 1/3 लंबाई के दो लिंक की टूटी हुई रेखा से बदलें।

हमें एक टूटी हुई रेखा मिलती है, जिसमें कुल 4/3 लंबाई के साथ 4 लिंक होते हैं, - तथाकथित पहली पीढ़ी.

कोच वक्र की अगली पीढ़ी में जाने के लिए, प्रत्येक लिंक के मध्य भाग को त्यागना और बदलना आवश्यक है। तदनुसार, दूसरी पीढ़ी की लंबाई 16/9, तीसरी - 64/27 होगी। यदि आप इस प्रक्रिया को अनंत तक जारी रखते हैं, तो परिणाम एक त्रैमासिक कोच वक्र होगा।

आइए अब पवित्र त्रैमासिक कोच वक्र पर विचार करें और पता करें कि भग्न को "राक्षस" क्यों कहा जाता था।

सबसे पहले, इस वक्र की कोई लंबाई नहीं है - जैसा कि हमने देखा है, पीढ़ियों की संख्या के साथ, इसकी लंबाई अनंत तक जाती है।

दूसरे, इस वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा बनाना असंभव है - इसका प्रत्येक बिंदु एक विभक्ति बिंदु है जिस पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है - यह वक्र चिकना नहीं है।

लंबाई और चिकनाई वक्रों के मूलभूत गुण हैं, जिनका अध्ययन यूक्लिडियन ज्यामिति और लोबाचेवस्की और रीमैन की ज्यामिति दोनों द्वारा किया जाता है। ज्यामितीय विश्लेषण के पारंपरिक तरीके त्रैमासिक कोच वक्र के लिए अनुपयुक्त निकले, इसलिए कोच वक्र एक राक्षस निकला - पारंपरिक ज्यामिति के सहज निवासियों के बीच एक "राक्षस"।

"ड्रैगन" Harter-Hateway का निर्माण।

एक और फ्रैक्टल ऑब्जेक्ट प्राप्त करने के लिए, आपको निर्माण नियमों को बदलने की जरूरत है। मान लीजिए कि जनक तत्व समकोण पर जुड़े हुए दो बराबर खंड हैं। जीरो जेनरेशन में हम यूनिट सेगमेंट को इस जेनरेटिंग एलिमेंट से रिप्लेस करते हैं ताकि एंगल टॉप पर हो। हम कह सकते हैं कि इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ, लिंक के बीच में एक बदलाव होता है। अगली पीढ़ियों का निर्माण करते समय, नियम का पालन किया जाता है: बाईं ओर की पहली कड़ी को एक जनरेटिंग तत्व द्वारा बदल दिया जाता है ताकि लिंक के मध्य को आंदोलन की दिशा के बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाए, और अगले लिंक को प्रतिस्थापित करते समय, खंडों के मध्य बिंदुओं के विस्थापन की दिशाएँ वैकल्पिक होनी चाहिए। यह आंकड़ा ऊपर वर्णित सिद्धांत के अनुसार निर्मित वक्र की पहली कुछ पीढ़ियों और 11वीं पीढ़ी को दर्शाता है। n अनंत की ओर प्रवृत्त वक्र को Harter-Hateway Dragon कहा जाता है।
कंप्यूटर ग्राफिक्स में, पेड़ों और झाड़ियों की छवियों को प्राप्त करते समय ज्यामितीय फ्रैक्टल का उपयोग आवश्यक होता है। द्वि-आयामी ज्यामितीय भग्न का उपयोग त्रि-आयामी बनावट (किसी वस्तु की सतह पर पैटर्न) बनाने के लिए किया जाता है।

2. बीजीय भग्न

यह भग्नों का सबसे बड़ा समूह है। वे n-आयामी रिक्त स्थान में गैर-रैखिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं। द्वि-आयामी प्रक्रियाओं का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक असतत गतिशील प्रणाली के रूप में एक गैर-रेखीय पुनरावृत्ति प्रक्रिया की व्याख्या करते हुए, कोई इन प्रणालियों के सिद्धांत की शब्दावली का उपयोग कर सकता है: चरण चित्र, स्थिर राज्य प्रक्रिया, आकर्षित करने वाला, आदि।
यह ज्ञात है कि नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम में कई स्थिर अवस्थाएँ होती हैं। वह अवस्था जिसमें एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद गतिशील प्रणाली स्वयं को पाती है, इसकी प्रारंभिक अवस्था पर निर्भर करती है। इसलिए, प्रत्येक स्थिर अवस्था (या, जैसा कि वे कहते हैं, एक आकर्षित करने वाला) के पास प्रारंभिक अवस्थाओं का एक निश्चित क्षेत्र होता है, जहाँ से सिस्टम आवश्यक रूप से अंतिम अवस्थाओं में आता है। इस प्रकार, सिस्टम के चरण स्थान को आकर्षित करने वालों के आकर्षण के क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। यदि चरण स्थान द्वि-आयामी है, तो आकर्षण क्षेत्रों को विभिन्न रंगों से रंगकर, कोई इस प्रणाली (पुनरावृत्ति प्रक्रिया) का रंग चरण चित्र प्राप्त कर सकता है। रंग चयन एल्गोरिदम को बदलकर, आप फैंसी बहुरंगा पैटर्न के साथ जटिल फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं। गणितज्ञों के लिए एक आश्चर्य आदिम एल्गोरिदम का उपयोग करके बहुत ही जटिल गैर-तुच्छ संरचनाओं को उत्पन्न करने की क्षमता थी।

मैंडलब्रॉट सेट।

एक उदाहरण के रूप में, मैंडलब्रॉट सेट पर विचार करें। इसके निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म काफी सरल है और एक सरल पुनरावृत्ति अभिव्यक्ति पर आधारित है: जेड = जेड [i] * जेड [i] + सी, कहाँ पे जिऔर सीजटिल चर हैं। एक आयताकार या वर्ग क्षेत्र से प्रत्येक प्रारंभिक बिंदु के लिए पुनरावृत्तियों का प्रदर्शन किया जाता है - जटिल विमान का एक सबसेट। पुनरावृत्ति प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक जेड [मैं]त्रिज्या 2 के वृत्त से आगे नहीं जाएगा, जिसका केंद्र बिंदु (0,0) पर स्थित है, (इसका अर्थ है कि गतिशील प्रणाली का आकर्षण अनंत पर है), या पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद (उदाहरण के लिए) , 200-500) जेड [मैं]वृत्त के किसी बिंदु पर परिवर्तित हो जाता है। पुनरावृत्तियों की संख्या के आधार पर जिसके दौरान जेड [मैं]सर्कल के अंदर बने रहे, आप बिंदु का रंग सेट कर सकते हैं सी(अगर जेड [मैं]पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियों के लिए वृत्त के अंदर रहता है, पुनरावृत्ति प्रक्रिया रुक जाती है और यह रेखापुंज बिंदु काले रंग में रंग जाता है)।

3. स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स

फ्रैक्टल्स का एक अन्य प्रसिद्ध वर्ग स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स हैं, जो तब प्राप्त होते हैं जब इसके किसी भी पैरामीटर को एक पुनरावृत्त प्रक्रिया में बेतरतीब ढंग से बदल दिया जाता है। इसका परिणाम प्राकृतिक वस्तुओं के समान ही होता है - विषम पेड़, इंडेंटेड कोस्टलाइन, आदि। इलाके और समुद्र की सतह के मॉडलिंग में द्वि-आयामी स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है।
फ्रैक्टल के अन्य वर्गीकरण भी हैं, उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल्स का नियतात्मक (बीजीय और ज्यामितीय) और गैर-नियतात्मक (स्टोकेस्टिक) में विभाजन।

भग्न के उपयोग के बारे में

सबसे पहले, फ्रैक्टल अद्भुत गणितीय कला का एक क्षेत्र है, जब सरलतम सूत्रों और एल्गोरिदम की मदद से असाधारण सुंदरता और जटिलता के चित्र प्राप्त होते हैं! निर्मित छवियों की आकृति में, पत्तियों, पेड़ों और फूलों का अक्सर अनुमान लगाया जाता है।

फ्रैक्टल के सबसे शक्तिशाली अनुप्रयोगों में से एक कंप्यूटर ग्राफिक्स में निहित है। सबसे पहले, यह छवियों का फ्रैक्टल संपीड़न है, और दूसरी बात, परिदृश्य, पेड़, पौधे और फ्रैक्टल बनावट की पीढ़ी का निर्माण। आधुनिक भौतिकी और यांत्रिकी अभी भग्न वस्तुओं के व्यवहार का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं। और, ज़ाहिर है, फ्रैक्टल सीधे गणित में ही लागू होते हैं।
भग्न छवि संपीड़न एल्गोरिदम के लाभ पैक की गई फ़ाइल का बहुत छोटा आकार और लघु छवि पुनर्प्राप्ति समय है। पिक्सेलेशन की उपस्थिति के बिना आंशिक रूप से पैक किए गए चित्रों को स्केल किया जा सकता है। लेकिन संपीड़न प्रक्रिया में लंबा समय लगता है और कभी-कभी घंटों तक रहता है। हानिपूर्ण फ्रैक्टल पैकिंग एल्गोरिदम आपको जेपीईजी प्रारूप के समान संपीड़न स्तर सेट करने की अनुमति देता है। एल्गोरिथ्म कुछ छोटे टुकड़ों के समान छवि के बड़े टुकड़ों की खोज पर आधारित है। और केवल कौन सा टुकड़ा समान है जो आउटपुट फ़ाइल में लिखा जाता है। संपीड़ित करते समय, आमतौर पर एक वर्ग ग्रिड का उपयोग किया जाता है (टुकड़े वर्ग होते हैं), जो चित्र को पुनर्स्थापित करते समय थोड़ी कोणीयता की ओर जाता है, एक हेक्सागोनल ग्रिड इस तरह के नुकसान से मुक्त होता है।
Iterated ने एक नया छवि प्रारूप, "स्टिंग" विकसित किया है, जो फ्रैक्टल और "लहर" (जैसे jpeg) दोषरहित संपीड़न को जोड़ती है। नया प्रारूप आपको बाद के उच्च-गुणवत्ता वाले स्केलिंग की संभावना के साथ छवियां बनाने की अनुमति देता है, और ग्राफिक फ़ाइलों की मात्रा असम्पीडित छवियों की मात्रा का 15-20% है।
फ्रैक्टल की पहाड़ों, फूलों और पेड़ों की तरह दिखने की प्रवृत्ति का कुछ ग्राफिक संपादकों द्वारा शोषण किया जाता है, उदाहरण के लिए, 3D स्टूडियो मैक्स से फ्रैक्टल क्लाउड्स, वर्ल्ड बिल्डर में फ्रैक्टल पर्वत। भग्न पेड़, पहाड़ और पूरे परिदृश्य सरल सूत्रों द्वारा दिए गए हैं, प्रोग्राम करना आसान है और संपर्क करने पर अलग-अलग त्रिकोण और क्यूब्स में नहीं गिरते हैं।
आप गणित में ही फ्रैक्टल्स के प्रयोग को नज़रअंदाज़ नहीं कर सकते। सेट सिद्धांत में, कैंटर सेट सही कहीं भी घने सेट के अस्तित्व को साबित करता है; माप सिद्धांत में, सेल्फ-एफ़िन "कैंटर सीढ़ी" फ़ंक्शन एकवचन माप वितरण फ़ंक्शन का एक अच्छा उदाहरण है।
यांत्रिकी और भौतिकी में, कई प्राकृतिक वस्तुओं की रूपरेखा को दोहराने के लिए उनकी अनूठी संपत्ति के कारण फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल्स आपको लाइन सेगमेंट या पॉलीगॉन (समान मात्रा में संग्रहीत डेटा के साथ) के अनुमानों की तुलना में अधिक सटीकता के साथ पेड़ों, पहाड़ की सतहों और दरारों का अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। प्राकृतिक वस्तुओं की तरह भग्न मॉडल में "खुरदरापन" होता है, और यह संपत्ति मॉडल में मनमाने ढंग से बड़ी वृद्धि पर संरक्षित होती है। भग्न पर एक समान माप की उपस्थिति से पहले से अध्ययन किए गए समीकरणों में मानक वस्तुओं के बजाय एकीकरण, संभावित सिद्धांत को लागू करना संभव हो जाता है।
भग्न दृष्टिकोण के साथ, अराजकता नीला विकार बनना बंद कर देती है और एक अच्छी संरचना प्राप्त कर लेती है। भग्न विज्ञान अभी भी बहुत छोटा है और इसके आगे एक महान भविष्य है। भग्न की सुंदरता समाप्त होने से बहुत दूर है और अभी भी हमें कई उत्कृष्ट कृतियाँ देगी - वे जो आँखों को प्रसन्न करती हैं, और वे जो मन को सच्चा आनंद देती हैं।

भग्न निर्माण के बारे में

क्रमिक सन्निकटन की विधि

इस तस्वीर को देखकर, यह समझना मुश्किल नहीं है कि एक स्व-समान फ्रैक्टल (इस मामले में, सिएरपिंस्की पिरामिड) कैसे बनाया जा सकता है। हमें एक साधारण पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन) लेने की जरूरत है, फिर उसके मध्य (ऑक्टाहेड्रोन) को काट लें, जिसके परिणामस्वरूप हमें चार छोटे पिरामिड मिलते हैं। उनमें से प्रत्येक के साथ हम एक ही ऑपरेशन करते हैं, और इसी तरह। यह कुछ हद तक भोली है, लेकिन व्याख्यात्मक व्याख्या है।

आइए विधि के सार पर अधिक सख्ती से विचार करें। कुछ IFS सिस्टम होने दें, यानी। संकुचन मानचित्रण प्रणाली एस=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (उदाहरण के लिए, हमारे पिरामिड के लिए, मैपिंग S i (x)=1/2*x+o i की तरह दिखती है, जहां o i हैं चतुष्फलक के शीर्ष, i=1,..,4)। फिर हम R n में कुछ सघन समुच्चय A 1 चुनते हैं (हमारे मामले में हम एक चतुष्फलक चुनते हैं)। और हम समुच्चय A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) के अनुक्रम को प्रेरण द्वारा निर्धारित करते हैं। यह ज्ञात है कि बढ़ते k के साथ A k सेट करता है जो सिस्टम के आवश्यक आकर्षण का अनुमान लगाता है एस.

ध्यान दें कि इनमें से प्रत्येक पुनरावृत्ति एक आकर्षित करने वाला है पुनरावृत्त कार्यों की आवर्तक प्रणाली(अंग्रेजी शब्द DigraphIFS, आरआईएफएसऔर भी ग्राफ-निर्देशित IFS) और इसलिए उन्हें हमारे कार्यक्रम के साथ बनाना आसान है।

अंक या संभाव्य विधि द्वारा निर्माण

यह कंप्यूटर पर लागू करने का सबसे आसान तरीका है। सादगी के लिए, एक फ्लैट सेल्फ-एफ़िन सेट के मामले पर विचार करें। तो चलें

) affine संकुचन की कुछ प्रणाली है। मैपिंग एस

के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य: S

आकार 2x2 और o . का निश्चित मैट्रिक्स

द्वि-आयामी वेक्टर स्तंभ।

आइए पहले मैपिंग S 1 के एक निश्चित बिंदु को शुरुआती बिंदु के रूप में लें:
एक्स: = ओ 1;
यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि सभी निश्चित संकुचन बिंदु S 1 ,..,S m भग्न से संबंधित हैं। एक मनमाना बिंदु को एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में चुना जा सकता है और इसके द्वारा उत्पन्न बिंदुओं का क्रम एक भग्न में सिकुड़ जाएगा, लेकिन फिर स्क्रीन पर कुछ अतिरिक्त बिंदु दिखाई देंगे।
स्क्रीन पर वर्तमान बिंदु x=(x 1,x 2) पर ध्यान दें:
पुटपिक्सेल (एक्स 1, एक्स 2, 15);
हम यादृच्छिक रूप से 1 से m तक एक संख्या j चुनते हैं और बिंदु x के निर्देशांकों की पुनर्गणना करते हैं:
जे: = यादृच्छिक (एम) +1;
एक्स: = एस जे (एक्स);
हम चरण 2 पर जाते हैं, या, यदि हमने पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियां की हैं, तो हम रुक जाते हैं।

टिप्पणी।यदि मैपिंग के संपीड़न गुणांक S i भिन्न हैं, तो फ्रैक्टल असमान रूप से बिंदुओं से भर जाएगा। यदि मैपिंग S i समानताएं हैं, तो एल्गोरिथम को थोड़ा जटिल करके इसे टाला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, एल्गोरिथम के तीसरे चरण में, 1 से m तक की संख्या j को प्रायिकताओं के साथ चुना जाना चाहिए p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , जहां r मैं मैपिंग के संकुचन गुणांक को निरूपित करता हूं। , और संख्या s (समानता आयाम कहा जाता है) समीकरण r 1 s +...+r m s =1 से पाई जाती है। उदाहरण के लिए, न्यूटन की विधि द्वारा इस समीकरण का हल पाया जा सकता है।

भग्न और उनके एल्गोरिदम के बारे में

फ्रैक्टल लैटिन विशेषण "फ्रैक्टस" से आया है, और अनुवाद में इसका अर्थ है टुकड़ों से मिलकर, और संबंधित लैटिन क्रिया "फ्रैंजियर" का अर्थ है तोड़ना, यानी अनियमित टुकड़े बनाना। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में इस शब्द का प्रस्ताव उन अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं का उल्लेख करने के लिए किया गया था जिनका उन्होंने अध्ययन किया था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर मैंडलब्रॉट की किताब "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" - "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के प्रकाशन से जुड़ा हुआ है। उनके कार्यों ने अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया, जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया (पोंकारे, फतो, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ)।

समायोजन

मुझे एच.-ओ द्वारा पुस्तक में प्रस्तावित एल्गोरिदम में कुछ समायोजन करने दें। Paytgen और P.H. Richter "द ब्यूटी ऑफ फ्रैक्टल्स" M. 1993, विशुद्ध रूप से टाइपो को मिटाने और प्रक्रियाओं को समझना आसान बनाने के लिए, क्योंकि उनका अध्ययन करने के बाद, मेरे लिए बहुत कुछ एक रहस्य बना रहा। दुर्भाग्य से, ये "समझने योग्य" और "सरल" एल्गोरिदम एक कमाल की जीवन शैली का नेतृत्व करते हैं।

भग्न का निर्माण प्रतिक्रिया z \u003d z 2 + c के साथ एक जटिल प्रक्रिया के एक निश्चित गैर-रेखीय कार्य पर आधारित है क्योंकि z और c जटिल संख्याएं हैं, फिर z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, यह आवश्यक है आम आदमी के विमान के लिए और अधिक वास्तविक जाने के लिए इसे x और y में विघटित करना:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

सभी युग्मों (x, y) से युक्त तल को निश्चित मान वाला माना जा सकता है पी और क्यू, साथ ही गतिशील लोगों के लिए। पहले मामले में, कानून के अनुसार विमान के सभी बिंदुओं (x, y) के माध्यम से छँटाई करना और उन्हें रंग देना, पुनरावृत्ति प्रक्रिया से बाहर निकलने के लिए आवश्यक फ़ंक्शन की पुनरावृत्ति की संख्या के आधार पर या स्वीकार्य अधिकतम होने पर रंग (काला) नहीं होना चाहिए। दोहराव बढ़ जाता है, हमें जूलिया सेट का डिस्प्ले मिलता है। यदि, इसके विपरीत, हम मूल्यों की प्रारंभिक जोड़ी (एक्स, वाई) निर्धारित करते हैं और पैरामीटर पी और क्यू के गतिशील रूप से बदलते मूल्यों के साथ अपने रंगीन भाग्य का पता लगाते हैं, तो हमें मंडेलब्रॉट सेट नामक छवियां मिलती हैं।

भग्न रंग एल्गोरिदम के प्रश्न पर।

आमतौर पर सेट के शरीर को एक काले क्षेत्र के रूप में दर्शाया जाता है, हालांकि यह स्पष्ट है कि काले रंग को किसी अन्य से बदला जा सकता है, लेकिन यह भी एक दिलचस्प परिणाम है। सभी रंगों में चित्रित एक सेट की छवि प्राप्त करना एक ऐसा कार्य है जिसे चक्रीय संचालन का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सेट के शरीर को बनाने वाले पुनरावृत्तियों की संख्या अधिकतम संभव और हमेशा समान होती है। लूप (z_magnitude) से बाहर निकलने की स्थिति को रंग संख्या के रूप में, या इसके समान, लेकिन अन्य गणितीय कार्यों के साथ जांच के परिणाम का उपयोग करके सेट को अलग-अलग रंगों में रंगना संभव है।

"फ्रैक्टल माइक्रोस्कोप" का अनुप्रयोग

सीमांत घटनाओं को प्रदर्शित करने के लिए।

विमान पर प्रभुत्व के लिए संघर्ष का नेतृत्व करने वाले केंद्र आकर्षणकर्ता हैं। आकर्षित करने वालों के बीच एक घुमावदार पैटर्न का प्रतिनिधित्व करने वाली एक सीमा होती है। सेट की सीमाओं के भीतर विचार के पैमाने को बढ़ाकर, कोई गैर-तुच्छ पैटर्न प्राप्त कर सकता है जो नियतात्मक अराजकता की स्थिति को दर्शाता है - प्राकृतिक दुनिया में एक सामान्य घटना।

भूगोलवेत्ताओं द्वारा अध्ययन की गई वस्तुएं बहुत जटिल रूप से संगठित सीमाओं के साथ एक प्रणाली बनाती हैं, जिसके संबंध में उनका कार्यान्वयन एक कठिन व्यावहारिक कार्य बन जाता है। प्राकृतिक परिसरों में विशिष्ट आकर्षण के रूप में कार्य करने वाले कोर होते हैं जो दूर जाने पर क्षेत्र पर प्रभाव की अपनी शक्ति खो देते हैं।

मंडेलब्रॉट और जूलिया सेट के लिए एक फ्रैक्टल माइक्रोस्कोप का उपयोग करके, कोई सीमा प्रक्रियाओं और घटनाओं का एक विचार बना सकता है जो विचार के पैमाने की परवाह किए बिना समान रूप से जटिल हैं और इस प्रकार एक गतिशील और प्रतीत होता है अराजक के साथ बैठक के लिए एक विशेषज्ञ की धारणा तैयार करते हैं। अंतरिक्ष और समय में प्राकृतिक वस्तु, भग्न ज्यामिति प्रकृति को समझने के लिए। बहुरंगी रंग और भग्न संगीत निश्चित रूप से छात्रों के मन पर गहरी छाप छोड़ेगा।

हजारों प्रकाशन और विशाल इंटरनेट संसाधन भग्न के लिए समर्पित हैं, हालांकि, कंप्यूटर विज्ञान से दूर कई विशेषज्ञों के लिए, यह शब्द बिल्कुल नया लगता है। भग्न, ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में विशेषज्ञों की रुचि की वस्तुओं के रूप में, कंप्यूटर विज्ञान के पाठ्यक्रम में अपना उचित स्थान प्राप्त करना चाहिए।

उदाहरण

सिरपिंस्की ग्रिड

यह उन भग्नों में से एक है जिसका प्रयोग मैंडलब्रॉट ने भग्न आयामों और पुनरावृत्तियों की अवधारणाओं को विकसित करते समय किया था। बड़े त्रिभुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बने त्रिभुजों को मुख्य त्रिभुज से काटकर एक त्रिभुज बनाया जाता है, जिसमें अधिक छिद्र होते हैं। इस मामले में, सर्जक एक बड़ा त्रिभुज है और टेम्पलेट बड़े त्रिभुज के समान त्रिभुजों को काटने के लिए एक ऑपरेशन है। आप एक साधारण चतुष्फलक का उपयोग करके और छोटे चतुष्फलक को काटकर त्रिभुज का 3D संस्करण भी प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे भग्न का आयाम ln3/ln2 = 1.584962501 है।

प्राप्त करना सीरपिंस्की कालीन, एक वर्ग लें, इसे नौ वर्गों में विभाजित करें, और बीच वाले को काट लें। हम बाकी, छोटे वर्गों के साथ भी ऐसा ही करेंगे। अंत में, एक फ्लैट फ्रैक्टल ग्रिड बनता है, जिसमें कोई क्षेत्र नहीं होता है, लेकिन अनंत कनेक्शन होते हैं। अपने स्थानिक रूप में, सिएरपिंस्की स्पंज को रूपों के माध्यम से एक प्रणाली में बदल दिया जाता है, जिसमें प्रत्येक तत्व के माध्यम से लगातार अपनी तरह से प्रतिस्थापित किया जाता है। यह संरचना हड्डी के ऊतकों के एक खंड के समान है। किसी दिन ऐसी दोहराई जाने वाली संरचनाएं भवन संरचनाओं का एक तत्व बन जाएंगी। मंडेलब्रॉट का मानना है कि उनके स्टैटिक्स और डायनामिक्स, करीबी अध्ययन के लायक हैं।

कोच कर्व

कोच वक्र सबसे विशिष्ट नियतात्मक भग्नों में से एक है। इसका आविष्कार उन्नीसवीं शताब्दी में हेल्ज वॉन कोच नामक एक जर्मन गणितज्ञ ने किया था, जिन्होंने जॉर्ज कोंटोर और कार्ल वीयरस्ट्रेश के काम का अध्ययन करते हुए असामान्य व्यवहार के साथ कुछ अजीब वक्रों का वर्णन किया था। सर्जक - सीधी रेखा। जनरेटर एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ बड़े खंड की लंबाई के एक तिहाई के बराबर होती हैं। इन त्रिभुजों को प्रत्येक खंड के मध्य में बार-बार जोड़ा जाता है। अपने शोध में, मैंडेलब्रॉट ने कोच वक्रों के साथ बहुत प्रयोग किया, और कोच द्वीप, कोच क्रॉस, कोच स्नोफ्लेक्स, और यहां तक कि कोच वक्र के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व जैसे टेट्राहेड्रॉन का उपयोग करके और इसके प्रत्येक चेहरे पर छोटे टेट्राहेड्रा जोड़कर आंकड़े प्राप्त किए। कोच वक्र का आयाम ln4/ln3 = 1.261859507 है।

फ्रैक्टल मंडेलब्रोट

यह मैंडलब्रॉट सेट नहीं है जिसे आप अक्सर देखते हैं। मैंडलब्रॉट सेट गैर-रैखिक समीकरणों पर आधारित है और एक जटिल फ्रैक्टल है। यह भी कोच वक्र का एक प्रकार है, इस तथ्य के बावजूद कि यह वस्तु इसके जैसी नहीं दिखती है। सर्जक और जनरेटर भी कोच वक्र के सिद्धांत के आधार पर भग्न बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले लोगों से भिन्न होते हैं, लेकिन विचार वही रहता है। समबाहु त्रिभुजों को एक वक्र खंड से जोड़ने के बजाय, वर्ग एक वर्ग से जुड़े होते हैं। इस तथ्य के कारण कि यह फ्रैक्टल प्रत्येक पुनरावृत्ति पर आवंटित स्थान के ठीक आधे हिस्से पर कब्जा कर लेता है, इसका एक साधारण फ्रैक्टल आयाम 3/2 = 1.5 है।

डेयर का पेंटागन

एक भग्न एक साथ निचोड़ा हुआ पेंटागन के एक गुच्छा जैसा दिखता है। वास्तव में, यह एक पंचभुज को सर्जक और समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में उपयोग करके बनाया गया है, सबसे बड़े पक्ष का सबसे छोटा अनुपात जिसमें जनरेटर के रूप में तथाकथित सुनहरे अनुपात (1.618033989 या 1/(2cos72)) के बराबर है। . इन त्रिभुजों को प्रत्येक पंचभुज के बीच से काटा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक आकार ऐसा दिखता है जो एक बड़े से चिपके हुए 5 छोटे पेंटागन जैसा दिखता है।

इस भग्न का एक प्रकार एक षट्भुज को आरंभकर्ता के रूप में उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। इस भग्न को डेविड का सितारा कहा जाता है और यह कोच के स्नोफ्लेक के हेक्सागोनल संस्करण के समान है। डेरर पेंटागन का भग्न आयाम ln6/ln(1+g) है, जहां g त्रिभुज की बड़ी भुजा की लंबाई और छोटी भुजा की लंबाई का अनुपात है। इस मामले में, जी स्वर्ण अनुपात है, इसलिए फ्रैक्टल आयाम लगभग 1.86171596 है। डेविड के तारे का भग्न आयाम ln6/ln3 या 1.630929754 है।

जटिल भग्न

वास्तव में, यदि आप किसी जटिल भग्न के एक छोटे से क्षेत्र पर ज़ूम इन करते हैं और फिर उस क्षेत्र के एक छोटे से क्षेत्र पर भी ऐसा ही करते हैं, तो दोनों आवर्धन एक दूसरे से काफी भिन्न होंगे। दो छवियां विस्तार से बहुत समान होंगी, लेकिन वे पूरी तरह समान नहीं होंगी।

अंजीर 1. मंडेलब्रॉट सेट का अनुमान

तुलना करें, उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट सेट के चित्र यहां दिखाए गए हैं, जिनमें से एक को दूसरे के कुछ क्षेत्र को बढ़ाकर प्राप्त किया गया था। जैसा कि आप देख सकते हैं, वे बिल्कुल समान नहीं हैं, हालांकि दोनों पर हमें एक काला घेरा दिखाई देता है, जिसमें से ज्वलंत जाल अलग-अलग दिशाओं में जाते हैं। ये तत्व घटते अनुपात में मेंडलब्रॉट सेट में अनिश्चित काल तक दोहराते हैं।

नियतात्मक भग्न रैखिक होते हैं, जबकि जटिल भग्न नहीं होते हैं। गैर-रैखिक होने के कारण, ये भग्न उस चीज से उत्पन्न होते हैं जिसे मैंडलब्रॉट ने गैर-रैखिक बीजीय समीकरण कहा था। एक अच्छा उदाहरण प्रक्रिया Zn+1=ZnІ + C है, जो दूसरी डिग्री के मैंडलब्रॉट और जूलिया सेट के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला समीकरण है। इन गणितीय समीकरणों को हल करने में जटिल और काल्पनिक संख्याएँ शामिल होती हैं। जब समीकरण को जटिल तल में ग्राफिक रूप से व्याख्यायित किया जाता है, तो परिणाम एक अजीब आकृति होती है जिसमें सीधी रेखाएं वक्र में बदल जाती हैं, स्व-समानता प्रभाव विभिन्न पैमाने के स्तरों पर दिखाई देते हैं, हालांकि विकृतियों के बिना नहीं। साथ ही, समग्र रूप से पूरी तस्वीर अप्रत्याशित और बहुत ही अराजक है।

जैसा कि आप चित्रों को देखकर देख सकते हैं, जटिल भग्न वास्तव में बहुत जटिल हैं और कंप्यूटर की सहायता के बिना बनाना असंभव है। रंगीन परिणाम प्राप्त करने के लिए, इस कंप्यूटर में एक शक्तिशाली गणित सहसंसाधक और एक उच्च-रिज़ॉल्यूशन मॉनिटर होना चाहिए। नियतात्मक भग्न के विपरीत, जटिल भग्न की गणना 5-10 पुनरावृत्तियों में नहीं की जाती है। कंप्यूटर स्क्रीन पर लगभग हर डॉट एक अलग फ्रैक्टल की तरह होता है। गणितीय प्रसंस्करण के दौरान, प्रत्येक बिंदु को एक अलग पैटर्न के रूप में माना जाता है। प्रत्येक बिंदु एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। समीकरण प्रत्येक बिंदु के लिए बनाया गया है और किया जाता है, उदाहरण के लिए, 1000 पुनरावृत्तियों। घरेलू कंप्यूटरों के लिए स्वीकार्य समय अंतराल में अपेक्षाकृत विकृत छवि प्राप्त करने के लिए, एक बिंदु के लिए 250 पुनरावृत्तियों को अंजाम देना संभव है।

आज हम जितने भग्न देखते हैं उनमें से अधिकांश सुंदर रंग के होते हैं। शायद भग्न छवियों ने उनकी रंग योजनाओं के कारण इतना बड़ा सौंदर्य मूल्य प्राप्त किया है। समीकरण की गणना के बाद, कंप्यूटर परिणामों का विश्लेषण करता है। यदि परिणाम स्थिर रहते हैं, या एक निश्चित मूल्य के आसपास उतार-चढ़ाव करते हैं, तो बिंदु आमतौर पर काला हो जाएगा। यदि एक कदम या किसी अन्य पर मान अनंत तक जाता है, तो बिंदु को एक अलग रंग में चित्रित किया जाता है, शायद नीला या लाल। इस प्रक्रिया के दौरान, कंप्यूटर सभी गतियों को रंग प्रदान करता है।

आमतौर पर, तेजी से चलने वाले बिंदुओं को लाल रंग से रंगा जाता है, जबकि धीमे वाले पीले रंग के होते हैं, और इसी तरह। डार्क डॉट्स शायद सबसे स्थिर हैं।

जटिल भग्न नियतात्मक भग्न से इस मायने में भिन्न होते हैं कि वे असीम रूप से जटिल होते हैं, फिर भी एक बहुत ही सरल सूत्र द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। नियतात्मक भग्नों को सूत्रों या समीकरणों की आवश्यकता नहीं होती है। बस कुछ ड्राइंग पेपर लें और आप बिना किसी कठिनाई के 3 या 4 पुनरावृत्तियों तक एक सिएरपिंस्की चलनी बना सकते हैं। बहुत सारे जूलिया के साथ ऐसा करने की कोशिश करो! इंग्लैंड के समुद्र तट की लंबाई को मापना आसान है!

मैंडरब्रॉट सेट

अंजीर 2. मंडेलब्रॉट सेट

मंडेलब्रॉट और जूलिया सेट शायद जटिल फ्रैक्टल के बीच दो सबसे आम हैं। वे कई वैज्ञानिक पत्रिकाओं, पुस्तक कवर, पोस्टकार्ड और कंप्यूटर स्क्रीन सेवर में पाए जा सकते हैं। मैंडलब्रॉट सेट, जिसे बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा बनाया गया था, संभवत: पहला संघ है जो लोगों के पास फ्रैक्टल शब्द सुनते ही होता है। यह फ्रैक्टल, चमकता हुआ पेड़ और उससे जुड़े सर्कल क्षेत्रों के साथ एक कार्ड जैसा दिखता है, सरल सूत्र Zn+1=Zna+C द्वारा उत्पन्न होता है, जहां Z और C जटिल संख्याएं हैं और एक सकारात्मक संख्या है।

सबसे अधिक देखा जाने वाला मैंडलब्रॉट सेट दूसरा डिग्री मंडेलब्रॉट सेट है, यानी ए = 2। तथ्य यह है कि मैंडलब्रॉट सेट न केवल Zn+1=ZnІ+C है, बल्कि एक फ्रैक्टल जिसका सूत्र में घातांक कोई भी सकारात्मक संख्या हो सकती है, ने कई लोगों को गुमराह किया। इस पृष्ठ पर आप घातांक के विभिन्न मूल्यों के लिए मैंडेलब्रॉट सेट का एक उदाहरण देखते हैं।
चित्र 3. a=3.5 . पर बुलबुले का दिखना

प्रक्रिया Z=Z*tg(Z+C) भी लोकप्रिय है। स्पर्शरेखा फ़ंक्शन को शामिल करने के लिए धन्यवाद, मैंडेलब्रॉट सेट प्राप्त होता है, जो एक सेब के समान क्षेत्र से घिरा होता है। कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करते समय, एयर बबल प्रभाव प्राप्त होते हैं। संक्षेप में, मंडेलब्रॉट सेट को विभिन्न सुंदर चित्रों का निर्माण करने के लिए कई तरीके हैं।

एकाधिक जूलिया

हैरानी की बात है कि जूलिया सेट उसी फॉर्मूले के अनुसार बनते हैं जैसे मैंडेलब्रॉट सेट। जूलिया सेट का आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया ने किया था, जिसके नाम पर सेट का नाम रखा गया था। मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट के साथ एक दृश्य परिचित होने के बाद पहला सवाल उठता है "यदि दोनों फ्रैक्टल एक ही सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं, तो वे इतने अलग क्यों हैं?" सबसे पहले देखिए जूलिया सेट की तस्वीरें। अजीब तरह से, विभिन्न प्रकार के जूलिया सेट हैं। विभिन्न प्रारंभिक बिंदुओं (पुनरावृत्ति प्रक्रिया शुरू करने के लिए) का उपयोग करके फ्रैक्टल खींचते समय, विभिन्न छवियां उत्पन्न होती हैं। यह केवल जूलिया सेट पर लागू होता है।

अंजीर 4. जूलिया सेट

हालांकि यह तस्वीर में नहीं देखा जा सकता है, मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल वास्तव में जूलिया फ्रैक्टल का एक गुच्छा है जो एक साथ जुड़ा हुआ है। मैंडलब्रॉट सेट का प्रत्येक बिंदु (या समन्वय) जूलिया फ्रैक्टल से मेल खाता है। समीकरण Z=ZI+C में प्रारंभिक मानों के रूप में इन बिंदुओं का उपयोग करके जूलिया सेट उत्पन्न किए जा सकते हैं। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यदि आप मंडेलब्रॉट फ्रैक्टल पर एक बिंदु का चयन करते हैं और इसे बढ़ाते हैं, तो आप जूलिया फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं। ये दो बिंदु समान हैं, लेकिन केवल गणितीय अर्थ में। यदि हम इस बिंदु को लेते हैं और इस सूत्र के अनुसार इसकी गणना करते हैं, तो हम मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल के एक निश्चित बिंदु के अनुरूप जूलिया फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं।

भग्न

फ्रैक्टल (लैट। भग्न- कुचला हुआ, टूटा हुआ, टूटा हुआ) - एक ज्यामितीय आकृति जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, जो कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक समग्र रूप से संपूर्ण आकृति के समान होता है। गणित में, फ्रैक्टल को समुच्चय के रूप में समझा जाता है यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ऐसे बिंदु जिनमें भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में), या टोपोलॉजिकल के अलावा एक मीट्रिक आयाम होता है। भग्न भग्न का अध्ययन और संकलन करने का एक स्वतंत्र सटीक विज्ञान है।

दूसरे शब्दों में, फ्रैक्टल एक भिन्नात्मक आयाम वाली ज्यामितीय वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, एक रेखा का आयाम 1 है, एक क्षेत्र 2 है, और एक आयतन 3 है। एक भग्न के लिए, आयाम मान 1 और 2 के बीच या 2 और 3 के बीच हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक टूटे हुए का भग्न आयाम पेपर बॉल लगभग 2.5 है। गणित में, भग्न के आयाम की गणना के लिए एक विशेष जटिल सूत्र है। श्वासनली नलियों, पेड़ों पर पत्तियाँ, बांह में नसें, नदी की शाखाएँ भग्न हैं। सरल शब्दों में, भग्न एक ज्यामितीय आकृति है, जिसका एक निश्चित भाग बार-बार दोहराया जाता है, आकार में परिवर्तन होता है - यह आत्म-समानता का सिद्धांत है। भग्न स्वयं के समान होते हैं, वे सभी स्तरों पर स्वयं के समान होते हैं (अर्थात, किसी भी पैमाने पर)। कई अलग-अलग प्रकार के फ्रैक्टल हैं। सिद्धांत रूप में, यह तर्क दिया जा सकता है कि वास्तविक दुनिया में मौजूद हर चीज एक भग्न है, चाहे वह बादल हो या ऑक्सीजन अणु।

शब्द "अराजकता" कुछ अप्रत्याशित का सुझाव देता है, लेकिन वास्तव में, अराजकता काफी व्यवस्थित है और कुछ कानूनों का पालन करती है। अराजकता और भग्न का अध्ययन करने का उद्देश्य उन पैटर्नों की भविष्यवाणी करना है जो पहली नज़र में अप्रत्याशित और पूरी तरह से अराजक लग सकते हैं।

ज्ञान के इस क्षेत्र में अग्रणी फ्रांसीसी-अमेरिकी गणितज्ञ, प्रोफेसर बेनोइट बी मंडेलब्रॉट थे। 1960 के दशक के मध्य में, उन्होंने फ्रैक्टल ज्योमेट्री विकसित की, जिसका उद्देश्य टूटे, झुर्रीदार और फजी आकृतियों का विश्लेषण करना था। मैंडलब्रॉट सेट (चित्र में दिखाया गया है) पहला जुड़ाव है जो एक व्यक्ति के पास होता है जब वह "फ्रैक्टल" शब्द सुनता है। वैसे, मैंडलब्रॉट ने निर्धारित किया कि इंग्लैंड के समुद्र तट का भग्न आयाम 1.25 है।

विज्ञान में भग्न का तेजी से उपयोग किया जा रहा है। वे पारंपरिक भौतिकी या गणित से भी बेहतर वास्तविक दुनिया का वर्णन करते हैं। ब्राउनियन गति, उदाहरण के लिए, पानी में निलंबित धूल कणों की यादृच्छिक और अराजक गति है। इस प्रकार का आंदोलन शायद फ्रैक्टल ज्यामिति का सबसे व्यावहारिक पहलू है। रैंडम ब्राउनियन गति में एक आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है जिसका उपयोग बड़ी मात्रा में डेटा और आँकड़ों को शामिल करने वाली घटनाओं की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट ने ब्राउनियन गति का उपयोग करके ऊन की कीमत में बदलाव की भविष्यवाणी की।

"फ्रैक्टल" शब्द का उपयोग न केवल गणितीय शब्द के रूप में किया जा सकता है। प्रेस और लोकप्रिय विज्ञान साहित्य में एक भग्न को ऐसे आंकड़े कहा जा सकता है जिनमें निम्नलिखित में से कोई भी गुण हो:

इसमें सभी पैमानों पर एक गैर-तुच्छ संरचना है। यह नियमित आंकड़ों से अंतर है (जैसे कि एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक चिकनी कार्य का ग्राफ): यदि हम एक नियमित आकृति के एक छोटे से टुकड़े को बहुत बड़े पैमाने पर मानते हैं, तो यह एक सीधी रेखा के टुकड़े जैसा दिखेगा . फ्रैक्टल के लिए, ज़ूम इन करने से संरचना का सरलीकरण नहीं होता है, सभी पैमानों पर हम एक समान रूप से जटिल तस्वीर देखेंगे।

यह स्व-समान या लगभग स्व-समान है।

इसका एक भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम या एक मीट्रिक आयाम होता है जो टोपोलॉजिकल से बेहतर होता है।

कंप्यूटिंग में फ्रैक्टल का सबसे उपयोगी उपयोग फ्रैक्टल डेटा कंप्रेशन है। साथ ही, चित्रों को पारंपरिक तरीकों की तुलना में काफी बेहतर तरीके से संकुचित किया जाता है - 600:1 तक। फ्रैक्टल कम्प्रेशन का एक अन्य लाभ यह है कि जब आप ज़ूम इन करते हैं, तो कोई पिक्सेलेशन प्रभाव नहीं होता है जो तस्वीर को बहुत खराब करता है। इसके अलावा, आवर्धन के बाद भग्न रूप से संकुचित छवि अक्सर पहले से भी बेहतर दिखती है। कंप्यूटर वैज्ञानिक यह भी जानते हैं कि सरल सूत्रों से अनंत जटिलता और सुंदरता के भग्न उत्पन्न किए जा सकते हैं। यथार्थवादी परिदृश्य तत्व (बादल, चट्टानें और छाया) बनाने के लिए फिल्म उद्योग फ्रैक्टल ग्राफिक्स तकनीक का व्यापक उपयोग करता है।

प्रवाह में अशांति का अध्ययन भग्न के लिए बहुत अच्छी तरह से अनुकूल है। यह जटिल प्रवाह की गतिशीलता की बेहतर समझ की अनुमति देता है। आग की लपटों को फ्रैक्टल्स का उपयोग करके भी बनाया जा सकता है। झरझरा सामग्री भग्न रूप में अच्छी तरह से प्रदर्शित होती है क्योंकि उनके पास एक बहुत ही जटिल ज्यामिति है। दूरियों पर डेटा संचारित करने के लिए, भग्न के आकार के एंटेना का उपयोग किया जाता है, जो उनके आकार और वजन को बहुत कम कर देता है। सतहों की वक्रता का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल्स का उपयोग किया जाता है। एक असमान सतह को दो अलग-अलग फ्रैक्टल के संयोजन की विशेषता है।

प्रकृति में कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, जैसे कि तट, बादल, पेड़ के मुकुट, बर्फ के टुकड़े, संचार प्रणाली और मनुष्यों या जानवरों की वायुकोशीय प्रणाली।

फ्रैक्टल्स, विशेष रूप से विमान पर, सुंदरता के संयोजन और कंप्यूटर के साथ निर्माण में आसानी के लिए लोकप्रिय हैं।

19वीं शताब्दी में असामान्य गुणों वाले स्व-समान सेटों के पहले उदाहरण सामने आए (उदाहरण के लिए, बोलजानो फ़ंक्शन, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन, कैंटर सेट)। "फ्रैक्टल" शब्द को बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में पेश किया गया था और 1977 में अपनी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के विमोचन के साथ व्यापक लोकप्रियता हासिल की।

बाईं ओर की आकृति एक साधारण उदाहरण के रूप में एक डेयर पेंटागन फ्रैक्टल दिखाती है, जो एक साथ निचोड़ा हुआ पेंटागन के एक गुच्छा की तरह दिखता है। वास्तव में, यह एक पंचभुज को एक सर्जक और समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में उपयोग करके बनाया गया है, सबसे बड़े पक्ष का सबसे छोटा अनुपात जिसमें तथाकथित सुनहरा अनुपात (1.618033989 या 1/(2cos72°)) के बराबर है। जनरेटर। इन त्रिभुजों को प्रत्येक पंचभुज के बीच से काटा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक आकार ऐसा दिखता है जो एक बड़े से चिपके हुए 5 छोटे पेंटागन जैसा दिखता है।

कैओस सिद्धांत कहता है कि जटिल अरेखीय प्रणालियाँ आनुवंशिक रूप से अप्रत्याशित होती हैं, लेकिन साथ ही यह दावा करती है कि इस तरह की अप्रत्याशित प्रणालियों को व्यक्त करने का तरीका सटीक समानता में नहीं, बल्कि सिस्टम के व्यवहार के प्रतिनिधित्व में - अजीब आकर्षित करने वालों के रेखांकन में सही साबित होता है। भग्न की तरह देखो। इस प्रकार अराजकता सिद्धांत, जिसे कई लोग अप्रत्याशित मानते हैं, सबसे अस्थिर प्रणालियों में भी पूर्वानुमेयता का विज्ञान बन जाता है। डायनामिकल सिस्टम के सिद्धांत से पता चलता है कि साधारण समीकरण ऐसे अराजक व्यवहार को उत्पन्न कर सकते हैं जिसमें सिस्टम कभी स्थिर स्थिति में नहीं लौटता है और एक ही समय में कोई नियमितता दिखाई नहीं देती है। अक्सर ऐसी प्रणालियाँ एक प्रमुख पैरामीटर के एक निश्चित मान तक सामान्य रूप से व्यवहार करती हैं, फिर एक संक्रमण का अनुभव करती हैं जिसमें आगे के विकास के लिए दो संभावनाएं होती हैं, फिर चार और अंत में संभावनाओं का एक अराजक सेट।

तकनीकी वस्तुओं में होने वाली प्रक्रियाओं की योजनाओं में स्पष्ट रूप से परिभाषित भग्न संरचना होती है। न्यूनतम तकनीकी प्रणाली (टीएस) की संरचना का तात्पर्य टीएस के भीतर दो प्रकार की प्रक्रियाओं के प्रवाह से है - मुख्य और सहायक, और यह विभाजन सशर्त और सापेक्ष है। सहायक प्रक्रियाओं के संबंध में कोई भी प्रक्रिया मुख्य हो सकती है, और किसी भी सहायक प्रक्रिया को "उनकी" सहायक प्रक्रियाओं के संबंध में मुख्य माना जा सकता है। आरेख में मंडल उन भौतिक प्रभावों को इंगित करते हैं जो उन प्रक्रियाओं के प्रवाह को सुनिश्चित करते हैं, जिनके लिए विशेष रूप से "स्वयं" टीएस बनाना आवश्यक नहीं है। ये प्रक्रियाएं पदार्थों, क्षेत्रों, पदार्थों और क्षेत्रों के बीच बातचीत का परिणाम हैं। सटीक होने के लिए, भौतिक प्रभाव एक वाहन है, जिसके सिद्धांत को हम प्रभावित नहीं कर सकते हैं, और हम नहीं चाहते हैं या इसकी संरचना में हस्तक्षेप करने का कोई अवसर नहीं है।

आरेख में दिखाई गई मुख्य प्रक्रिया का प्रवाह तीन सहायक प्रक्रियाओं के अस्तित्व से सुनिश्चित होता है जो टीएस के लिए मुख्य हैं जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। निष्पक्षता के लिए, हम ध्यान दें कि न्यूनतम टीएस के कामकाज के लिए, तीन प्रक्रियाएं स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं हैं, अर्थात। योजना बहुत ही अतिशयोक्तिपूर्ण है।

सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना कि चित्र में दिखाया गया है। एक उपयोगी (एक व्यक्ति के लिए आवश्यक) प्रक्रिया को 100% दक्षता के साथ नहीं किया जा सकता है। नष्ट हुई ऊर्जा हानिकारक प्रक्रियाओं के निर्माण पर खर्च की जाती है - हीटिंग, कंपन, आदि। नतीजतन, लाभकारी प्रक्रिया के समानांतर, हानिकारक उत्पन्न होते हैं। "खराब" प्रक्रिया को "अच्छे" के साथ बदलना हमेशा संभव नहीं होता है, इसलिए सिस्टम के लिए हानिकारक परिणामों की भरपाई के लिए नई प्रक्रियाओं को व्यवस्थित करना होगा। एक विशिष्ट उदाहरण घर्षण का मुकाबला करने की आवश्यकता है, जो किसी को सरल स्नेहन योजनाओं को व्यवस्थित करने के लिए मजबूर करता है, महंगी घर्षण-रोधी सामग्री का उपयोग करता है, या समय-समय पर घटकों और भागों को लुब्रिकेट करने या उन्हें बदलने में समय व्यतीत करता है।

परिवर्तनशील पर्यावरण के अपरिहार्य प्रभाव के अस्तित्व के संबंध में, एक उपयोगी प्रक्रिया को नियंत्रित करने की आवश्यकता हो सकती है। प्रबंधन स्वचालित उपकरणों की मदद से और सीधे एक व्यक्ति द्वारा किया जा सकता है। प्रक्रिया आरेख वास्तव में विशेष आदेशों का एक सेट है, अर्थात। कलन विधि। प्रत्येक कमांड का सार (विवरण) एक उपयोगी प्रक्रिया का एक संयोजन है, हानिकारक प्रक्रियाओं के साथ और आवश्यक नियंत्रण प्रक्रियाओं का एक सेट है। इस तरह के एक एल्गोरिथ्म में, सहायक प्रक्रियाओं का सेट एक साधारण सबरूटीन है - और यहां हम एक फ्रैक्टल भी पाते हैं। एक चौथाई सदी पहले बनाई गई आर। कोल्लर की विधि, केवल 12 जोड़े कार्यों (प्रक्रियाओं) के काफी सीमित सेट के साथ सिस्टम बनाना संभव बनाती है।

गणित में असामान्य गुणों वाले स्व-समान समुच्चय

19 वीं शताब्दी के अंत से, गणित में शास्त्रीय विश्लेषण के दृष्टिकोण से रोग संबंधी गुणों के साथ स्व-समान वस्तुओं के उदाहरण दिखाई दिए। इनमें निम्नलिखित शामिल हैं:

कैंटर सेट कहीं भी घना बेशुमार सही सेट नहीं है। प्रक्रिया को संशोधित करके, कोई भी सकारात्मक लंबाई का कहीं भी घना सेट प्राप्त कर सकता है।

सिएरपिंस्की त्रिकोण ("मेज़पोश") और सिएरपिंस्की कालीन विमान पर स्थापित कैंटर के अनुरूप हैं।

मेन्जर का स्पंज - त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थापित कैंटर का एक एनालॉग;

वीयरस्ट्रैस और वैन डेर वेर्डन के उदाहरण कहीं भी अलग-अलग निरंतर कार्य के नहीं हैं।

कोच वक्र - अनंत लंबाई का एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन निरंतर वक्र जिसमें किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं होती है;

पीनो वक्र एक वर्ग के सभी बिंदुओं से गुजरने वाला एक सतत वक्र है।

ब्राउनियन कण का प्रक्षेपवक्र भी संभाव्यता 1 के साथ कहीं भी भिन्न नहीं होता है। इसका हॉसडॉर्फ आयाम दो . है

भग्न वक्र प्राप्त करने के लिए पुनरावर्ती प्रक्रिया

कोच वक्र का निर्माण

एक तल में भग्न वक्र प्राप्त करने के लिए एक सरल पुनरावर्ती प्रक्रिया है। हम एक सीमित संख्या में लिंक के साथ एक मनमानी टूटी हुई रेखा को परिभाषित करते हैं, जिसे जनरेटर कहा जाता है। अगला, हम इसमें प्रत्येक खंड को एक जनरेटर (अधिक सटीक रूप से, एक जनरेटर के समान एक टूटी हुई रेखा) से बदलते हैं। परिणामी टूटी हुई रेखा में, हम फिर से प्रत्येक खंड को एक जनरेटर से बदल देते हैं। अनंत तक जारी रखते हुए, सीमा में हमें एक फ्रैक्टल वक्र मिलता है। दाईं ओर की आकृति कोच वक्र के लिए इस प्रक्रिया के पहले चार चरणों को दर्शाती है।

ऐसे वक्रों के उदाहरण हैं:

ड्रैगन वक्र,

कोच वक्र (कोच हिमपात का एक खंड),

लेवी वक्र,

मिंकोव्स्की वक्र,

हिल्बर्ट वक्र,

टूटा हुआ (वक्र) ड्रैगन (फ्रैक्टल हार्टर-हेटवे),

पीनो वक्र।

इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग करके, एक पाइथागोरस का पेड़ प्राप्त किया जाता है।

संकुचन मानचित्रण के निश्चित बिंदु के रूप में फ्रैक्टल्स

स्व-समानता संपत्ति को गणितीय रूप से निम्नानुसार सख्ती से व्यक्त किया जा सकता है। आज्ञा देना विमान के संकुचन नक्शे हो। विमान के सभी कॉम्पैक्ट (बंद और बंधे हुए) सबसेट के सेट पर निम्नलिखित मैपिंग पर विचार करें:

यह दिखाया जा सकता है कि मैपिंग हॉसडॉर्फ मीट्रिक के साथ कॉम्पैक्ट सेट के सेट पर एक संकुचन मानचित्रण है। इसलिए, बनच के प्रमेय के अनुसार, इस मानचित्रण का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है। यह निश्चित बिंदु हमारा फ्रैक्टल होगा।

ऊपर वर्णित फ्रैक्टल वक्र प्राप्त करने के लिए पुनरावर्ती प्रक्रिया इस निर्माण का एक विशेष मामला है। इसमें, सभी मैपिंग समानता मैपिंग हैं, और जनरेटर लिंक की संख्या है।

सिएरपिंस्की त्रिभुज और मानचित्रण के लिए, समरूपताएं हैं जिनके केंद्र एक नियमित त्रिभुज के शीर्ष पर हैं और गुणांक 1/2 है। यह देखना आसान है कि मैपिंग के तहत सिएरपिंस्की त्रिकोण अपने आप में बदल जाता है।

मामले में जब मैपिंग गुणांक के साथ समानता परिवर्तन होते हैं, तो फ्रैक्टल के आयाम (कुछ अतिरिक्त तकनीकी स्थितियों के तहत) की गणना समीकरण के समाधान के रूप में की जा सकती है। तो, सिएरपिंस्की त्रिभुज के लिए हम प्राप्त करते हैं .

उसी बनच प्रमेय के अनुसार, किसी भी कॉम्पैक्ट सेट से शुरू होकर और मैपिंग के पुनरावृत्तियों पर लागू होने पर, हम अपने फ्रैक्टल के लिए (हॉसडॉर्फ मीट्रिक के अर्थ में) अभिसरण करने वाले कॉम्पैक्ट सेट का एक क्रम प्राप्त करते हैं।

जटिल गतिकी में फ्रैक्टल्स

जूलिया सेट

जूलिया का एक और सेट

फ्रैक्टल्स स्वाभाविक रूप से नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। सबसे अधिक अध्ययन किया गया मामला तब होता है जब डायनेमिक सिस्टम को बहुपद के पुनरावृत्तियों या विमान पर एक जटिल चर के होलोमोर्फिक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस क्षेत्र में पहला अध्ययन 20वीं शताब्दी की शुरुआत का है और फतौ और जूलिया के नामों से जुड़ा है।

रहने दो एफ(जेड) - बहुपद, जेड 0 एक सम्मिश्र संख्या है। निम्नलिखित अनुक्रम पर विचार करें: जेड 0 , जेड 1 =एफ(जेड 0), जेड 2 =एफ(एफ(जेड 0)) = एफ(जेड 1),जेड 3 =एफ(एफ(एफ(जेड 0)))=एफ(जेड 2), …

हम इस क्रम के व्यवहार में रुचि रखते हैं जैसा कि हम करते हैं एनअनन्त तक। यह क्रम कर सकते हैं:

अनंत के लिए प्रयास करें

परम के लिए प्रयास करें

उदाहरण के लिए, सीमा में चक्रीय व्यवहार प्रदर्शित करें: जेड 1 , जेड 2 , जेड 3 , जेड 1 , जेड 2 , जेड 3 , …

अराजक व्यवहार करना, अर्थात् वर्णित तीन प्रकार के व्यवहारों में से किसी को भी प्रदर्शित नहीं करना।

मूल्यों के समूह जेड 0 , जिसके लिए अनुक्रम एक विशिष्ट प्रकार के व्यवहार को प्रदर्शित करता है, साथ ही विभिन्न प्रकारों के बीच द्विभाजन बिंदुओं के सेट में अक्सर फ्रैक्टल गुण होते हैं।

इस प्रकार, जूलिया सेट बहुपद के लिए द्विभाजन बिंदुओं का समूह है एफ(जेड)=जेड 2 +सी(या अन्य समान कार्य), अर्थात्, वे मान जेड 0 , जिसके लिए अनुक्रम का व्यवहार ( जेड एन) मनमाने ढंग से छोटे बदलावों के साथ नाटकीय रूप से बदल सकता है जेड 0 .

फ्रैक्टल सेट प्राप्त करने का एक अन्य विकल्प बहुपद में एक पैरामीटर पेश करना है एफ(जेड) और उन पैरामीटर मानों के सेट पर विचार करना जिनके लिए अनुक्रम ( जेड एन) एक निश्चित के लिए एक निश्चित व्यवहार प्रदर्शित करता है जेड 0. इस प्रकार, मैंडलब्रॉट समुच्चय उन सभी का समुच्चय है जिसके लिए ( जेड एन) के लिए एफ(जेड)=जेड 2 +सीऔर जेड 0 अनंत तक नहीं जाता है।

इस प्रकार का एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण न्यूटन का ताल है।

यह संबंधित गतिशील प्रणालियों के व्यवहार के आधार पर समतल बिंदुओं को रंगकर जटिल गतिकी पर आधारित सुंदर ग्राफिक चित्र बनाने के लिए लोकप्रिय है। उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट सेट को पूरक करने के लिए, आप प्रयास की गति के आधार पर बिंदुओं को रंग सकते हैं ( जेड एन) अनंत तक (परिभाषित, कहें, सबसे छोटी संख्या के रूप में एन, कहाँ | जेड एन| एक निश्चित बड़े मूल्य से अधिक है ए.

बायोमॉर्फ्स जटिल गतिकी के आधार पर निर्मित और जीवित जीवों से मिलते-जुलते भग्न हैं।

स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल

जूलिया सेट पर आधारित रैंडमाइज्ड फ्रैक्टल

प्राकृतिक वस्तुओं में अक्सर भग्न आकार होता है। उनके मॉडलिंग के लिए, स्टोकेस्टिक (यादृच्छिक) फ्रैक्टल का उपयोग किया जा सकता है। स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल के उदाहरण:

विमान और अंतरिक्ष में ब्राउनियन गति का प्रक्षेपवक्र;

विमान पर ब्राउनियन गति के प्रक्षेपवक्र की सीमा। 2001 में, लॉलर, श्राम और वर्नर ने मंडेलब्रॉट के अनुमान को साबित कर दिया कि इसका आयाम 4/3 है।

Schramm-Löwner इवोल्यूशन अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय फ्रैक्टल वक्र हैं जो सांख्यिकीय यांत्रिकी के महत्वपूर्ण दो-आयामी मॉडल में उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, आइसिंग मॉडल और परकोलेशन में।

विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक भग्न, अर्थात्, पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त भग्न, जिसमें प्रत्येक चरण में एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है। प्लाज्मा कंप्यूटर ग्राफिक्स में इस तरह के फ्रैक्टल के उपयोग का एक उदाहरण है।

प्रकृति में

श्वासनली और ब्रांकाई के सामने का दृश्य

ब्रोन्कियल पेड़

रक्त वाहिकाओं का जाल

आवेदन पत्र

प्राकृतिक विज्ञान

भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब गैर-रेखीय प्रक्रियाओं को मॉडलिंग करते हैं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखना प्रक्रियाएं, लपटें, बादल, आदि। फ्रैक्टल्स का उपयोग झरझरा सामग्री मॉडलिंग करते समय किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी के मॉडल और आंतरिक अंगों (रक्त वाहिकाओं की प्रणाली) की प्रणालियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

रेडियो इंजीनियरिंग

भग्न एंटेना

एंटीना उपकरणों के डिजाइन में फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग पहली बार अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा किया गया था, जो तब बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना स्थापित करने के लिए मना किया गया था। नाथन ने एल्युमिनियम फॉयल से कोच कर्व के रूप में एक आकृति को काटा और कागज की शीट पर चिपका दिया, फिर उसे रिसीवर से जोड़ दिया। कोहेन ने अपनी खुद की कंपनी की स्थापना की और अपना सीरियल प्रोडक्शन शुरू किया।

सूचना विज्ञान

छवि संपीड़न

मुख्य लेख: फ्रैक्टल संपीड़न एल्गोरिदम

भग्न वृक्ष

फ्रैक्टल का उपयोग करते हुए छवि संपीड़न एल्गोरिदम हैं। वे इस विचार पर आधारित हैं कि छवि के बजाय, आप एक संकुचन मानचित्र संग्रहीत कर सकते हैं जिसके लिए यह छवि (या इसके कुछ करीब) एक निश्चित बिंदु है। इस एल्गोरिथम के वेरिएंट में से एक का इस्तेमाल किया गया था [ स्रोत अनिर्दिष्ट 895 दिन] माइक्रोसॉफ्ट द्वारा अपना विश्वकोश प्रकाशित करते समय, लेकिन इन एल्गोरिदम का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

कंप्यूटर ग्राफिक्स

एक और भग्न वृक्ष

कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ताकि प्राकृतिक वस्तुओं जैसे पेड़, झाड़ियों, पहाड़ के परिदृश्य, समुद्री सतह आदि की छवियों का निर्माण किया जा सके। फ्रैक्टल इमेज उत्पन्न करने के लिए कई प्रोग्राम का उपयोग किया जाता है, फ्रैक्टल जेनरेटर (प्रोग्राम) देखें।

विकेन्द्रीकृत नेटवर्क

नेत्सुकुकु का आईपी एड्रेस असाइनमेंट सिस्टम नेटवर्क नोड्स के बारे में जानकारी को कॉम्पैक्ट रूप से स्टोर करने के लिए फ्रैक्टल सूचना संपीड़न के सिद्धांत का उपयोग करता है। नेटसुकुकु नेटवर्क पर प्रत्येक नोड पड़ोसी नोड्स की स्थिति के बारे में केवल 4 केबी की जानकारी संग्रहीत करता है, जबकि कोई भी नया नोड आईपी पते के वितरण के केंद्रीय विनियमन की आवश्यकता के बिना सामान्य नेटवर्क से जुड़ता है, जो उदाहरण के लिए, विशिष्ट है इंटरनेट। इस प्रकार, भग्न सूचना संपीड़न का सिद्धांत पूरी तरह से विकेन्द्रीकृत, और इसलिए, पूरे नेटवर्क के सबसे स्थिर संचालन की गारंटी देता है।

भग्न गुण कोई सनक नहीं है और न ही गणितज्ञों की बेकार कल्पना का फल है। उनका अध्ययन करके, हम अपने आस-पास की वस्तुओं और घटनाओं की महत्वपूर्ण विशेषताओं को अलग करना और भविष्यवाणी करना सीखते हैं, जिन्हें पहले, पूरी तरह से अनदेखा नहीं किया गया था, केवल लगभग, गुणात्मक रूप से, आंखों से अनुमान लगाया गया था। उदाहरण के लिए, जटिल संकेतों, एन्सेफेलोग्राम, या दिल की बड़बड़ाहट के भग्न आयामों की तुलना करके, डॉक्टर प्रारंभिक अवस्था में कुछ गंभीर बीमारियों का निदान कर सकते हैं, जब रोगी की अभी भी मदद की जा सकती है। इसके अलावा, विश्लेषक, मॉडल के गठन की शुरुआत में कीमतों के पिछले व्यवहार की तुलना करते हुए, इसके आगे के विकास की भविष्यवाणी कर सकता है, जिससे पूर्वानुमान में सकल त्रुटियों से बचा जा सकता है।

भग्न की अनियमितता

भग्नों की पहली संपत्ति उनकी अनियमितता है। यदि किसी फलन द्वारा भग्न का वर्णन किया जाता है, तो गणितीय शब्दों में अनियमितता के गुण का अर्थ होगा कि ऐसा फलन अवकलनीय नहीं है, अर्थात किसी भी बिंदु पर चिकना नहीं है। दरअसल, इसका सबसे सीधा संबंध बाजार से है। मूल्य में उतार-चढ़ाव कभी-कभी इतना अस्थिर और परिवर्तनशील होता है कि यह कई व्यापारियों को भ्रमित करता है। हमारा काम इस सारी अराजकता को सुलझाना और इसे व्यवस्थित करना है।

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भग्नों की स्व-समानता

दूसरी संपत्ति कहती है कि भग्न एक ऐसी वस्तु है जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है। यह एक पुनरावर्ती मॉडल है, जिसका प्रत्येक भाग अपने विकास में संपूर्ण मॉडल के विकास को दोहराता है और दृश्य परिवर्तनों के बिना विभिन्न पैमानों पर पुन: पेश किया जाता है। हालाँकि, परिवर्तन अभी भी होते हैं, जो वस्तु की हमारी धारणा को बहुत प्रभावित कर सकते हैं।

स्व-समानता का अर्थ है कि वस्तु का कोई विशिष्ट पैमाना नहीं है: यदि उसके पास ऐसा पैमाना होता, तो आप मूल छवि से टुकड़े की बढ़ी हुई प्रति को तुरंत अलग कर देते। स्व-समान वस्तुओं में सभी स्वादों के लिए अनंत संख्या में तराजू होते हैं। स्व-समानता का सार निम्नलिखित उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक "वास्तविक" ज्यामितीय रेखा, "चौड़ाई के बिना लंबाई" की एक तस्वीर है, जैसा कि यूक्लिड ने रेखा को परिभाषित किया है, और आप एक दोस्त के साथ खेल रहे हैं, यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या वह आपको मूल चित्र (मूल) दिखा रहा है या एक एक सीधी रेखा के किसी भी टुकड़े का चित्र। आप कितनी भी कोशिश कर लें, आप कभी भी टुकड़े की बढ़ी हुई कॉपी से मूल को अलग नहीं कर पाएंगे, सीधी रेखा को उसके सभी हिस्सों में उसी तरह व्यवस्थित किया जाता है, यह अपने आप में समान है, लेकिन इसका यह उल्लेखनीय गुण है कुछ हद तक सीधी रेखा की सीधी संरचना, इसकी "सीधीपन" (चित्र। 7) द्वारा छिपी हुई है।

यदि आप किसी वस्तु के स्नैपशॉट को उसके किसी टुकड़े के ठीक से बढ़े हुए स्नैपशॉट से अलग नहीं कर सकते हैं, तो आपके पास एक स्व-समान वस्तु है। सभी भग्न जिनमें कम से कम कुछ समरूपता होती है, स्व-समान होते हैं। और इसका मतलब यह है कि उनकी संरचना के कुछ टुकड़े निश्चित स्थानिक अंतराल पर सख्ती से दोहराए जाते हैं। जाहिर है, ये वस्तुएं किसी भी प्रकृति की हो सकती हैं, और इनका स्वरूप और आकार पैमाने की परवाह किए बिना अपरिवर्तित रहता है। स्व-समान फ्रैक्टल का एक उदाहरण:

वित्त में, यह अवधारणा एक आधारहीन अमूर्तता नहीं है, बल्कि एक व्यावहारिक बाजार का एक सैद्धांतिक पुनर्कथन है - अर्थात्, स्टॉक या मुद्रा की चाल सतही रूप से समान है, समय सीमा और कीमत की परवाह किए बिना। प्रेक्षक ग्राफ की उपस्थिति से यह नहीं बता सकता है कि डेटा साप्ताहिक, दैनिक या प्रति घंटा परिवर्तन के लिए है या नहीं।

बेशक, सभी भग्नों में ऐसी नियमित, अंतहीन दोहराव वाली संरचना नहीं होती है, जो भविष्य के भग्न कला संग्रहालय के उन अद्भुत प्रदर्शनों के रूप में होती है, जो गणितज्ञों और कलाकारों की कल्पना से पैदा हुए थे। प्रकृति में पाए जाने वाले कई भग्न (चट्टानों और धातुओं की दोषपूर्ण सतहें, बादल, मुद्रा उद्धरण, अशांत प्रवाह, फोम, जैल, कालिख कण आकृति, आदि) में ज्यामितीय समानता का अभाव होता है, लेकिन प्रत्येक टुकड़े में पूरे के सांख्यिकीय गुणों का हठपूर्वक पुनरुत्पादन होता है। विकास के गैर-रैखिक रूप वाले फ्रैक्टल्स को मैंडलब्रॉट ने मल्टीफ्रैक्टल्स के रूप में नामित किया था। एक मल्टीफ्रैक्टल एक अर्ध-फ्रैक्टल वस्तु है जिसमें एक परिवर्तनीय फ्रैक्टल आयाम होता है। स्वाभाविक रूप से, वास्तविक वस्तुओं और प्रक्रियाओं को मल्टीफ्रैक्टल्स द्वारा बेहतर तरीके से वर्णित किया जाता है।

इस तरह की सांख्यिकीय आत्म-समानता, या औसतन आत्म-समानता, विभिन्न प्रकार की प्राकृतिक वस्तुओं से भग्न को अलग करती है।

विदेशी मुद्रा बाजार में आत्म-समानता के उदाहरण पर विचार करें:

इन आंकड़ों में, हम देखते हैं कि वे समान हैं, जबकि एक अलग समय पैमाने होने पर, अंजीर में। और 15 मिनट का पैमाना, अंजीर में। बी साप्ताहिक मूल्य पैमाने। जैसा कि आप देख सकते हैं, इन उद्धरणों में एक दूसरे को पूरी तरह से दोहराने की क्षमता नहीं है, हालांकि, हम उन्हें समान मान सकते हैं।

यहां तक कि सबसे सरल फ्रैक्टल - ज्यामितीय रूप से स्व-समान फ्रैक्टल - में असामान्य गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, वॉन कोच स्नोफ्लेक में अनंत लंबाई की परिधि होती है, हालांकि यह एक सीमित क्षेत्र (चित्र 9) को सीमित करता है। इसके अलावा, यह इतना कांटेदार है कि समोच्च के किसी भी बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना असंभव है (एक गणितज्ञ कहेगा कि वॉन कोच स्नोफ्लेक कहीं भी अलग-अलग नहीं है, यानी किसी भी बिंदु पर चिकना नहीं है)।

मैंडलब्रॉट ने पाया कि भिन्नात्मक माप के परिणाम वस्तु की अनियमितता में वृद्धि की विभिन्न डिग्री के लिए स्थिर रहते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी अनियमितता के लिए नियमितता (शुद्धता, सुव्यवस्था) होती है। जब हम किसी चीज़ को यादृच्छिक मानते हैं, तो यह इंगित करता है कि हम इस यादृच्छिकता की प्रकृति को नहीं समझते हैं। बाजार के संदर्भ में, इसका मतलब है कि एक ही विशिष्ट संरचनाओं का निर्माण अलग-अलग समय सीमा में होना चाहिए। एक मिनट का चार्ट मासिक चार्ट की तरह ही फ्रैक्टल फॉर्मेशन का वर्णन करेगा। कमोडिटी और वित्तीय बाजारों के चार्ट पर पाया गया यह "आत्म-समानता" सभी संकेत दिखाता है कि बाजार की क्रियाएं आर्थिक, मौलिक विश्लेषण के व्यवहार की तुलना में "प्रकृति" के व्यवहारिक प्रतिमान के करीब हैं।

इन आंकड़ों में, आप उपरोक्त की पुष्टि पा सकते हैं। बाईं ओर एक मिनट के पैमाने के साथ एक ग्राफ है, दाईं ओर एक साप्ताहिक है। यूएसडी/येन (चित्र 9 (ए)) और यूरो/डॉलर (छवि 9 (बी)) मुद्रा जोड़े यहां विभिन्न मूल्य पैमाने के साथ दिखाए गए हैं। भले ही JPY/USD मुद्रा जोड़ी में EUR/USD के संबंध में एक अलग अस्थिरता है, हम समान मूल्य आंदोलन संरचना का निरीक्षण कर सकते हैं।

भग्न आयाम

फ्रैक्टल की तीसरी संपत्ति यह है कि फ्रैक्टल वस्तुओं में यूक्लिडियन (दूसरे शब्दों में, एक टोपोलॉजिकल आयाम) के अलावा एक आयाम होता है। फ्रैक्टल आयाम वक्र की जटिलता का एक माप है। विभिन्न भग्न आयामों वाले वर्गों के प्रत्यावर्तन का विश्लेषण करके और बाहरी और आंतरिक कारकों से सिस्टम कैसे प्रभावित होता है, कोई सिस्टम के व्यवहार की भविष्यवाणी करना सीख सकता है। और सबसे महत्वपूर्ण बात, अस्थिर स्थितियों का निदान और भविष्यवाणी करना।

आधुनिक गणित के शस्त्रागार में, मंडेलब्रॉट ने वस्तुओं की अपूर्णता का एक सुविधाजनक मात्रात्मक माप पाया - समोच्च की सिनुओसिटी, सतह की झुर्रियाँ, वॉल्यूम का फ्रैक्चरिंग और सरंध्रता। यह दो गणितज्ञों - फेलिक्स हॉसडॉर्फ (1868-1942) और अब्राम समॉयलोविच बेसिकोविच (1891-1970) द्वारा प्रस्तावित किया गया था। अब यह योग्य रूप से अपने रचनाकारों (हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम) - हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम के गौरवशाली नामों को धारण करता है। आयाम क्या है और वित्तीय बाजारों के विश्लेषण के संबंध में हमें इसकी आवश्यकता क्यों है? इससे पहले, हम केवल एक प्रकार के आयाम को जानते थे - टोपोलॉजिकल (चित्र। 11)। आयाम शब्द ही बताता है कि किसी वस्तु के कितने आयाम हैं। एक खंड के लिए, एक सीधी रेखा, यह 1 के बराबर है, अर्थात। हमारे पास केवल एक आयाम है, अर्थात् एक खंड की लंबाई या एक सीधी रेखा। एक विमान के लिए, आयाम 2 होगा, क्योंकि हमारे पास दो-आयामी आयाम, लंबाई और चौड़ाई है। अंतरिक्ष या ठोस वस्तुओं के लिए, आयाम 3 है: लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई।

आइए कंप्यूटर गेम का उदाहरण लें। यदि गेम 3 डी ग्राफिक्स में बनाया गया है, तो यह स्थानिक और स्वैच्छिक है, अगर 2 डी ग्राफिक्स में, ग्राफिक्स एक विमान पर प्रदर्शित होते हैं (चित्र 10)।

हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम में सबसे असामान्य (यह कहना अधिक सही होगा - असामान्य) यह था कि यह न केवल पूर्णांकों को एक टोपोलॉजिकल आयाम के रूप में ले सकता है, बल्कि भिन्नात्मक मान भी ले सकता है। एक सीधी रेखा के लिए एक के बराबर (अनंत, अर्ध-अनंत, या एक परिमित खंड के लिए), हौसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम बढ़ जाता है क्योंकि यातना बढ़ती है, जबकि टोपोलॉजिकल आयाम रेखा के साथ होने वाले सभी परिवर्तनों को हठपूर्वक अनदेखा करता है।

आयाम एक सेट की जटिलता को दर्शाता है (उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा)। यदि यह 1 (एक सीधी रेखा) के बराबर टोपोलॉजिकल आयाम वाला एक वक्र है, तो वक्र को अनंत संख्या में मोड़ और शाखाओं द्वारा इस हद तक जटिल किया जा सकता है कि इसका फ्रैक्टल आयाम दो तक पहुंच जाए, अर्थात। लगभग पूरे तल को भर देगा (चित्र 12)

इसके मूल्य को बढ़ाकर, हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम इसे अचानक नहीं बदलता है, क्योंकि टोपोलॉजिकल आयाम "अपने स्थान पर", 1 से तुरंत 2 में संक्रमण करेगा। हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम - और यह पहली नज़र में असामान्य लग सकता है। और आश्चर्य की बात है, भिन्नात्मक मान लेता है: एक सीधी रेखा के लिए एक के बराबर, यह थोड़ी पापी रेखा के लिए 1.15 हो जाती है, अधिक पापी रेखा के लिए 1.2, बहुत पापी रेखा के लिए 1.5, और इसी तरह।

यह हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम की भिन्नात्मक, गैर-पूर्णांक मूल्यों को लेने की क्षमता पर जोर देने के लिए था, जो मंडेलब्रॉट ने अपने स्वयं के नववाद के साथ आया, इसे फ्रैक्टल आयाम कहा। तो, एक फ्रैक्टल आयाम (न केवल हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच, बल्कि कोई अन्य) एक ऐसा आयाम है जो जरूरी नहीं कि पूर्णांक मान ले सकता है, लेकिन भिन्नात्मक भी।

रैखिक ज्यामितीय भग्न के लिए, आयाम उनकी आत्म-समानता की विशेषता है। अंजीर पर विचार करें। 17(ए), रेखा में एन = 4 खंड होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई आर = 1/3 है। नतीजतन, हमें अनुपात मिलता है:

डी = लॉगएन/लॉग(1/आर)

जब हम मल्टीफ्रैक्टल (नॉन-लीनियर) की बात करते हैं तो स्थिति काफी अलग होती है। यहां आयाम किसी वस्तु की समानता की परिभाषा के रूप में अपना अर्थ खो देता है और इसे विभिन्न सामान्यीकरणों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, स्व-समान वस्तुओं के अद्वितीय आयाम की तुलना में बहुत कम प्राकृतिक।

विदेशी मुद्रा बाजार में, आयाम मूल्य उद्धरणों की अस्थिरता को चिह्नित कर सकता है। कीमतों के संदर्भ में प्रत्येक मुद्रा जोड़ी का अपना व्यवहार होता है। पाउंड/डॉलर जोड़ी के लिए (चित्र 13(ए)) यह यूरो/डॉलर की तुलना में अधिक शांत है (चित्र 13(बी))। सबसे दिलचस्प बात यह है कि ये मुद्राएं एक ही संरचना के साथ मूल्य स्तरों पर चलती हैं, हालांकि, उनके अलग-अलग आयाम हैं, जो इंट्राडे ट्रेडिंग को प्रभावित कर सकते हैं और उन मॉडलों में बदलाव कर सकते हैं जो अनुभवहीन रूप से दूर हैं।

अंजीर पर। चित्र 14 गणितीय मॉडल के संबंध में आयाम दिखाता है, ताकि आप इस शब्द के अर्थ को और अधिक गहराई से समझ सकें। ध्यान दें कि तीनों आंकड़े एक ही चक्र दिखाते हैं। अंजीर पर। और आयाम 1.2 है, अंजीर में। बी, आयाम 1.5 है, और अंजीर में। 1.9 में। यह देखा जा सकता है कि आयाम में वृद्धि के साथ, वस्तु की धारणा अधिक जटिल हो जाती है, दोलनों का आयाम बढ़ जाता है।

वित्तीय बाजारों में, आयाम न केवल मूल्य अस्थिरता के रूप में, बल्कि चक्रों (लहरों) के विवरण के रूप में भी परिलक्षित होता है। इसके लिए धन्यवाद, हम यह भेद करने में सक्षम होंगे कि लहर एक निश्चित समय के पैमाने से संबंधित है या नहीं। अंजीर पर। 15 यूरो/डॉलर जोड़ी को दैनिक मूल्य पैमाने पर दिखाता है। ध्यान दें, आप स्पष्ट रूप से गठित चक्र और एक नए, बड़े चक्र की शुरुआत देख सकते हैं। प्रति घंटा पैमाने पर स्विच करना और चक्रों में से एक पर ज़ूम इन करना, हम छोटे चक्र देख सकते हैं, और डी 1 (चित्र 16) पर स्थित एक बड़े चक्र का हिस्सा देख सकते हैं। लूप डिटेलिंग, यानी। उनका आयाम हमें प्रारंभिक स्थितियों से यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि भविष्य में स्थिति कैसे विकसित हो सकती है। हम कह सकते हैं कि: फ्रैक्टल आयाम विचाराधीन सेट के स्केल इनवेरिएंस गुण को दर्शाता है।

मैंडेलब्रॉट द्वारा "सीलेंट" शब्द से आविष्कार की अवधारणा पेश की गई थी - स्केलेबल, यानी। जब किसी वस्तु में अपरिवर्तनशीलता का गुण होता है, तो उसके पास अलग-अलग डिस्प्ले स्केल होते हैं।

अंजीर पर। 16 सर्कल ए एक मिनी-साइकिल (विस्तृत तरंग), सर्कल बी - एक बड़े चक्र की लहर को हाइलाइट करता है। यह ठीक इस आयाम के कारण है कि हम हमेशा सभी चक्रों को समान मूल्य पैमाने पर निर्धारित नहीं कर सकते हैं।

हम "विदेशी मुद्रा बाजार में चक्र" खंड में गैर-आवधिक चक्रों के गुणों के निर्धारण और विकास की समस्याओं के बारे में बात करेंगे, अब हमारे लिए मुख्य बात यह समझना था कि वित्तीय बाजारों में आयाम कैसे और कहां प्रकट होता है।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मॉडल के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग तब किया जाता है जब वास्तविक वस्तु को शास्त्रीय मॉडल के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। और इसका मतलब है कि हम गैर-रेखीय संबंधों और डेटा की गैर-नियतात्मक (यादृच्छिक) प्रकृति से निपट रहे हैं। वैचारिक अर्थों में गैर-रैखिकता का अर्थ है विकास पथों की बहुभिन्नता, वैकल्पिक रास्तों में से एक विकल्प की उपलब्धता और विकास की एक निश्चित गति, साथ ही विकासवादी प्रक्रियाओं की अपरिवर्तनीयता। गणितीय अर्थों में अरैखिकता का अर्थ है एक निश्चित प्रकार के गणितीय समीकरण (नॉनलाइनियर डिफरेंशियल इक्वेशन) जिसमें एक से अधिक घातों में वांछित मात्राएँ होती हैं या गुणांक जो माध्यम के गुणों पर निर्भर करते हैं। एक गैर-रैखिक गतिशील प्रणाली का एक सरल उदाहरण:

जॉनी साल में 2 इंच बढ़ता है। यह प्रणाली बताती है कि समय के साथ जॉनी की ऊंचाई कैसे बदलती है। माना x(n) इस वर्ष जॉनी की ऊंचाई है। मान लीजिए कि अगले वर्ष में उसकी वृद्धि x (n + 1) के रूप में लिखी जाती है। तब हम समीकरण के रूप में गतिशील प्रणाली लिख सकते हैं:

एक्स(एन+1) = एक्स(एन) + 2.

देखो? क्या यह सरल गणित नहीं है? यदि हम आज जॉनी की ऊँचाई x (n) = 38 इंच दर्ज करें, तो समीकरण के दाईं ओर हमें अगले वर्ष जॉनी की ऊँचाई मिलती है, x (n+1) = 40 इंच:

एक्स (एन + 1) = एक्स (एन) + 2 = 38 + 2 = 40।

किसी समीकरण में दाएँ से बाएँ जाने को पुनरावृत्ति (पुनरावृत्ति) कहते हैं। हम समीकरण के दाईं ओर जॉनी की 40 इंच की नई ऊंचाई दर्ज करके समीकरण को फिर से दोहरा सकते हैं (यानी x(n) = 40) और हमें x(n+1) = 42 मिलता है। यदि हम समीकरण को दोहराते हैं (दोहराते हैं) 3 बार, हम 3 साल में जॉनी की ऊंचाई प्राप्त करते हैं, अर्थात् 44 इंच, 38 इंच की ऊंचाई से शुरू करते हैं।

यह एक नियतात्मक गतिशील प्रणाली है। अगर हम इसे गैर-नियतात्मक (स्टोकेस्टिक) बनाना चाहते हैं, तो हम इस तरह एक मॉडल बना सकते हैं: जॉनी प्रति वर्ष 2 इंच बढ़ता है, कम या ज्यादा, और समीकरण को इस प्रकार लिखें:

एक्स(एन+1) = एक्स(एन) + 2 + ई

जहां ई एक छोटी त्रुटि है (2 के सापेक्ष छोटा), कुछ संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

आइए मूल नियतात्मक समीकरण पर वापस जाएं। मूल समीकरण, x(n+1) = x(n) + 2, रैखिक है। रैखिक का अर्थ है कि आप चर या स्थिरांक जोड़ रहे हैं, या चर को स्थिरांक से गुणा कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण

जेड (एन + एल) = जेड (एन) + 5 वाई (एन) -2 एक्स (एन)

रैखिक है। लेकिन यदि आप चरों को गुणा करते हैं, या उन्हें एक से अधिक घात तक बढ़ाते हैं, तो समीकरण (प्रणाली) अरैखिक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, समीकरण

एक्स (एन + 1) = एक्स (एन) 2

अरैखिक है क्योंकि x(n) का वर्ग है। समीकरण

गैर-रैखिक है क्योंकि दो चर, x और y, गुणा किए जाते हैं।

जब हम शास्त्रीय मॉडल (उदाहरण के लिए, प्रवृत्ति, प्रतिगमन, आदि) लागू करते हैं, तो हम कहते हैं कि किसी वस्तु का भविष्य विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है, अर्थात। पूरी तरह से प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है और एक स्पष्ट पूर्वानुमान के लिए उत्तरदायी है। आप एक्सेल में इनमें से किसी एक मॉडल को स्वतंत्र रूप से निष्पादित कर सकते हैं। शास्त्रीय मॉडल का एक उदाहरण लगातार घटती या बढ़ती प्रवृत्ति के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। और हम वस्तु के अतीत (मॉडलिंग के लिए प्रारंभिक डेटा) को जानकर इसके व्यवहार का अनुमान लगा सकते हैं। और फ्रैक्टल का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब वस्तु के पास विकास के लिए कई विकल्प होते हैं और सिस्टम की स्थिति उस स्थिति से निर्धारित होती है जिसमें वह वर्तमान में स्थित है। यानी हम एक अराजक विकास का अनुकरण करने की कोशिश कर रहे हैं। यह प्रणाली इंटरबैंक विदेशी मुद्रा बाजार है।

आइए अब विचार करें कि एक सीधी रेखा से जिसे हम भग्न कहते हैं, उसके निहित गुणों के साथ कैसे प्राप्त किया जा सकता है।

अंजीर पर। 17(ए) कोच वक्र को दर्शाता है। एक रेखाखंड लीजिए, जिसकी लंबाई = 1, अर्थात्। अभी भी एक टोपोलॉजिकल आयाम। अब हम इसे तीन भागों (लंबाई का प्रत्येक 1/3) में विभाजित करेंगे, और बीच का तीसरा भाग निकाल देंगे। लेकिन हम मध्य तीसरे को दो खंडों (लंबाई के प्रत्येक 1/3) से बदल देंगे, जिसे एक समबाहु त्रिभुज के दो पक्षों के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह अंजीर में दर्शाए गए डिजाइन का चरण दो (बी) है। 17 (ए)। इस बिंदु पर हमारे पास 4 छोटे भाग हैं, प्रत्येक 1/3 लंबाई का है, इसलिए पूरी लंबाई 4(1/3) = 4/3 है। फिर हम इस प्रक्रिया को रेखा के 4 छोटे पालियों में से प्रत्येक के लिए दोहराते हैं। यह चरण तीन (सी) है। यह हमें 16 और भी छोटे रेखाखंड देगा, प्रत्येक की लंबाई का 1/9। तो अब पूरी लंबाई 16/9 या (4/3) 2 है। नतीजतन, हमें एक भिन्नात्मक आयाम मिला। लेकिन इतना ही नहीं यह परिणामी संरचना को एक सीधी रेखा से अलग करता है। यह स्व-समान हो गया है और इसके किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा खींचना असंभव है (चित्र 17 (बी))।

विषय

हमारे हाथ में एक पेड़, समुद्र के किनारे, बादल, या रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि इन सभी वस्तुओं में कुछ भी सामान्य नहीं है। हालांकि, वास्तव में, संरचना की एक संपत्ति है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में निहित है: वे स्व-समान हैं। शाखा से, साथ ही एक पेड़ के तने से, छोटी प्रक्रियाएं निकलती हैं, उनसे - यहां तक कि छोटे वाले, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। संचार प्रणाली को एक समान तरीके से व्यवस्थित किया जाता है: धमनी धमनियों से निकलती है, और उनसे - सबसे छोटी केशिकाएं जिसके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। आइए समुद्री तट की उपग्रह छवियों को देखें: हम खाड़ी और प्रायद्वीप देखेंगे; आइए इसे देखें, लेकिन एक विहंगम दृष्टि से: हम बे और केप देखेंगे; अब कल्पना कीजिए कि हम समुद्र तट पर खड़े हैं और अपने पैरों को देख रहे हैं: हमेशा कंकड़ होंगे जो बाकी की तुलना में पानी में आगे निकल जाएंगे। यानी जूम इन करने पर समुद्र तट अपने आप जैसा ही रहता है। अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट मंडेलब्रॉट ने वस्तुओं की इस संपत्ति को फ्रैक्टलिटी कहा, और ऐसी वस्तुओं को स्वयं - फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस से - टूटा हुआ)।

इस अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। आमतौर पर, एक फ्रैक्टल एक ज्यामितीय आकृति होती है जो निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणों को संतुष्ट करती है: इसकी किसी भी आवर्धन पर एक जटिल संरचना होती है (इसके विपरीत, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा, जिसका कोई भी भाग सबसे सरल ज्यामितीय आकृति - एक खंड है)। यह (लगभग) स्व-समान है। इसका एक भिन्नात्मक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है, जो टोपोलॉजिकल से बड़ा है। पुनरावर्ती प्रक्रियाओं के साथ बनाया जा सकता है।

ज्यामिति और बीजगणित

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर भग्न का अध्ययन व्यवस्थित की तुलना में अधिक प्रासंगिक था, क्योंकि पहले के गणितज्ञों ने मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन किया था जिनका अध्ययन सामान्य तरीकों और सिद्धांतों का उपयोग करके किया जा सकता था। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रास ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी अवकलनीय नहीं है। हालांकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल था। इसलिए, 1904 में, स्वेड हेल्ज वॉन कोच एक निरंतर वक्र के साथ आया, जिसकी कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है, और इसे खींचना काफी सरल है। यह पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के एक रूपांतर को कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है।

आंकड़ों की आत्म-समानता के विचारों को फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी, बेनोइट मैंडलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक द्वारा उठाया गया था। 1938 में, उनका लेख "प्लेन एंड स्पैटियल कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स सिमिलर टू द होल" प्रकाशित हुआ, जिसमें एक और फ्रैक्टल का वर्णन किया गया है - लेवी सी-वक्र। ऊपर सूचीबद्ध इन सभी भग्नों को सशर्त रूप से रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न के एक वर्ग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजीय) भग्न है, जिसमें मैंडेलब्रॉट सेट शामिल है। इस दिशा में पहला शोध 20वीं शताब्दी की शुरुआत में शुरू हुआ और यह फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया और पियरे फतो के नामों से जुड़ा है। 1918 में, जटिल तर्कसंगत कार्यों के पुनरावृत्तियों के लिए समर्पित जूलिया के संस्मरण के लगभग दो सौ पृष्ठ प्रकाशित किए गए थे, जिसमें जूलिया सेट का वर्णन किया गया है - फ्रैक्टल का एक पूरा परिवार जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस काम को फ्रांसीसी अकादमी के पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन इसमें एक भी चित्रण नहीं था, इसलिए खोजी गई वस्तुओं की सुंदरता की सराहना करना असंभव था। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने जूलिया को उस समय के गणितज्ञों के बीच प्रसिद्ध कर दिया, इसे जल्दी से भुला दिया गया। फिर से, आधी सदी बाद कंप्यूटर के आगमन के साथ ही इस ओर ध्यान गया: यह वे थे जिन्होंने भग्नों की दुनिया की समृद्धि और सुंदरता को दिखाया।

भग्न आयाम

जैसा कि आप जानते हैं, एक ज्यामितीय आकृति का आयाम (मापों की संख्या) इस आकृति पर स्थित एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए आवश्यक निर्देशांक की संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक वक्र पर एक बिंदु की स्थिति एक निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, एक सतह पर (जरूरी नहीं कि एक विमान हो) दो निर्देशांक द्वारा, तीन-आयामी अंतरिक्ष में तीन निर्देशांक द्वारा।
अधिक सामान्य गणितीय दृष्टिकोण से, आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: रैखिक आयामों में वृद्धि, कहते हैं, दो बार, एक-आयामी (एक टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से) वस्तुओं (खंड) के लिए आकार (लंबाई) में वृद्धि होती है ) दो के एक कारक से, दो-आयामी (वर्ग) के लिए रैखिक आयामों में समान वृद्धि से आकार (क्षेत्र) में 4 गुना वृद्धि होती है, त्रि-आयामी (घन) के लिए - 8 गुना। यही है, "वास्तविक" (तथाकथित हॉसडॉर्फ) आयाम की गणना किसी वस्तु के "आकार" में वृद्धि के लघुगणक के अनुपात के रूप में की जा सकती है, जो इसके रैखिक आकार में वृद्धि के लघुगणक के लिए है। यानी, एक खंड के लिए डी=लॉग (2)/लॉग (2)=1, एक विमान के लिए डी=लॉग (4)/लॉग (2)=2, वॉल्यूम डी=लॉग (8)/लॉग (2 के लिए) )=3.
आइए अब कोच वक्र के आयाम की गणना करें, जिसके निर्माण के लिए इकाई खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और मध्य अंतराल को इस खंड के बिना एक समबाहु त्रिभुज द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। न्यूनतम खंड के रैखिक आयामों में तीन गुना वृद्धि के साथ, लॉग (4) / लॉग (3) ~ 1.26 में कोच वक्र की लंबाई बढ़ जाती है। यानी कोच वक्र का आयाम भिन्नात्मक होता है!

विज्ञान और कला

1982 में मंडेलब्रॉट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" प्रकाशित हुई, जिसमें लेखक ने उस समय उपलब्ध फ्रैक्टल्स के बारे में लगभग सभी जानकारी एकत्र और व्यवस्थित की और इसे आसान और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया। मंडेलब्रॉट ने अपनी प्रस्तुति में मुख्य रूप से जटिल सूत्रों और गणितीय निर्माणों पर नहीं, बल्कि पाठकों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर जोर दिया। कंप्यूटर जनित दृष्टांतों और ऐतिहासिक कहानियों के लिए धन्यवाद, जिसके साथ लेखक ने मोनोग्राफ के वैज्ञानिक घटक को कुशलता से पतला किया, पुस्तक बेस्टसेलर बन गई, और फ्रैक्टल आम जनता के लिए जाने गए। गैर-गणितज्ञों के बीच उनकी सफलता काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि बहुत ही सरल निर्माण और सूत्रों की मदद से जो एक हाई स्कूल का छात्र भी समझ सकता है, अद्भुत जटिलता और सुंदरता की छवियां प्राप्त की जाती हैं। जब पर्सनल कंप्यूटर काफी शक्तिशाली हो गए, तो कला में भी एक पूरी प्रवृत्ति दिखाई दी - फ्रैक्टल पेंटिंग, और लगभग कोई भी कंप्यूटर मालिक इसे कर सकता था। अब इंटरनेट पर आप इस विषय के लिए समर्पित कई साइटें आसानी से पा सकते हैं।

कोच वक्र प्राप्त करने की योजना

युद्ध और शांति

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, भग्न गुणों वाली प्राकृतिक वस्तुओं में से एक समुद्र तट है। एक दिलचस्प कहानी इसके साथ जुड़ी हुई है, या यों कहें, इसकी लंबाई को मापने के प्रयास के साथ, जिसने मंडेलब्रॉट के वैज्ञानिक लेख का आधार बनाया, और उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में भी वर्णित है। हम बात कर रहे हैं एक ऐसे प्रयोग के बारे में जिसकी स्थापना लुईस रिचर्डसन ने की थी, जो एक बहुत ही प्रतिभाशाली और विलक्षण गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मौसम विज्ञानी थे। उनके शोध का एक दिशा दो देशों के बीच सशस्त्र संघर्ष के कारणों और संभावना का गणितीय विवरण खोजने का प्रयास था। जिन मापदंडों को उन्होंने ध्यान में रखा, उनमें दो युद्धरत देशों के बीच आम सीमा की लंबाई थी। जब उन्होंने संख्यात्मक प्रयोगों के लिए डेटा एकत्र किया, तो उन्होंने पाया कि विभिन्न स्रोतों में स्पेन और पुर्तगाल की आम सीमा पर डेटा बहुत भिन्न होता है। इसने उन्हें निम्नलिखित खोज के लिए प्रेरित किया: देश की सीमाओं की लंबाई उस शासक पर निर्भर करती है जिसके साथ हम उन्हें मापते हैं। पैमाना जितना छोटा होगा, सीमा उतनी ही लंबी होगी। यह इस तथ्य के कारण है कि उच्च आवर्धन पर तट के अधिक से अधिक मोड़ को ध्यान में रखना संभव हो जाता है, जिन्हें पहले माप की खुरदरापन के कारण अनदेखा किया गया था। और अगर, प्रत्येक ज़ूम के साथ, लाइनों के पहले बेहिसाब मोड़ खोले जाते हैं, तो यह पता चलता है कि सीमाओं की लंबाई अनंत है! सच है, वास्तव में ऐसा नहीं होता है - हमारे माप की सटीकता की एक सीमित सीमा होती है। इस विरोधाभास को रिचर्डसन प्रभाव कहा जाता है।

रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न

सामान्य स्थिति में एक रचनात्मक भग्न के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है। सबसे पहले, हमें दो उपयुक्त ज्यामितीय आकृतियों की आवश्यकता है, आइए उन्हें आधार और खंड कहते हैं। पहले चरण में, भविष्य के भग्न का आधार दर्शाया गया है। फिर इसके कुछ हिस्सों को एक उपयुक्त पैमाने में लिए गए टुकड़े से बदल दिया जाता है - यह निर्माण का पहला पुनरावृत्ति है। फिर, परिणामी आकृति में, कुछ भाग फिर से एक टुकड़े के समान आंकड़े में बदल जाते हैं, और इसी तरह। यदि हम इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हैं, तो सीमा में हमें एक फ्रैक्टल मिलता है।

कोच वक्र के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रक्रिया पर विचार करें (पिछले पृष्ठ पर साइडबार देखें)। किसी भी वक्र को कोच वक्र के आधार के रूप में लिया जा सकता है (कोच हिमपात के लिए, यह एक त्रिभुज है)। लेकिन हम खुद को सबसे सरल मामले तक सीमित रखते हैं - एक खंड। टुकड़ा एक टूटी हुई रेखा है जो आकृति के शीर्ष पर दिखाई गई है। एल्गोरिथ्म के पहले पुनरावृत्ति के बाद, इस मामले में, मूल खंड खंड के साथ मेल खाएगा, फिर इसके प्रत्येक घटक खंड को खंड के समान एक टूटी हुई रेखा से बदल दिया जाएगा, और इसी तरह। यह आंकड़ा पहले चार दिखाता है इस प्रक्रिया के चरण।

गणित की भाषा: गतिशील (बीजीय) भग्न

इस प्रकार के भग्न गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों (इसलिए नाम) के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। ऐसी प्रणाली के व्यवहार को एक जटिल अरैखिक फलन (बहुपद) f (z) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। आइए हम जटिल तल पर कुछ प्रारंभिक बिंदु z0 लें (साइडबार देखें)। अब जटिल तल पर संख्याओं के ऐसे अनंत अनुक्रम पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक से प्राप्त होता है: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn)। प्रारंभिक बिंदु z0 के आधार पर, ऐसा अनुक्रम अलग तरह से व्यवहार कर सकता है: अनंतता के रूप में n -> ; किसी अंतिम बिंदु पर अभिसरण; चक्रीय रूप से कई निश्चित मान लें; अधिक जटिल विकल्प संभव हैं।

जटिल आंकड़े

एक सम्मिश्र संख्या एक संख्या है जिसमें दो भाग होते हैं - वास्तविक और काल्पनिक, अर्थात्, औपचारिक योग x + iy (यहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं)। मैं तथाकथित है। काल्पनिक इकाई, यानी एक संख्या जो समीकरण को संतुष्ट करती है मैं ^ 2 = -1। जटिल संख्याओं पर, बुनियादी गणितीय संक्रियाओं को परिभाषित किया जाता है - जोड़, गुणा, भाग, घटाव (केवल तुलना संक्रिया परिभाषित नहीं है)। जटिल संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए, अक्सर एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है - विमान पर (इसे जटिल कहा जाता है), वास्तविक भाग को एब्सिस्सा अक्ष के साथ और काल्पनिक भाग को निर्देशांक अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, जबकि जटिल संख्या एक बिंदु के अनुरूप होगी कार्तीय निर्देशांक x और y के साथ।

इस प्रकार, फ़ंक्शन f (z) के पुनरावृत्तियों के दौरान जटिल विमान के किसी भी बिंदु z का व्यवहार का अपना चरित्र होता है, और पूरे विमान को भागों में विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, इन भागों की सीमाओं पर स्थित बिंदुओं में निम्नलिखित गुण होते हैं: मनमाने ढंग से छोटे विस्थापन के लिए, उनके व्यवहार की प्रकृति नाटकीय रूप से बदलती है (ऐसे बिंदुओं को द्विभाजन बिंदु कहा जाता है)। तो, यह पता चला है कि एक विशिष्ट प्रकार के व्यवहार वाले बिंदुओं के सेट के साथ-साथ द्विभाजन बिंदुओं के सेट में अक्सर फ्रैक्टल गुण होते हैं। ये फंक्शन f(z) के लिए जूलिया सेट हैं।

ड्रैगन परिवार

आधार और टुकड़े को बदलकर, आप रचनात्मक फ्रैक्टल की एक आश्चर्यजनक विविधता प्राप्त कर सकते हैं।
इसके अलावा, समान संचालन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किया जा सकता है। वॉल्यूमेट्रिक फ्रैक्टल के उदाहरण "मेन्जर स्पंज", "सिएरपिंस्की पिरामिड" और अन्य हैं।
ड्रेगन के परिवार को रचनात्मक भग्न भी कहा जाता है। उन्हें कभी-कभी खोजकर्ताओं के नाम से "हेइवेई-हार्टर के ड्रेगन" के रूप में संदर्भित किया जाता है (वे अपने आकार में चीनी ड्रेगन के समान होते हैं)। इस वक्र को बनाने के कई तरीके हैं। उनमें से सबसे सरल और सबसे स्पष्ट यह है: आपको कागज की पर्याप्त लंबी पट्टी लेने की जरूरत है (कागज जितना पतला होगा, उतना अच्छा होगा), और इसे आधा में मोड़ें। फिर इसे फिर से उसी दिशा में आधा मोड़ें, जिस दिशा में पहली बार किया था। कई दोहराव के बाद (आमतौर पर पांच या छह सिलवटों के बाद पट्टी इतनी मोटी हो जाती है कि ध्यान से आगे झुकना संभव न हो), आपको पट्टी को वापस सीधा करने की जरूरत है, और सिलवटों पर 90˚ कोण बनाने का प्रयास करें। फिर प्रोफाइल में ड्रैगन का कर्व निकलेगा। बेशक, यह केवल एक सन्निकटन होगा, जैसे भग्न वस्तुओं को चित्रित करने के हमारे सभी प्रयास। कंप्यूटर आपको इस प्रक्रिया में कई और चरणों को चित्रित करने की अनुमति देता है, और परिणाम एक बहुत ही सुंदर आकृति है।

मंडेलब्रॉट सेट कुछ अलग तरीके से बनाया गया है। फलन fc (z) = z 2 +c पर विचार करें, जहां c एक सम्मिश्र संख्या है। आइए हम इस फ़ंक्शन के अनुक्रम को z0 = 0 के साथ बनाते हैं, पैरामीटर c के आधार पर, यह अनंत तक विचलन कर सकता है या बाध्य रह सकता है। इसके अलावा, c के सभी मान जिनके लिए यह क्रम बाध्य है, मैंडेलब्रॉट सेट का निर्माण करता है। मंडेलब्रॉट और अन्य गणितज्ञों ने इसका विस्तार से अध्ययन किया, जिन्होंने इस सेट के कई दिलचस्प गुणों की खोज की।

यह देखा जा सकता है कि जूलिया और मैंडलब्रॉट सेट की परिभाषा एक दूसरे के समान है। वास्तव में, ये दोनों सेट निकट से संबंधित हैं। अर्थात्, मैंडेलब्रॉट सेट जटिल पैरामीटर c के सभी मान हैं जिसके लिए जूलिया सेट fc (z) जुड़ा हुआ है (एक सेट को कनेक्टेड कहा जाता है यदि इसे कुछ अतिरिक्त शर्तों के साथ दो गैर-प्रतिच्छेदन भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है)।

भग्न और जीवन

आजकल, मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में फ्रैक्टल के सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अनुसंधान के लिए विशुद्ध रूप से वैज्ञानिक वस्तु और पहले से ही उल्लेखित फ्रैक्टल पेंटिंग के अलावा, ग्राफिक डेटा को संपीड़ित करने के लिए सूचना सिद्धांत में फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है (यहां, फ्रैक्टल की आत्म-समानता संपत्ति का मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है - आखिरकार, एक छोटे से टुकड़े को याद रखने के लिए) एक ड्राइंग और ट्रांसफॉर्मेशन जिसके साथ आप बाकी हिस्सों को प्राप्त कर सकते हैं, यह पूरी फाइल को स्टोर करने की तुलना में बहुत कम मेमोरी लेता है)। फ्रैक्टल को परिभाषित करने वाले फ़ार्मुलों में यादृच्छिक गड़बड़ी जोड़कर, कोई स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल प्राप्त कर सकता है जो बहुत ही वास्तविक रूप से कुछ वास्तविक वस्तुओं को व्यक्त करता है - राहत तत्व, जल निकायों की सतह, कुछ पौधे, जिन्हें प्राप्त करने के लिए भौतिकी, भूगोल और कंप्यूटर ग्राफिक्स में सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है। वास्तविक के साथ नकली वस्तुओं की अधिक समानता। रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स में, पिछले एक दशक में, उन्होंने ऐसे एंटेना का उत्पादन करना शुरू किया, जिनका आकार भग्न होता है। कम जगह लेते हुए, वे काफी उच्च गुणवत्ता वाले सिग्नल रिसेप्शन प्रदान करते हैं। अर्थशास्त्री मुद्रा में उतार-चढ़ाव वक्रों का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग करते हैं (इस संपत्ति की खोज मैंडेलब्रॉट ने 30 साल पहले की थी)। यह भग्न की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का समापन करता है, इसकी सुंदरता और विविधता में अद्भुत है।

भग्न लगभग एक सदी से जाने जाते हैं, अच्छी तरह से अध्ययन किए जाते हैं और जीवन में उनके कई अनुप्रयोग हैं। यह घटना एक बहुत ही सरल विचार पर आधारित है: सुंदरता और विविधता में अनंत संख्या में आंकड़े अपेक्षाकृत सरल संरचनाओं से प्राप्त किए जा सकते हैं, केवल दो ऑपरेशन - कॉपी और स्केलिंग का उपयोग करके।

इस अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। यह आमतौर पर एक ज्यामितीय आकृति का नाम होता है जो निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणों को संतुष्ट करता है:

किसी भी आवर्धन पर एक जटिल संरचना है;
(लगभग) स्व-समान है;
एक भिन्नात्मक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है, जो टोपोलॉजिकल से बड़ा है;
पुनरावर्ती प्रक्रियाओं द्वारा बनाया जा सकता है।

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, भग्न का अध्ययन व्यवस्थित की तुलना में अधिक प्रासंगिक था, क्योंकि पहले के गणितज्ञों ने मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन किया था जिनका अध्ययन सामान्य तरीकों और सिद्धांतों का उपयोग करके किया जा सकता था। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी अवकलनीय नहीं है। हालांकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल था। इसलिए, 1904 में, स्वेड हेल्ज वॉन कोच एक निरंतर वक्र के साथ आया, जिसकी कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है, और इसे खींचना काफी सरल है। यह पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के एक रूपांतर को कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है।

आंकड़ों की आत्म-समानता के विचारों को फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी, बेनोइट मैंडलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक द्वारा उठाया गया था। 1938 में, उनका लेख "प्लेन एंड स्पैटियल कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स सिमिलर टू द होल" प्रकाशित हुआ, जिसमें एक और फ्रैक्टल का वर्णन किया गया है - लेवी सी-वक्र। उपरोक्त सभी भग्न को सशर्त रूप से रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न के एक वर्ग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजीय) भग्न है, जिसमें मैंडेलब्रॉट सेट शामिल है। इस दिशा में पहला अध्ययन 20वीं शताब्दी की शुरुआत का है और फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया और पियरे फतो के नामों से जुड़ा है। 1918 में, जूलिया के काम के लगभग दो सौ पृष्ठ प्रकाशित हुए, जो जटिल तर्कसंगत कार्यों के पुनरावृत्तियों के लिए समर्पित थे, जिसमें जूलिया सेट का वर्णन किया गया है - फ्रैक्टल का एक पूरा परिवार जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस काम को फ्रांसीसी अकादमी के पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन इसमें एक भी चित्रण नहीं था, इसलिए खोजी गई वस्तुओं की सुंदरता की सराहना करना असंभव था। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने जूलिया को उस समय के गणितज्ञों के बीच प्रसिद्ध कर दिया, इसे जल्दी से भुला दिया गया।

केवल आधी सदी बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ, जूलिया और फतो के काम की ओर ध्यान गया: यह वे थे जिन्होंने भग्न की दुनिया की समृद्धि और सुंदरता को दृश्यमान बनाया। आखिरकार, फतो उन छवियों को कभी नहीं देख सका जिन्हें अब हम मैंडलब्रॉट सेट की छवियों के रूप में जानते हैं, क्योंकि आवश्यक संख्या में गणना मैन्युअल रूप से नहीं की जा सकती है। इसके लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति बेनोइट मैंडलब्रॉट थे।

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