हार्मोनिक दोलन कुछ मात्रा के आवधिक परिवर्तन की एक घटना है, जिसमें तर्क पर निर्भरता में साइन या कोसाइन फ़ंक्शन का चरित्र होता है। उदाहरण के लिए, एक मात्रा जो समय के अनुसार बदलती रहती है, हार्मोनिक रूप से उतार-चढ़ाव करती है:

जहां x बदलती मात्रा का मान है, t समय है, शेष पैरामीटर स्थिर हैं: A दोलनों का आयाम है, दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है, दोलनों का पूर्ण चरण है, प्रारंभिक चरण है दोलन।

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(इस अंतर समीकरण का कोई भी गैर-तुच्छ समाधान चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन है)

कंपन के प्रकार

सिस्टम को संतुलन से बाहर निकालने के बाद सिस्टम की आंतरिक ताकतों की कार्रवाई के तहत मुक्त दोलन किए जाते हैं। मुक्त दोलनों के हार्मोनिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि ऑसिलेटरी सिस्टम रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और इसमें कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं होना चाहिए (बाद में भिगोना होगा)।

जबरन दोलन बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में किए जाते हैं। उनके लिए हार्मोनिक होने के लिए, यह पर्याप्त है कि ऑसीलेटरी सिस्टम रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और बाहरी बल समय के साथ हार्मोनिक ऑसीलेशन के रूप में बदलता है (यानी, इस बल की समय निर्भरता साइनसॉइडल है) .

हार्मोनिक कंपन समीकरण

समय t पर उतार-चढ़ाव वाले मान S की निर्भरता देता है; यह स्पष्ट रूप में मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण है। हालांकि, दोलनों के समीकरण को आमतौर पर इस समीकरण के एक अलग रिकॉर्ड के रूप में समझा जाता है, अंतर रूप में। निश्चितता के लिए हम समीकरण (1) को रूप में लेते हैं

समय के संबंध में इसे दो बार अलग करें:

यह देखा जा सकता है कि निम्नलिखित संबंध है:

जिसे मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण (विभेदक रूप में) कहा जाता है। समीकरण (1) अवकल समीकरण (2) का हल है। चूंकि समीकरण (2) एक दूसरे क्रम का अंतर समीकरण है, एक पूर्ण समाधान प्राप्त करने के लिए दो प्रारंभिक शर्तें आवश्यक हैं (अर्थात, समीकरण (1) में शामिल स्थिरांक ए और को निर्धारित करने के लिए; उदाहरण के लिए, t = 0 पर एक ऑसिलेटरी सिस्टम की स्थिति और गति।

एक गणितीय पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें एक भारहीन अटूट धागे पर या गुरुत्वाकर्षण बलों के एक समान क्षेत्र में भारहीन छड़ पर स्थित एक भौतिक बिंदु होता है। लंबाई के एक गणितीय पेंडुलम के छोटे eigenoscillations की अवधि, मुक्त गिरावट त्वरण जी के साथ एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गतिहीन रूप से निलंबित, के बराबर है

और लोलक के आयाम और द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

एक भौतिक पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक कठोर शरीर है जो किसी भी बल के क्षेत्र में एक बिंदु के बारे में दोलन करता है जो इस शरीर के द्रव्यमान का केंद्र नहीं है, या बलों की दिशा के लंबवत एक निश्चित अक्ष है और इसके माध्यम से नहीं गुजर रहा है इस शरीर के द्रव्यमान का केंद्र।

हार्मोनिक दोलन दोलन होते हैं जिसमें एक भौतिक मात्रा एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल, कोसाइन) कानून के अनुसार समय के साथ बदलती है। हार्मोनिक दोलन समीकरण निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
एक्स(टी) = एकोस(ω टी+φ )
या
एक्स (टी) = ए∙सिन (ω टी + φ)

X - समय t . पर संतुलन की स्थिति से विचलन
A - दोलन आयाम, A का आयाम X . के आयाम के समान है
ω - चक्रीय आवृत्ति, rad/s (प्रति सेकंड रेडियन)
- प्रारंभिक चरण, राड
टी - समय, s
टी - दोलन अवधि, एस
एफ - दोलन आवृत्ति, हर्ट्ज (हर्ट्ज)
- लगभग 3.14, 2π=6.28 . के बराबर स्थिरांक

दोलन अवधि, हर्ट्ज़ में आवृत्ति और चक्रीय आवृत्ति संबंधों से संबंधित हैं।
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
इन रिश्तों को याद रखने के लिए आपको निम्नलिखित बातों को समझना होगा।
प्रत्येक पैरामीटर ω, f, T विशिष्ट रूप से दूसरों को निर्धारित करता है। दोलनों का वर्णन करने के लिए, इनमें से किसी एक पैरामीटर का उपयोग करना पर्याप्त है।

अवधि टी एक उतार-चढ़ाव का समय है, इसका उपयोग उतार-चढ़ाव के ग्राफ को प्लॉट करने के लिए करना सुविधाजनक है।
चक्रीय आवृत्ति - दोलनों के समीकरणों को लिखने के लिए उपयोग किया जाता है, जिससे आप गणितीय गणना कर सकते हैं।
आवृत्ति f - समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या, हर जगह उपयोग की जाती है। हर्ट्ज़ में, हम उस आवृत्ति को मापते हैं जिससे रेडियो ट्यून किया जाता है, साथ ही साथ मोबाइल फोन की रेंज भी। संगीत वाद्ययंत्रों को ट्यून करते समय स्ट्रिंग्स के कंपन की आवृत्ति हर्ट्ज़ में मापी जाती है।

व्यंजक (ωt+φ) को दोलन चरण कहा जाता है, और φ के मान को प्रारंभिक चरण कहा जाता है, क्योंकि यह समय t=0 पर दोलन चरण के बराबर होता है।

ज्या और कोज्या फलन एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात का वर्णन करते हैं। इसलिए, बहुत से लोग यह नहीं समझते हैं कि ये कार्य हार्मोनिक दोलनों से कैसे संबंधित हैं। यह संबंध एक समान घूर्णन वेक्टर द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। एक समान रूप से घूमने वाले वेक्टर का प्रक्षेपण हार्मोनिक दोलन करता है।
नीचे दी गई तस्वीर तीन हार्मोनिक दोलनों का एक उदाहरण दिखाती है। आवृत्ति में समान, लेकिन चरण और आयाम में भिन्न।

उतार चढ़ावआंदोलनों या प्रक्रियाओं को कहा जाता है जो समय में एक निश्चित पुनरावृत्ति की विशेषता है। ऑसिलेटरी प्रक्रियाएं प्रकृति और प्रौद्योगिकी में व्यापक हैं, उदाहरण के लिए, एक घड़ी के पेंडुलम का स्विंग, वैकल्पिक विद्युत प्रवाह, आदि। जब पेंडुलम दोलन करता है, तो इसके द्रव्यमान परिवर्तन के केंद्र का समन्वय, प्रत्यावर्ती धारा, वोल्टेज और करंट के मामले में होता है। सर्किट में उतार-चढ़ाव होता है। दोलनों की भौतिक प्रकृति भिन्न हो सकती है, इसलिए, यांत्रिक, विद्युत चुम्बकीय, आदि दोलनों को प्रतिष्ठित किया जाता है। हालाँकि, विभिन्न दोलन प्रक्रियाओं को समान विशेषताओं और समान समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है। इससे व्यवहार्यता आती है एकीकृत दृष्टिकोणकंपन के अध्ययन के लिए विभिन्न भौतिक प्रकृति।

उतार-चढ़ाव कहा जाता है नि: शुल्क, यदि वे केवल तंत्र के तत्वों के बीच कार्य करने वाले आंतरिक बलों के प्रभाव में बनते हैं, तो प्रणाली को बाहरी बलों द्वारा संतुलन से बाहर निकालने के बाद और खुद पर छोड़ दिया जाता है। हमेशा मुक्त कंपन नम दोलन क्योंकि वास्तविक प्रणालियों में ऊर्जा हानियां अपरिहार्य हैं। ऊर्जा हानि के बिना एक प्रणाली के आदर्शित मामले में, मुक्त दोलन (जब तक वांछित हो) को कहा जाता है अपना.

मुक्त अविरल दोलनों का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक दोलन -उतार-चढ़ाव जिसमें उतार-चढ़ाव मूल्य समय के साथ साइन (कोसाइन) कानून के अनुसार बदलता है। प्रकृति और प्रौद्योगिकी में होने वाले दोलनों में अक्सर हार्मोनिक के करीब एक चरित्र होता है।

हार्मोनिक कंपन का वर्णन एक समीकरण द्वारा किया जाता है जिसे हार्मोनिक कंपन का समीकरण कहा जाता है:

कहाँ पे लेकिन- उतार-चढ़ाव का आयाम, उतार-चढ़ाव मूल्य का अधिकतम मूल्य एक्स; - प्राकृतिक दोलनों की परिपत्र (चक्रीय) आवृत्ति; - समय के एक क्षण में दोलन का प्रारंभिक चरण टी= 0; - समय के क्षण में दोलन का चरण टी।दोलन का चरण एक निश्चित समय पर दोलन मात्रा का मान निर्धारित करता है। चूँकि कोसाइन +1 से -1 तक भिन्न होता है, तब एक्स+ . से मान ले सकते हैं एइससे पहले - लेकिन.

समय टी, जिसके लिए प्रणाली एक पूर्ण दोलन पूरा करती है, कहलाती है दोलन की अवधि. दौरान टीदोलन चरण 2 . से बढ़ा है π , अर्थात।

कहाँ । (14.2)

दोलन काल का व्युत्क्रम

यानी प्रति इकाई समय में पूर्ण दोलनों की संख्या को दोलन आवृत्ति कहा जाता है। (14.2) और (14.3) की तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं

आवृत्ति की इकाई हर्ट्ज़ (Hz) है: 1 Hz वह आवृत्ति है जिस पर 1 s में एक पूर्ण दोलन होता है।

वे तंत्र जिनमें मुक्त कंपन हो सकते हैं, कहलाते हैं दोलन . किसी तंत्र में मुक्त दोलनों के घटित होने के लिए उसके पास कौन-से गुण होने चाहिए? यांत्रिक प्रणाली में होना चाहिए स्थिर संतुलन की स्थिति, बाहर निकलने पर जो प्रकट होता है संतुलन की ओर बल बहाल करना. यह स्थिति, जैसा कि ज्ञात है, सिस्टम की न्यूनतम संभावित ऊर्जा से मेल खाती है। आइए हम कई दोलन प्रणालियों पर विचार करें जो सूचीबद्ध गुणों को संतुष्ट करते हैं।

साइनसॉइडल कानून के अनुसार समय में परिवर्तन:

कहाँ पे एक्स- समय के क्षण में उतार-चढ़ाव वाली मात्रा का मूल्य टी, लेकिन- आयाम, ω - परिपत्र आवृत्ति, φ दोलनों का प्रारंभिक चरण है, ( t + φ ) दोलनों का कुल चरण है। उसी समय, मान लेकिन, ω और φ - स्थायी।

एक दोलन मूल्य के साथ यांत्रिक कंपन के लिए एक्सविद्युत दोलनों के लिए, विशेष रूप से, विस्थापन और गति हैं - वोल्टेज और वर्तमान ताकत।

हार्मोनिक कंपन सभी प्रकार के कंपनों के बीच एक विशेष स्थान रखते हैं, क्योंकि यह एकमात्र प्रकार का कंपन है जिसका आकार किसी भी सजातीय माध्यम से गुजरते समय विकृत नहीं होता है, यानी हार्मोनिक कंपन के स्रोत से फैलने वाली तरंगें भी हार्मोनिक होंगी। किसी भी गैर-हार्मोनिक कंपन को विभिन्न हार्मोनिक कंपनों (हार्मोनिक कंपन के स्पेक्ट्रम के रूप में) के योग (अभिन्न) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हार्मोनिक कंपन के दौरान ऊर्जा परिवर्तन।

दोलनों की प्रक्रिया में स्थितिज ऊर्जा का संक्रमण होता है डब्ल्यूपीगतिज में डब्ल्यू कोऔर इसके विपरीत। संतुलन स्थिति से अधिकतम विचलन की स्थिति में, स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है, गतिज ऊर्जा शून्य होती है। जैसे ही हम संतुलन की स्थिति में लौटते हैं, दोलन करने वाले शरीर की गति बढ़ जाती है, और इसके साथ गतिज ऊर्जा भी बढ़ जाती है, संतुलन की स्थिति में अधिकतम तक पहुंच जाती है। तब स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है। आगे-गर्दन की गति गति में कमी के साथ होती है, जो विक्षेपण के दूसरे अधिकतम तक पहुंचने पर शून्य हो जाती है। यहाँ स्थितिज ऊर्जा अपने प्रारंभिक (अधिकतम) मान (घर्षण की अनुपस्थिति में) तक बढ़ जाती है। इस प्रकार, गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के दोलन दोगुने (पेंडुलम के दोलनों की तुलना में) आवृत्ति के साथ होते हैं और एंटीफेज में होते हैं (अर्थात, उनके बीच एक चरण बदलाव के बराबर होता है π ) कुल कंपन ऊर्जा वूकुछ नहीं बदला है। एक लोचदार बल की क्रिया के तहत दोलन करने वाले शरीर के लिए, यह बराबर है:

कहाँ पे वी एम- शरीर की अधिकतम गति (संतुलन की स्थिति में), एक्स एम = लेकिन- आयाम।

माध्यम के घर्षण और प्रतिरोध की उपस्थिति के कारण, मुक्त दोलन कम हो जाते हैं: समय के साथ उनकी ऊर्जा और आयाम कम हो जाते हैं। इसलिए, व्यवहार में, मुक्त नहीं, बल्कि मजबूर दोलनों का अधिक बार उपयोग किया जाता है।

उतार चढ़ाव ऐसी प्रक्रियाएँ कहलाती हैं जिनमें सिस्टम बार-बार अधिक या कम आवृत्ति के साथ संतुलन की स्थिति से गुजरता है।

दोलन वर्गीकरण:

ए) स्वभाव से (यांत्रिक, विद्युत चुम्बकीय, एकाग्रता में उतार-चढ़ाव, तापमान, आदि);

बी) बताना (सरल = हार्मोनिक; जटिल, जो सरल हार्मोनिक कंपनों का योग है);

में) आवधिकता की डिग्री के अनुसार = आवधिक (सिस्टम की विशेषताओं को कड़ाई से परिभाषित अवधि (अवधि) के बाद दोहराया जाता है) और एपेरियोडिक;

जी) समय के संबंध में (अनडम्प्ड = निरंतर आयाम; नम = घटते आयाम);

जी) ऊर्जा - मुक्त (बाहर से प्रणाली में ऊर्जा का एकल इनपुट = एकल बाहरी क्रिया); जबरन (एकाधिक (आवधिक) बाहर से सिस्टम को ऊर्जा की आपूर्ति = आवधिक बाहरी प्रभाव); स्व-दोलन (स्थिर स्रोत से ऊर्जा के प्रवाह को विनियमित करने की प्रणाली की क्षमता के कारण उत्पन्न होने वाले अविच्छिन्न दोलन)।

दोलनों की घटना के लिए शर्तें।

ए) एक ऑसिलेटरी सिस्टम की उपस्थिति (निलंबन पर एक पेंडुलम, एक स्प्रिंग पेंडुलम, एक ऑसिलेटरी सर्किट, आदि);

बी) ऊर्जा के बाहरी स्रोत की उपस्थिति जो सिस्टम को कम से कम एक बार संतुलन से बाहर लाने में सक्षम है;

सी) प्रणाली में एक अर्ध-लोचदार पुनर्स्थापना बल का उद्भव (यानी, विस्थापन के लिए आनुपातिक बल);

डी) प्रणाली में जड़ता (जड़त्वीय तत्व) की उपस्थिति।

एक उदाहरण के रूप में, गणितीय लोलक की गति पर विचार करें। गणितीय लोलकछोटे आकार का पिंड कहा जाता है, जो एक पतले अटूट धागे पर लटका होता है, जिसका द्रव्यमान पिंड के द्रव्यमान की तुलना में नगण्य होता है। संतुलन की स्थिति में, जब लोलक एक साहुल रेखा पर लटकता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल धागे के तनाव के बल से संतुलित होता है।
. जब लोलक एक निश्चित कोण से संतुलन की स्थिति से विचलित होता है α गुरुत्वाकर्षण का एक स्पर्शरेखा घटक है एफ=- मिलीग्राम पाप. इस सूत्र में ऋण चिह्न का अर्थ है कि स्पर्शरेखा घटक पेंडुलम विक्षेपण के विपरीत दिशा में निर्देशित है। वह एक पुनर्स्थापना शक्ति है। छोटे कोणों α (15-20 o के क्रम का) पर, यह बल लोलक के विस्थापन के समानुपाती होता है, अर्थात। अर्ध-लोचदार है, और पेंडुलम के दोलन हार्मोनिक हैं।

जब लोलक विक्षेपित होता है, तो वह एक निश्चित ऊँचाई तक बढ़ जाता है, अर्थात्। उसे एक निश्चित मात्रा में संभावित ऊर्जा दी जाती है ( इ पसीना = एमजीएच) जब लोलक संतुलन की स्थिति में जाता है, तो स्थितिज ऊर्जा का गतिज ऊर्जा में संक्रमण होता है। जिस समय पेंडुलम संतुलन की स्थिति से गुजरता है, स्थितिज ऊर्जा शून्य के बराबर होती है, और गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है। द्रव्यमान की उपस्थिति के कारण एम(द्रव्यमान एक भौतिक मात्रा है जो पदार्थ के जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण गुणों को निर्धारित करता है) पेंडुलम संतुलन की स्थिति से गुजरता है और विपरीत दिशा में विचलित हो जाता है। तंत्र में घर्षण के अभाव में लोलक अनिश्चित काल तक दोलन करता रहेगा।

हार्मोनिक दोलन समीकरण का रूप है:

एक्स (टी) = एक्स एम क्योंकि (ω 0 टी +φ 0 ),

कहाँ पे एक्स- संतुलन की स्थिति से शरीर का विस्थापन;

एक्स एम (लेकिन) दोलन आयाम है, जो कि अधिकतम विस्थापन मापांक है,

ω 0 - चक्रीय (या परिपत्र) दोलनों की आवृत्ति,

टी- समय।

कोसाइन चिह्न के तहत मूल्य φ = ω 0 टी + 0 बुलाया अवस्थाहार्मोनिक कंपन। चरण एक निश्चित समय पर ऑफसेट निर्धारित करता है टी. चरण कोणीय इकाइयों (रेडियन) में व्यक्त किया जाता है।

पर टी= 0 φ = φ 0 , इसीलिए φ 0 बुलाया पहला भाग।

समय की अवधि जिसके बाद दोलन प्रणाली की कुछ अवस्थाओं को दोहराया जाता है, कहलाती है दोलन की अवधिटी।

दोलन की अवधि के लिए व्युत्क्रम भौतिक मात्रा कहलाती है दोलन आवृत्ति:
. दोलन आवृत्ति ν दिखाता है कि प्रति इकाई समय में कितने दोलन होते हैं। आवृत्ति इकाई - हर्ट्ज़ (हर्ट्ज) -प्रति सेकंड यूनीसाइकिल।

दोलन आवृत्ति ν चक्रीय आवृत्ति से संबंधित ω और दोलन अवधि टीअनुपात:
.

अर्थात्, वृत्तीय आवृत्ति 2π इकाई समय में होने वाले पूर्ण दोलनों की संख्या है।

ग्राफिक रूप से, हार्मोनिक दोलनों को एक निर्भरता के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्ससे टी और वेक्टर आरेखों की विधि।

वेक्टर आरेखों की विधि आपको हार्मोनिक दोलनों के समीकरण में शामिल सभी मापदंडों की कल्पना करने की अनुमति देती है। वास्तव में, यदि आयाम वेक्टर लेकिन कोण पर रखा गया φ अक्ष के लिए एक्स, फिर अक्ष पर इसका प्रक्षेपण एक्सके बराबर होगा: एक्स = एकोस (φ ) . इंजेक्शन φ और एक प्रारंभिक चरण है। यदि वेक्टर लेकिनएक कोणीय वेग के साथ रोटेशन में डाल दिया 0 दोलनों की परिपत्र आवृत्ति के बराबर, फिर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण अक्ष के साथ आगे बढ़ेगा एक्सऔर से लेकर मान लें -एइससे पहले +ए, और इस प्रक्षेपण का समन्वय कानून के अनुसार समय के साथ बदल जाएगा: एक्स(टी) = लेकिनक्योंकि(ω 0 टी+ φ) . आयाम सदिश को एक पूर्ण परिक्रमण करने में लगने वाला समय आवर्त के बराबर होता है टीहार्मोनिक कंपन। प्रति सेकंड वेक्टर के चक्करों की संख्या दोलन आवृत्ति के बराबर होती है ν .