वास्तव में एक समकोण त्रिभुज लगभग हर कोने पर पाया जाता है। इस आकृति के गुणों का ज्ञान, साथ ही इसके क्षेत्र की गणना करने की क्षमता, निस्संदेह न केवल ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए, बल्कि जीवन स्थितियों में भी आपके लिए उपयोगी होगी।

त्रिकोण ज्यामिति

प्राथमिक ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन जुड़े हुए खंड होते हैं जो तीन कोण (दो न्यून और एक सीधे) बनाते हैं। एक समकोण त्रिभुज एक मूल आकृति है, जिसमें कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो त्रिकोणमिति की नींव बनाते हैं। एक साधारण त्रिभुज के विपरीत, एक आयताकार आकृति की भुजाओं के अपने नाम होते हैं:

• कर्ण एक त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित होती है।
• पैर - खंड जो एक समकोण बनाते हैं। विचाराधीन कोण के आधार पर, पैर इससे सटे हो सकते हैं (इस कोण को कर्ण के साथ बनाते हुए) या विपरीत (कोण के विपरीत स्थित)। गैर-आयताकार त्रिभुजों के लिए कोई पैर नहीं हैं।

यह पैरों और कर्ण का अनुपात है जो त्रिकोणमिति का आधार बनाता है: साइन, स्पर्शरेखा और छेदक को एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

हकीकत में समकोण त्रिभुज

यह आंकड़ा वास्तविकता में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। डिजाइन और प्रौद्योगिकी में त्रिभुजों का उपयोग किया जाता है, इसलिए आकृति के क्षेत्र की गणना इंजीनियरों, वास्तुकारों और डिजाइनरों द्वारा की जानी चाहिए। टेट्राहेड्रा या प्रिज्म के आधारों में एक त्रिभुज का आकार होता है - त्रि-आयामी आंकड़े जो रोजमर्रा की जिंदगी में आसानी से मिल जाते हैं। इसके अलावा, एक वर्ग वास्तविकता में एक "सपाट" समकोण त्रिभुज का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है। एक वर्ग एक ताला बनाने वाला, ड्राइंग, निर्माण और बढ़ईगीरी उपकरण है जिसका उपयोग स्कूली बच्चों और इंजीनियरों दोनों द्वारा कोनों के निर्माण के लिए किया जाता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल एक मात्रात्मक अनुमान है कि त्रिभुज के किनारों से कितना विमान घिरा हुआ है। एक साधारण त्रिभुज का क्षेत्रफल पांच तरीकों से पाया जा सकता है, हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके या इस तरह के चर के साथ गणना में काम करना, जैसे कि आधार, पक्ष, कोण और खुदा हुआ या परिचालित वृत्त की त्रिज्या। सबसे सरल क्षेत्र सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, h उसकी ऊँचाई है।

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र और भी सरल है:

जहां ए और बी पैर हैं।

हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ काम करते हुए, आप तीन जोड़ी मापदंडों का उपयोग करके एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

• दो पैर;
• पैर और आसन्न कोण;
• पैर और विपरीत कोण।

कार्यों या रोजमर्रा की स्थितियों में, आपको चर के विभिन्न संयोजन दिए जाएंगे, इसलिए कैलकुलेटर का यह रूप आपको कई तरीकों से त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देता है। आइए एक दो उदाहरण देखें।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

सिरेमिक टाइल

मान लीजिए कि आप रसोई की दीवारों को सिरेमिक टाइलों से पंक्तिबद्ध करना चाहते हैं, जिनका आकार एक समकोण त्रिभुज का है। टाइलों की खपत को निर्धारित करने के लिए, आपको क्लैडिंग के एक तत्व के क्षेत्र और इलाज की जाने वाली सतह के कुल क्षेत्रफल का पता लगाना होगा। मान लीजिए कि आपको 7 वर्ग मीटर की प्रक्रिया करने की आवश्यकता है। एक तत्व के पैरों की लंबाई प्रत्येक 19 सेमी है, तो टाइल का क्षेत्रफल इसके बराबर होगा:

इसका मतलब है कि एक तत्व का क्षेत्रफल 24.5 वर्ग सेंटीमीटर या 0.01805 वर्ग मीटर है। इन मापदंडों को जानकर, आप गणना कर सकते हैं कि एक दीवार के 7 वर्ग मीटर को खत्म करने के लिए आपको 7 / 0.01805 = 387 फेसिंग टाइल्स की आवश्यकता होगी।

स्कूल का काम

मान लीजिए कि एक स्कूल ज्यामिति समस्या में एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, केवल यह जानते हुए कि एक पैर की भुजा 5 सेमी है, और विपरीत कोण का मान 30 डिग्री है। हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को दर्शाने वाला चित्रण है। यदि भुजा a = 5 सेमी है, तो इसका सम्मुख कोण कोण अल्फा है, जो 30 डिग्री के बराबर है। इस डेटा को कैलकुलेटर फॉर्म में दर्ज करें और परिणाम प्राप्त करें:

इस प्रकार, कैलकुलेटर न केवल किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करता है, बल्कि आसन्न पैर और कर्ण की लंबाई, साथ ही दूसरे कोण का मान भी निर्धारित करता है।

निष्कर्ष

आयताकार त्रिभुज हमारे जीवन में वस्तुतः हर कोने पर पाए जाते हैं। ऐसे आंकड़ों का क्षेत्र निर्धारित करना आपके लिए न केवल ज्यामिति में स्कूल के कार्यों को हल करते समय, बल्कि रोजमर्रा और व्यावसायिक गतिविधियों में भी उपयोगी होगा।

गणित में त्रिभुज पर विचार करते समय उसकी भुजाओं पर अधिक ध्यान दिया जाता है। चूंकि ये तत्व इस ज्यामितीय आकृति का निर्माण करते हैं। एक त्रिभुज की भुजाओं का उपयोग ज्यामिति में कई समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

अवधारणा परिभाषा

तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, त्रिभुज की भुजाएँ कहलाते हैं। विचाराधीन तत्व समतल के एक भाग को सीमित करते हैं, जिसे दी गई ज्यामितीय आकृति का आंतरिक भाग कहा जाता है।

गणितज्ञ अपनी गणना में ज्यामितीय आकृतियों के पक्षों से संबंधित सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं। तो, एक पतित त्रिभुज में, इसके तीन खंड एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

अवधारणा विशेषताएं

त्रिभुज की भुजाओं की गणना में आकृति के अन्य सभी मापदंडों का निर्धारण शामिल है। इनमें से प्रत्येक खंड की लंबाई जानने के बाद, आप आसानी से परिधि, क्षेत्रफल और यहां तक ​​कि त्रिभुज के कोणों की गणना कर सकते हैं।

चावल। 1. मनमाना त्रिकोण।

इस आकृति की भुजाओं का योग करके, आप परिमाप ज्ञात कर सकते हैं।

P=a+b+c, जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं

और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको बगुला सूत्र का उपयोग करना चाहिए।

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

जहाँ p अर्धपरिमापी है।

किसी दी गई ज्यामितीय आकृति के कोणों की गणना कोज्या प्रमेय द्वारा की जाती है।

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

अर्थ

त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से, इस ज्यामितीय आकृति के कुछ गुण व्यक्त किए जाते हैं:

• त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा के सम्मुख इसका सबसे छोटा कोण होता है।
• माना ज्यामितीय आकृति का बाहरी कोण पक्षों में से एक को बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है।
• त्रिभुज के सम्मुख समान कोण बराबर भुजाएँ होती हैं।
• किसी भी त्रिभुज में, एक भुजा हमेशा अन्य दो खंडों के अंतर से बड़ी होती है। और इस आकृति की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरे से अधिक होता है।

दो त्रिभुजों की समानता के संकेतों में से एक ज्यामितीय आकृति के सभी पक्षों के योग का अनुपात है। यदि ये मान समान हैं, तो त्रिभुज समान होंगे।

त्रिभुज के कुछ गुण उसके प्रकार पर निर्भर करते हैं। इसलिए, आपको पहले इस आकृति की भुजाओं या कोणों के आकार पर विचार करना चाहिए।

त्रिभुजों का निर्माण

यदि मानी गई ज्यामितीय आकृति की दोनों भुजाएँ समान हों, तो इस त्रिभुज को समद्विबाहु कहा जाता है।

चावल। 2. समद्विबाहु त्रिभुज।

जब त्रिभुज के सभी खंड बराबर होते हैं, तो आपको एक समबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है।

चावल। 3. समबाहु त्रिभुज।

कोई भी गणना उन मामलों में करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जहां एक निश्चित प्रकार के लिए एक मनमाना त्रिभुज को जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। तब से इस ज्यामितीय आकृति के आवश्यक पैरामीटर को खोजना बहुत सरल हो जाएगा।

यद्यपि एक सही ढंग से चुना गया त्रिकोणमितीय समीकरण आपको कई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है जिसमें एक मनमाना त्रिभुज माना जाता है।

हमने क्या सीखा?

तीन खंड जो बिंदुओं से जुड़े हुए हैं और एक ही सीधी रेखा से संबंधित नहीं हैं, एक त्रिभुज बनाते हैं। ये भुजाएँ एक ज्यामितीय तल बनाती हैं, जिसका उपयोग क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इन खण्डों की सहायता से आप किसी आकृति की कई महत्वपूर्ण विशेषताओं, जैसे परिमाप और कोणों का पता लगा सकते हैं। किसी त्रिभुज का पक्षानुपात उसके प्रकार का पता लगाने में मदद करता है। किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के कुछ गुणों का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब उसके प्रत्येक पक्ष के आयाम ज्ञात हों।

विषय प्रश्नोत्तरी

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पहले खंड हैं जो समकोण से सटे हुए हैं, और कर्ण आकृति का सबसे लंबा हिस्सा है और 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। पाइथागोरस त्रिभुज वह होता है जिसकी भुजाएँ प्राकृत संख्याओं के बराबर होती हैं; इस मामले में उनकी लंबाई को "पायथागॉरियन ट्रिपल" कहा जाता है।

मिस्र का त्रिभुज

वर्तमान पीढ़ी के लिए ज्यामिति को जिस रूप में अभी स्कूल में पढ़ाया जाता है, उसे सीखने के लिए इसे कई शताब्दियों तक विकसित किया गया है। मूल बिंदु पाइथागोरस प्रमेय है। एक आयत की भुजाएँ पूरी दुनिया को ज्ञात हैं) 3, 4, 5 हैं।

कुछ लोग "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं" वाक्यांश से परिचित नहीं हैं। हालाँकि, वास्तव में, प्रमेय इस तरह लगता है: c 2 (कर्ण का वर्ग) \u003d a 2 + b 2 (पैरों के वर्गों का योग)।

गणितज्ञों में, 3, 4, 5 (सेमी, मी, आदि) भुजाओं वाले त्रिभुज को "मिस्र" कहा जाता है। यह दिलचस्प है कि जो चित्र में अंकित है वह एक के बराबर है। नाम 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास उत्पन्न हुआ, जब यूनानी दार्शनिक मिस्र गए।

पिरामिडों का निर्माण करते समय, वास्तुकारों और सर्वेक्षकों ने 3:4:5 के अनुपात का उपयोग किया। ऐसी संरचनाएं आनुपातिक, देखने में सुखद और विशाल निकलीं, और शायद ही कभी ढह गईं।

समकोण बनाने के लिए, बिल्डरों ने एक रस्सी का इस्तेमाल किया, जिस पर 12 गांठें बंधी हुई थीं। इस मामले में, एक समकोण त्रिभुज के निर्माण की संभावना बढ़कर 95% हो गई।

आंकड़ों की समानता के संकेत

• एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण और एक बड़ी भुजा, जो दूसरे त्रिभुज में समान तत्वों के बराबर होती है, अंकों की समानता का एक निर्विवाद संकेत है। कोणों के योग को ध्यान में रखते हुए, यह साबित करना आसान है कि दूसरे न्यून कोण भी बराबर हैं। इस प्रकार, त्रिभुज दूसरे मानदंड में समरूप हैं।
• जब दो आकृतियों को एक-दूसरे पर आरोपित किया जाता है, तो हम उन्हें इस प्रकार घुमाते हैं कि जब वे संयुक्त हो जाते हैं, तो वे एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाते हैं। इसकी संपत्ति के अनुसार, पक्ष, या यों कहें, कर्ण समान हैं, साथ ही आधार पर कोण भी हैं, जिसका अर्थ है कि ये आंकड़े समान हैं।

पहले संकेत से, यह साबित करना बहुत आसान है कि त्रिभुज वास्तव में समान हैं, मुख्य बात यह है कि दो छोटी भुजाएँ (यानी पैर) एक दूसरे के बराबर हैं।

त्रिकोण II चिन्ह के अनुसार समान होंगे, जिसका सार पैर की समानता और तीव्र कोण है।

समकोण त्रिभुज गुण

ऊंचाई, जिसे एक समकोण से कम किया गया था, आकृति को दो समान भागों में विभाजित करती है।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ और उसकी माध्यिका नियम द्वारा आसानी से पहचानी जा सकती है: माध्यिका, जो कर्ण तक नीचे होती है, इसके आधे के बराबर होती है। बगुला के सूत्र और इस कथन से कि यह टाँगों के आधे गुणनफल के बराबर है, दोनों से ज्ञात किया जा सकता है।

एक समकोण त्रिभुज में, 30 o, 45 o और 60 o के कोणों के गुण लागू होते हैं।

• 30 ° के कोण पर, यह याद रखना चाहिए कि विपरीत पैर सबसे बड़ी भुजा के 1/2 के बराबर होगा।
• यदि कोण 45° है, तो दूसरा न्यून कोण भी 45° है। इससे पता चलता है कि त्रिभुज समद्विबाहु है, और उसके पैर समान हैं।
• 60 डिग्री के कोण का गुण यह है कि तीसरे कोण का माप 30 डिग्री है।

क्षेत्र तीन सूत्रों में से एक द्वारा खोजना आसान है:

1. ऊँचाई और किनारे से होकर जिस पर वह उतरता है;
2. हेरॉन के सूत्र के अनुसार;
3. पक्षों के साथ और उनके बीच का कोण।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ, या यों कहें कि पैर, दो ऊँचाइयों के साथ अभिसरण करते हैं। तीसरे को खोजने के लिए, परिणामी त्रिभुज पर विचार करना आवश्यक है, और फिर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आवश्यक लंबाई की गणना करें। इस सूत्र के अतिरिक्त, क्षेत्रफल और कर्ण की लंबाई के दोगुने का अनुपात भी है। छात्रों के बीच सबसे आम अभिव्यक्ति पहली है, क्योंकि इसमें कम गणना की आवश्यकता होती है।

प्रमेय जो एक समकोण त्रिभुज पर लागू होते हैं

एक समकोण त्रिभुज की ज्यामिति में प्रमेयों का उपयोग शामिल है जैसे:

एक त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है यदि इसका एक कोण 90º का हो। समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो पैर होते हैं।

एक समकोण त्रिभुज में कोण ज्ञात करने के लिए, समकोण त्रिभुजों के कुछ गुणों का उपयोग किया जाता है, अर्थात्: यह तथ्य कि न्यून कोणों का योग 90º है, और यह भी तथ्य कि पैर के विपरीत, जिसकी लंबाई कर्ण का आधा है, एक है 30º के बराबर कोण।

त्वरित लेख नेविगेशन

समद्विबाहु त्रिकोण

समद्विबाहु त्रिभुज का एक गुण यह है कि इसके दो कोण बराबर होते हैं। समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों के मानों की गणना करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि:

• एक समकोण 90º है।
• न्यून कोणों का मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: (180º-90º)/2=45º, अर्थात। कोण α और β 45º हैं।

यदि एक न्यून कोण का मान ज्ञात है, तो दूसरा सूत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: β=180º-90º-α, या α=180º-90º-β। सबसे अधिक बार, इस अनुपात का उपयोग किया जाता है यदि कोणों में से एक 60º या 30º है।

प्रमुख धारणाएँ

एक त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180º होता है। चूँकि एक कोण समकोण है, अन्य दो नुकीले होंगे। उन्हें खोजने के लिए, आपको यह जानना होगा कि:

अन्य तरीके

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों के मूल्यों की गणना माध्यिका के मान को जानकर की जा सकती है - शीर्ष से त्रिभुज के विपरीत दिशा में खींची गई रेखा, और ऊँचाई - एक सीधी रेखा, जो एक लंबवत गिरा हुआ है समकोण से कर्ण तक। मान लीजिए कि s समकोण से कर्ण के मध्य बिंदु तक खींची गई माध्यिका है, h ऊँचाई है। इस मामले में यह पता चला है कि:

• sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
• cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sinα = एच/बी; sinβ=h/a.

दो पक्षों

यदि कर्ण की लंबाई और एक पैर, या दो भुजाएँ, समकोण त्रिभुज में जानी जाती हैं, तो न्यून कोणों के मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया जाता है:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c)।
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

एंड्री प्रोकिप: "मेरा प्यार रूसी पारिस्थितिकी है। आपको इसमें निवेश करना चाहिए!"
4-5 सितंबर को पारिस्थितिक मंच "शहरों का जलवायु आकार" आयोजित किया गया था। आयोजन के संगठन का आरंभकर्ता C40 संगठन है, जिसे 2005 में UN द्वारा स्थापित किया गया था। फॉर्म और शहरों का मुख्य कार्य शहरों में जलवायु परिवर्तन को नियंत्रित करना है।
जैसा कि अभ्यास ने दिखाया है, सामाजिक आयोजनों और "नाइट क्लबों में सत्र" के विपरीत, कुछ प्रतिनिधि और सार्वजनिक व्यक्तित्व थे। पर्यावरण की स्थिति के बारे में वास्तव में चिंता प्रकट करने वालों में प्रोकिप एड्रे ज़िनोविएविच थे। उन्होंने रुस्लान एडेलगेरिएव, जलवायु मुद्दों के लिए रूसी संघ के राष्ट्रपति के विशेष प्रतिनिधि, पेट्र बिरयुकोव, आवास और सांप्रदायिक सेवाओं के लिए मास्को के उप महापौर, साथ ही साथ विदेशी प्रतिनिधियों के साथ सभी पूर्ण सत्रों में सक्रिय भाग लिया। सवोना का इतालवी शहर - इलारियो कैप्रियोग्लियो। प्रतिभागियों ने अपनी परियोजनाओं को प्रस्तुत किया और वैश्विक तापमान में वृद्धि को बनाए रखने के लिए रणनीतियों के साथ-साथ सतत शहरी विकास के लिए प्रस्तावित व्यावहारिक समाधानों पर भी चर्चा की।
एंड्री प्रोकिप के बारे में शशलिक, डिप्टी और ग्रीन कंस्ट्रक्शन
रूसी पक्ष के लिए विशेष रुचि वक्ताओं का भाषण था, जिनमें से यूरोपीय आर्किटेक्ट, वैज्ञानिक और सवोना के मेयर थे। भाषण का विषय टॉप डायरेक्शन था - "ग्रीन कंस्ट्रक्शन"। जैसा कि आंद्रेई प्रोकिप ने खुद कहा था, "संसाधनों को सही ढंग से पुनर्वितरित करना महत्वपूर्ण है, साथ ही मास्को जैसे महानगर के लिए यूरोपीय निर्माण के मानकों को भी ध्यान में रखना है। यह आवश्यक है कि संघीय स्तर पर रूस "हरित वित्तपोषण" की दिशा में एक कोर्स करे, खासकर जब से यह आर्थिक रूप से व्यवहार्य है और, जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, लाभदायक है।" उन्होंने पर्यावरणीय आपदाओं और बड़े और छोटे औद्योगिक उद्यमों द्वारा अपशिष्ट निपटान के लिए पर्यावरणीय मानकों का पालन न करने के संबंध में रूसियों के स्वास्थ्य में गिरावट के बारे में भी चिंता व्यक्त की। उन्होंने फ्रांसेस्को ज़ांबोन, डब्ल्यूएचओ यूरोपियन ब्यूरो ऑफ़ हेल्थ इन्वेस्टमेंट प्रोफेसर के भाषण के लिए अपने डर की पुष्टि की।
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