अक्सर, बहुत से लोग आश्चर्य करते हैं कि शून्य से विभाजन का उपयोग क्यों नहीं किया जा सकता है? इस लेख में हम विस्तार से बात करेंगे कि यह नियम कहां से आया, साथ ही शून्य के साथ कौन से कार्य किए जा सकते हैं।

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शून्य को सबसे दिलचस्प संख्याओं में से एक कहा जा सकता है। इस नंबर का कोई मतलब नहीं है, शब्द के सही अर्थों में इसका मतलब खालीपन है। हालाँकि, यदि किसी संख्या के आगे शून्य लगा दिया जाए तो इस संख्या का मान कई गुना अधिक हो जाएगा।

यह संख्या अपने आप में बहुत रहस्यमय है। इसका उपयोग प्राचीन माया लोगों द्वारा किया जाता था। मायावासियों के लिए, शून्य का अर्थ "शुरुआत" था और कैलेंडर दिन भी शून्य से शुरू होते थे।

एक बहुत ही दिलचस्प तथ्य यह है कि शून्य चिह्न और अनिश्चितता चिह्न समान थे। इसके द्वारा, मायावादी यह दिखाना चाहते थे कि शून्य अनिश्चितता के समान समान संकेत है। यूरोप में, पदनाम शून्य अपेक्षाकृत हाल ही में सामने आया।

शून्य से जुड़े निषेध को भी बहुत से लोग जानते हैं। ऐसा तो कोई भी कहेगा आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते. स्कूल में शिक्षक यह कहते हैं और बच्चे आमतौर पर उनकी बात मान लेते हैं। आमतौर पर, बच्चों को या तो यह जानने में कोई दिलचस्पी नहीं होती है, या वे जानते हैं कि क्या होगा यदि, एक महत्वपूर्ण निषेध सुनकर, वे तुरंत पूछें, "आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते?" लेकिन जब आपकी उम्र बढ़ती है तो आपकी रुचि जागती है और आप इस प्रतिबंध के कारणों के बारे में और अधिक जानना चाहते हैं। हालाँकि, उचित सबूत हैं।

शून्य के साथ क्रियाएँ

सबसे पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि शून्य के साथ कौन सी क्रियाएं की जा सकती हैं। मौजूद अनेक प्रकार की क्रियाएँ:

• जोड़ना;
• गुणन;
• घटाव;
• प्रभाग (संख्या के अनुसार शून्य);
• घातांक।

महत्वपूर्ण!यदि आप किसी संख्या को जोड़ने के दौरान उसमें शून्य जोड़ देते हैं तो यह संख्या वही रहेगी और इसके संख्यात्मक मान में कोई बदलाव नहीं आएगा। यदि आप किसी संख्या में से शून्य घटाते हैं तो भी यही होता है।

गुणा और भाग करते समय चीजें थोड़ी भिन्न होती हैं। अगर किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करें, तो उत्पाद भी शून्य हो जायेगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

आइए इसे एक अतिरिक्त के रूप में लिखें:

कुल मिलाकर पांच शून्य होते हैं, तो यह पता चलता है

आइए एक को शून्य से गुणा करने का प्रयास करें. परिणाम भी शून्य होगा.

शून्य को किसी अन्य संख्या से भी विभाजित किया जा सकता है जो उसके बराबर न हो। इस स्थिति में परिणाम होगा, जिसका मान भी शून्य होगा। यही नियम ऋणात्मक संख्याओं पर भी लागू होता है। यदि शून्य को ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जाए तो परिणाम शून्य होता है।

आप कोई भी संख्या भी बना सकते हैं शून्य डिग्री तक. इस स्थिति में, परिणाम 1 होगा। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि अभिव्यक्ति "शून्य से शून्य की घात" बिल्कुल अर्थहीन है। यदि आप शून्य को किसी भी घात तक बढ़ाने का प्रयास करते हैं, तो आपको शून्य मिलता है। उदाहरण:

हम गुणन नियम का उपयोग करते हैं और 0 प्राप्त करते हैं।

तो क्या शून्य से भाग देना संभव है?

तो, यहां हम मुख्य प्रश्न पर आते हैं। क्या शून्य से भाग देना संभव है?बिल्कुल भी? और हम किसी संख्या को शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते, जबकि शून्य के साथ अन्य सभी क्रियाएं मौजूद हैं और लागू होती हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए उच्च गणित की ओर रुख करना आवश्यक है।

आइए अवधारणा की परिभाषा से शुरू करें, शून्य क्या है? स्कूल के शिक्षक कहते हैं कि शून्य कुछ नहीं होता. ख़ालीपन. यानी, जब आप कहते हैं कि आपके पास 0 हैंडल हैं, तो इसका मतलब है कि आपके पास कोई हैंडल ही नहीं है।

उच्च गणित में, "शून्य" की अवधारणा व्यापक है। इसका मतलब ख़ालीपन बिल्कुल नहीं है. यहां शून्य को अनिश्चितता कहा जाता है क्योंकि अगर हम थोड़ा शोध करें तो पता चलता है कि जब हम शून्य को शून्य से विभाजित करते हैं, तो हमें कोई अन्य संख्या मिल सकती है, जो जरूरी नहीं कि शून्य हो।

क्या आप जानते हैं कि वे सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ जो आपने स्कूल में पढ़ीं, एक-दूसरे के बराबर नहीं हैं? सबसे बुनियादी क्रियाएं हैं जोड़ और गुणा.

गणितज्ञों के लिए, "" और "घटाव" की अवधारणाएँ मौजूद नहीं हैं। मान लीजिए: यदि आप पाँच में से तीन घटा दें, तो आपके पास दो बचेंगे। घटाव इसी तरह दिखता है। हालाँकि, गणितज्ञ इसे इस प्रकार लिखेंगे:

इस प्रकार, यह पता चलता है कि अज्ञात अंतर एक निश्चित संख्या है जिसे 5 प्राप्त करने के लिए 3 में जोड़ने की आवश्यकता है। यानी, आपको कुछ भी घटाने की आवश्यकता नहीं है, आपको बस उचित संख्या खोजने की आवश्यकता है। यह नियम जोड़ने पर लागू होता है.

चीजें थोड़ी अलग हैं गुणा और भाग के नियम.यह ज्ञात है कि शून्य से गुणा करने पर शून्य परिणाम प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, यदि 3:0=x, तो यदि आप प्रविष्टि को उल्टा करते हैं, तो आपको 3*x=0 मिलता है। और किसी संख्या को 0 से गुणा करने पर गुणनफल में शून्य आएगा। इससे पता चलता है कि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो शून्य वाले गुणनफल में शून्य के अलावा कोई अन्य मान दे। इसका मतलब यह है कि शून्य से विभाजन निरर्थक है, यानी यह हमारे नियम के अनुकूल है।

लेकिन यदि आप शून्य को स्वयं से विभाजित करने का प्रयास करें तो क्या होगा? आइए कुछ अनिश्चित संख्या को x के रूप में लें। परिणामी समीकरण 0*x=0 है। इसे सुलझाया जा सकता है.

यदि हम x के स्थान पर शून्य लेने का प्रयास करें तो हमें 0:0=0 प्राप्त होगा। यह तर्कसंगत प्रतीत होगा? लेकिन यदि हम x के स्थान पर कोई अन्य संख्या, उदाहरण के लिए, 1, लेने का प्रयास करें, तो हमें 0:0=1 प्राप्त होगा। यदि हम कोई अन्य संख्या लेंगे तो भी यही स्थिति होगी इसे समीकरण में प्लग करें.

इस मामले में, यह पता चलता है कि हम किसी अन्य संख्या को एक कारक के रूप में ले सकते हैं। परिणाम विभिन्न संख्याओं की अनंत संख्या होगी। कभी-कभी उच्च गणित में 0 से विभाजन अभी भी समझ में आता है, लेकिन फिर आमतौर पर एक निश्चित स्थिति दिखाई देती है, जिसके कारण हम अभी भी एक उपयुक्त संख्या चुन सकते हैं। इस क्रिया को "अनिश्चितता प्रकटीकरण" कहा जाता है। सामान्य अंकगणित में, शून्य से विभाजन फिर से अपना अर्थ खो देगा, क्योंकि हम सेट में से एक संख्या नहीं चुन पाएंगे।

महत्वपूर्ण!आप शून्य को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते.

शून्य और अनंत

उच्च गणित में अनन्तता बहुत बार पाई जा सकती है। चूँकि स्कूली बच्चों के लिए यह जानना बिल्कुल भी महत्वपूर्ण नहीं है कि अनंत के साथ गणितीय संक्रियाएँ भी होती हैं, शिक्षक बच्चों को ठीक से यह नहीं समझा पाते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव क्यों है।

छात्र संस्थान के प्रथम वर्ष में ही बुनियादी गणितीय रहस्य सीखना शुरू कर देते हैं। उच्च गणित समस्याओं का एक बड़ा समूह प्रदान करता है जिनका कोई समाधान नहीं है। सबसे प्रसिद्ध समस्याएँ अनन्तता वाली समस्याएँ हैं। इनका प्रयोग कर समाधान किया जा सकता है गणितीय विश्लेषण।

अनंत पर भी लागू किया जा सकता है प्रारंभिक गणितीय संक्रियाएँ:जोड़, संख्या से गुणा। आमतौर पर वे घटाव और भाग का भी उपयोग करते हैं, लेकिन अंत में वे फिर भी दो सरल संक्रियाओं तक ही सीमित रह जाते हैं।

लेकिन क्या होगा अगर तुम कोशिश करो:

• अनंत को शून्य से गुणा किया गया. सैद्धांतिक रूप से, यदि हम किसी संख्या को शून्य से गुणा करने का प्रयास करें तो हमें शून्य प्राप्त होगा। लेकिन अनंत संख्याओं का एक अनिश्चित समूह है। चूँकि हम इस सेट से एक संख्या नहीं चुन सकते हैं, अभिव्यक्ति ∞*0 का कोई समाधान नहीं है और यह बिल्कुल अर्थहीन है।
• शून्य को अनंत से विभाजित किया गया. ऊपर जैसी ही कहानी यहां भी हो रही है. हम एक संख्या नहीं चुन सकते, जिसका अर्थ है कि हम नहीं जानते कि किससे भाग देना है। अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है.

महत्वपूर्ण!अनन्तता अनिश्चितता से थोड़ी अलग है! अनंतता अनिश्चितता के प्रकारों में से एक है।

आइए अब अनंत को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करें। ऐसा प्रतीत होगा कि अनिश्चितता होनी चाहिए। लेकिन यदि हम भाग को गुणन से बदलने का प्रयास करें तो हमें एक बहुत ही निश्चित उत्तर मिलता है।

उदाहरण के लिए: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

यह इस प्रकार निकलता है गणितीय विरोधाभास.

आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते इसका उत्तर

सोचा प्रयोग, शून्य से विभाजित करने का प्रयास कर रहा हूँ

निष्कर्ष

तो, अब हम जानते हैं कि केवल एक को छोड़कर, शून्य लगभग सभी ऑपरेशनों के अधीन है, जिनके साथ प्रदर्शन किया जाता है। आप केवल इसलिए शून्य से भाग नहीं दे सकते क्योंकि परिणाम अनिश्चितता है। हमने यह भी सीखा कि शून्य और अनन्त के साथ संक्रियाएँ कैसे की जाती हैं। ऐसे कार्यों का परिणाम अनिश्चितता होगा.

यदि किसी संख्या को अनंत से विभाजित किया जाए तो क्या भागफल शून्य हो जाएगा? अंदर जारी रखा और सबसे अच्छा उत्तर मिला

उत्तर से ओलेन्का[नौसिखिया]
सभी 0
क्रैब आर्क
आकाशवाणी
(56636)
नहीं। बिल्कुल शून्य. जैसे-जैसे भाजक अनंत की ओर प्रवृत्त होगा, भागफल शून्य की ओर प्रवृत्त होगा। और, यदि हम अनंत की ओर प्रवृत्त किसी संख्या से नहीं, बल्कि अनंत से ही विभाजित करते हैं (वैसे, अधिक सटीक होने के लिए, इसे आधिकारिक तौर पर एक संख्या नहीं माना जाता है, लेकिन एक विशेष प्रतीक माना जाता है जो संख्याओं के पदनाम को पूरक करता है) - बिल्कुल शून्य.

उत्तर से इयूगेस व्लादिमीर[गुरु]
यदि आप शून्य को भाग दें, भले ही आप इसे किसी भी संख्या से गुणा करें, फिर भी यह शून्य ही होगा!

उत्तर से 1 23 [गुरु]
यदि कोई चीज़ शून्य की ओर प्रवृत्त होती है, तो उसे किसी परिमित (एक संख्या या एक सीमित फ़ंक्शन) से गुणा करना बेकार है, क्योंकि हर चीज़ शून्य की ओर प्रवृत्त होती है।
लेकिन यदि आप इसे किसी ऐसी चीज़ से गुणा करते हैं जो अनंत की ओर जाती है, तो विकल्प हो सकते हैं।

उत्तर से क्रैब आर्क[गुरु]
जब किसी संख्या को अनंत से विभाजित किया जाता है तो परिणाम शून्य होता है। बिल्कुल शून्य, कोई "शून्य की ओर प्रयास" नहीं। और फिर, चाहे आप इसे किसी भी संख्या से गुणा करें, शून्य। और शून्य को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाजित करने पर परिणाम शून्य होगा, केवल शून्य को शून्य से विभाजित करने पर परिणाम परिभाषित नहीं होता है, क्योंकि कोई भी संख्या भागफल के रूप में उपयुक्त होगी।

संख्या 0 की कल्पना वास्तविक संख्याओं की दुनिया को काल्पनिक या नकारात्मक संख्याओं से अलग करने वाली एक निश्चित सीमा के रूप में की जा सकती है। अस्पष्ट स्थिति के कारण, इस संख्यात्मक मान वाले कई ऑपरेशन गणितीय तर्क का पालन नहीं करते हैं। शून्य से विभाजित करने की असंभवता इसका एक प्रमुख उदाहरण है। और शून्य के साथ अनुमत अंकगणितीय संचालन आम तौर पर स्वीकृत परिभाषाओं का उपयोग करके किया जा सकता है।

शून्य का इतिहास

शून्य सभी मानक संख्या प्रणालियों में संदर्भ बिंदु है। यूरोपीय लोगों ने अपेक्षाकृत हाल ही में इस संख्या का उपयोग करना शुरू किया, लेकिन यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा खाली संख्या का नियमित रूप से उपयोग किए जाने से एक हजार साल पहले प्राचीन भारत के ऋषियों ने शून्य का उपयोग किया था। भारतीयों से पहले भी, माया संख्यात्मक प्रणाली में शून्य एक अनिवार्य मान था। इन अमेरिकी लोगों ने ग्रहणी संख्या प्रणाली का उपयोग किया, और प्रत्येक महीने का पहला दिन शून्य से शुरू होता था। यह दिलचस्प है कि मायाओं के बीच "शून्य" को दर्शाने वाला चिन्ह "अनंत" को दर्शाने वाले चिन्ह से पूरी तरह मेल खाता है। इस प्रकार, प्राचीन मायाओं ने निष्कर्ष निकाला कि ये मात्राएँ समान और अज्ञात हैं।

शून्य के साथ गणितीय संक्रियाएँ

शून्य के साथ मानक गणितीय संक्रियाओं को कुछ नियमों तक कम किया जा सकता है।

जोड़: यदि आप किसी मनमानी संख्या में शून्य जोड़ते हैं, तो इससे उसका मान (0+x=x) नहीं बदलेगा।

घटाव: जब आप किसी संख्या से शून्य घटाते हैं, तो घटाव का मान अपरिवर्तित रहता है (x-0=x)।

गुणन: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 (a*0=0) प्राप्त होता है।

भाग: शून्य को किसी भी ऐसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है जो शून्य के बराबर न हो। इस स्थिति में, ऐसे भिन्न का मान 0 होगा। और शून्य से विभाजन निषिद्ध है।

घातांक। यह क्रिया किसी भी संख्या के साथ की जा सकती है. एक मनमानी संख्या को शून्य घात तक बढ़ाने पर 1 (x 0 =1) प्राप्त होगा।

किसी भी घात का शून्य 0 (0 a = 0) के बराबर होता है।

इस मामले में, तुरंत एक विरोधाभास उत्पन्न होता है: अभिव्यक्ति 0 0 का कोई मतलब नहीं है।

गणित के विरोधाभास

बहुत से लोग स्कूल से जानते हैं कि शून्य से भाग देना असंभव है। लेकिन किसी कारण से इस तरह के प्रतिबंध का कारण बताना असंभव है। वास्तव में, शून्य से विभाजित करने का सूत्र मौजूद क्यों नहीं है, लेकिन इस संख्या के साथ अन्य क्रियाएं काफी उचित और संभव हैं? इस प्रश्न का उत्तर गणितज्ञों द्वारा दिया गया है।

बात यह है कि स्कूली बच्चे प्राथमिक विद्यालय में जो सामान्य अंकगणितीय संक्रियाएँ सीखते हैं, वास्तव में, वे उतनी समान नहीं हैं जितना हम सोचते हैं। सभी सरल संख्या संक्रियाओं को दो तक घटाया जा सकता है: जोड़ और गुणा। ये क्रियाएं संख्या की अवधारणा का सार बनाती हैं, और अन्य परिचालन इन दोनों के उपयोग पर निर्मित होते हैं।

जोड़ और गुणा

आइए एक मानक घटाव उदाहरण लें: 10-2=8। स्कूल में वे इसे सरलता से मानते हैं: यदि आप दस विषयों में से दो घटा दें, तो आठ बच जाते हैं। लेकिन गणितज्ञ इस ऑपरेशन को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। आख़िरकार, घटाव जैसा कोई ऑपरेशन उनके लिए मौजूद नहीं है। इस उदाहरण को दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: x+2=10. गणितज्ञों के लिए, अज्ञात अंतर केवल वह संख्या है जिसे आठ बनाने के लिए दो में जोड़ने की आवश्यकता होती है। और यहां किसी घटाव की आवश्यकता नहीं है, आपको बस उचित संख्यात्मक मान ज्ञात करने की आवश्यकता है।

गुणा और भाग को एक समान माना जाता है। उदाहरण 12:4=3 में आप समझ सकते हैं कि हम आठ वस्तुओं को दो बराबर ढेरों में विभाजित करने के बारे में बात कर रहे हैं। लेकिन वास्तव में, यह 3x4 = 12 लिखने का एक उलटा सूत्र मात्र है। विभाजन के ऐसे उदाहरण अनगिनत दिए जा सकते हैं।

0 से विभाजन के उदाहरण

यहीं पर यह थोड़ा स्पष्ट हो जाता है कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते। शून्य से गुणा और भाग अपने नियमों का पालन करते हैं। इस मात्रा को विभाजित करने के सभी उदाहरण 6:0 = x के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। लेकिन यह अभिव्यक्ति 6 ​​* x=0 का उलटा अंकन है। लेकिन, जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर गुणनफल में केवल 0 आता है। यह गुण शून्य मान की अवधारणा में अंतर्निहित है।

इससे पता चलता है कि ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे 0 से गुणा करने पर कोई ठोस मान मिले, यानी इस समस्या का कोई समाधान नहीं है। आपको इस उत्तर से डरना नहीं चाहिए; यह इस प्रकार की समस्याओं के लिए एक स्वाभाविक उत्तर है। बात बस इतनी है कि 6:0 रिकॉर्ड का कोई मतलब नहीं है और यह कुछ भी स्पष्ट नहीं कर सकता। संक्षेप में, इस अभिव्यक्ति को अमर "शून्य से विभाजन असंभव है" द्वारा समझाया जा सकता है।

क्या कोई 0:0 ऑपरेशन है? दरअसल, यदि 0 से गुणा करने की प्रक्रिया कानूनी है, तो क्या शून्य को शून्य से विभाजित किया जा सकता है? आख़िरकार, 0x 5=0 के रूप का एक समीकरण काफी कानूनी है। अंक 5 के स्थान पर आप 0 लगा सकते हैं, गुणनफल नहीं बदलेगा।

दरअसल, 0x0=0. लेकिन आप अभी भी 0 से विभाजित नहीं कर सकते। जैसा कि कहा गया है, विभाजन केवल गुणन का उलटा है। इस प्रकार, यदि उदाहरण 0x5=0 में, आपको दूसरा कारक निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो हमें 0x0=5 मिलता है। या 10. या अनंत. अनंत को शून्य से विभाजित करना - आपको यह कैसा लगा?

लेकिन यदि कोई संख्या अभिव्यक्ति में फिट बैठती है, तो इसका कोई मतलब नहीं है; हम अनंत संख्याओं में से केवल एक को नहीं चुन सकते हैं। और यदि हां, तो इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 0:0 का कोई मतलब नहीं है। इससे पता चलता है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता।

उच्च गणित

शून्य से भाग करना हाई स्कूल गणित के लिए एक सिरदर्द है। तकनीकी विश्वविद्यालयों में अध्ययन किया जाने वाला गणितीय विश्लेषण उन समस्याओं की अवधारणा को थोड़ा विस्तारित करता है जिनका कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, पहले से ज्ञात अभिव्यक्ति 0:0 में नए जोड़े गए हैं, जिनका स्कूली गणित पाठ्यक्रमों में समाधान नहीं है:

• अनंत को अनंत से विभाजित किया गया: ∞:∞;
• अनंत घटा अनंत: ∞−∞;
• इकाई को अनंत शक्ति तक बढ़ाया गया: 1 ∞ ;
• अनंत को 0 से गुणा किया गया: ∞*0;
• कुछ दुसरे।

प्राथमिक विधियों का उपयोग करके ऐसे भावों को हल करना असंभव है। लेकिन उच्च गणित, कई समान उदाहरणों के लिए अतिरिक्त संभावनाओं के लिए धन्यवाद, अंतिम समाधान प्रदान करता है। यह सीमा के सिद्धांत से समस्याओं पर विचार करते समय विशेष रूप से स्पष्ट है।

अनिश्चितता को खोलना

सीमा के सिद्धांत में, मान 0 को एक सशर्त अतिसूक्ष्म चर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। और वे भाव जिनमें वांछित मान को प्रतिस्थापित करने पर शून्य से विभाजन प्राप्त होता है, रूपांतरित हो जाते हैं। सामान्य बीजगणितीय परिवर्तनों का उपयोग करके सीमा का विस्तार करने का एक मानक उदाहरण नीचे दिया गया है:

जैसा कि आप उदाहरण में देख सकते हैं, किसी भिन्न को कम करने मात्र से उसका मान पूरी तरह से तर्कसंगत उत्तर तक पहुंच जाता है।

त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमाओं पर विचार करते समय, उनकी अभिव्यक्तियाँ पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम हो जाती हैं। उन सीमाओं पर विचार करते समय जिनमें एक सीमा प्रतिस्थापित करने पर हर 0 हो जाता है, एक दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग किया जाता है।

एल हॉस्पिटल विधि

कुछ मामलों में, अभिव्यक्ति की सीमा को उनके व्युत्पन्न की सीमा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। गिलाउम एल'हॉपिटल - फ्रांसीसी गणितज्ञ, गणितीय विश्लेषण के फ्रांसीसी स्कूल के संस्थापक। उन्होंने सिद्ध किया कि अभिव्यक्तियों की सीमाएँ इन अभिव्यक्तियों के व्युत्पत्तियों की सीमाओं के बराबर हैं। गणितीय अंकन में उनका नियम इस प्रकार दिखता है।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न दूर तक नहीं गिरता है, और एल'हॉपिटल के नियमों के मामले में यह बिल्कुल उसी स्थान पर पड़ता है जहां मूल फ़ंक्शन गिरता है। यह परिस्थिति फॉर्म 0/0 या ∞/∞ की अनिश्चितताओं और गणना करते समय उत्पन्न होने वाली कुछ अन्य अनिश्चितताओं को प्रकट करने में मदद करती है। आप LIMITदो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़े फलनों का संबंध। इस नियम का उपयोग करके गणना को बहुत सरल बनाया गया है (वास्तव में दो नियम और उन पर नोट्स):

जैसा कि ऊपर दिए गए सूत्र से पता चलता है, दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़े कार्यों के अनुपात की सीमा की गणना करते समय, दो कार्यों के अनुपात की सीमा को उनके अनुपात की सीमा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है डेरिवेटिवऔर इस प्रकार एक निश्चित परिणाम प्राप्त करें।

आइए एल'हॉपिटल के नियमों के अधिक सटीक सूत्रीकरण की ओर आगे बढ़ें।

दो अतिसूक्ष्म मात्राओं की सीमा के मामले के लिए एल'हॉपिटल का नियम. चलो कार्य करें एफ(एक्स) और जी(एक्स ए. और बिल्कुल बिंदु पर ए एकिसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न जी(एक्स) शून्य नहीं है ( जी"(एक्स एएक दूसरे के बराबर और शून्य के बराबर हैं:

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दो असीम बड़ी मात्राओं की सीमा के मामले के लिए एल'हॉपिटल का नियम. चलो कार्य करें एफ(एक्स) और जी(एक्स) बिंदु के कुछ पड़ोस में व्युत्पन्न (अर्थात, भिन्न) होते हैं ए. और बिल्कुल बिंदु पर एउनके पास डेरिवेटिव नहीं हो सकते हैं। इसके अलावा, बिंदु के आसपास के क्षेत्र में एकिसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न जी(एक्स) शून्य नहीं है ( जी"(एक्स)≠0) और इन कार्यों की सीमाएं x के रूप में बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की ओर प्रवृत्त होती हैं एएक दूसरे के बराबर और अनंत के बराबर हैं:

.

तब इन कार्यों के अनुपात की सीमा उनके डेरिवेटिव के अनुपात की सीमा के बराबर है:

दूसरे शब्दों में, फॉर्म 0/0 या ∞/∞ की अनिश्चितताओं के लिए, दो कार्यों के अनुपात की सीमा उनके डेरिवेटिव के अनुपात की सीमा के बराबर होती है, यदि उत्तरार्द्ध मौजूद है (परिमित, यानी, के बराबर) निश्चित संख्या, या अनंत, यानी अनंत के बराबर)।

टिप्पणियाँ.

1. L'Hopital के नियम तब भी लागू होते हैं जब कार्य होते हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स) कब परिभाषित नहीं हैं एक्स = ए.

2. यदि, कार्यों के व्युत्पन्न के अनुपात की सीमा की गणना करते समय एफ(एक्स) और जी(एक्स) हम फिर से फॉर्म 0/0 या ∞/∞ की अनिश्चितता पर आते हैं, तो एल'हॉपिटल के नियमों को बार-बार (कम से कम दो बार) लागू किया जाना चाहिए।

3. L'Hopital के नियम तब भी लागू होते हैं जब फ़ंक्शन का तर्क (x) एक सीमित संख्या की ओर नहीं जाता है ए, और अनंत तक ( एक्स → ∞).

अन्य प्रकार की अनिश्चितताओं को भी 0/0 और ∞/∞ प्रकार की अनिश्चितताओं तक कम किया जा सकता है।

"शून्य को शून्य से विभाजित" और "अनंत को अनंत से विभाजित" प्रकार की अनिश्चितताओं का खुलासा

उदाहरण 1।

एक्स=2 से 0/0 के रूप में अनिश्चितता उत्पन्न होती है। इसलिए, प्रत्येक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त किया जाता है

बहुपद के व्युत्पन्न की गणना अंश में और हर में की गई थी - एक जटिल लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. अंतिम समान चिह्न से पहले, सामान्य आप LIMIT, एक X के स्थान पर दो प्रतिस्थापित करना।

उदाहरण 2. L'Hopital के नियम का उपयोग करके दो कार्यों के अनुपात की सीमा की गणना करें:

समाधान। किसी दिए गए फ़ंक्शन में किसी मान को प्रतिस्थापित करना एक्स

उदाहरण 3. L'Hopital के नियम का उपयोग करके दो कार्यों के अनुपात की सीमा की गणना करें:

समाधान। किसी दिए गए फ़ंक्शन में किसी मान को प्रतिस्थापित करना एक्स=0 के कारण 0/0 के रूप में अनिश्चितता उत्पन्न होती है। इसलिए, हम अंश और हर में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं और प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4.गणना

समाधान। किसी दिए गए फ़ंक्शन में प्लस इनफिनिटी के बराबर मान x को प्रतिस्थापित करने से फॉर्म ∞/∞ की अनिश्चितता हो जाती है। इसलिए, हम L'Hopital का नियम लागू करते हैं:

टिप्पणी। आइए उन उदाहरणों पर चलते हैं जिनमें एल'हॉपिटल के नियम को दो बार लागू करना पड़ता है, यानी दूसरे डेरिवेटिव के अनुपात की सीमा तक आने के लिए, क्योंकि पहले डेरिवेटिव के अनुपात की सीमा फॉर्म 0 की अनिश्चितता है /0 या ∞/∞.

"शून्य गुणा अनंत" रूप की अनिश्चितताओं को उजागर करना

उदाहरण 12.गणना

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समाधान। हम पाते हैं

यह उदाहरण त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करता है।

"शून्य से शून्य की घात", "अनंत से शून्य की घात" और "एक से अनंत की घात" प्रकार की अनिश्चितताओं का खुलासा

फॉर्म की अनिश्चितताएं, या आमतौर पर फॉर्म के किसी फ़ंक्शन का लघुगणक लेकर फॉर्म 0/0 या ∞/∞ तक कम कर दी जाती हैं

किसी अभिव्यक्ति की सीमा की गणना करने के लिए, आपको लघुगणक पहचान का उपयोग करना चाहिए, जिसका एक विशेष मामला लघुगणक की संपत्ति है .

लघुगणकीय पहचान और किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की संपत्ति (सीमा के चिह्न से परे जाने के लिए) का उपयोग करते हुए, सीमा की गणना निम्नानुसार की जानी चाहिए:

अलग से, आपको घातांक और निर्माण में अभिव्यक्ति की सीमा का पता लगाना चाहिए इपाई गई डिग्री के लिए.

उदाहरण 13.

समाधान। हम पाते हैं

.

.

उदाहरण 14.एल'हॉपिटल के नियम का उपयोग करके गणना करें

समाधान। हम पाते हैं

घातांक में किसी अभिव्यक्ति की सीमा की गणना करें

.

.

उदाहरण 15.एल'हॉपिटल के नियम का उपयोग करके गणना करें

सीमाएँ हल करने की विधियाँ। अनिश्चितताएँ।
फ़ंक्शन के विकास का क्रम. प्रतिस्थापन विधि

उदाहरण 4

सीमा ज्ञात करें

यह स्वयं हल करने का एक सरल उदाहरण है। प्रस्तावित उदाहरण में फिर से अनिश्चितता है (मूल की तुलना में विकास के उच्च क्रम की)।

यदि "x" "माइनस इनफिनिटी" की ओर प्रवृत्त होता है

इस लेख में "माइनस इन्फिनिटी" का भूत काफी समय से मंडरा रहा है। आइए हम उन बहुपदों की सीमाओं पर विचार करें जिनमें . कई बारीकियों को छोड़कर, समाधान के सिद्धांत और तरीके पाठ के पहले भाग के समान ही होंगे।

आइए उन 4 तरकीबों पर नज़र डालें जिनकी व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यकता होगी:

1) सीमा की गणना करें

सीमा का मूल्य केवल पद पर निर्भर करता है क्योंकि इसमें वृद्धि का क्रम उच्चतम है। तो अगर मापांक में असीम रूप से बड़ा EVEN घात के लिए ऋणात्मक संख्या, इस मामले में - चौथे में, "प्लस इनफिनिटी" के बराबर है:। लगातार ("दो") सकारात्मक, इसीलिए:

2) सीमा की गणना करें

यहाँ फिर से वरिष्ठ डिग्री है यहां तक ​​की, इसीलिए: । लेकिन इसके सामने एक "माइनस" है ( नकारात्मकस्थिरांक -1), इसलिए:

3) सीमा की गणना करें

सीमा मान केवल पर निर्भर करता है। जैसा कि आपको स्कूल से याद है, "माइनस" विषम डिग्री के नीचे से "छलांग" लगाता है, इसलिए मापांक में असीम रूप से बड़ाविषम घात के लिए ऋणात्मक संख्याइस मामले में "माइनस इनफिनिटी" के बराबर है:।
लगातार ("चार") सकारात्मक, मतलब:

4) सीमा की गणना करें

गाँव का पहला आदमी फिर से है विषमडिग्री, इसके अलावा, छाती में नकारात्मकस्थिरांक, जिसका अर्थ है: इस प्रकार:
.

उदाहरण 5

सीमा ज्ञात करें

उपरोक्त बिंदुओं का उपयोग करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि यहां अनिश्चितता है। अंश और हर वृद्धि के समान क्रम के हैं, जिसका अर्थ है कि सीमा में परिणाम एक सीमित संख्या होगी। आइए सभी फ्राई को हटाकर इसका उत्तर जानें:

समाधान तुच्छ है:

उदाहरण 6

सीमा ज्ञात करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

और अब, शायद, सबसे सूक्ष्म मामले:

उदाहरण 7

सीमा ज्ञात करें

प्रमुख शर्तों पर विचार करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि यहां अनिश्चितता है। अंश हर की तुलना में वृद्धि के उच्च क्रम का है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि सीमा अनंत के बराबर है। लेकिन किस प्रकार की अनंतता, "प्लस" या "माइनस"? तकनीक वही है - आइए अंश और हर में छोटी चीज़ों से छुटकारा पाएं:

हमने निर्णय किया:

अंश और हर को इससे विभाजित करें

उदाहरण 15

सीमा ज्ञात करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन के विषय पर कुछ और दिलचस्प उदाहरण:

उदाहरण 16

सीमा ज्ञात करें

सीमा में एकता को प्रतिस्थापित करने पर अनिश्चितता प्राप्त होती है। चर को बदलना पहले से ही स्वयं सुझाता है, लेकिन पहले हम सूत्र का उपयोग करके स्पर्शरेखा को बदलते हैं। वास्तव में, हमें स्पर्शरेखा की आवश्यकता क्यों है?

ध्यान दें, इसलिए. यदि यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, तो साइन मानों को देखें त्रिकोणमितीय तालिका. इस प्रकार, हम तुरंत गुणक से छुटकारा पा लेते हैं, इसके अलावा, हमें 0:0 की अधिक परिचित अनिश्चितता प्राप्त होती है। यह अच्छा होगा यदि हमारी सीमा शून्य हो जाए।

आइए प्रतिस्थापित करें:

तो अगर

कोसाइन के अंतर्गत हमारे पास "x" है, जिसे "te" के माध्यम से भी व्यक्त करने की आवश्यकता है।
प्रतिस्थापन से हम व्यक्त करते हैं: .

हम समाधान पूरा करते हैं:

(1) हम प्रतिस्थापन करते हैं

(2) कोज्या के नीचे कोष्ठक खोलें।

(4) संगठित करना पहली अद्भुत सीमा, अंश को कृत्रिम रूप से व्युत्क्रम संख्या से गुणा करें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उदाहरण 17

सीमा ज्ञात करें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

ये उनकी कक्षा में सरल कार्य थे, व्यवहार में सब कुछ बदतर हो सकता है, और, इसके अलावा कमी सूत्र, आपको विभिन्न प्रकार का उपयोग करना होगा त्रिकोणमितीय सूत्र, साथ ही अन्य तरकीबें भी। कॉम्प्लेक्स लिमिट्स लेख में मैंने कुछ वास्तविक उदाहरण देखे =)

छुट्टी की पूर्व संध्या पर, हम अंततः एक और सामान्य अनिश्चितता के साथ स्थिति स्पष्ट करेंगे:

अनिश्चितता का उन्मूलन "अनंत की शक्ति में से एक"

यह अनिश्चितता "परोषित" है दूसरी अद्भुत सीमा, और उस पाठ के दूसरे भाग में हमने समाधानों के मानक उदाहरणों पर विस्तार से ध्यान दिया जो अधिकांश मामलों में व्यवहार में पाए जाते हैं। अब प्रतिपादकों के साथ चित्र पूरा हो जाएगा, इसके अलावा, पाठ के अंतिम कार्य "नकली" सीमाओं के लिए समर्पित होंगे, जिसमें ऐसा लगता है कि दूसरी अद्भुत सीमा को लागू करना आवश्यक है, हालांकि यह बिल्कुल भी नहीं है मामला।

दूसरी उल्लेखनीय सीमा के लिए दो कार्य सूत्रों का नुकसान यह है कि तर्क को "प्लस इनफिनिटी" या शून्य की ओर जाना चाहिए। लेकिन क्या होगा यदि तर्क किसी भिन्न संख्या की ओर प्रवृत्त हो?

एक सार्वभौमिक सूत्र बचाव के लिए आता है (जो वास्तव में दूसरी उल्लेखनीय सीमा का परिणाम है):

सूत्र का उपयोग करके अनिश्चितता को समाप्त किया जा सकता है:

कहीं न कहीं मुझे लगता है कि मैंने पहले ही बता दिया है कि वर्गाकार कोष्ठक का क्या मतलब है। कुछ विशेष नहीं, कोष्ठक तो कोष्ठक ही हैं। इनका उपयोग आमतौर पर गणितीय संकेतन को अधिक स्पष्ट रूप से उजागर करने के लिए किया जाता है।

आइए सूत्र के आवश्यक बिंदुओं पर प्रकाश डालें:

1) इसके बारे में है केवल अनिश्चितता के बारे में और कुछ नहीं.

2) "x" तर्क की ओर रुझान हो सकता है मनमाना मूल्य(और केवल शून्य या नहीं), विशेष रूप से, "माइनस इनफिनिटी" या कोई भीसमापिका।

इस सूत्र का उपयोग करके आप पाठ के सभी उदाहरणों को हल कर सकते हैं। अद्भुत सीमाएँ, जो दूसरी उल्लेखनीय सीमा से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, आइए सीमा की गणना करें:

इस मामले में , और सूत्र के अनुसार:

सच है, मैं ऐसा करने की अनुशंसा नहीं करता; परंपरा अभी भी समाधान के "सामान्य" डिज़ाइन का उपयोग करने की है, यदि इसे लागू किया जा सकता है। तथापि सूत्र का उपयोग करके इसे जांचना बहुत सुविधाजनक हैदूसरी उल्लेखनीय सीमा तक "शास्त्रीय" उदाहरण।