"द प्लेज़र ऑफ़ एक्स" ऑनलाइन पढ़ें। स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ - प्लेज़र ऑफ़ एक्स

यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

क्वांटा

स्कॉट पैटरसन

brainiac

केन जेनिंग्स

मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीली चेतना

कैरल ड्वेक

शेयर बाज़ार का भौतिकी

जेम्स वेदरॉल

की ख़ुशी एक्स

एक से अनंत तक, गणित का एक निर्देशित दौरा

स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

का आनंद एक्स

दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक की गणित की दुनिया में एक दिलचस्प यात्रा

प्रकाशक से जानकारी

पहली बार रूसी भाषा में प्रकाशित

स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, सी/ओ ब्रॉकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

स्ट्रोगेट्ज़, पी.

का आनंद एक्स. दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक / स्टीफन स्ट्रोगेट्ज़ की गणित की दुनिया में एक आकर्षक यात्रा; गली अंग्रेज़ी से - एम.: मान, इवानोव और फ़ेबर, 2014।

आईएसबीएन 978-500057-008-1

यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदल सकती है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएँ कितनी उपयोगी हैं, आप ज्यामिति की सुंदरता को समझेंगे, आप इंटीग्रल कैलकुलस की कृपा से परिचित होंगे, आप सांख्यिकी के महत्व के बारे में आश्वस्त होंगे और आप अनंत के संपर्क में आएंगे। . लेखक बुनियादी गणितीय विचारों को शानदार उदाहरणों के साथ सरलता और सुंदरता से समझाता है, जिसे हर कोई समझ सकता है।

कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक का कोई भी भाग किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

प्रकाशन गृह के लिए कानूनी सहायता वेगास-लेक्स लॉ फर्म द्वारा प्रदान की जाती है।

प्रस्तावना

मेरा एक मित्र है, जो अपनी कला के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम इकट्ठे होते हैं, वह मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में उत्साहपूर्वक बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित के बारे में बात करना शुरू करते हैं, उसके घुटनों में कंपन होने लगता है, जिससे वह काफी परेशान हो जाता है। उनकी शिकायत है कि न केवल ये अजीब गणितीय प्रतीक उनकी समझ को ख़राब करते हैं, बल्कि कभी-कभी उन्हें यह भी नहीं पता होता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, उनके गणित को अस्वीकार करने का कारण बहुत गहरा है। उसे कोई अंदाजा नहीं होगा कि गणितज्ञ आम तौर पर क्या करते हैं और जब वे कहते हैं कि दिया गया प्रमाण सुरुचिपूर्ण है तो उनका क्या मतलब है। कभी-कभी हम मज़ाक करते हैं कि मुझे बस बैठकर उसे बुनियादी बातों से पढ़ाना शुरू करना होगा, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2, और गणित में जितना हो सके उतना गहराई तक जाना होगा।

और यद्यपि यह विचार पागलपन भरा लगता है, मैं इस पुस्तक में बिल्कुल यही लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं अंकगणित से लेकर उच्च गणित तक, विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के बारे में आपका मार्गदर्शन करूंगा, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे वे अंततः इसका लाभ उठा सकें। और इस बार आपको डेस्क पर नहीं बैठना पड़ेगा. यह किताब आपको गणित विशेषज्ञ नहीं बनाएगी. लेकिन इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि यह अनुशासन क्या अध्ययन करता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना आकर्षक क्यों है।

हम पता लगाएंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक बुनियादी कैलकुलस को समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और अद्भुत तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे का स्थान कैसे बदलें ताकि वह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी करने से पहले कितने साझेदारों को बदलने की आवश्यकता होती है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ अनन्तताएँ दूसरों की तुलना में बड़ी होती हैं।

गणित हर जगह है, बस आपको इसे पहचानना सीखना होगा। आप ज़ेबरा की पीठ पर साइन लहर देख सकते हैं, स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूँ, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की शुष्क रिपोर्टों में भी नकारात्मक संख्याएँ हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करके रेस्तरां खोजते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या इससे भी बेहतर, शेयर बाजार के भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।

जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "गणित के बुनियादी सिद्धांत" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, कई छात्रों और शिक्षकों सहित सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियाँ आने लगीं। ऐसे जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से गणितीय विज्ञान को समझने में "अपना रास्ता भूल गए" थे; अब उन्हें लगा कि उनसे कुछ चूक गया है हेबढ़िया, और पुनः प्रयास करना चाहूँगा। मैं विशेष रूप से अपने माता-पिता के आभार से प्रसन्न हुआ क्योंकि मेरी मदद से, वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम हुए, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे सहकर्मियों और साथियों, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, ने भी लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरे दिमाग की उपज को बेहतर बनाने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशें देने के लिए एक-दूसरे के साथ होड़ की।

आम धारणा के बावजूद, समाज में गणित के प्रति स्पष्ट रुचि है, हालाँकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम सभी गणित के डर के बारे में सुनते हैं, और फिर भी कई लोग इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करना पसंद करेंगे। और एक बार ऐसा हो गया तो उन्हें तोड़ना मुश्किल हो जाएगा।

यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के सबसे जटिल और उन्नत विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं और विशेष रूप से एक-दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। इनमें वे भी शामिल हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की उस पहली श्रृंखला में शामिल थे। इसलिए, जैसे ही आपको थोड़ी गणितीय भूख महसूस हो, अगला अध्याय लेने में संकोच न करें। यदि आप उस मुद्दे को अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में अतिरिक्त जानकारी और अनुशंसाओं वाले नोट्स हैं कि आप इसके बारे में और क्या पढ़ सकते हैं।

चरण-दर-चरण दृष्टिकोण पसंद करने वाले पाठकों की सुविधा के लिए, मैंने विषयों के अध्ययन के पारंपरिक क्रम के अनुसार सामग्री को छह भागों में विभाजित किया है।

भाग I, संख्याएँ, किंडरगार्टन और प्राथमिक विद्यालय में अंकगणित के साथ हमारी यात्रा शुरू करती है। यह दर्शाता है कि संख्याएँ कितनी उपयोगी हो सकती हैं और वे हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने में कितनी जादुई रूप से प्रभावी हैं।

भाग II, "अनुपात", संख्याओं से ध्यान हटाकर उनके बीच के संबंधों की ओर ले जाता है। ये विचार बीजगणित के केंद्र में हैं और यह वर्णन करने वाले पहले उपकरण हैं कि एक चीज दूसरे को कैसे प्रभावित करती है, विभिन्न चीजों के कारण-और-प्रभाव संबंध को दर्शाती है: आपूर्ति और मांग, उत्तेजना और प्रतिक्रिया - संक्षेप में, सभी प्रकार की रिश्ते जो दुनिया को इतना समृद्ध और विविध बनाते हैं।

भाग III "आंकड़े" संख्याओं और प्रतीकों के बारे में नहीं, बल्कि आकृतियों और स्थान के बारे में बताता है - ज्यामिति और त्रिकोणमिति का क्षेत्र। आकार, तार्किक तर्क और प्रमाण के माध्यम से सभी अवलोकन योग्य वस्तुओं के विवरण के साथ ये विषय गणित को सटीकता के एक नए स्तर पर ले जाते हैं।

भाग IV, बदलाव का समय में, हम कैलकुलस को देखेंगे, जो गणित की सबसे रोमांचक और विविध शाखा है। कैलकुलस ग्रहों के प्रक्षेप पथ, ज्वार-भाटा के चक्र की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है और ब्रह्मांड और हमारे भीतर सभी समय-समय पर बदलती प्रक्रियाओं और घटनाओं को समझना और उनका वर्णन करना संभव बनाता है। इस भाग में अनंत के अध्ययन को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया गया है, जिसकी शांति एक ऐसी सफलता बन गई जिसने गणनाओं को काम करने की अनुमति दी। कंप्यूटिंग ने प्राचीन दुनिया में उत्पन्न होने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद की और इससे अंततः विज्ञान और आधुनिक दुनिया में क्रांति आ गई।

भाग V, "डेटा के कई पहलू", संभाव्यता, सांख्यिकी, नेटवर्क और डेटा विज्ञान से संबंधित है - अभी भी अपेक्षाकृत नए क्षेत्र हैं, जो हमारे जीवन के कम-हमेशा व्यवस्थित पहलुओं से पैदा हुए हैं, जैसे कि अवसर और भाग्य, अनिश्चितता, जोखिम , परिवर्तनशीलता, अराजकता, अन्योन्याश्रयता। गणित के सही उपकरणों और उपयुक्त प्रकार के डेटा का उपयोग करके, हम यादृच्छिकता के प्रवाह में पैटर्न का पता लगाना सीखेंगे।

भाग VI, "संभावना की सीमाएं" में हमारी यात्रा के अंत में, हम गणितीय ज्ञान की सीमाओं तक पहुंचेंगे, जो पहले से ही ज्ञात है और जो अभी तक मायावी और अज्ञात है, उसके बीच का सीमा क्षेत्र। हम फिर से उन विषयों पर उसी क्रम में विचार करेंगे जिनसे हम पहले से परिचित हैं: संख्याएं, अनुपात, आंकड़े, परिवर्तन और अनंत - लेकिन साथ ही हम उनमें से प्रत्येक को उसके आधुनिक अवतार में अधिक गहराई से देखेंगे।

यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

क्वांटा

स्कॉट पैटरसन

brainiac

केन जेनिंग्स

मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीली चेतना

कैरल ड्वेक

शेयर बाज़ार का भौतिकी

जेम्स वेदरॉल

एक्स की खुशी

एक से अनंत तक, गणित का एक निर्देशित दौरा

स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

प्रकाशक से जानकारी

पहली बार रूसी भाषा में प्रकाशित

स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, सी/ओ ब्रॉकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

स्ट्रोगेट्ज़, पी.

द प्लेज़र ऑफ़ एक्स. दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक / स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ की ओर से गणित की दुनिया में एक आकर्षक यात्रा; गली अंग्रेज़ी से - एम.: मान, इवानोव और फ़ेबर, 2014।

आईएसबीएन 978-500057-008-1

प्रस्तावना

जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "गणित के बुनियादी सिद्धांत" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, कई छात्रों और शिक्षकों सहित सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियाँ आने लगीं। ऐसे जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से गणितीय विज्ञान को समझने में "अपना रास्ता भूल गए" थे; अब उन्हें लगा कि उनसे कुछ सार्थक छूट गया है और वे फिर से प्रयास करना चाहेंगे। मैं विशेष रूप से अपने माता-पिता के आभार से प्रसन्न हुआ क्योंकि मेरी मदद से, वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम हुए, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे सहकर्मियों और साथियों, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, ने भी लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरे दिमाग की उपज को बेहतर बनाने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशें देने के लिए एक-दूसरे के साथ होड़ की।

मुझे आशा है कि इस पुस्तक में वर्णित सभी विचार आपको आकर्षक लगेंगे और आपको एक से अधिक बार चिल्लाने पर मजबूर कर देंगे: "वाह!" लेकिन आपको हमेशा कहीं न कहीं से शुरुआत करनी होगी, तो आइए गिनती जैसी सरल लेकिन आकर्षक गतिविधि से शुरुआत करें।

1. संख्या मूल बातें: मछली जोड़ना

संख्या अवधारणाओं का सबसे अच्छा प्रदर्शन मैंने अब तक देखा है (संख्याएं क्या हैं और हमें उनकी आवश्यकता क्यों है इसका सबसे स्पष्ट और मजेदार विवरण) लोकप्रिय बच्चों के शो सेसम स्ट्रीट के 123: काउंटिंग टुगेदर "(123 काउंटर विद मी) नामक एपिसोड में था। एक्स...

हमारे आसपास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएँ कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता क्या है, अभिन्न संख्याएँ कितनी सुंदर हैं और सांख्यिकी कितनी महत्वपूर्ण है? स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ ने अपनी पुस्तक द प्लेज़र ऑफ एक्स में इस सब के बारे में बात की है। लेखक बुनियादी गणितीय विचारों को सरल और सुंदर ढंग से समझाता है, ऐसे उदाहरण प्रदान करता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है। साइट मान, इवानोव और फ़ेबर द्वारा प्रकाशित पुस्तक के अध्यायों में से एक को प्रकाशित करती है।

सांख्यिकी अचानक एक ट्रेंडी क्षेत्र बन गया। इंटरनेट, ई-कॉमर्स, सोशल नेटवर्क, मानव जीनोम परियोजना और सामान्य रूप से डिजिटल संस्कृति के विकास के साथ, दुनिया डेटा से अभिभूत हो गई है। विपणक हमारे स्वाद और आदतों का अध्ययन करते हैं। खुफिया एजेंसियां हमारी लोकेशन, ईमेल और फोन कॉल के बारे में जानकारी इकट्ठा करती हैं। खेल सांख्यिकीविद् यह तय करने के लिए संख्याओं की बाजीगरी करते हैं कि किस खिलाड़ी को खरीदना है, किसे ड्राफ्ट करना है और किसे बेंच देना है। हर कोई बिंदुओं को एक ग्राफ़ में जोड़ने और डेटा के अव्यवस्थित संग्रह में एक पैटर्न खोजने का प्रयास करता है।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि ये प्रवृत्तियाँ शिक्षण में परिलक्षित होती हैं। न्यूयॉर्क टाइम्स के एक कॉलम में हार्वर्ड यूनिवर्सिटी के अर्थशास्त्री ग्रेग मैनकीव ने चेतावनी देते हुए कहा, "आइए आंकड़ों पर नजर डालें।"

“हाई स्कूल गणित पाठ्यक्रम यूक्लिडियन ज्यामिति और त्रिकोणमिति जैसे पारंपरिक विषयों पर बहुत अधिक समय खर्च करता है। हालाँकि, औसत व्यक्ति के लिए उपयोगी ये मानसिक व्यायाम, रोजमर्रा की जिंदगी में बहुत कम उपयोग के होते हैं। संभाव्यता और सांख्यिकी के बारे में अधिक जानने से छात्रों को बहुत लाभ होगा। डेविड ब्रूक्स और भी आगे जाते हैं। एक अच्छी शिक्षा प्राप्त करने के लिए ध्यान देने योग्य विषयों पर अपने लेख में, वह लिखते हैं: “आंकड़े लीजिए। आप देखेंगे, यह पता चलेगा कि मानक विचलन क्या है यह जानना आपके लिए जीवन में बहुत उपयोगी होगा।

काफी संभावना है, और यह समझना भी एक अच्छा विचार है कि वितरण क्या है। यह पहली चीज़ है जिसके बारे में मैं बात करना चाहता हूँ। और मैं इस पर ध्यान केंद्रित करना चाहूंगा, क्योंकि यह आंकड़ों के मुख्य पाठों में से एक है: व्यक्तिगत रूप से देखने पर चीजें निराशाजनक रूप से यादृच्छिक और अप्रत्याशित लगती हैं, लेकिन एक साथ लेने पर वे एक पैटर्न और पूर्वानुमान प्रकट करते हैं।

आपने इस सिद्धांत का प्रदर्शन किसी विज्ञान संग्रहालय में देखा होगा (यदि नहीं, तो वीडियो ऑनलाइन पाया जा सकता है)। एक विशिष्ट प्रदर्शनी एक उपकरण है जिसे गैल्टन बोर्ड कहा जाता है, जो कुछ हद तक फ़्लिपर्स के बिना पिनबॉल मशीन की याद दिलाता है। इसके अंदर नियमित अंतराल पर पिनों की एक समान पंक्तियाँ होती हैं।

गैल्टन का बोर्ड

प्रयोग गैल्टन बोर्ड के शीर्ष पर सैकड़ों गेंदों को फेंकने के साथ शुरू होता है। जब वे गिरते हैं, तो वे पिनों से टकराते हैं और दाएं या बाएं उछलने की समान संभावना रखते हैं, और फिर समान चौड़ाई के डिब्बों में गिरते हुए, बोर्ड के निचले भाग में वितरित हो जाते हैं। गेंदों के एक स्तंभ की ऊंचाई दर्शाती है कि गेंद के किसी दिए गए स्थान पर समाप्त होने की कितनी संभावना है। अधिकांश गेंदें लगभग बीच में रखी जाती हैं, किनारों पर कम होती हैं, और किनारों पर भी कम होती हैं।

सामान्य तौर पर, तस्वीर बेहद अनुमानित है: गेंदें हमेशा एक घंटी के आकार का वितरण बनाती हैं, हालांकि यह भविष्यवाणी करना असंभव है कि प्रत्येक व्यक्तिगत गेंद कहां समाप्त होगी।

व्यक्तिगत दुर्घटनाएँ सामान्य पैटर्न में कैसे बदल जाती हैं? लेकिन मौका इसी तरह काम करता है. मध्य स्तंभ में सबसे अधिक गेंदें होती हैं, क्योंकि नीचे लुढ़कने से पहले, उनमें से कई दाईं और बाईं ओर लगभग समान संख्या में छलांग लगाती हैं और परिणामस्वरूप, बीच में कहीं समाप्त हो जाती हैं। किनारों पर स्थित कई अकेली गेंदें वितरण की पूंछ बनाती हैं - ये वे गेंदें हैं, जो पिन से टकराने पर हमेशा एक ही दिशा में उछलती हैं। इस तरह के उछाल की संभावना नहीं है, यही कारण है कि किनारों पर बहुत कम गेंदें हैं।

जिस तरह प्रत्येक गेंद का स्थान कई यादृच्छिक घटनाओं के योग से निर्धारित होता है, उसी तरह इस दुनिया में कई घटनाएं कई छोटी परिस्थितियों का परिणाम होती हैं और घंटी के आकार के वक्र का भी पालन करती हैं। बीमा कंपनियाँ इसी सिद्धांत पर काम करती हैं। वे प्रत्येक वर्ष मरने वाले अपने ग्राहकों की संख्या का सटीक अनुमान लगा सकते हैं। हालाँकि, वे नहीं जानते कि इस बार वास्तव में कौन बदकिस्मत होगा।

या, उदाहरण के लिए, मानव ऊंचाई को लें। यह आनुवंशिकी, जैव रसायन, पोषण और पर्यावरण से संबंधित अनगिनत दुर्घटनाओं पर निर्भर करता है। इसलिए, इस बात की अच्छी संभावना है कि, जब एक साथ विचार किया जाए, तो वयस्क पुरुषों और महिलाओं की ऊंचाई एक घंटी के आकार का वक्र बनाएगी।

डेटिंग साइट ओकेक्यूपिड की सांख्यिकी सेवा ने हाल ही में "मिस्टिंग्स पीपल टेल अबाउट देमसेल्व्स ऑनलाइन" नामक ब्लॉग पोस्ट में अपने ग्राहकों की वृद्धि, या बल्कि उनके स्वयं-रिपोर्ट किए गए मूल्यों का एक ग्राफ प्रकाशित किया है। यह पाया गया कि दोनों लिंगों की वृद्धि दर, जैसा कि अपेक्षित था, एक घंटी के आकार का वक्र बनाती है। हालाँकि, आश्चर्य की बात यह है कि दोनों वितरण अपेक्षित मूल्यों के दाईं ओर लगभग दो इंच स्थानांतरित हो गए थे।

स्ट्रोगेट्ज़ एस. एच. से खुशी - एम.: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।

तो या तो OkCupid द्वारा सर्वेक्षण किए गए ग्राहक औसत से अधिक लंबे हैं या वे ऑनलाइन खुद का वर्णन करते समय अपनी ऊंचाई में कुछ इंच अधिक जोड़ते हैं।

ऐसे घंटी वक्रों का एक आदर्श संस्करण जिसे गणितज्ञ सामान्य वितरण कहते हैं। यह सांख्यिकी की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है, जिसका सैद्धांतिक आधार है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि सामान्य वितरण तब होता है जब बड़ी संख्या में छोटे यादृच्छिक कारकों को एक साथ जोड़ा जाता है, उनमें से प्रत्येक दूसरे से स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। और कई घटनाएँ इसी तरह घटती हैं.

लेकिन सब नहीं। और यह दूसरा बिंदु है जिस पर मैं ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा। सामान्य वितरण उतना सर्वव्यापी नहीं है जितना लगता है। सैकड़ों वर्षों से, और विशेष रूप से पिछले कुछ दशकों में, वैज्ञानिकों और सांख्यिकीविदों ने कई घटनाओं के अस्तित्व पर ध्यान दिया है जो इस वक्र से विचलित होती हैं और अपने स्वयं के शेड्यूल का पालन करती हैं। यह उत्सुक है कि प्रारंभिक आंकड़ों पर पाठ्यपुस्तकों में इस प्रकार के वितरण का व्यावहारिक रूप से उल्लेख नहीं किया गया है, और यदि वे पाए जाते हैं, तो उन्हें आमतौर पर किसी प्रकार की विकृति के रूप में माना जाता है।

ये अजीब है. मैं यह समझाने की कोशिश करूंगा कि यदि इन "पैथोलॉजिकल" वितरणों को समझा जाए तो आधुनिक जीवन की कई घटनाएं अधिक सार्थक हो जाती हैं। यह नया सामान्य है. उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका में शहर के आकार का वितरण लें। कुछ औसत घंटी वक्र के आसपास क्लस्टर करने के बजाय, अधिकांश शहर आकार में छोटे हैं और इसलिए ग्राफ़ के बाईं ओर क्लस्टर करते हैं।

स्ट्रोगेट्ज़ एस. एच. से खुशी - एम.: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।

और किसी शहर की आबादी जितनी अधिक होगी, ऐसे शहर उतने ही कम आम होंगे। दूसरे शब्दों में, कुल मिलाकर वितरण घंटी के आकार के वक्र की तुलना में एल-आकार के वक्र का अधिक होगा।

और ये कोई आश्चर्य की बात नहीं है. हर कोई जानता है कि छोटे शहरों की तुलना में बहुत कम मेगासिटी हैं। हालाँकि यह इतना स्पष्ट नहीं है, शहर के आकार एक अच्छे सरल वितरण का पालन करते हैं - जब आप उन्हें लघुगणकीय पैमाने पर देखते हैं।

हम मान लेंगे कि दो शहरों के बीच का अंतर समान है यदि उनकी जनसंख्या समान संख्या में भिन्न होती है (जैसे कि एक सप्तक द्वारा अलग की गई दो पियानो कुंजियाँ हमेशा आवृत्ति में आधे से भिन्न होती हैं)। और आइए ऊर्ध्वाधर अक्ष पर भी ऐसा ही करें।

स्ट्रोगेट्ज़ एस. एच. से खुशी - एम.: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।

डेटा अब एक वक्र पर है जो लगभग पूर्ण सीधी रेखा है। लघुगणक के गुणों के आधार पर, यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि मूल एल-आकार का वक्र एक शक्ति-कानून निर्भरता है, जिसे फॉर्म के एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है

जहां x शहर की जनसंख्या है, y इस आकार के शहरों की संख्या है, c एक स्थिरांक है, और घातांक a (शक्ति-कानून घातांक) सीधी रेखा के नकारात्मक ढलान को निर्धारित करता है।

पारंपरिक आँकड़ों के दृष्टिकोण से बिजली वितरण में कुछ अतार्किक गुण हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण के विपरीत, एल-आकार के वक्रों के तिरछे, असममित आकार के कारण उनके मोड, माध्यिकाएं और साधन मेल नहीं खाते हैं।

राष्ट्रपति बुश को इससे बहुत फायदा हुआ, उन्होंने 2003 में कहा कि कर कटौती से प्रत्येक परिवार को औसतन 1,586 डॉलर की बचत हुई। हालाँकि यह गणितीय रूप से सही है, उन्होंने औसत कटौती का लाभ उठाया, जिसने देश की सबसे अमीर 0.1% आबादी द्वारा प्राप्त सैकड़ों हजारों डॉलर की भारी कटौती को छिपा दिया। यह ज्ञात है कि आय वितरण के दाईं ओर की पूंछ एक शक्ति कानून का पालन करती है, और ऐसी स्थिति में, औसत का उपयोग करना भ्रामक है क्योंकि यह अपने वास्तविक मूल्य से बहुत दूर है। वास्तव में, अधिकांश परिवारों को $650 से कम वापस मिला। इस वितरण में माध्य माध्य से काफी कम है।

यह उदाहरण बिजली कानून वितरण की एक महत्वपूर्ण संपत्ति को प्रदर्शित करता है: सामान्य वितरण की कम से कम छोटी तरल पूंछ की तुलना में उनकी भारी पूंछ होती है। इस तरह की बड़ी पूंछें, हालांकि दुर्लभ हैं, नियमित घंटी के आकार के वक्रों की तुलना में डेटा वितरण में अधिक आम हैं।

ब्लैक मंडे, 19 अक्टूबर 1987 को, डॉव जोन्स इंडस्ट्रियल एवरेज 22% गिर गया। शेयर बाज़ार में अस्थिरता के सामान्य स्तर की तुलना में यह गिरावट बीस मानक विचलन से अधिक थी। पारंपरिक आंकड़ों (जो सामान्य वितरण का उपयोग करता है) के अनुसार, ऐसी घटना लगभग असंभव है: इसकी संभावना 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (10 से 50 वीं शक्ति) में एक से भी कम है। हालाँकि, ऐसा हुआ - क्योंकि शेयर बाजार में कीमतों में उतार-चढ़ाव सामान्य वितरण का पालन नहीं करता था।

उनका वर्णन करने के लिए हेवी-टेल्ड वितरण बेहतर उपयुक्त हैं। ऐसा भूकंप, आग और बाढ़ के साथ होता है, जिससे बीमा कंपनियों के लिए जोखिम प्रबंधन करना मुश्किल हो जाता है।

वही गणितीय मॉडल युद्धों और आतंकवादी हमलों से मरने वालों की संख्या के साथ-साथ अन्य, बहुत अधिक शांतिपूर्ण चीज़ों का वर्णन करता है, जैसे किसी उपन्यास में शब्दों की संख्या या किसी व्यक्ति के यौन साझेदारों की संख्या।

हालाँकि लंबी पूँछों का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त विशेषण उन्हें बहुत अनुकूल प्रकाश में नहीं चित्रित करते हैं, पूँछ वाले वितरण अपनी पूँछें गर्व से धारण करते हैं। मोटा, भारी और लंबा? हां यह है। लेकिन इस मामले में, मुझे दिखाओ कि कौन सा सामान्य है?

की ख़ुशी एक्स

एक से अनंत तक, गणित का एक निर्देशित दौरा

स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़, सी/ओ ब्रॉकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

सर्वाधिकार सुरक्षित। इस पुस्तक के इलेक्ट्रॉनिक संस्करण का कोई भी भाग कॉपीराइट स्वामी की लिखित अनुमति के बिना निजी या सार्वजनिक उपयोग के लिए किसी भी रूप में या इंटरनेट या कॉर्पोरेट नेटवर्क पर पोस्ट करने सहित किसी भी माध्यम से पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

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यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

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स्कॉट पैटरसन

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मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीली चेतना

कैरल ड्वेक

शेयर बाज़ार का भौतिकी

जेम्स वेदरॉल

प्रस्तावना

मेरा एक मित्र है, जो अपनी कला के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम इकट्ठे होते हैं, वह मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में उत्साहपूर्वक बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित के बारे में बात करना शुरू करते हैं, उसके घुटनों में कंपन होने लगता है, जिससे वह काफी परेशान हो जाता है। उनकी शिकायत है कि न केवल ये अजीब गणितीय प्रतीक उनकी समझ को ख़राब करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानते कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

यह स्पष्ट करने के लिए कि संख्याओं के जीवन और उनके व्यवहार से मेरा क्या मतलब है, जिसे हम नियंत्रित नहीं कर सकते, आइए फ्यूरी पॉज़ होटल पर वापस जाएँ। मान लीजिए कि हम्फ्री ऑर्डर सौंपने ही वाला था, लेकिन तभी दूसरे कमरे से पेंगुइन ने अप्रत्याशित रूप से उसे बुलाया और उतनी ही मात्रा में मछली भी मांगी। दो ऑर्डर प्राप्त करने के बाद हम्फ्री को कितनी बार "मछली" शब्द चिल्लाना चाहिए? यदि वह संख्याओं के बारे में कुछ नहीं सीखता, तो उसे उतनी ही बार चिल्लाना पड़ता जितनी बार दोनों कमरों में पेंगुइन होते। या, संख्याओं का उपयोग करके, वह रसोइये को समझा सकता है कि उसे एक नंबर के लिए छह मछलियाँ और दूसरे के लिए छह मछलियाँ चाहिए। लेकिन उसे वास्तव में एक नई अवधारणा की आवश्यकता है: जोड़। एक बार जब वह इसमें महारत हासिल कर लेता है, तो वह गर्व से कहेगा कि उसे छह प्लस छह (या, यदि वह एक पोजर है, तो बारह) मछली चाहिए।

यह वही रचनात्मक प्रक्रिया है जब हम पहली बार संख्याएँ लेकर आए थे। जिस प्रकार संख्याओं को एक बार में सूचीबद्ध करने की तुलना में गिनना आसान हो जाता है, उसी प्रकार जोड़ने से किसी भी राशि की गणना करना आसान हो जाता है। साथ ही गणना करने वाला गणितज्ञ के रूप में विकसित होता है। वैज्ञानिक रूप से, इस विचार को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: सही अमूर्तता का उपयोग करने से मुद्दे के सार में गहरी अंतर्दृष्टि और इसे हल करने में अधिक शक्ति मिलती है।

जल्द ही, शायद, हम्फ्री को भी एहसास होगा कि अब वह हमेशा गिन सकता है।

हालाँकि, इतने अंतहीन परिप्रेक्ष्य के बावजूद, हमारी रचनात्मकता की हमेशा कुछ सीमाएँ होती हैं। हम तय कर सकते हैं कि 6 और + से हमारा क्या मतलब है, लेकिन एक बार जब हम ऐसा कर लेते हैं, तो 6 + 6 जैसे भावों के परिणाम हमारे नियंत्रण से बाहर हो जाते हैं। यहां तर्क हमारे पास कोई विकल्प नहीं छोड़ेगा। इस अर्थ में, गणित में हमेशा दोनों आविष्कार शामिल होते हैं, तो औरउद्घाटन: हम आविष्कार करनाअवधारणा, लेकिन खुलाउनके परिणाम. जैसा कि निम्नलिखित अध्याय स्पष्ट कर देंगे, गणित में हमारी स्वतंत्रता प्रश्न पूछने की क्षमता में निहित है और स्वयं उनका आविष्कार किए बिना उत्तर खोजने में लगे रहते हैं।

2. पत्थर अंकगणित

जीवन की किसी भी घटना की तरह, अंकगणित के भी दो पहलू हैं: औपचारिक और मनोरंजक (या चंचल)।

हमने स्कूल में औपचारिक भाग का अध्ययन किया। वहां उन्होंने हमें समझाया कि संख्याओं के कॉलम के साथ कैसे काम करना है, उन्हें जोड़ना और घटाना है, टैक्स रिटर्न भरते समय और वार्षिक रिपोर्ट तैयार करते समय स्प्रेडशीट में गणना करते समय उन्हें कैसे क्रंच करना है। अंकगणित का यह पक्ष व्यावहारिक दृष्टिकोण से कई लोगों को महत्वपूर्ण लगता है, लेकिन पूरी तरह से आनंदहीन है।

आप उच्च गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में ही अंकगणित के मनोरंजक पक्ष से परिचित हो सकते हैं {3}. हालाँकि, यह एक बच्चे की जिज्ञासा की तरह ही स्वाभाविक है {4}.

निबंध "द मैथेमेटिशियंस लैमेंट" में, पॉल लॉकहार्ट सामान्य से अधिक ठोस उदाहरणों में संख्याओं का अध्ययन करने का सुझाव देते हैं: वह हमें उन्हें कई पत्थरों के रूप में सोचने के लिए कहते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 कंकड़ के निम्नलिखित सेट से मेल खाती है:

आपको यहां कुछ भी असामान्य देखने की संभावना नहीं है। जिस तरीके से है वो। जब तक हम संख्याओं में हेरफेर करना शुरू नहीं करते, वे लगभग एक जैसे ही दिखते हैं। खेल तब शुरू होता है जब हमें कोई कार्य मिलता है।

उदाहरण के लिए, आइए उन सेटों को देखें जिनमें 1 से 10 तक पत्थर हैं और उनसे वर्ग बनाने का प्रयास करें। यह केवल 4 और 9 पत्थरों के दो सेटों के साथ किया जा सकता है, क्योंकि 4 = 2 × 2 और 9 = 3 × 3. हमें ये संख्याएँ किसी अन्य संख्या का वर्ग करके प्राप्त होती हैं (अर्थात्, पत्थरों को एक वर्ग में व्यवस्थित करना)।

यहां एक समस्या है जिसके बड़ी संख्या में समाधान हैं: आपको यह पता लगाना होगा कि यदि आप समान संख्या में तत्वों के साथ पत्थरों को दो पंक्तियों में व्यवस्थित करते हैं तो कौन से सेट एक आयत बनाएंगे। 2, 4, 6, 8 या 10 पत्थरों के सेट यहां उपयुक्त हैं; संख्या सम होनी चाहिए. यदि हम शेष सेटों को दो पंक्तियों में विषम संख्या में पत्थरों के साथ व्यवस्थित करने का प्रयास करते हैं, तो हमारे पास हमेशा एक अतिरिक्त पत्थर होगा।

लेकिन इन अजीब आंकड़ों के कारण सब कुछ ख़त्म नहीं हो गया है! यदि आप ऐसे दो सेट लेते हैं, तो अतिरिक्त तत्वों को एक जोड़ी मिलेगी, और योग सम होगा: विषम संख्या + विषम संख्या = सम संख्या।

यदि हम इन नियमों को 10 के बाद की संख्याओं तक विस्तारित करते हैं, और मानते हैं कि एक आयत में पंक्तियों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो कुछ विषम संख्याएँ ऐसे आयतों को जोड़ने की अनुमति देंगी। उदाहरण के लिए, संख्या 15 एक 3 × 5 आयत बना सकती है।

इसलिए, हालांकि 15 निस्संदेह एक विषम संख्या है, यह एक समग्र संख्या है और इसे पांच पत्थरों की तीन पंक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसी तरह, गुणन तालिका में कोई भी प्रविष्टि कंकड़ के अपने आयताकार समूह का निर्माण करती है।

लेकिन कुछ संख्याएँ, जैसे 2, 3, 5 और 7, पूरी तरह से निराशाजनक हैं। आप उन्हें एक सरल रेखा (एक पंक्ति) के रूप में व्यवस्थित करने के अलावा उनमें से कुछ भी नहीं निकाल सकते। ये अजीब जिद्दी लोग हैं प्रसिद्ध अभाज्य संख्याएँ।

तो हम देखते हैं कि संख्याओं में अजीब संरचनाएं हो सकती हैं जो उन्हें एक निश्चित चरित्र प्रदान करती हैं। लेकिन उनके व्यवहार की पूरी श्रृंखला को समझने के लिए, आपको व्यक्तिगत संख्याओं से पीछे हटना होगा और देखना होगा कि उनकी बातचीत के दौरान क्या होता है।

उदाहरण के लिए, केवल दो विषम संख्याओं को जोड़ने के बजाय, आइए 1 से शुरू करके विषम संख्याओं के सभी संभावित अनुक्रमों को जोड़ें:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

आश्चर्य की बात यह है कि ये योग सदैव पूर्ण वर्ग बनते हैं। (हमने पहले ही कहा था कि 4 और 9 को वर्गों के रूप में दर्शाया जा सकता है, और 16 = 4 × 4 और 25 = 5 × 5 के लिए यह भी सच है।) एक त्वरित गणना से पता चलता है कि यह नियम बड़ी विषम संख्याओं के लिए भी सच है और, जाहिरा तौर पर , अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। लेकिन उनके "अतिरिक्त" पत्थरों के साथ विषम संख्याओं और वर्ग बनाने वाली शास्त्रीय सममित संख्याओं के बीच क्या संबंध है? कंकड़ों को सही ढंग से रखकर, हम इसे स्पष्ट कर सकते हैं, जो एक सुंदर प्रमाण की पहचान है। {5}

इसकी कुंजी यह अवलोकन है कि विषम संख्याओं को समबाहु कोणों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनका क्रमिक ओवरलैप एक वर्ग बनाता है!

तर्क का एक समान तरीका हाल ही में प्रकाशित एक अन्य पुस्तक में प्रस्तुत किया गया है। योको ओगावा का आकर्षक उपन्यास द हाउसकीपर एंड द प्रोफेसर एक चतुर लेकिन अशिक्षित युवती और उसके दस वर्षीय बेटे की कहानी कहता है। एक बुजुर्ग गणितज्ञ की देखभाल के लिए एक महिला को काम पर रखा गया था, जिनकी अल्पकालिक स्मृति, एक दर्दनाक मस्तिष्क की चोट के कारण, केवल उनके जीवन के अंतिम 80 मिनटों के बारे में जानकारी बरकरार रखती है। वर्तमान में खोया हुआ, अकेले अपनी गंदी कुटिया में, संख्याओं के अलावा कुछ भी नहीं होने पर, प्रोफेसर गृहस्वामी के साथ केवल उसी तरीके से संवाद करने की कोशिश करता है जिसे वह जानता है: उसके जूते के आकार या जन्म तिथि के बारे में पूछकर और उसके खर्चों के बारे में उससे छोटी-छोटी बातें करके। प्रोफेसर गृहस्वामी के बेटे को भी विशेष पसंद करते हैं, जिसे वे रूथ (रूट) कहते हैं क्योंकि लड़के का सिर ऊपर से सपाट है, और यह उन्हें वर्गमूल √ के लिए गणितीय संकेतन की याद दिलाता है।

एक दिन, प्रोफेसर लड़के को एक सरल कार्य देता है - 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए। जब रूथ सावधानीपूर्वक सभी संख्याओं को एक साथ जोड़ती है और उत्तर (55) के साथ लौटती है, तो प्रोफेसर उसे एक खोजने के लिए कहता है। आसान तरीका. क्या वह उत्तर ढूंढ पायेगा? बिनासंख्याओं का सामान्य जोड़? रूथ एक कुर्सी को लात मारती है और चिल्लाती है, "यह उचित नहीं है!"

धीरे-धीरे, गृहस्वामी भी संख्याओं की दुनिया में आकर्षित हो जाता है और गुप्त रूप से इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करता है। वह कहती हैं, "मुझे समझ नहीं आता कि मुझे बच्चों की पहेली में इतनी दिलचस्पी क्यों है जिसका कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं है।" “पहले तो मैं प्रोफेसर को खुश करना चाहता था, लेकिन धीरे-धीरे यह पाठ मेरे और संख्याओं के बीच लड़ाई में बदल गया। जब मैं सुबह उठा तो समीकरण पहले से ही मेरा इंतजार कर रहा था:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,