संपादकीय प्रतिक्रिया

माइकल फ्रांसिस अतियाह, ऑक्सफोर्ड, कैम्ब्रिज और एडिनबर्ग विश्वविद्यालयों के प्रोफेसर और गणित में लगभग एक दर्जन प्रतिष्ठित पुरस्कारों के विजेता, ने रीमैन परिकल्पना का एक प्रमाण प्रस्तुत किया, जो सात मिलेनियम समस्याओं में से एक है, जो बताता है कि संख्या पर अभाज्य संख्याएँ कैसे स्थित हैं। रेखा।

अतियाह का प्रमाण संक्षिप्त है, जिसमें परिचय और ग्रंथ सूची के साथ-साथ पाँच पृष्ठ हैं। वैज्ञानिक का दावा है कि उन्होंने ठीक संरचना स्थिरांक से जुड़ी समस्याओं का विश्लेषण करके परिकल्पना का समाधान खोजा और टोड फ़ंक्शन को एक उपकरण के रूप में इस्तेमाल किया। यदि वैज्ञानिक समुदाय प्रमाण को सही मानता है, तो ब्रिटेन को इसके लिए क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट (क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट, कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स) से 1 मिलियन डॉलर मिलेंगे।

अन्य वैज्ञानिक भी पुरस्कार के लिए होड़ में हैं। 2015 में, उन्होंने रीमैन परिकल्पना के समाधान की घोषणा की गणित के प्रोफेसर ओपेमी हनोकनाइजीरिया से, और 2016 में परिकल्पना का अपना प्रमाण प्रस्तुत किया रूसी गणितज्ञ इगोर तुर्कानोवी. गणित संस्थान के प्रतिनिधियों के अनुसार, उपलब्धि दर्ज करने के लिए, इसे एक आधिकारिक अंतरराष्ट्रीय पत्रिका में प्रकाशित किया जाना चाहिए, इसके बाद वैज्ञानिक समुदाय द्वारा प्रमाण की पुष्टि की जानी चाहिए।

परिकल्पना का सार क्या है?

परिकल्पना को 1859 में जर्मन द्वारा तैयार किया गया था गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन. उन्होंने एक निश्चित सीमा तक अभाज्य संख्याओं की संख्या के लिए एक सूत्र, तथाकथित जीटा फ़ंक्शन को परिभाषित किया। वैज्ञानिक ने पाया कि ऐसा कोई पैटर्न नहीं है जो यह वर्णन करे कि संख्या श्रृंखला में कितनी बार अभाज्य संख्याएँ दिखाई देती हैं, जबकि उन्होंने पाया कि अभाज्य संख्याओं की संख्या एक्स, जीटा फ़ंक्शन के तथाकथित "गैर-तुच्छ शून्य" के वितरण के रूप में व्यक्त किया जाता है।

रीमैन को व्युत्पन्न सूत्र की शुद्धता पर भरोसा था, लेकिन वह यह स्थापित नहीं कर सका कि यह वितरण किस साधारण कथन पर पूरी तरह निर्भर करता है। नतीजतन, उन्होंने इस परिकल्पना को सामने रखा कि जेटा फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्यों का वास्तविक भाग ½ के बराबर होता है और जटिल विमान के लंबवत रेखा रे = 0.5 पर स्थित होता है।

रीमैन परिकल्पना का प्रमाण या खंडन अभाज्य संख्याओं के वितरण के सिद्धांत के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, कहते हैं अर्थशास्त्र के उच्च विद्यालय के गणित संकाय के पीएचडी छात्र अलेक्जेंडर काल्मिनिन. "रीमैन हाइपोथीसिस एक बयान है जो किसी दिए गए संख्या से अधिक नहीं होने वाले प्राइम की संख्या के लिए कुछ सूत्र के बराबर है एक्स. एक परिकल्पना, उदाहरण के लिए, आपको जल्दी और बड़ी सटीकता के साथ उन अभाज्य संख्याओं की गणना करने की अनुमति देती है जो अधिक नहीं हैं, उदाहरण के लिए, 10 बिलियन। यह परिकल्पना का एकमात्र मूल्य नहीं है, क्योंकि इसमें बहुत दूर की संख्या भी है - सामान्यीकरण तक पहुँचना, जिन्हें सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना, विस्तारित रीमैन परिकल्पना और भव्य रीमैन परिकल्पना के रूप में जाना जाता है। वे गणित की विभिन्न शाखाओं के लिए और भी अधिक महत्वपूर्ण हैं, लेकिन सबसे पहले, एक परिकल्पना का महत्व अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जाता है," काल्मिनिन कहते हैं।

विशेषज्ञ के अनुसार, एक परिकल्पना की मदद से, संख्या सिद्धांत की कई शास्त्रीय समस्याओं को हल करना संभव है: द्विघात क्षेत्रों पर गॉस की समस्याएं (दसवें विवेचक की समस्या), सुविधाजनक संख्याओं पर यूलर की समस्याएं, द्विघात पर विनोग्रादोव का अनुमान गैर-अवशेष, आदि। आधुनिक गणित में, इस परिकल्पना का उपयोग अभाज्य संख्याओं के बारे में कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। "हम तुरंत मान लेते हैं कि रीमैन परिकल्पना जैसी कुछ मजबूत परिकल्पना सच है, और देखें कि क्या होता है। जब हम सफल होते हैं, तो हम खुद से पूछते हैं: क्या हम बिना किसी परिकल्पना के इसे साबित कर सकते हैं? और, हालांकि इस तरह का एक बयान अभी भी हम जो हासिल कर सकते हैं उससे परे है, यह एक बीकन की तरह काम करता है। इस तथ्य के कारण कि ऐसी परिकल्पना है, हम देख सकते हैं कि हम कहाँ जा रहे हैं," काल्मिनिन कहते हैं।

परिकल्पना का प्रमाण सूचना प्रौद्योगिकी के सुधार को भी प्रभावित कर सकता है, क्योंकि आज एन्क्रिप्शन और कोडिंग की प्रक्रियाएं विभिन्न एल्गोरिदम की प्रभावशीलता पर निर्भर करती हैं। “यदि हम चालीस अंकों की दो साधारण बड़ी संख्याएँ लेते हैं और गुणा करते हैं, तो हमें एक बड़ी अस्सी-अंकीय संख्या प्राप्त होगी। यदि हम इस संख्या को गुणनखंड करने के लिए कार्य निर्धारित करते हैं, तो यह एक बहुत ही जटिल कम्प्यूटेशनल कार्य होगा, जिसके आधार पर कई सूचना सुरक्षा मुद्दों का निर्माण किया जाता है। उनमें से सभी अलग-अलग एल्गोरिदम बनाने में शामिल हैं जो इस तरह की जटिलताओं से बंधे हैं, ”कलमिनिन कहते हैं।

15-लाइन समाधान प्रसिद्ध ब्रिटिश वैज्ञानिक सर माइकल फ्रांसिस अतियाह द्वारा प्रस्तुत किया गया था ( माइकल फ्रांसिस अतियाहो), प्रतिष्ठित गणितीय पुरस्कारों के विजेता। वह मुख्य रूप से गणितीय भौतिकी के क्षेत्र में काम करता है। विज्ञानरिपोर्ट है कि अतिया ने एक सम्मेलन में अपनी खोज के बारे में बात की हीडलबर्ग पुरस्कार विजेता फोरमसोमवार को हीडलबर्ग विश्वविद्यालय में।

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, रीमैन परिकल्पना तैयार की गई थी, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा। गणितज्ञ ने जीटा फ़ंक्शन की अवधारणा पेश की - एक जटिल चर के लिए एक फ़ंक्शन - और इसका उपयोग अभाज्य संख्याओं के वितरण का वर्णन करने के लिए किया। अभाज्य संख्याओं के साथ मूल समस्या यह थी कि वे बिना किसी स्पष्ट पैटर्न के केवल प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला में वितरित किए जाते हैं। रीमैन ने x से अनधिक अभाज्य संख्याओं के लिए अपना वितरण फलन प्रस्तावित किया, लेकिन वह यह नहीं बता सका कि निर्भरता क्यों उत्पन्न होती है। इस समस्या के समाधान के लिए वैज्ञानिक लगभग 150 वर्षों से संघर्ष कर रहे हैं।

रीमैन परिकल्पना को "" (मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं) की सूची में शामिल किया गया है, जिनमें से प्रत्येक के समाधान के लिए एक मिलियन डॉलर का इनाम देय है। इन समस्याओं में से केवल एक को हल किया गया है - पॉइनकेयर अनुमान। इसका समाधान एक रूसी गणितज्ञ ने 2002 में अपने पत्रों की एक श्रृंखला में प्रस्तावित किया था। 2010 में, वैज्ञानिक को पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन उन्होंने इसे अस्वीकार कर दिया।

माइकल अतियाह ने रीमैन के पैटर्न की व्याख्या करने का दावा किया है। अपने प्रमाण में, गणितज्ञ मौलिक भौतिक स्थिरांक पर निर्भर करता है - ठीक संरचना स्थिरांक, जो आवेशित कणों के बीच विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं की शक्ति और प्रकृति का वर्णन करता है। अपेक्षाकृत अस्पष्ट टॉड फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए इस स्थिरांक का वर्णन करते हुए, अतिया ने विरोधाभास द्वारा रीमैन परिकल्पना का समाधान पाया।

वैज्ञानिक समुदाय प्रस्तावित प्रमाण को स्वीकार करने की जल्दी में नहीं है। उदाहरण के लिए, नॉर्वेजियन यूनिवर्सिटी ऑफ़ साइंस एंड टेक्नोलॉजी के एक अर्थशास्त्री जोर्गन विस्डल ( जोर्गन वीसडाल), जिन्होंने पहले रीमैन परिकल्पना का अध्ययन किया था, ने कहा कि अतियाह का समाधान "बहुत अस्पष्ट और अनिश्चित" था। निष्कर्ष पर आने के लिए वैज्ञानिक को लिखित साक्ष्य का अधिक ध्यान से अध्ययन करने की आवश्यकता है। अतिया के साथियों ने किया संपर्क विज्ञान, ने यह भी नोट किया कि वे प्रस्तुत समाधान को सफल नहीं मानते, क्योंकि यह अस्थिर संघों पर आधारित है। यूसी रिवरसाइड गणितीय भौतिक विज्ञानी जॉन बेज ( जॉन बेज़ो) और यहां तक ​​कि कहा कि अतियाह का प्रमाण "बिना किसी तर्क या वास्तविक औचित्य के एक प्रभावशाली दावे को दूसरे पर थोप देता है।"

माइकल अतियाह खुद मानते हैं कि उनका काम न केवल रीमैन परिकल्पना, बल्कि गणित में अन्य अनसुलझे समस्याओं को साबित करने के लिए आधार तैयार करता है। आलोचना के बारे में, वे कहते हैं, "लोग शिकायत करेंगे और बड़बड़ाएंगे, लेकिन ऐसा इसलिए है क्योंकि वे इस विचार से सहमत नहीं हैं कि बूढ़ा एक पूरी नई पद्धति के साथ आ सकता है।"

दिलचस्प बात यह है कि अतीत में, वैज्ञानिक पहले भी इसी तरह के हाई-प्रोफाइल बयान दे चुके हैं और आलोचना का सामना कर चुके हैं। 2017 में, अतिया ने लंदन संस्करण को बताया कई बारकि उन्होंने 255-पृष्ठ फीट-थॉम्पसन या ऑड ऑर्डर प्रमेय को घटाकर 1963 में 12 पृष्ठों तक कर दिया। गणितज्ञ ने अपना प्रमाण 15 विशेषज्ञों को भेजा, लेकिन उन्होंने काम को कभी भी सकारात्मक अंक नहीं दिए, और परिणामस्वरूप, यह किसी भी वैज्ञानिक पत्रिका में प्रकाशित नहीं हुआ। एक साल पहले, अतिया ने डिफरेंशियल ज्योमेट्री में एक प्रसिद्ध समस्या के समाधान की घोषणा की थी। वैज्ञानिक ने ArXiv.org पर इस समाधान के साथ लेख का एक प्रीप्रिंट प्रकाशित किया। जल्द ही, सहकर्मियों ने काम में कई अशुद्धियों की ओर इशारा किया, और लेख का पूर्ण-पाठ संस्करण कभी प्रकाशित नहीं हुआ।

ये त्रुटियां अब बड़े पैमाने पर रीमैन परिकल्पना को साबित करने के बारे में वैज्ञानिक समुदाय के संदेह का समर्थन करती हैं। अतिये को क्ले इंस्टीट्यूट के मूल्यांकन के लिए इंतजार करना पड़ता है, जो "सहस्राब्दी समस्याओं" को हल करने के लिए पुरस्कार देता है। अभी के लिए, आप Google ड्राइव के लिंक पर गणितज्ञ का प्रमाण पढ़ सकते हैं, जिसे उन्होंने स्वयं सार्वजनिक डोमेन में पोस्ट किया था।

हैलो, हबरालुडी!

आज मैं "सहस्राब्दी कार्य" जैसे विषय को छूना चाहता हूं, जो दशकों से हमारे ग्रह के सबसे अच्छे दिमागों की चिंता कर रहा है, और कुछ सैकड़ों वर्षों से भी।

ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा पोंकारे के अनुमान (अब प्रमेय) को सिद्ध करने के बाद, मुख्य प्रश्न जो बहुतों को दिलचस्पी थी वह था: " और उसने वास्तव में क्या साबित किया, अपनी उंगलियों पर समझाएं?» अवसर लेते हुए, मैं अपनी उंगलियों पर सहस्राब्दी के अन्य कार्यों को समझाने की कोशिश करूंगा, या कम से कम उन्हें दूसरी तरफ से वास्तविकता के करीब पहुंचाऊंगा।

वर्ग P और NP . की समानता

हम सभी को स्कूल से द्विघात समीकरण याद हैं, जिन्हें विवेचक के माध्यम से हल किया जाता है। इस समस्या का समाधान है कक्षा पी (पीबहुपद समय)- इसके लिए, एक उपवास है (इसके बाद, शब्द "तेज़" बहुपद समय में क्रियान्वित करने के रूप में है) समाधान एल्गोरिदम, जिसे याद किया जाता है।

वे भी हैं एनपी-कार्य ( एननियतात्मक पीबहुपद समय), जिसका पाया गया समाधान एक निश्चित एल्गोरिथ्म का उपयोग करके जल्दी से जाँचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, जानवर-बल कंप्यूटर द्वारा जांचें। यदि हम द्विघात समीकरण के हल पर लौटते हैं, तो हम देखेंगे कि इस उदाहरण में मौजूदा समाधान एल्गोरिथम को जितनी आसानी से और जल्दी से हल किया जाता है, जाँच की जाती है। इससे एक तार्किक निष्कर्ष खुद ही पता चलता है कि यह कार्य एक वर्ग और दूसरे दोनों का है।

ऐसे कई कार्य हैं, लेकिन मुख्य प्रश्न यह है कि क्या सभी कार्य जिन्हें आसानी से और जल्दी से जांचा जा सकता है, उन्हें भी आसानी से और जल्दी से हल किया जा सकता है? अब, कुछ समस्याओं के लिए, कोई तेज़ समाधान एल्गोरिदम नहीं मिला है, और यह ज्ञात नहीं है कि ऐसा समाधान मौजूद है या नहीं।

इंटरनेट पर, मैं इस तरह के एक दिलचस्प और पारदर्शी शब्द से भी मिला:

मान लीजिए कि आप एक बड़ी कंपनी में होने के कारण यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि आपका मित्र भी है। यदि आपसे कहा जाए कि वह कोने में बैठा है, तो एक सेकंड का अंश पर्याप्त होगा, एक नज़र से, सुनिश्चित करें कि जानकारी सत्य है। इस जानकारी के अभाव में आप मेहमानों को देखते हुए पूरे कमरे में घूमने को मजबूर हो जाएंगे।

इस मामले में, सवाल अभी भी वही है, क्या क्रियाओं का ऐसा कोई एल्गोरिथम है, जिसके लिए धन्यवाद, यहां तक ​​\u200b\u200bकि एक व्यक्ति कहां है, इसके बारे में जानकारी के बिना, उसे जल्दी से ढूंढें जैसे कि वह जानता है कि वह कहां है।

ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों के लिए यह समस्या बहुत महत्वपूर्ण है, लेकिन इसे 40 से अधिक वर्षों से हल नहीं किया गया है।

हॉज परिकल्पना

वास्तव में, कई सरल और बहुत अधिक जटिल ज्यामितीय वस्तुएं हैं। जाहिर है, वस्तु जितनी अधिक जटिल होती है, उसका अध्ययन करने में उतना ही अधिक समय लगता है। अब वैज्ञानिकों ने आविष्कार किया है और शक्ति और मुख्य दृष्टिकोण के साथ उपयोग कर रहे हैं, जिसका मुख्य विचार सरल का उपयोग करना है "ईंटें"पहले से ही ज्ञात गुणों के साथ जो एक साथ रहते हैं और इसकी समानता बनाते हैं, हाँ, एक डिजाइनर जो बचपन से सभी से परिचित है। "ईंटों" के गुणों को जानने के बाद, वस्तु के गुणों से ही संपर्क करना संभव हो जाता है।

इस मामले में हॉज की परिकल्पना "ईंटों" और वस्तुओं दोनों के कुछ गुणों से जुड़ी है।

रीमैन परिकल्पना

स्कूल के समय से, हम सभी ऐसी अभाज्य संख्याएँ जानते हैं जो केवल अपने आप से और एक से विभाज्य होती हैं। (2,3,5,7,11...) . प्राचीन काल से ही लोग अपने प्लेसमेंट में एक पैटर्न खोजने की कोशिश करते रहे हैं, लेकिन किस्मत ने अब तक किसी पर मुस्कान नहीं की है। नतीजतन, वैज्ञानिकों ने अपने प्रयासों को अभाज्य संख्या वितरण फ़ंक्शन पर लागू किया है, जो एक निश्चित संख्या से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, 4 - 2 अभाज्य संख्याओं के लिए, 10 के लिए - पहले से ही 4 संख्याएँ। रीमैन परिकल्पनाबस इस वितरण समारोह के गुण सेट करता है।

कुछ पूर्णांक एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में कई कथन इस धारणा के तहत सिद्ध होते हैं कि यह अनुमान सत्य है।

यांग-मिल्स सिद्धांत

क्वांटम भौतिकी के समीकरण प्राथमिक कणों की दुनिया का वर्णन करते हैं। भौतिकविदों यांग और मिल्स ने ज्यामिति और प्राथमिक कण भौतिकी के बीच संबंध की खोज की, विद्युत चुम्बकीय, कमजोर और मजबूत बातचीत के सिद्धांतों को मिलाकर, अपने स्वयं के समीकरण लिखे। एक समय में, यांग-मिल्स सिद्धांत को केवल गणितीय शोधन के रूप में माना जाता था, वास्तविकता से संबंधित नहीं। हालाँकि, बाद में सिद्धांत को प्रायोगिक पुष्टि प्राप्त होने लगी, लेकिन सामान्य तौर पर यह अभी भी अनसुलझा है।

यांग-मिल्स सिद्धांत के आधार पर, प्राथमिक कण भौतिकी का मानक मॉडल बनाया गया था जिसके भीतर सनसनीखेज हिग्स बोसोन की भविष्यवाणी की गई थी और हाल ही में खोज की गई थी।

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान का अस्तित्व और सुगमता

द्रव प्रवाह, वायु धाराएं, अशांति। इन और कई अन्य घटनाओं का वर्णन समीकरणों द्वारा किया जाता है जिन्हें के रूप में जाना जाता है नेवियर-स्टोक्स समीकरण. कुछ विशेष मामलों के लिए, समाधान पहले ही मिल चुके हैं, जिसमें, एक नियम के रूप में, अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करने के रूप में समीकरणों के कुछ हिस्सों को छोड़ दिया जाता है, लेकिन सामान्य तौर पर इन समीकरणों के समाधान अज्ञात होते हैं, और यह भी नहीं पता है कि कैसे हल किया जाए उन्हें।

बिर्च-स्विनर्टन-डायर परिकल्पना

समीकरण x 2 + y 2 \u003d z 2 के लिए, यूक्लिड ने एक बार समाधानों का पूरा विवरण दिया था, लेकिन अधिक जटिल समीकरणों के लिए, समाधान खोजना बेहद मुश्किल हो जाता है, यह फ़र्मेट के प्रसिद्ध प्रमेय के प्रमाण के इतिहास को याद करने के लिए पर्याप्त है इस पर यकीन हो।

यह परिकल्पना तीसरी डिग्री के बीजीय समीकरणों के विवरण से जुड़ी है - तथाकथित अण्डाकार वक्रऔर वास्तव में रैंक की गणना करने का एकमात्र अपेक्षाकृत सरल सामान्य तरीका है, जो अण्डाकार वक्रों के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक है।

प्रमाण में फ़र्मेट के प्रमेयअण्डाकार वक्रों ने सबसे महत्वपूर्ण स्थानों में से एक ले लिया है। और क्रिप्टोग्राफी में, वे नाम का एक पूरा खंड बनाते हैं, और कुछ रूसी डिजिटल हस्ताक्षर मानक उन पर आधारित होते हैं।

पॉइन्केयर अनुमान

मुझे लगता है कि अगर सभी नहीं तो आप में से ज्यादातर लोगों ने इसके बारे में जरूर सुना होगा। केंद्रीय मीडिया सहित अक्सर पाया जाता है, इस तरह की एक प्रतिलेख " एक गोले पर फैला रबर बैंड आसानी से एक बिंदु तक खींचा जा सकता है, लेकिन एक डोनट पर फैला एक रबर बैंड नहीं कर सकता". वास्तव में, यह सूत्रीकरण थर्स्टन अनुमान के लिए मान्य है, जो पोंकारे अनुमान को सामान्य करता है, और जिसे पेरेलमैन ने वास्तव में सिद्ध किया था।

पॉइनकेयर अनुमान का एक विशेष मामला हमें बताता है कि सीमा के बिना कोई भी त्रि-आयामी कई गुना (उदाहरण के लिए ब्रह्मांड) त्रि-आयामी क्षेत्र की तरह है। और सामान्य मामला किसी भी आयाम की वस्तुओं के लिए इस कथन का अनुवाद करता है। यह ध्यान देने योग्य है कि एक डोनट, ब्रह्मांड की तरह एक गोले की तरह है, एक साधारण कॉफी मग की तरह है।

निष्कर्ष

वर्तमान में, गणित उन वैज्ञानिकों से जुड़ा हुआ है जिनकी उपस्थिति अजीब है और समान रूप से अजीब चीजों के बारे में बात करते हैं। कई लोग उसके वास्तविक दुनिया से अलगाव के बारे में बात करते हैं। युवा और काफी जागरूक दोनों उम्र के बहुत से लोग कहते हैं कि गणित एक अनावश्यक विज्ञान है, कि स्कूल / संस्थान के बाद, यह जीवन में कहीं भी उपयोगी नहीं था।

लेकिन वास्तव में, ऐसा नहीं है - गणित को एक तंत्र के रूप में बनाया गया था जिसके साथ हमारी दुनिया का वर्णन किया जा सकता है, और विशेष रूप से, कई देखने योग्य चीजें। यह हर जगह, हर घर में है। जैसा कि वी.ओ. Klyuchevsky: "यह फूलों की गलती नहीं है कि अंधा उन्हें नहीं देखता है।"

हमारी दुनिया उतनी सरल नहीं है जितनी लगती है, और इसके अनुसार गणित भी अधिक जटिल होता जा रहा है, सुधार कर रहा है, मौजूदा वास्तविकता की गहरी समझ के लिए अधिक से अधिक ठोस आधार प्रदान कर रहा है।

रूसी गणितज्ञ को 3 जनवरी, 2017 को रीमैन परिकल्पना का प्रमाण मिला

बर्नहार्ड रिमेंन

याद रखें, मैंने आपको इसके बारे में बताया था। तो, उनमें से रीमैन परिकल्पना थी।

1859 में, जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन ने यूलर के पुराने विचार को लिया और तथाकथित जीटा फ़ंक्शन को परिभाषित करते हुए इसे पूरी तरह से नए तरीके से विकसित किया। इस कार्य का एक परिणाम एक निश्चित सीमा तक अभाज्य संख्याओं की संख्या के लिए एक सटीक सूत्र था। सूत्र एक अनंत योग था, लेकिन विश्लेषक इसके लिए अजनबी नहीं हैं। और यह दिमाग का बेकार खेल नहीं था: इस सूत्र के लिए धन्यवाद, अभाज्य संख्याओं की दुनिया के बारे में नया वास्तविक ज्ञान प्राप्त करना संभव था। केवल एक छोटी सी समस्या थी। हालांकि रीमैन यह साबित कर सकता था कि उसका सूत्र सटीक था, इसके सबसे महत्वपूर्ण संभावित निहितार्थ पूरी तरह से जीटा फ़ंक्शन के बारे में एक सरल कथन पर निर्भर थे, और यह वह सरल कथन था जिसे रीमैन कभी साबित नहीं कर सका। डेढ़ सदी बाद, हम अभी भी ऐसा करने में कामयाब नहीं हुए हैं।

आज, इस कथन को रीमैन परिकल्पना कहा जाता है और वास्तव में, शुद्ध गणित की पवित्र कब्र है, जो "पाया" लगता है रूसी गणितज्ञ.

इसका मतलब यह हो सकता है कि विश्व गणितीय विज्ञान एक अंतरराष्ट्रीय घटना के कगार पर है।

रीमैन परिकल्पना के प्रमाण या खंडन के संख्या सिद्धांत के लिए दूरगामी परिणाम होंगे, विशेष रूप से अभाज्य संख्याओं के वितरण के क्षेत्र में। और यह सूचना प्रौद्योगिकी के सुधार को प्रभावित कर सकता है।

रीमैन परिकल्पना सात सहस्राब्दी समस्याओं में से एक है, जिसके लिए क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट (कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स) उनमें से प्रत्येक को हल करने के लिए एक मिलियन अमेरिकी डॉलर का इनाम देगा।

इस प्रकार, अनुमान का प्रमाण रूसी गणितज्ञ को समृद्ध कर सकता है।

अंतर्राष्ट्रीय वैज्ञानिक जगत के अलिखित नियमों के अनुसार, इगोर तुर्कानोव की सफलता को कुछ वर्षों बाद तक पूरी तरह से पहचाना नहीं जा सकेगा। हालाँकि, उनके काम को पहले ही इंस्टीट्यूट ऑफ एप्लाइड मैथमेटिक्स के तत्वावधान में अंतर्राष्ट्रीय भौतिकी और गणित सम्मेलन में प्रस्तुत किया जा चुका है। सितंबर 2016 में केल्डिश आरएएस।

हम यह भी ध्यान दें कि यदि इगोर तुर्कानोव द्वारा पाई गई रीमैन परिकल्पना के प्रमाण को सही माना जाता है, तो सात "सहस्राब्दी समस्याओं" में से दो का समाधान पहले से ही रूसी गणितज्ञों के खाते में जमा किया जाएगा। इन समस्याओं में से एक 2002 में "पोंकारे परिकल्पना" है। उसी समय, उन्होंने क्ले इंस्टीट्यूट से 1 मिलियन डॉलर के बोनस से इनकार कर दिया जो उनके कारण था।

2015 में, नाइजीरिया के गणित के प्रोफेसर ओपेमी हनोक ने दावा किया कि वह रीमैन परिकल्पना को हल करने में सक्षम थे, लेकिन क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिक्स ने अब तक रीमैन परिकल्पना को अप्रमाणित माना। संस्थान के प्रतिनिधियों के अनुसार, उपलब्धि को दर्ज करने के लिए, इसे एक प्रतिष्ठित अंतरराष्ट्रीय पत्रिका में प्रकाशित किया जाना चाहिए, जिसके बाद वैज्ञानिक समुदाय द्वारा प्रमाण की पुष्टि की जाएगी।

सूत्रों का कहना है

गणितीय विज्ञान। मानव ज्ञान के इस क्षेत्र के विकास पर उन पर काम का जबरदस्त प्रभाव पड़ा। 100 साल बाद, क्ले मैथमैटिकल इंस्टीट्यूट ने 7 समस्याओं की एक सूची प्रस्तुत की, जिन्हें मिलेनियम प्रॉब्लम्स के नाम से जाना जाता है। उनमें से प्रत्येक को $ 1 मिलियन का पुरस्कार दिया गया था।

एक सदी से भी अधिक समय से वैज्ञानिकों को परेशान करने वाली पहेली की दोनों सूचियों के बीच एकमात्र समस्या रीमैन परिकल्पना थी। वह अब भी अपने फैसले का इंतजार कर रही हैं।

संक्षिप्त जीवनी नोट

जॉर्ज फ्रेडरिक बर्नहार्ड रीमैन का जन्म 1826 में हनोवर में एक गरीब पादरी के एक बड़े परिवार में हुआ था, और वह केवल 39 वर्ष जीवित रहे। वह 10 कार्यों को प्रकाशित करने में कामयाब रहे। हालाँकि, पहले से ही अपने जीवनकाल के दौरान, रीमैन को उनके शिक्षक जोहान गॉस का उत्तराधिकारी माना जाता था। 25 साल की उम्र में, युवा वैज्ञानिक ने अपने शोध प्रबंध "एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के मूल सिद्धांतों" का बचाव किया। बाद में उन्होंने अपनी परिकल्पना तैयार की, जो प्रसिद्ध हुई।

अभाज्य सँख्या

गणित तब सामने आया जब मनुष्य ने गिनना सीखा। उसी समय, संख्याओं के बारे में पहले विचार उत्पन्न हुए, जिन्हें बाद में उन्होंने वर्गीकृत करने का प्रयास किया। उनमें से कुछ में सामान्य गुण पाए गए हैं। विशेष रूप से, प्राकृतिक संख्याओं के बीच, अर्थात, जिनका उपयोग वस्तुओं की संख्या को गिनने (क्रमांकन) या नामित करने में किया जाता था, एक समूह को प्रतिष्ठित किया गया था जो केवल एक और अपने आप से विभाज्य थे। उन्हें सरल कहा जाता है। यूक्लिड ने अपने तत्वों में ऐसी संख्याओं के समुच्चय के अनंत के प्रमेय का एक सुंदर प्रमाण दिया था। पर इस पलउनकी तलाश जारी है। विशेष रूप से, पहले से ज्ञात सबसे बड़ा नंबर 2 74 207 281 - 1 है।

यूलर सूत्र

अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की अनंतता की अवधारणा के साथ, यूक्लिड ने अभाज्य गुणनखंडों में एकमात्र संभावित अपघटन पर दूसरे प्रमेय को भी परिभाषित किया। इसके अनुसार कोई भी धनात्मक पूर्णांक अभाज्य संख्याओं के केवल एक समुच्चय का गुणनफल होता है। 1737 में, महान जर्मन गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर ने यूक्लिड के पहले अनंत प्रमेय को नीचे दिए गए सूत्र के रूप में व्यक्त किया।

इसे जीटा फ़ंक्शन कहा जाता है, जहां s एक स्थिरांक है और p सभी अभाज्य मान लेता है। विस्तार की विशिष्टता के बारे में यूक्लिड का बयान सीधे इसके बाद आया।

रीमैन जीटा फंक्शन

यूलर का सूत्र, करीब से निरीक्षण करने पर, बिल्कुल आश्चर्यजनक है, क्योंकि यह अभाज्य और पूर्णांक के बीच संबंध को परिभाषित करता है। आखिरकार, इसके बाईं ओर, असीम रूप से कई अभिव्यक्तियाँ जो केवल अभाज्य संख्याओं पर निर्भर करती हैं, गुणा की जाती हैं, और दाईं ओर सभी सकारात्मक पूर्णांकों का योग होता है।

रीमैन यूलर से आगे निकल गया। संख्याओं के वितरण की समस्या की कुंजी खोजने के लिए, उन्होंने वास्तविक और जटिल दोनों चरों के लिए एक सूत्र को परिभाषित करने का प्रस्ताव रखा। यह वह थी जिसे बाद में रीमैन जीटा समारोह का नाम मिला। 1859 में, वैज्ञानिक ने "अभाज्य संख्याओं की संख्या पर जो किसी दिए गए मान से अधिक नहीं है" शीर्षक से एक लेख प्रकाशित किया, जहाँ उन्होंने अपने सभी विचारों को संक्षेप में प्रस्तुत किया।

रीमैन ने यूलर श्रृंखला का उपयोग करने का सुझाव दिया, जो किसी भी वास्तविक s>1 के लिए अभिसरण करता है। यदि कॉम्प्लेक्स एस के लिए एक ही सूत्र का उपयोग किया जाता है, तो श्रृंखला इस चर के किसी भी मूल्य के लिए 1 से अधिक वास्तविक भाग के साथ अभिसरण करेगी। रीमैन ने विश्लेषणात्मक निरंतरता प्रक्रिया को लागू किया, सभी जटिल संख्याओं के लिए जेटा (एस) की परिभाषा का विस्तार किया, लेकिन "बाहर फेंक दिया" इकाई। इसे बाहर रखा गया था क्योंकि s = 1 के लिए zeta फलन अनंत तक बढ़ जाता है।

व्यावहारिक अर्थ

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: जीटा फ़ंक्शन के बारे में दिलचस्प और महत्वपूर्ण क्या है, जो कि रीमैन के अशक्त परिकल्पना पर काम करने की कुंजी है? जैसा कि आप जानते हैं, इस समय कोई सरल पैटर्न नहीं पहचाना गया है जो प्राकृतिक संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याओं के वितरण का वर्णन करता है। रीमैन यह पता लगाने में सक्षम था कि ज़ीटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्यों के वितरण के संदर्भ में एक्स से अधिक नहीं होने वाले प्राइम की संख्या पीआई (एक्स) व्यक्त की जाती है। इसके अलावा, कुछ क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम के संचालन के लिए समय अनुमानों को साबित करने के लिए रीमैन परिकल्पना एक आवश्यक शर्त है।

रीमैन परिकल्पना

इस गणितीय समस्या के पहले सूत्रों में से एक, जो आज तक सिद्ध नहीं हुआ है, ऐसा लगता है: गैर-तुच्छ 0 जीटा फ़ंक्शन जटिल संख्याएं हैं जिनका वास्तविक भाग ½ के बराबर है। दूसरे शब्दों में, वे रेखा Re s = ½ पर स्थित हैं।

एक सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना भी है, जो एक ही कथन है, लेकिन जेटा कार्यों के सामान्यीकरण के लिए, जिसे आमतौर पर डिरिचलेट एल-फ़ंक्शंस कहा जाता है (नीचे फोटो देखें)।

सूत्र में χ(n) कुछ संख्यात्मक वर्ण (modulo k) है।

रीमैनियन अभिकथन को तथाकथित शून्य परिकल्पना माना जाता है, क्योंकि यह मौजूदा नमूना डेटा के साथ संगति के लिए परीक्षण किया गया है।

जैसा कि रीमैन ने तर्क दिया

जर्मन गणितज्ञ की टिप्पणी शुरू में आकस्मिक रूप से तैयार की गई थी। तथ्य यह है कि उस समय वैज्ञानिक अभाज्य संख्याओं के वितरण पर प्रमेय को सिद्ध करने जा रहे थे, और इस संदर्भ में, इस परिकल्पना का अधिक अर्थ नहीं था। हालांकि, कई अन्य मुद्दों को सुलझाने में इसकी भूमिका बहुत बड़ी है। यही कारण है कि रीमैन की धारणा को वर्तमान में कई वैज्ञानिकों द्वारा अप्रमाणित गणितीय समस्याओं में सबसे महत्वपूर्ण माना जाता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, वितरण प्रमेय को साबित करने के लिए, पूर्ण रीमैन परिकल्पना की आवश्यकता नहीं है, और यह तार्किक रूप से उचित ठहराने के लिए पर्याप्त है कि जीटा फ़ंक्शन के किसी भी गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक हिस्सा 0 से 1 के अंतराल में है। इससे संपत्ति यह इस प्रकार है कि सभी 0-वें पर योग ऊपर सटीक सूत्र में दिखाई देने वाले जेटा फ़ंक्शन एक सीमित स्थिरांक हैं। एक्स के बड़े मूल्यों के लिए, यह पूरी तरह से खो सकता है। सूत्र का एकमात्र सदस्य जो बहुत बड़े x के लिए भी वही रहता है, x ही है। शेष जटिल शब्द इसकी तुलना में बिना लक्षण के गायब हो जाते हैं। तो भारित योग x की ओर जाता है। इस परिस्थिति को अभाज्य संख्याओं के वितरण पर प्रमेय की सच्चाई की पुष्टि माना जा सकता है। इस प्रकार, रीमैन जेटा फ़ंक्शन के शून्यों की एक विशेष भूमिका होती है। यह इस तथ्य में निहित है कि मूल्य विस्तार सूत्र में महत्वपूर्ण योगदान नहीं दे सकते हैं।

रीमैन के अनुयायी

तपेदिक से दुखद मौत ने इस वैज्ञानिक को अपने कार्यक्रम को तार्किक अंत तक लाने की अनुमति नहीं दी। हालाँकि, Sh-Zh ने उनसे पदभार ग्रहण कर लिया। डे ला वेली पुसिन और जैक्स हैडामार्ड। एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से, उन्होंने अभाज्य संख्याओं के वितरण पर एक प्रमेय निकाला। Hadamard और Poussin यह साबित करने में सफल रहे कि सभी गैर-तुच्छ 0 जेटा फ़ंक्शन क्रिटिकल बैंड के भीतर हैं।

इन वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, गणित में एक नई दिशा दिखाई दी - संख्याओं का विश्लेषणात्मक सिद्धांत। बाद में, रीमैन जिस प्रमेय पर काम कर रहे थे, उसके कई और आदिम प्रमाण अन्य शोधकर्ताओं द्वारा प्राप्त किए गए थे। विशेष रूप से, पाल एर्डोस और एटल सेलबर्ग ने इसकी पुष्टि करने वाली एक बहुत ही जटिल तार्किक श्रृंखला की खोज की, जिसके लिए जटिल विश्लेषण के उपयोग की आवश्यकता नहीं थी। हालांकि, इस बिंदु तक, कई महत्वपूर्ण प्रमेय पहले से ही रीमैन के विचार के माध्यम से सिद्ध हो चुके थे, जिसमें संख्या सिद्धांत के कई कार्यों का अनुमान शामिल था। इस संबंध में, एर्डोस और एटल सेलबर्ग के नए काम का व्यावहारिक रूप से किसी भी चीज पर कोई प्रभाव नहीं पड़ा।

समस्या का सबसे सरल और सबसे सुंदर प्रमाण 1980 में डोनाल्ड न्यूमैन द्वारा पाया गया था। यह प्रसिद्ध कॉची प्रमेय पर आधारित था।

क्या रीमैनियन परिकल्पना से आधुनिक क्रिप्टोग्राफी की नींव को खतरा है?

डेटा एन्क्रिप्शन चित्रलिपि के आगमन के साथ उत्पन्न हुआ, अधिक सटीक रूप से, उन्हें स्वयं पहला कोड माना जा सकता है। फिलहाल, डिजिटल क्रिप्टोग्राफी का एक पूरा क्षेत्र है, जो विकसित हो रहा है

अभाज्य और "अर्ध-अभाज्य" संख्याएँ, अर्थात् वे जो एक ही वर्ग से केवल 2 अन्य संख्याओं से विभाज्य हैं, सार्वजनिक कुंजी प्रणाली का आधार बनती हैं जिसे RSA के रूप में जाना जाता है। इसका सबसे व्यापक अनुप्रयोग है। विशेष रूप से, इसका उपयोग इलेक्ट्रॉनिक हस्ताक्षर उत्पन्न करते समय किया जाता है। डमी के लिए सुलभ शब्दों में बोलते हुए, रीमैन परिकल्पना अभाज्य संख्याओं के वितरण में एक प्रणाली के अस्तित्व पर जोर देती है। इस प्रकार, क्रिप्टोग्राफिक कुंजियों की ताकत, जिस पर ई-कॉमर्स के क्षेत्र में ऑनलाइन लेनदेन की सुरक्षा निर्भर करती है, काफी कम हो जाती है।

अन्य अनसुलझे गणितीय समस्याएं

अन्य सहस्राब्दी कार्यों के लिए कुछ शब्दों को समर्पित करके लेख को समाप्त करना उचित है। इसमे शामिल है:

• वर्ग पी और एनपी की समानता। समस्या इस प्रकार तैयार की गई है: यदि बहुपद समय में किसी विशेष प्रश्न का सकारात्मक उत्तर चेक किया जाता है, तो क्या यह सच है कि इस प्रश्न का उत्तर स्वयं ही जल्दी मिल सकता है?
• हॉज परिकल्पना। सरल शब्दों में, इसे निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: कुछ प्रकार के प्रक्षेपी बीजीय किस्मों (रिक्त स्थान) के लिए, हॉज चक्र वस्तुओं के संयोजन होते हैं जिनकी ज्यामितीय व्याख्या होती है, अर्थात बीजगणितीय चक्र।
• पोंकारे परिकल्पना। यह एकमात्र मिलेनियम चैलेंज है जो अब तक सिद्ध हो चुका है। इसके अनुसार, कोई भी 3-आयामी वस्तु जिसमें 3-आयामी क्षेत्र के विशिष्ट गुण होते हैं, विरूपण के लिए एक क्षेत्र होना चाहिए।
• यांग-मिल्स के क्वांटम सिद्धांत का विवरण। यह साबित करना आवश्यक है कि इन वैज्ञानिकों द्वारा अंतरिक्ष आर 4 के लिए सामने रखा गया क्वांटम सिद्धांत मौजूद है और किसी भी साधारण कॉम्पैक्ट गेज समूह जी के लिए 0 वां द्रव्यमान दोष है।
• बिर्च-स्विनर्टन-डायर परिकल्पना। यह क्रिप्टोग्राफी से संबंधित एक और मुद्दा है। यह अण्डाकार वक्रों की चिंता करता है।
• नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और सुगमता की समस्या।

अब आप रीमैन परिकल्पना को जानते हैं। सरल शब्दों में, हमने कुछ अन्य सहस्राब्दी चुनौतियाँ तैयार की हैं। उनका समाधान हो जाएगा या यह साबित हो जाएगा कि उनके पास कोई समाधान नहीं है, यह समय की बात है। और यह संभावना नहीं है कि इसके लिए बहुत लंबा इंतजार करना पड़ेगा, क्योंकि गणित कंप्यूटर की कंप्यूटिंग क्षमताओं का तेजी से उपयोग कर रहा है। हालांकि, सब कुछ प्रौद्योगिकी के अधीन नहीं है, और सबसे पहले, वैज्ञानिक समस्याओं को हल करने के लिए अंतर्ज्ञान और रचनात्मकता की आवश्यकता होती है।