यह दो . से बनने वाला कोण है कॉर्ड्सवृत्त के एक बिंदु पर उत्पन्न होता है। एक खुदा हुआ कोण कहा जाता है निर्भर करता हैइसके किनारों के बीच संलग्न एक चाप पर।

खुदा हुआ कोणचाप के आधे के बराबर जिस पर वह टिकी हुई है।

दूसरे शब्दों में, खुदा हुआ कोणजितनी डिग्री, मिनट और सेकंड शामिल हैं चाप डिग्री, मिनट और सेकंड चाप के आधे हिस्से में संलग्न हैं जिस पर यह निर्भर करता है। औचित्य के लिए, हम तीन मामलों का विश्लेषण करते हैं:

पहला मामला:

केंद्र O बगल में स्थित है खुदा हुआ कोणएबीएस। त्रिज्या AO खींचकर, हम ABO प्राप्त करते हैं, जिसमें OA = OB (त्रिज्या के रूप में) और, तदनुसार, ABO = ZBAO। इसके संबंध में त्रिकोण, कोण AOC बाहरी है। और इसलिए, यह कोणों ABO और BAO के योग के बराबर है, या दोहरे कोण ABO के बराबर है। अतः ABO आधा है केंद्रीय कोनेएओसी. लेकिन इस कोण को चाप AC से मापा जाता है। यानी खुदा हुआ कोण ABC आधा चाप AC से मापा जाता है।

दूसरा मामला:

केंद्र O भुजाओं के बीच स्थित है खुदा हुआ कोणएबीसी व्यास बीडी खींचकर, हम कोण एबीसी को दो कोणों में विभाजित करते हैं, जिनमें से पहले मामले में स्थापित के अनुसार, आधे से मापा जाता है आर्क्स AD, और चाप CD का दूसरा आधा भाग। और उसी के अनुसार कोण ABC को (AD+DC)/2 से मापा जाता है, अर्थात्। 1/2 एसी।

तीसरा मामला:

केंद्र O बाहर स्थित है खुदा हुआ कोणएबीएस। व्यास BD निकालने के बाद, हमारे पास होगा: ABС = ABD - ∠CBD . लेकिन कोण ABD और CBD मापा जाता है, जो पहले सिद्ध किए गए हिस्सों के आधार पर होता है आर्क्सएडी और सीडी। और चूँकि ABС को (AD-CD)/2 से मापा जाता है, जो कि AC चाप का आधा है।

परिणाम 1.एक ही चाप पर आधारित कोई भी समान हैं, अर्थात वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि उनमें से प्रत्येक को उसी के आधे से मापा जाता है आर्क्स .

परिणाम 2. खुदा हुआ कोणव्यास के आधार पर - समकोण. चूंकि ऐसे प्रत्येक कोण को आधे अर्धवृत्त द्वारा मापा जाता है और, तदनुसार, इसमें 90 ° होता है।

उत्कीर्ण कोण, समस्या सिद्धांत। मित्र! इस लेख में हम उन कार्यों के बारे में बात करेंगे जिनके समाधान के लिए एक उत्कीर्ण कोण के गुणों को जानना आवश्यक है। यह कार्यों का एक पूरा समूह है, उन्हें परीक्षा में शामिल किया जाता है। उनमें से अधिकांश का समाधान बहुत ही सरलता से, एक चरण में किया जाता है।

अधिक कठिन कार्य हैं, लेकिन वे आपके लिए अधिक कठिनाई पेश नहीं करेंगे, आपको खुदा हुआ कोण के गुणों को जानने की जरूरत है। धीरे-धीरे, हम कार्यों के सभी प्रोटोटाइप का विश्लेषण करेंगे, मैं आपको ब्लॉग पर आमंत्रित करता हूं!

अब आवश्यक सिद्धांत। याद करें कि एक केंद्रीय और खुदा हुआ कोण, जीवा, चाप, जिस पर ये कोण निर्भर करते हैं:

एक वृत्त में केंद्रीय कोण को के साथ एक समतल कोण कहा जाता हैइसके केंद्र में शिखर.

वृत्त का वह भाग जो समतल कोने के अंदर होता हैवृत्त का चाप कहते हैं।

एक वृत्त के चाप की डिग्री माप डिग्री माप हैसंबंधित केंद्रीय कोण।

एक कोण को वृत्त में अंकित कोण कहा जाता है यदि कोण का शीर्ष स्थित हैएक वृत्त पर, और कोण की भुजाएँ इस वृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं।

एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड कहलाता हैतार. सबसे लंबी जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और कहलाती हैव्यास।

वृत्त में अंकित कोणों की समस्याओं को हल करने के लिए,आपको निम्नलिखित गुणों को जानना होगा:

1. खुदा हुआ कोण उसी चाप पर आधारित आधे केंद्रीय कोण के बराबर होता है।

2. एक ही चाप पर आधारित सभी खुदे हुए कोण बराबर होते हैं।

3. एक ही जीवा पर आधारित सभी खुदे हुए कोण, जिनके शीर्ष इस जीवा के एक ही तरफ स्थित होते हैं, बराबर होते हैं।

4. एक ही जीवा पर आधारित कोणों का कोई भी युग्म, जिसके शीर्ष जीवा की विपरीत भुजाओं पर स्थित हों, 180° तक योग करते हैं।

उपफल: एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है।

5. व्यास के आधार पर सभी खुदे हुए कोण सीधे होते हैं।

सामान्य तौर पर, यह संपत्ति संपत्ति (1) का परिणाम है, यह इसका विशेष मामला है। देखो - केंद्रीय कोण 180 डिग्री के बराबर है (और यह विकसित कोण एक व्यास से ज्यादा कुछ नहीं है), जिसका अर्थ है कि पहली संपत्ति के अनुसार, खुदा हुआ कोण सी इसके आधे के बराबर है, यानी 90 डिग्री।

इस संपत्ति का ज्ञान कई समस्याओं को हल करने में मदद करता है और अक्सर आपको अनावश्यक गणनाओं से बचने की अनुमति देता है। इसमें महारत हासिल करने के बाद, आप इस प्रकार की आधी से अधिक समस्याओं को मौखिक रूप से हल करने में सक्षम होंगे। दो परिणाम जो किए जा सकते हैं:

कोरोलरी 1: यदि एक त्रिभुज एक वृत्त में अंकित है और उसकी एक भुजा इस वृत्त के व्यास के साथ मेल खाती है, तो त्रिभुज समकोण होता है (समकोण का शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है)।

उपफल 2: एक समकोण त्रिभुज के परिगत वृत्त का केंद्र उसके कर्ण के मध्य बिंदु से मेल खाता है।

इस गुण और इन उपफलों का उपयोग करके स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं के कई प्रोटोटाइप भी हल किए जाते हैं। तथ्य को स्वयं याद रखें: यदि किसी वृत्त का व्यास एक उत्कीर्ण त्रिभुज की एक भुजा है, तो यह त्रिभुज समकोण है (व्यास के विपरीत कोण 90 डिग्री है)। आप अन्य सभी निष्कर्ष और परिणाम स्वयं निकाल सकते हैं, आपको उन्हें सिखाने की आवश्यकता नहीं है।

एक नियम के रूप में, एक उत्कीर्ण कोण के लिए समस्याओं का आधा एक स्केच के साथ दिया जाता है, लेकिन बिना अंकन के। समस्याओं को हल करते समय तर्क की प्रक्रिया को समझने के लिए (नीचे लेख में), शीर्षों (कोनों) के पदनाम पेश किए गए हैं। परीक्षा में, आप ऐसा नहीं कर सकते।कार्यों पर विचार करें:

वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा को प्रतिच्छेदित करने वाला एक न्यूनकोण खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए किसी दिए गए खुदा कोण के लिए एक केंद्रीय कोण का निर्माण करें, शीर्षों को निरूपित करें:

वृत्त में अंकित कोण के गुण के अनुसार:

कोण AOB 60 0 के बराबर है, क्योंकि त्रिभुज AOB समबाहु है, और एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं। त्रिभुज की भुजाएँ बराबर हैं, क्योंकि शर्त कहती है कि जीवा त्रिज्या के बराबर है।

इस प्रकार, खुदा हुआ कोण DIA 30 0 है।

उत्तर: 30

वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर कोण 30 0 स्थित है, जो त्रिज्या 3 के एक वृत्त में अंकित है।

यह अनिवार्य रूप से उलटा समस्या है (पिछले एक की)। आइए एक केंद्रीय कोने का निर्माण करें।

यह खुदा हुआ से दोगुना बड़ा है, यानी कोण AOB 60 0 है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज AOB समबाहु है। इस प्रकार, जीवा त्रिज्या के बराबर है, अर्थात तीन।

उत्तर: 3

वृत्त की त्रिज्या 1 है। दो के मूल के बराबर एक जीवा पर आधारित अधिक उत्कीर्ण कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए केंद्रीय कोण का निर्माण करें:

त्रिज्या और जीवा को जानकर, हम केंद्रीय कोण DIA ज्ञात कर सकते हैं। यह कोसाइन के नियम का उपयोग करके किया जा सकता है। केंद्रीय कोण को जानकर, हम आसानी से खुदा हुआ कोण ACB पा सकते हैं।

कोसाइन प्रमेय: एक त्रिभुज की किसी भी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, इन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण की कोज्या से दोगुना किए बिना।

इसलिए, दूसरा केंद्रीय कोण 360 0 . है – 90 0 = 270 0 .

एक खुदा हुआ कोण के गुण के अनुसार कोण DIA उसके आधे के बराबर होता है, यानी 135 डिग्री।

उत्तर: 135

वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर 120 डिग्री का कोण, तीन का मूल, त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित है।

बिंदु A और B को वृत्त के केंद्र से कनेक्ट करें। आइए इसे ओ कहते हैं:

हम त्रिज्या और खुदा हुआ कोण DIA जानते हैं। हम केंद्रीय कोण AOB (180 डिग्री से अधिक) ज्ञात कर सकते हैं, फिर त्रिभुज AOB में कोण AOB ज्ञात करें। और फिर, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, AB परिकलित करें।

एक खुदे हुए कोण के गुण से केंद्रीय कोण AOB (जो 180 डिग्री से अधिक होता है) खुदा हुआ कोण के दोगुने यानी 240 डिग्री के बराबर होगा। इसका अर्थ है कि त्रिभुज AOB में कोण AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 है।

कोसाइन के नियम के अनुसार:

उत्तर:3

चाप के आधार पर खुदा हुआ कोण ज्ञात कीजिए जो वृत्त का 20% है। अपना उत्तर अंशों में दें।

एक खुदा हुआ कोण के गुण से यह उसी चाप पर आधारित केंद्रीय कोण के आकार का आधा होता है, इस मामले में हम चाप AB के बारे में बात कर रहे हैं।

ऐसा कहा जाता है कि चाप AB परिधि का 20 प्रतिशत है। इसका मतलब है कि केंद्रीय कोण AOB भी 360 0 का 20 प्रतिशत है।* एक वृत्त 360 डिग्री का कोण होता है। माध्यम,

इस प्रकार, खुदा हुआ कोण ACB 36 डिग्री है।

उत्तर: 36

एक वृत्त का चाप एसी, अंक युक्त नहीं बी, 200 डिग्री है। और वृत्त BC का चाप, जिसमें बिंदु नहीं हैं ए, 80 डिग्री है। अंकित कोण ACB ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए स्पष्टता के लिए उन चापों को निरूपित करें जिनके कोणीय माप दिए गए हैं। 200 डिग्री के अनुरूप चाप नीला है, 80 डिग्री के अनुरूप चाप लाल है, शेष वृत्त पीला है।

इस प्रकार, चाप AB (पीला) की डिग्री माप, और इसलिए केंद्रीय कोण AOB है: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

खुदा हुआ कोण DAB केंद्रीय कोण AOB का आधा है, यानी 40 डिग्री के बराबर।

उत्तर: 40

वृत्त के व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।

आज हम 6 अन्य प्रकार की समस्याओं को देखेंगे - इस बार एक वृत्त के साथ। कई छात्र उन्हें पसंद नहीं करते हैं और उन्हें मुश्किल पाते हैं। और यह पूरी तरह से व्यर्थ है, क्योंकि ऐसे कार्य हल हो जाते हैं प्राथमिकयदि आप कुछ प्रमेयों को जानते हैं। या वे बिल्कुल भी हिम्मत नहीं करते हैं, अगर वे नहीं जानते हैं।

मुख्य गुणों के बारे में बात करने से पहले, मैं आपको परिभाषा की याद दिला दूं:

एक खुदा हुआ कोण वह होता है जिसका शीर्ष वृत्त पर ही स्थित होता है, और भुजाएँ इस वृत्त पर एक जीवा काटती हैं।

एक केंद्रीय कोण वृत्त के केंद्र में एक शीर्ष वाला कोई भी कोण होता है। इसकी भुजाएँ भी इस वृत्त को काटती हैं और इस पर एक जीवा बनाती हैं।

तो, एक उत्कीर्ण और केंद्रीय कोण की अवधारणाएं एक वृत्त और उसके अंदर जीवाओं के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। अब मुख्य कथन के लिए:

प्रमेय। केंद्रीय कोण हमेशा एक ही चाप पर आधारित खुदा हुआ कोण का दोगुना होता है।

कथन की सरलता के बावजूद, समस्याओं का एक पूरा वर्ग है जो इसकी मदद से हल किया जाता है - और कुछ नहीं।

एक कार्य। वृत्त की त्रिज्या के बराबर जीवा पर आधारित एक न्यून उत्कीर्ण कोण ज्ञात कीजिए।

माना AB विचाराधीन जीवा है, O वृत्त का केंद्र है। अतिरिक्त रचना: OA और OB वृत्त त्रिज्याएँ हैं। हम पाते हैं:

त्रिभुज ABO पर विचार करें। इसमें AB = OA = OB - सभी भुजाएँ वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती हैं। अत: त्रिभुज ABO समबाहु है और इसके सभी कोण 60° हैं।

मान लीजिए M खुदा हुआ कोण का शीर्ष है। चूँकि कोण O और M एक ही चाप AB पर आधारित हैं, इसलिए खुदा हुआ कोण M केंद्रीय कोण O से 2 गुना कम है। हमारे पास है:

एम = ओ: 2 = 60: 2 = 30

एक कार्य। केंद्रीय कोण उसी वृत्ताकार चाप पर आधारित खुदा हुआ कोण से 36° बड़ा है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए।

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

1. AB वृत्त की जीवा है;
2. बिंदु O वृत्त का केंद्र है, इसलिए कोण AOB केंद्रीय है;
3. बिंदु C खुदा हुआ कोण ACB का शीर्ष है।

चूँकि हम अंकित कोण ACB की तलाश कर रहे हैं, आइए इसे ACB = x निरूपित करें। तब केंद्रीय कोण AOB x + 36 होता है। दूसरी ओर, केंद्रीय कोण खुदा हुआ कोण का दोगुना होता है। हमारे पास है:

एओबी = 2 एसीबी;
एक्स + 36 = 2 एक्स;
एक्स = 36।

तो हमें उत्कीर्ण कोण AOB मिला - यह 36 ° के बराबर है।

एक वृत्त एक 360° का कोण होता है

उपशीर्षक पढ़ने के बाद, जानकार पाठक शायद अब कहेंगे: "फू!" दरअसल, किसी वृत्त की तुलना कोण से करना पूरी तरह से सही नहीं है। यह समझने के लिए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं, क्लासिक त्रिकोणमितीय सर्कल पर एक नज़र डालें:

यह तस्वीर क्यों? और इस तथ्य के लिए कि एक पूर्ण घूर्णन 360 डिग्री का कोण है। और यदि आप इसे 20 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, तो उनमें से प्रत्येक का आकार 360: 20 = 18 डिग्री होगा। समस्या B8 को हल करने के लिए ठीक यही आवश्यक है।

बिंदु A, B और C एक वृत्त पर स्थित हैं और इसे तीन चापों में विभाजित करते हैं, जिनकी डिग्री माप 1: 3: 5 से संबंधित हैं। त्रिभुज ABC का सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए प्रत्येक चाप की डिग्री माप ज्ञात करें। माना कि उनमें से छोटा x के बराबर है। इस चाप को आकृति में AB अंकित किया गया है। तब शेष चाप - BC और AC - को AB के पदों में व्यक्त किया जा सकता है: चाप BC = 3x; एसी = 5x। ये चाप 360 डिग्री तक जोड़ते हैं:

एबी + बीसी + एसी = 360;
एक्स + 3x + 5x = 360;
9x=360;
एक्स = 40।

अब एक बड़े चाप AC पर विचार करें जिसमें बिंदु B नहीं है। यह चाप, संगत केंद्रीय कोण AOC की तरह, 5x = 5 40 = 200 डिग्री है।

कोण ABC त्रिभुज के सभी कोणों में सबसे बड़ा होता है। यह केंद्रीय कोण AOC के समान चाप पर आधारित एक खुदा हुआ कोण है। अतः कोण ABC, AOC से 2 गुना छोटा है। हमारे पास है:

एबीसी = एओसी: 2 = 200: 2 = 100

यह त्रिभुज ABC में सबसे बड़े कोण का अंश माप होगा।

एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त

बहुत से लोग इस प्रमेय को भूल जाते हैं। लेकिन व्यर्थ, क्योंकि इसके बिना कुछ B8 कार्यों को हल नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, वे हल हो गए हैं, लेकिन इतनी मात्रा में गणना के साथ कि आप उत्तर तक पहुंचने के बजाय सो जाएंगे।

प्रमेय। एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है।

इस प्रमेय से क्या निकलता है?

1. कर्ण का मध्यबिंदु त्रिभुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। यह प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है;
2. कर्ण तक खींची गई माध्यिका मूल त्रिभुज को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करती है। समस्या B8 को हल करने के लिए ठीक यही आवश्यक है।

माध्यिका CD त्रिभुज ABC में खींची गई है। कोण C 90° और कोण B 60° है। कोण एसीडी खोजें।

चूँकि कोण C 90° है, त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है। यह पता चला है कि सीडी कर्ण के लिए खींची गई माध्यिका है। अतः त्रिभुज ADC और BDC समद्विबाहु हैं।

विशेष रूप से, त्रिभुज ADC पर विचार करें। इसमें एडी = सीडी। लेकिन एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं - "समस्या B8: त्रिभुज में खंड और कोण" देखें। अत: वांछित कोण ACD = A.

इसलिए, यह पता लगाना बाकी है कि कोण A किसके बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम फिर से मूल त्रिभुज ABC की ओर मुड़ते हैं। कोण A = x निरूपित करें। चूँकि किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, इसलिए हमें प्राप्त होता है:

ए + बी + बीसीए = 180;
एक्स + 60 + 90 = 180;
एक्स = 30।

बेशक, आखिरी समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करना आसान है कि त्रिभुज BCD केवल समद्विबाहु नहीं है, बल्कि समबाहु है। तो कोण बीसीडी 60 डिग्री है। अतः कोण ACD 90 - 60 = 30 डिग्री है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आप विभिन्न समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन उत्तर हमेशा समान होगा।

औसत स्तर

वृत्त और उत्कीर्ण कोण। विजुअल गाइड (2019)

मूल शर्तें।

आपको मंडली से जुड़े सभी नाम कितनी अच्छी तरह याद हैं? बस मामले में, हम याद करते हैं - चित्रों को देखें - अपने ज्ञान को ताज़ा करें।

पहले तो - एक वृत्त का केंद्र एक ऐसा बिंदु होता है, जहाँ से वृत्त के सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं।

दूसरी बात - RADIUS - केंद्र और वृत्त पर एक बिंदु को जोड़ने वाला एक रेखा खंड।

बहुत सी त्रिज्याएँ होती हैं (जितनी एक वृत्त पर बिंदु होते हैं), लेकिन सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है।

कभी-कभी संक्षेप में RADIUSवे इसे कहते हैं खंड की लंबाई"केंद्र वृत्त पर एक बिंदु है", और खंड ही नहीं।

और यहाँ क्या होता है यदि आप दो बिंदुओं को एक वृत्त पर जोड़ते हैं? एक कट भी?

तो, इस खंड को कहा जाता है "तार".

जैसे कि त्रिज्या के मामले में, व्यास को अक्सर एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने और केंद्र से गुजरने वाले खंड की लंबाई कहा जाता है। वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? नज़दीक से देखें। बेशक, त्रिज्या आधा व्यास है।

रागों के अलावा, वहाँ भी हैं छेदक

क्या आपको सबसे सरल याद है?

केंद्रीय कोण दो त्रिज्याओं के बीच का कोण है।

और अब खुदा हुआ कोण

एक उत्कीर्ण कोण दो जीवाओं के बीच का कोण है जो एक वृत्त पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है.

इस मामले में, वे कहते हैं कि खुदा हुआ कोण एक चाप (या एक जीवा पर) पर निर्भर करता है।

तस्वीर पर देखो:

चाप और कोण मापना।

परिधि। चाप और कोणों को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है। सबसे पहले, डिग्री के बारे में। कोणों के लिए कोई समस्या नहीं है - आपको यह सीखना होगा कि चाप को डिग्री में कैसे मापें।

डिग्री माप (चाप मान) संबंधित केंद्रीय कोण का मान (डिग्री में) है

यहाँ "संगत" शब्द का क्या अर्थ है? आइए ध्यान से देखें:

दो चाप और दो केंद्रीय कोण देखें? खैर, एक बड़ा चाप एक बड़े कोण से मेल खाता है (और यह ठीक है कि यह बड़ा है), और एक छोटा चाप एक छोटे कोण से मेल खाता है।

तो, हम सहमत हुए: चाप में संबंधित केंद्रीय कोण के समान डिग्री होती है।

और अब भयानक के बारे में - रेडियन के बारे में!

यह "रेडियन" किस प्रकार का जानवर है?

इसकी कल्पना करें: रेडियन एक कोण को मापने का एक तरीका है... त्रिज्या में!

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

तब प्रश्न उठता है - एक सीधे कोण में कितने रेडियन होते हैं?

दूसरे शब्दों में: आधे वृत्त में कितने त्रिज्या "फिट" हैं? या दूसरे तरीके से: आधे वृत्त की लंबाई त्रिज्या से कितनी गुना अधिक है?

यह प्रश्न प्राचीन ग्रीस के वैज्ञानिकों द्वारा पूछा गया था।

और इसलिए, एक लंबी खोज के बाद, उन्होंने पाया कि परिधि और त्रिज्या का अनुपात "मानव" संख्याओं, जैसे, आदि में व्यक्त नहीं करना चाहता है।

और इस मनोवृत्ति को जड़ों से व्यक्त करना भी संभव नहीं है। यही है, यह पता चला है कि कोई यह नहीं कह सकता कि आधा वृत्त त्रिज्या का दोगुना या गुना है! क्या आप सोच सकते हैं कि लोगों को पहली बार खोजना कितना आश्चर्यजनक था?! आधे वृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के लिए, "सामान्य" संख्याएँ पर्याप्त थीं। मुझे एक पत्र दर्ज करना था।

तो, एक अर्धवृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करने वाली एक संख्या है।

अब हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: एक समकोण में कितने रेडियन होते हैं? इसमें एक रेडियन है। ठीक इसलिए क्योंकि वृत्त का आधा भाग त्रिज्या का दोगुना है।

प्राचीन (और ऐसा नहीं) युगों से लोग (!) उन्होंने इस रहस्यमय संख्या की अधिक सटीक गणना करने की कोशिश की, इसे "साधारण" संख्याओं के माध्यम से बेहतर (कम से कम लगभग) व्यक्त करने के लिए। और अब हम असंभव रूप से आलसी हैं - व्यस्त होने के बाद दो संकेत हमारे लिए पर्याप्त हैं, हम अभ्यस्त हैं

इसके बारे में सोचें, इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, एक के त्रिज्या वाले सर्कल का y लंबाई में लगभग बराबर है, और इस लंबाई को "मानव" संख्या के साथ लिखना असंभव है - आपको एक पत्र की आवश्यकता है। और तब यह परिधि बराबर हो जाएगी। और हां, त्रिज्या की परिधि बराबर है।

आइए रेडियंस पर वापस जाएं।

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक सीधे कोण में एक रेडियन होता है।

हमारे पास क्या है:

बहुत खुशी है कि खुशी है। उसी तरह, सबसे लोकप्रिय कोणों वाली एक प्लेट प्राप्त की जाती है।

खुदा और केंद्रीय कोणों के मूल्यों के बीच का अनुपात।

एक आश्चर्यजनक तथ्य है:

खुदा हुआ कोण का मान संबंधित केंद्रीय कोण का आधा है।

तस्वीर में देखें कि यह कथन कैसा दिखता है। एक "संबंधित" केंद्रीय कोण वह होता है जिसमें छोर खुदे हुए कोण के सिरों के साथ मेल खाते हैं, और शीर्ष केंद्र में होता है। और साथ ही, "संबंधित" केंद्रीय कोण को उसी तार () पर खुदा हुआ कोण के रूप में "देखना" चाहिए।

ऐसा क्यों? आइए पहले एक साधारण मामले को देखें। किसी एक जीवा को केंद्र से गुजरने दें। आखिर ऐसा कभी-कभी होता है, है ना?

यहाँ क्या हुआ? विचार करना। यह समद्विबाहु है - आखिरकार, और त्रिज्या हैं। तो, (उन्हें निरूपित)।

अब देखते हैं। यह बाहरी कोना है! हम याद करते हैं कि एक बाहरी कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो इसके निकट नहीं होते हैं, और लिखते हैं:

वह है! एक अप्रत्याशित प्रभाव। लेकिन खुदा के लिए एक केंद्रीय कोण भी है।

तो, इस मामले के लिए, हमने साबित कर दिया कि केंद्रीय कोण खुदा हुआ कोण का दोगुना है। लेकिन यह एक दर्दनाक विशेष मामला है: क्या यह सच है कि जीवा हमेशा केंद्र से सीधे नहीं जाती है? लेकिन कुछ नहीं, अब यह खास मामला हमारी बहुत मदद करेगा। देखें: दूसरा मामला: केंद्र को अंदर रहने दें।

आइए इसे करें: एक व्यास बनाएं। और फिर ... हम दो तस्वीरें देखते हैं जिनका विश्लेषण पहले मामले में किया जा चुका है। इसलिए, हमारे पास पहले से ही है

तो (ड्राइंग पर, ए)

खैर, आखिरी मामला बाकी है: केंद्र कोने के बाहर है।

हम वही करते हैं: एक बिंदु के माध्यम से एक व्यास खींचें। सब कुछ समान है, लेकिन योग के बजाय - अंतर।

बस इतना ही!

आइए अब इस कथन के दो मुख्य और बहुत महत्वपूर्ण परिणाम बनाते हैं कि खुदा हुआ कोण आधा केंद्रीय कोण है।

कोरोलरी 1

एक ही चाप को प्रतिच्छेद करने वाले सभी उत्कीर्ण कोण बराबर होते हैं।

हम वर्णन करते हैं:

एक ही चाप पर आधारित अनगिनत उत्कीर्ण कोण हैं (हमारे पास यह चाप है), वे पूरी तरह से अलग दिख सकते हैं, लेकिन उन सभी में एक ही केंद्रीय कोण () है, जिसका अर्थ है कि ये सभी खुदे हुए कोण आपस में बराबर हैं।

परिणाम 2

व्यास पर आधारित कोण समकोण होता है।

देखो: कौन सा कोना केंद्र में है?

बेशक, । लेकिन वह बराबर है! ठीक है, इसलिए (साथ ही बहुत से अंकित कोणों के आधार पर) और के बराबर है।

दो जीवाओं और सेकण्ट के बीच का कोण

लेकिन क्या होगा अगर हम जिस कोण में रुचि रखते हैं वह खुदा नहीं है और केंद्रीय नहीं है, लेकिन, उदाहरण के लिए, इस तरह:

या इस तरह?

क्या किसी तरह इसे कुछ केंद्रीय कोणों के माध्यम से व्यक्त करना संभव है? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। देखिए, हमें दिलचस्पी है।

ए) (बाहरी कोने के रूप में)। लेकिन - खुदा हुआ, चाप के आधार पर -। - खुदा हुआ, चाप के आधार पर -।

सुंदरता के लिए वे कहते हैं:

जीवाओं के बीच का कोण इस कोण में शामिल चापों के कोणीय मानों के योग के आधे के बराबर होता है।

यह संक्षिप्तता के लिए लिखा गया है, लेकिन निश्चित रूप से, इस सूत्र का उपयोग करते समय, आपको केंद्रीय कोणों को ध्यान में रखना होगा

बी) और अब - "बाहर"! हो कैसे? हाँ, लगभग वही! केवल अभी (फिर से बाहरी कोने की संपत्ति को लागू करें)। वह अब है।

और उसका अर्थ यह निकलता है । आइए रिकॉर्ड और फॉर्मूलेशन में सुंदरता और संक्षिप्तता लाएं:

छेदक के बीच का कोण इस कोण में संलग्न चापों के कोणीय मूल्यों के अंतर के आधे के बराबर है।

खैर, अब आप वृत्त से जुड़े कोणों के बारे में सभी बुनियादी ज्ञान से लैस हैं। आगे, कार्यों के हमले के लिए!

वृत्त और अंतर्निर्मित कोण। औसत स्तर

सर्कल क्या है, पांच साल का बच्चा भी जानता है, है ना? गणितज्ञ, हमेशा की तरह, इस विषय पर एक गूढ़ परिभाषा रखते हैं, लेकिन हम इसे (देखें) नहीं देंगे, बल्कि यह याद रखें कि एक वृत्त से जुड़े बिंदुओं, रेखाओं और कोणों को क्या कहा जाता है।

महत्वपूर्ण शर्तें

पहले तो:

सर्कल सेंटर- वह बिन्दु जहाँ से वृत्त के सभी बिन्दुओं की दूरियाँ समान हों।

दूसरा:

यहां एक और स्वीकृत अभिव्यक्ति है: "कॉर्ड चाप को अनुबंधित करता है।" यहाँ, यहाँ चित्र में, उदाहरण के लिए, एक जीवा एक चाप को सिकोड़ता है। और अगर जीवा अचानक केंद्र से होकर गुजरती है, तो इसका एक विशेष नाम है: "व्यास"।

वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? नज़दीक से देखें। बेशक,

और अब - कोनों के नाम।

स्वाभाविक रूप से, है ना? कोने के किनारे केंद्र से निकलते हैं, जिसका अर्थ है कि कोना केंद्रीय है।

यहीं पर कभी-कभी मुश्किलें आती हैं। ध्यान दें - वृत्त के अंदर का कोई भी कोण खुदा हुआ नहीं है,लेकिन केवल वही जिसका शीर्ष वृत्त पर "बैठता है"।

आइए तस्वीरों में देखें अंतर:

वे अलग तरह से भी कहते हैं:

यहाँ एक मुश्किल बिंदु है। एक "संबंधित" या "स्वयं का" केंद्रीय कोण क्या है? वृत्त के केंद्र में शीर्ष के साथ एक कोण और चाप के सिरों पर समाप्त होता है? निश्चित रूप से उस तरह से नहीं। तस्वीर पर देखो।

उनमें से एक, हालांकि, एक कोने की तरह नहीं दिखता है - यह बड़ा है। लेकिन एक त्रिभुज में अधिक कोण नहीं हो सकते हैं, लेकिन एक वृत्त में - यह ठीक हो सकता है! तो: एक छोटा चाप AB एक छोटे कोण (नारंगी) से मेल खाता है, और एक बड़ा एक बड़े कोण से मेल खाता है। ठीक वैसे ही, है ना?

उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के बीच संबंध

एक बहुत ही महत्वपूर्ण कथन याद रखें:

पाठ्यपुस्तकों में वे इसी तथ्य को इस प्रकार लिखना पसंद करते हैं:

सच है, एक केंद्रीय कोण के साथ, सूत्रीकरण सरल है?

लेकिन फिर भी, आइए दो फॉर्मूलेशन के बीच एक पत्राचार खोजें, और साथ ही आंकड़ों में "संबंधित" केंद्रीय कोण और चाप जिस पर खुदा हुआ कोण "झुकाव" ढूंढना सीखें।

देखिए, यहाँ एक वृत्त और एक खुदा हुआ कोण है:

इसका "संगत" केंद्रीय कोण कहाँ है?

आइए फिर से देखें:

नियम क्या है?

परंतु! इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि खुदा हुआ और केंद्रीय कोण चाप के एक ही तरफ "देखो"। उदाहरण के लिए:

अजीब तरह से, नीला! क्योंकि चाप लंबा है, आधे वृत्त से अधिक लंबा है! तो कभी भी भ्रमित न हों!

उत्कीर्ण कोण के "आधेपन" से क्या परिणाम निकाला जा सकता है?

और यहाँ, उदाहरण के लिए:

व्यास के आधार पर कोण

क्या आपने पहले ही ध्यान दिया है कि गणितज्ञ एक ही चीज़ के बारे में अलग-अलग शब्दों में बात करने के बहुत शौकीन होते हैं? यह उनके लिए क्यों है? आप देखते हैं, हालांकि गणित की भाषा औपचारिक है, यह जीवित है, और इसलिए, सामान्य भाषा की तरह, हर बार आप इसे इस तरह से कहना चाहते हैं जो अधिक सुविधाजनक हो। खैर, हम पहले ही देख चुके हैं कि "कोण चाप पर टिका हुआ है" क्या है। और कल्पना कीजिए, उसी चित्र को "जीवा पर कोण टिका हुआ है" कहा जाता है। किस पर? हाँ, बिल्कुल, जो इस चाप को खींचता है!

एक चाप की तुलना में एक जीवा पर भरोसा करना कब अधिक सुविधाजनक होता है?

खैर, विशेष रूप से, जब यह राग एक व्यास का हो।

ऐसी स्थिति के लिए एक आश्चर्यजनक सरल, सुंदर और उपयोगी कथन है!

देखिए: यहाँ एक वृत्त, एक व्यास और एक कोण है जो उस पर टिका हुआ है।

वृत्त और अंतर्निर्मित कोण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

1. बुनियादी अवधारणाएं।

3. चापों और कोणों का मापन।

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

यह एक अर्धवृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करने वाली संख्या है।

त्रिज्या की परिधि के बराबर है।

4. खुदा हुआ और केंद्रीय कोणों के मूल्यों के बीच का अनुपात।

कोण ABC एक खुदा हुआ कोण है। यह अपनी भुजाओं के बीच संलग्न चाप AC पर टिकी हुई है (चित्र 330)।

प्रमेय। एक खुदा हुआ कोण उस आधे चाप से मापा जाता है जिसे वह इंटरसेप्ट करता है।

इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक उत्कीर्ण कोण में कई कोणीय डिग्री होते हैं, मिनट और सेकंड चाप डिग्री के रूप में होते हैं, मिनट और सेकंड चाप के आधे हिस्से में निहित होते हैं जिस पर वह रहता है।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए हमें तीन स्थितियों पर विचार करने की आवश्यकता है।

पहला मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोण के किनारे पर स्थित होता है (चित्र 331)।

माना ABC एक खुदा हुआ कोण है और वृत्त O का केंद्र BC पर स्थित है। यह साबित करना आवश्यक है कि इसे आधे चाप एसी द्वारा मापा जाता है।

बिंदु A को वृत्त के केंद्र से कनेक्ट करें। हम समद्विबाहु \(\Delta\)AOB प्राप्त करते हैं, जिसमें AO = OB, एक ही वृत्त की त्रिज्या के रूप में होता है। इसलिए, A = B।

AOC त्रिभुज AOB के बाहर है, इसलिए ∠AOC = A + ∠B, और चूँकि कोण A और B बराबर हैं, B 1/2 AOC है।

लेकिन AOC को चाप AC से मापा जाता है, इसलिए ∠B को चाप AC के आधे से मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(AC)\) में 60°18' है, तो ∠B में 30°9' है।

दूसरा मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोण की भुजाओं के बीच स्थित होता है (चित्र 332)।

माना ABD एक खुदा हुआ कोण है। वृत्त O का केंद्र इसकी भुजाओं के बीच स्थित है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ABD को चाप AD के आधे से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए व्यास BC खींचते हैं। कोण ABD दो कोणों में विभाजित होता है: 1 और ∠2।

∠1 को चाप एसी के आधे से मापा जाता है, और ∠2 को चाप सीडी के आधे से मापा जाता है, इसलिए, संपूर्ण ∠ABD को 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( द्वारा मापा जाता है) \breve(CD)\), यानी चाप AD का आधा।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(AD)\) में 124° है, तो ∠B में 62° है।

तीसरा मामला। वृत्त का केंद्र खुदा हुआ कोण के बाहर स्थित है (चित्र 333)।

माना MAD एक खुदा हुआ कोण है। वृत्त O का केंद्र कोने के बाहर है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ∠MAD को चाप MD के आधे से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम व्यास AB खींचते हैं। MAD = MAB - DAB। लेकिन MAB 1/2 \(\breve(MB)\) को मापता है और ∠DAB 1/2 \(\breve(DB)\) को मापता है।

इसलिए, MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), यानी 1/2 \(\breve(MD)\) को मापता है।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(MD)\) में 48° 38" है, तो ∠MAD में 24° 19' 8" है।

परिणाम
1. एक ही चाप पर आधारित सभी खुदे हुए कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, क्योंकि उन्हें एक ही चाप के आधे हिस्से से मापा जाता है (चित्र। 334, ए)।

2. व्यास पर आधारित एक खुदा हुआ कोण एक समकोण होता है क्योंकि यह आधे वृत्त पर आधारित होता है। वृत्त के आधे भाग में 180 चाप अंश होते हैं, जिसका अर्थ है कि व्यास पर आधारित कोण में 90 कोणीय अंश होते हैं (चित्र 334, ख)।