$n$ स्वतंत्र परीक्षणों के अनुक्रम पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक घटना में $A$ प्रायिकता $p$ के साथ हो सकता है, या नहीं हो सकता है - प्रायिकता $q=1-p$ के साथ। द्वारा निरूपित करें पी एन (क) संभावना है कि घटना $A$ संभव $n$ में से ठीक $k$ बार घटित होती है।

उस स्थिति में, मान पी एन(के) बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है (पाठ "बर्नौली की योजना देखें। समस्या समाधान के उदाहरण"):

यह प्रमेय बहुत अच्छा काम करता है, लेकिन इसमें एक दोष है। यदि $n$ काफी बड़ा है, तो मान ज्ञात करें पी एन (क) गणना की भारी मात्रा के कारण अवास्तविक हो जाता है। इस मामले में यह काम करता है स्थानीय डी मोइवरे-लाप्लास प्रमेय, जो आपको प्रायिकता का अनुमानित मान ज्ञात करने की अनुमति देता है:

स्थानीय डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय। यदि बर्नौली योजना में संख्या $n$ बड़ी है और संख्या $p$ 0 और 1 से भिन्न है, तो:

समारोह ( एक्स) को गाऊसी फलन कहते हैं। इसके मूल्यों की गणना लंबे समय से की गई है और एक तालिका में दर्ज की गई है जिसका उपयोग परीक्षण और परीक्षा में भी किया जा सकता है।

मूल्यों की तालिका के साथ काम करते समय गॉसियन फ़ंक्शन में दो गुण होते हैं:

1. φ (− एक्स) = φ ( एक्स) - गाऊसी फ़ंक्शन - सम;
2. बड़े मूल्यों के लिए एक्सहमारे पास है: ( एक्स) ≈ 0.

यदि परीक्षणों की संख्या एनकाफी बडा। बेशक, "परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है" शब्द बहुत ही मनमाना है, और विभिन्न स्रोत अलग-अलग संख्याएं देते हैं। उदाहरण के लिए:

1. एक सामान्य आवश्यकता है: एनपी क्यू> 10. शायद यह न्यूनतम सीमा है;
2. अन्य सुझाव देते हैं कि यह सूत्र केवल $n > 100$ और . के लिए कार्य करता है एनपी क्यू > 20.

मेरी राय में, समस्या की स्थिति को देखने के लिए पर्याप्त है। यदि आप देख सकते हैं कि मानक बर्नौली प्रमेय बड़ी मात्रा में गणनाओं के कारण काम नहीं करता है (उदाहरण के लिए, कोई भी संख्या 58! या 45 की गणना नहीं करेगा!), तो बेझिझक स्थानीय Moivre-Laplace प्रमेय का उपयोग करें।

इसके अलावा, $q$ और $p$ की संभावनाओं का मान 0.5 के जितना करीब होगा, सूत्र उतना ही सटीक होगा। और, इसके विपरीत, सीमा रेखा मूल्यों के लिए (जब $p$ 0 या 1 के करीब है), स्थानीय मोइवर-लाप्लास प्रमेय एक बड़ी त्रुटि देता है, जो वास्तविक बर्नौली प्रमेय से काफी भिन्न होता है।

हालाँकि, सावधान रहें! उच्च गणित के कई शिक्षक स्वयं ऐसी गणनाओं में गलतियाँ करते हैं। तथ्य यह है कि एक काफी जटिल संख्या जिसमें एक अंकगणितीय वर्गमूल और एक अंश होता है, को गाऊसी फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित किया जाता है। फ़ंक्शन में प्रतिस्थापन से पहले ही यह संख्या मिलनी चाहिए। आइए विशिष्ट कार्यों पर सब कुछ पर विचार करें:

काम। लड़का होने की प्रायिकता 0.512 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 100 नवजात शिशुओं में ठीक 51 लड़के होंगे।

तो, बर्नौली योजना के अनुसार कुल परीक्षण एन= 100. इसके अतिरिक्त, p = 0.512, क्यू= 1 - पी = 0.488।

जहां तक ​​कि एन= 100 एक पर्याप्त बड़ी संख्या है, हम स्थानीय डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय के अनुसार काम करेंगे। नोटिस जो एनपी क्यू= 100 0.512 0.488 ≈ 25 > 20. हमारे पास है:

चूंकि हमने मान को गोल किया है एनपी क्यूएक पूर्णांक के लिए, उत्तर को भी गोल किया जा सकता है: 0.07972 ≈ 0.08। बाकी संख्याओं को ध्यान में रखना समझ में नहीं आता है।

काम। टेलीफोन एक्सचेंज 200 ग्राहकों की सेवा करता है। प्रत्येक ग्राहक के लिए, उसके एक घंटे के भीतर स्टेशन पर कॉल करने की प्रायिकता 0.02 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ठीक 5 ग्राहक एक घंटे के भीतर कॉल करेंगे।

बर्नौली योजना के अनुसार, एन= 200, पी = 0.02, क्यू= 1 - पी = 0.98। नोटिस जो एन= 200 एक कमजोर संख्या नहीं है, इसलिए हम स्थानीय डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, आइए जानें एनपी क्यू\u003d 200 0.02 0.98 ≈ 4. बेशक, 4 बहुत छोटा है, इसलिए परिणाम गलत होंगे। हालांकि, हमारे पास है:

आइए उत्तर को दूसरे दशमलव स्थान पर गोल करें: 0.17605 0.18। यह अभी भी अधिक पात्रों को ध्यान में रखने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि हमने गोल किया है एनपी क्यू= 3.92 4 (एक पूर्ण वर्ग तक)।

काम। दुकान को वोदका की 1,000 बोतलें मिलीं। पारगमन में एक बोतल के टूटने की प्रायिकता 0.003 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि स्टोर को ठीक दो टूटी हुई बोतलें प्राप्त होती हैं।

बर्नौली योजना के अनुसार, हमारे पास है: एन= 1000, पी = 0.003, क्यू= 0.997। यहां से एनपी क्यू= 2.991 1.73 2 (निकटतम सटीक वर्ग चुनें)। संख्या के बाद से एन= 1000 काफी बड़ा है, हम सभी संख्याओं को स्थानीय मोइवर-लाप्लास प्रमेय के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम जानबूझकर केवल एक दशमलव स्थान छोड़ते हैं (वास्तव में, यह 0.1949 हो जाएगा ...), क्योंकि हमने शुरू में मोटे अनुमानों का उपयोग किया था। विशेष रूप से: 2.991 1.73 2 । गाऊसी फलन के भीतर अंश में त्रिक व्यंजक से उत्पन्न हुआ एनपी = 1000 0.003 = 3.

यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता प्रत्येक परीक्षण में स्थिर है और दोहरी असमानता को संतुष्ट करता है
, और स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या काफी बड़ा है, तो संभावना
निम्नलिखित अनुमानित सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

(14) ,

जहां समाकलन की सीमाएं समानता द्वारा परिभाषित की जाती हैं

फॉर्मूला (14) जितना सटीक होगा, इस प्रयोग में परीक्षणों की संख्या उतनी ही अधिक होगी।

समानता (13) के आधार पर सूत्र (14) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(15)
.

(16)
(एनएफएल)

हम फ़ंक्शन के सबसे सरल गुणों को नोट करते हैं
:

अंतिम गुण गाऊसी फलन के गुणों से संबंधित है
.

समारोह
अजीब। दरअसल, चर के परिवर्तन के बाद

=


;

दूसरी संपत्ति की जांच करने के लिए, यह एक चित्र बनाने के लिए पर्याप्त है। विश्लेषणात्मक रूप से, यह तथाकथित अनुचित पॉइसन अभिन्न से संबंधित है।

इसका सीधा मतलब यह है कि सभी नंबरों के लिए
यह माना जा सकता है कि
इसलिए, इस फ़ंक्शन के सभी मान खंड [-0.5; 0.5], जबकि सबसे छोटा है
तब फ़ंक्शन धीरे-धीरे बढ़ता है और गायब हो जाता है, अर्थात।
और फिर बढ़ जाता है
इसलिए, संपूर्ण वास्तविक रेखा पर एक सख्ती से बढ़ता हुआ कार्य है, अर्थात। अगर
तब

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फ़ंक्शन के लिए संपत्ति 2 के निष्कर्ष
अनुचित पॉइसन अभिन्न के आधार पर उचित है।

टिप्पणी। Moivre-Laplace अभिन्न प्रमेय के अनुप्रयोग की आवश्यकता वाली समस्याओं को हल करते समय, विशेष तालिकाओं का उपयोग किया जाता है। तालिका सकारात्मक तर्कों के लिए मान देती है और के लिए
; मूल्यों के लिए
समानता को ध्यान में रखते हुए आपको उसी तालिका का उपयोग करना चाहिए

इसके अलावा, फ़ंक्शन तालिका का उपयोग करने के लिए
, हम समानता (15) को इस प्रकार बदलते हैं:

और संपत्ति 2 (विषम) के आधार पर
), इंटीग्रैंड की समता को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

=
.

इस प्रकार, संभावना है कि एक घटना में दिखाई देगा कम से कम स्वतंत्र परीक्षण एक बार और नहीं समय की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

(17)

;

उदाहरण 12. एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.75 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 300 शॉट्स के साथ लक्ष्य कम से कम 150 और अधिकतम 250 बार मारा जाएगा।

फेसला: यहां
,
,
,
,
. गणना

,
,

,
.

लाप्लास अभिन्न सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

व्यवहार में, समानता (16) के साथ, एक अन्य सूत्र का अक्सर प्रयोग किया जाता है जिसे " संभाव्यता अभिन्न» या लाप्लास फ़ंक्शन (अध्याय 2, खंड 9., टी.9 में अधिक विवरण देखें)।

(आई.वी. या F.L.)

इस फ़ंक्शन के लिए, समानताएं सत्य हैं:

इसलिए, यह सारणीबद्ध कार्य से संबंधित है
और इसलिए अनुमानित मूल्यों की एक तालिका भी है (पुस्तक के अंत में परिशिष्ट देखें)।

उदाहरण 13संभावना है कि भाग ने गुणवत्ता नियंत्रण विभाग की जांच पास नहीं की है 0.2 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि असत्यापित भागों के बेतरतीब ढंग से चुने गए 400 भागों में 70 से 100 भाग होंगे।

फेसला।कार्य के अनुसार
,
,
.
,
. आइए Moivre-Laplace अभिन्न प्रमेय का उपयोग करें:

,

आइए हम एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाओं की गणना करें:

इसलिए, फ़ंक्शन के सारणीबद्ध मूल्यों को ध्यान में रखते हुए
;

हमें वांछित संभावना मिलती है

.

अब हमारे पास सुप्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सुविचारित सीमा प्रमेयों के अनुप्रयोग के रूप में अवसर है « बर्नौली रूप में बड़ी संख्या का नियम »

बड़ी संख्या का नियम (बर्नौली रूप में LLN)

बड़ी संख्या का पहला ऐतिहासिक रूप से सरलतम नियम प्रमेय है

मैं बर्नौली। बर्नौली का प्रमेय बड़ी संख्या के कानून के प्रकट होने का सबसे सरल रूप व्यक्त करता है। यह अपनी सापेक्ष आवृत्ति का उपयोग करके किसी घटना की संभावना की अनुमानित गणना की सैद्धांतिक संभावना की पुष्टि करता है, अर्थात। सापेक्ष आवृत्ति की स्थिरता संपत्ति की पुष्टि करता है।

इसे आयोजित होने दें स्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता के बराबर है
और प्रत्येक परीक्षण श्रृंखला में आपेक्षिक आवृत्ति है

समस्या पर विचार करें:बर्नौली योजना के अनुसार परीक्षण शर्तों के तहत और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों के साथसापेक्ष आवृत्ति के विचलन की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
एक निरंतर संभावना से किसी घटना का घटित होना निरपेक्ष मान में दी गई संख्या से अधिक नहीं है
दूसरे शब्दों में, प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों के साथ।

प्रमेय (ZBCh जे. बर्नौली 1713)उपरोक्त शर्तों के तहत, किसी के लिए कितना भी छोटा क्यों न हो
, हमारे पास सीमा समानता है

(19)
.

प्रमाण।आइए इस महत्वपूर्ण कथन को Moivre - Laplace के समाकलन प्रमेय के आधार पर सिद्ध करें। परिभाषा के अनुसार, सापेक्ष आवृत्ति है

लेकिन
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता एक परीक्षण में। आइए पहले हम किसी के लिए निम्नलिखित समानता स्थापित करें:
और काफी बड़ा :

(20)

.

वास्तव में, शर्त के अनुसार
यह देखना आसान है कि दोहरी असमानता है। निरूपित

(21)
.

फिर, हमारे पास असमानताएँ होंगी

इसलिए, वांछित संभावना के लिए। अब, मामलों के लिए
हम समानता का उपयोग करते हैं

;

और विषमता को ध्यान में रखते हुए
हम पाते हैं

== 2
.

समानता (20) प्राप्त होती है।

यह सीधे सूत्र (20) से अनुसरण करता है कि at
(विचार के साथ
जहां), हम सीमा समानता (20) प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 14
. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बेतरतीब ढंग से चुने गए 400 भागों में से, गैर-मानक भागों के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति से विचलन करती है
निरपेक्ष मान में 0.03 से अधिक नहीं।

फेसला।समस्या की स्थितियों के अनुसार, इसे खोजना आवश्यक है

सूत्र (3) से हमारे पास है

=2
.

फ़ंक्शन के सारणीबद्ध मान को ध्यान में रखते हुए
हम पाते हैं

.

प्राप्त परिणाम का अर्थ इस प्रकार है: यदि हम पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में नमूने लेते हैं

विवरण, तो प्रत्येक नमूने में सापेक्ष "आवृत्ति" का लगभग विचलन होता है

95.44% और मूल्य
संभावना से ये नमूने
, मॉड्यूलो 0.03 से अधिक नहीं।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें जहाँ आप एक संख्या खोजना चाहते हैं
.

उदाहरण 15एक भाग के गैर-मानक होने की प्रायिकता है
. कितने भागों का चयन किया जाना चाहिए ताकि 0.9999 की संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सके कि गैर-मानक भागों की सापेक्ष आवृत्ति (चयनित लोगों में से) से विचलित हो जाती है मॉड्यूलो 0.03 से अधिक नहीं। इस मात्रा का पता लगाएं

फेसला।यहाँ, शर्त के अनुसार
.

परिभाषित करने के लिए आवश्यक
. सूत्र (13) से हमारे पास है

.

जहां तक ​​कि,

तालिका के अनुसार, हम पाते हैं कि यह मान तर्क से मेल खाता है
. यहां से,
. इस परिणाम का अर्थ यह है कि सापेक्ष आवृत्ति का निष्कर्ष निकाला जाएगा

संख्याओं के बीच। इस प्रकार, 99.99% नमूनों में गैर-मानक भागों की संख्या 101.72 (संख्या 1444 का 7%) और 187.72 (संख्या 1444 का 13%) के बीच होगी।

यदि हम 1444 भागों का केवल एक नमूना लें, तो हम बड़े विश्वास के साथ उम्मीद कर सकते हैं कि गैर-मानक भागों की संख्या 101 से कम और 188 से अधिक नहीं होगी, जबकि साथ ही यह संभावना नहीं है कि कम होगा 101 से अधिक या 188 से अधिक।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बर्नौली का प्रमेय भी कहता है: परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, एक यादृच्छिक घटना की आवृत्ति प्रायिकता में एक ही घटना की वास्तविक प्रायिकता में अभिसरण करता है, अर्थात नीचे से अनुमान मान्य है

(22)
;
,

बशर्ते कि किसी घटना की संभावना परीक्षण से परीक्षण तक अपरिवर्तित और बराबर रहता है
जिसमें
.

असमानता (22) सुप्रसिद्ध चेबीशेव असमानता का प्रत्यक्ष परिणाम है ("संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय" "चेबीशेव की प्रमेय" विषय के नीचे देखें)। हम इस ZBC पर बाद में वापस आएंगे। नीचे से प्रायिकता का अनुमान प्राप्त करना और किसी घटना के घटित होने की आवश्यक संख्या के लिए दो-तरफा अनुमान प्राप्त करना सुविधाजनक होता है, ताकि सापेक्ष आवृत्ति और वास्तविक प्रायिकता के बीच अंतर के मापांक से प्रायिकता दी गई बाधा को संतुष्ट करती है। घटना विचाराधीन है।

उदाहरण 16एक सिक्के को 1000 बार उछाला जाता है। 0.1 से कम होने की संभावना से "हथियारों के कोट" की घटना की आवृत्ति के विचलन की संभावना के नीचे से अनुमान लगाएं।

फेसला. यहाँ शर्त के अनुसार

असमानता (4) के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

इसलिए, असमानता
दोहरी असमानता के बराबर है

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अंतराल (400; 600) में "हथियारों के कोट" के हिट की संख्या की संभावना से अधिक है

उदाहरण 17.एक कलश में 1000 सफेद और 2000 काली गेंदें हैं। निकाले गए (वापसी के साथ) 300 गेंदें। प्रायिकता के नीचे से अनुमान लगाएं कि खींची गई गेंदों की संख्या एम(और उन्हें सफेद होना चाहिए) दोहरी असमानता को संतुष्ट करता है 80< एम <120.

फेसला।परिमाण के लिए दोहरी असमानता एमफॉर्म में फिर से लिखें:

इस प्रकार, असमानता की पूर्ति की संभावना का अनुमान लगाना आवश्यक है

इसलिये,

.

लाप्लास इंटीग्रल प्रमेय

प्रमेय। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और शून्य और एक से भिन्न है, तो n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या m की प्रायिकता a और b (समावेशी) के बीच है, जिसमें a पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षण n, लगभग बराबर है

लाप्लास अभिन्न सूत्र, साथ ही साथ स्थानीय मोइवर-लाप्लास सूत्र, जितना सटीक होगा, उतना ही अधिक एनऔर 0.5 के करीब मान पीऔर क्यू. शर्त पूरी होने पर इस सूत्र द्वारा गणना एक महत्वहीन त्रुटि देती है एनपीक्यू 20, हालांकि शर्त एनपीक्यू > 10.

समारोह एफ( एक्स) सारणीबद्ध है (देखें परिशिष्ट 2)। इस तालिका का उपयोग करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के गुणों को जानना होगा ( एक्स):

1. समारोह ( एक्स) विषम है, अर्थात्। एफ(- एक्स) = - एफ ( एक्स).

2. समारोह ( एक्स) नीरस रूप से बढ़ रहा है, और जैसे x → +∞ ( एक्स) → 0.5 (व्यवहार में, हम मान सकते हैं कि पहले से ही एक्स≥ 5 एफ ( एक्स) ≈ 0,5).

उदाहरण 3.4.उदाहरण 3.3 की शर्तों का उपयोग करते हुए, इस संभावना की गणना करें कि 300 से 360 (समावेशी) छात्र पहली कोशिश में सफलतापूर्वक परीक्षा पास कर लेंगे।

फेसला। हम लाप्लास अभिन्न प्रमेय लागू करते हैं ( एनपीक्यू 20)। हम गणना करते हैं:

= –2,5; = 5,0;

पी 400 (300 ≤ एम≤ 360) = एफ(5.0) - एफ(-2.5)।

फ़ंक्शन के गुणों को ध्यान में रखते हुए ( एक्स) और इसके मूल्यों की तालिका का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं: (5.0) = 0.5; एफ (-2.5) = - एफ (2.5) = - 0.4938।

हम पाते हैं पी 400 (300 ≤ एम ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

आइए हम लाप्लास समाकलन प्रमेय के परिणामों को लिखें।

परिणाम 1. यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की घटना की संभावना पी स्थिर और शून्य और एक से भिन्न है, तो स्वतंत्र परीक्षणों की पर्याप्त बड़ी संख्या के लिए, संभावना है कि घटना ए की घटना की संख्या एम उत्पाद एनपी से भिन्न होती है > . से अधिक नहीं 0

.

(3.8)

उदाहरण 3.5.उदाहरण 3.3 की शर्तों का प्रयोग करते हुए, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 280 से 360 छात्र पहले प्रयास में प्रायिकता सिद्धांत में सफलतापूर्वक परीक्षा पास कर लेंगे।

फेसला। संभावना की गणना करें आर 400 (280 ≤ एम 360) मुख्य लाप्लास अभिन्न सूत्र का उपयोग करके पिछले उदाहरण के समान हो सकता है। लेकिन ऐसा करना आसान है यदि आप ध्यान दें कि अंतराल 280 और 360 की सीमाएं मान के संबंध में सममित हैं एनपी=320. फिर, कोरोलरी 1 के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

= = ≈

≈ = 2Ф(5.0) 2 0.5 ≈ 1,

वे। यह लगभग तय है कि पहली कोशिश में 280 से 360 छात्र परीक्षा पास करेंगे। मैं

परिणाम 2. यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और शून्य और एक से भिन्न है, तो स्वतंत्र परीक्षणों की पर्याप्त बड़ी संख्या n के लिए, घटना A की आवृत्ति m/n α से सीमा के भीतर होने की प्रायिकता से β (समावेशी) बराबर है

,

(3.9)

कहाँ पे

, .

(3.10)

उदाहरण 3.6।आंकड़ों के मुताबिक औसतन 87 फीसदी नवजात शिशु 50 साल की उम्र तक जीते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 नवजात शिशुओं में से 50 वर्ष तक जीवित रहने वालों का अनुपात (आवृत्ति) 0.9 से 0.95 के बीच होगा।

फेसला। एक नवजात के 50 वर्ष की आयु तक जीवित रहने की प्रायिकता है आर= 0.87. जैसा एन= 1000 बड़ा है (अर्थात शर्त एनपीक्यू= 1000 0.87 0.13 = 113.1 20 संतुष्ट है), तो हम लाप्लास समाकलन प्रमेय के उपफलक 2 का प्रयोग करते हैं। हम ढूंढे:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

परिणाम 3. यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और शून्य और एक से भिन्न है, तो स्वतंत्र परीक्षणों की पर्याप्त बड़ी संख्या n के लिए, घटना A की आवृत्ति m/n इसकी प्रायिकता p से भिन्न होने की प्रायिकता है से अधिक नहींΔ > 0 (निरपेक्ष मूल्य में) बराबर है

.

(3.11)

उदाहरण 3.7.पिछली समस्या की स्थितियों के तहत, इस संभावना को खोजें कि 1000 नवजात शिशुओं में से, 50 वर्ष तक जीवित रहने वालों का अनुपात (आवृत्ति) इस घटना की संभावना से 0.04 (पूर्ण मूल्य में) से अधिक नहीं होगा।

फेसला। लाप्लास समाकलन प्रमेय के उपफल 3 का प्रयोग करते हुए, हम पाते हैं:

= 2एफ(3.76) = 2 0.4999 = 0.9998।

चूंकि असमानता असमानता के समान है, इसका परिणाम यह है कि यह व्यावहारिक रूप से निश्चित है कि 1000 में से 83 से 91% नवजात शिशु 50 वर्ष तक जीवित रहेंगे। ◄

हमने पहले यह स्थापित किया है कि स्वतंत्र परीक्षणों के लिए किसी संख्या की प्रायिकता एमघटना घटना लेकिनमें एनपरीक्षण बर्नौली सूत्र द्वारा पाया जाता है। अगर एनबड़ा है, तब स्पर्शोन्मुख लैपलेस सूत्र का उपयोग किया जाता है। हालाँकि, यह सूत्र उपयुक्त नहीं है यदि घटना की संभावना कम है ( आर 0.1)। इस मामले में ( एनमहान, आरछोटा) पॉइसन प्रमेय लागू करें

पॉइज़न सूत्र

प्रमेय। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p शून्य हो जाती है (p → 0) परीक्षणों की संख्या n (n → ) में असीमित वृद्धि के साथ, और उत्पाद np एक स्थिर संख्या λ (np → ) की ओर प्रवृत्त होता है, तो प्रायिकता P n (m) कि घटना A में m बार दिखाई देगी n स्वतंत्र परीक्षण सीमा समानता को संतुष्ट करते हैं

प्रायिकता कि n स्वतंत्र परीक्षणों में, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता p (0 .) के बराबर है< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
फ़ंक्शन के मानों की तालिका (x); x के ऋणात्मक मानों के लिए, एक ही तालिका का उपयोग किया जाता है (फ़ंक्शन (x) सम है: (-x) = (x))।

घटना आ सकती है एक बार। इस घटना के घटित होने की प्रायिकता है . घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
आएगा एक बार;
कम एक बार;
कम से कम एक बार;
अधिक एक बार;
अब और नहीं एक बार;
कम से कम और नहीं एक बार;
कम से कम एक बार आओ।
रिपोर्ट करने के लिए आउटपुट:
सबसे अधिक संभावना संख्या;
प्रायिकता कि किसी घटना के घटित होने की आपेक्षिक आवृत्ति निरपेक्ष मान में इसकी प्रायिकता से अधिक से अधिक नहीं भटकती है .

उदाहरण 1। 700 स्वतंत्र परीक्षणों में से प्रत्येक में, घटना ए 0.35 की निरंतर संभावना के साथ होती है। घटना A के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) ठीक 270 बार; बी) 270 से कम और 230 से अधिक बार; ग) 270 से अधिक बार।
फेसला।चूंकि प्रयोगों की संख्या n = 700 काफी बड़ी है, इसलिए हम लाप्लास सूत्रों का उपयोग करते हैं।
ए) दिया गया है: एन = 700, पी = 0.35, के = 270।
पी 700 (270) खोजें। हम स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग करते हैं।
हम ढूंढे:

हम तालिका से फ़ंक्शन φ(x) का मान पाते हैं:

बी) दिया गया है: एन = 700, पी = 0.35, ए = 230, बी = 270।
पी 700 (230 .) खोजें< k < 270).
हम लाप्लास समाकलन प्रमेय (23), (24) का प्रयोग करते हैं। हम ढूंढे:

हम तालिका से फ़ंक्शन (x) का मान पाते हैं:

ग) दिया गया है: n = 700, p = 0.35, a = 270, b = 700।
पी 700 (के> 270) खोजें।
हमारे पास है:

उदाहरण # 2। एक बुनाई मिल में एक स्थिर-अवस्था की प्रक्रिया में, प्रति 100 स्पिंडल प्रति घंटे में 10 थ्रेड ब्रेक होते हैं। निर्धारित करें: ए) संभावना है कि एक घंटे के भीतर 80 स्पिंडल पर 7 थ्रेड ब्रेक होंगे; बी) प्रति घंटे 80 स्पिंडल पर थ्रेड ब्रेक की सबसे संभावित संख्या।
फेसला।एक घंटे के भीतर धागे के टूटने की सांख्यिकीय संभावना p = 10/100 = 0.1 है और इसलिए, q = 1 - 0.1 = 0.9; एन = 80; के = 7.
चूंकि n बड़ा है, स्थानीय लाप्लास प्रमेय (23) का उपयोग किया जाता है। हम गणना करते हैं:

आइए संपत्ति φ(-x) = φ(x) का उपयोग करें, φ(0.37) ≈ 0.3726 खोजें, और फिर आवश्यक संभावना की गणना करें:

इस प्रकार, एक घंटे के भीतर 80 स्पिंडल पर 7 थ्रेड ब्रेक होने की संभावना लगभग 0.139 है।
दोहराए गए परीक्षणों के दौरान किसी घटना के घटित होने की सबसे संभावित संख्या k 0 सूत्र (14) द्वारा निर्धारित की जाती है। ढूँढना: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

उदाहरण #3। संभावना है कि पहली कक्षा का एक हिस्सा 0.4 है। 150 पार्ट बनाए। संभावना है कि उनमें से पहली कक्षा के 68 भाग हैं।

उदाहरण # 4। प्रत्येक स्वतंत्र परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता p है।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि m परीक्षण किए जाने पर कोई घटना n बार घटित होगी।
अपने उत्तर निकटतम तीन सार्थक अंकों के लिए दीजिए।
पी = 0.75, एन = 87, एम = 120

मोइवरे-लाप्लास अभिन्न प्रमेय . यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और 0 और 1 से भिन्न है, तो n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या m की प्रायिकता a से b (समावेशी) की सीमा के भीतर है। , पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या n के साथ, लगभग बराबर है

कहाँ
- लाप्लास का कार्य (या संभावनाओं का अभिन्न अंग);

,
.

सूत्र को Moivre-Laplace का समाकलन सूत्र कहते हैं। n जितना बड़ा होगा, यह सूत्र उतना ही सटीक होगा। शर्त के तहत npq 20, अभिन्न सूत्र
, साथ ही स्थानीय, एक नियम के रूप में, अभ्यास के लिए संतोषजनक संभावनाओं की गणना में एक त्रुटि देता है।

फलन (х) सारणीबद्ध है (तालिका देखें)। इस तालिका का उपयोग करने के लिए, आपको पता होना चाहिए समारोह गुण :

फलन (х) विषम है, अर्थात। एफ (-एक्स) = -एफ (एक्स)।

फलन (х) नीरस रूप से बढ़ रहा है, इसके अलावा, x → +∞ (х) → 1 के रूप में (व्यवहार में, हम मान सकते हैं कि पहले से ही x > 4 Ф(х) 1) के लिए।

उदाहरण . किसी क्षेत्र में, प्रत्येक 100 परिवारों में से 80 के पास रेफ्रिजरेटर हैं। इस संभावना की गणना करें कि 400 में से 300 से 360 (समावेशी) परिवारों में रेफ्रिजरेटर हैं।

फेसला. हम Moivre-Laplace (npq = 64 20) के समाकलन प्रमेय को लागू करते हैं। आइए पहले परिभाषित करें:

,

.

अब सूत्र के अनुसार
, (х) के गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(तालिका के अनुसार एफ(2.50) = 0.9876, एफ(5.0) ≈ 1)

1. Moivre-Laplace अभिन्न प्रमेय (व्युत्पत्ति के साथ) से परिणाम। उदाहरण।

Moivre-Laplace के समाकलन प्रमेय के परिणाम पर विचार कीजिए।

परिणाम. यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और 0 और 1 से भिन्न है, तो स्वतंत्र परीक्षणों की पर्याप्त बड़ी संख्या n के साथ, प्रायिकता कि:

ए) घटना ए की घटनाओं की संख्या एम उत्पाद एनपी से ε > . से अधिक नहीं है
;

बी) आवृत्ति घटना ए α से β (समावेशी) की सीमा के भीतर है, अर्थात।
, कहाँ
,
.

सी) आवृत्ति घटना A अपनी प्रायिकता p से Δ > 0 (निरपेक्ष मान में) से अधिक नहीं है, अर्थात्।
.

□ 1) असमानता
दोहरी असमानता पीआर - ई ~ एम ~ पीआर + ई के बराबर है। इसलिए, अभिन्न सूत्र द्वारा
:

.

2) असमानता
a = nα और b = nβ के लिए असमानता a m ≤ b के बराबर है। सूत्रों में प्रतिस्थापन
और
,
प्राप्त व्यंजकों द्वारा a और b का मान, हम सिद्ध करने के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं
और
,
.

3) असमानता
असमानता के बराबर है
. सूत्र में बदलना

, हम सिद्ध करने के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं
.

उदाहरण . आंकड़ों के मुताबिक औसतन 87 फीसदी नवजात शिशु 50 साल की उम्र तक जीते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 नवजात शिशुओं में से 50 वर्ष की आयु तक जीवित रहने वालों का अनुपात (आवृत्ति) होगा: a) 0.9 से 0.95 के बीच होगा; बी) इस घटना की संभावना से 0.04 (पूर्ण मूल्य में) से अधिक नहीं होगा?

फेसला. a) एक नवजात के 50 वर्ष तक जीवित रहने की प्रायिकता p 0.87 है। क्योंकि n = 1000 बड़ा है (शर्त npq = 1000 0.87 0.13 = 113.1 ≥ 20 संतुष्ट है), तो हम Moivre-Laplace समाकलन प्रमेय के उपफल का उपयोग करते हैं। आइए पहले परिभाषित करें:

,
. अब सूत्र के अनुसार
:

बी) सूत्र के अनुसार
:

क्योंकि असमानता
असमानता के बराबर है
प्राप्त परिणाम का अर्थ है कि यह लगभग तय है कि 1000 में से नवजात शिशुओं की संख्या 0.83 से 0.91 तक 50 वर्ष तक जीवित रहेगी।

"यादृच्छिक चर" की अवधारणा और इसका विवरण। अलग यादृच्छिक चर और उसके वितरण कानून (श्रृंखला)। स्वतंत्र यादृच्छिक चर। उदाहरण।

नीचे अनियमित चर एक चर के रूप में समझा जाता है कि, उन परीक्षणों के परिणाम में, मामले के आधार पर, इसके मूल्यों के संभावित सेट में से एक लेता है (जिसे पहले से ज्ञात नहीं है)।

यादृच्छिक चर के उदाहरण : 1) मास्को में दिन के दौरान पैदा हुए बच्चों की संख्या; 2) किसी दिए गए बैच में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या; 3) पहली हिट से पहले दागे गए शॉट्स की संख्या; 4) एक तोपखाने प्रक्षेप्य की उड़ान रेंज; 5) प्रति माह pr-tion के लिए बिजली की खपत।

यादृच्छिक चर कहा जाता है असतत (असंतत) , यदि इसके मानों का समुच्चय परिमित या अनंत है, लेकिन गणनीय है।

नीचे निरंतर यादृच्छिक चर हम एक ऐसी मात्रा को समझेंगे जिसका अनंत बेशुमार मान संख्यात्मक अक्ष का एक निश्चित अंतराल (परिमित या अनंत) है।

इसलिए, उपरोक्त उदाहरणों 1-3 में हमारे पास असतत यादृच्छिक चर हैं (उदाहरण 1 और 2 में - मानों के एक सीमित सेट के साथ; उदाहरण 3 में - एक अनंत, लेकिन मूल्यों के गणनीय सेट के साथ); और उदाहरण 4 और 5 में - सतत यादृच्छिक चर।

के लिए असतत यादृच्छिक चरगुच्छा एक यादृच्छिक चर के संभावित मान, अर्थात्। कार्यों
, अंतिम रूप से या गणनीय रूप से, के लिए निरंतर- अनंत और बेशुमार।

यादृच्छिक चर को लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों X, Y, Z, ..., और उनके मूल्यों द्वारा निरूपित किया जाता है - संबंधित लोअरकेस अक्षरों x, y, z, ... द्वारा।

एक यादृच्छिक चर को किसी दिए गए वितरण कानून के अनुसार "वितरित" या इस वितरण कानून के "अधीनस्थ" कहा जाता है।

असतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण कानून एम.बी. तालिका के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और ग्राफिक रूप से दिया गया है।

असतत यादृच्छिक चर X के वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका (मैट्रिक्स) है, जो आरोही क्रम में यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करता है, अर्थात।

या
.

ऐसी तालिका कहलाती है असतत यादृच्छिक चर के वितरण के निकट .

घटनाएँ X=x 1 , X=x 2 ,…,X=x n , इस तथ्य से मिलकर कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर X मान x 1, x 2, ... , x n, क्रमशः असंगत और एकमात्र संभव हैं (क्योंकि तालिका में एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान सूचीबद्ध हैं), अर्थात। एक पूरा समूह बनाएं। इसलिए, उनकी संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। इस प्रकार, किसी भी असतत यादृच्छिक चर के लिए
.

वितरण श्रृंखला हो सकती है यदि एक यादृच्छिक चर के मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और उनकी संबंधित संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, तो इसे रेखांकन के रूप में दर्शाया जाता है। प्राप्त बिंदुओं का संयोजन एक टूटी हुई रेखा बनाता है, जिसे कहा जाता है प्रायिकता बंटन का बहुभुज या बहुभुज .

दो यादृच्छिक चर कहलाते हैं स्वतंत्र , यदि उनमें से एक का वितरण नियम दूसरे मूल्य द्वारा लिए गए संभावित मूल्यों के आधार पर नहीं बदलता है। इसलिए, यदि एक असतत यादृच्छिक चर X मान x i (i = 1, 2, ..., n) पर ले सकता है, और एक यादृच्छिक चर Y मान y j (j = 1, 2, ..., मी), तो असतत यादृच्छिक चर मानों की स्वतंत्रता X और Y का अर्थ है घटनाओं की स्वतंत्रता X = x i और Y = y किसी भी i = 1, 2, ..., n और j = 1 के लिए , 2, ..., एम। अन्यथा, यादृच्छिक चर कहलाते हैं आश्रित .

उदाहरण के लिए , यदि दो अलग-अलग मौद्रिक लॉटरी के टिकट हैं, तो यादृच्छिक चर X और Y, प्रत्येक टिकट के लिए जीत को क्रमशः (मौद्रिक इकाइयों में) व्यक्त करते हैं, होगा स्वतंत्र, क्योंकि एक लॉटरी के टिकट पर किसी भी जीत के लिए (उदाहरण के लिए, जब X = x i), दूसरे टिकट (Y) पर जीत के वितरण का नियम नहीं बदलेगा।

यदि यादृच्छिक चर X और Y समान धन लॉटरी के टिकटों पर जीत को व्यक्त करते हैं, तो इस मामले में X और Y निर्भर हैं, क्योंकि एक टिकट (X = x i) पर किसी भी जीत से जीतने की संभावनाओं में बदलाव होता है। अन्य टिकट (वाई), यानी। डब्ल्यू के वितरण कानून में बदलाव के लिए।

असतत यादृच्छिक चर पर गणितीय संचालन मास्क और वितरण कानूनों के निर्माण के उदाहरण केएच, एक्स" 1 , एक्स + के, XV स्वतंत्र मामलों के दिए गए वितरण के अनुसार मूल्यों एक्स और यू

आइए परिभाषित करें गणितीय संचालन असतत यादृच्छिक चर पर।

मान लीजिए कि दो यादृच्छिक चर दिए गए हैं:

एक स्थिर मान k . द्वारा यादृच्छिक चर X का गुणनफल kX एक यादृच्छिक चर है जो समान प्रायिकता p i (i = 1,2,...,n) के साथ kx i मान लेता है।

एम यादृच्छिक चर X की शक्ति, अर्थात्।
, एक यादृच्छिक चर कहा जाता है जो मान लेता है समान प्रायिकताओं के साथ p i (i = 1,2,...,n)।

यादृच्छिक चर X और Y . का योग (अंतर या उत्पाद) एक यादृच्छिक चर कहलाता है जो i+уj (хj-уj या хj yj) के रूप के सभी संभावित मान लेता है, जहां i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, प्रायिकता के साथ कि यादृच्छिक चर X मान xi और y मान yj लेता है:

यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, अर्थात्। कोई भी घटनाएँ X=хi, Y=yj स्वतंत्र हैं, तो स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता गुणन प्रमेय द्वारा

3नोट . असतत यादृच्छिक चर पर संचालन की उपरोक्त परिभाषाओं को स्पष्ट करने की आवश्यकता है: क्योंकि कई मामलों में समान मान ,
,
विभिन्न xi, yj के लिए प्रायिकता pi, pij के साथ अलग-अलग तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है, फिर प्राप्त संभावनाओं pi या pij को जोड़कर ऐसे दोहराए गए मानों की संभावनाएं पाई जाती हैं।

ऑपरेशन का प्रकार	अभिव्यक्ति मूल्य एस/वी	एक्सवी मूल्य
		बदलें नहीं
		बदलें नहीं