कुछ ज्यामितीय आकृतियों के गुणों के रूप में अक्षीय और केंद्रीय समरूपता पर विचार करें; कुछ ज्यामितीय आकृतियों के गुणों के रूप में अक्षीय और केंद्रीय समरूपता पर विचार करें; सममित बिंदुओं का निर्माण करने में सक्षम हो और उन आकृतियों को पहचानने में सक्षम हो जो एक बिंदु या रेखा के बारे में सममित हैं; सममित बिंदुओं का निर्माण करने में सक्षम हो और उन आकृतियों को पहचानने में सक्षम हो जो एक बिंदु या रेखा के बारे में सममित हैं; समस्या समाधान कौशल में सुधार; समस्या समाधान कौशल में सुधार; ज्यामितीय ड्राइंग की रिकॉर्डिंग और प्रदर्शन की सटीकता पर काम जारी रखें; ज्यामितीय ड्राइंग की रिकॉर्डिंग और प्रदर्शन की सटीकता पर काम जारी रखें;

मौखिक कार्य "जेंटल पोल" मौखिक कार्य "जेंटल पोल" खंड का मध्य बिंदु किस बिंदु को कहा जाता है? समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं? समचतुर्भुज के विकर्णों में क्या गुण होते हैं? एक समद्विबाहु त्रिभुज के समद्विभाजक का गुणधर्म बनाइए। कौन सी रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं? एक समबाहु त्रिभुज क्या है? एक वर्ग के विकर्णों में क्या गुण होते हैं? कौन से अंक समान कहलाते हैं?

आपने कक्षा में कौन सी नई अवधारणाएँ सीखीं? आपने कक्षा में कौन सी नई अवधारणाएँ सीखीं? आपने ज्यामितीय आकृतियों के बारे में क्या सीखा? आपने ज्यामितीय आकृतियों के बारे में क्या सीखा? अक्षीय सममिति वाली ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण दीजिए। अक्षीय सममिति वाली ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण दीजिए। केन्द्रीय सममिति वाली आकृतियों का एक उदाहरण दीजिए। केन्द्रीय सममिति वाली आकृतियों का एक उदाहरण दीजिए। आसपास के जीवन से वस्तुओं के उदाहरण दें जिनमें एक या दो प्रकार की समरूपता हो। आसपास के जीवन से वस्तुओं के उदाहरण दें जिनमें एक या दो प्रकार की समरूपता हो।

"समरूपता का बिंदु" - वास्तुकला में समरूपता। समतल आकृतियों की सममिति के उदाहरण। दो बिंदु A और A1 को O के संबंध में सममित कहा जाता है यदि O खंड AA1 का मध्य बिंदु है। केंद्रीय समरूपता वाली आकृतियों के उदाहरण वृत्त और समांतर चतुर्भुज हैं। बिंदु C को सममिति का केंद्र कहा जाता है। विज्ञान और प्रौद्योगिकी में समरूपता।

"ज्यामितीय आकृतियों का निर्माण" - शैक्षिक पहलू। आत्मसात का नियंत्रण और सुधार। उस सिद्धांत का अध्ययन जिस पर विधि आधारित है। स्टीरियोमेट्री में - सख्त निर्माण नहीं। स्टीरियोमेट्रिक निर्माण। बीजगणितीय विधि। परिवर्तन विधि (समानता, समरूपता, समानांतर अनुवाद, आदि)। उदाहरण के लिए: सीधे; कोण द्विभाजक; माध्य लंबवत।

"ह्यूमन फिगर" - मानव शरीर की आकृति और गति काफी हद तक कंकाल से निर्धारित होती है। नाट्य प्रदर्शन के साथ मेला। क्या आपको लगता है कि सर्कस में एक कलाकार के लिए नौकरी है? कंकाल आकृति की संरचना में एक फ्रेम की भूमिका निभाता है। मुख्य शरीर (पेट, छाती) ध्यान नहीं दिया सिर, चेहरा, हाथ। ए मैथिस। अनुपात। प्राचीन ग्रीस।

"एक रेखा के बारे में समरूपता" - एक रेखा के बारे में समरूपता को अक्षीय समरूपता कहा जाता है। सीधी रेखा a समरूपता की धुरी है। एक सीधी रेखा के बारे में समरूपता। बुलाविन पावेल, 9बी क्लास। प्रत्येक आकृति में सममिति के कितने अक्ष होते हैं? एक आकृति में सममिति के एक या अधिक अक्ष हो सकते हैं। केंद्रीय समरूपता। समलम्ब चतुर्भुज। आयत।

"आकृतियों के वर्ग ज्यामिति" - पाइथागोरस प्रमेय। विभिन्न आंकड़ों के क्षेत्र। पहेली सुलझाओ। समान क्षेत्रफल वाली आकृतियों को समान क्षेत्रफल कहा जाता है। क्षेत्र इकाइयाँ। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल। आयत, त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज। वर्ग सेंटीमीटर। समान क्षेत्रफल के आंकड़े। समान आंकड़े बी)। वर्ग मिलीमीटर। में)। A और D से बनी आकृति का क्षेत्रफल क्या होगा?

"एक बिंदु पर एक समारोह की सीमा" - फिर इस मामले में। प्रयास करते समय। एक बिंदु पर एक समारोह की सीमा। एक बिंदु पर निरंतर। में फ़ंक्शन के मान के बराबर। लेकिन फ़ंक्शन की सीमा की गणना करते समय। मूल्य के बराबर। अभिव्यक्ति। आकांक्षा। या आप यह कह सकते हैं: बिंदु के काफी छोटे पड़ोस में। से संकलित। फेसला। अंतराल पर निरंतर। बीच में।

समरूपता और समानता।समरूपता - एक परिवर्तन जिसमें प्रत्येक बिंदुएम (विमान या स्थान) को एक बिंदु सौंपा गया है M", OM . पर लेटा हुआ है (चित्र 5.16), और अनुपातओम": ओम = के अलावा अन्य सभी बिंदुओं के लिए समानओ नियत बिन्दुहे समरूपता केंद्र कहा जाता है। रवैयाओम": ओम सकारात्मक माना जाता है यदिएम" और एम के एक तरफ लेट जाओहे, नकारात्मक - विपरीत पक्षों पर। संख्याएक्स समरूपता गुणांक कहा जाता है। परएक्स< 0 समरूपता व्युत्क्रम कहलाती है। परλ = - 1 समरूपता एक बिंदु के बारे में एक समरूपता परिवर्तन बन जाती हैओ समरूपता के साथ, एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा में गुजरती है, समानांतर रेखाएँ और तल संरक्षित होते हैं, कोण (रैखिक और द्विध्रुव) संरक्षित होते हैं, प्रत्येक आकृति इसमें गुजरती हैसमान (चित्र 5.17)।

इसका उलटा भी सच है। एक समरूपता को एक परिबद्ध परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं एक बिंदु से गुजरती हैं - समरूपता का केंद्र। छवियों (प्रोजेक्शन लैंप, सिनेमा) को बड़ा करने के लिए होमोथेटी का उपयोग किया जाता है।

केंद्रीय और दर्पण समरूपता।समरूपता (में वृहद मायने में) - एक ज्यामितीय आकृति की एक संपत्ति, इसके आकार की एक निश्चित शुद्धता की विशेषता, आंदोलनों और प्रतिबिंबों की कार्रवाई के तहत इसकी अपरिवर्तनीयता। आकृति Ф में समरूपता (सममित) है यदि गैर-समान ऑर्थोगोनल परिवर्तन हैं जो इस आंकड़े को अपने आप में लेते हैं। सभी ओर्थोगोनल परिवर्तनों का सेट जो आकृति को स्वयं के साथ जोड़ता है वह इस आकृति का समूह है। तो, एक बिंदु के साथ एक सपाट आकृति (आकृति 5.18)एम, ट्रांसफॉर्मिंग-

ज़िया अपने आप में एक आईने के साथ परावर्तन, सीधी-अक्ष के बारे में सममितएबी. यहाँ समरूपता समूह में दो तत्व होते हैं - बिंदुएम इसमें बदला गयाएम"।

यदि समतल पर आकृति ऐसी है कि किसी बिंदु के बारे में घूमती हैहे 360°/n के कोण के माध्यम से, जहां n > 2 एक पूर्णांक है, इसे स्वयं में रूपांतरित करें, तो बिंदु के संबंध में आकृति Ф में n-वें क्रम सममिति हैहे - समरूपता का केंद्र। ऐसी आकृतियों का एक उदाहरण नियमित बहुभुज हैं, उदाहरण के लिए, तारे के आकार का (चित्र 5.19), जिसके केंद्र के बारे में आठवें क्रम की समरूपता है। यहाँ सममिति समूह तथाकथित n-वें क्रम का चक्रीय समूह है। वृत्त में अनंत क्रम की सममिति होती है (क्योंकि यह किसी भी कोण से मुड़कर स्वयं के साथ संयुक्त होता है)।

सबसे सरल प्रकार की स्थानिक समरूपता केंद्रीय समरूपता (उलटा) है। इस मामले में, बिंदु के संबंध मेंहे आकृति Ф तीन परस्पर लंबवत तलों, अर्थात् बिंदु से क्रमिक परावर्तन के बाद स्वयं के साथ संयुक्त हो जाती हैहे - सममित बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड का मध्य F। तो, घन के लिए (चित्र। 5.20) बिंदुहे समरूपता का केंद्र है। अंकएम और एम" क्यूब

स्थानिक आंकड़ों की समरूपता

प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जी. वेइल (1885-1955) के अनुसार, "समरूपता वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य सदियों से व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने का प्रयास कर रहा है।"
समरूपता की सुंदर छवियां कला के कार्यों द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं: वास्तुकला, चित्रकला, मूर्तिकला, आदि।
समतल पर आकृतियों की समरूपता की अवधारणा को योजनामिति के दौरान माना गया था। विशेष रूप से, केंद्रीय और अक्षीय समरूपता की अवधारणाओं को परिभाषित किया गया था। स्थानिक आंकड़ों के लिए, समरूपता की अवधारणा को इसी तरह परिभाषित किया गया है।
पहले केंद्रीय समरूपता पर विचार करें।
एक बिंदु के बारे में सममितओह, बुलाया समरूपता का केंद्र, यदि O खंड AA का मध्यबिंदु है। बिंदु O को अपने आप में सममित माना जाता है।
एक अंतरिक्ष परिवर्तन जिसमें प्रत्येक बिंदु A एक बिंदु A से सममित होता है (किसी दिए गए बिंदु O के संबंध में) कहलाता है केंद्रीय समरूपता. बिंदु O कहा जाता है समरूपता का केंद्र.
दो अंक F और F" कहलाते हैं केंद्रीय सममित, अगर कोई समरूपता परिवर्तन है जो उनमें से एक को दूसरे में ले जाता है।
चित्रा एफ कहा जाता है केंद्रीय सममितयदि यह स्वयं के लिए केंद्रीय रूप से सममित है।
उदाहरण के लिए, एक बॉक्स अपने विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में केंद्र में सममित है। गेंद और गोला अपने केंद्रों के बारे में केंद्र में सममित हैं।
नियमित पॉलीहेड्रा में से, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और डोडेकेहेड्रोन केंद्रीय रूप से सममित होते हैं। चतुष्फलक एक केंद्रीय सममित आकृति नहीं है।
केंद्रीय समरूपता के कुछ गुणों पर विचार करें।
संपत्ति 1.मैं एफओ 1, हे 2 आकृति की सममिति के केंद्र हैं, तो बिंदु O 3 O 2 . के संबंध में O 1 के सममित इस आकृति की समरूपता का केंद्र भी है।
प्रमाण।मान लीजिए A अंतरिक्ष में एक बिंदु है, A 2 O . के सन्दर्भ में एक सममित बिंदु है 2, ए 1 - बिंदु सममितीय A 2 ओ 1 और ए 3 के सापेक्ष - सममित बिंदु A 1 O 2 के सापेक्ष (चित्र 1)।

तब त्रिभुज O 2 ओ 1 ए 1 और ओ 2 ओ 3 ए 3, ओ 2 ओ 1 ए 2 और ओ 2 ओ 3 ए बराबर हैं। इसलिए, ए और ए 3 O . के संबंध में सममित हैं 3 . तो O . के संबंध में समरूपता 3 O . के संबंध में समरूपता की एक रचना है 2, ओ 1 और ओ 2 . नतीजतन, इस समरूपता के साथ, आंकड़ा Ф अपने आप में बदल जाता है, अर्थात। हे 3 एफ की समरूपता का केंद्र है।

परिणाम।किसी भी आकृति में या तो सममिति का केंद्र नहीं होता है, या समरूपता का एक केंद्र होता है, या समरूपता के अनंत केंद्रों की संख्या होती है

वास्तव में, यदि ओ 1, हे 2 आकृति की सममिति के केंद्र हैं, तो बिंदु O 3 O 2 . के संबंध में O 1 के सममित इस आकृति की समरूपता का केंद्र भी है। इसी प्रकार, बिंदु O 4 सममित O 2 O 3 . के संबंध में आकृति , आदि की सममिति का केंद्र भी है। इस प्रकार, इस मामले में आकृति में समरूपता के असीमित केंद्र हैं।

अब अवधारणा पर विचार करें अक्षीय समरूपता.
स्थान के बिन्दु A और A" कहलाते हैं एक सीधी रेखा के बारे में सममित एबुलाया समरूपता की धुरीअगर सीधे एखंड AA "के मध्य बिंदु से होकर गुजरता है और इस खंड के लंबवत है। रेखा का प्रत्येक बिंदु एअपने आप में सममित माना जाता है।
एक अंतरिक्ष परिवर्तन जिसमें प्रत्येक बिंदु A एक बिंदु A से सममित होता है (किसी दी गई रेखा के संबंध में ए), कहा जाता है अक्षीय समरूपता. सीधा एयह कहा जाता है समरूपता की धुरी.
दो आंकड़े कहलाते हैं एक सीधी रेखा के बारे में सममित एयदि इस रेखा के बारे में समरूपता परिवर्तन उनमें से एक को दूसरे तक ले जाता है।
अंतरिक्ष में आकृति कहलाती है एक सीधी रेखा के बारे में सममित एअगर यह अपने आप में सममित है।
उदाहरण के लिए, एक घनाभ विपरीत फलकों के केंद्रों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के सममित होता है। एक लम्ब वृत्तीय बेलन अपने अक्ष के परितः सममित होता है, एक गेंद और एक गोला अपने केन्द्रों से गुजरने वाली किसी भी सीधी रेखा के सममित होते हैं, आदि।
घन में समरूपता के तीन अक्ष विपरीत फलकों के केंद्रों से होकर गुजरते हैं और समरूपता के छह अक्ष विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं।
एक टेट्राहेड्रोन में समरूपता के तीन अक्ष होते हैं जो विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं।
ऑक्टाहेड्रोन में समरूपता के तीन अक्ष विपरीत शीर्षों से गुजरते हैं और समरूपता के छह अक्ष विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं।
इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन में से प्रत्येक में विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली समरूपता की पंद्रह कुल्हाड़ियाँ हैं।
संपत्ति 3.यदि एकए 1 , ए 2 - आकृति की समरूपता की धुरी , फिर सीधी रेखाए 3, सममित ए 1 अपेक्षाकृत ए 2 इस आकृति की समरूपता की धुरी भी है।

सबूत संपत्ति 1 के सबूत के समान है।

संपत्ति 4.यदि अंतरिक्ष में दो प्रतिच्छेद करने वाली लंबवत रेखाएं दी गई आकृति की सममिति की कुल्हाड़ियां हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखा और इन रेखाओं के तल के लंबवत भी आकृति की सममिति की धुरी होगी।
प्रमाण।निर्देशांक अक्षों पर विचार करें O एक्स,ओ आप,ओ जेड. ओ अक्ष के चारों ओर समरूपता एक्स एक्स, आप, जेड) आकृति के बिंदु तक निर्देशांक के साथ ( एक्स, -y, -z) इसी प्रकार, O अक्ष के बारे में सममिति आपनिर्देशांक के साथ आकृति के बिंदु का अनुवाद करता है ( एक्स, –आप, –जेड) आकृति के एक बिंदु पर निर्देशांक के साथ (- एक्स, -वाई, जेड) . इस प्रकार, इन समरूपताओं की संरचना निर्देशांक के साथ आकृति के बिंदु का अनुवाद करती है ( एक्स, वाई, जेड) आकृति के एक बिंदु पर निर्देशांक के साथ (- एक्स, -वाई, जेड) इसलिए, ओ अक्ष जेडएफ की समरूपता की धुरी है।

परिणाम।अंतरिक्ष में किसी भी आकृति में समरूपता अक्षों की एक सम (गैर-शून्य) संख्या नहीं हो सकती है।
वास्तव में, हम समरूपता की कुछ धुरी को ठीक करते हैं ए. यदि एक बी- समरूपता की धुरी, प्रतिच्छेद नहीं करती एया इसे समकोण पर नहीं काटता है, तो इसके लिए समरूपता का एक और अक्ष होता है बी', के संबंध में सममित ए. यदि समरूपता की धुरी बीपार एसमकोण पर, तो इसके लिए समरूपता की एक और धुरी है बी'चौराहे के बिंदु से गुजरते हुए और रेखाओं के तल के लंबवत एऔर बी. इसलिए, समरूपता की धुरी के अलावा एसमरूपता के अक्षों की सम या अनंत संख्या संभव है। इस प्रकार, समरूपता अक्षों की कुल सम (गैर-शून्य) संख्या असंभव है।
ऊपर परिभाषित सममिति के अक्षों के अतिरिक्त, हम इस पर भी विचार करते हैं समरूपता की कुल्हाड़ियों एन-वें क्रम, एन 2 .
सीधा एबुलाया समरूपता की धुरी एन-वें क्रमआकृति , यदि आकृति को घुमाते समय एक सीधी रेखा के चारों ओर एएक कोण पर, आकृति Ф स्वयं के साथ संयुक्त होती है।

यह स्पष्ट है कि सममिति का द्वितीय कोटि का अक्ष केवल सममिति का अक्ष है।
उदाहरण के लिए, सही में एन-कोणीय पिरामिड, आधार के शीर्ष और केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा समरूपता की धुरी है एन-वें क्रम।
आइए जानें कि सममिति के किन अक्षों में नियमित पॉलीहेड्रा होता है।
क्यूब में समरूपता के तीन चौथे क्रम के अक्ष विपरीत चेहरों के केंद्रों से गुजरते हैं, चार तीसरे क्रम के समरूपता के अक्ष विपरीत कोने से गुजरते हैं, और समरूपता के छह दूसरे क्रम के अक्ष विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं।
टेट्राहेड्रोन में विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले दूसरे क्रम की समरूपता के तीन अक्ष होते हैं।
icosahedron में समरूपता के छह 5वें क्रम के कुल्हाड़ियाँ हैं जो विपरीत शीर्षों से होकर गुजरती हैं; तीसरे क्रम की समरूपता के दस अक्ष विपरीत फलकों के केंद्रों से गुजरते हुए और दूसरे क्रम की सममिति के पंद्रह अक्ष विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हुए।
डोडेकाहेड्रोन में समरूपता के छह 5 वें क्रम के अक्ष हैं जो विपरीत चेहरों के केंद्रों से गुजरते हैं; तीसरे क्रम की समरूपता के दस अक्ष विपरीत शीर्षों से गुजरते हुए और दूसरे क्रम की सममिति के पंद्रह अक्ष विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हुए।
अवधारणा पर विचार करें दर्पण समरूपता.
अंतरिक्ष में बिन्दु A और A" कहलाते हैं विमान के बारे में सममित, या, दूसरे शब्दों में, दर्पण सममित, यदि यह तल खंड AA "के मध्य बिंदु से होकर गुजरता है और इसके लंबवत है। समतल का प्रत्येक बिंदु स्वयं के लिए सममित माना जाता है।
अंतरिक्ष का परिवर्तन, जिसमें प्रत्येक बिंदु A एक बिंदु A से सममित होता है (दिए गए तल के संबंध में) कहलाता है दर्पण समरूपता. विमान कहा जाता है समरूपता का तल.
दो आंकड़े कहलाते हैं दर्पण सममितएक विमान के संबंध में यदि उस विमान के संबंध में एक समरूपता परिवर्तन उनमें से एक को दूसरे में ले जाता है।
अंतरिक्ष में आकृति कहलाती है दर्पण सममितअगर यह अपने आप में दर्पण सममित है।
उदाहरण के लिए, एक घनाभ समरूपता के अक्ष से गुजरने वाले समतल के संबंध में दर्पण-सममित होता है और विपरीत फलकों के जोड़े में से एक के समानांतर होता है। सिलेंडर अपनी धुरी आदि से गुजरने वाले किसी भी तल के संबंध में दर्पण-सममित होता है।
नियमित पॉलीहेड्रा में, क्यूब और ऑक्टाहेड्रोन में से प्रत्येक में समरूपता के नौ विमान होते हैं। चतुष्फलक में समरूपता के छह तल होते हैं। इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन में से प्रत्येक में समरूपता के पंद्रह विमान हैं जो विपरीत किनारों के जोड़े से गुजरते हैं।
संपत्ति 5.समानांतर विमानों के संबंध में दो दर्पण समरूपताओं की संरचना इन विमानों के लंबवत एक वेक्टर द्वारा समानांतर अनुवाद है और परिमाण में इन विमानों के बीच की दूरी के दोगुने के बराबर है।
परिणाम।समानांतर परिवहन को दो दर्पण समरूपताओं की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।
संपत्ति 6.एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करने वाले समतलों के संबंध में दो दर्पण समरूपताओं का संघटन इस सीधी रेखा के चारों ओर इन समतलों के बीच द्विफलकीय कोण के दोगुने कोण के बराबर घूर्णन है। विशेष रूप से, अक्षीय समरूपता लंबवत विमानों के बारे में दो दर्पण समरूपता की संरचना है।
परिणाम।एक घूर्णन को दो दर्पण समरूपताओं की संरचना के रूप में माना जा सकता है।
संपत्ति 7.केंद्रीय समरूपता को तीन दर्पण समरूपताओं की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।
आइए हम निर्देशांक विधि का उपयोग करके इस गुण को सिद्ध करें। मान लीजिए बिंदु A अंतरिक्ष में निर्देशांक हैं ( एक्स, वाई, जेड). निर्देशांक तल के संबंध में दर्पण समरूपता संगत निर्देशांक के चिह्न को बदल देती है। उदाहरण के लिए, समतल O . के संबंध में दर्पण सममिति xyनिर्देशांक के साथ एक बिंदु का अनुवाद करता है ( एक्स, वाई, जेड) निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर ( एक्स, वाई, -z) निर्देशांक विमानों के बारे में तीन दर्पण समरूपता की संरचना निर्देशांक के साथ बिंदु का अनुवाद करती है ( एक्स, वाई, जेड) निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर (- एक्स, -y, -z), जो प्रारंभिक बिंदु A के केंद्र में सममित है।
आंदोलन जो आकृति F को अपने आप में अनुवाद करते हैं, रचना के संबंध में एक समूह बनाते हैं। यह कहा जाता है समरूपता समूहआंकड़े एफ.
आइए हम घन के समरूपता समूह का क्रम ज्ञात करें।
यह स्पष्ट है कि कोई भी आंदोलन जो क्यूब को अपने आप में ले लेता है, क्यूब के केंद्र को छोड़ देता है, चेहरों के केंद्रों को चेहरों के केंद्रों, किनारों के मध्य बिंदुओं को किनारों के मध्य बिंदुओं तक ले जाता है, और कोने को कोने।
इस प्रकार, क्यूब की गति निर्धारित करने के लिए, यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है कि चेहरे का केंद्र, इस चेहरे के किनारे का मध्य और किनारे का शीर्ष कहाँ जाता है।
एक क्यूब को टेट्राहेड्रा में विभाजित करने पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक के कोने क्यूब का केंद्र, चेहरे का केंद्र, इस चेहरे के किनारे का मध्य बिंदु और किनारे का शीर्ष हैं। ऐसे 48 टेट्राहेड्रा हैं। चूंकि गति पूरी तरह से निर्धारित होती है कि दिए गए टेट्राहेड्रोन को किस टेट्राहेड्रा में स्थानांतरित किया जाता है, क्यूब समरूपता समूह का क्रम 48 होगा।
इसी तरह, टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और डोडेकेहेड्रोन के समरूपता समूहों के क्रम पाए जाते हैं।
इकाई वृत्त S . का समरूपता समूह ज्ञात कीजिए 1 . इस समूह को O(2) के रूप में दर्शाया गया है। यह एक अनंत टोपोलॉजिकल समूह है। हम इकाई वृत्त को सम्मिश्र संख्या मॉड्यूलो एक के समूह के रूप में निरूपित करते हैं। एक प्राकृतिक समरूपता है p:O(2) -> S 1 , जो समूह O(2) के एक तत्व u को S . में एक तत्व u(1) प्रदान करता है 1 . इस मैपिंग का कर्नेल समूह Z . है 2 , अक्ष ऑक्स के बारे में यूनिट सर्कल की समरूपता द्वारा उत्पन्न। इसलिए, ओ(2)/जेड 2एस1 . इसके अलावा, यदि समूह संरचना को ध्यान में नहीं रखा जाता है, तो होमोमोर्फिज्म ओ (2) और प्रत्यक्ष उत्पाद एस होता है 1 और जेड 2।
इसी प्रकार, द्विविमीय गोले का सममित समूह S 2 O(3) द्वारा निरूपित किया जाता है, और यह समरूपता O(3)/O(2) S . को संतुष्ट करता है 2 .
n-आयामी क्षेत्रों के समरूपता समूह टोपोलॉजी की आधुनिक शाखाओं में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: मैनिफोल्ड का सिद्धांत, फाइबर रिक्त स्थान का सिद्धांत, आदि।
प्रकृति में समरूपता की सबसे हड़ताली अभिव्यक्तियों में से एक क्रिस्टल हैं। क्रिस्टल के गुण उनकी ज्यामितीय संरचना की विशेषताओं से निर्धारित होते हैं, विशेष रूप से, क्रिस्टल जाली में परमाणुओं की सममित व्यवस्था द्वारा। क्रिस्टल के बाहरी आकार उनकी आंतरिक समरूपता का परिणाम हैं।
पहली, अभी भी अस्पष्ट धारणा है कि क्रिस्टल में परमाणुओं को एक नियमित, नियमित, सममित क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, पहले से ही विभिन्न प्राकृतिक वैज्ञानिकों के कार्यों में व्यक्त किया गया था जब परमाणु की अवधारणा अस्पष्ट थी और इसका कोई प्रयोगात्मक सबूत नहीं था। पदार्थ की परमाणु संरचना। क्रिस्टल के सममित बाहरी आकार ने अनैच्छिक रूप से सुझाव दिया कि क्रिस्टल की आंतरिक संरचना सममित और नियमित होनी चाहिए। क्रिस्टल के बाहरी रूप की समरूपता के नियम पूरी तरह से 19 वीं शताब्दी के मध्य में स्थापित किए गए थे, और इस शताब्दी के अंत तक, क्रिस्टल में परमाणु संरचनाओं को नियंत्रित करने वाले समरूपता कानून स्पष्ट और सटीक रूप से निकाले गए थे।
क्रिस्टल की संरचना के गणितीय सिद्धांत के संस्थापक एक उत्कृष्ट रूसी गणितज्ञ और क्रिस्टलोग्राफर हैं - एवग्राफ स्टेपानोविच फेडोरोव (1853-1919)। गणित, रसायन विज्ञान, भूविज्ञान, खनिज विज्ञान, पेट्रोग्राफी, खनन - ई.एस. फेडोरोव ने इनमें से प्रत्येक क्षेत्र में महत्वपूर्ण योगदान दिया। 1890 में, उन्होंने क्रिस्टल संरचनाओं में समरूपता तत्वों के संयोजन के लिए सभी संभव ज्यामितीय कानूनों को कड़ाई से गणितीय रूप से घटाया, दूसरे शब्दों में, क्रिस्टल के अंदर कणों की व्यवस्था की समरूपता। यह पता चला कि ऐसे कानूनों की संख्या सीमित है। फेडोरोव ने दिखाया कि 230 अंतरिक्ष समरूपता समूह हैं, जिन्हें बाद में वैज्ञानिक के सम्मान में फेडोरोव का नाम दिया गया। यह एक्स-रे की खोज से 10 साल पहले, क्रिस्टल जाली के अस्तित्व को साबित करने से 27 साल पहले किया गया एक विशाल कार्य था। 230 फेडोरोव समूहों का अस्तित्व आधुनिक संरचनात्मक क्रिस्टलोग्राफी के सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय नियमों में से एक है। "ई.एस. फेडोरोव का विशाल वैज्ञानिक करतब, जो एक ही ज्यामितीय योजना के तहत अनगिनत क्रिस्टल संरचनाओं के सभी प्राकृतिक "अराजकता" लाने में कामयाब रहा, अभी भी प्रशंसा जगाता है। यह खोज डी.आई. मेंडेलीव की आवर्त सारणी की खोज के समान है। क्रिस्टल का साम्राज्य "एक अडिग स्मारक है और शास्त्रीय फेडोरोव क्रिस्टलोग्राफी का अंतिम शिखर है," शिक्षाविद ए.वी. शुबनिकोव।

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