औसत मूल्य- यह एक सामान्यीकरण संकेतक है जो एक निश्चित मात्रात्मक विशेषता के अनुसार गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी की विशेषता है। उदाहरण के लिए, चोरी के दोषी व्यक्तियों की औसत आयु।

न्यायिक आँकड़ों में, औसत का उपयोग विशेषता के लिए किया जाता है:

इस श्रेणी के मामलों पर विचार करने की औसत शर्तें;

मध्यम आकार का दावा;

प्रति केस प्रतिवादियों की औसत संख्या;

क्षति की औसत राशि;

न्यायाधीशों का औसत कार्यभार, आदि।

औसत मान को हमेशा नामित किया जाता है और जनसंख्या की एक अलग इकाई की विशेषता के समान आयाम होता है। प्रत्येक औसत मूल्य किसी एक भिन्न विशेषता के अनुसार अध्ययन की गई जनसंख्या की विशेषता है, इसलिए, किसी भी औसत के पीछे, अध्ययन की गई विशेषता के अनुसार इस जनसंख्या की इकाइयों के वितरण की एक श्रृंखला होती है। औसत के प्रकार का चुनाव संकेतक की सामग्री और औसत की गणना के लिए प्रारंभिक डेटा द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सांख्यिकीय अध्ययनों में प्रयुक्त सभी प्रकार के औसत दो श्रेणियों में आते हैं:

1) बिजली औसत;

2) संरचनात्मक औसत।

औसत की पहली श्रेणी में शामिल हैं: अंकगणित माध्य, हार्मोनिक माध्य, ज्यामितीय माध्य और वर्गमूल औसत का वर्ग . दूसरी श्रेणी है पहनावाऔर मंझला. इसके अलावा, प्रत्येक सूचीबद्ध प्रकार के बिजली औसत के दो रूप हो सकते हैं: सरल और भारित . माध्य के सरल रूप का उपयोग अध्ययन के तहत विशेषता के औसत मूल्य को प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जब गणना अवर्गीकृत आंकड़ों पर आधारित होती है, या जब प्रत्येक प्रकार जनसंख्या में केवल एक बार होता है। भारित औसत वे मान हैं जो इस बात को ध्यान में रखते हैं कि किसी विशेषता के मानों के विकल्पों में अलग-अलग संख्याएँ हो सकती हैं, और इसलिए प्रत्येक विकल्प को संबंधित आवृत्ति से गुणा करना पड़ता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक विकल्प को उसकी आवृत्ति से "तौला" जाता है। आवृत्ति को सांख्यिकीय भार कहा जाता है।

सरल अंकगणित माध्य- माध्यम का सबसे आम प्रकार। यह इन मूल्यों की कुल संख्या से विभाजित व्यक्तिगत विशेषता मूल्यों के योग के बराबर है:

कहाँ पे एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन- चर विशेषता (विकल्प) के व्यक्तिगत मूल्य, और एन - जनसंख्या इकाइयों की संख्या।

अंकगणित भारित औसतइसका उपयोग तब किया जाता है जब डेटा को वितरण श्रृंखला या समूह के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इसकी गणना विकल्पों के उत्पादों और उनकी संगत आवृत्तियों के योग के रूप में की जाती है, जो सभी विकल्पों की आवृत्तियों के योग से विभाजित होती है:

कहाँ पे एक्स मैं- अर्थ मैंसुविधा के -वें संस्करण; फाई- आवृत्ति मैंवें विकल्प।

इस प्रकार, प्रत्येक भिन्न मान को उसकी आवृत्ति द्वारा भारित किया जाता है, यही कारण है कि आवृत्तियों को कभी-कभी सांख्यिकीय भार कहा जाता है।

टिप्पणी।जब इसके प्रकार को निर्दिष्ट किए बिना अंकगणितीय माध्य की बात आती है, तो साधारण अंकगणितीय माध्य का अर्थ होता है।

तालिका 12

फेसला।गणना के लिए, हम अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, औसतन प्रति आपराधिक मामले में दो प्रतिवादी होते हैं।

यदि औसत मूल्य की गणना अंतराल वितरण श्रृंखला के रूप में समूहीकृत डेटा के अनुसार की जाती है, तो पहले आपको प्रत्येक अंतराल x "i के औसत मान निर्धारित करने की आवश्यकता होती है, फिर भारित का उपयोग करके औसत मान की गणना करें अंकगणित माध्य सूत्र, जिसमें x i के स्थान पर x" i को प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण।चोरी के दोषी अपराधियों की उम्र के आंकड़े तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं:

तालिका 13

चोरी के दोषी अपराधियों की औसत आयु निर्धारित करें।

फेसला।अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधार पर अपराधियों की औसत आयु निर्धारित करने के लिए, आपको पहले अंतराल के औसत मूल्यों को खोजना होगा। चूंकि खुले पहले और अंतिम अंतराल के साथ एक अंतराल श्रृंखला दी गई है, इन अंतरालों के मूल्यों को आसन्न बंद अंतराल के मूल्यों के बराबर लिया जाता है। हमारे मामले में, पहले और आखिरी अंतराल का मान 10 है।

अब हम भारित अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करके अपराधियों की औसत आयु ज्ञात करते हैं:

इस प्रकार, चोरी के दोषी अपराधियों की औसत आयु लगभग 27 वर्ष है।

औसत हार्मोनिक सरल सुविधा के पारस्परिक मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का पारस्परिक है:

जहां 1/ एक्स मैंविकल्पों के व्युत्क्रम हैं, और N जनसंख्या इकाइयों की संख्या है।

उदाहरण।आपराधिक मामलों पर विचार करते समय जिला न्यायालय के न्यायाधीशों के लिए औसत वार्षिक कार्यभार निर्धारित करने के लिए, इस अदालत के 5 न्यायाधीशों के कार्यभार पर एक सर्वेक्षण किया गया था। सर्वेक्षण किए गए प्रत्येक न्यायाधीश के लिए एक आपराधिक मामले में बिताया गया औसत समय बराबर (दिनों में) निकला: 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4। एक के लिए औसत लागत ज्ञात कीजिए। आपराधिक मामले और आपराधिक मामलों पर विचार करते समय इस जिला अदालत के न्यायाधीशों पर औसत वार्षिक कार्यभार।

फेसला।एक आपराधिक मामले पर खर्च किए गए औसत समय को निर्धारित करने के लिए, हम हार्मोनिक सरल सूत्र का उपयोग करते हैं:

उदाहरण में गणना को सरल बनाने के लिए, आइए एक वर्ष में 365 के बराबर दिनों की संख्या लें, जिसमें सप्ताहांत भी शामिल है (यह गणना पद्धति को प्रभावित नहीं करता है, और व्यवहार में एक समान संकेतक की गणना करते समय, काम करने की संख्या को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है) 365 दिनों के बजाय किसी विशेष वर्ष में दिन)। फिर आपराधिक मामलों पर विचार करते समय इस जिला न्यायालय के न्यायाधीशों के लिए औसत वार्षिक कार्यभार होगा: 365 (दिन): 5.56 65.6 (मामले)।

यदि हम एक आपराधिक मामले पर खर्च किए गए औसत समय को निर्धारित करने के लिए सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करते हैं, तो हम प्राप्त करेंगे:

365 (दिन): 5.64 64.7 (मामले), यानी। न्यायाधीशों के लिए औसत कार्यभार कम था।

आइए इस दृष्टिकोण की वैधता की जांच करें। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक न्यायाधीश के लिए एक आपराधिक मामले पर खर्च किए गए समय पर डेटा का उपयोग करते हैं और प्रति वर्ष उनमें से प्रत्येक द्वारा विचार किए गए आपराधिक मामलों की संख्या की गणना करते हैं।

हम तदनुसार प्राप्त करते हैं:

365 (दिन): 6 61 (मामला), 365 (दिन): 5.6 65.2 (केस), 365 (दिन): 6.3 58 (केस),

365 (दिन): 4.9 74.5 (मामले), 365 (दिन): 5.4 68 (मामले)।

अब हम आपराधिक मामलों पर विचार करते समय इस जिला न्यायालय के न्यायाधीशों के औसत वार्षिक कार्यभार की गणना करते हैं:

वे। औसत वार्षिक भार हार्मोनिक माध्य का उपयोग करते समय समान होता है।

इस प्रकार, इस मामले में अंकगणितीय माध्य का उपयोग अवैध है।

ऐसे मामलों में जहां किसी विशेषता के वेरिएंट ज्ञात होते हैं, उनके वॉल्यूमेट्रिक मान (आवृत्ति द्वारा वेरिएंट का उत्पाद), लेकिन आवृत्तियां स्वयं अज्ञात होती हैं, हार्मोनिक भारित औसत सूत्र लागू होता है:

,

कहाँ पे एक्स मैंविशेषता विकल्पों के मान हैं, और मैं विकल्पों के वॉल्यूमेट्रिक मान हैं ( डब्ल्यू मैं = एक्स मैं एफ मैं).

उदाहरण।प्रायश्चित्त प्रणाली के विभिन्न संस्थानों द्वारा उत्पादित एक ही प्रकार के सामान की एक इकाई की कीमत और इसके कार्यान्वयन की मात्रा पर डेटा तालिका 14 में दिया गया है।

तालिका 14

उत्पाद का औसत विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

फेसला।औसत मूल्य की गणना करते समय, हमें बेची गई इकाइयों की संख्या से बेची गई राशि के अनुपात का उपयोग करना चाहिए। हम बेची गई इकाइयों की संख्या नहीं जानते, लेकिन हम माल की बिक्री की मात्रा जानते हैं। इसलिए, बेची गई वस्तुओं का औसत मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम हार्मोनिक भारित औसत सूत्र का उपयोग करते हैं। हम पाते हैं

यदि आप यहां अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करते हैं, तो आप एक औसत मूल्य प्राप्त कर सकते हैं जो अवास्तविक होगा:

जियोमेट्रिक माध्यसुविधा विकल्पों के सभी मूल्यों के उत्पाद से डिग्री एन की जड़ निकालने के द्वारा गणना की जाती है:

,

कहाँ पे एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन- चर विशेषता (विकल्प) के व्यक्तिगत मूल्य, और

एन- जनसंख्या इकाइयों की संख्या।

इस प्रकार के औसत का उपयोग समय श्रृंखला की औसत वृद्धि दर की गणना के लिए किया जाता है।

वर्गमूल औसत का वर्गमानक विचलन की गणना के लिए उपयोग किया जाता है, जो भिन्नता का संकेतक है, और नीचे चर्चा की जाएगी।

जनसंख्या की संरचना का निर्धारण करने के लिए, विशेष औसत का उपयोग किया जाता है, जिसमें शामिल हैं मंझला और पहनावा , या तथाकथित संरचनात्मक औसत। यदि अंकगणितीय माध्य की गणना विशेषता मानों के सभी प्रकारों के उपयोग के आधार पर की जाती है, तो माध्यिका और बहुलक उस वैरिएंट के मान की विशेषता बताते हैं जो क्रमबद्ध (क्रमबद्ध) श्रृंखला में एक निश्चित औसत स्थान रखता है। सांख्यिकीय जनसंख्या की इकाइयों का क्रम अध्ययन के तहत विशेषता के प्रकार के आरोही या अवरोही क्रम में किया जा सकता है।

माध्यिका (मी)वह मान है जो रैंक की गई शृंखला के मध्य में वैरिएंट से मेल खाता है। इस प्रकार, माध्यिका श्रेणीबद्ध श्रृंखला का वह रूप है, जिसके दोनों ओर इस श्रृंखला में समान संख्या में जनसंख्या इकाइयाँ होनी चाहिए।

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, आपको पहले सूत्र का उपयोग करके क्रमबद्ध श्रृंखला में इसकी क्रम संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है:

जहाँ N श्रृंखला का आयतन (जनसंख्या इकाइयों की संख्या) है।

यदि श्रृंखला में विषम संख्या में सदस्य होते हैं, तो माध्यिका N Me संख्या वाले प्रकार के बराबर होती है। यदि श्रृंखला में सदस्यों की एक सम संख्या होती है, तो माध्यिका को मध्य में स्थित दो आसन्न विकल्पों के अंकगणितीय माध्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।

उदाहरण।एक क्रमबद्ध श्रेणी 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10 दी गई है। श्रृंखला का आयतन N = 9 है, जिसका अर्थ है N Me = (9 + 1) / 2 = 5। इसलिए, मैं = 6, यानी। पांचवां विकल्प। यदि एक पंक्ति 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, अर्थात् दी गई हो। सदस्यों की एक सम संख्या वाली श्रृंखला (N = 8), तो N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5। तो माध्यिका चौथे और पांचवें विकल्पों के योग के आधे के बराबर है, अर्थात। मैं = (9 + 11) / 2 = 10।

असतत भिन्नता श्रृंखला में, माध्यिका संचित आवृत्तियों द्वारा निर्धारित की जाती है। पहले वाले से शुरू होने वाली भिन्न आवृत्तियों का योग तब तक किया जाता है जब तक कि माध्यिका संख्या पार नहीं हो जाती। अंतिम सारांशित विकल्पों का मान माध्यिका होगा।

उदाहरण।तालिका 12 में डेटा का उपयोग करके प्रति आपराधिक मामले में प्रतिवादियों की औसत संख्या पाएं।

फेसला।इस स्थिति में, भिन्नता श्रृंखला का आयतन N = 154 है, इसलिए N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5। पहले और दूसरे विकल्पों की बारंबारताओं का योग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 75 + 43 = 118, अर्थात्। हमने औसत संख्या को पार कर लिया है। तो मैं = 2.

वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला में, पहले उस अंतराल को इंगित करें जिसमें माध्यिका स्थित होगी। उसे बुलाया गया मंझला . यह पहला अंतराल है जिसकी संचयी आवृत्ति अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधे आयतन से अधिक है। तब माध्यिका का संख्यात्मक मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ पे एक्स मी- माध्यिका अंतराल की निचली सीमा; i - माध्यिका अंतराल का मान; एस मी-1- अंतराल की संचित आवृत्ति जो माध्यिका से पहले होती है; एफ मी- माध्यिका अंतराल की आवृत्ति।

उदाहरण।तालिका 13 में प्रस्तुत आंकड़ों के आधार पर, चोरी के दोषी अपराधियों की औसत आयु ज्ञात कीजिए।

फेसला।सांख्यिकीय डेटा को एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ है कि हम पहले माध्यिका अंतराल निर्धारित करते हैं। जनसंख्या का आयतन N = 162, इसलिए माध्यिका अंतराल 18-28 का अंतराल है, क्योंकि यह पहला अंतराल है, जिसकी संचित आवृत्ति (15 + 90 = 105) अंतराल भिन्नता श्रृंखला के आधे आयतन (162: 2 = 81) से अधिक है। अब माध्यिका का संख्यात्मक मान उपरोक्त सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस प्रकार, चोरी के दोषियों में से आधे 25 वर्ष से कम उम्र के हैं।

फैशन (मो)विशेषता के मूल्य का नाम बताइए, जो अक्सर जनसंख्या की इकाइयों में पाया जाता है। फैशन का उपयोग उस विशेषता के मूल्य की पहचान करने के लिए किया जाता है जिसका सबसे बड़ा वितरण होता है। असतत श्रृंखला के लिए, मोड उच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण होगा। उदाहरण के लिए, तालिका 3 में प्रस्तुत असतत श्रृंखला के लिए एमओ= 1, चूंकि विकल्पों का यह मान उच्चतम आवृत्ति - 75 से मेल खाता है। अंतराल श्रृंखला के मोड को निर्धारित करने के लिए, पहले निर्धारित करें मॉडल अंतराल (उच्चतम आवृत्ति वाला अंतराल)। फिर, इस अंतराल के भीतर, सुविधा का मूल्य पाया जाता है, जो एक मोड हो सकता है।

इसका मान सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

कहाँ पे एक्स मो- मोडल अंतराल की निचली सीमा; i - मोडल अंतराल का मान; च मो- मोडल अंतराल आवृत्ति; च मो-1- मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति; च मो+1- मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति।

उदाहरण।चोरी के दोषी अपराधियों की आयु पद्धति का पता लगाएं, जिसके आंकड़े तालिका 13 में प्रस्तुत किए गए हैं।

फेसला।उच्चतम आवृत्ति अंतराल 18-28 से मेल खाती है, इसलिए, मोड इस अंतराल में होना चाहिए। इसका मान उपरोक्त सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस प्रकार, चोरी के दोषी अपराधियों की सबसे बड़ी संख्या 24 वर्ष है।

औसत मूल्य अध्ययन के तहत घटना की समग्रता की एक सामान्यीकरण विशेषता देता है। हालांकि, अध्ययन किए गए गुण के मूल्य में उतार-चढ़ाव (भिन्नता) की डिग्री के संदर्भ में समान माध्य मान वाली दो आबादी एक-दूसरे से काफी भिन्न हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक अदालत में कारावास की निम्नलिखित शर्तें दी गईं: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 साल और दूसरे में - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 साल का। दोनों ही मामलों में, अंकगणितीय माध्य 6.7 वर्ष है। हालांकि, औसत मूल्य के सापेक्ष कारावास की निर्धारित अवधि के व्यक्तिगत मूल्यों के प्रसार में ये समुच्चय एक दूसरे से काफी भिन्न होते हैं।

और पहली अदालत के लिए, जहां यह भिन्नता काफी बड़ी है, कारावास की औसत अवधि पूरी आबादी को अच्छी तरह से नहीं दर्शाती है। इस प्रकार, यदि विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य एक-दूसरे से बहुत कम भिन्न होते हैं, तो अंकगणितीय माध्य इस जनसंख्या के गुणों की काफी सांकेतिक विशेषता होगी। अन्यथा, अंकगणितीय माध्य इस जनसंख्या की एक अविश्वसनीय विशेषता होगी और व्यवहार में इसका अनुप्रयोग अप्रभावी है। इसलिए, अध्ययन किए गए गुण के मूल्यों में भिन्नता को ध्यान में रखना आवश्यक है।

उतार-चढ़ाव- ये एक ही अवधि या समय में दी गई आबादी की विभिन्न इकाइयों में एक विशेषता के मूल्यों में अंतर हैं। शब्द "भिन्नता" लैटिन मूल का है - वेरिएशन, जिसका अर्थ है अंतर, परिवर्तन, उतार-चढ़ाव। यह इस तथ्य के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है कि विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य विभिन्न कारकों (स्थितियों) के संयुक्त प्रभाव में बनते हैं, जो प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में अलग-अलग तरीकों से संयुक्त होते हैं। एक विशेषता की भिन्नता को मापने के लिए, विभिन्न निरपेक्ष और सापेक्ष संकेतकों का उपयोग किया जाता है।

भिन्नता के मुख्य संकेतकों में निम्नलिखित शामिल हैं:

1) भिन्नता की सीमा;

2) औसत रैखिक विचलन;

3) फैलाव;

4) मानक विचलन;

5) भिन्नता का गुणांक।

आइए संक्षेप में उनमें से प्रत्येक पर ध्यान दें।

अवधि भिन्नतागणना में आसानी के मामले में आर सबसे सुलभ पूर्ण संकेतक है, जिसे इस आबादी की इकाइयों के लिए विशेषता के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:

भिन्नता की सीमा (उतार-चढ़ाव की सीमा) एक विशेषता की परिवर्तनशीलता का एक महत्वपूर्ण संकेतक है, लेकिन यह केवल चरम विचलन को देखना संभव बनाता है, जो इसके दायरे को सीमित करता है। इसके उतार-चढ़ाव के आधार पर किसी विशेषता की भिन्नता के अधिक सटीक लक्षण वर्णन के लिए, अन्य संकेतकों का उपयोग किया जाता है।

औसत रैखिक विचलनमाध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के पूर्ण मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है और सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

1) के लिए असमूहीकृत डेटा

2) के लिए विविधता श्रृंखला

हालांकि, भिन्नता का सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला उपाय है फैलाव . यह अपने औसत मूल्य के सापेक्ष अध्ययन की गई विशेषता के मूल्यों के प्रसार के माप की विशेषता है। विचरण को विचलन वर्ग के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है।

सरल विचरणअसमूहीकृत डेटा के लिए:

.

भारित विचरणविविधता श्रृंखला के लिए:

टिप्पणी।व्यवहार में, विचरण की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करना बेहतर है:

एक साधारण भिन्नता के लिए

.

भारित विचरण के लिए

मानक विचलनविचरण का वर्गमूल है:

मानक विचलन माध्य की विश्वसनीयता का माप है। मानक विचलन जितना छोटा होगा, जनसंख्या उतनी ही अधिक समरूप होगी और बेहतर अंकगणितीय माध्य संपूर्ण जनसंख्या को दर्शाता है।

ऊपर माना गया फैलाव उपाय (भिन्नता की सीमा, विचरण, मानक विचलन) पूर्ण संकेतक हैं, जिसके द्वारा किसी विशेषता के उतार-चढ़ाव की डिग्री का न्याय करना हमेशा संभव नहीं होता है। कुछ समस्याओं में, सापेक्ष प्रकीर्णन सूचकांकों का उपयोग करना आवश्यक है, जिनमें से एक है भिन्नता का गुणांक।

भिन्नता का गुणांक- अंकगणितीय माध्य के मानक विचलन के अनुपात के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया:

भिन्नता के गुणांक का उपयोग न केवल विभिन्न लक्षणों की भिन्नता या विभिन्न आबादी में एक ही विशेषता के तुलनात्मक मूल्यांकन के लिए किया जाता है, बल्कि जनसंख्या की एकरूपता को चिह्नित करने के लिए भी किया जाता है। सांख्यिकीय जनसंख्या को मात्रात्मक रूप से सजातीय माना जाता है यदि भिन्नता का गुणांक 33% (सामान्य वितरण के करीब वितरण के लिए) से अधिक नहीं है।

उदाहरण।प्रायश्चित प्रणाली के सुधारक संस्थान में अदालत द्वारा लगाए गए सजा काटने के लिए दिए गए 50 दोषियों के कारावास की शर्तों पर निम्नलिखित डेटा है: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3।

1. कारावास की शर्तों के आधार पर एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें।

2. माध्य, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

3. भिन्नता के गुणांक की गणना करें और अध्ययन की गई आबादी की समरूपता या विषमता के बारे में निष्कर्ष निकालें।

फेसला।असतत वितरण श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, वेरिएंट और आवृत्तियों को निर्धारित करना आवश्यक है। इस समस्या का प्रकार कारावास की अवधि है, और आवृत्ति अलग-अलग प्रकार की संख्या है। आवृत्तियों की गणना करने के बाद, हम निम्नलिखित असतत वितरण श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

माध्य और विचरण ज्ञात कीजिए। चूंकि सांख्यिकीय डेटा को एक असतत परिवर्तनशील श्रृंखला द्वारा दर्शाया जाता है, हम उनकी गणना करने के लिए अंकगणितीय भारित औसत और विचरण के सूत्रों का उपयोग करेंगे। हम पाते हैं:

= = 4,1;

= 5,21.

अब हम मानक विचलन की गणना करते हैं:

हम भिन्नता का गुणांक पाते हैं:

नतीजतन, सांख्यिकीय आबादी मात्रात्मक रूप से विषम है।

आधुनिक दुनिया में हर व्यक्ति, जब सर्दियों के लिए ऋण लेने या सब्जियों का भंडारण करने की योजना बना रहा है, तो समय-समय पर "औसत" जैसी अवधारणा का सामना करना पड़ता है। आइए जानें: यह क्या है, इसके किस प्रकार और वर्ग मौजूद हैं, और इसका उपयोग सांख्यिकी और अन्य विषयों में क्यों किया जाता है।

औसत मूल्य - यह क्या है?

एक समान नाम (एसवी) सजातीय घटना के एक सेट की एक सामान्यीकृत विशेषता है, जो किसी एक मात्रात्मक चर विशेषता द्वारा निर्धारित होती है।

हालाँकि, ऐसी गूढ़ परिभाषाओं से दूर लोग इस अवधारणा को किसी चीज़ की औसत मात्रा के रूप में समझते हैं। उदाहरण के लिए, ऋण लेने से पहले, एक बैंक कर्मचारी निश्चित रूप से एक संभावित ग्राहक से वर्ष के लिए औसत आय पर डेटा प्रदान करने के लिए कहेगा, यानी एक व्यक्ति द्वारा अर्जित की गई कुल राशि। इसकी गणना पूरे वर्ष की कमाई को जोड़कर और महीनों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। इस प्रकार, बैंक यह निर्धारित करने में सक्षम होगा कि उसका ग्राहक समय पर ऋण चुकाने में सक्षम होगा या नहीं।

इसका उपयोग क्यों किया जा रहा है?

एक नियम के रूप में, कुछ सामाजिक घटनाओं का अंतिम लक्षण वर्णन देने के लिए औसत मूल्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो एक बड़े पैमाने पर प्रकृति के होते हैं। उनका उपयोग छोटी गणनाओं के लिए भी किया जा सकता है, जैसे कि ऋण के मामले में, ऊपर के उदाहरण में।

हालांकि, अक्सर औसत का उपयोग अभी भी वैश्विक उद्देश्यों के लिए किया जाता है। उनमें से एक का एक उदाहरण एक कैलेंडर माह के दौरान नागरिकों द्वारा खपत की गई बिजली की मात्रा की गणना है। प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, राज्य से लाभ प्राप्त करने वाली जनसंख्या की श्रेणियों के लिए अधिकतम मानदंड बाद में निर्धारित किए जाते हैं।

साथ ही, औसत मूल्यों की सहायता से, कुछ घरेलू उपकरणों, कारों, भवनों आदि की सेवा के लिए वारंटी अवधि विकसित की जा रही है। इस तरह से एकत्र किए गए आंकड़ों के आधार पर, आधुनिक श्रम और आराम मानकों को एक बार विकसित किया गया था।

वास्तव में, आधुनिक जीवन की कोई भी घटना, जो एक सामूहिक प्रकृति की है, एक तरह से या किसी अन्य आवश्यक रूप से विचाराधीन अवधारणा से जुड़ी है।

अनुप्रयोग

इस घटना का व्यापक रूप से लगभग सभी सटीक विज्ञानों में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से एक प्रयोगात्मक प्रकृति के।

चिकित्सा, इंजीनियरिंग, खाना पकाने, अर्थशास्त्र, राजनीति, आदि में औसत का पता लगाना बहुत महत्वपूर्ण है।

इस तरह के सामान्यीकरण से प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, वे चिकित्सा तैयारी, शैक्षिक कार्यक्रम विकसित करते हैं, न्यूनतम जीवित मजदूरी और वेतन निर्धारित करते हैं, शैक्षिक कार्यक्रम बनाते हैं, फर्नीचर, कपड़े और जूते, स्वच्छता आइटम और बहुत कुछ तैयार करते हैं।

गणित में, इस शब्द को "औसत मूल्य" कहा जाता है और इसका उपयोग विभिन्न उदाहरणों और समस्याओं के समाधान को लागू करने के लिए किया जाता है। इनमें से सबसे सरल साधारण भिन्नों के साथ जोड़ और घटाव हैं। आखिरकार, जैसा कि आप जानते हैं, ऐसे उदाहरणों को हल करने के लिए, दोनों भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना आवश्यक है।

इसके अलावा, सटीक विज्ञान की रानी में, "यादृच्छिक चर का औसत मूल्य" शब्द अक्सर प्रयोग किया जाता है, जो अर्थ में करीब है। अधिकांश के लिए, यह "उम्मीद" के रूप में अधिक परिचित है, जिसे अक्सर संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है। यह ध्यान देने योग्य है कि सांख्यिकीय गणना करते समय भी इसी तरह की घटना लागू होती है।

आंकड़ों में औसत मूल्य

हालांकि, अक्सर अध्ययन के तहत अवधारणा का उपयोग सांख्यिकी में किया जाता है। जैसा कि ज्ञात है, यह विज्ञान अपने आप में सामूहिक सामाजिक घटनाओं की मात्रात्मक विशेषताओं की गणना और विश्लेषण करने में माहिर है। इसलिए, आंकड़ों में औसत मूल्य का उपयोग इसके मुख्य उद्देश्यों को प्राप्त करने के लिए एक विशेष विधि के रूप में किया जाता है - सूचना का संग्रह और विश्लेषण।

इस सांख्यिकीय पद्धति का सार एक निश्चित संतुलित औसत मूल्य के साथ विचाराधीन विशेषता के व्यक्तिगत अद्वितीय मूल्यों को प्रतिस्थापित करना है।

एक उदाहरण प्रसिद्ध भोजन मजाक है। इसलिए, एक निश्चित कारखाने में मंगलवार को दोपहर के भोजन के लिए, उसके मालिक आमतौर पर मांस पुलाव खाते हैं, और साधारण कर्मचारी गोभी खाते हैं। इन आंकड़ों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, संयंत्र के कर्मचारी औसतन मंगलवार को गोभी के रोल पर भोजन करते हैं।

यद्यपि यह उदाहरण थोड़ा अतिरंजित है, यह औसत मूल्य खोज पद्धति का मुख्य दोष दिखाता है - वस्तुओं या व्यक्तित्वों की व्यक्तिगत विशेषताओं को समतल करना।

औसत का उपयोग न केवल एकत्रित जानकारी का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, बल्कि आगे की कार्रवाई की योजना बनाने और भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जाता है।

इसका उपयोग प्राप्त परिणामों का मूल्यांकन करने के लिए भी किया जाता है (उदाहरण के लिए, वसंत-गर्मी के मौसम के लिए गेहूं उगाने और कटाई की योजना का कार्यान्वयन)।

गणना कैसे करें

हालांकि, सीवी के प्रकार के आधार पर, इसकी गणना के लिए अलग-अलग सूत्र हैं, सांख्यिकी के सामान्य सिद्धांत में, एक नियम के रूप में, एक विशेषता के औसत मूल्य की गणना के लिए केवल एक विधि का उपयोग किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको पहले सभी घटनाओं के मूल्यों को एक साथ जोड़ना होगा, और फिर परिणामी योग को उनकी संख्या से विभाजित करना होगा।

ऐसी गणना करते समय, यह याद रखने योग्य है कि औसत मूल्य में हमेशा जनसंख्या की एक अलग इकाई के समान आयाम (या इकाइयाँ) होती हैं।

सही गणना के लिए शर्तें

ऊपर चर्चा किया गया सूत्र बहुत ही सरल और सार्वभौमिक है, इसलिए इसमें गलती करना लगभग असंभव है। हालांकि, यह हमेशा दो पहलुओं पर विचार करने योग्य है, अन्यथा प्राप्त डेटा वास्तविक स्थिति को प्रतिबिंबित नहीं करेगा।

सीबी कक्षाएं

मुख्य प्रश्नों के उत्तर पाकर: "औसत मूल्य - यह क्या है?", "इसका उपयोग कहाँ किया जाता है?" और "मैं इसकी गणना कैसे कर सकता हूं?", यह जानने योग्य है कि सीबी के कौन से वर्ग और प्रकार मौजूद हैं।

सबसे पहले, इस घटना को 2 वर्गों में बांटा गया है। ये संरचनात्मक और शक्ति औसत हैं।

शक्ति के प्रकार SW

उपरोक्त वर्गों में से प्रत्येक, बदले में, प्रकारों में विभाजित है। शक्ति वर्ग में उनमें से चार हैं।

• अंकगणित माध्य SV का सबसे सामान्य प्रकार है। यह एक औसत शब्द है, यह निर्धारित करने में कि डेटा सेट में मानी गई विशेषता की कुल मात्रा इस सेट की सभी इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित की जाती है।

  इस प्रकार को उप-प्रजातियों में विभाजित किया गया है: सरल और भारित अंकगणितीय एसवी।

• माध्य हार्मोनिक मान एक संकेतक है जो प्रश्न में विशेषता के पारस्परिक मूल्यों से गणना किए गए सरल अंकगणितीय माध्य का पारस्परिक है।

  इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां सुविधा और उत्पाद के व्यक्तिगत मूल्य ज्ञात होते हैं, लेकिन आवृत्ति डेटा नहीं होते हैं।

• आर्थिक घटनाओं की वृद्धि दर के विश्लेषण में ज्यामितीय माध्य का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। यह योग के बजाय किसी दी गई मात्रा के व्यक्तिगत मूल्यों के उत्पाद को अपरिवर्तित रखना संभव बनाता है।

  यह सरल और संतुलित भी होता है।

• मूल माध्य वर्ग मान का उपयोग संकेतकों के अलग-अलग संकेतकों की गणना में किया जाता है, जैसे कि भिन्नता का गुणांक, जो आउटपुट की लय को दर्शाता है, आदि।

  साथ ही, इसकी सहायता से पाइपों, पहियों के औसत व्यास, एक वर्ग की औसत भुजाओं और समान आकृतियों की गणना की जाती है।

  अन्य सभी प्रकार के औसत SW की तरह, मूल माध्य वर्ग सरल और भारित होता है।

संरचनात्मक मात्रा के प्रकार

औसत SW के अलावा, आँकड़ों में अक्सर संरचनात्मक प्रकारों का उपयोग किया जाता है। वे एक चर विशेषता के मूल्यों की सापेक्ष विशेषताओं और वितरण श्रृंखला की आंतरिक संरचना की गणना के लिए बेहतर अनुकूल हैं।

ऐसे दो प्रकार हैं।

एक्सेल में औसत मूल्य (चाहे वह संख्यात्मक, पाठ्य, प्रतिशत या अन्य मान हो) खोजने के लिए, कई कार्य हैं। और उनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएं और फायदे हैं। आखिरकार, इस कार्य में कुछ शर्तें निर्धारित की जा सकती हैं।

उदाहरण के लिए, एक्सेल में संख्याओं की एक श्रृंखला के औसत मूल्यों की गणना सांख्यिकीय कार्यों का उपयोग करके की जाती है। आप मैन्युअल रूप से अपना स्वयं का सूत्र भी दर्ज कर सकते हैं। आइए विभिन्न विकल्पों पर विचार करें।

संख्याओं का अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें?

समांतर माध्य ज्ञात करने के लिए, आप समुच्चय में सभी संख्याओं को जोड़ते हैं और योग को संख्या से विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में एक छात्र का ग्रेड: 3, 4, 3, 5, 5. / 5.

एक्सेल फ़ंक्शंस का उपयोग करके इसे जल्दी से कैसे करें? उदाहरण के लिए एक स्ट्रिंग में यादृच्छिक संख्याओं की एक श्रृंखला लें:

या: सेल को सक्रिय बनाएं और बस मैन्युअल रूप से सूत्र दर्ज करें: =AVERAGE(A1:A8)।

अब देखते हैं कि AVERAGE फ़ंक्शन और क्या कर सकता है।

पहले दो और अंतिम तीन संख्याओं का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए। सूत्र: = औसत (A1:B1;F1:H1)। नतीजा:



स्थिति के अनुसार औसत

अंकगणित माध्य खोजने की शर्त एक संख्यात्मक मानदंड या एक पाठ हो सकती है। हम फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे: =AVERAGEIF ()।

उन संख्याओं का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए जो 10 से अधिक या उसके बराबर हों।

समारोह: = औसत (A1:A8,">=10")

">=10" शर्त पर AVERAGEIF फ़ंक्शन का उपयोग करने का परिणाम:

तीसरा तर्क - "औसत श्रेणी" - छोड़ा गया है। सबसे पहले, इसकी आवश्यकता नहीं है। दूसरे, प्रोग्राम द्वारा पार्स की गई श्रेणी में केवल संख्यात्मक मान होते हैं। पहले तर्क में निर्दिष्ट कोशिकाओं में, दूसरे तर्क में निर्दिष्ट शर्त के अनुसार खोज की जाएगी।

ध्यान! खोज मानदंड एक सेल में निर्दिष्ट किया जा सकता है। और इसका संदर्भ देने के सूत्र में।

आइए पाठ मानदंड द्वारा संख्याओं का औसत मान ज्ञात करें। उदाहरण के लिए, उत्पाद "टेबल" की औसत बिक्री।

फ़ंक्शन इस तरह दिखेगा: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12)। रेंज - उत्पाद के नाम वाला एक कॉलम। खोज मानदंड "टेबल" शब्द के साथ एक सेल का लिंक है (आप लिंक ए 7 के बजाय "टेबल" शब्द डाल सकते हैं)। औसत सीमा - वे सेल जिनसे औसत मूल्य की गणना करने के लिए डेटा लिया जाएगा।

फ़ंक्शन की गणना के परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

ध्यान! टेक्स्ट मानदंड (शर्त) के लिए, औसत श्रेणी निर्दिष्ट की जानी चाहिए।

एक्सेल में भारित औसत मूल्य की गणना कैसे करें?

हम भारित औसत मूल्य कैसे जानते हैं?

सूत्र: = SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12)।

SUMPRODUCT सूत्र का उपयोग करके, हम माल की पूरी मात्रा की बिक्री के बाद कुल राजस्व का पता लगाते हैं। और SUM फ़ंक्शन - माल की मात्रा का योग करता है। माल की बिक्री से कुल राजस्व को माल की कुल इकाइयों की संख्या से विभाजित करके, हमने भारित औसत मूल्य पाया। यह संकेतक प्रत्येक मूल्य के "वजन" को ध्यान में रखता है। मूल्यों के कुल द्रव्यमान में इसका हिस्सा।

मानक विचलन: एक्सेल में सूत्र

सामान्य जनसंख्या और नमूने के लिए मानक विचलन के बीच अंतर करें। पहले मामले में, यह सामान्य विचरण का मूल है। दूसरे में, नमूना विचरण से।

इस सांख्यिकीय संकेतक की गणना करने के लिए, एक फैलाव सूत्र संकलित किया जाता है। इसकी जड़ ली जाती है। लेकिन एक्सेल में मानक विचलन खोजने के लिए एक तैयार कार्य है।

मानक विचलन स्रोत डेटा के पैमाने से जुड़ा हुआ है। यह विश्लेषण की गई सीमा की भिन्नता के आलंकारिक प्रतिनिधित्व के लिए पर्याप्त नहीं है। डेटा में बिखराव का सापेक्ष स्तर प्राप्त करने के लिए, भिन्नता के गुणांक की गणना की जाती है:

मानक विचलन / अंकगणित माध्य

एक्सेल में सूत्र इस तरह दिखता है:

STDEV (मानों की श्रेणी) / औसत (मानों की श्रेणी)।

भिन्नता के गुणांक की गणना प्रतिशत के रूप में की जाती है। इसलिए, हम सेल में प्रतिशत प्रारूप निर्धारित करते हैं।

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, औसत अर्थ देखें।

औसत(गणित और सांख्यिकी में) संख्याओं का समूह - सभी संख्याओं का योग उनकी संख्या से विभाजित होता है। यह केंद्रीय प्रवृत्ति के सबसे सामान्य उपायों में से एक है।

यह पाइथागोरस द्वारा प्रस्तावित किया गया था (ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य के साथ)।

अंकगणित माध्य के विशेष मामले माध्य (सामान्य जनसंख्या का) और नमूना माध्य (नमूनों का) हैं।

परिचय

डेटा के सेट को निरूपित करें एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), तो नमूना माध्य को आमतौर पर चर (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) के ऊपर एक क्षैतिज पट्टी द्वारा निरूपित किया जाता है, उच्चारित " एक्सएक डैश के साथ")।

ग्रीक अक्षर μ का प्रयोग संपूर्ण जनसंख्या के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के लिए जिसके लिए एक माध्य मान परिभाषित किया गया है, μ is प्रायिकता माध्यया एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। अगर सेट एक्सप्रायिकता माध्य μ के साथ यादृच्छिक संख्याओं का एक संग्रह है, तो किसी भी नमूने के लिए एक्स मैंइस संग्रह से μ = E( एक्स मैं) इस नमूने की अपेक्षा है।

व्यवहार में, μ और x (\displaystyle (\bar (x))) के बीच का अंतर यह है कि μ एक विशिष्ट चर है क्योंकि आप पूरी आबादी के बजाय नमूना देख सकते हैं। इसलिए, यदि नमूने को यादृच्छिक रूप से (प्रायिकता सिद्धांत के संदर्भ में) दर्शाया जाता है, तो x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (लेकिन μ नहीं) को एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है जिसमें नमूने पर संभाव्यता वितरण होता है ( माध्य का संभाव्यता वितरण)।

इन दोनों राशियों की गणना एक ही तरह से की जाती है:

एक्स ¯ = 1 एन ∑ आई = 1 एन एक्स आई = 1 एन (एक्स 1 + ⋯ + एक्स एन)। (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n))।)

यदि एक एक्सएक यादृच्छिक चर है, तो गणितीय अपेक्षा एक्समात्रा के बार-बार माप में मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के रूप में माना जा सकता है एक्स. यह बड़ी संख्या के कानून की अभिव्यक्ति है। इसलिए, अज्ञात गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए नमूना माध्य का उपयोग किया जाता है।

प्रारंभिक बीजगणित में, यह सिद्ध होता है कि माध्य एन+ 1 संख्या औसत से ऊपर एनसंख्याएँ यदि और केवल यदि नई संख्या पुराने औसत से अधिक है, कम और केवल यदि नई संख्या औसत से कम है, और यदि और केवल तभी परिवर्तित नहीं होती है जब नई संख्या औसत के बराबर हो। अधिक एन, नए और पुराने औसत के बीच का अंतर जितना छोटा होगा।

ध्यान दें कि कई अन्य "साधन" उपलब्ध हैं, जिनमें पावर-लॉ माध्य, कोलमोगोरोव माध्य, हार्मोनिक माध्य, अंकगणित-ज्यामितीय माध्य और विभिन्न भारित साधन (जैसे, अंकगणित-भारित माध्य, ज्यामितीय-भारित माध्य, हार्मोनिक-भारित माध्य) शामिल हैं। .

उदाहरण

• तीन संख्याओं के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और 3 से भाग देना होगा:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 3। (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• चार संख्याओं के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और 4 से भाग देना होगा:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 4। (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

या आसान 5+5=10, 10:2। क्योंकि हमने 2 संख्याएँ जोड़ी हैं, जिसका अर्थ है कि हम कितनी संख्याएँ जोड़ते हैं, हम उससे विभाजित करते हैं।

सतत यादृच्छिक चर

निरंतर वितरित मान के लिए f (x) (\displaystyle f(x)) अंतराल पर अंकगणितीय माध्य [ a ; b ] (\displaystyle ) को एक निश्चित समाकलन द्वारा परिभाषित किया गया है:

एफ (एक्स) ¯ [ए; b ] = 1 b - a a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) एफ (एक्स) डीएक्स)

औसत का उपयोग करने की कुछ समस्याएं

मजबूती की कमी

मुख्य लेख: आंकड़ों में मजबूती

यद्यपि अंकगणित माध्य का उपयोग अक्सर साधन या केंद्रीय प्रवृत्तियों के रूप में किया जाता है, यह अवधारणा मजबूत आंकड़ों पर लागू नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि अंकगणितीय माध्य "बड़े विचलन" से बहुत अधिक प्रभावित होता है। यह उल्लेखनीय है कि बड़े विषमता वाले वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य "औसत" की अवधारणा के अनुरूप नहीं हो सकता है, और मजबूत आँकड़ों से माध्य के मान (उदाहरण के लिए, माध्यिका) केंद्रीय प्रवृत्ति का बेहतर वर्णन कर सकते हैं।

क्लासिक उदाहरण औसत आय की गणना है। अंकगणित माध्य को माध्यिका के रूप में गलत समझा जा सकता है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वास्तव में जितने लोग हैं उससे अधिक आय वाले लोग हैं। "माध्य" आय की व्याख्या इस तरह से की जाती है कि अधिकांश लोगों की आय इस संख्या के करीब होती है। यह "औसत" (अंकगणितीय माध्य के अर्थ में) आय अधिकांश लोगों की आय से अधिक है, क्योंकि औसत से एक बड़े विचलन के साथ उच्च आय अंकगणितीय माध्य को अत्यधिक विषम बना देती है (इसके विपरीत, औसत आय "प्रतिरोध" करती है। ऐसा तिरछा)। हालांकि, यह "औसत" आय औसत आय के पास लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है (और मोडल आय के पास लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है)। हालांकि, अगर "औसत" और "बहुमत" की अवधारणाओं को हल्के में लिया जाता है, तो कोई गलत तरीके से निष्कर्ष निकाल सकता है कि अधिकांश लोगों की आय वास्तव में उनकी तुलना में अधिक है। उदाहरण के लिए, मदीना, वाशिंगटन में "औसत" शुद्ध आय पर एक रिपोर्ट, जो निवासियों की सभी वार्षिक शुद्ध आय के अंकगणितीय औसत के रूप में गणना की जाती है, बिल गेट्स के कारण आश्चर्यजनक रूप से उच्च संख्या देगी। नमूने (1, 2, 2, 2, 3, 9) पर विचार करें। अंकगणितीय माध्य 3.17 है, लेकिन छह में से पांच मान इस माध्य से नीचे हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज

मुख्य लेख: लागत पर लाभ

अगर संख्या गुणा, लेकिन नहीं तह करना, आपको ज्यामितीय माध्य का उपयोग करने की आवश्यकता है, न कि अंकगणितीय माध्य का। वित्त में निवेश पर प्रतिफल की गणना करते समय अक्सर यह घटना होती है।

उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक पहले वर्ष में 10% गिर गया और दूसरे वर्ष में 30% बढ़ गया, तो इन दो वर्षों में "औसत" वृद्धि की गणना अंकगणितीय माध्य (−10% + 30%) / 2 के रूप में करना गलत है। = 10%; इस मामले में सही औसत चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर द्वारा दिया गया है, जिसमें से वार्षिक वृद्धि केवल 8.16653826392% 8.2% है।

इसका कारण यह है कि प्रतिशत का हर बार एक नया प्रारंभिक बिंदु होता है: 30% 30% है पहले वर्ष की शुरुआत में कीमत से कम संख्या से:यदि स्टॉक $30 से शुरू हुआ और 10% गिर गया, तो दूसरे वर्ष की शुरुआत में इसका मूल्य $27 है। यदि स्टॉक 30% ऊपर है, तो दूसरे वर्ष के अंत में इसका मूल्य $35.1 है। इस वृद्धि का अंकगणितीय औसत 10% है, लेकिन चूंकि स्टॉक 2 वर्षों में केवल $5.1 की वृद्धि हुई है, 8.2% की औसत वृद्धि $35.1 का अंतिम परिणाम देती है:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]। यदि हम उसी तरह से 10% के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं, तो हमें वास्तविक मूल्य नहीं मिलेगा: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3]।

वर्ष के अंत में चक्रवृद्धि ब्याज 2: 90% * 130% = 117% , यानी कुल 17% की वृद्धि, और औसत वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \लगभग 108.2\%) , यानी 8.2% की औसत वार्षिक वृद्धि।

दिशा-निर्देश

मुख्य लेख: गंतव्य आँकड़े

किसी चर के अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय जो चक्रीय रूप से बदलता है (उदाहरण के लिए, चरण या कोण), विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, 1° और 359° का औसत 1 + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° होगा। यह संख्या दो कारणों से गलत है।

• सबसे पहले, कोणीय उपायों को केवल 0° से 360° (या 0 से 2π तक जब रेडियन में मापा जाता है) की सीमा के लिए परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, संख्याओं के समान युग्म को (1° और -1°) या (1° और 719°) के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक जोड़ी का औसत अलग होगा: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 + 719 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• दूसरा, इस मामले में, 0° (360° के बराबर) का मान ज्यामितीय रूप से सबसे अच्छा माध्य होगा, क्योंकि संख्याएं किसी भी अन्य मान से 0° से कम विचलन करती हैं (मान 0° में सबसे छोटा विचरण होता है)। तुलना करना:
  • संख्या 1° 0° से केवल 1° विचलित होती है;
  • संख्या 1° 180° के परिकलित औसत से 179° का विचलन करती है।

उपरोक्त सूत्र के अनुसार गणना किए गए चक्रीय चर के औसत मूल्य को वास्तविक औसत के सापेक्ष संख्यात्मक श्रेणी के मध्य में कृत्रिम रूप से स्थानांतरित कर दिया जाएगा। इस वजह से, औसत की गणना एक अलग तरीके से की जाती है, अर्थात्, सबसे छोटे विचरण (केंद्र बिंदु) वाली संख्या को औसत मान के रूप में चुना जाता है। साथ ही, घटाने के बजाय, मॉड्यूल दूरी (यानी, परिधि दूरी) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1° और 359° के बीच मॉड्यूलर दूरी 2° है, न कि 358° (359° और 360°==0° के बीच के वृत्त पर - एक डिग्री, 0° और 1° के बीच - कुल मिलाकर 1° भी। - 2 डिग्री)।

4.3. औसत मान। औसत का सार और अर्थ

औसत मूल्यआँकड़ों में, एक सामान्यीकरण संकेतक कहा जाता है, जो स्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में एक घटना के विशिष्ट स्तर को दर्शाता है, जो गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या की प्रति इकाई भिन्न विशेषता के परिमाण को दर्शाता है। आर्थिक व्यवहार में, संकेतकों की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग किया जाता है, जिसकी गणना औसत के रूप में की जाती है।

उदाहरण के लिए, एक संयुक्त स्टॉक कंपनी (JSC) में श्रमिकों की आय का एक सामान्य संकेतक एक कर्मचारी की औसत आय है, जो समीक्षाधीन अवधि (वर्ष, तिमाही, महीने) के लिए वेतन निधि और सामाजिक भुगतान के अनुपात से निर्धारित होता है। ) जेएससी में श्रमिकों की संख्या के लिए।

औसत की गणना करना एक सामान्य सामान्यीकरण तकनीक है; औसत संकेतक उस सामान्य को दर्शाता है जो अध्ययन की गई आबादी की सभी इकाइयों के लिए विशिष्ट (विशिष्ट) है, जबकि साथ ही यह व्यक्तिगत इकाइयों के बीच के अंतरों की उपेक्षा करता है। हर घटना और उसके विकास में एक संयोजन होता है मोकाऔर जरुरत।औसत की गणना करते समय, बड़ी संख्या के कानून के संचालन के कारण, यादृच्छिकता एक दूसरे को रद्द कर देती है, संतुलित हो जाती है, इसलिए आप प्रत्येक विशिष्ट मामले में विशेषता के मात्रात्मक मूल्यों से घटना की तुच्छ विशेषताओं से सार कर सकते हैं। व्यक्तिगत मूल्यों की यादृच्छिकता से अमूर्त करने की क्षमता में, उतार-चढ़ाव औसत का वैज्ञानिक मूल्य है: सारांशसमग्र विशेषताएं।

जहां सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है, ऐसी विशेषताओं की गणना विशेषता के कई अलग-अलग व्यक्तिगत मूल्यों के प्रतिस्थापन की ओर ले जाती है मध्यमएक संकेतक जो घटनाओं की समग्रता की विशेषता है, जो सामूहिक सामाजिक घटनाओं में निहित पैटर्न की पहचान करना संभव बनाता है, एकल घटना में अगोचर।

औसत अध्ययन की गई घटनाओं की विशेषता, विशिष्ट, वास्तविक स्तर को दर्शाता है, इन स्तरों और समय और स्थान में उनके परिवर्तनों की विशेषता है।

औसत प्रक्रिया की नियमितताओं का एक सारांश विशेषता है जिसमें यह आगे बढ़ने की स्थिति में होता है।

4.4. औसत के प्रकार और उनकी गणना के तरीके

औसत के प्रकार का चुनाव एक निश्चित संकेतक की आर्थिक सामग्री और प्रारंभिक डेटा द्वारा निर्धारित किया जाता है। प्रत्येक मामले में, औसत मूल्यों में से एक लागू होता है: अंकगणित, गारोमोनिक, ज्यामितीय, द्विघात, घनआदि। सूचीबद्ध औसत वर्ग के हैं शक्तिमध्यम।

पावर-लॉ औसत के अलावा, सांख्यिकीय अभ्यास में, संरचनात्मक औसत का उपयोग किया जाता है, जिसे मोड और माध्य माना जाता है।

आइए हम शक्ति साधनों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

अंकगणित औसत

औसत का सबसे सामान्य प्रकार है औसत अंकगणित।इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां पूरी आबादी के लिए एक चर विशेषता का आयतन उसकी व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषताओं के मूल्यों का योग होता है। सामाजिक घटनाओं को एक अलग विशेषता के संस्करणों के योग (योग) की विशेषता है, यह अंकगणितीय माध्य के दायरे को निर्धारित करता है और एक सामान्य संकेतक के रूप में इसकी व्यापकता की व्याख्या करता है, उदाहरण के लिए: कुल मजदूरी निधि सभी की मजदूरी का योग है श्रमिकों, सकल फसल पूरे बुवाई क्षेत्र से निर्मित उत्पादों का योग है।

अंकगणित माध्य की गणना करने के लिए, आपको सभी विशेषता मानों के योग को उनकी संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है।

अंकगणित माध्य को रूप में लागू किया जाता है साधारण औसत और भारित औसत।साधारण औसत प्रारंभिक, परिभाषित रूप के रूप में कार्य करता है।

सरल अंकगणित माध्यइन मूल्यों की कुल संख्या से विभाजित औसत विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के साधारण योग के बराबर है (इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां सुविधा के अवर्गीकृत व्यक्तिगत मूल्य होते हैं):

कहाँ पे
- चर के व्यक्तिगत मूल्य (विकल्प); एम - जनसंख्या इकाइयों की संख्या।

सूत्रों में आगे की योग सीमा का संकेत नहीं दिया जाएगा। उदाहरण के लिए, एक श्रमिक (ताला बनाने वाले) का औसत उत्पादन ज्ञात करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि 15 श्रमिकों में से प्रत्येक ने कितने भागों का उत्पादन किया, अर्थात। विशेषता, पीसी के कई व्यक्तिगत मूल्यों को देखते हुए:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

सरल अंकगणितीय माध्य की गणना सूत्र (4.1), 1 पीसी द्वारा की जाती है।

विकल्पों का औसत जो अलग-अलग संख्या में दोहराया जाता है, या कहा जाता है कि अलग-अलग भार हैं, उसे कहा जाता है भारित।भार विभिन्न जनसंख्या समूहों में इकाइयों की संख्या है (समूह समान विकल्पों को जोड़ता है)।

अंकगणित भारित औसत- औसत समूहीकृत मान - की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

, (4.2)

कहाँ पे
- वजन (समान सुविधाओं की पुनरावृत्ति की आवृत्ति);

- उनकी आवृत्तियों द्वारा सुविधाओं के परिमाण के उत्पादों का योग;

- जनसंख्या इकाइयों की कुल संख्या।

हम ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण का उपयोग करके अंकगणितीय भारित औसत की गणना के लिए तकनीक का वर्णन करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम प्रारंभिक डेटा को समूहित करते हैं और उन्हें तालिका में रखते हैं। 4.1.

तालिका 4.1

भागों के विकास के लिए श्रमिकों का वितरण

सूत्र (4.2) के अनुसार, अंकगणितीय भारित औसत बराबर है, टुकड़े:

कुछ मामलों में, भार को निरपेक्ष मानों द्वारा नहीं, बल्कि सापेक्ष (प्रतिशत या इकाई के अंशों में) द्वारा दर्शाया जा सकता है। तब अंकगणितीय भारित औसत का सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

कहाँ पे
- विशेष, अर्थात्। सभी के कुल योग में प्रत्येक आवृत्ति का हिस्सा

यदि आवृत्तियों को भिन्नों (गुणांक) में गिना जाता है, तो
= 1, और अंकगणितीय रूप से भारित औसत का सूत्र है:

समूह औसत से अंकगणितीय भारित औसत की गणना सूत्र के अनुसार किया जाता है:

,

कहाँ पे एफ-प्रत्येक समूह में इकाइयों की संख्या।

समूह माध्य के अंकगणितीय माध्य की गणना के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 4.2.

तालिका 4.2

सेवा की औसत लंबाई के आधार पर श्रमिकों का वितरण

इस उदाहरण में, विकल्प व्यक्तिगत श्रमिकों की सेवा की लंबाई पर व्यक्तिगत डेटा नहीं हैं, बल्कि प्रत्येक कार्यशाला के लिए औसत हैं। तराजू एफदुकानों में श्रमिकों की संख्या है। इसलिए, पूरे उद्यम में श्रमिकों का औसत कार्य अनुभव होगा, वर्ष:

.

वितरण श्रृंखला में अंकगणितीय माध्य की गणना

यदि औसत विशेषता के मान अंतराल ("से - से") के रूप में दिए गए हैं, अर्थात। अंतराल वितरण श्रृंखला, फिर अंकगणितीय माध्य मान की गणना करते समय, इन अंतरालों के मध्य बिंदुओं को समूहों में सुविधाओं के मूल्यों के रूप में लिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक असतत श्रृंखला बनती है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें (सारणी 4.3)।

आइए अंतराल मानों को उनके औसत मान / (साधारण औसत) से बदलकर एक अंतराल श्रृंखला से एक असतत श्रृंखला में चलते हैं

तालिका 4.3

मासिक वेतन के स्तर से एओ श्रमिकों का वितरण

श्रमिकों के समूह	श्रमिकों की संख्या	अंतराल के बीच
मजदूरी, रगड़।	पर्स।, एफ	रगड़ना।, एक्स
900 और अधिक

खुले अंतराल (प्रथम और अंतिम) के मान सशर्त रूप से उनसे सटे अंतराल (दूसरे और अंतिम) के बराबर होते हैं।

औसत की इस तरह की गणना के साथ, कुछ अशुद्धि की अनुमति है, क्योंकि समूह के भीतर विशेषता की इकाइयों के समान वितरण के बारे में एक धारणा बनाई गई है। हालाँकि, त्रुटि जितनी छोटी होगी, अंतराल उतना ही संकरा होगा और अंतराल में जितनी अधिक इकाइयाँ होंगी।

अंतराल के मध्य बिंदु पाए जाने के बाद, गणना उसी तरह से की जाती है जैसे असतत श्रृंखला में - विकल्पों को आवृत्तियों (वजन) से गुणा किया जाता है और उत्पादों के योग को आवृत्तियों (वजन) के योग से विभाजित किया जाता है। , हजार रूबल:

.

तो, जेएससी में श्रमिकों के पारिश्रमिक का औसत स्तर 729 रूबल है। प्रति माह।

अंकगणितीय माध्य की गणना अक्सर समय और श्रम के बड़े व्यय से जुड़ी होती है। हालांकि, कुछ मामलों में, औसत की गणना करने की प्रक्रिया को इसके गुणों का उपयोग करके सरल और सुविधाजनक बनाया जा सकता है। आइए हम (बिना प्रमाण के) समांतर माध्य के कुछ मूल गुण प्रस्तुत करते हैं।

संपत्ति 1. यदि सभी व्यक्तिगत विशेषता मान (अर्थात। सभी विकल्प) में कमी या वृद्धि मैंबार, फिर औसत मूल्य एक नई सुविधा में तदनुसार कमी या वृद्धि होगी मैंएक बार।

संपत्ति 2. अगर एवरेज फीचर के सभी वेरिएंट कम कर दिए जाते हैंसंख्या A से सीना या बढ़ाना, तो अंकगणितीय माध्यसमान संख्या A से काफी कमी या वृद्धि।

संपत्ति 3. यदि सभी औसत विकल्पों का भार कम कर दिया जाता है या बढ़ाने के लिए को समय, अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा।

औसत भार के रूप में, निरपेक्ष संकेतकों के बजाय, आप कुल कुल (शेयर या प्रतिशत) में विशिष्ट भार का उपयोग कर सकते हैं। यह औसत की गणना को सरल करता है।

औसत की गणना को सरल बनाने के लिए, वे विकल्पों और आवृत्तियों के मूल्यों को कम करने के मार्ग का अनुसरण करते हैं। सबसे बड़ा सरलीकरण तब प्राप्त होता है जब लेकिनउच्चतम आवृत्ति वाले केंद्रीय विकल्पों में से एक का मान / - अंतराल के मान (समान अंतराल वाली पंक्तियों के लिए) के रूप में चुना जाता है। L के मान को मूल कहा जाता है, इसलिए औसत की गणना करने की इस पद्धति को "सशर्त शून्य से गिनने की विधि" या "क्षणों की विधि"।

आइए मान लें कि सभी विकल्प एक्सपहले समान संख्या A से घटाया गया, और फिर में घटाया गया मैंएक बार। हमें नए वेरिएंट की एक नई विविधता वितरण श्रृंखला मिलती है .

फिर नए विकल्पव्यक्त किया जाएगा:

,

और उनका नया अंकगणित माध्य , -पहला आदेश क्षण- सूत्र:

.

यह मूल विकल्पों के औसत के बराबर है, पहले घटाकर लेकिन,और फिर में मैंएक बार।

वास्तविक औसत प्राप्त करने के लिए, आपको पहले आदेश का एक क्षण चाहिए एम 1 , से गुणा करो मैंऔर जोड़ लेकिन:

.

एक परिवर्तनशील श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की गणना करने की इस पद्धति को कहा जाता है "क्षणों की विधि"।यह विधि समान अंतराल वाली पंक्तियों में लागू की जाती है।

आघूर्णों की विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना तालिका में दिए गए डेटा द्वारा सचित्र है। 4.4.

तालिका 4.4

2000 में अचल उत्पादन परिसंपत्तियों (ओपीएफ) के मूल्य से क्षेत्र में छोटे उद्यमों का वितरण

ओपीएफ की लागत से उद्यमों के समूह, हजार रूबल	उद्यमों की संख्या एफ	मध्य अंतराल, एक्स
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

पहले आदेश का क्षण ढूँढना

.

फिर, A = 19 मानकर और यह जानते हुए कि मैं= 2, गणना एक्स,हजार रूबल।:

औसत मूल्यों के प्रकार और उनकी गणना के तरीके

सांख्यिकीय प्रसंस्करण के चरण में, विभिन्न प्रकार के शोध कार्य निर्धारित किए जा सकते हैं, जिनके समाधान के लिए उपयुक्त औसत चुनना आवश्यक है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है: औसत के अंश और हर का प्रतिनिधित्व करने वाले मान तार्किक रूप से एक दूसरे से संबंधित होने चाहिए।

• बिजली औसत;
• संरचनात्मक औसत.

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

वे मान जिनके लिए औसत की गणना की जाती है;

औसत, जहां ऊपर की रेखा इंगित करती है कि व्यक्तिगत मूल्यों का औसत होता है;

आवृत्ति (व्यक्तिगत विशेषता मूल्यों की दोहराव)।

विभिन्न साधन सामान्य शक्ति माध्य सूत्र से प्राप्त होते हैं:

(5.1)

k = 1 के लिए - अंकगणितीय माध्य; के = -1 - हार्मोनिक माध्य; के = 0 - ज्यामितीय माध्य; k = -2 - मूल माध्य वर्ग।

औसत या तो सरल या भारित होते हैं। भारित औसतवे मात्राएँ कहलाती हैं जो इस बात को ध्यान में रखती हैं कि विशेषता के मूल्यों के कुछ प्रकारों में भिन्न संख्याएँ हो सकती हैं, और इसलिए प्रत्येक संस्करण को इस संख्या से गुणा करना पड़ता है। दूसरे शब्दों में, "वजन" विभिन्न समूहों में जनसंख्या इकाइयों की संख्या है, अर्थात। प्रत्येक विकल्प इसकी आवृत्ति से "भारित" होता है। आवृत्ति f कहा जाता है सांख्यिकीय भारया वजन औसत.

अंकगणित औसत- माध्यम का सबसे आम प्रकार। इसका उपयोग तब किया जाता है जब गणना अवर्गीकृत सांख्यिकीय डेटा पर की जाती है, जहां आप औसत सारांश प्राप्त करना चाहते हैं। अंकगणित माध्य किसी विशेषता का ऐसा औसत मान है, जिसके प्राप्त होने पर जनसंख्या में विशेषता का कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है।

अंकगणित माध्य सूत्र ( सरल) का रूप है

जहाँ n जनसंख्या का आकार है।

उदाहरण के लिए, किसी उद्यम के कर्मचारियों के औसत वेतन की गणना अंकगणितीय औसत के रूप में की जाती है:

यहां निर्धारण संकेतक प्रत्येक कर्मचारी की मजदूरी और उद्यम के कर्मचारियों की संख्या हैं। औसत की गणना करते समय, मजदूरी की कुल राशि समान रही, लेकिन सभी श्रमिकों के बीच समान रूप से वितरित की गई। उदाहरण के लिए, एक छोटी कंपनी के कर्मचारियों के औसत वेतन की गणना करना आवश्यक है जहां 8 लोग कार्यरत हैं:

औसत की गणना करते समय, औसत की विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को दोहराया जा सकता है, इसलिए औसत की गणना समूहीकृत डेटा का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, हम उपयोग करने के बारे में बात कर रहे हैं अंकगणित माध्य भारित, जो दिखता है

(5.3)

इसलिए, हमें स्टॉक एक्सचेंज में एक संयुक्त स्टॉक कंपनी के औसत शेयर मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। यह ज्ञात है कि लेनदेन 5 दिनों (5 लेनदेन) के भीतर किया गया था, बिक्री दर पर बेचे गए शेयरों की संख्या निम्नानुसार वितरित की गई थी:

1 - 800 ए.सी. - 1010 रूबल

2 - 650 ए.सी. - 990 रगड़।

3 - 700 एके। - 1015 रूबल।

4 - 550 ए.सी. - 900 रगड़।

5 - 850 एके। - 1150 रूबल।

औसत शेयर मूल्य निर्धारित करने के लिए प्रारंभिक अनुपात लेनदेन की कुल राशि (ओएसएस) और बेचे गए शेयरों की संख्या (केपीए) का अनुपात है।

eq में सबसे अधिक। व्यवहार में, किसी को अंकगणित माध्य का उपयोग करना पड़ता है, जिसकी गणना सरल और भारित अंकगणितीय माध्य के रूप में की जा सकती है।

अंकगणित माध्य (CA)-एनसबसे आम प्रकार का माध्यम। इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां पूरी आबादी के लिए एक चर विशेषता का आयतन उसकी व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषताओं के मूल्यों का योग होता है। सामाजिक घटनाओं को अलग-अलग विशेषता के संस्करणों की जोड़ (योग) की विशेषता है, यह एसए के दायरे को निर्धारित करता है और एक सामान्य संकेतक के रूप में इसकी व्यापकता की व्याख्या करता है, उदाहरण के लिए: सामान्य वेतन निधि सभी कर्मचारियों के वेतन का योग है।

एसए की गणना करने के लिए, आपको सभी फीचर मानों के योग को उनकी संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है।एसए 2 रूपों में प्रयोग किया जाता है।

पहले सरल अंकगणितीय माध्य पर विचार करें।

1-सीए सरल (प्रारंभिक, परिभाषित रूप) औसत विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के साधारण योग के बराबर है, जो इन मूल्यों की कुल संख्या से विभाजित होता है (इसका उपयोग तब किया जाता है जब सुविधा के अवर्गीकृत सूचकांक मान होते हैं):

की गई गणनाओं को निम्नलिखित सूत्र में संक्षेपित किया जा सकता है:

(1)

कहाँ पे - चर विशेषता का औसत मूल्य, यानी, साधारण अंकगणितीय माध्य;

का अर्थ है योग, यानी, व्यक्तिगत विशेषताओं का जोड़;

एक्स- एक चर विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य, जिन्हें वेरिएंट कहा जाता है;

एन - जनसंख्या इकाइयों की संख्या

उदाहरण 1,एक श्रमिक (ताला बनाने वाले) का औसत उत्पादन ज्ञात करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि 15 श्रमिकों में से प्रत्येक ने कितने भागों का उत्पादन किया, अर्थात। कई उद्योग दिए। विशेषता मान, पीसी।: 21; 20; 20; उन्नीस; 21; उन्नीस; अठारह; 22; उन्नीस; 20; 21; 20; अठारह; उन्नीस; 20.

एसए सरल की गणना सूत्र (1), पीसी द्वारा की जाती है।

उदाहरण2. आइए हम 20 स्टोर्स के सशर्त डेटा के आधार पर एसए की गणना करें जो एक ट्रेडिंग कंपनी (तालिका 1) का हिस्सा हैं। तालिका नंबर एक

व्यापारिक क्षेत्र, वर्ग द्वारा व्यापारिक कंपनी "वेस्ना" की दुकानों का वितरण। एम

स्टोर नंबर		स्टोर नंबर

औसत स्टोर क्षेत्र की गणना करने के लिए ( ) सभी दुकानों के क्षेत्रों को जोड़ना और परिणाम को दुकानों की संख्या से विभाजित करना आवश्यक है:

इस प्रकार, व्यापार उद्यमों के इस समूह के लिए औसत भंडार क्षेत्र 71 वर्ग मीटर है।

इसलिए, यह निर्धारित करने के लिए कि एसए सरल है, किसी दिए गए विशेषता के सभी मूल्यों के योग को इस विशेषता वाली इकाइयों की संख्या से विभाजित करना आवश्यक है।

2

कहाँ पे एफ 1 , एफ 2 , … ,एफ एन – वजन (समान सुविधाओं की पुनरावृत्ति की आवृत्ति);

सुविधाओं और उनकी आवृत्तियों के परिमाण के उत्पादों का योग है;

जनसंख्या इकाइयों की कुल संख्या है।

- एसए भारित - साथविकल्पों के बीच में, जिन्हें अलग-अलग बार दोहराया जाता है, या कहा जाता है कि अलग-अलग भार हैं। भार विभिन्न जनसंख्या समूहों में इकाइयों की संख्या है (समूह समान विकल्पों को जोड़ता है)। एसए भारित – समूहीकृत मूल्यों का औसत एक्स 1 , एक्स 2 , .., एक्सएन – परिकलित: (2)

कहाँ एक्स- विकल्प;

एफ- आवृत्ति (वजन)।

एसए भारित सभी आवृत्तियों के योग से विभिन्न प्रकार के उत्पादों के योग और उनकी संबंधित आवृत्तियों को विभाजित करने का भागफल है। आवृत्तियां ( एफ) एसए फॉर्मूला में दिखने को आमतौर पर कहा जाता है तराजू, जिसके परिणामस्वरूप भार को ध्यान में रखते हुए गणना की गई एसए को भारित एसए कहा जाता है।

हम ऊपर दिए गए उदाहरण 1 का उपयोग करके भारित एसए की गणना के लिए तकनीक का वर्णन करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम प्रारंभिक डेटा को समूहित करते हैं और उन्हें तालिका में रखते हैं।

समूहीकृत डेटा का औसत निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: पहले, विकल्पों को आवृत्तियों से गुणा किया जाता है, फिर उत्पादों को जोड़ा जाता है और परिणामी योग को आवृत्तियों के योग से विभाजित किया जाता है।

सूत्र (2) के अनुसार, भारित SA है, PC.:

भागों के विकास के लिए श्रमिकों का वितरण

पी

पिछले उदाहरण 2 में दिए गए डेटा को सजातीय समूहों में जोड़ा जा सकता है, जिन्हें तालिका में प्रस्तुत किया गया है। टेबल

खुदरा क्षेत्र द्वारा वेसना भंडार का वितरण, वर्ग. एम

इस प्रकार, परिणाम वही है। हालांकि, यह पहले से ही अंकगणितीय भारित औसत होगा।

पिछले उदाहरण में, हमने अंकगणितीय औसत की गणना की, बशर्ते कि निरपेक्ष आवृत्तियों (भंडारों की संख्या) ज्ञात हो। हालाँकि, कुछ मामलों में पूर्ण आवृत्तियाँ नहीं होती हैं, लेकिन सापेक्ष आवृत्तियों को जाना जाता है, या, जैसा कि उन्हें आमतौर पर कहा जाता है, आवृत्तियाँ जो अनुपात दर्शाती हैं यापूरी आबादी में आवृत्तियों का अनुपात।

SA भारित उपयोग की गणना करते समय आवृत्तियोंजब आवृत्ति बड़ी, बहु-अंकीय संख्याओं में व्यक्त की जाती है, तो आपको गणनाओं को सरल बनाने की अनुमति देता है। गणना उसी तरह की जाती है, हालांकि, चूंकि औसत मूल्य 100 गुना बढ़ जाता है, परिणाम को 100 से विभाजित किया जाना चाहिए।

तब अंकगणितीय भारित औसत का सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

कहाँ पे डी- आवृत्ति, अर्थात। सभी आवृत्तियों के कुल योग में प्रत्येक आवृत्ति का हिस्सा।

(3)

हमारे उदाहरण 2 में, हम पहले कंपनी "स्प्रिंग" के स्टोरों की कुल संख्या में समूहों द्वारा स्टोर की हिस्सेदारी निर्धारित करते हैं। तो, पहले समूह के लिए, विशिष्ट गुरुत्व 10% से मेल खाती है
. हमें निम्नलिखित डेटा मिलता है: टेबल तीन