फ़ंक्शन y=k/y पर विचार करें। इस फलन का आलेख एक रेखा है, जिसे गणित में अतिपरवलय कहा जाता है। हाइपरबोला का सामान्य दृश्य नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। (ग्राफ एक फ़ंक्शन दिखाता है y बराबर k को x से विभाजित करता है, जहां k एक के बराबर है।)

यह देखा जा सकता है कि ग्राफ में दो भाग होते हैं। इन भागों को अतिपरवलय की शाखाएँ कहते हैं। यह भी ध्यान देने योग्य है कि हाइपरबोला की प्रत्येक शाखा किसी एक दिशा में समन्वय अक्षों के करीब और करीब आती है। इस मामले में निर्देशांक अक्षों को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, कोई भी सीधी रेखा जो किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ असीम रूप से पहुंचती है, लेकिन उस तक नहीं पहुंचती है, एसिम्प्टोट्स कहलाती है। एक अतिपरवलय, एक परवलय की तरह, समरूपता के अक्ष होते हैं। ऊपर की आकृति में दिखाए गए अतिपरवलय के लिए, यह सीधी रेखा y=x है।

अब आइए अतिपरवलय के दो सामान्य मामलों पर विचार करें। फ़ंक्शन का ग्राफ y = k/x, k 0 के लिए, एक अतिपरवलय होगा, जिसकी शाखाएं या तो पहले और तीसरे समन्वय कोणों में स्थित हैं, k>0 के लिए, या दूसरे और चौथे समन्वय कोणों में, कांटा<0.

फ़ंक्शन के मुख्य गुण y = k/x, k>0 . के लिए

फ़ंक्शन का ग्राफ y = k/x, k>0 . के लिए

5. y>0 x>0 के लिए; वाई6. फलन अंतराल (-∞;0) और अंतराल (0;+∞) दोनों पर घटता है।

10. फ़ंक्शन की सीमा दो खुले अंतराल (-∞;0) और (0;+∞) है।

फ़ंक्शन के मुख्य गुण y = k/x, k . के लिए<0

k . के लिए फलन y = k/x का आलेख<0

1. बिंदु (0;0) अतिपरवलय की सममिति का केंद्र है।

2. निर्देशांक के अक्ष - एक अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख।

4. फ़ंक्शन का दायरा x = 0 को छोड़कर सभी x है।

5. y>0 x0 के लिए।

6. फलन अंतराल (-∞;0) और अंतराल (0;+∞) दोनों पर बढ़ता है।

7. फ़ंक्शन नीचे से या ऊपर से सीमित नहीं है।

8. फ़ंक्शन में न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है।

9. फलन अंतराल (-∞;0) और अंतराल (0;+∞) पर सतत है। बिंदु x = 0 पर एक अंतर है।

आप (एक्स) = ई एक्स, जिसका व्युत्पन्न स्वयं फ़ंक्शन के बराबर है।

घातांक को , या के रूप में दर्शाया जाता है।

ई नंबर

घातांक की घात का आधार है ई नंबर. यह एक अपरिमेय संख्या है। यह लगभग बराबर है
इ ≈ 2,718281828459045...

संख्या ई अनुक्रम की सीमा के माध्यम से निर्धारित की जाती है। यह तथाकथित दूसरी अद्भुत सीमा:
.

साथ ही, संख्या e को एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:
.

प्रदर्शक चार्ट

घातांक प्लॉट, y = e x ।

ग्राफ घातांक को दर्शाता है, इसीमा तक एक्स.
आप (एक्स) = ई एक्स
ग्राफ से पता चलता है कि घातांक नीरस रूप से बढ़ता है।

सूत्रों

डिग्री ई के आधार के साथ घातीय फ़ंक्शन के लिए मूल सूत्र समान हैं।

;
;
;

घातांक के माध्यम से डिग्री के एक मनमाना आधार के साथ एक घातीय कार्य की अभिव्यक्ति:
.

निजी मूल्य

चलो तुम (एक्स) = ई एक्स. फिर
.

घातांक गुण

एक्सपोनेंट में डिग्री के आधार के साथ एक घातीय कार्य के गुण होते हैं इ > 1 .

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समूह

घातांक y (एक्स) = ई एक्ससभी x के लिए परिभाषित।
इसका दायरा है:
- ∞ < x + ∞ .
इसका अर्थ सेट:
0 < y < + ∞ .

चरम, वृद्धि, कमी

घातांक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

घातांक का व्युत्क्रम प्राकृतिक लघुगणक है।
;
.

घातांक का व्युत्पन्न

यौगिक इसीमा तक एक्सके बराबर है इसीमा तक एक्स :
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

अभिन्न

जटिल आंकड़े

सम्मिश्र संख्याओं वाले संक्रियाओं का उपयोग करके किया जाता है यूलर सूत्र:
,
काल्पनिक इकाई कहाँ है:
.

अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

; ;
.

त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

; ;
;
.

शक्ति श्रृंखला विस्तार

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

प्राचीन काल से ही व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में मूल्यों और मात्राओं की तुलना करना आवश्यक रहा है। उसी समय, अधिक और कम, उच्च और निम्न, हल्का और भारी, शांत और जोर से, सस्ता और अधिक महंगा आदि जैसे शब्द दिखाई दिए, जो सजातीय मात्राओं की तुलना के परिणामों को दर्शाते हैं।

वस्तुओं की गिनती, माप और मात्राओं की तुलना के संबंध में अधिक और कम की अवधारणा उत्पन्न हुई। उदाहरण के लिए, प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञ जानते थे कि किसी भी त्रिभुज की भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है और त्रिभुज की बड़ी भुजा बड़े कोण के विपरीत होती है। आर्किमिडीज ने एक वृत्त की परिधि की गणना करते हुए पाया कि किसी भी वृत्त की परिधि व्यास के तीन गुना के बराबर होती है, जो कि व्यास के सातवें से कम है, लेकिन व्यास के दस सत्तर से अधिक है।

> और b चिन्हों का प्रयोग करके संख्याओं और मात्राओं के बीच सांकेतिक रूप से संबंध लिखिए। प्रविष्टियाँ जिनमें दो संख्याएँ किसी एक चिन्ह से जुड़ी हुई हैं: > (इससे अधिक), आप प्राथमिक ग्रेड में संख्यात्मक असमानताओं से भी मिले। आप जानते हैं कि असमानताएँ सच हो भी सकती हैं और नहीं भी। उदाहरण के लिए, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) एक वैध संख्यात्मक असमानता है, 0.23 > 0.235 एक अमान्य संख्यात्मक असमानता है।

जिन असमानताओं में अज्ञात शामिल हैं, वे अज्ञात के कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकती हैं और दूसरों के लिए गलत हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, असमानता 2x+1>5 x = 3 के लिए सही है, लेकिन x = -3 के लिए गलत है। एक अज्ञात के साथ असमानता के लिए, आप कार्य निर्धारित कर सकते हैं: असमानता को हल करें। व्यवहार में असमानताओं को हल करने की समस्याओं को हल किया जाता है और समीकरणों को हल करने की समस्याओं से कम बार हल नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के अध्ययन और समाधान के लिए कई आर्थिक समस्याएं कम हो जाती हैं। गणित की कई शाखाओं में, समीकरणों की तुलना में असमानताएँ अधिक सामान्य हैं।

कुछ असमानताएँ किसी निश्चित वस्तु के अस्तित्व को सिद्ध या अस्वीकृत करने के लिए एकमात्र सहायक साधन के रूप में काम करती हैं, उदाहरण के लिए, एक समीकरण की जड़।

संख्यात्मक असमानताएं

आप पूर्णांक और दशमलव की तुलना कर सकते हैं। साधारण भिन्नों की समान हर लेकिन भिन्न-भिन्न अंशों से तुलना करने के नियमों को जानें; एक ही अंश के साथ लेकिन अलग-अलग भाजक। यहां आप सीखेंगे कि किन्हीं दो संख्याओं के अंतर का चिह्न ज्ञात करके उनकी तुलना कैसे की जाती है।

व्यवहार में संख्याओं की तुलना का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अर्थशास्त्री वास्तविक संकेतकों के साथ नियोजित संकेतकों की तुलना करता है, एक डॉक्टर एक मरीज के तापमान की तुलना सामान्य से करता है, एक टर्नर एक मशीनी हिस्से के आयामों की तुलना एक मानक से करता है। ऐसे सभी मामलों में कुछ संख्याओं की तुलना की जाती है। संख्याओं की तुलना के परिणामस्वरूप संख्यात्मक असमानताएँ उत्पन्न होती हैं।

परिभाषा।संख्या a, संख्या b से बड़ी है यदि अंतर a-b धनात्मक है। संख्या a, संख्या b से कम है यदि अंतर a-b ऋणात्मक है।

यदि a, b से बड़ा है, तो वे लिखते हैं: a > b; यदि a, b से कम है, तो वे लिखते हैं: a इस प्रकार, असमानता a> b का अर्थ है कि अंतर a - b धनात्मक है, अर्थात। a - b > 0. असमानता a निम्नलिखित तीन संबंधों में से किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए a > b, a = b, a प्रमेय।यदि a > b और b > c, तो a > c.

प्रमेय।यदि असमानता के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ दी जाए, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है।
परिणाम।इस पद के चिन्ह को विपरीत में बदलकर किसी भी पद को असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है।

प्रमेय।यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है। यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।
परिणाम।यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है। यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।

आप जानते हैं कि संख्यात्मक समानताओं को पद दर पदों में जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। इसके बाद, आप सीखेंगे कि असमानताओं के साथ समान कार्य कैसे करें। शब्द के आधार पर असमानताओं को जोड़ने और गुणा करने की क्षमता अक्सर व्यवहार में उपयोग की जाती है। ये क्रियाएं आपको अभिव्यक्ति मूल्यों के मूल्यांकन और तुलना की समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं।

विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, असमानताओं के बाएँ और दाएँ भागों को जोड़कर या गुणा करना अक्सर आवश्यक होता है। कभी-कभी यह कहा जाता है कि असमानताओं को जोड़ा या गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई पर्यटक पहले दिन 20 किमी से अधिक और दूसरे दिन 25 किमी से अधिक चला, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि दो दिनों में वह 45 किमी से अधिक चला। इसी तरह, यदि किसी आयत की लंबाई 13 सेमी से कम और चौड़ाई 5 सेमी से कम है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि इस आयत का क्षेत्रफल 65 सेमी से कम है।

इन उदाहरणों पर विचार करते हुए निम्नलिखित असमानताओं के जोड़ और गुणा पर प्रमेय:

प्रमेय।एक ही चिन्ह की असमानताओं को जोड़ने पर, हमें एक ही चिन्ह की असमानता प्राप्त होती है: यदि a > b और c > d, तो a + c > b + d।

प्रमेय।एक ही चिन्ह की असमानताओं को गुणा करने पर, जिसके लिए बाएँ और दाएँ पक्ष धनात्मक होते हैं, एक ही चिन्ह की असमानता प्राप्त होती है: यदि a > b, c > d और a, b, c, d धनात्मक संख्याएँ हैं, तो ac > बी.डी.

चिन्ह के साथ असमानताएँ > (से अधिक) और 1/2, 3/4 b, c सख्त असमानता चिन्हों के साथ > और इसी तरह, असमानता \(a \geq b \) का अर्थ है कि संख्या a अधिक है बी से या उसके बराबर, यानी और बी से कम नहीं।

चिह्न \(\geq \) या चिह्न \(\leq \) वाली असमानताओं को गैर-सख्त कहा जाता है। उदाहरण के लिए, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) सख्त असमानताएं नहीं हैं।

सख्त असमानताओं के सभी गुण गैर-सख्त असमानताओं के लिए भी मान्य हैं। इसके अलावा, यदि सख्त असमानताओं के लिए संकेतों को विपरीत माना जाता है, और आप जानते हैं कि कई लागू समस्याओं को हल करने के लिए, आपको समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के रूप में गणितीय मॉडल तैयार करना होगा। इसके अलावा, आप सीखेंगे कि कई समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय मॉडल अज्ञात के साथ असमानताएं हैं। हम एक असमानता को हल करने की अवधारणा का परिचय देंगे और दिखाएंगे कि कैसे जांचा जाए कि दी गई संख्या किसी विशेष असमानता का समाधान है या नहीं।

फॉर्म की असमानताएं
\(ax > b, \quad ax जहां a और b को संख्याएं दी गई हैं और x अज्ञात है, कहा जाता है एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताएं.

परिभाषा।एक अज्ञात के साथ असमानता का समाधान अज्ञात का मान है जिसके लिए यह असमानता एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल जाती है। असमानता को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

आपने समीकरणों को सरलतम समीकरणों में घटाकर हल किया। इसी तरह, असमानताओं को हल करते समय, व्यक्ति गुणों की सहायता से उन्हें सरलतम असमानताओं के रूप में कम कर देता है।

एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताओं का समाधान

फॉर्म की असमानताएं
\(ax^2+bx+c >0 \) और \(ax^2+bx+c जहां x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएं हैं और \(a \neq 0 \) कहलाते हैं एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताएं.

असमानता का समाधान
\(ax^2+bx+c >0 \) या \(ax^2+bx+c \) को अंतराल खोजने के रूप में माना जा सकता है जहां फ़ंक्शन \(y= ax^2+bx+c \) सकारात्मक लेता है या नकारात्मक मान ऐसा करने के लिए, यह विश्लेषण करने के लिए पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) समन्वय विमान में कैसे स्थित है: जहां परवलय की शाखाएं निर्देशित होती हैं - ऊपर या नीचे , क्या परवलय x अक्ष को काटता है और यदि करता है, तो किन बिंदुओं पर।

एक चर के साथ दूसरी डिग्री असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1) वर्ग त्रिपद \(ax^2+bx+c\) का विभेदक ज्ञात कीजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या त्रिपद के मूल हैं;
2) यदि ट्रिनोमियल की जड़ें हैं, तो उन्हें एक्स अक्ष पर चिह्नित करें और योजनाबद्ध रूप से चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से एक परवलय बनाएं, जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर> 0 या नीचे की ओर 0 या नीचे की ओर 3 पर निर्देशित होती हैं) खोजें x अक्ष पर अंतराल जिसके लिए बिंदु परवलय x-अक्ष के ऊपर स्थित हैं (यदि वे असमानता को हल करते हैं \(ax^2+bx+c >0 \)) या x-अक्ष के नीचे (यदि वे असमानता को हल करते हैं)
\(ax^2+bx+c अंतराल की विधि द्वारा असमानताओं का समाधान

समारोह पर विचार करें
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

इस फ़ंक्शन का डोमेन सभी संख्याओं का समूह है। फ़ंक्शन के शून्य संख्या -2, 3, 5 हैं। वे फ़ंक्शन के डोमेन को अंतराल \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) में विभाजित करते हैं। ) \) और \( (5; +\infty) \)

आइए जानें कि प्रत्येक संकेतित अंतराल में इस फ़ंक्शन के संकेत क्या हैं।

व्यंजक (x + 2)(x - 3)(x - 5) तीन कारकों का गुणनफल है। इन कारकों में से प्रत्येक का संकेत माना अंतराल में तालिका में दर्शाया गया है:

सामान्य तौर पर, फ़ंक्शन को सूत्र द्वारा दिया जाता है
एफ (एक्स) = (एक्स-एक्स 1) (एक्स-एक्स 2) ... (एक्स-एक्स एन),
जहाँ x एक चर है, और x 1 , x 2 , ..., x n समान संख्याएँ नहीं हैं। संख्याएँ x 1, x 2 , ..., x n फलन के शून्यक हैं। प्रत्येक अंतराल में जिसमें परिभाषा के क्षेत्र को फ़ंक्शन के शून्य से विभाजित किया जाता है, फ़ंक्शन का संकेत संरक्षित होता है, और जब शून्य से गुजरता है, तो इसका संकेत बदल जाता है।

इस गुण का उपयोग प्रपत्र की असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) जहां x 1 , x 2 , ..., x n समान संख्याएं नहीं हैं

माना विधि असमानताओं को हल करना अंतरालों की विधि कहलाती है।

आइए हम अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करने के उदाहरण दें।

असमानता को हल करें:

\(x(0.5-x)(x+4) जाहिर है, फलन के शून्यक f(x) = x(0.5-x)(x+4) बिंदु हैं \frac(1)(2) , \; एक्स=-4 \)

हम वास्तविक अक्ष पर फ़ंक्शन के शून्य को प्लॉट करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर संकेत की गणना करते हैं:

हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जिन पर फलन शून्य से कम या उसके बराबर होता है और उत्तर लिख देते हैं।

जवाब:
\(x \in \ left (-\infty; \; 1 \right) \ cup \ left [4; \; +\infty \ right) \)

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सबसे पहले, आइए डिग्री और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद करें।

एक संख्या का उत्पाद एस्वयं n बार होता है, हम इस व्यंजक को a… a=a n . के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए ​​एन) एम = एक एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम \u003d ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घात (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण:

इस उदाहरण में, संख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे होती है, और चर एक्सडिग्री या माप।

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 एक्स *5=10
16x-4x-6=0

अब देखते हैं कि घातांकीय समीकरण कैसे हल किए जाते हैं?

आइए एक साधारण समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

ऐसा उदाहरण मन में भी सुलझ सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आखिरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष समान होने के लिए, आपको x के बजाय संख्या 3 डालने की आवश्यकता है।
अब देखते हैं कि यह निर्णय कैसे लिया जाना चाहिए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया एक ही आधार(अर्थात, ड्यूस) और जो बचा था उसे लिख दिया, ये डिग्री हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हमें तलाश थी।

आइए अब हमारे समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है वहीक्या समीकरण के आधार दाईं ओर और बाईं ओर हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान होने के बाद, समानताडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

अब कुछ उदाहरण हल करते हैं:

आइए सरल शुरू करें।

बाईं और दाईं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण निकला है।
एक्स = 4 - 2
एक्स = 2
उत्तर: x=2

निम्नलिखित उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं, ये 3 और 9 हैं।

3 3x - 9 x + 8 = 0

आरंभ करने के लिए, हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2 . आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x \u003d (3 2) x + 8

हमें 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 . मिलता है

3 3x \u003d 3 2x + 16 अब यह स्पष्ट है कि बाईं और दाईं ओर के आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

3x=2x+16 को सबसे सरल समीकरण मिला
3x-2x=16
एक्स = 16
उत्तर: एक्स = 16।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार अलग-अलग हैं। और हमें वही होना चाहिए। हम सूत्र (a n) m = a nm के अनुसार चौगुनी को रूपांतरित करते हैं।

4 x = (2 2) x = 2 2x

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमारे साथ हस्तक्षेप करती हैं। उनका क्या करें? यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हम 2 2x दोहराते हैं, यहाँ उत्तर है - हम कोष्ठक में से 2 2x डाल सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में व्यंजक की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

कल्पना कीजिए 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 आधार समान हैं, उन्हें त्यागें और डिग्री की बराबरी करें।
2x \u003d 2 सबसे सरल समीकरण निकला। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1।

आइए समीकरण को हल करें:

9 x - 12*3 x +27= 0

आइए रूपांतरित करें:
9 x = (3 2) x = 3 2x

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पहले ट्रिपल में दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दो बार (2x) डिग्री है। इस मामले में, आप तय कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. सबसे छोटी डिग्री वाली संख्या को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

फिर 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

हम सभी डिग्री को x के साथ समीकरण में t के साथ बदलते हैं:

टी 2 - 12टी + 27 \u003d 0
हमें द्विघात समीकरण मिलता है। हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
डी=144-108=36
t1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर वापस जाएं एक्स.

हम टी 1 लेते हैं:
टी 1 \u003d 9 \u003d 3 x

वह है,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:
टी 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: एक्स 1 \u003d 2; एक्स 2 = 1.

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एक समूह में शामिल हों

कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता जरूरी है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a , b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a 0।

हल करने की विशिष्ट विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. उनकी ठीक एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। कैसे निर्धारित करें कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है, तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।

इस सूत्र को दिल से जानना चाहिए। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D > 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, और उनके सभी संकेतों को नहीं, जैसा कि किसी कारण से बहुत से लोग सोचते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

काम। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

हम पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखते हैं और विवेचक पाते हैं:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो, विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम दूसरे समीकरण का उसी तरह विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य के बराबर है - मूल एक होगा।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हां, यह लंबा है, हां, यह थकाऊ है - लेकिन आप बाधाओं को नहीं मिलाएंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियां नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 हल समीकरणों के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतने नहीं।

द्विघात समीकरण की जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D > 0 है, तो सूत्रों का उपयोग करके जड़ों को पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 − 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 1 36 = 0।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, त्रुटियाँ तब होती हैं जब सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित किया जाता है। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को पेंट करें - और बहुत जल्द गलतियों से छुटकारा पाएं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दी गई चीज़ों से कुछ अलग है। उदाहरण के लिए:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b \u003d c \u003d 0. इस मामले में, समीकरण कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण में एक एकल होता है जड़: x \u003d 0.

आइए अन्य मामलों पर विचार करें। चलो बी \u003d 0, फिर हमें फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d 0 का अधूरा द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

चूंकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है, अंतिम समानता केवल तभी समझ में आती है जब (−c / a ) 0. निष्कर्ष:

1. यदि ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण असमानता (−c / a ) 0 को संतुष्ट करता है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं है। वास्तव में, असमानता (−c / a ) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और समान चिह्न के दूसरी तरफ देखने के लिए पर्याप्त है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों से निपटें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें निकलती हैं। अंत में, हम इनमें से कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

काम। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 \u003d -1.5।