आयत?

समाधान। चूँकि 2.88 डीएम2 = 288 सेमी2, और 0.8 डीएम = 8 सेमी, तो आयत की लंबाई 288:8 है, यानी 36 सेमी = 3.6 डीएम। हमें एक संख्या 3.6 इस प्रकार मिली कि 3.6 = 0.8 = 2.88। यह 2.88 का भागफल 0.8 से विभाजित है।

वे लिखते हैं: 2.88: 0.8 = 3.6.

उत्तर 3.6 डेसीमीटर को सेंटीमीटर में बदले बिना प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको भाजक 0.8 और लाभांश 2.88 को 10 से गुणा करना होगा (अर्थात, अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाना होगा) और 28.8 को 8 से विभाजित करना होगा। फिर से हमें मिलता है: 28.8: 8 = 3.6।

किसी संख्या को दशमलव भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) भाज्य और भाजक में, अल्पविराम को दाहिनी ओर उतने अंकों तक ले जाएँ जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों;
2) इसके बाद किसी प्राकृतिक संख्या से भाग दें.

उदाहरण 1। 12.096 को 2.24 से विभाजित करें। लाभांश और भाजक 2 अंकों में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाएँ। हमें संख्याएँ 1209.6 और 224 मिलती हैं। चूँकि 1209.6: 224 = 5.4, तो 12.096: 2.24 = 5.4।

उदाहरण 2. 4.5 को 0.125 से विभाजित करें। यहां आपको लाभांश और भाजक 3 अंकों में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाना होगा। चूंकि लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है, इसलिए हम इसके दाईं ओर दो शून्य जोड़ देंगे। हटाने के बाद हमें अल्पविराम मिलता है नंबर 4500 और 125. चूँकि 4500: 125 = 36, तो 4.5: 0.125 = 36।

उदाहरण 1 और 2 से यह स्पष्ट है कि जब किसी संख्या को विभाजित किया जाता है अनुचित अंशयह संख्या घट जाती है या नहीं बदलती है, और जब इसे सही से विभाजित किया जाता है दशमलवयह बढ़ता है: 12.096 > 5.4, और 4.5< 36.

2.467 को 0.01 से विभाजित करें। लाभांश और भाजक में अल्पविराम को 2 अंकों से दाईं ओर ले जाने पर, हम पाते हैं कि भागफल 246.7:1 के बराबर है, यानी 246.7।

इसका मतलब है 2.467: 0.01 = 246.7. यहाँ से हमें नियम मिलता है:

दशमलव को 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.01; 0.001, आपको इसमें अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से ले जाना होगा जितने कि भाजक में एक से पहले शून्य हों (अर्थात इसे 10, 100, 1000 से गुणा करें)।

यदि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो आपको पहले उन्हें अंत में जोड़ना होगा अंशोंकुछ शून्य.

उदाहरण के लिए, 56.87: 0.0001 = 56.8700: 0.0001 = 568,700।

दशमलव भिन्न को विभाजित करने का नियम बनाइए: दशमलव भिन्न से; 0.1 से; 0.01; 0.001.
किस संख्या से गुणा करके आप भाग को 0.01 से बदल सकते हैं?

1443. भागफल ज्ञात करें और गुणन द्वारा जाँच करें:

ए) 0.8: 0.5; बी) 3.51: 2.7; ग) 14.335: 0.61।

1444. भागफल ज्ञात करें और भाग द्वारा जाँच करें:

ए) 0.096: 0.12; बी) 0.126: 0.9; ग) 42.105: 3.5.

ए) 7.56: 0.6; छ) 6.944: 3.2; एन) 14.976: 0.72;
बी) 0.161: 0.7; ज) 0.0456: 3.8; ओ) 168.392: 5.6;
ग) 0.468: 0.09; i) 0.182: 1.3; एन) 24.576: 4.8;
घ) 0.00261: 0.03; जे) 131.67: 5.7; पी) 16.51: 1.27;
ई) 0.824: 0.8; एल) 189.54: 0.78; ग) 46.08: 0.384;
ई) 10.5: 3.5; एम) 636: 0.12; टी) 22.256: 20.8.

1446. भाव लिखिए:

ए) 10 - 2.4x = 3.16; ई) 4.2р - р = 5.12;
बी) (वाई + 26.1) 2.3 = 70.84; ई) 8.2t - 4.4t = 38.38;
सी) (जेड - 1.2): 0.6 = 21.1; जी) (10.49 - एस): 4.02 = 0.805;
घ) 3.5 मी + टी = 9.9; ज) 9k - 8.67k = 0.6699।

1460. दो टैंकों में 119.88 टन गैसोलीन था। पहले टैंक में दूसरे की तुलना में 1.7 गुना अधिक गैसोलीन था। प्रत्येक टैंक में कितना गैसोलीन था?

1461. तीन भूखंडों से 87.36 टन गोभी एकत्र की गई। वहीं, पहले प्लॉट से 1.4 गुना और तीसरे प्लॉट की तुलना में दूसरे प्लॉट से 1.8 गुना ज्यादा कलेक्शन किया गया। प्रत्येक भूखंड से कितनी टन पत्तागोभी एकत्र की गई?

1462. एक कंगारू जिराफ से 2.4 गुना छोटा होता है, और एक जिराफ कंगारू से 2.52 मीटर लंबा होता है। जिराफ की ऊंचाई कितनी होती है और कंगारू की ऊंचाई कितनी होती है?

1463. दो पैदल यात्री एक दूसरे से 4.6 किमी की दूरी पर थे। वे एक दूसरे की ओर गए और 0.8 घंटे बाद मिले। प्रत्येक पैदल यात्री की गति ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक की गति 1.3 गुना है और अधिक गतिएक और।

1464. इन चरणों का पालन करें:

ए) (130.2 - 30.8) : 2.8 - 21.84:
बी) 8.16: (1.32 + 3.48) - 0.345;
ग) 3.712: (7 - 3.8) + 1.3 (2.74 + 0.66);
घ) (3.4: 1.7 + 0.57: 1.9) 4.9 + 0.0825: 2.75;
ई) (4.44: 3.7 - 0.56: 2.8) : 0.25 - 0.8;
ई) 10.79: 8.3 0.7 - 0.46 3.15: 6.9।

1465. कल्पना कीजिए सामान्य अंशदशमलव के रूप में और मान ज्ञात कीजिए अभिव्यक्ति:

1466. मौखिक रूप से गणना करें:

ए) 25.5:5; बी) 9 0.2; ग) 0.3:2; घ) 6.7 - 2.3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.

1467. कार्य खोजें:

ए) 0.1 0.1; घ) 0.4 0.4; छ) 0.7 0.001;
बी) 1.3 1.4; ई) 0.06 0.8; ज) 100 0.09;
ग) 0.3 0.4; ई) 0.01 100; i) 0.3 0.3 0.3.

1468. खोजें: संख्या 30 में से 0.4; संख्या 18 का 0.5; 0.1 संख्या 6.5; 2.5 संख्या 40; 0.12 संख्या 100; संख्या 1000 का 0.01.

1469. अभिव्यक्ति 5683.25a का मान क्या है जब a = 10; 0.1; 0.01; 100; 0.001; 1000; 0.00001?

1470. सोचें कि इनमें से कौन सी संख्या सटीक हो सकती है और कौन सी अनुमानित हो सकती है:

क) कक्षा में 32 छात्र हैं;
बी) मास्को से कीव की दूरी 900 किमी है;
ग) समांतर चतुर्भुज में 12 किनारे हैं;
घ) टेबल की लंबाई 1.3 मीटर;
ई) मास्को की जनसंख्या 8 मिलियन लोग है;
ई) एक बैग में 0.5 किलो आटा;
छ) क्यूबा द्वीप का क्षेत्रफल 105,000 किमी2 है;
ज) में स्कूल पुस्तकालय 10,000 पुस्तकें;
i) एक स्पैन 4 वर्शोक के बराबर है, और एक वर्शोक 4.45 सेमी (वर्शोक) के बराबर है
फालानक्स की लंबाई तर्जनी).

1471. असमानता के तीन समाधान खोजें:

ए) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
बी) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.

1472. गणना किए बिना, भावों के मूल्यों की तुलना करें:

ए) 24 0.15 और (24 - 15) : 100;

बी) 0.084 0.5 और (84 5) : 10,000।
अपना जवाब समझाएं।

1473. संख्याओं को पूर्णांकित करें:

1474. विभाजन करें:

ए) 22.7:10; 23.3:10; 3.14:10; 9.6:10;
बी) 304: 100; 42.5: 100; 2.5: 100; 0.9: 100; 0.03: 100;
ग) 143.4:12; 1.488: 124 ; 0.3417:34; 159.9: 235; 65.32:568.

1475. एक साइकिल चालक 12 किमी/घंटा की गति से गाँव से निकला। 2 घंटे के बाद, एक और साइकिल चालक उसी गाँव से विपरीत दिशा में निकला,
और दूसरे की गति पहले की गति से 1.25 गुना अधिक है। दूसरे साइकिल चालक के जाने के 3.3 घंटे बाद उनके बीच की दूरी क्या होगी?

1476. नाव की अपनी गति 8.5 किमी/घंटा है, और धारा की गति 1.3 किमी/घंटा है। नाव धारा के अनुकूल 3.5 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी? नाव 5.6 घंटे में धारा के विपरीत कितनी दूरी तय करेगी?

1477. संयंत्र ने 3.75 हजार भागों का उत्पादन किया और उन्हें 950 रूबल की कीमत पर बेचा। एक रचना। एक हिस्से के उत्पादन के लिए संयंत्र का खर्च 637.5 रूबल था। इन भागों की बिक्री से कारखाने को प्राप्त लाभ ज्ञात कीजिये।

1478. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की चौड़ाई 7.2 सेमी है, जो है इस समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए और उत्तर को पूर्ण संख्याओं में पूर्णांकित कीजिए।

1479. पापा कार्लो ने पिएरो को हर दिन 4 सोल्डी, और बुरेटिनो को पहले दिन 1 सोल्डी, और यदि वह अच्छा व्यवहार करता है तो प्रत्येक अगले दिन 1 सोल्डी और देने का वादा किया। पिनोचियो नाराज था: उसने फैसला किया कि, चाहे वह कितनी भी कोशिश कर ले, वह कभी भी पिय्रोट जितना सैनिक नहीं पा सकेगा। इस बारे में सोचें कि क्या पिनोच्चियो सही है।

1480. 3 अलमारियाँ और 9 बुकशेल्फ़ के लिए, 231 मीटर बोर्ड का उपयोग किया गया था, और शेल्फ की तुलना में कैबिनेट के लिए 4 गुना अधिक सामग्री का उपयोग किया गया था। एक कैबिनेट पर कितने मीटर बोर्ड लगते हैं और एक शेल्फ पर कितने मीटर?

1481. समस्या का समाधान करें:
1) पहली संख्या 6.3 है और दूसरी संख्या बनाती है। तीसरा नंबर दूसरा बनता है. दूसरी और तीसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

2) पहली संख्या 8.1 है। दूसरा नंबर पहले नंबर से और तीसरे नंबर से है। दूसरी और तीसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

1482. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) (7 - 5,38) 2,5;

2) (8 - 6,46) 1,5.

1483. भागफल का मान ज्ञात कीजिये:

ए) 17.01: 6.3; घ) 1.4245: 3.5; छ) 0.02976: 0.024;
बी) 1.598: 4.7; ई)193.2:8.4; ज) 11.59: 3.05;
ग) 39.156: 7.8; ई) 0.045: 0.18; i) 74.256: 18.2.

1484. घर से स्कूल की दूरी 1.1 किमी है। लड़की इस रास्ते को 0.25 घंटे में तय करती है। लड़की कितनी तेजी से चल रही है?

1485. दो कमरों के अपार्टमेंट में एक कमरे का क्षेत्रफल 20.64 m2 है, और दूसरे कमरे का क्षेत्रफल 2.4 गुना कम है। इन दोनों कमरों का क्षेत्रफल मिलाकर ज्ञात कीजिए।

1486. ​​इंजन 7.5 घंटे में 111 लीटर ईंधन की खपत करता है। 1.8 घंटे में इंजन कितने लीटर ईंधन की खपत करेगा?
1487. 3.5 dm3 आयतन वाले एक धातु के हिस्से का द्रव्यमान 27.3 किलोग्राम है। उसी धातु से बने दूसरे हिस्से का द्रव्यमान 10.92 किलोग्राम है। दूसरे भाग का आयतन कितना है?

1488. 2.28 टन गैसोलीन दो पाइपों के माध्यम से एक टैंक में डाला गया। पहले पाइप से प्रति घंटे 3.6 टन गैसोलीन प्रवाहित होता था और यह 0.4 घंटे तक खुला रहता था। दूसरे पाइप से पहले की तुलना में प्रति घंटे 0.8 टन गैसोलीन कम प्रवाहित होता था। दूसरा पाइप कितनी देर तक खुला था?

1489. समीकरण हल करें:

ए) 2.136: (1.9 - एक्स) = 7.12; ग) 0.2t + 1.7t - 0.54 = 0.22;
बी) 4.2 (0.8 + वाई) = 8.82; घ) 5.6 ग्राम - 2z - 0.7z + 2.65 = 7.

1490. 13.3 टन वजन का सामान तीन वाहनों के बीच वितरित किया गया। पहली कार पर 1.3 गुना अधिक भार भरा गया था, और दूसरी कार पर तीसरी कार की तुलना में 1.5 गुना अधिक भार भरा गया था। प्रत्येक वाहन पर कितने टन माल लदा हुआ था?

1491. दो पैदल यात्री एक ही स्थान से एक ही समय पर विपरीत दिशाओं में निकले। 0.8 घंटे के बाद, उनके बीच की दूरी 6.8 किमी हो गई। एक पैदल यात्री की गति दूसरे की गति से 1.5 गुना थी। प्रत्येक पैदल यात्री की गति ज्ञात कीजिए।

1492. इन चरणों का पालन करें:

ए) (21.2544: 0.9 + 1.02 3.2) : 5.6;
बी) 4.36: (3.15 + 2.3) + (0.792 - 0.78) 350;
ग) (3.91: 2.3 5.4 - 4.03) 2.4;
डी) 6.93: (0.028 + 0.36 4.2) - 3.5।

1493. एक डॉक्टर स्कूल आया और टीकाकरण के लिए 0.25 किलोग्राम सीरम लाया। यदि प्रत्येक इंजेक्शन के लिए 0.002 किलोग्राम सीरम की आवश्यकता हो तो वह कितने लोगों को इंजेक्शन दे सकता है?

1494. 2.8 टन जिंजरब्रेड स्टोर में पहुंचाया गया। दोपहर के भोजन से पहले ये जिंजरब्रेड कुकीज़ बेची गईं। बेचने के लिए कितने टन जिंजरब्रेड बचा है?

1495. कपड़े के एक टुकड़े से 5.6 मीटर काटे गए। यदि इस टुकड़े को काटा गया तो टुकड़े में कितने मीटर कपड़ा था?

एन.या. विलेनकिन, वी. आई. ज़ोखोव, ए. एस. चेस्नोकोव, एस. आई. श्वार्ट्सबर्ड, गणित ग्रेड 5, सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

§ 107. दशमलव भिन्नों का योग।

दशमलव जोड़ना पूर्ण संख्याओं को जोड़ने के समान है। आइए इसे उदाहरणों से देखें।

1) 0.132 + 2.354। आइए शब्दों को एक के नीचे एक लेबल दें।

यहाँ, 2 हजारवें को 4 हजारवें में जोड़ने पर 6 हजारवां परिणाम प्राप्त हुआ;
5 सौवें के साथ 3 सौवां जोड़ने पर परिणाम 8 सौवां होता है;
3 दहाई के साथ 1 दशमांश जोड़ने से -4 दशमांश और
2 पूर्णांकों के साथ 0 पूर्णांक जोड़ने से - 2 पूर्णांक।

2) 5,065 + 7,83.

दूसरे पद में कोई हजारवाँ भाग नहीं है, इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि एक के बाद एक पदों को लेबल करते समय गलतियाँ न करें।

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

यहां हजारवां हिस्सा जोड़ने पर परिणाम 21 हजारवां आता है; हमने हजारवें के नीचे 1 लिखा, और सौवें में 2 जोड़ दिया, इसलिए सौवें स्थान पर हमें निम्नलिखित पद प्राप्त हुए: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; कुल मिलाकर वे 19 सौवां देते हैं, हमने सौवें के अंतर्गत 9 पर हस्ताक्षर किए, और 1 को दसवें के रूप में गिना, आदि।

इस प्रकार, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन किया जाना चाहिए: भिन्नों पर एक के नीचे एक हस्ताक्षर करें ताकि सभी पदों में समान अंक एक दूसरे के नीचे स्थित हों और सभी अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर स्तंभ में हों; कुछ पदों के दशमलव स्थानों के दाईं ओर, कम से कम मानसिक रूप से, इतनी संख्या में शून्य जोड़े जाते हैं, ताकि दशमलव बिंदु के बाद के सभी पदों में अंकों की संख्या समान हो। फिर वे दाहिनी ओर से शुरू करते हुए अंकों का जोड़ करते हैं, और परिणामी योग में वे उसी ऊर्ध्वाधर कॉलम में अल्पविराम लगाते हैं जिसमें यह इन शब्दों में स्थित होता है।

§ 108. दशमलव भिन्नों का घटाव।

दशमलव को घटाना पूर्ण संख्याओं को घटाने के समान ही काम करता है। आइए इसे उदाहरणों के साथ दिखाते हैं।

1) 9.87 - 7.32. आइए मीनूएंड के अंतर्गत उपट्रेंड पर हस्ताक्षर करें ताकि समान अंक की इकाइयां एक-दूसरे के नीचे हों:

2) 16.29 - 4.75. आइए मीनूएंड के अंतर्गत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करें, जैसा कि पहले उदाहरण में है:

दसवां हिस्सा घटाने के लिए, आपको 6 में से एक पूरी इकाई लेनी होगी और इसे दसवें में विभाजित करना होगा।

3) 14.0213-5.350712। आइए मीनूएंड के अंतर्गत उपट्रेंड पर हस्ताक्षर करें:

घटाव इस प्रकार किया गया था: चूँकि हम 0 से 2 मिलियनवां हिस्सा नहीं घटा सकते हैं, हमें बाईं ओर निकटतम अंक की ओर मुड़ना चाहिए, यानी, सौ हजारवां, लेकिन सौ हजारवें के स्थान पर शून्य भी है, इसलिए हम 1 दस हजारवां लेते हैं 3 दस हजारवां और हम इसे सौ हजारवें में विभाजित करते हैं, हमें 10 लाखवां हिस्सा मिलता है, जिसमें से हम 9 सौ हजारवां हिस्सा सौ हजारवां वर्ग में छोड़ते हैं, और हम 1 लाखवां हिस्सा दस लाखवें में तोड़ते हैं, हमें 10 करोड़वां हिस्सा मिलता है। इस प्रकार, अंतिम तीन अंकों में हमारे पास हैं: दस लाखवां हिस्सा 10, सौ हजारवां हिस्सा 9, दस हजारवां हिस्सा 2. अधिक स्पष्टता और सुविधा के लिए (ताकि भूल न जाएं), ये संख्याएं मिनट के संबंधित भिन्नात्मक अंकों के ऊपर लिखी गई हैं। अब आप घटाना शुरू कर सकते हैं. 10 मिलियनवें भाग से हम 2 मिलियनवां भाग घटाते हैं, हमें 8 मिलियनवां भाग प्राप्त होता है; 9 सौ हजारवें से हम 1 लाखवां घटाते हैं, हमें 8 सौ हजारवां मिलता है, आदि।

इस प्रकार, दशमलव अंशों को घटाते समय, निम्नलिखित क्रम देखा जाता है: मीनूएंड के तहत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करें ताकि समान अंक एक दूसरे के नीचे स्थित हों और सभी अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर कॉलम में हों; दाईं ओर वे, कम से कम मानसिक रूप से, मीनूएंड या सबट्रेंड में इतने सारे शून्य जोड़ते हैं कि उनके अंकों की संख्या समान हो, फिर वे दाईं ओर से शुरू करके अंकों के आधार पर घटाते हैं, और परिणामी अंतर में वे अल्पविराम लगाते हैं वही ऊर्ध्वाधर स्तंभ जिसमें यह घटा हुआ और घटा हुआ स्थित है।

§ 109. दशमलव भिन्नों का गुणन।

आइए दशमलव भिन्नों को गुणा करने के कुछ उदाहरण देखें।

इन संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: यदि गुणनखंड को 10 गुना बढ़ा दिया जाए, तो दोनों गुणनखंड पूर्णांक होंगे और फिर हम उन्हें पूर्णांकों को गुणा करने के नियमों के अनुसार गुणा कर सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि जब कोई एक कारक कई गुना बढ़ जाता है, तो उत्पाद उसी मात्रा में बढ़ जाता है। इसका मतलब यह है कि पूर्णांक गुणनखंडों, यानी 28 को 23 से गुणा करने पर जो संख्या प्राप्त होती है, वह वास्तविक उत्पाद से 10 गुना अधिक होती है, और सही उत्पाद प्राप्त करने के लिए, पाए गए उत्पाद को 10 गुना कम करना होगा। इसलिए, यहां आपको एक बार 10 से गुणा करना होगा और एक बार 10 से भाग देना होगा, लेकिन 10 से गुणा और भाग दशमलव बिंदु को दाएं और बाएं एक स्थान पर ले जाकर किया जाता है। इसलिए, आपको यह करने की आवश्यकता है: कारक में, अल्पविराम को सही एक स्थान पर ले जाएं, इससे यह 23 के बराबर हो जाएगा, फिर आपको परिणामी पूर्णांकों को गुणा करने की आवश्यकता है:

यह उत्पाद असली उत्पाद से 10 गुना बड़ा है। इसलिए, इसे 10 गुना कम करना होगा, जिसके लिए हम अल्पविराम को एक स्थान बाईं ओर ले जाते हैं। इस प्रकार, हम पाते हैं

28 2,3 = 64,4.

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, आप हर के साथ एक दशमलव भिन्न लिख सकते हैं और सामान्य भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार कार्रवाई कर सकते हैं, अर्थात।

2) 12,27 0,021.

इस उदाहरण और पिछले उदाहरण के बीच अंतर यह है कि यहां दोनों कारकों को दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया गया है। लेकिन यहां, गुणन की प्रक्रिया में, हम अल्पविराम पर ध्यान नहीं देंगे, यानी हम अस्थायी रूप से गुणक को 100 गुना और गुणक को 1,000 गुना बढ़ा देंगे, जिससे उत्पाद 100,000 गुना बढ़ जाएगा। इस प्रकार, 1,227 को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

1 227 21 = 25 767.

यह मानते हुए कि परिणामी उत्पाद वास्तविक उत्पाद से 100,000 गुना बड़ा है, अब हमें इसमें उचित रूप से अल्पविराम लगाकर इसे 100,000 गुना कम करना होगा, फिर हमें मिलेगा:

32,27 0,021 = 0,25767.

की जाँच करें:

इस प्रकार, दो दशमलव अंशों को गुणा करने के लिए, अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना, उन्हें पूर्ण संख्याओं के रूप में गुणा करना और गुणनफल में दाहिनी ओर अल्पविराम के साथ उतने ही दशमलव स्थानों को अलग करना पर्याप्त है जितना कि गुणक में थे और गुणक में एक साथ.

अंतिम उदाहरण के परिणामस्वरूप पाँच दशमलव स्थानों वाला एक उत्पाद प्राप्त हुआ। यदि इतनी अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो दशमलव अंश को गोल कर दिया जाता है। पूर्णांकन करते समय, आपको उसी नियम का उपयोग करना चाहिए जो पूर्णांकों के लिए इंगित किया गया था।

§ 110. तालिकाओं का उपयोग करके गुणन।

दशमलव को गुणा करना कभी-कभी तालिकाओं का उपयोग करके किया जा सकता है। इस प्रयोजन के लिए, उदाहरण के लिए, आप दो अंकों की संख्याओं के लिए उन गुणन तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं, जिनका विवरण पहले दिया गया था।

1) 53 को 1.5 से गुणा करें।

हम 53 को 15 से गुणा करेंगे। तालिका में, यह गुणनफल 795 के बराबर है। हमने गुणनफल 53 को 15 से पाया, लेकिन हमारा दूसरा कारक 10 गुना छोटा था, जिसका अर्थ है कि गुणनफल 10 गुना कम होना चाहिए, यानी।

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 को 4.7 से गुणा करें।

सबसे पहले, हम तालिका में 53 गुणा 47 का गुणनफल पाते हैं, यह 2,491 होगा। लेकिन चूंकि हमने गुणक और गुणक को कुल मिलाकर 100 गुना बढ़ा दिया है, परिणामी उत्पाद जितना होना चाहिए उससे 100 गुना बड़ा है; इसलिए हमें इस उत्पाद को 100 गुना कम करना होगा:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 को 7.4 से गुणा करें।

सबसे पहले, हम तालिका में गुणनफल 53 बटा 74 पाते हैं; यह 3,922 होगा। लेकिन चूँकि हमने गुणक को 100 गुना और गुणक को 10 गुना बढ़ा दिया, तो उत्पाद 1,000 गुना बढ़ गया; इसलिए अब हमें इसे 1,000 गुना कम करना होगा:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. दशमलव भिन्नों का विभाजन।

हम दशमलव भिन्नों को इस क्रम में विभाजित करने पर विचार करेंगे:

1. दशमलव भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करना,

1. दशमलव अंश को पूर्ण संख्या से विभाजित करें।

1) 2.46 को 2 से विभाजित करें।

हमने पहले पूर्ण को 2 से विभाजित किया, फिर दसवें और अंत में सौवें से।

2) 32.46 को 3 से विभाजित करें।

32,46: 3 = 10,82.

हमने 3 दहाई को 3 से विभाजित किया, फिर 2 इकाई को 3 से विभाजित करना शुरू किया; चूँकि लाभांश (2) की इकाइयों की संख्या भाजक (3) से कम है, हमें भागफल में 0 लगाना पड़ा; इसके अलावा, शेषफल के लिए हमने 4 दसवां हिस्सा लिया और 24 दसवां हिस्सा 3 से विभाजित किया; भागफल में 8 दसवाँ भाग प्राप्त किया और अंत में 6 सौवाँ भाग विभाजित किया।

3) 1.2345 को 5 से विभाजित करें।

1,2345: 5 = 0,2469.

यहां भागफल में पहला स्थान शून्य पूर्णांक है, क्योंकि एक पूर्णांक 5 से विभाज्य नहीं है।

4) 13.58 को 4 से विभाजित करें।

इस उदाहरण की ख़ासियत यह है कि जब हमें भागफल में 9 सौवां भाग प्राप्त हुआ, तो हमें 2 सौवें के बराबर शेषफल मिला, हमने इस शेषफल को हजारवें में विभाजित किया, 20 हजारवां प्राप्त किया और विभाजन पूरा किया।

नियम।दशमलव अंश को पूर्णांक से विभाजित करना पूर्णांक को विभाजित करने के समान ही किया जाता है, और परिणामी अवशेषों को छोटे और छोटे दशमलव अंशों में परिवर्तित किया जाता है; विभाजन तब तक जारी रहता है जब तक शेषफल शून्य न हो जाए।

2. दशमलव को दशमलव से विभाजित करें।

1) 2.46 को 0.2 से विभाजित करें।

हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव भिन्न को पूर्ण संख्या से कैसे विभाजित किया जाता है। आइए सोचें, क्या विभाजन के इस नए मामले को पिछले मामले से कम करना संभव है? एक समय में, हमने भागफल की उल्लेखनीय संपत्ति पर विचार किया था, जिसमें यह तथ्य शामिल था कि जब लाभांश और भाजक एक साथ समान संख्या में बढ़ते या घटते हैं तो यह अपरिवर्तित रहता है। यदि भाजक एक पूर्णांक होता तो हम हमें दी गई संख्याओं को आसानी से विभाजित कर सकते थे। ऐसा करने के लिए, इसे 10 गुना बढ़ाना पर्याप्त है, और सही भागफल प्राप्त करने के लिए, लाभांश को उसी राशि से, यानी 10 गुना बढ़ाना आवश्यक है। फिर इन संख्याओं के विभाजन को निम्नलिखित संख्याओं के विभाजन से प्रतिस्थापित किया जाएगा:

इसके अलावा अब ब्यौरे में कोई संशोधन करने की जरूरत नहीं होगी.

आइए यह विभाजन करें:

तो 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1.25 को 1.6 से विभाजित करें।

हम भाजक (1.6) को 10 गुना बढ़ाते हैं; ताकि भागफल न बदले, हम लाभांश को 10 गुना बढ़ा देते हैं; 12 पूर्णांक 16 से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए हम भागफल में 0 लिखते हैं और 125 दहाई को 16 से विभाजित करते हैं, हमें भागफल में 7 दहाई और शेष 13 मिलता है। हम 13 दहाई को शून्य निर्दिष्ट करके सौवें में विभाजित करते हैं और 130 सौवें को 16 से विभाजित करते हैं, आदि। कृपया निम्नलिखित पर ध्यान दें:

a) जब किसी विशेष में कोई पूर्णांक नहीं होते हैं, तो उनके स्थान पर शून्य पूर्णांक लिखे जाते हैं;

ख) जब लाभांश के अंक को शेषफल में जोड़ने पर एक ऐसी संख्या प्राप्त होती है जो भाजक से विभाज्य नहीं होती, तो भागफल में शून्य लिखा जाता है;

ग) जब लाभांश का अंतिम अंक हटाने के बाद भी विभाजन समाप्त नहीं होता है, तो शेष में शून्य जोड़ने पर विभाजन जारी रहता है;

घ) यदि लाभांश एक पूर्णांक है, तो इसे दशमलव अंश से विभाजित करने पर इसमें शून्य जोड़कर इसे बढ़ाया जाता है।

इस प्रकार, किसी संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक में अल्पविराम को हटाना होगा, और फिर लाभांश को उतनी गुना बढ़ाना होगा जितना कि इसमें अल्पविराम को हटाने पर भाजक बढ़ गया है, और फिर नियम के अनुसार विभाजन करें दशमलव अंश को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए।

§ 112. अनुमानित भागफल.

पिछले पैराग्राफ में, हमने दशमलव भिन्नों के विभाजन को देखा, और हमने जितने भी उदाहरण हल किए उनमें विभाजन पूरा हो गया था, यानी, एक सटीक भागफल प्राप्त हुआ था। हालाँकि, अधिकांश मामलों में, एक सटीक भागफल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, चाहे हम विभाजन को कितनी भी दूर तक जारी रखें। यहां ऐसा ही एक मामला है: 53 को 101 से विभाजित करें।

हमें भागफल में पाँच अंक पहले ही प्राप्त हो चुके हैं, लेकिन विभाजन अभी तक समाप्त नहीं हुआ है और ऐसी कोई उम्मीद नहीं है कि यह कभी भी समाप्त होगा, क्योंकि शेष में हमें वे संख्याएँ मिलनी शुरू हो जाती हैं जो पहले ही सामने आ चुकी हैं। भागफल में संख्याओं की भी पुनरावृत्ति होगी: यह स्पष्ट है कि संख्या 7 के बाद संख्या 5 आएगी, फिर 2, आदि अनंत काल तक। ऐसे मामलों में, विभाजन बाधित हो जाता है और भागफल के पहले कुछ अंकों तक सीमित हो जाता है। इस भागफल को कहा जाता है करीबी लोग.हम उदाहरणों के साथ दिखाएंगे कि विभाजन कैसे किया जाता है।

मान लीजिए कि 25 को 3 से विभाजित करना आवश्यक है। जाहिर है, पूर्णांक या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त एक सटीक भागफल, ऐसे विभाजन से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, हम एक अनुमानित भागफल की तलाश करेंगे:

25: 3 = 8 और शेषफल 1

अनुमानित भागफल 8 है; निःसंदेह, यह सटीक भागफल से कम है, क्योंकि शेषफल 1 है। सटीक भागफल प्राप्त करने के लिए, आपको उस अंश को जोड़ना होगा जो 1 के बराबर शेषफल को 3 से विभाजित करके प्राप्त अनुमानित भागफल में जोड़ना होगा, अर्थात। , से 8 तक; यह अंश 1/3 होगा. इसका मतलब यह है कि सटीक भागफल को मिश्रित संख्या 8 1/3 के रूप में व्यक्त किया जाएगा। चूँकि 1/3 एक उचित भिन्न है, अर्थात भिन्न, एक से भी कम, फिर, इसे त्यागकर, हम अनुमति देंगे गलती, कौन एक से भी कम. भागफल 8 होगा एक नुकसान के साथ एकता तक अनुमानित भागफल।यदि हम भागफल में 8 के स्थान पर 9 लेते हैं, तो हम एक से कम की त्रुटि भी करेंगे, क्योंकि हम पूरी इकाई नहीं, बल्कि 2/3 जोड़ेंगे। ऐसी निजी इच्छा अतिरिक्त के साथ एक के भीतर अनुमानित भागफल।

चलिए अब एक और उदाहरण लेते हैं. मान लीजिए कि हमें 27 को 8 से विभाजित करने की आवश्यकता है। चूँकि यहां हमें पूर्णांक के रूप में व्यक्त कोई सटीक भागफल नहीं मिलेगा, इसलिए हम एक अनुमानित भागफल की तलाश करेंगे:

27: 8 = 3 और शेषफल 3.

यहां त्रुटि 3/8 के बराबर है, यह एक से कम है, जिसका अर्थ है कि अनुमानित भागफल (3) एक नुकसान के साथ सटीक पाया गया था। आइए विभाजन जारी रखें: शेष 3 को दसवें में विभाजित करें, हमें 30 दसवां हिस्सा मिलता है; उन्हें 8 से विभाजित करें.

हमें भागफल में दशमांश के स्थान पर 3 और शेषफल में 6 दशमांश प्राप्त हुआ। यदि हम स्वयं को संख्या 3.3 तक सीमित रखें और शेष 6 को छोड़ दें, तो हम दसवें से कम की त्रुटि की अनुमति देंगे। क्यों? क्योंकि सटीक भागफल तब प्राप्त होगा जब हम 6 दहाई को 8 से विभाजित करने के परिणाम को 3.3 में जोड़ेंगे; इस विभाजन से 6/80 प्राप्त होगा, जो कि दसवें भाग से भी कम है। (जांचें!) इस प्रकार, यदि भागफल में हम स्वयं को दहाई तक सीमित रखते हैं, तो हम कह सकते हैं कि हमने भागफल ज्ञात कर लिया है दसवें हिस्से तक सटीक(एक नुकसान के साथ).

आइए दूसरा दशमलव स्थान खोजने के लिए विभाजन जारी रखें। ऐसा करने के लिए, हम 6 दसवें को सौवें में विभाजित करते हैं और 60 सौवां भाग प्राप्त करते हैं; उन्हें 8 से विभाजित करें.

तीसरे स्थान पर भागफल में यह 7 और शेष 4 सौवां निकला; यदि हम उन्हें त्याग देते हैं, तो हम एक सौवें से कम की त्रुटि की अनुमति देंगे, क्योंकि 4 सौवें को 8 से विभाजित करने पर एक सौवें से कम होता है। ऐसे में वे कहते हैं कि भागफल मिल गया है एक सौवें तक सटीक(एक नुकसान के साथ).

अब हम जिस उदाहरण को देख रहे हैं, उसमें हम सटीक भागफल को दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, अंतिम शेषफल, 4 सौवें को हज़ारवें भाग में विभाजित करना और 8 से विभाजित करना पर्याप्त है।

हालाँकि, अधिकांश मामलों में सटीक भागफल प्राप्त करना असंभव है और व्यक्ति को स्वयं को इसके अनुमानित मानों तक ही सीमित रखना पड़ता है। अब हम इस उदाहरण को देखेंगे:

40: 7 = 5,71428571...

संख्या के अंत में लगाए गए बिंदु दर्शाते हैं कि विभाजन पूरा नहीं हुआ है, यानी समानता अनुमानित है। आमतौर पर अनुमानित समानता इस प्रकार लिखी जाती है:

40: 7 = 5,71428571.

हमने भागफल को आठ दशमलव स्थानों के साथ लिया। लेकिन अगर इतनी बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो आप स्वयं को भागफल के केवल पूरे भाग तक ही सीमित कर सकते हैं, यानी संख्या 5 (अधिक सटीक रूप से 6); अधिक सटीकता के लिए, दसवें को ध्यान में रखा जा सकता है और भागफल को 5.7 के बराबर लिया जा सकता है; यदि किसी कारण से यह सटीकता अपर्याप्त है, तो आप सौवें पर रुक सकते हैं और 5.71 आदि ले सकते हैं। आइए अलग-अलग भागफल लिखें और उन्हें नाम दें।

पहला अनुमानित भागफल एक 6 तक सटीक है।

दूसरा » » » से दसवां भाग 5.7.

तीसरा » » » से एक सौवां 5.71.

चौथा » » » से एक हजारवां 5.714.

इस प्रकार, कुछ के लिए सटीक अनुमानित भागफल खोजने के लिए, उदाहरण के लिए, तीसरे दशमलव स्थान (यानी, एक हजारवें स्थान तक), जैसे ही यह संकेत मिलता है, विभाजन रोक दें। इस मामले में, आपको धारा 40 में निर्धारित नियम को याद रखना होगा।

§ 113. प्रतिशत से संबंधित सबसे सरल समस्याएँ।

दशमलव के बारे में जानने के बाद, हम कुछ और प्रतिशत प्रश्न हल करेंगे।

ये समस्याएँ वैसी ही हैं जिन्हें हमने भिन्न विभाग में हल किया था; लेकिन अब हम सौवें भाग को दशमलव भिन्नों के रूप में लिखेंगे, अर्थात् स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट हर के बिना।

सबसे पहले, आपको 100 के हर के साथ एक साधारण भिन्न से दशमलव तक आसानी से जाने में सक्षम होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा:

नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि कैसे % (प्रतिशत) चिन्ह वाली संख्या को 100 के हर वाले दशमलव अंश से बदल दिया जाता है:

आइए अब कई समस्याओं पर विचार करें।

1. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।एक गाँव में केवल 1,600 लोग रहते हैं। स्कूल जाने योग्य बच्चों की संख्या कुल जनसंख्या का 25% है। इस गाँव में स्कूल जाने योग्य कितने बच्चे हैं?

इस समस्या में आपको 1,600 में से 25%, या 0.25, ज्ञात करना होगा। समस्या को गुणा करके हल किया जाता है:

1,600 0.25 = 400 (बच्चे)।

इसलिए, 1,600 का 25% 400 है।

इस कार्य को स्पष्ट रूप से समझने के लिए, यह याद रखना उपयोगी है कि प्रत्येक सौ आबादी पर 25 स्कूली बच्चे हैं। इसलिए, सभी स्कूली बच्चों की संख्या जानने के लिए, आप पहले पता लगा सकते हैं कि संख्या 1,600 (16) में कितने सैकड़ों हैं, और फिर 25 को सैकड़ों की संख्या से गुणा करें (25 x 16 = 400)। इस तरह आप समाधान की वैधता की जांच कर सकते हैं।

कार्य 2.बचत बैंक जमाकर्ताओं को सालाना 2% रिटर्न प्रदान करते हैं। एक जमाकर्ता को एक वर्ष में कितनी आय प्राप्त होगी यदि वह नकदी रजिस्टर में डालता है: ए) 200 रूबल? बी) 500 रूबल? ग) 750 रूबल? घ) 1000 रूबल?

सभी चार मामलों में, समस्या को हल करने के लिए आपको संकेतित मात्राओं में से 0.02 की गणना करने की आवश्यकता होगी, यानी इनमें से प्रत्येक संख्या को 0.02 से गुणा करना होगा। चलो यह करते हैं:

ए) 200 0.02 = 4 (रगड़),

बी) 500 0.02 = 10 (रगड़),

ग) 750 0.02 = 15 (रगड़),

घ) 1,000 0.02 = 20 (रगड़)।

इनमें से प्रत्येक मामले को निम्नलिखित विचारों से सत्यापित किया जा सकता है। बचत बैंक निवेशकों को बचत में जमा राशि का 2% यानी 0.02 आय देते हैं। यदि राशि 100 रूबल थी, तो इसका 0.02 2 रूबल होगा। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सौ निवेशक को 2 रूबल लाता है। आय। इसलिए, विचार किए गए प्रत्येक मामले में, यह पता लगाना पर्याप्त है कि किसी दिए गए संख्या में कितने सैकड़ों हैं, और सैकड़ों की इस संख्या से 2 रूबल गुणा करें। उदाहरण के तौर पर a) 2 सैकड़े हैं, जिसका अर्थ है

2 2 = 4 (रगड़).

उदाहरणार्थ घ) 10 सैकड़े हैं, जिसका अर्थ है

2 10 = 20 (रगड़)।

2. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल ने वसंत ऋतु में 54 छात्रों को स्नातक किया, जो इसके कुल नामांकन का 6% है। पिछले शैक्षणिक वर्ष में स्कूल में कितने छात्र थे?

आइए पहले इस कार्य का अर्थ स्पष्ट करें। स्कूल ने 54 छात्रों को स्नातक किया, जो छात्रों की कुल संख्या का 6% है, या दूसरे शब्दों में, स्कूल के सभी छात्रों का 6 सौवां हिस्सा (0.06) है। इसका मतलब यह है कि हम संख्या (54) और अंश (0.06) द्वारा व्यक्त छात्रों के भाग को जानते हैं, और इस अंश से हमें पूरी संख्या ज्ञात करनी होगी। इस प्रकार, हमारे सामने उसके भिन्न से एक संख्या ज्ञात करने का एक सामान्य कार्य है (§90, पैराग्राफ 6)। इस प्रकार की समस्याओं का समाधान विभाजन द्वारा किया जाता है:

इसका मतलब यह है कि स्कूल में केवल 900 छात्र थे।

उलटी समस्या को हल करके ऐसी समस्याओं की जांच करना उपयोगी है, यानी समस्या को हल करने के बाद, आपको कम से कम अपने दिमाग में, पहले प्रकार की समस्या को हल करना चाहिए (किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना): पाया गया नंबर लें ( 900) जैसा दिया गया है और हल की गई समस्या में दर्शाया गया इसका प्रतिशत ज्ञात कीजिए, अर्थात्:

900 0,06 = 54.

कार्य 2.परिवार महीने के दौरान भोजन पर 780 रूबल खर्च करता है, जो पिता की मासिक कमाई का 65% है। उसकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का वही अर्थ है जो पिछले कार्य का है। यह मासिक कमाई का एक हिस्सा देता है, जिसे रूबल (780 रूबल) में व्यक्त किया जाता है, और इंगित करता है कि यह हिस्सा कुल कमाई का 65% या 0.65 है। और आप जो खोज रहे हैं वह सारी कमाई है:

780: 0,65 = 1 200.

इसलिए, आवश्यक आय 1200 रूबल है।

3. संख्याओं का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल की लाइब्रेरी में केवल 6,000 किताबें हैं। इनमें गणित पर 1,200 किताबें हैं। पुस्तकालय में गणित की पुस्तकों की कुल संख्या कितने प्रतिशत है?

हम पहले ही इस प्रकार की (§97) समस्याओं पर विचार कर चुके हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि दो संख्याओं के प्रतिशत की गणना करने के लिए, आपको इन संख्याओं का अनुपात ज्ञात करना होगा और इसे 100 से गुणा करना होगा।

हमारी समस्या में हमें संख्या 1,200 और 6,000 का प्रतिशत अनुपात ज्ञात करना होगा।

आइए पहले उनका अनुपात ज्ञात करें, और फिर इसे 100 से गुणा करें:

इस प्रकार, संख्या 1,200 और 6,000 का प्रतिशत 20 है। दूसरे शब्दों में, गणित की किताबें सभी किताबों की कुल संख्या का 20% बनाती हैं।

जाँच करने के लिए, आइए व्युत्क्रम समस्या को हल करें: 6,000 का 20% ज्ञात करें:

6 000 0,2 = 1 200.

कार्य 2.प्लांट को 200 टन कोयला मिलना चाहिए. 80 टन पहले ही वितरित किया जा चुका है। संयंत्र को कितना प्रतिशत कोयला वितरित किया गया है?

यह समस्या पूछती है कि एक संख्या (80) दूसरी (200) से कितना प्रतिशत है। इन संख्याओं का अनुपात 80/200 होगा. आइए इसे 100 से गुणा करें:

इसका मतलब है कि 40% कोयले की डिलीवरी हो चुकी है।

इस लेख में हम दशमलव के साथ विभाजन जैसी महत्वपूर्ण संक्रिया को देखेंगे। सबसे पहले, हम सामान्य सिद्धांत तैयार करेंगे, फिर हम विश्लेषण करेंगे कि एक कॉलम में दशमलव अंशों को अन्य अंशों और प्राकृतिक संख्याओं दोनों द्वारा सही ढंग से कैसे विभाजित किया जाए। इसके बाद, हम साधारण भिन्नों को दशमलवों में विभाजित करने का विश्लेषण करेंगे और इसके विपरीत, और अंत में हम देखेंगे कि 0, 1, 0, 01, 100, 10, आदि में समाप्त होने वाले भिन्नों को सही ढंग से कैसे विभाजित किया जाए।

यहां हम केवल धनात्मक भिन्न वाले मामले लेंगे। यदि भिन्न के सामने ऋण है, तो इसके साथ काम करने के लिए आपको परिमेय और वास्तविक संख्याओं को विभाजित करने के बारे में सामग्री का अध्ययन करने की आवश्यकता है।

Yandex.RTB R-A-339285-1

सभी दशमलव भिन्न, परिमित और आवधिक दोनों, साधारण भिन्न लिखने का एक विशेष रूप हैं। नतीजतन, वे अपने संबंधित सामान्य भिन्नों के समान सिद्धांतों के अधीन हैं। इस प्रकार, हम दशमलव अंशों को विभाजित करने की पूरी प्रक्रिया को कम करके उन्हें सामान्य अंशों से बदल देते हैं, इसके बाद हमें पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करके गणना करते हैं। आइए एक विशिष्ट उदाहरण लें.

उदाहरण 1

1.2 को 0.48 से विभाजित करें।

समाधान

आइए दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखें। हमें मिल जाएगा:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

इस प्रकार, हमें 6 5 को 12 25 से विभाजित करने की आवश्यकता है। हम गिनते है:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

परिणामी अनुचित भिन्न से, आप संपूर्ण भाग का चयन कर सकते हैं और मिश्रित संख्या 2 1 2 प्राप्त कर सकते हैं, या आप इसे दशमलव भिन्न के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं ताकि यह मूल संख्याओं से मेल खाए: 5 2 = 2, 5। यह कैसे करना है इसके बारे में हम पहले ही लिख चुके हैं।

उत्तर: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

उदाहरण 2

गणना करें कि 0 , (504) 0 , 56 कितना होगा।

समाधान

सबसे पहले, हमें एक आवधिक दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न में बदलने की आवश्यकता है।

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

इसके बाद हम अंतिम दशमलव अंश को भी दूसरे रूप में बदल देंगे: 0, 56 = 56,100. अब हमारे पास दो संख्याएँ हैं जिनसे हमारे लिए आवश्यक गणनाएँ करना आसान हो जाएगा:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

हमारे पास यह परिणाम है कि हम इसे दशमलव रूप में भी परिवर्तित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, कॉलम विधि का उपयोग करके अंश को हर से विभाजित करें:

उत्तर: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

यदि विभाजन के उदाहरण में हमें गैर-आवधिक दशमलव अंशों का सामना करना पड़ा, तो हम थोड़ा अलग तरीके से कार्य करेंगे। हम उन्हें सामान्य साधारण भिन्नों में नहीं घटा सकते, इसलिए विभाजित करते समय हमें पहले उन्हें एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित करना होगा। यह क्रिया लाभांश और भाजक दोनों के साथ की जानी चाहिए: हम सटीकता के हित में मौजूदा परिमित या आवधिक अंश को भी पूर्णांकित करेंगे।

उदाहरण 3

ज्ञात कीजिए कि 0.779.../1.5602 कितना है।

समाधान

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों को निकटतम सौवें भाग तक पूर्णांकित करते हैं। इस प्रकार हम अनंत गैर-आवधिक भिन्नों से परिमित दशमलव अंशों की ओर बढ़ते हैं:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

हम गणना जारी रख सकते हैं और अनुमानित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78,100: 156,100 = 78,100 100,156 = 78,156 = 1 2 = 0, 5।

परिणाम की सटीकता पूर्णांकन की डिग्री पर निर्भर करेगी।

उत्तर: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव से कैसे विभाजित करें और इसके विपरीत

इस मामले में विभाजन का दृष्टिकोण लगभग समान है: हम परिमित और आवधिक भिन्नों को सामान्य भिन्नों से प्रतिस्थापित करते हैं, और अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को पूर्णांकित करते हैं। आइए एक प्राकृतिक संख्या और दशमलव अंश के साथ विभाजन के उदाहरण से शुरुआत करें।

उदाहरण 4

2.5 को 45 से विभाजित करें.

समाधान

आइए 2, 5 को घटाकर एक साधारण भिन्न बनाएं: 255 10 = 51 2। इसके बाद हमें बस इसे एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा। हम पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

यदि हम परिणाम को दशमलव अंकन में परिवर्तित करते हैं, तो हमें 0.5 (6) मिलता है।

उत्तर: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

लंबी विभाजन विधि न केवल प्राकृतिक संख्याओं के लिए अच्छी है। सादृश्य से, हम इसका उपयोग भिन्नों के लिए कर सकते हैं। नीचे हम उन कार्रवाइयों का क्रम दर्शाते हैं जिन्हें इसके लिए किए जाने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1

दशमलव भिन्नों के एक स्तंभ को प्राकृतिक संख्याओं से विभाजित करने के लिए आपको चाहिए:

1. दाहिनी ओर दशमलव अंश में कुछ शून्य जोड़ें (विभाजन के लिए हम उनमें से कोई भी संख्या जोड़ सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता हो)।

2. एक एल्गोरिदम का उपयोग करके दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें। जब भिन्न के पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाता है, तो हम परिणामी भागफल में अल्पविराम लगाते हैं और आगे की गिनती करते हैं।

ऐसे विभाजन का परिणाम या तो एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश हो सकता है। यह शेषफल पर निर्भर करता है: यदि यह शून्य है, तो परिणाम परिमित होगा, और यदि शेष की पुनरावृत्ति होने लगे, तो उत्तर एक आवधिक भिन्न होगा।

आइए कई समस्याओं को एक उदाहरण के रूप में लें और इन चरणों को विशिष्ट संख्याओं के साथ निष्पादित करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5

गणना कीजिए कि 65, 14 4 कितना होगा।

समाधान

हम कॉलम विधि का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, भिन्न में दो शून्य जोड़ें और दशमलव भिन्न 65, 1400 प्राप्त करें, जो मूल अंश के बराबर होगा। अब हम 4 से विभाजित करने के लिए एक कॉलम लिखते हैं:

परिणामी संख्या वह परिणाम होगी जो हमें पूर्णांक भाग को विभाजित करने से चाहिए। हम इसे अलग करते हुए अल्पविराम लगाते हैं और जारी रखते हैं:

हम शून्य शेष पर पहुंच गए हैं, इसलिए विभाजन प्रक्रिया पूरी हो गई है।

उत्तर: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

उदाहरण 6

164.5 को 27 से विभाजित करें।

समाधान

हम पहले भिन्नात्मक भाग को विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

परिणामी संख्या को अल्पविराम से अलग करें और विभाजित करना जारी रखें:

हम देखते हैं कि शेषफलों की समय-समय पर पुनरावृत्ति होने लगी और भागफल में संख्याएँ नौ, दो और पाँच बारी-बारी से आने लगीं। हम यहीं रुकेंगे और उत्तर को आवर्त भिन्न 6, 0 (925) के रूप में लिखेंगे।

उत्तर: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

इस विभाजन को दशमलव अंश और प्राकृतिक संख्या के भागफल को खोजने की प्रक्रिया तक कम किया जा सकता है, जो पहले से ही ऊपर वर्णित है। ऐसा करने के लिए, हमें लाभांश और भाजक को 10, 100, आदि से गुणा करना होगा ताकि भाजक एक प्राकृतिक संख्या में बदल जाए। आगे हम ऊपर वर्णित क्रियाओं का क्रम अपनाते हैं। यह दृष्टिकोण विभाजन और गुणन के गुणों के कारण संभव है। हमने उन्हें इस प्रकार लिखा:

ए: बी = (ए · 10) : (बी · 10) , ए: बी = (ए · 100) : (बी · 100) इत्यादि।

आइए एक नियम बनाएं:

परिभाषा 2

एक अंतिम दशमलव भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए:

1. भाजक को प्राकृतिक संख्या में बदलने के लिए आवश्यक अंकों की संख्या से लाभांश और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाएं। यदि लाभांश में पर्याप्त चिह्न नहीं हैं, तो हम उसमें दाहिनी ओर शून्य जोड़ देते हैं।

2. इसके बाद भिन्न को परिणामी प्राकृतिक संख्या से एक कॉलम में विभाजित कर दें।

आइए एक विशिष्ट समस्या पर नजर डालें।

उदाहरण 7

7.287 को 2.1 से विभाजित करें।

समाधान: भाजक को एक प्राकृतिक संख्या बनाने के लिए, हमें दशमलव स्थान को एक स्थान दाईं ओर ले जाना होगा। इसलिए हम दशमलव भिन्न 72, 87 को 21 से विभाजित करने के लिए आगे बढ़े। आइए परिणामी संख्याओं को एक कॉलम में लिखें और गणना करें

उत्तर: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

उदाहरण 8

16.30.021 की गणना करें।

समाधान

हमें अल्पविराम को तीन स्थानों पर स्थानांतरित करना होगा। इसके लिए भाजक में पर्याप्त अंक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि आपको अतिरिक्त शून्य का उपयोग करने की आवश्यकता है। हमें लगता है कि परिणाम होगा:

हम अवशेष 4, 19, 1, 10, 16, 13 की आवधिक पुनरावृत्ति देखते हैं। भागफल में 1, 9, 0, 4, 7 और 5 की पुनरावृत्ति होती है। तब हमारा परिणाम आवर्त दशमलव भिन्न 776, (190476) है।

उत्तर: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

हमारे द्वारा बताई गई विधि आपको इसके विपरीत करने की अनुमति देती है, अर्थात किसी प्राकृतिक संख्या को अंतिम दशमलव अंश से विभाजित करना। आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 9

गणना करें कि 3 5, 4 कितना है।

समाधान

जाहिर है, हमें अल्पविराम को सही जगह पर ले जाना होगा। इसके बाद हम 30, 0 को 54 से विभाजित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। आइए डेटा को एक कॉलम में लिखें और परिणाम की गणना करें:

शेषफल को दोहराने से हमें अंतिम संख्या 0, (5) प्राप्त होती है, जो एक आवधिक दशमलव भिन्न है।

उत्तर: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

दशमलव को 1000, 100, 10 आदि से कैसे विभाजित करें।

सामान्य भिन्नों को विभाजित करने के लिए पहले से ही अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार, एक भिन्न को दसियों, सैकड़ों, हजारों से विभाजित करना इसे 1/1000, 1/100, 1/10, आदि से गुणा करने के समान है। यह पता चलता है कि विभाजन करने के लिए, में इस मामले में दशमलव बिंदु को संख्याओं की आवश्यक संख्या तक ले जाना ही पर्याप्त है यदि स्थानांतरित करने के लिए संख्या में पर्याप्त मान नहीं हैं, तो आपको आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ना होगा।

उदाहरण 10

तो, 56, 21: 10 = 5, 621, और 0, 32: 100,000 = 0, 0000032।

अनंत दशमलव भिन्नों के मामले में, हम ऐसा ही करते हैं।

उदाहरण 11

उदाहरण के लिए, 3, (56): 1,000 = 0, 003 (56) और 593, 374...: 100 = 5, 93374....

दशमलव को 0.001, 0.01, 0.1 आदि से कैसे विभाजित करें।

उसी नियम का उपयोग करके, हम भिन्नों को भी संकेतित मानों में विभाजित कर सकते हैं। यह क्रिया क्रमशः 1000, 100, 10 से गुणा करने के समान होगी। ऐसा करने के लिए, हम समस्या की स्थितियों के आधार पर अल्पविराम को एक, दो या तीन अंकों में ले जाते हैं, और यदि संख्या में पर्याप्त अंक नहीं हैं तो शून्य जोड़ देते हैं।

उदाहरण 12

उदाहरण के लिए, 5.739: 0.1 = 57.39 और 0.21: 0.00001 = 21,000।

यह नियम अनंत दशमलव भिन्नों पर भी लागू होता है। हम आपको केवल यह सलाह देते हैं कि उत्तर में आने वाले भिन्न की अवधि को लेकर सावधान रहें।

तो, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) क्योंकि दशमलव अंश 7, 5716716716... में अल्पविराम को दो स्थान दाईं ओर ले जाने के बाद, हमें 757, 167167... मिला।

यदि उदाहरण में हमारे पास गैर-आवधिक भिन्न हैं, तो सब कुछ सरल है: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....

किसी मिश्रित संख्या या भिन्न को दशमलव से कैसे विभाजित करें और इसके विपरीत

हम इस क्रिया को साधारण भिन्नों वाली संक्रियाओं तक भी सीमित कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव संख्याओं को संगत साधारण भिन्नों से बदलना होगा, और मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा।

यदि हम किसी गैर-आवधिक भिन्न को किसी साधारण या मिश्रित संख्या से विभाजित करते हैं, तो हमें इसके विपरीत करने की आवश्यकता है, साधारण भिन्न या मिश्रित संख्या को संबंधित दशमलव भिन्न से प्रतिस्थापित करना।

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दशमलव को गुणा और भाग कैसे करें?

1. चिंता मत करो और जल्दी मत करो.
2. 
   0,065 1000 = 0065 = 65;
   

   
   उदाहरण के लिए: 1.1 0.2 = 0.22
   उदाहरण के लिए: 22 0.1 = 2.2
   22: 10 = 2,2

3. यदि दशमलव भिन्न में अल्पविराम हो, तो 10, 100, 1000 से गुणा करने पर दशमलव बिंदु 1 2 या 3 अंकों से दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है 0.234*10=2.34 0.234*100=23.4
   यदि इसमें अल्पविराम नहीं है, तो पीछे 0 00 या 000 जोड़ा जाता है 23*10=230
   विभाजित करते समय, अल्पविराम को 1 2 या 3 अंकों द्वारा बाईं ओर ले जाया जाता है 234/100=2/34
4. 2
   आपको अभी भी संख्याओं को गुणा करना होगा, लेकिन आपको यह समझने की आवश्यकता है कि दशमलव बिंदु की स्थिति कैसे बदलती है। आप एक निश्चित नियम बना सकते हैं, लेकिन इसे समझने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में कैसे परिवर्तित किया जाता है और साधारण भिन्नों को कैसे गुणा किया जाता है।

   एक दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने के लिए, आपको इस संख्या को बिना दशमलव बिंदु के अंश में लिखना होगा, और हर में एक के रूप में एक संख्या और दशमलव भिन्न में अलग किए गए दशमलव स्थानों के बराबर संख्या में शून्य लिखना होगा (वह है, 10, 100, 1000, आदि संख्याओं के हर में। आगे)।

   उदाहरण के लिए, साधारण भिन्न के रूप में संख्या 1.238 को अंश में 12381000 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन अल्पविराम के बिना, और हर 1000 में एक और तीन शून्य होते हैं, क्योंकि 1.238 में अल्पविराम तीन अंकों को अलग करता है। .

   इस उदाहरण में भिन्न 5410, 710 और 2810 होंगे।

   इसी प्रकार, विपरीत दिशा में, यदि हर शून्य के साथ एक है: अंश में, अल्पविराम उतने स्थानों को अलग करता है जितने हर में शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए:

   537100=5,37
   आगे, हम साधारण भिन्नों को गुणा करने और विभाजित करने के मुद्दे पर विचार करेंगे। साधारण भिन्नों को गुणा करते समय, परिणाम का अंश गुणनखंडों के अंशों का गुणनफल होता है, और परिणाम का हर गुणनखंडों के हरों का गुणनफल होता है। उदाहरण के लिए:

   3752=3572=1514
   एक दशमलव भिन्न को दूसरे दशमलव अंश से विभाजित करने पर, विभाजित किया जाने वाला भिन्न उल्टा हो जाता है और पहले भिन्न को उससे गुणा कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए:

   3475=3457=1528
   अब आइए देखें कि दशमलव को कैसे गुणा किया जाता है। आइए दो भिन्न लें, उन्हें साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करें, उन्हें गुणा करें और उन्हें फिर से दशमलव के रूप में लिखें:

   5,40,7=5410710=547100=378100=3,78

5. 4.15*10 = 41.5 - एक 0 का अर्थ है कि दशमलव बिंदु के बाद 1 अंक होगा।
   साथ ही 3.12*1000=3120 - हम अल्पविराम हटाते हैं, क्योंकि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं
   बस इतना ही।
6. गुणा करते समय: अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें
   विभाजित करते समय: हम पहले भिन्न को वैसा ही छोड़ देते हैं और दूसरे को पलट देते हैं, और फिर गुणन नियम का पालन करते हैं
7. आप अल्पविराम के बिना संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं और फिर परिणामी परिणाम में आप उतने ही चिह्न अलग करते हैं (दाएं से बाएं) जितने दोनों कारकों में एक साथ चिह्न होते हैं
8. दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 आदि से गुणा करते समय, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने स्थानों तक ले जाना होगा, जितने गुणक में शून्य हों। उदाहरण के लिए:
   0,065 1000 = 0065 = 65;
   2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900.

   दो दशमलव भिन्नों को गुणा करना इस प्रकार किया जाता है: संख्याओं को अल्पविरामों को ध्यान में रखे बिना गुणा किया जाता है। उत्पाद में अल्पविराम इस प्रकार लगाया जाता है कि दाएँ से उतने ही वर्णों को अलग किया जा सके जितने दोनों कारकों को मिलाकर अलग किए जाते हैं।
   उदाहरण के लिए: 1.1 0.2 = 0.22
   किसी भी संख्या को 0.1 से गुणा करने के बजाय; 0.01; 0.001, आप इस संख्या को 10 से विभाजित कर सकते हैं; 100; या क्रमशः 1000.
   उदाहरण के लिए: 22 0.1 = 2.2
   22: 10 = 2,2

9. आपने मुझे नहीं देखा, मैं सिर्फ अंक प्राप्त कर रहा हूं)
10. दशमलव अंशों को गुणा करना उसी तरह से किया जाता है जैसे प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करना, समान नियमों के अनुसार, लेकिन उत्पाद में भिन्नात्मक भाग में कारकों के अंकों के योग के अनुसार एक अल्पविराम लगाया जाता है, दाएं से बाएं तक गिनती ( गुणनखंडों के अंकों का योग गुणनखंडों के दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या है)।

    भिन्नों को विभाजित करते समय, दशमलव विभाजक उतने अंकों से बढ़ जाता है जितने भिन्नात्मक भाग में अंक होते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंश नहीं बदलता है, लाभांश को अंकों की समान संख्या से बढ़ाया जाता है (लाभांश और भाजक में, अल्पविराम को अंकों की समान संख्या में ले जाया जाता है)। विभाजन के उस चरण में भागफल में अल्पविराम लगाया जाता है जब भिन्न का पूरा भाग विभाजित हो जाता है।

पिछले पाठ में, हमने दशमलव को जोड़ना और घटाना सीखा (देखें पाठ "दशमलव को जोड़ना और घटाना")। उसी समय, हमने मूल्यांकन किया कि सामान्य "दो-कहानी" अंशों की तुलना में गणना कितनी सरल है।

दुर्भाग्य से, यह प्रभाव दशमलव को गुणा करने और विभाजित करने पर नहीं होता है। कुछ मामलों में, दशमलव अंकन इन परिचालनों को और भी जटिल बना देता है।

सबसे पहले, आइए एक नई परिभाषा प्रस्तुत करें। हम उसे अक्सर देखेंगे, न कि केवल इस पाठ में।

किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग पहले और अंतिम गैर-शून्य अंक के बीच का सब कुछ है, जिसमें अंत भी शामिल है। हम केवल संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, दशमलव बिंदु पर ध्यान नहीं दिया जाता है।

किसी संख्या के सार्थक भाग में सम्मिलित अंक सार्थक अंक कहलाते हैं। उन्हें दोहराया जा सकता है और शून्य के बराबर भी किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, कई दशमलव अंशों पर विचार करें और संबंधित महत्वपूर्ण भागों को लिखें:

1. 91.25 → 9125 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (केवल एक महत्वपूर्ण अंक है: 3)।

कृपया ध्यान दें: संख्या के महत्वपूर्ण भाग के अंदर का शून्य कहीं नहीं जाता है। हम पहले ही कुछ इसी तरह का सामना कर चुके हैं जब हमने दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलना सीखा था (पाठ "दशमलव" देखें)।

यह बिंदु इतना महत्वपूर्ण है, और यहां गलतियाँ इतनी बार की जाती हैं कि निकट भविष्य में मैं इस विषय पर एक परीक्षण प्रकाशित करूंगा। अभ्यास अवश्य करें! और हम, महत्वपूर्ण भाग की अवधारणा से लैस होकर, वास्तव में, पाठ के विषय पर आगे बढ़ेंगे।

दशमलव को गुणा करना

गुणन संक्रिया में तीन क्रमिक चरण होते हैं:

1. प्रत्येक भिन्न के लिए, महत्वपूर्ण भाग लिखिए। आपको दो साधारण पूर्णांक मिलेंगे - बिना किसी हर और दशमलव बिंदु के;
2. इन संख्याओं को किसी भी सुविधाजनक तरीके से गुणा करें। सीधे तौर पर, यदि संख्याएँ छोटी हैं, या किसी कॉलम में हैं। हमें वांछित भिन्न का महत्वपूर्ण भाग प्राप्त होता है;
3. पता लगाएं कि संबंधित महत्वपूर्ण भाग प्राप्त करने के लिए मूल भिन्नों में दशमलव बिंदु को कहां और कितने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है। पिछले चरण में प्राप्त महत्वपूर्ण भाग के लिए रिवर्स शिफ्ट निष्पादित करें।

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि महत्वपूर्ण भाग के किनारों पर शून्य को कभी भी ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस नियम की अनदेखी करने से त्रुटियां होती हैं।

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132.5 · 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 · 10,000.

हम पहली अभिव्यक्ति के साथ काम करते हैं: 0.28 · 12.5।

1. आइए इस अभिव्यक्ति से संख्याओं के महत्वपूर्ण भागों को लिखें: 28 और 125;
2. उनका उत्पाद: 28 · 125 = 3500;
3. पहले कारक में दशमलव बिंदु 2 अंक दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है (0.28 → 28), और दूसरे में यह 1 और अंक स्थानांतरित हो जाता है। कुल मिलाकर, आपको तीन अंकों द्वारा बाईं ओर बदलाव की आवश्यकता है: 3500 → 3,500 = 3.5।

अब आइए व्यंजक 6.3 · 1.08 को देखें।

1. आइए महत्वपूर्ण भागों को लिखें: 63 और 108;
2. उनका उत्पाद: 63 · 108 = 6804;
3. पुनः, दाईं ओर दो बदलाव: क्रमशः 2 और 1 अंक से। कुल - फिर से दाईं ओर 3 अंक, इसलिए विपरीत बदलाव बाईं ओर 3 अंक होगा: 6804 → 6.804। इस बार कोई पिछला शून्य नहीं है.

हम तीसरी अभिव्यक्ति पर पहुँचे: 132.5 · 0.0034।

1. महत्वपूर्ण भाग: 1325 और 34;
2. उनका उत्पाद: 1325 · 34 = 45,050;
3. पहले अंश में, दशमलव बिंदु 1 अंक से दाईं ओर चला जाता है, और दूसरे में - 4 से अधिक। कुल: दाईं ओर 5। हम 5 से बायीं ओर शिफ्ट होते हैं: 45,050 → .45050 = 0.4505। शून्य को अंत में हटा दिया गया, और सामने जोड़ दिया गया ताकि कोई "नग्न" दशमलव बिंदु न छूटे।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: 0.0108 · 1600.5.

1. हम महत्वपूर्ण भाग लिखते हैं: 108 और 16005;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. हम दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को गिनते हैं: पहली संख्या में 4 हैं, दूसरी में 1 हैं। कुल फिर 5 है। हमारे पास है: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854। अंत में, "अतिरिक्त" शून्य हटा दिया गया।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति: 5.25 10,000।

1. महत्वपूर्ण भाग: 525 और 1;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 525 · 1 = 525;
3. पहला अंश 2 अंकों में दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है, और दूसरा अंश 4 अंकों में बाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है (10,000 → 1.0000 = 1)। बाईं ओर कुल 4 − 2 = 2 अंक। हम दाईं ओर 2 अंकों का रिवर्स शिफ्ट करते हैं: 525, → 52,500 (हमें शून्य जोड़ना पड़ा)।

पिछले उदाहरण में ध्यान दें: चूँकि दशमलव बिंदु अलग-अलग दिशाओं में चलता है, कुल बदलाव अंतर के माध्यम से पाया जाता है। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! यहाँ एक और उदाहरण है:

संख्याओं 1.5 और 12,500 पर विचार करें। हमारे पास है: 1.5 → 15 (दाहिनी ओर 1 से बदलाव); 12,500 → 125 (बाईं ओर 2 शिफ्ट करें)। हम 1 अंक को दाईं ओर और फिर 2 को बाईं ओर "कदम" बढ़ाते हैं। परिणामस्वरूप, हमने बायीं ओर 2 − 1 = 1 अंक बढ़ाया।

दशमलव विभाजन

विभाजन शायद सबसे कठिन ऑपरेशन है। बेशक, यहां आप गुणन के अनुरूप कार्य कर सकते हैं: महत्वपूर्ण भागों को विभाजित करें, और फिर दशमलव बिंदु को "स्थानांतरित" करें। लेकिन इस मामले में कई बारीकियां हैं जो संभावित बचत को नकार देती हैं।

इसलिए, आइए एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम देखें, जो थोड़ा लंबा है, लेकिन अधिक विश्वसनीय है:

1. सभी दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें। थोड़े से अभ्यास के साथ, यह कदम आपको कुछ ही सेकंड में पूरा कर देगा;
2. परिणामी भिन्नों को शास्त्रीय तरीके से विभाजित करें। दूसरे शब्दों में, पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करें (पाठ देखें "संख्यात्मक भिन्नों को गुणा और विभाजित करना");
3. यदि संभव हो, तो परिणाम को दशमलव अंश के रूप में दोबारा प्रस्तुत करें। यह कदम भी त्वरित है, क्योंकि हर अक्सर पहले से ही दस की घात होता है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

आइए पहली अभिव्यक्ति पर विचार करें. सबसे पहले, आइए भिन्नों को दशमलव में बदलें:

आइए दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करें। पहले भिन्न के अंश को फिर से गुणनखंडित किया जाएगा:

तीसरे और चौथे उदाहरण में एक महत्वपूर्ण बिंदु है: दशमलव अंकन से छुटकारा पाने के बाद, कम करने योग्य अंश दिखाई देते हैं। हालाँकि, हम यह कटौती नहीं करेंगे.

अंतिम उदाहरण दिलचस्प है क्योंकि दूसरे भिन्न के अंश में एक अभाज्य संख्या होती है। यहाँ पर कारक बनाने के लिए कुछ भी नहीं है, इसलिए हम इस पर सीधे विचार करते हैं:

कभी-कभी विभाजन का परिणाम पूर्णांक होता है (मैं अंतिम उदाहरण के बारे में बात कर रहा हूं)। इस स्थिति में, तीसरा चरण बिल्कुल भी निष्पादित नहीं किया जाता है।

इसके अलावा, विभाजित करते समय, "बदसूरत" अंश अक्सर उत्पन्न होते हैं जिन्हें दशमलव में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। यह विभाजन को गुणन से अलग करता है, जहां परिणाम हमेशा दशमलव रूप में दर्शाए जाते हैं। बेशक, इस मामले में अंतिम चरण फिर से नहीं किया जाता है।

तीसरे और चौथे उदाहरण पर भी ध्यान दें। उनमें हम जानबूझकर दशमलव से प्राप्त साधारण भिन्नों को कम नहीं करते हैं। अन्यथा, यह व्युत्क्रम कार्य को जटिल बना देगा - अंतिम उत्तर को फिर से दशमलव रूप में प्रस्तुत करना।

याद रखें: भिन्न का मूल गुण (गणित के किसी भी अन्य नियम की तरह) अपने आप में यह मतलब नहीं है कि इसे हर जगह और हमेशा, हर अवसर पर लागू किया जाना चाहिए।