6 ठी श्रेणी

विषय: "साधारण भिन्नों का विभाजन", ग्रेड 6.

पाठ का उद्देश्य: सैद्धांतिक और व्यावहारिक को सारांशित और व्यवस्थित करें

छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं। के लिए काम व्यवस्थित करें

छात्रों के ज्ञान में अंतराल भरना। सुधारना, विस्तार करना

और विषय के बारे में छात्रों के ज्ञान को गहरा करें।

पाठ का प्रकार: ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ।

उपकरण: बोर्ड पर विषय, लक्ष्य, पाठ योजना है।

कक्षाओं के दौरान।

प्रत्येक छात्र की मेज पर एक चेकलिस्ट होती है।

1. गृहकार्य -

2. पुनरीक्षण प्रश्न -

3. मौखिक खाता -

4. क्लास वर्क -

5. स्वतंत्र कार्य -

1. गृहकार्य की जाँच करना:

क) निम्नलिखित प्रश्नों पर जोड़ियों में काम करें:

1) साधारण भिन्नों का जोड़, घटाव;

2) किसी भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करें;

3) दो भिन्नों का गुणन;

4) मिश्रित भिन्नों का गुणन;

5) भिन्नों को विभाजित करने का नियम;

6) मिश्रित भिन्नों का विभाजन;

7) किसे कहते हैं। अंशों की कमी।

बी) बोर्ड पर तैयार समाधान के अनुसार होमवर्क की जाँच करना:

नंबर 620 (ए), 624, 619 (डी)।

उद्देश्य: होमवर्क की आत्मसात की डिग्री निर्धारित करना। सामान्य कमजोरियों को पहचानें।

ग्रेड को कंट्रोल शीट पर रखें

पाठ के उद्देश्य की घोषणा करें: ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को सामान्य और व्यवस्थित करने के लिए

विषय: "साधारण भिन्नों का विभाजन।"

सिद्धांत दोहराया गया था, हम व्यवहार में ज्ञान की जांच करेंगे।

2. मौखिक गणना।

ए) कार्ड पर: 1) अंश कम करें:; ; ; …

2) अनुचित भिन्न में बदलें: ; ; …

3) पूर्णांक भाग का चयन करें: ; ; …

बी) संख्यात्मक सीढ़ी। जो भी छठी मंजिल पर तेजी से पहुंचेगा उसे पता चल जाएगा:

ज्यामिति का निर्माण (यूक्लिड)

विकल्प 2 - एक व्यक्ति जो एक वकील, एक अधिकारी और एक दार्शनिक बनना चाहता था, लेकिन

गणितज्ञ बने (डेसकार्टेस)

एल 0.1: ½ 0.4: 0.1 ए

मैं डी ई एल के सी ए वी आर ई टी

नियंत्रण पत्रक में ग्रेड, के लिए: 2 "-"5", 3" - "4", 4" - "3"।

जिसने "सीढ़ी" को पूरा किया वह नोटबुक में नंबर 606 करता है। बोर्ड के विंग में पहला छात्र नंबर 606 करता है। फिर वह कक्षा की जाँच करता है।

3.

ए)नंबर 581 (बी, डी), 587 (टिप्पणी के साथ), 591 (एल, एम, जे), 600, 602, 593 (डी, सी, ई, आई)

असाइनमेंट नोटबुक और बोर्ड पर किया जाता है।

बी)समस्या का समाधान: एक किलो मिठाई के लिए एक हजार रूबल का भुगतान किया गया। कितना हैं

इतनी मिठाइयों का किलो?

4.

№ 1 . क्रियाएँ चलाएँ:

: उत्तर: 1) 2) 3) 4)।

№ 2 . एक भिन्न को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करें और निम्न कार्य करें:

0.375: उत्तर: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . समीकरण हल करें: उत्तर: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . पहले दिन, पर्यटक पूरे रास्ते चले, और दूसरे दिन, बाकी। में

पहले दिन पर्यटक द्वारा सड़क के उस भाग को कितने गुना अधिक कवर किया गया है?

दूसरा? उत्तर: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. अंश के रूप में प्रस्तुत करें:

: उत्तर: 1) 2) 3) 4)

टेम्पलेट के अनुसार समाधान की जाँच करें: नंबर 1 -4; नंबर 2 - 1; नंबर 3 - 4; नंबर 4 - 4; नंबर 5 - 3।

ग्रेड को कंट्रोल शीट पर रखें।

चेकलिस्ट लीजिए। सारांश में। पाठ के लिए ग्रेड की घोषणा करें।

5. पाठ सारांश:

आज हमने किन बुनियादी नियमों को दोहराया?

6. गृहकार्य:

संख्या 619 (सी), 620 (बी), 627, व्यक्तिगत कार्य संख्या 617 (ए, ई, जी)।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

समझौता ज्ञापन "व्यायामशाला नंबर 7"

तोरज़ोक, तेवर क्षेत्र

विषय पर खुला पाठ:

"साधारण अंशों का विभाजन"

6 ठी श्रेणी

Torzhok . की नगर पालिका में खुला पाठ

(सत्यापन, 2001)

गणित शिक्षक: उफिम्त्सेवा एन.ए.

2001

विषय : " साधारण अंशों का विभाजन, छठी कक्षा।

पाठ का उद्देश्य : सैद्धांतिक और व्यावहारिक को सारांशित और व्यवस्थित करें

छात्रों का ज्ञान, कौशल और क्षमता। के लिए काम व्यवस्थित करें

छात्रों के ज्ञान में अंतराल भरना। सुधारना, विस्तार करना

और विषय पर छात्रों के ज्ञान को गहरा करने के लिए।

पाठ का प्रकार : ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ।

उपकरण : बोर्ड पर विषय, लक्ष्य, पाठ योजना है।

कक्षाओं के दौरान।

प्रत्येक छात्र की मेज पर एक चेकलिस्ट होती है।

1. घर का पाठ -
2. दोहराव वाले प्रश्न -
3. मौखिक गणना -
4. कक्षा कार्य -
5. स्वतंत्र काम -

1. होमवर्क की जाँच करना:

ए) निम्नलिखित प्रश्नों पर जोड़े में काम करें:

1) साधारण भिन्नों का जोड़, घटाव;

2) किसी भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करें;

3) दो भिन्नों का गुणन;

4) मिश्रित भिन्नों का गुणन;

5) भिन्नों को विभाजित करने का नियम;

6) मिश्रित भिन्नों का विभाजन;

7) किसे कहते हैं। अंशों की कमी।

बी) बोर्ड पर तैयार समाधान के अनुसार होमवर्क की जाँच करना:

नंबर 620 (ए), 624, 619 (डी)।

लक्ष्य : गृहकार्य को आत्मसात करने की डिग्री निर्धारित करने के लिए। सामान्य कमजोरियों को पहचानें।

ग्रेड को कंट्रोल शीट पर रखें

पाठ के उद्देश्य की घोषणा करें: ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को सामान्य और व्यवस्थित करने के लिए

विषय: "साधारण अंशों का विभाजन।"

सिद्धांत दोहराया गया था, हम व्यवहार में ज्ञान की जांच करेंगे।

1. मौखिक गणना।

ए) कार्ड पर: 1) अंश कम करें:; ; ; …

2) अनुचित भिन्न में बदलें: ; ; …

3) पूर्णांक भाग का चयन करें: ; ; …

बी) संख्यात्मक सीढ़ी। जो भी छठी मंजिल पर तेजी से पहुंचेगा उसे पता चल जाएगा:

ज्यामिति के निर्माण (यूक्लिड)

विकल्प 2 - एक व्यक्ति जो एक वकील, एक अधिकारी और एक दार्शनिक बनना चाहता था, लेकिन

गणितज्ञ बने (डेसकार्टेस)

डी टू

मैं पी

एल 0.1: ½ 0.4: 0.1 ए

कश्मीर

ई . में

ईडी

3 2 4 5

मैं डी डी ई एल के सी ए वी आर ई टी

नियंत्रण पत्रक में ग्रेड, के लिए: 2 "-"5", 3" - "4", 4" - "3"।

जिसने "सीढ़ी" को पूरा किया वह नोटबुक में नंबर 606 करता है। बोर्ड के विंग में पहला छात्र नंबर 606 करता है। फिर वह कक्षा की जाँच करता है।

1. मुख्य सैद्धांतिक प्रावधानों की पुनरावृत्ति और व्यवस्थितकरण:

ए) नंबर 581 (बी, डी), 587 (टिप्पणी के साथ), 591 (एल, एम, जे), 600, 602, 593 (डी, सी, ई, आई)

असाइनमेंट नोटबुक और बोर्ड पर किया जाता है।

बी) समस्या का समाधान: एक किलो मिठाई के लिए एक हजार रूबल का भुगतान किया गया। कितना हैं

इतनी मिठाइयों का किलो?

1. स्वतंत्र काम। उद्देश्य: इस विषय की महारत की जाँच करना।

№ 1 . क्रियाएँ चलाएँ:

: उत्तर: 1) 2) 3) 4)।

№ 2 . एक भिन्न को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करें और निम्न कार्य करें:

0.375: उत्तर: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . समीकरण हल करें: उत्तर: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . पहले दिन, पर्यटक पूरे रास्ते चले, और दूसरे दिन, बाकी। में

पहले दिन पर्यटक द्वारा सड़क के उस भाग को कितने गुना अधिक कवर किया गया है?

दूसरा? उत्तर: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. अंश के रूप में प्रस्तुत करें:

: उत्तर: 1) 2) 3) 4)

टेम्पलेट के अनुसार समाधान की जाँच करें: नंबर 1 -4; नंबर 2 - 1; नंबर 3 - 4; नंबर 4 - 4; नंबर 5 - 3।

ग्रेड को कंट्रोल शीट पर रखें।

चेकलिस्ट लीजिए। सारांश में। पाठ के लिए ग्रेड की घोषणा करें।

1. पाठ सारांश:

आज हमने किन बुनियादी नियमों को दोहराया?

1. गृहकार्य:

संख्या 619 (सी), 620 (बी), 627, व्यक्तिगत कार्य संख्या 617 (ए, ई, जी)

पाठ्यक्रम कार्य

बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर

इस टॉपिक पर

"त्रिकोणमितीय कार्य"

गणितज्ञ विभाग का रचनात्मक समूह

"व्यायामशाला नंबर 3", उडोमल्या।

पाठ #3-4 गणित शिक्षक द्वारा डिज़ाइन किया गया

उफिम्त्सेवा एन.ए.

2000

समझौता ज्ञापन "व्यायामशाला नंबर 7"

तोरज़ोक, तेवर क्षेत्र

सार्वजनिक पाठ

कक्षा: 6

पाठ के लिए प्रस्तुति

पीछे की ओर आगे की ओर

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पाठ मकसद:

शैक्षिक पहलू:

• "साधारण भिन्नों का विभाजन" विषय पर ज्ञान को दोहराएं और गहरा करें

विकास पहलू:

• विश्लेषण के कौशल विकसित करना, सामग्री की तुलना करना;
• ध्यान, स्मृति, भाषण, तार्किक सोच, स्वतंत्रता विकसित करना;
• शैक्षिक गतिविधियों का स्व-मूल्यांकन करने के लिए कौशल के विकास को बढ़ावा देना।

शैक्षिक पहलू:

• छात्रों को काम में स्वतंत्रता का कौशल, परिश्रम, सटीकता सिखाने के लिए;
• अपनी गतिविधियों और सहपाठियों के काम का मूल्यांकन करने की आवश्यकता को शिक्षित करना;
• भाषण की संस्कृति विकसित करने के लिए, शब्दों की सटीकता पर ध्यान दें।

शैक्षिक गतिविधियों के संगठन के रूप:

• ललाट, व्यक्तिगत, खेल

प्रयुक्त प्रौद्योगिकियां:

• सहयोग प्रौद्योगिकी;
• सूचान प्रौद्योगिकी;
• गेमिंग तकनीक।

उपकरण:

1. एक कंप्यूटर;
2. मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर;
3. माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस पावरपॉइंट प्रेजेंटेशन;
4. कार्य कार्ड

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

द्वितीय. मौखिक गिनती

1. भावों के मूल्यों की गणना करें, पहेली को इकट्ठा करें।

शिक्षक:दोस्तों क्या आप पहचानते हैं कि इस फोटो में क्या दिखाया गया है?

Usolye Sibirskoye अंगारा क्षेत्र के सबसे पुराने शहरों में से एक है, इसे 1669 में साइबेरियाई विस्तार के विजेताओं, येनिसी कोसैक्स, मिखलेव भाइयों के लिए एक समझौते के रूप में स्थापित किया गया था, जिन्होंने अंगारा नदी के तट पर एक नमक वसंत की खोज की थी। और एक नमक पैन बनाया

2. कोई कार्रवाई किए बिना, भागफल की तुलना लाभांश से करें:

III. पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति

1. दशमलव को भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए। तालिका में, मिले उत्तरों के अनुरूप अक्षर दर्ज करें (जोड़े में काम करें)।

0.4 - ए	1.2 - आर	0.006 - पी
3.6 - एंड	0.9 - जेड	5.008 - टी
0.05 - यू	2.16 - ओ	0.37 - डी
4.44 - सी	5.08 - के	2.15 - एम

इरकुत्स्क शहर का नाम इरकुत नदी से आया है, जो अंगारा में बहती है। शहर पहली इरकुत्स्क जेल से शुरू होता है, जिसे 6 जुलाई, 1661 को याकोव पोखबोव के नेतृत्व में कोसैक्स द्वारा स्थापित किया गया था। सितंबर 1670 तक, क्रेमलिन नामक जेल की साइट पर चार टावरों वाला एक किला बनाया गया था। इरकुत्स्क लगभग नींव से ही चीन के साथ व्यापार के लिए सबसे महत्वपूर्ण गढ़ था। सभी रूसी-चीनी व्यापार कारवां शहर से होकर गुजरे।

2. एक उभयनिष्ठ भिन्न को दशमलव के रूप में लिखिए। परिणामी संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और शब्द को पढ़ें (अपने दम पर, बाद में सत्यापन के साथ)।

उत्तर: 0.8; 0.5; 0.25; 0.12; 0.032; 0.07, शब्द बैकाल है (डीईआर के एकीकृत संग्रह के लिए हाइपरलिंक)।

चतुर्थ। अध्ययन सामग्री का समेकन

1. रिक्त स्थान भरें:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

2. खेल "लोट्टो" (छात्रों को पहले उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है, फिर उस उदाहरण पर जाएं जो पिछले एक को हल करते समय प्राप्त संख्या से शुरू होता है, एक वाक्य बनाएं)।

मैं विकल्प			द्वितीय विकल्प
					स्रोत पर
काई		लेपित

उत्तर: रॉक शमंका - लाल लाइकेन से ढका संगमरमर;

शमन-पत्थर - अंगारा के स्रोत पर पड़ी एक चट्टान।

वी. शारीरिक शिक्षा

भुजाओं पर हाथ, भुजाएँ - चौड़ी।
एक दो तीन चार।
अब हमने कूदने का फैसला किया।
एक दो तीन चार।
फैला हुआ - ऊँचा, ऊँचा ...
हम स्क्वाट करते हैं - निचला, निचला।
उठो बैठो...
उठो बैठो...
और अब वे डेस्क पर बैठ गए।

VI. समस्या का समाधान

समस्या का समाधान करें: Usolye-Sibirskoy और Irkutsk शहरों से दो कारें एक साथ एक-दूसरे की ओर चलीं, जिनके बीच की दूरी 80 किमी है। पहली कार की गति दूसरी की गति है। प्रत्येक कार की गति ज्ञात कीजिए यदि वे चालीस मिनट के बाद मिलती हैं।

रहने दो एक्स (किमी/घंटा)- दूसरी कार की गति

फिर एक्स (किमी/घंटा)- पहली कार की गति

एक्स+ एक्स (किमी/घंटा)- दृष्टिकोण गति

यह जानते हुए कि कारें मिलीं एचऔर एक साथ चलाई 80 किमी,आइए एक समीकरण बनाते हैं:

(एक्स+एक्स) * =80

(एक्स+एक्स) =80:

एक्स=120:1

1

जवाब:

• 1 विकल्प तलना
• विकल्प 2 ओमुल

आठवीं। गृहकार्य

एक कार्य लिखें

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "अंशों का जोड़ और घटाव" देखें)। उन कार्यों में सबसे कठिन क्षण एक सामान्य भाजक के लिए भिन्न लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये ऑपरेशन जोड़ और घटाव से भी आसान हैं। आरंभ करने के लिए, सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक विशिष्ट पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक अंश हों।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नई भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करना होगा।

पद:

परिभाषा से यह इस प्रकार है कि अंशों का विभाजन गुणा में घटाया जाता है। भिन्न को पलटने के लिए, बस अंश और हर को बदलें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणा के परिणामस्वरूप, एक छोटा अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - बेशक, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि, सभी कटौती के बाद, अंश गलत निकला, तो पूरे भाग को इसमें अलग किया जाना चाहिए। लेकिन जो निश्चित रूप से गुणन के साथ नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉसवाइज तरीके, अधिकतम कारक और कम से कम सामान्य गुणक नहीं।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

पूर्णांक भाग और ऋणात्मक भिन्नों के साथ भिन्नों का गुणन

यदि भिन्नों में एक पूर्णांक भाग है, तो उन्हें अनुचित में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण हो तो उसे गुणन की सीमा से बाहर निकाला जा सकता है या निम्नलिखित नियमों के अनुसार पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस टाइम्स माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, इन नियमों का सामना केवल नकारात्मक अंशों को जोड़ते और घटाते समय किया जाता था, जब पूरे भाग से छुटकारा पाने की आवश्यकता होती थी। एक उत्पाद के लिए, उन्हें एक साथ कई माइनस को "बर्न" करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जाते, तब तक हम जोड़े में माइनस को पार करते हैं। एक चरम मामले में, एक माइनस बच सकता है - वह जिसे मैच नहीं मिला;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया जाता है, क्योंकि उसे एक जोड़ा नहीं मिला है, तो हम इसे गुणा की सीमा से बाहर कर देते हैं। आपको एक नकारात्मक अंश मिलता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

हम सभी भिन्नों का अनुचित अंशों में अनुवाद करते हैं, और फिर हम गुणन की सीमा से बाहर के माइनस निकालते हैं। जो बचता है उसे सामान्य नियमों के अनुसार गुणा किया जाता है। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि एक हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ एक अंश से पहले आने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण अंश को संदर्भित करता है, न कि केवल इसके पूर्णांक भाग के लिए (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

नकारात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: जब गुणा किया जाता है, तो वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। यह गुणन चिह्नों से कमियों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

मक्खी पर अंशों को कम करना

गुणन एक बहुत ही श्रमसाध्य ऑपरेशन है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और कार्य को सरल बनाने के लिए, आप अंश को और भी कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. दरअसल, संक्षेप में, अंशों के अंश और हर सामान्य कारक हैं, और इसलिए, उन्हें एक अंश की मूल संपत्ति का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम की गई हैं और जो उनमें से बची हैं उन्हें लाल रंग से चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। इकाइयाँ अपने स्थान पर रहीं, जिन्हें सामान्यतया छोड़ा जा सकता है। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी प्राप्त करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा में अभी भी कमी आई है।

हालाँकि, किसी भी स्थिति में भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय इस तकनीक का उपयोग न करें! हां, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएं होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इस तथ्य के कारण होती है कि एक अंश जोड़ते समय, योग अंश के अंश में दिखाई देता है, न कि संख्याओं के उत्पाद में। इसलिए, भिन्न के मुख्य गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस तरह दिखता है:

सही समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर इतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर, सावधान रहें।

पाठ सामग्री

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

भिन्नों को जोड़ना दो प्रकार का होता है:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ना;
2. भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना।

सबसे पहले, हम समान हर वाले भिन्नों के योग का अध्ययन करेंगे। यहाँ सब कुछ सरल है। समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्न जोड़ें और . हम अंश जोड़ते हैं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2भिन्न जोड़ें और .

उत्तर एक अनुचित अंश है। यदि कार्य का अंत आता है, तो यह अनुचित अंशों से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत है। एक अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूरा हिस्सा आसानी से अलग हो जाता है - दो को दो से विभाजित करने पर एक होगा:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो दो भागों में विभाजित है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें और .

फिर से, अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 संपूर्ण पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना मुश्किल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

अब हम सीखेंगे कि भिन्न हरों वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को एक साथ नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि बाकी विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि दोनों भिन्नों के (LCM) हरों को पहले खोजा जाता है। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं - एनओसी को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त किया जाता है।

फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनमें समान भाजक होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है।

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें और

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज पाते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 है।

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब वापस भिन्नों पर और . सबसे पहले, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर 3 संख्या है। 6 को 3 से भाग देने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश में लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त कारक लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और दूसरी भिन्न का हर 2 संख्या है। 6 को 2 से भाग देने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। फिर से, हम दूसरी भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखते हैं:

अब हम जोड़ने के लिए पूरी तरह तैयार हैं। यह अंशों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

गौर से देखिए कि हम क्या हासिल कर चुके हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:

इस प्रकार उदाहरण समाप्त होता है। जोड़ने के लिए यह पता चला है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करना भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। भिन्नों को और एक सामान्य हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन दो भिन्नों को पिज्जा के समान स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। फर्क सिर्फ इतना होगा कि इस बार उन्हें बराबर शेयरों (एक ही हर में घटाकर) में बांटा जाएगा।

पहला चित्र एक भिन्न दिखाता है (छः में से चार टुकड़े) और दूसरा चित्र एक भिन्न दिखाता है (छह में से तीन टुकड़े)। इन टुकड़ों को एक साथ रखने पर हमें (छः में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न गलत है, इसलिए हमने इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट किया है। परिणाम था (एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा)।

ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण को बहुत अधिक विस्तार से चित्रित किया है। शिक्षण संस्थानों में इस तरह के विस्तृत तरीके से लिखने की प्रथा नहीं है। आपको दोनों हरों और उनके अतिरिक्त कारकों के एलसीएम को जल्दी से खोजने में सक्षम होने की आवश्यकता है, साथ ही साथ आपके अंशों और हरों द्वारा पाए गए अतिरिक्त कारकों को जल्दी से गुणा करने में सक्षम होना चाहिए। स्कूल में रहते हुए, हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:

लेकिन सिक्के का दूसरा पहलू भी है। यदि गणित के अध्ययन के पहले चरणों में विस्तृत नोट्स नहीं बनाए जाते हैं, तो इस तरह के प्रश्न "वह संख्या कहाँ से आती है?", "अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्नों में क्यों बदल जाते हैं? «.

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

1. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए;
2. प्रत्येक भिन्न के हर से LCM को विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें;
3. भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
4. समान भाजक वाले भिन्न जोड़ें;
5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए

दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्या 2, 3 और 4 . हैं

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। हम 12 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरे भिन्न का हर 4 संख्या है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं:

चरण 4. भिन्नों को जोड़ें जिनमें समान हर हों

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। इन अंशों को जोड़ना बाकी है। जोड़ें:

जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष व्यंजक को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई व्यंजक एक पंक्ति पर फिट नहीं बैठता है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और एक नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस व्यंजक की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर था।

चरण 5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसमें पूरे भाग का चयन करें

हमारा उत्तर एक अनुचित भिन्न है। हमें इसके पूरे हिस्से को अलग करना होगा। हम हाइलाइट करते हैं:

जवाब मिला

समान हर वाले भिन्नों का घटाव

अंश घटाव दो प्रकार के होते हैं:

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

सबसे पहले, आइए जानें कि समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाना है। यहाँ सब कुछ सरल है। एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाना आवश्यक है, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। चलो इसे करते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फिर से, पहले भिन्न के अंश से दूसरे भिन्न के अंश को घटाएं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से, आपको शेष भिन्नों के अंशों को घटाना होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करने की आवश्यकता है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

उदाहरण के लिए, भिन्न में से भिन्न को घटाया जा सकता है, क्योंकि इन भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन भिन्न में से भिन्न को घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सार्व भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है।

उदाहरण 1एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 12 है।

एलसीएम (3 और 4) = 12

अब वापस भिन्नों पर और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हम पहली भिन्न के ऊपर चार लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर 4 संख्या है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। दूसरे भिन्न पर एक तिहाई लिखें:

अब हम सब घटाव के लिए तैयार हैं। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:

जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है।

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है। स्कूल में होने के कारण, हमें इस उदाहरण को छोटे तरीके से हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:

भिन्नों की कमी और एक सामान्य हर को भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। इन भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन भिन्नों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भिन्नों में विभाजित किया जाएगा (एक ही हर में घटाकर):

पहली तस्वीर एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) दिखाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े करने से हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पांच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का न्यूनतम सामान्य गुणज 30 . है

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करते हैं।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। LCM संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर 10 संख्या है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम दूसरी भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग दें। LCM संख्या 30 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरे भिन्न का हर 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाव के लिए तैयार है। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर बराबर चिह्न (=) के बारे में मत भूलना:

उत्तर सही अंश निकला, और सब कुछ हमें सूट करता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे आसान बनाना चाहिए। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को कम कर सकते हैं।

किसी भिन्न को कम करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को (gcd) संख्याओं 20 और 30 से विभाजित करना होगा।

तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और अंश के अंश और हर को जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से

जवाब मिला

भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

उदाहरण 1. अंश को संख्या 1 से गुणा करें।

भिन्न के अंश को संख्या 1 . से गुणा करें

प्रविष्टि को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से, हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणक को आपस में बदल दिया जाए, तो गुणनफल नहीं बदलेगा। यदि व्यंजक को , के रूप में लिखा जाता है, तो गुणनफल अभी भी के बराबर होगा। फिर से, एक पूर्णांक और एक भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस प्रविष्टि को इकाई का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज्जा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज्जा होगा:

उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 . से गुणा करें

उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:

व्यंजक को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज्जा मिलते हैं।

और यदि हम गुणक और गुणक को स्थानों में अदला-बदली करते हैं, तो हमें व्यंजक प्राप्त होता है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

एक संख्या जिसे भिन्न से गुणा किया जाता है और भिन्न के हर को हल किया जाता है यदि उनके पास एक से अधिक सामान्य भाजक है।

उदाहरण के लिए, एक व्यंजक का मूल्यांकन दो तरह से किया जा सकता है।

पहला तरीका. संख्या 4 को भिन्न के अंश से गुणा करें, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

दूसरा रास्ता. भिन्न के हर में चौगुनी गुणा और चौगुनी घटाई जा सकती है। आप इन चौकों को 4 से कम कर सकते हैं, क्योंकि दो चौकों के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक चार ही है:

हमें वही परिणाम 3 मिला। चौकों को कम करने के बाद, उनके स्थान पर नई संख्याएँ बनती हैं: दो। लेकिन एक को तीन से गुणा करना, और फिर एक से भाग देना कुछ भी नहीं बदलता है। इसलिए, समाधान को छोटा लिखा जा सकता है:

कमी तब भी की जा सकती है जब हमने पहली विधि का उपयोग करने का निर्णय लिया था, लेकिन संख्या 4 और अंश 3 को गुणा करने के चरण में, हमने कमी का उपयोग करने का निर्णय लिया:

लेकिन उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति की गणना केवल पहले तरीके से की जा सकती है - अंश के हर से 7 गुणा करें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

यह इस तथ्य के कारण है कि संख्या 7 और भिन्न के हर में एक से अधिक सामान्य भाजक नहीं होता है, और, तदनुसार, कम नहीं होता है।

कुछ छात्र गलती से गुणा की जाने वाली संख्या और भिन्न के अंश को संक्षिप्त कर देते हैं। आप यह नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, निम्न प्रविष्टि सही नहीं है:

भिन्न में कमी का तात्पर्य है कि और अंश और हरउसी संख्या से विभाजित किया जाएगा। व्यंजक की स्थिति में, विभाजन केवल अंश में किया जाता है, क्योंकि इसे लिखना लेखन के समान है। हम देखते हैं कि विभाजन केवल अंश में किया जाता है, और हर में कोई विभाजन नहीं होता है।

भिन्नों का गुणन

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा। यदि उत्तर गलत भिन्न है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

जवाब मिला। इस अंश को कम करना वांछनीय है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम समाधान निम्नलिखित रूप लेगा:

अभिव्यक्ति को आधा पिज्जा से पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लें कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बांटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:

हमें पिज्जा मिलेगा। याद रखें कि पिज्जा कैसा दिखता है जिसे तीन भागों में बांटा गया है:

इस पिज़्ज़ा से एक स्लाइस और हमने जो दो स्लाइस लिए हैं, उनके आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में हम बात कर रहे हैं उसी पिज़्ज़ा साइज़ की। इसलिए, व्यंजक का मान है

उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर सही अंश निकला, लेकिन इसे घटाया जाए तो अच्छा होगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को 105 और 450 की संख्या के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना होगा।

तो, आइए 105 और 450 की संख्याओं का GCD ज्ञात करें:

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को उस GCD से भाग देते हैं जो हमें अब मिली है, यानी 15 से

एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। इससे, पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पाँच को एक से विभाजित करना", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:

रिवर्स नंबर

अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीतए वह संख्या है जिसे गुणा करने परए एक इकाई देता है।

आइए एक चर के बजाय इस परिभाषा में स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है जिसे गुणा करने पर 5 एक इकाई देता है।

क्या ऐसी कोई संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। आइए पाँच को भिन्न के रूप में निरूपित करें:

फिर इस भिन्न को अपने आप से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न को स्वयं से गुणा करें, केवल उल्टा:

इसका क्या परिणाम होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब है कि संख्या 5 का विलोम वह संख्या है, जब 5 को एक से गुणा करने पर एक प्राप्त होता है।

व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, इसे पलटना पर्याप्त है।

एक संख्या से भिन्न का विभाजन

मान लें कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

आइए इसे दो के बीच समान रूप से विभाजित करें। प्रत्येक को कितने पिज्जा मिलेंगे?

यह देखा जा सकता है कि पिज्जा के आधे हिस्से को विभाजित करने के बाद, दो बराबर टुकड़े प्राप्त हुए, जिनमें से प्रत्येक एक पिज्जा बनाता है। तो सभी को पिज्जा मिलता है।