निर्देशांक अक्ष पर खंड की लंबाई सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

निर्देशांक तल पर खंड की लंबाई सूत्र द्वारा मांगी गई है:

त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में एक खंड की लंबाई खोजने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

खंड के मध्य के निर्देशांक (समन्वय अक्ष के लिए केवल पहले सूत्र का उपयोग किया जाता है, समन्वय विमान के लिए - पहले दो सूत्र, त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली के लिए - सभी तीन सूत्र) सूत्रों द्वारा गणना की जाती है:

समारोहप्रपत्र का पत्राचार है आप= एफ(एक्स) चर के बीच, जिसके कारण प्रत्येक को कुछ चर का मान माना जाता है एक्स(तर्क या स्वतंत्र चर) दूसरे चर के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, आप(आश्रित चर, कभी-कभी इस मान को केवल फ़ंक्शन का मान कहा जाता है)। ध्यान दें कि फ़ंक्शन मानता है कि तर्क का एक मान एक्सआश्रित चर का केवल एक मान हो सकता है पर. हालांकि, वही मान परविभिन्न के साथ प्राप्त किया जा सकता है एक्स.

फंक्शन स्कोपस्वतंत्र चर के सभी मान हैं (फ़ंक्शन तर्क, आमतौर पर एक्स) जिसके लिए फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, अर्थात। इसका अर्थ मौजूद है। परिभाषा का क्षेत्र इंगित किया गया है डी(आप) कुल मिलाकर आप इस अवधारणा से पहले से ही परिचित हैं। किसी फ़ंक्शन के दायरे को अन्यथा मान्य मानों का डोमेन या ODZ कहा जाता है, जिसे आप लंबे समय से ढूंढ रहे हैं।

फंक्शन रेंजइस फ़ंक्शन के आश्रित चर के सभी संभावित मान हैं। लक्षित इ(पर).

समारोह बढ़ जाता हैअंतराल पर जिस पर तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है। समारोह घटानाअंतराल पर जिस पर तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

समारोह अंतरालस्वतंत्र चर के वे अंतराल हैं जिन पर आश्रित चर अपना धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न बनाए रखता है।

फंक्शन जीरोतर्क के वे मान हैं जिनके लिए फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर है। इन बिन्दुओं पर फलन का ग्राफ भुज अक्ष (OX अक्ष) को काटता है। बहुत बार, किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने की आवश्यकता का अर्थ केवल समीकरण को हल करना है। इसके अलावा, अक्सर निरंतर संकेत के अंतराल को खोजने की आवश्यकता का अर्थ है असमानता को हल करने की आवश्यकता।

समारोह आप = एफ(एक्स) कहा जाता है यहाँ तक की एक्स

इसका मतलब यह है कि तर्क के किसी भी विपरीत मूल्यों के लिए, सम फ़ंक्शन के मान समान हैं। एक सम फलन का ग्राफ हमेशा op-amp के y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है।

समारोह आप = एफ(एक्स) कहा जाता है अजीब, यदि इसे एक सममित समुच्चय पर परिभाषित किया गया है और किसी के लिए एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता पूरी होती है:

इसका मतलब यह है कि तर्क के किसी भी विपरीत मूल्यों के लिए, विषम फ़ंक्शन के मान भी विपरीत हैं। एक विषम फलन का आलेख मूल के प्रति सदैव सममित होता है।

सम और विषम फलनों के मूलों का योग (भुज अक्ष OX के प्रतिच्छेदन बिंदु) हमेशा शून्य के बराबर होता है, क्योंकि हर सकारात्मक जड़ के लिए एक्सएक नकारात्मक जड़ है एक्स.

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कुछ फ़ंक्शन का सम या विषम होना आवश्यक नहीं है। ऐसे कई कार्य हैं जो न तो सम हैं और न ही विषम। ऐसे कार्यों को कहा जाता है सामान्य कार्य, और उपरोक्त में से कोई भी समानता या संपत्ति उनके लिए नहीं है।

रैखिक प्रकार्यएक फ़ंक्शन कहलाता है जिसे सूत्र द्वारा दिया जा सकता है:

एक रेखीय फलन का आलेख एक सीधी रेखा है और सामान्य स्थिति में ऐसा दिखता है (एक उदाहरण उस स्थिति के लिए दिया गया है जब क> 0, इस स्थिति में फलन बढ़ रहा है; मामले के लिए क < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

द्विघात फलन का ग्राफ (परबोला)

एक परवलय का ग्राफ एक द्विघात फलन द्वारा दिया जाता है:

एक द्विघात फलन, किसी अन्य फलन की तरह, OX अक्ष को उन बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करता है जो इसके मूल हैं: ( एक्सएक ; 0) और ( एक्स 2; 0)। यदि कोई मूल नहीं है, तो द्विघात फलन OX अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है, यदि एक मूल है, तो इस बिंदु पर ( एक्स 0; 0) द्विघात फलन केवल OX अक्ष को स्पर्श करता है, लेकिन इसे प्रतिच्छेद नहीं करता है। एक द्विघात फलन हमेशा ओए अक्ष को निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है: (0; सी) एक द्विघात फलन (पैराबोला) का ग्राफ इस तरह दिख सकता है (यह आंकड़ा उन उदाहरणों को दिखाता है जो सभी संभावित प्रकार के परवलय को समाप्त नहीं करते हैं):

जिसमें:

• यदि गुणांक ए> 0, समारोह में आप = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी, फिर परवलय की शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है;
• अगर ए < 0, то ветви параболы направлены вниз.

परवलय शीर्ष निर्देशांक की गणना निम्न सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है। एक्स टॉप्स (पी- ऊपर दिए गए आंकड़ों में) एक परवलय का (या वह बिंदु जिस पर वर्ग त्रिपद अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुंचता है):

वाई टॉप्स (क्यू- ऊपर के आंकड़ों में) एक परवलय का या अधिकतम यदि परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं ( ए < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ए> 0), वर्ग त्रिपद का मान:

अन्य कार्यों के रेखांकन

ऊर्जा समीकरण

यहाँ शक्ति कार्यों के रेखांकन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

व्युत्क्रमानुपाती निर्भरतासूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

संख्या के चिन्ह के आधार पर कव्युत्क्रमानुपाती ग्राफ़ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं:

अनंतस्पर्शीवह रेखा है जिसके लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की रेखा असीम रूप से करीब पहुंचती है, लेकिन प्रतिच्छेद नहीं करती है। ऊपर की आकृति में दिखाए गए व्युत्क्रम आनुपातिकता ग्राफ़ के लिए स्पर्शोन्मुख समन्वय अक्ष हैं, जिसके लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ असीम रूप से करीब पहुंचता है, लेकिन उन्हें प्रतिच्छेद नहीं करता है।

घातांक प्रकार्यआधार के साथ एसूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

एएक घातांकीय फलन के ग्राफ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं (हम उदाहरण भी देंगे, नीचे देखें):

लॉगरिदमिक फ़ंक्शनसूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

इस पर निर्भर करता है कि संख्या एक से अधिक है या कम एलॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं:

फंक्शन ग्राफ आप = |एक्स| निम्नलिखित नुसार:

आवधिक (त्रिकोणमितीय) कार्यों के रेखांकन

समारोह पर = एफ(एक्स) कहा जाता है नियत कालीन, यदि ऐसी गैर-शून्य संख्या मौजूद है टी, क्या एफ(एक्स + टी) = एफ(एक्स), किसी के लिए भी एक्ससमारोह के दायरे से बाहर एफ(एक्स) यदि समारोह एफ(एक्स) अवधि के साथ आवधिक है टी, फिर समारोह:

कहाँ पे: ए, क, बीनिरंतर संख्याएं हैं, और कशून्य के बराबर नहीं, आवर्त के साथ-साथ आवर्त भी टी 1 , जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आवर्त फलन के अधिकांश उदाहरण त्रिकोणमितीय फलन हैं। यहां मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ दिए गए हैं। निम्नलिखित आंकड़ा फ़ंक्शन के ग्राफ़ का हिस्सा दिखाता है आप= पाप एक्स(पूरा ग्राफ अनिश्चित काल तक बाएं और दाएं जारी रहता है), फ़ंक्शन का ग्राफ आप= पाप एक्सबुलाया sinusoid:

फंक्शन ग्राफ आप= कोस एक्सबुलाया कोसाइन तरंग. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। साइन के ग्राफ के बाद से, यह OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक जारी रहता है:

फंक्शन ग्राफ आप= टीजी एक्सबुलाया स्पर्शरेखा. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। अन्य आवधिक कार्यों के ग्राफ़ की तरह, यह ग्राफ OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक दोहराता है।

और अंत में, फ़ंक्शन का ग्राफ आप=सीटीजी एक्सबुलाया कोटैंजेंटोइड. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। अन्य आवधिक और त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ की तरह, यह ग्राफ OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक दोहराता है।

भौतिकी में सभी सूत्र और नियम और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, ऐसा करना भी बहुत आसान है, भौतिकी में केवल 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में भी थोड़ा कम। इनमें से प्रत्येक विषय में बुनियादी स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना कठिनाई के, अधिकांश डिजिटल परिवर्तन को सही समय पर हल किया जा सकता है। उसके बाद, आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में सोचना होगा।

भौतिकी और गणित में पूर्वाभ्यास परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी को दो बार देखा जा सकता है। फिर से, डीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है। , उत्तरों और कार्यों की संख्या, या अपने स्वयं के उपनाम को भ्रमित किए बिना। साथ ही, RT के दौरान, कार्यों में प्रश्नों को प्रस्तुत करने की शैली के लिए अभ्यस्त होना महत्वपूर्ण है, जो DT पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत ही असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी पर एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो आप करने में सक्षम हैं।

त्रुटि मिली?

यदि आपको, जैसा कि आपको लगता है, प्रशिक्षण सामग्री में कोई त्रुटि मिली, तो कृपया इसके बारे में मेल द्वारा लिखें। आप सोशल नेटवर्क () पर त्रुटि के बारे में भी लिख सकते हैं। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, कार्य की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि कथित त्रुटि क्या है। आपका पत्र किसी का ध्यान नहीं जाएगा, त्रुटि को या तो ठीक कर दिया जाएगा, या आपको समझाया जाएगा कि यह गलती क्यों नहीं है।

द्विघात फलन प्रपत्र का एक फलन है:
y=a*(x^2)+b*x+c,
जहां अज्ञात x की उच्चतम डिग्री पर गुणांक है,
बी - अज्ञात एक्स पर गुणांक,
और c एक स्वतंत्र सदस्य है।
द्विघात फलन का आलेख एक वक्र होता है जिसे परवलय कहा जाता है। परवलय का सामान्य दृश्य नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

Fig.1 परवलय का सामान्य दृश्य।

द्विघात फलन को रेखांकन करने के कई अलग-अलग तरीके हैं। हम उनमें से मुख्य और सबसे सामान्य पर विचार करेंगे।

द्विघात फलन y=a*(x^2)+b*x+c का आलेख आलेखित करने के लिए एल्गोरिथम

1. एक समन्वय प्रणाली बनाएं, एक खंड को चिह्नित करें और समन्वय अक्षों को लेबल करें।

2. परवलय (ऊपर या नीचे) की शाखाओं की दिशा निर्धारित करें।
ऐसा करने के लिए, आपको गुणांक ए के संकेत को देखने की जरूरत है। यदि प्लस - तो शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, यदि माइनस - तो शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।

3. परवलय के शीर्ष का x-निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
ऐसा करने के लिए, आपको टॉप्स = -बी / 2 * ए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है।

4. परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
ऐसा करने के लिए, पिछले चरण में पाए गए शीर्ष के मान को शीर्ष के समीकरण में बदलें = a * (x ^ 2) + b * x + c के बजाय x।

5. परिणामी बिंदु को ग्राफ़ पर रखें और इसके माध्यम से निर्देशांक अक्ष के समानांतर सममिति का एक अक्ष बनाएं।

6. x-अक्ष के साथ आलेख के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
इसके लिए ज्ञात विधियों में से किसी एक का उपयोग करके द्विघात समीकरण a*(x^2)+b*x+c = 0 को हल करना आवश्यक है। यदि समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, तो फलन का आलेख x-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

7. ओए अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजें।
ऐसा करने के लिए, हम मान x = 0 को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और y के मान की गणना करते हैं। हम इसे और ग्राफ़ पर इसके सममित बिंदु को चिह्नित करते हैं।

8. एक मनमाना बिंदु A (x, y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
ऐसा करने के लिए, हम x निर्देशांक का एक मनमाना मान चुनते हैं, और इसे हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इस बिंदु पर हमें y का मान प्राप्त होता है। ग्राफ पर एक बिंदु लगाएं। और आलेख पर एक बिंदु भी अंकित करें जो बिंदु A (x, y) के सममित हो।

9. ग्राफ पर प्राप्त बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से कनेक्ट करें और ग्राफ को चरम बिंदुओं से परे, निर्देशांक अक्ष के अंत तक जारी रखें। ग्राफ़ पर या तो कॉलआउट पर हस्ताक्षर करें, या, यदि स्थान अनुमति देता है, तो ग्राफ़ के साथ ही।

ग्राफ प्लॉट करने का एक उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, आइए समीकरण y=x^2+4*x-1 द्वारा दिए गए द्विघात फलन को प्लॉट करें
1. निर्देशांक अक्ष बनाएं, उन पर हस्ताक्षर करें और एक खंड को चिह्नित करें।
2. गुणांकों के मान a=1, b=4, c= -1. चूँकि a \u003d 1 जो शून्य से बड़ा है, परवलय की शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है।
3. परवलय के शीर्ष का X निर्देशांक ज्ञात कीजिए। शीर्ष = -b/2*a = -4/2*1 = -2।
4. निर्देशांक निर्धारित करें परवलय के शीर्ष पर
सबसे ऊपर = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5।
5. शीर्ष को चिह्नित करें और सममिति का एक अक्ष बनाएं।
6. हम ऑक्स अक्ष के साथ द्विघात फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। हम द्विघात समीकरण x^2+4*x-1=0 को हल करते हैं।
x1=-2-√3 x2 = -2+√3। हम ग्राफ पर प्राप्त मूल्यों को चिह्नित करते हैं।
7. ओए अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें।
एक्स = 0; वाई = -1
8. एक मनमाना बिंदु B चुनें। मान लें कि इसका एक निर्देशांक x=1 है।
तब y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. हम प्राप्त बिंदुओं को जोड़ते हैं और चार्ट पर हस्ताक्षर करते हैं।

जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, द्विघात फलन के गुणों और रेखांकन पर कार्य गंभीर कठिनाइयों का कारण बनते हैं। यह बल्कि अजीब है, क्योंकि 8 वीं कक्षा में द्विघात कार्य पारित किया जाता है, और फिर 9वीं कक्षा की पूरी पहली तिमाही परवलय के गुणों द्वारा "जब्ती" की जाती है और इसके रेखांकन विभिन्न मापदंडों के लिए बनाए जाते हैं।

यह इस तथ्य के कारण है कि छात्रों को परवलय बनाने के लिए मजबूर करते हुए, वे व्यावहारिक रूप से ग्राफ़ को "पढ़ने" के लिए समय नहीं देते हैं, अर्थात वे चित्र से प्राप्त जानकारी को समझने का अभ्यास नहीं करते हैं। जाहिर है, यह माना जाता है कि, दो दर्जन रेखांकन बनाने के बाद, एक स्मार्ट छात्र स्वयं सूत्र में गुणांक और ग्राफ की उपस्थिति के बीच संबंध खोजेगा और तैयार करेगा। व्यवहार में, यह काम नहीं करता है। इस तरह के सामान्यीकरण के लिए, गणितीय लघु-अनुसंधान में गंभीर अनुभव की आवश्यकता होती है, जो निश्चित रूप से, अधिकांश नौवीं कक्षा के छात्रों के पास नहीं है। इस बीच, जीआईए में वे अनुसूची के अनुसार गुणांक के संकेतों को ठीक से निर्धारित करने का प्रस्ताव करते हैं।

हम स्कूली बच्चों से असंभव की मांग नहीं करेंगे और ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए केवल एक एल्गोरिदम की पेशकश करेंगे।

तो, फॉर्म का एक फ़ंक्शन y=ax2+bx+cद्विघात कहलाता है, इसका आलेख परवलय होता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, मुख्य घटक है कुल्हाड़ी 2. अर्थात एशून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, शेष गुणांक ( बीऔर साथ) शून्य के बराबर हो सकता है।

आइए देखें कि इसके गुणांक के संकेत परवलय की उपस्थिति को कैसे प्रभावित करते हैं।

गुणांक के लिए सबसे सरल निर्भरता ए. अधिकांश स्कूली बच्चे आत्मविश्वास से उत्तर देते हैं: "अगर ए> 0, तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि ए < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ए > 0.

वाई = 0.5x2 - 3x + 1

इस मामले में ए = 0,5

और अब के लिए ए < 0:

वाई = - 0.5x2 - 3x + 1

इस मामले में ए = - 0,5

गुणांक का प्रभाव साथपालन ​​​​करने में भी काफी आसान है। कल्पना कीजिए कि हम किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना चाहते हैं एक्स= 0. सूत्र में शून्य रखें:

आप = ए 0 2 + बी 0 + सी = सी. परिणाम यह निकला वाई = सी. अर्थात साथ y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि है। एक नियम के रूप में, इस बिंदु को चार्ट पर खोजना आसान है। और निर्धारित करें कि यह शून्य से ऊपर है या नीचे। अर्थात साथ> 0 या साथ < 0.

साथ > 0:

वाई=x2+4x+3

साथ < 0

वाई = एक्स 2 + 4x - 3

तदनुसार, यदि साथ= 0, तो परवलय अनिवार्य रूप से मूल बिंदु से होकर गुजरेगा:

y=x2+4x

पैरामीटर के साथ और अधिक कठिन बी. जिस बिंदु से हम इसे पाएंगे वह न केवल पर निर्भर करता है बीलेकिन से भी ए. यह परवलय का शीर्ष है। इसका भुज (अक्ष निर्देशांक एक्स) सूत्र द्वारा पाया जाता है एक्स इन \u003d - बी / (2 ए). इस प्रकार, b = - 2ax in. यही है, हम निम्नानुसार कार्य करते हैं: ग्राफ पर हम परवलय के शीर्ष को पाते हैं, इसके भुज का संकेत निर्धारित करते हैं, अर्थात हम शून्य के दाईं ओर देखते हैं ( एक्स इन> 0) या बाईं ओर ( एक्स इन < 0) она лежит.

हालाँकि, यह सब नहीं है। हमें गुणांक के चिन्ह पर भी ध्यान देना चाहिए ए. यानी यह देखने के लिए कि परवलय की शाखाओं को कहां निर्देशित किया जाता है। और उसके बाद ही सूत्र के अनुसार b = - 2ax inसंकेत निर्धारित करें बी.

एक उदाहरण पर विचार करें:

शाखाएं ऊपर की ओर इशारा करती हैं ए> 0, परवलय अक्ष को पार करता है परशून्य से नीचे का मतलब साथ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, एक्स इन> 0. सो b = - 2ax in = -++ = -. बी < 0. Окончательно имеем: ए > 0, बी < 0, साथ < 0.

प्रपत्र का कार्य, जहां कहा जाता है द्विघात फंक्शन.

द्विघात फलन का ग्राफ − परवलय.

मामलों पर विचार करें:

केस I, शास्त्रीय परवलय

अर्थात , ,

बनाने के लिए, सूत्र में x मानों को प्रतिस्थापित करके तालिका भरें:

अंक अंक (0;0); (1;1); (-1;1) आदि। समन्वय तल पर (हम जितना छोटा कदम x मान लेते हैं (इस मामले में, चरण 1), और जितना अधिक x मान हम लेते हैं, वक्र उतना ही चिकना होता है), हमें एक परवलय मिलता है:

यह देखना आसान है कि यदि हम मामले को लेते हैं, अर्थात, तो हमें अक्ष (बैल) के बारे में एक परवलय सममित मिलता है। एक समान तालिका भरकर इसे सत्यापित करना आसान है:

II केस, "ए" एक से अलग

क्या होगा अगर हम ले , , ? परवलय का व्यवहार कैसे बदलेगा? शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

पहली तस्वीर (ऊपर देखें) स्पष्ट रूप से दिखाती है कि परवलय (1;1), (-1;1) के लिए तालिका के बिंदु बिंदुओं (1;4), (1;-4) में बदल गए थे, अर्थात, समान मानों के साथ, प्रत्येक बिंदु की कोटि को 4 से गुणा किया जाता है। यह मूल तालिका के सभी प्रमुख बिंदुओं के साथ होगा। हम चित्र 2 और 3 के मामलों में भी इसी तरह तर्क देते हैं।

और जब परवलय "व्यापक हो जाता है" परवलय:

आओ पूर्वावलोकन कर लें:

1)गुणांक का चिन्ह शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार होता है। शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) निरपेक्ष मूल्यगुणांक (मापांक) परवलय के "विस्तार", "संपीड़न" के लिए जिम्मेदार है। परवलय जितना बड़ा होगा, परवलय उतना ही छोटा होगा |a|, परवलय उतना ही चौड़ा होगा।

केस III, "सी" प्रकट होता है

अब चलो खेलते हैं (अर्थात, हम मामले पर विचार करते हैं जब), हम रूप के परवलय पर विचार करेंगे। यह अनुमान लगाना आसान है (आप हमेशा तालिका का उल्लेख कर सकते हैं) कि परवलय चिह्न के आधार पर अक्ष के साथ ऊपर या नीचे जाएगा:

चतुर्थ मामला, "बी" प्रकट होता है

परवलय कब अक्ष से "फट जाएगा" और अंत में पूरे समन्वय विमान के साथ "चलेगा"? जब यह बराबर होना बंद हो जाता है।

यहाँ, एक परवलय बनाने के लिए, हमें चाहिए शीर्ष की गणना के लिए सूत्र: , .

तो इस बिंदु पर (जैसा कि नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) पर) हम एक परवलय का निर्माण करेंगे, जो पहले से ही हमारी शक्ति के भीतर है। यदि हम मामले से निपट रहे हैं, तो ऊपर से हम एक एकल खंड को दाईं ओर, एक ऊपर सेट करते हैं, - परिणामी बिंदु हमारा है (इसी तरह, बाईं ओर एक कदम, एक कदम हमारी बात है); उदाहरण के लिए, यदि हम काम कर रहे हैं, तो ऊपर से हम एक एकल खंड को दाईं ओर, दो - ऊपर, आदि में सेट करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक परवलय का शीर्ष:

अब समझने वाली मुख्य बात यह है कि इस शीर्ष पर हम परवलय टेम्पलेट के अनुसार परवलय का निर्माण करेंगे, क्योंकि हमारे मामले में।

एक परवलय का निर्माण करते समय शीर्ष के निर्देशांक खोजने के बाद बहुत हैनिम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करना सुविधाजनक है:

1) परवलय बिंदु से गुजरना होगा . वास्तव में, x=0 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। अर्थात्, अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि, यह है। हमारे उदाहरण (ऊपर) में, परवलय y-अक्ष को , क्योंकि , पर प्रतिच्छेद करता है।

2) समरूपता की धुरी परवलय एक सीधी रेखा है, इसलिए परवलय के सभी बिंदु इसके बारे में सममित होंगे। हमारे उदाहरण में, हम तुरंत बिंदु (0; -2) लेते हैं और समरूपता की धुरी के बारे में एक परवलय सममित बनाते हैं, हमें बिंदु (4; -2) मिलता है, जिसके माध्यम से परवलय गुजरेगा।

3) के बराबर, हम अक्ष (बैल) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं। विभेदक के आधार पर, हमें एक (,), दो (शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया) मिलेगा।" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . पिछले उदाहरण में, हमारे पास विवेचक से एक जड़ है - पूर्णांक नहीं, इसे बनाते समय, हमारे लिए जड़ों को खोजने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि हमारे पास (ओह) के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु होंगे। अक्ष (चूंकि शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

तो चलिए वर्कआउट करते हैं

एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम यदि इसे फॉर्म में दिया गया है

1) शाखाओं की दिशा निर्धारित करें (a>0 - up, a<0 – вниз)

2) सूत्र द्वारा परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3) हम मुक्त पद से परवलय के अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाते हैं, हम परवलय की समरूपता के अक्ष के संबंध में दिए गए बिंदु के सममित बिंदु का निर्माण करते हैं (यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसा होता है कि यह है इस बिंदु को चिह्नित करने के लिए लाभहीन, उदाहरण के लिए, क्योंकि मान बड़ा है ... हम इस बिंदु को छोड़ देते हैं ...)

4) पाए गए बिंदु पर - परवलय के शीर्ष पर (जैसा कि नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) पर), हम एक परवलय का निर्माण करते हैं। यदि शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) हम अक्ष (ओए) के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं (यदि वे स्वयं अभी तक "सामने" नहीं आए हैं), समीकरण को हल करते हुए

उदाहरण 1

उदाहरण 2

टिप्पणी 1.यदि परवलय शुरू में हमें इस रूप में दिया जाता है, जहाँ कुछ संख्याएँ हैं (उदाहरण के लिए,), तो इसे बनाना और भी आसान हो जाएगा, क्योंकि हमें पहले ही शीर्ष के निर्देशांक दिए जा चुके हैं। क्यों?

आइए एक वर्ग ट्रिनोमियल लें और उसमें एक पूर्ण वर्ग चुनें: देखिए, हमें वह मिल गया है। हमने पहले परवलय के शीर्ष को बुलाया था, यानी अब,।

उदाहरण के लिए, । हम विमान पर परवलय के शीर्ष को चिह्नित करते हैं, हम समझते हैं कि शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय का विस्तार (अपेक्षाकृत) होता है। यही है, हम चरण 1 करते हैं; 3; 4; एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम से 5 (ऊपर देखें)।

टिप्पणी 2.यदि परवलय को इसी तरह के रूप में दिया जाता है (अर्थात, दो रैखिक कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है), तो हम तुरंत (x) अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु देखते हैं। इस मामले में - (0;0) और (4;0)। बाकी के लिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं।