बीजगणित में जिन विभिन्न अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी का योग एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।
उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।
हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.
प्रति बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।
आमतौर पर, एक चर वाले मानक रूप बहुपद के पदों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।
कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हैं। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:
यदि कोष्ठक के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।
यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।
एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)
गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।
यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।
एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।
हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।
बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)
सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।
एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।
संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग
बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम अभिव्यक्ति हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा कि संकेतित व्यंजकों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग के योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।
व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।
ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं भागों को दाएं से और इसके विपरीत - बाएं भागों के साथ दाएं भागों को बदलने की अनुमति देती हैं। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखें और समझें कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।
कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाओं को संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ चर के साथ अभिव्यक्तियों में किया जाता है। कोष्ठक वाले व्यंजक से कोष्ठक के बिना समान रूप से समान व्यंजक में जाना सुविधाजनक होता है। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।
कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।
एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम कोष्ठक के साथ प्रारंभिक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और कोष्ठक को खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक के बजाय
3−(5−7) हमें व्यंजक 3−5+7 मिलता है। हम इन दोनों व्यंजकों को समानता 3−(5−7)=3−5+7 के रूप में लिख सकते हैं।
और एक और महत्वपूर्ण बिंदु। गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथागत है कि यदि किसी व्यंजक में या कोष्ठक में यह पहला है तो धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो सकारात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम +7 + 3 नहीं, बल्कि केवल 7 + 3 लिखते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक सकारात्मक संख्या है। इसी तरह, उदाहरण के लिए, यदि आप देखते हैं, अभिव्यक्ति (5 + x) - पता है कि ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है, और इसके सामने प्लस + (+5 + x) है। पांच।
जोड़ने के लिए ब्रैकेट विस्तार नियम
कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस है, तो इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।
उदाहरण। व्यंजक 2 + (7 + 3) में कोष्ठकों को खोलिए, कोष्ठक में प्लस से पहले, तो कोष्ठक में संख्याओं के सामने के वर्ण नहीं बदलते हैं।
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
घटाते समय कोष्ठक के विस्तार का नियम
यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण है, तो यह ऋण कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो पद कोष्ठक में थे, उनके संकेत को विपरीत में बदल देते हैं। कोष्ठक में पहले पद से पहले एक चिन्ह की अनुपस्थिति का अर्थ है + चिन्ह।
उदाहरण। व्यंजक 2 - (7 + 3) में कोष्ठक खोलें
कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए आपको कोष्ठक से संख्याओं से पहले संकेतों को बदलने की आवश्यकता है। अंक 7 से पहले कोष्ठक में कोई चिन्ह नहीं है, जिसका अर्थ है कि सात धनात्मक है, यह माना जाता है कि + चिन्ह इसके सामने है।
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
कोष्ठक खोलते समय, हम उदाहरण से ऋण को हटाते हैं, जो कोष्ठक से पहले था, और कोष्ठक स्वयं 2 - (+ 7 + 3), और कोष्ठक में मौजूद संकेतों को विपरीत वाले में बदलते हैं।
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
गुणा करते समय कोष्ठक का विस्तार करना
यदि कोष्ठक के सामने गुणन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या को कोष्ठक के सामने के गुणनखंड से गुणा किया जाता है। उसी समय, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करना माइनस देता है।
इस प्रकार, गुणन के वितरण गुण के अनुसार उत्पादों में कोष्ठकों का विस्तार किया जाता है।
उदाहरण। 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
वास्तव में, सभी नियमों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह केवल एक को याद रखने के लिए पर्याप्त है: c(a−b)=ca−cb। क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम (a−b)=a−b प्राप्त होता है। और यदि हम घटा एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम -(a−b)=−a+b प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।
विभाजित करते समय कोष्ठक का विस्तार करें
यदि कोष्ठक के बाद एक विभाजन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या कोष्ठक के बाद भाजक द्वारा विभाज्य है, और इसके विपरीत।
उदाहरण। (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
नेस्टेड कोष्ठक का विस्तार कैसे करें
यदि व्यंजक में नेस्टेड कोष्ठक हैं, तो वे बाहरी या आंतरिक से प्रारंभ करते हुए क्रम में विस्तारित होते हैं।
उसी समय, किसी एक कोष्ठक को खोलते समय, यह महत्वपूर्ण है कि अन्य कोष्ठकों को स्पर्श न करें, बस उन्हें वैसे ही फिर से लिखें जैसे वे हैं।
उदाहरण। 12 - (ए + (6 - बी) - 3) = 12 - ए - (6 - बी) + 3 = 12 - ए - 6 + बी + 3 = 9 - ए + बी
लगभग किसी भी पाठ में, आप कोष्ठक और डैश पा सकते हैं। लेकिन उपयोगकर्ता हमेशा उन्हें सही ढंग से नहीं खींचते हैं। उदाहरण के लिए, एक या दो रिक्त स्थान के बिना डैश देखना असामान्य नहीं है जब टेक्स्ट किसी वर्ण से चिपक जाता है। यही बात कोष्ठकों पर भी लागू होती है, जिनका उपयोग अनुचित है या लेखन के नियमों को ध्यान में रखे बिना पाठ को अधिभारित करता है। यह लेख आम तौर पर स्वीकृत नियमों के अनुसार कोष्ठक और डैश लिखने के मुद्दों पर चर्चा करता है।
कोष्ठक नियम
कोष्ठक लिखते समय, उद्धरण चिह्नों के समान नियमों का पालन करें। उदाहरण के लिए, दो कोष्ठक एक पंक्ति में नहीं रखे गए हैं।
ऐसे कई मामले हैं जहां कोष्ठक का उपयोग किया जाता है:
अलग-अलग शब्द, शब्दों के समूह और पूरे वाक्य जो लेखक द्वारा व्यक्त किए गए मुख्य विचार से सीधे संबंधित नहीं हैं। पारित होने में बोले गए वाक्यांश, जब लेखक पाठक का ध्यान उनकी ओर आकर्षित नहीं करता है। कोष्ठक में व्यंजक वाक्य की वाक्यात्मक संरचना से बाहर हो जाते हैं।
उदाहरण: " और यद्यपि मैं खुद समझता हूं कि जब वह मेरे बवंडर को खींचती है, तो वह उन्हें केवल अपने दिल की दया से बाहर निकालती है (क्योंकि, मैं बिना किसी शर्मिंदगी के दोहराता हूं, वह मेरे बवंडर को खींचती है, युवक, "उसने अत्यधिक गरिमा के साथ पुष्टि की, एक और हंसी सुनकर) , लेकिन, भगवान, क्या होगा अगर वह एक बार भी ... लेकिन नहीं! नहीं! यह सब व्यर्थ है, और कहने के लिए कुछ नहीं है! कहने के लिए कुछ नहीं है! .. एक से अधिक बार वांछित पहले ही हो चुका है, और एक से अधिक बार उन्होंने मुझ पर दया की है, लेकिन ... यह पहले से ही मेरी विशेषता है, और मैं एक जन्मजात मवेशी हूं!" (एफ.एम. दोस्तोवस्की, "अपराध और सजा")
किसी वाक्य में किसी विशेष शब्द या वाक्यांश की व्याख्या करने के लिए संक्षिप्त टिप्पणियाँ कोष्ठक में दी गई हैं।
उदाहरण: " सामान्य, सुखदायक बकबक, जब, एक साथ ईमानदार सहानुभूति के साथ चला गया (हम सब यहाँ के हैं, और सभी, सामान्य तौर पर, दयालु लोग हैं)राहत का मजाक उड़ाने का संकेत भी है। मुझे नहीं! मैंने यह मूर्खता नहीं की, - यह चेहरों में पढ़ा गया।"(एस लुक्यानेंको, "शैडोज़ ऑफ़ ड्रीम्स")
उदाहरण: " मैंने एक युक्तियुक्त योगी से पूछा
(उसने छुरा घोंपा, उसने सॉसेज की तरह कीलें खाईं):
"सुनो, दोस्त, मेरे लिए खोलो - भगवान द्वारा,
मैं रहस्य को अपने साथ कब्र में ले जाऊँगा!»
(वी। वायसोस्की, "योगियों के बारे में एक गीत")
उदाहरण के लिए, सूत्रों और दृष्टांतों के संदर्भ कोष्ठक में संलग्न हैं (अंजीर। 2), (चित्र। 3, पृष्ठ। 184) , « सूत्र (1) पाइथागोरस प्रमेय का परिणाम है। सूत्रों (2) तथा (3) सूत्र से प्राप्त होते हैं (1) . » और सूचना के स्रोत (साहित्य, प्रकाशन) वर्गाकार कोष्ठकों में, उदाहरण के लिए: , , आदि।
टिप्पणियां कोष्ठक में संलग्न हैं, एक ज्वलंत उदाहरण परिदृश्य है जहां निरंतर कार्रवाई का मौखिक अवतार टिप्पणियों में इंगित किया गया है, उदाहरण के लिए:
« हंसेगा।
स्काईलार (कायम है)
आप यह कैसे करते हैं? मैं नहीं... मेरा मतलब है, यहां तक कि सबसे होशियार लोगों को भी मैं जानता हूं, हमारे पास हार्वर्ड में एक जोड़ा है, हमें अध्ययन करना है - बहुत कुछ। यह जटिल है।
(रोकना)
देखो, विल, अगर तुम मुझे बताना नहीं चाहते...»
(फिल्म "गुड विल हंटिंग" की स्क्रिप्ट
लेखक के पत्रों में अधूरे शब्दों को जोड़ते समय भी कोष्ठक का उपयोग किया जाता है।
पाठ में क्रमांकन निम्नलिखित प्रारूप में कोष्ठक का उपयोग करके लिखा गया है:
1)
एक)
*)
इसी तरह, फुटनोट (संदर्भ) के संकेत तैयार किए जाते हैं।
डैश नियम
डैश विराम चिह्नों को संदर्भित करता है; डैश से पहले और बाद में लिखते समय, एक स्थान हमेशा लिखा जाता है।
कुछ अपवाद हैं जब डैश दोनों या एक स्थान के बिना लिखा जाता है:
जब कोई पैराग्राफ डैश से शुरू होता है, तो उसके बाद ही एक स्पेस रखा जाता है।
जब एक डैश दो संख्याओं के बीच खड़ा होता है, एक हाइफ़न के रूप में कार्य करता है। उदाहरण के लिए: " हर दिन हमारी साइट पर 3000 . आते हैं -
3500 आगंतुक».
उदाहरण के लिए: " - ओह-ओह ... उह ... –
केवल और गूंगे Paige को बुदबुदाने में सक्षम था।(फिलिप के. डिक, माइनॉरिटी रिपोर्ट)
अल्पविराम, प्रश्न चिह्न, विस्मयादिबोधक चिह्न सहित अधिकांश विराम चिह्न डैश से पहले रखे जाते हैं। उदाहरण: " मध्य पर्वतीय क्षेत्र जिसमें पिंडस पर्वत स्थित हैं , - सबसे कम आबादी वाला। ग्रीस का उच्चतम बिंदु, माउंट ओलिंप (2917 मीटर) इस क्षेत्र में स्थित है। मध्य ग्रीस सबसे अधिक आबादी वाला क्षेत्र है।"(एकलोपेडिक संदर्भ पुस्तक" पूरी दुनिया। देश ")
डैश का उपयोग कई तरह से किया जाता है:
- विराम चिह्न के रूप में;
- उदाहरण के लिए, सीमा संख्याओं की एक जोड़ी के संबंधक के रूप में: 80-90%
;
- गणितीय ऋण चिह्न के रूप में;
- व्याख्यात्मक पाठ से एक विभाजक प्रतीक या प्रतीक के रूप में, उदाहरण के लिए, जब सूत्र में शामिल प्रतीकों का डिकोडिंग दिया जाता है, या चित्रण के लिए एक स्पष्टीकरण दिया जाता है;
- एक हाइफ़न के रूप में, शब्द के गैर-पोर्टेबल भाग के साथ लिखे गए डैश के साथ और अगली पंक्ति की शुरुआत में दोहराया नहीं जाना चाहिए;
- एक कनेक्टिंग डैश या हाइफ़न के रूप में।
कोष्ठक का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन व्यंजक \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में योग की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।
उदाहरण।
कोष्ठक का विस्तार करें: \(-(4m+3)\)।
समाधान
: \(-(4m+3)=-4m-3\)।
उदाहरण।
कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(5-(3x+2)+(2+3x)\)।
समाधान
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।
उदाहरण।
कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\)।
समाधान
: हमारे पास ब्रैकेट में \(3\) और \(-x\) और ब्रैकेट के सामने पांच हैं। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न को अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.
उदाहरण।
कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\)।
समाधान
: पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।
उदाहरण।
व्यंजक को सरल कीजिए: \(5(x+y)-2(x-y)\)।
समाधान
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)।
यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।
कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
उदाहरण।
कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
समाधान
: हमारे पास कोष्ठकों का एक गुणनफल है और इसे उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए सब कुछ चरणबद्ध तरीके से करें।
चरण 1। पहला ब्रैकेट निकालें - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे ब्रैकेट से गुणा किया जाता है:
चरण 2. ब्रैकेट के उत्पादों को ऊपर वर्णित कारक द्वारा विस्तारित करें:
- पहले वाला पहला...
फिर दूसरा।
चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पदों को लाते हैं:
सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।
पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \((a-b)=a-b\) प्राप्त होता है। और यदि हम ऋणात्मक एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।
कोष्ठक के भीतर कोष्ठक
कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों में नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: व्यंजक \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाने के लिए।
इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के घोंसले को ध्यान से समझें - कौन सा है जिसमें;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ शुरू करना।
कोष्ठकों में से किसी एक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को मत छुओ, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए उपरोक्त कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।
उदाहरण।
कोष्ठक खोलिए और समान पद \(7x+2(5-(3x+y))\) दीजिए।
समाधान:
उदाहरण।
कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)।
समाधान
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
यह कोष्ठकों का ट्रिपल नेस्टिंग है। हम अंतरतम से शुरू करते हैं (हरे रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक प्लस है, इसलिए इसे आसानी से हटा दिया जाता है। |
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|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
अब आपको दूसरा ब्रैकेट खोलने की जरूरत है, इंटरमीडिएट। लेकिन इससे पहले, हम इस दूसरे ब्रैकेट में समान शब्दों को घोस्ट करके व्यंजक को सरल बना देंगे। |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
अब हम दूसरा ब्रैकेट खोलते हैं (नीले रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक गुणक होता है - इसलिए कोष्ठक में प्रत्येक पद को इससे गुणा किया जाता है। |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
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|
और अंतिम कोष्ठक खोलें। ब्रैकेट माइनस से पहले - तो सभी संकेत उलट जाते हैं। |
||
ब्रैकेट खोलना गणित में एक बुनियादी कौशल है। इस कौशल के बिना, ग्रेड 8 और 9 में तीन से ऊपर का ग्रेड होना असंभव है। इसलिए, मैं इस विषय की अच्छी समझ की सलाह देता हूं।
ए + (बी + सी) को कोष्ठक के बिना लिखा जा सकता है: ए + (बी + सी) \u003d ए + बी + सी। इस ऑपरेशन को कोष्ठक विस्तार कहा जाता है।
उदाहरण 1आइए व्यंजक a + (- b + c) में कोष्ठक खोलें।
समाधान।ए + (-बी + सी) = ए + ((-बी) + सी) = ए + (-बी) + सी = ए-बी + सी।
यदि कोष्ठक से पहले "+" चिह्न है, तो आप कोष्ठक में शर्तों के चिह्नों को बनाए रखते हुए कोष्ठक और इस "+" चिह्न को छोड़ सकते हैं। यदि कोष्ठक में पहला पद बिना चिन्ह के लिखा गया है, तो उसे "+" चिन्ह के साथ लिखा जाना चाहिए।
उदाहरण 2आइए व्यंजक -2.87+ (2.87-7.639) का मान ज्ञात करें।
समाधान।कोष्ठक खोलने पर, हमें मिलता है - 2.87 + (2.87 - 7.639) \u003d - - 2.87 + 2.87 - 7.639 \u003d 0 - 7.639 \u003d - 7.639।
व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए - (- 9 + 5), आपको जोड़ना होगा नंबर-9 और 5 और प्राप्त राशि के विपरीत संख्या ज्ञात कीजिए: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4।
एक ही मान को अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले इन पदों के विपरीत संख्याएँ लिखिए (अर्थात उनके चिह्न बदलें), और फिर जोड़ें: 9 + (- 5) = 4। इस प्रकार, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
कई पदों के योग के विपरीत योग लिखने के लिए इन पदों के चिन्हों को बदलना आवश्यक है।
तो - (ए + बी) \u003d - ए - बी।
उदाहरण 3व्यंजक 16 - (10 -18 + 12) का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान। 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
"-" चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के लिए, आपको इस चिह्न को "+" से बदलना होगा, कोष्ठक में सभी शब्दों के संकेतों को विपरीत में बदलना होगा, और फिर कोष्ठक खोलना होगा।
उदाहरण 4आइए व्यंजक 9.36-(9.36 - 5.48) का मान ज्ञात करें।
समाधान। 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) == 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 .48।
ब्रैकेट खोलना और कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों का उपयोग अतिरिक्तगणना को आसान बनाएं।
उदाहरण 5व्यंजक (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान।सबसे पहले, हम कोष्ठक खोलते हैं, और फिर हम अलग-अलग सभी सकारात्मक और अलग-अलग सभी नकारात्मक संख्याओं का योग पाते हैं, और अंत में परिणाम जोड़ते हैं:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
उदाहरण 6व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
समाधान।पहले, हम प्रत्येक पद को उनके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में निरूपित करते हैं, फिर कोष्ठक खोलते हैं, फिर संपूर्ण और अलग-अलग जोड़ते हैं आंशिकभागों और अंत में परिणामों का योग:
आप "+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं? आप एक व्यंजक का मान कैसे ज्ञात कर सकते हैं जो अनेक संख्याओं के योग के विपरीत है? "-" चिन्ह से पहले कोष्ठक कैसे खोलें?
1218. कोष्ठक का विस्तार करें:
ए) 3.4+ (2.6+ 8.3); सी) एम + (एन-के);
बी) 4.57+ (2.6 - 4.57); डी) सी+(-ए + बी)।
1219. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:
1220. कोष्ठक का विस्तार करें:
ए) 85+ (7.8+ 98); घ) -(80-16) + 84; जी) ए- (बी-के-एन);
बी) (4.7 -17) + 7.5; ई) -ए + (एम-2.6); एच) - (ए-बी + सी);
ग) 64-(90 + 100); ई) सी+(-ए-बी); i) (एम-एन)-(पी-के)।
1221. कोष्ठक का विस्तार करें और व्यंजक का मान ज्ञात करें:
1222. व्यंजक को सरल कीजिए:
1223. लिखें रकमदो भाव और इसे सरल बनाएं:
ए) - 4 - एम और एम + 6.4; डी) ए + बी और पी - बी
बी) 1.1+ए और -26-ए; ई) - एम + एन और -के - एन;
सी) ए + 13 और -13 + बी; ई) एम - एन और एन - एम।
1224. दो व्यंजकों का अंतर लिखिए और उसे सरल कीजिए:
1226. समस्या को हल करने के लिए समीकरण का प्रयोग करें:
a) एक शेल्फ पर 42 किताबें हैं, और दूसरे पर 34 किताबें हैं। दूसरी शेल्फ से कई किताबें हटा दी गईं, और पहली से दूसरी पर छोड़ दी गईं। उसके बाद 12 किताबें पहले शेल्फ पर रह गईं। दूसरी शेल्फ से कितनी किताबें निकाली गईं?
b) पहली कक्षा में 42 छात्र हैं, तीसरी की तुलना में दूसरे में 3 छात्र कम हैं। यदि इन तीन ग्रेड में 125 छात्र हैं, तो तीसरी कक्षा में कितने छात्र हैं?
1227. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:
1228. मौखिक रूप से गणना करें:
1229. व्यंजक का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए:
1230. 4 क्रमागत पूर्णांकों को दर्ज करें यदि:
ए) उनमें से छोटा -12 के बराबर है; ग) उनमें से छोटा n के बराबर है;
बी) उनमें से बड़ा -18 के बराबर है; d) उनमें से बड़ा k के बराबर है।
