जाहिर है, शक्तियों वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें एक-एक करके उनके चिन्हों के साथ जोड़कर.
अत: a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।
कठिनाइयाँ समान चर की समान शक्तियांजोड़ा या घटाया जा सकता है।
तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 है।
यह भी स्पष्ट है कि यदि हम दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a लेते हैं।
लेकिन डिग्री विभिन्न चरऔर विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों में जोड़कर जोड़ा जाना चाहिए।
अत: a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग होता है।
यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, न तो a के वर्ग का दोगुना है, बल्कि a के घन का दोगुना है।
a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।
घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही किया जाता है, सिवाय इसके कि सबट्रेंड के संकेतों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।
या:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3एच 2 बी 6 - 4एच 2 बी 6 = -एच 2 बी 6
5 (ए - एच) 6 - 2 (ए - एच) 6 = 3 (ए - एच) 6
शक्ति गुणन
घातों वाली संख्याओं को उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना एक के बाद एक लिखकर अन्य राशियों की तरह गुणा किया जा सकता है।
तो, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।
या:
एक्स -3 ए एम = ए एम एक्स -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई
अंतिम उदाहरण में परिणाम समान चर जोड़कर आदेश दिया जा सकता है।
व्यंजक रूप लेगा: a 5 b 5 y 3 ।
कई संख्याओं (चर) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) होता है जिसकी घात बराबर होती है जोड़शर्तों की डिग्री।
तो, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ।
यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।
तो, a n .a m = a m+n ।
a n के लिए, a को n की घात जितनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;
और a m को उतनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है, जितनी बार घात m के बराबर होता है;
इसलिए, समान आधार वाली घातों को घातांक जोड़कर गुणा किया जा सकता है।
तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 । और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6।
या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन + 1
गुणा करें (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
उत्तर: x 4 - y 4।
गुणा करें (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1)।
यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सत्य है जिनके घातांक हैं - नकारात्मक.
1. तो, a -2 .a -3 = a -5 । इसे (1/आ) के रूप में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआ।
2. y-n .y-m = y-n-m ।
3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।
यदि a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 होगा, अर्थात
दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।
यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री।
तो, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 ।
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ।
(ए 4 - वाई 4)⋅(ए 4 + वाई 4) = ए 8 - वाई 8।
शक्तियों का विभाजन
घात वाली संख्याओं को भाजक से घटाकर या भिन्न के रूप में रखकर अन्य संख्याओं की तरह विभाजित किया जा सकता है।
तो a 3 b 2 को b 2 से भाग देने पर a 3 होता है।
या:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5 को 3 से विभाजित करना $\frac(a^5)(a^3)$ जैसा दिखता है। लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के संकेतक।
एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं।.
तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 । यानी $\frac(yyy)(yy) = y$।
और a n+1:a = a n+1-1 = a n । यानी, $\frac(aa^n)(a) = a^n$।
या:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (बी + वाई) एन: 3 (बी + वाई) 3 = 4 (बी + वाई) एन -3
नियम संख्याओं के लिए भी मान्य है नकारात्मकडिग्री मान।
-5 को -3 से विभाजित करने का परिणाम एक -2 है।
साथ ही, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (एए) $।
एच 2: एच -1 = एच 2+1 = एच 3 या $ एच ^ 2: \ फ्रैक (1) (एच) = एच ^ 2। \ फ्रैक (एच) (1) = एच ^ 3 $
शक्तियों के गुणन और विभाजन में बहुत अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि इस तरह के ऑपरेशन बीजगणित में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।
घातांक वाली संख्याओं वाले भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के उदाहरण
1. घातांक को $\frac(5a^4)(3a^2)$ में कम करें उत्तर: $\frac(5a^2)(3)$।
2. घातांक को $\frac(6x^6)(3x^5)$ में घटाएं। उत्तर: $\frac(2x)(1)$ या 2x।
3. घातांक a 2 / a 3 और a -3 / a -4 घटाएं और एक सामान्य हर में लाएं।
a 2 .a -4 एक -2 प्रथम अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 ।
4. घातांक 2a 4/5a 3 और 2/a 4 को घटाकर एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2a 3/5a 7 और 5a 5/5a 7 या 2a 3/5a 2 और 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।
6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।
7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।
8. 4 /y 3 को 3 /y 2 से भाग दें। उत्तर: ए / वाई।
9. (h 3 - 1)/d 4 को (d n + 1)/h से भाग दें।
शक्तियों को कैसे गुणा करें? किन शक्तियों को गुणा किया जा सकता है और कौन सी नहीं? आप किसी संख्या को घात से कैसे गुणा करते हैं?
बीजगणित में, आप दो स्थितियों में घातांक का गुणनफल पा सकते हैं:
1) यदि डिग्रियों का आधार समान है;
2) यदि डिग्री में समान संकेतक हैं।
समान आधार से घातों को गुणा करते समय, आधार वही रहना चाहिए, और घातांक जोड़े जाने चाहिए:
समान संकेतकों के साथ डिग्री गुणा करते समय, कुल संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है:
विशिष्ट उदाहरणों के साथ, शक्तियों को गुणा करने के तरीके पर विचार करें।
घातांक में इकाई नहीं लिखी जाती है, लेकिन डिग्री को गुणा करते समय, वे ध्यान में रखते हैं:
गुणा करते समय, डिग्री की संख्या कोई भी हो सकती है। यह याद रखना चाहिए कि आप अक्षर से पहले गुणन चिह्न नहीं लिख सकते हैं:
भावों में, घातांक पहले किया जाता है।
यदि आपको किसी संख्या को घात से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आपको पहले घातांक करना होगा, और उसके बाद ही - गुणा करना होगा:
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शक्तियों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग
शक्तियों का जोड़ और घटाव
जाहिर है, शक्तियों वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें एक-एक करके उनके चिन्हों के साथ जोड़कर.
अत: a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।
कठिनाइयाँ समान चर की समान शक्तियांजोड़ा या घटाया जा सकता है।
तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 है।
यह भी स्पष्ट है कि यदि हम दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a लेते हैं।
लेकिन डिग्री विभिन्न चरऔर विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों में जोड़कर जोड़ा जाना चाहिए।
अत: a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग होता है।
यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, न तो a के वर्ग का दोगुना है, बल्कि a के घन का दोगुना है।
a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।
घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही किया जाता है, सिवाय इसके कि सबट्रेंड के संकेतों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।
या:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3एच 2 बी 6 - 4एच 2 बी 6 \u003d -एच 2 बी 6
5 (ए - एच) 6 - 2 (ए - एच) 6 = 3 (ए - एच) 6
शक्ति गुणन
घातों वाली संख्याओं को उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना एक के बाद एक लिखकर अन्य राशियों की तरह गुणा किया जा सकता है।
तो, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।
या:
एक्स -3 ए एम = ए एम एक्स -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई
अंतिम उदाहरण में परिणाम समान चर जोड़कर आदेश दिया जा सकता है।
व्यंजक रूप लेगा: a 5 b 5 y 3 ।
कई संख्याओं (चर) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) होता है जिसकी घात बराबर होती है जोड़शर्तों की डिग्री।
तो, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ।
यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।
तो, a n .a m = a m+n ।
a n के लिए, a को n की घात जितनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;
और a m को उतनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है, जितनी बार घात m के बराबर होता है;
इसलिए, समान आधार वाली घातों को घातांक जोड़कर गुणा किया जा सकता है।
तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 । और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6।
या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन + 1
गुणा करें (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
उत्तर: x 4 - y 4।
गुणा करें (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1)।
यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सही है जिनके घातांक − . हैं नकारात्मक.
1. तो, a -2 .a -3 = a -5 । इसे (1/आ) के रूप में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआ।
2. y-n .y-m = y-n-m ।
3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।
यदि a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 होगा, अर्थात
दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।
यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री।
तो, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 ।
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ।
(ए 4 - वाई 4)⋅(ए 4 + वाई 4) = ए 8 - वाई 8।
शक्तियों का विभाजन
घात वाली संख्याओं को भाजक से घटाकर या भिन्न के रूप में रखकर अन्य संख्याओं की तरह विभाजित किया जा सकता है।
तो a 3 b 2 को b 2 से भाग देने पर a 3 होता है।
5 को 3 से विभाजित करना $\frac . जैसा दिखता है $. लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के संकेतक।
एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं।.
तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 । यानी $\frac = y$।
और a n+1:a = a n+1-1 = a n । अर्थात्, $\frac = a^n$।
या:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (बी + वाई) एन: 3 (बी + वाई) 3 = 4 (बी + वाई) एन -3
नियम संख्याओं के लिए भी मान्य है नकारात्मकडिग्री मान।
-5 को -3 से विभाजित करने का परिणाम एक -2 है।
साथ ही, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
एच 2: एच -1 = एच 2+1 = एच 3 या $ एच ^ 2: \ फ्रैक = एच ^ 2। \ फ्रैक = एच ^ 3 $
शक्तियों के गुणन और विभाजन में बहुत अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि इस तरह के ऑपरेशन बीजगणित में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।
घातांक वाली संख्याओं वाले भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के उदाहरण
1. $\frac $ में घातांक कम करें उत्तर: $\frac $।
2. घातांक को $\frac$ में घटाएं। उत्तर: $\frac $ या 2x।
3. घातांक a 2 / a 3 और a -3 / a -4 घटाएं और एक सामान्य हर में लाएं।
a 2 .a -4 एक -2 प्रथम अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 ।
4. घातांक 2a 4/5a 3 और 2/a 4 को घटाकर एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2a 3/5a 7 और 5a 5/5a 7 या 2a 3/5a 2 और 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।
6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।
7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।
8. 4 /y 3 को 3 /y 2 से भाग दें। उत्तर: ए / वाई।
डिग्री गुण
हम आपको याद दिलाते हैं कि इस पाठ में हम समझते हैं डिग्री गुणप्राकृतिक संकेतकों और शून्य के साथ। तर्कसंगत संकेतकों और उनके गुणों के साथ डिग्री पर ग्रेड 8 के पाठों में चर्चा की जाएगी।
एक प्राकृतिक घातांक वाले घातांक में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो आपको घातांक उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।
संपत्ति #1
शक्तियों का उत्पाद
जब एक ही आधार से घातों को गुणा किया जाता है, तो आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक जोड़े जाते हैं।
a m a n \u003d a m + n, जहाँ "a" कोई भी संख्या है, और "m", "n" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
शक्तियों का यह गुण तीन या अधिक शक्तियों के गुणनफल को भी प्रभावित करता है।
बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
कृपया ध्यान दें कि संकेतित संपत्ति में यह केवल समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करने के बारे में था।. यह उनके जोड़ पर लागू नहीं होता है।
आप योग (3 3 + 3 2) को 3 5 से प्रतिस्थापित नहीं कर सकते। यह समझ में आता है अगर
गणना करें (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 और 3 5 = 243
संपत्ति #2
निजी डिग्री
एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, आधार अपरिवर्तित रहता है, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है।
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
उदाहरण। प्रश्न हल करें। हम आंशिक डिग्री की संपत्ति का उपयोग करते हैं।
3 8: टी = 3 4
उत्तर: टी = 3 4 = 81
गुण संख्या 1 और संख्या 2 का उपयोग करके, आप आसानी से भावों को सरल बना सकते हैं और गणना कर सकते हैं।
- उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
उदाहरण। डिग्री गुणों का उपयोग करके व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
2 11 − 5 = 2 6 = 64
कृपया ध्यान दें कि संपत्ति 2 केवल समान आधारों के साथ शक्तियों के विभाजन से संबंधित है।
आप अंतर (4 3 −4 2) को 4 1 से नहीं बदल सकते। यह समझ में आता है यदि आप गणना करते हैं (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, और 4 1 = 4
संपत्ति #3
घातांक
किसी घात को घात में बढ़ाते समय, घात का आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक गुणा किए जाते हैं।
(ए एन) एम \u003d ए एन एम, जहां "ए" कोई संख्या है, और "एम", "एन" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
कृपया ध्यान दें कि संपत्ति संख्या 4, डिग्री के अन्य गुणों की तरह, रिवर्स ऑर्डर में भी लागू होती है।
(ए एन बी एन) = (ए बी) एन
यही है, एक ही घातांक के साथ डिग्री गुणा करने के लिए, आप आधारों को गुणा कर सकते हैं, और घातांक को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
अधिक जटिल उदाहरणों में, ऐसे मामले हो सकते हैं जब गुणन और विभाजन विभिन्न आधारों और विभिन्न घातांक वाली शक्तियों पर किया जाना चाहिए। इस मामले में, हम आपको निम्नलिखित करने की सलाह देते हैं।
उदाहरण के लिए, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
दशमलव भिन्न के घातांक का उदाहरण।
4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (-0.25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4
गुण 5
भागफल की शक्ति (अंश)
भागफल को किसी घात तक बढ़ाने के लिए, आप इस घात के लाभांश और भाजक को अलग-अलग बढ़ा सकते हैं, और पहले परिणाम को दूसरे से विभाजित कर सकते हैं।
(ए: बी) एन \u003d ए एन: बी एन, जहां "ए", "बी" कोई तर्कसंगत संख्या है, बी 0, एन कोई प्राकृतिक संख्या है।
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
हम आपको याद दिलाते हैं कि भागफल को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, हम अगले पृष्ठ पर एक अंश को एक घात में बढ़ाने के विषय पर अधिक विस्तार से ध्यान देंगे।
डिग्री और जड़ें
शक्तियों और जड़ों के साथ संचालन। नकारात्मक के साथ डिग्री ,
शून्य और भिन्नात्मक संकेतक। उन भावों के बारे में जिनका कोई मतलब नहीं है।
डिग्री के साथ संचालन।
1. एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करते समय, उनके संकेतक जोड़े जाते हैं:
हूँ · ए एन = ए एम + एन।
2. डिग्री को एक ही आधार से विभाजित करते समय, उनके संकेतक घटाया .
3. दो या दो से अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर होती है।
4. अनुपात (अंश) की डिग्री लाभांश (अंश) और भाजक (भाजक) की डिग्री के अनुपात के बराबर है:
(ए/बी) एन = ए एन / बी एन।
5. जब किसी घात को डिग्री बढ़ाते हैं, तो उनके संकेतक गुणा किए जाते हैं:
उपरोक्त सभी सूत्र बाएं से दाएं और इसके विपरीत दोनों दिशाओं में पढ़े और निष्पादित किए जाते हैं।
उदाहरण (2 3 5/15)² = 2 3 ² 5 / 15 = 900/225 = 4 .
जड़ों के साथ संचालन। नीचे दिए गए सभी सूत्रों में प्रतीक का अर्थ है अंकगणितीय जड़(कट्टरपंथी अभिव्यक्ति सकारात्मक है)।
1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:
2. अनुपात का मूल भाज्य और भाजक के मूल के अनुपात के बराबर होता है:
3. जब जड़ को किसी शक्ति में ऊपर उठाया जाता है, तो इस शक्ति को बढ़ाने के लिए पर्याप्त है मूल संख्या:
4. यदि आप रूट की डिग्री को m गुना बढ़ाते हैं और साथ ही साथ रूट नंबर को m -th डिग्री तक बढ़ाते हैं, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:
5. यदि आप मूलांक की डिग्री को m गुना कम करते हैं और साथ ही मूलांक से m-th डिग्री का मूल निकालते हैं, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:
डिग्री की अवधारणा का विस्तार। अभी तक हमने डिग्रियों पर केवल एक प्राकृतिक संकेतक के साथ विचार किया है; लेकिन शक्तियों और जड़ों के साथ संचालन भी नेतृत्व कर सकता है नकारात्मक, शून्यऔर आंशिकसंकेतक। इन सभी प्रतिपादकों को एक अतिरिक्त परिभाषा की आवश्यकता है।
एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री। एक ऋणात्मक (पूर्णांक) घातांक के साथ एक निश्चित संख्या की डिग्री को ऋणात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर एक घातांक के साथ समान संख्या की डिग्री से विभाजित के रूप में परिभाषित किया जाता है:
अब सूत्र हूँ : एक = एक एम-एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम, इससे अधिक एन, लेकिन यह भी एम, से कम एन .
उदाहरण ए 4: ए 7 = ए 4 — 7 = ए — 3 .
अगर हम सूत्र चाहते हैं हूँ : एक = हूँ — एननिष्पक्ष था एम = एन, हमें शून्य डिग्री की परिभाषा चाहिए।
शून्य घातांक के साथ डिग्री। शून्य घातांक वाली किसी भी अशून्य संख्या की घात 1 होती है।
उदाहरण। 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री। वास्तविक संख्या a को घात m / n तक बढ़ाने के लिए, आपको इस संख्या की mth घात से nth डिग्री की जड़ निकालने की आवश्यकता है:
उन अभिव्यक्तियों के बारे में जिनका कोई मतलब नहीं है। ऐसे कई भाव हैं।
कहाँ पे ए ≠ 0 , मौजूद नहीं होना।
दरअसल, अगर हम यह मान लें कि एक्सएक निश्चित संख्या है, तो, विभाजन संचालन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है: ए = 0· एक्स, अर्थात। ए= 0, जो इस शर्त के विपरीत है: ए ≠ 0
— कोई संख्या।
वास्तव में, यदि हम यह मान लें कि यह व्यंजक किसी संख्या के बराबर है एक्स, तो डिवीजन ऑपरेशन की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है: 0 = 0 एक्स. लेकिन यह समानता कायम है कोई भी संख्या x, जिसे साबित करना था।
0 0 — कोई संख्या।
हल। तीन मुख्य मामलों पर विचार करें:
1) एक्स = 0 – यह मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है
2) कब एक्स> 0 हमें मिलता है: एक्स / एक्स= 1, यानी 1 = 1, कहाँ से आता है,
क्या एक्स- कोई संख्या; लेकिन इस बात को ध्यान में रखते हुए
हमारा मामला एक्स> 0 , उत्तर है एक्स > 0 ;
विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करने के नियम
एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री,
पावर फंक्शन IV
69. समान आधारों से घातों का गुणन और विभाजन
प्रमेय 1.समान आधारों से घातों को गुणा करने के लिए, घातांक जोड़ने के लिए पर्याप्त है, और आधार को वही छोड़ दें, अर्थात्
प्रमाण।डिग्री की परिभाषा के अनुसार
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
हमने दो शक्तियों का उत्पाद माना है। वास्तव में, सिद्ध संपत्ति समान आधारों वाली किसी भी संख्या में शक्तियों के लिए सही है।
प्रमेय 2।शक्तियों को समान आधारों से विभाजित करने के लिए, जब लाभांश का संकेतक भाजक के संकेतक से अधिक होता है, तो भाजक के संकेतक को लाभांश के संकेतक से घटाना पर्याप्त होता है, और आधार को वही छोड़ देता है, अर्थात पर टी > नहीं
(ए =/= 0)
प्रमाण।याद रखें कि एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने का भागफल वह संख्या होती है, जिसे भाजक से गुणा करने पर लाभांश प्राप्त होता है। इसलिए, सूत्र सिद्ध कीजिए, जहाँ ए === 0, यह सूत्र को सिद्ध करने जैसा है
यदि एक टी > नहीं , फिर संख्या टी - पी स्वाभाविक होगा; इसलिए, प्रमेय 1 . द्वारा
प्रमेय 2 सिद्ध होता है।
ध्यान दें कि सूत्र
हमारे द्वारा केवल इस धारणा के तहत सिद्ध किया गया है कि टी > नहीं . इसलिए, जो साबित हुआ है, उससे अभी तक निष्कर्ष निकालना संभव नहीं है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित निष्कर्ष:
इसके अलावा, हमने अभी तक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री पर विचार नहीं किया है, और हम अभी तक नहीं जानते हैं कि अभिव्यक्ति 3 का क्या अर्थ दिया जा सकता है - 2 .
प्रमेय 3. घात को घात में बढ़ाने के लिए, घातांक को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, घातांक के आधार को समान छोड़ दें, अर्थात
प्रमाण।इस खंड की घात और प्रमेय 1 की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
क्यू.ई.डी.
उदाहरण के लिए, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (मौखिक।) निर्धारित करें एक्स समीकरणों से:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 एक्स ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 एक्स ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 एक्स ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 एक्स .
519. (समायोजित) सरलीकृत करें:
520. (समायोजित) सरलीकृत करें:
521. इन अभिव्यक्तियों को समान आधारों के साथ डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें:
1) 32 और 64; 3) 85 और 163; 5) 4 100 और 32 50;
2) -1000 और 100; 4) -27 और -243; 6) 81 75 8 200 और 3 600 4 150।
शक्ति सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।
संख्या सीएक एन-एक संख्या की शक्ति एजब:
डिग्री के साथ संचालन।
1. एक ही आधार से डिग्रियों को गुणा करने पर, उनके संकेतक जुड़ते हैं:
हूँए एन = ए एम + एन।
2. एक ही आधार के साथ डिग्री के विभाजन में, उनके संकेतक घटाए जाते हैं:
3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:
(एबीसी…) एन = ए एन बी एन सी एन …
4. भिन्न की घात, भाज्य और भाजक की अंशों के अनुपात के बराबर होती है:
(ए/बी) एन = ए एन / बी एन।
5. किसी घात को घात में बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:
(एम) एन = एक एम एन।
ऊपर दिया गया प्रत्येक सूत्र बाएं से दाएं और इसके विपरीत दिशाओं में सही है।
उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
जड़ों के साथ संचालन।
1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:
2. अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:
3. जब किसी जड़ को किसी घात में ऊपर उठाया जाता है, तो यह मूल संख्या को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त होता है:
4. यदि हम जड़ की मात्रा को में बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में बढ़ाएँ एन th पावर एक रूट नंबर है, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:
5. यदि हम जड़ की डिग्री को में घटा दें एनएक ही समय में जड़ एनमूलांक से th डिग्री, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:
एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री।एक गैर-सकारात्मक (पूर्णांक) घातांक के साथ एक निश्चित संख्या की डिग्री को गैर-सकारात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर एक घातांक के साथ समान संख्या की डिग्री से विभाजित के रूप में परिभाषित किया गया है:
सूत्र हूँ:ए एन = ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन यह भी एम< एन.
उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.
सूत्र के लिए हूँ:ए एन = ए एम - एननिष्पक्ष हो गया एम = एन, आपको शून्य डिग्री की उपस्थिति की आवश्यकता है।
शून्य घातांक के साथ डिग्री।शून्य घातांक वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात एक के बराबर होती है।
उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री।वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एएक स्तर तक मी/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एमइस संख्या की शक्ति ए.
प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन कभी-कभी रिकॉर्ड करने के लिए बहुत बोझिल हो जाता है और वे इसे सरल बनाने का प्रयास करते हैं। जोड़ ऑपरेशन के साथ भी ऐसा ही हुआ करता था। लोगों के लिए एक ही प्रकार के बार-बार परिवर्धन करना आवश्यक था, उदाहरण के लिए, एक सौ फारसी कालीनों की लागत की गणना करने के लिए, जिसकी लागत प्रत्येक के लिए 3 सोने के सिक्के हैं। 3+3+3+…+3 = 300। बोझिलता के कारण, यह अंकन को 3 * 100 = 300 तक कम करने के लिए आविष्कार किया गया था। वास्तव में, अंकन "तीन गुना एक सौ" का अर्थ है कि आपको एक सौ लेने की आवश्यकता है तीन गुना और उन्हें एक साथ जोड़ें। गुणन ने जड़ ली, सामान्य लोकप्रियता हासिल की। लेकिन दुनिया अभी भी खड़ी नहीं है, और मध्य युग में एक ही प्रकार के बार-बार गुणा करना आवश्यक हो गया। मुझे एक बुद्धिमान व्यक्ति के बारे में एक पुरानी भारतीय पहेली याद आती है, जिसने किए गए काम के लिए निम्नलिखित मात्रा में गेहूं के दाने मांगे थे: शतरंज की बिसात के पहले सेल के लिए उसने एक अनाज मांगा, दूसरे के लिए - दो, तीसरे - चार , पाँचवाँ - आठ, और इसी तरह। इस प्रकार शक्तियों का पहला गुणन प्रकट हुआ, क्योंकि अनाज की संख्या कोशिका संख्या की शक्ति के दो के बराबर थी। उदाहरण के लिए, अंतिम सेल पर 2*2*2*…*2 = 2^63 दाने होंगे, जो 18 वर्णों की संख्या के बराबर है, जो वास्तव में पहेली का अर्थ है।
एक शक्ति को बढ़ाने के संचालन ने बहुत तेज़ी से जड़ें जमा लीं, और डिग्री के जोड़, घटाव, विभाजन और गुणन को अंजाम देना भी जल्दी से आवश्यक हो गया। उत्तरार्द्ध अधिक विस्तार से विचार करने योग्य है। शक्तियों को जोड़ने के सूत्र सरल और याद रखने में आसान हैं। इसके अलावा, यह समझना बहुत आसान है कि वे कहां से आते हैं यदि पावर ऑपरेशन को गुणन द्वारा बदल दिया जाए। लेकिन पहले आपको प्राथमिक शब्दावली को समझने की जरूरत है। व्यंजक a ^ b (पढ़ें "a to power of b") का अर्थ है कि संख्या a को स्वयं b गुना से गुणा किया जाना चाहिए, और "a" को डिग्री का आधार कहा जाता है, और "b" घातांक है। यदि शक्तियों के आधार समान हैं, तो सूत्र काफी सरलता से निकाले जाते हैं। विशिष्ट उदाहरण: व्यंजक 2^3 * 2^4 का मान ज्ञात कीजिए। क्या होना चाहिए, यह जानने के लिए आपको समाधान शुरू करने से पहले कंप्यूटर पर इसका उत्तर पता करना चाहिए। किसी भी ऑनलाइन कैलकुलेटर, सर्च इंजन में इस एक्सप्रेशन को दर्ज करते हुए, "विभिन्न आधारों और समान के साथ शक्तियों का गुणन" या गणितीय पैकेज टाइप करके, आउटपुट 128 होगा। अब इस एक्सप्रेशन को लिखते हैं: 2^3 = 2*2*2, और 2^4 = 2 *2*2*2। यह पता चला है कि 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) । यह पता चला है कि समान आधार वाली शक्तियों का गुणनफल पिछली दो शक्तियों के योग के बराबर घात के लिए उठाए गए आधार के बराबर है।
आप सोच सकते हैं कि यह एक दुर्घटना है, लेकिन नहीं: कोई अन्य उदाहरण केवल इस नियम की पुष्टि कर सकता है। इस प्रकार, सामान्य तौर पर, सूत्र इस तरह दिखता है: a^n * a^m = a^(n+m) । एक नियम यह भी है कि शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है। यहां हमें नकारात्मक शक्तियों का नियम याद रखना चाहिए: a^(-n) = 1 / a^n। अर्थात्, यदि 2^3 = 8, तो 2^(-3) = 1/8। इस नियम का उपयोग करके, हम समानता साबित कर सकते हैं a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) को कम किया जा सकता है और एक रहता है। इससे यह नियम निकलता है कि समान आधार वाली घातों का भागफल इस आधार के बराबर है, जो भाज्य और भाजक के भागफल के बराबर है: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) । उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) । गुणा एक कम्यूटेटिव ऑपरेशन है, इसलिए गुणन घातांक को पहले जोड़ा जाना चाहिए: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. इसके बाद, आपको विभाजन से नकारात्मक डिग्री से निपटना चाहिए। भाजक घातांक को लाभांश घातांक से घटाना आवश्यक है: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. यह यह पता चलता है कि ऋणात्मक अंश से भाग देने की क्रिया समान धनात्मक घातांक द्वारा गुणन की संक्रिया के समान है। तो अंतिम उत्तर 8 है।
ऐसे उदाहरण हैं जहां शक्तियों का गैर-विहित गुणन होता है। विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करना अक्सर अधिक कठिन होता है, और कभी-कभी असंभव भी होता है। विभिन्न संभावित दृष्टिकोणों के कई उदाहरण दिए जाने चाहिए। उदाहरण: व्यंजक 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 को सरल बनाएं। जाहिर है, विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों का गुणन होता है। लेकिन, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी आधार एक ट्रिपल की अलग-अलग शक्तियां हैं। 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6। नियम (a^n) ^m = a^(n*m) का उपयोग करते हुए, आपको व्यंजक को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखना चाहिए: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) । उत्तर: 3^11. ऐसे मामलों में जहां अलग-अलग आधार हैं, नियम a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n समान संकेतकों के लिए काम करता है। उदाहरण के लिए, 3^3 * 7^3 = 21^3। अन्यथा, जब विभिन्न आधार और संकेतक होते हैं, तो पूर्ण गुणा करना असंभव है। कभी-कभी आप कंप्यूटर तकनीक की मदद से आंशिक रूप से सरल या सहारा ले सकते हैं।
गणित में डिग्री की अवधारणा को बीजगणित के पाठ में 7वीं कक्षा में ही पेश किया जाता है। और भविष्य में, गणित के अध्ययन के दौरान, इस अवधारणा को इसके विभिन्न रूपों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। डिग्री एक कठिन विषय है, जिसमें मूल्यों को याद रखने और सही ढंग से और जल्दी से गिनने की क्षमता की आवश्यकता होती है। गणित की डिग्री के साथ तेजी से और बेहतर काम के लिए, वे डिग्री के गुणों के साथ आए। वे बड़ी गणनाओं में कटौती करने में मदद करते हैं, एक विशाल उदाहरण को एक संख्या में कुछ हद तक परिवर्तित करने के लिए। इतने सारे गुण नहीं हैं, और उन सभी को याद रखना और व्यवहार में लागू करना आसान है। इसलिए, लेख डिग्री के मुख्य गुणों के साथ-साथ जहां उन्हें लागू किया जाता है, पर चर्चा करता है।
डिग्री गुण
हम एक डिग्री के 12 गुणों पर विचार करेंगे, जिसमें समान आधार वाली शक्तियों के गुण शामिल हैं, और प्रत्येक संपत्ति के लिए एक उदाहरण देंगे। इनमें से प्रत्येक गुण आपको डिग्री के साथ समस्याओं को तेजी से हल करने में मदद करेगा, साथ ही आपको कई कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से बचाएगा।
पहली संपत्ति।
बहुत से लोग अक्सर इस संपत्ति के बारे में भूल जाते हैं, गलतियाँ करते हैं, एक संख्या को शून्य डिग्री तक शून्य के रूप में दर्शाते हैं।
दूसरी संपत्ति।
तीसरी संपत्ति।
यह याद रखना चाहिए कि इस गुण का उपयोग केवल संख्याओं को गुणा करने पर ही किया जा सकता है, यह योग के साथ काम नहीं करता है! और हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि यह और निम्नलिखित गुण केवल समान आधार वाली शक्तियों पर लागू होते हैं।
चौथी संपत्ति।
यदि हर में संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो घटाते समय, आगे की गणना में चिह्न को सही ढंग से बदलने के लिए हर की डिग्री को कोष्ठक में लिया जाता है।
गुण केवल विभाजित करते समय काम करता है, घटाते समय नहीं!
5 वीं संपत्ति।
छठी संपत्ति।
इस संपत्ति को रिवर्स में भी लागू किया जा सकता है। किसी संख्या से कुछ अंश तक भाग देने वाली इकाई वह संख्या होती है जिसका ऋणात्मक घात होता है।
7वीं संपत्ति।
इस संपत्ति को योग और अंतर पर लागू नहीं किया जा सकता है! किसी घात का योग या अंतर बढ़ाते समय, संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग किया जाता है, न कि घात के गुणों का।
आठवीं संपत्ति।
9वीं संपत्ति।
यह गुण एक के बराबर अंश के साथ किसी भी भिन्नात्मक डिग्री के लिए काम करता है, सूत्र समान होगा, केवल मूल की डिग्री डिग्री के हर के आधार पर बदल जाएगी।
साथ ही, इस संपत्ति का उपयोग अक्सर उल्टे क्रम में किया जाता है। किसी संख्या की किसी भी घात के मूल को उस संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो मूल की घात से विभाजित एक की घात है। यह गुण उन मामलों में बहुत उपयोगी है जहां संख्या की जड़ नहीं निकाली जाती है।
10वीं संपत्ति।
यह गुण न केवल वर्गमूल और दूसरी डिग्री के साथ काम करता है। यदि जड़ की डिग्री और जिस हद तक इस जड़ को उठाया गया है, वही हैं, तो उत्तर एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति होगी।
11वीं संपत्ति।
अपने आप को बड़ी गणनाओं से बचाने के लिए इसे हल करते समय आपको इस संपत्ति को समय पर देखने में सक्षम होना चाहिए।
12वीं संपत्ति।
इनमें से प्रत्येक गुण आपको कार्यों में एक से अधिक बार मिलेंगे, इसे अपने शुद्ध रूप में दिया जा सकता है, या इसके लिए कुछ परिवर्तनों और अन्य सूत्रों के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए, सही समाधान के लिए, केवल गुणों को जानना पर्याप्त नहीं है, आपको अभ्यास करने और शेष गणितीय ज्ञान को जोड़ने की आवश्यकता है।
डिग्री और उनके गुणों का अनुप्रयोग
वे बीजगणित और ज्यामिति में सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। गणित में डिग्री का एक अलग, महत्वपूर्ण स्थान होता है। उनकी मदद से, घातीय समीकरण और असमानताएं हल हो जाती हैं, साथ ही शक्तियां अक्सर गणित के अन्य वर्गों से संबंधित समीकरणों और उदाहरणों को जटिल बनाती हैं। घातांक बड़ी और लंबी गणनाओं से बचने में मदद करते हैं, घातांक को कम करना और गणना करना आसान होता है। लेकिन बड़ी शक्तियों के साथ, या बड़ी संख्या की शक्तियों के साथ काम करने के लिए, आपको न केवल डिग्री के गुणों को जानने की जरूरत है, बल्कि आधारों के साथ भी सक्षम रूप से काम करने की जरूरत है, अपने काम को आसान बनाने के लिए उन्हें विघटित करने में सक्षम होना चाहिए। सुविधा के लिए, आपको किसी घात के लिए उठाए गए नंबरों का अर्थ भी पता होना चाहिए। यह लंबी गणनाओं की आवश्यकता को समाप्त करके हल करने में आपके समय को कम करेगा।
लघुगणक में डिग्री की अवधारणा एक विशेष भूमिका निभाती है। चूंकि लघुगणक, संक्षेप में, एक संख्या की शक्ति है।
संक्षिप्त गुणन सूत्र शक्तियों के उपयोग का एक और उदाहरण हैं। वे डिग्री के गुणों का उपयोग नहीं कर सकते हैं, वे विशेष नियमों के अनुसार विघटित होते हैं, लेकिन प्रत्येक संक्षिप्त गुणन सूत्र में हमेशा डिग्री होती है।
भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान में भी डिग्री का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। एसआई प्रणाली में सभी अनुवाद डिग्री का उपयोग करके किए जाते हैं, और भविष्य में, समस्याओं को हल करते समय, डिग्री के गुणों को लागू किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में, संख्याओं की धारणा को गिनने और सरल बनाने की सुविधा के लिए दो की शक्तियों का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माप की इकाइयों के रूपांतरण या समस्याओं की गणना के लिए आगे की गणना, जैसे कि भौतिकी में, डिग्री के गुणों का उपयोग करके होती है।
डिग्री खगोल विज्ञान में भी बहुत उपयोगी हैं, जहां आप शायद ही कभी किसी डिग्री के गुणों का उपयोग पा सकते हैं, लेकिन डिग्री स्वयं सक्रिय रूप से विभिन्न मात्राओं और दूरियों की रिकॉर्डिंग को छोटा करने के लिए उपयोग की जाती हैं।
डिग्री का उपयोग रोजमर्रा की जिंदगी में भी किया जाता है, जब क्षेत्रों, मात्राओं, दूरियों की गणना की जाती है।
डिग्री की मदद से विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में बहुत बड़े और बहुत छोटे मान लिखे जाते हैं।
घातीय समीकरण और असमानताएं
घातीय समीकरणों और असमानताओं में डिग्री गुण एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेते हैं। स्कूल के पाठ्यक्रम और परीक्षा दोनों में ये कार्य बहुत सामान्य हैं। उन सभी को डिग्री के गुणों को लागू करके हल किया जाता है। अज्ञात हमेशा डिग्री में ही होता है, इसलिए सभी गुणों को जानकर, ऐसे समीकरण या असमानता को हल करना मुश्किल नहीं होगा।
