एक त्रिभुज में कितने भिन्न सममिति के अक्ष हो सकते हैं, यह उसके ज्यामितीय आकार पर निर्भर करता है। यदि यह एक समबाहु त्रिभुज है, तो इसमें तुरंत सममिति के तीन अक्ष होंगे।

और यदि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, तो इसकी सममिति का केवल एक अक्ष होगा।

बहन का बेटा अभी स्कूल में इस विषय को ज्यामिति के पाठों में पढ़ रहा है। समरूपता की धुरी एक सीधी रेखा है, जिसके चारों ओर घुमाए जाने पर, एक विशिष्ट कोण पर, सममित आकृति अंतरिक्ष में वही स्थिति लेती है जो उसने घूर्णन से पहले कब्जा कर लिया था, और इसके कुछ हिस्सों को उसी अन्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा। एक समद्विबाहु त्रिभुज में - तीन, एक आयताकार में - एक, बाकी में - नहीं, क्योंकि उनकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर नहीं होती हैं।

यह किस त्रिभुज पर निर्भर करता है। एक समबाहु त्रिभुज में सममिति के तीन अक्ष होते हैं जो इसके तीन शीर्षों से होकर गुजरते हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज, क्रमशः, समरूपता का एक अक्ष होता है। शेष त्रिभुजों में सममिति अक्ष नहीं होते हैं।



याद रखने वाली सबसे सरल बात यह है कि एक समबाहु त्रिभुज की तीन भुजाएँ बराबर होती हैं और इसमें सममिति के तीन अक्ष होते हैं

इससे निम्नलिखित को याद रखना आसान हो जाता है

कोई समान भुजाएँ नहीं हैं, अर्थात सभी भुजाएँ भिन्न हैं, जिसका अर्थ है कि समरूपता की कुल्हाड़ियाँ नहीं हैं

एक समद्विबाहु त्रिभुज में केवल एक अक्ष होता है।



आप इस बात का उत्तर नहीं दे सकते कि एक त्रिभुज में कितने सममित अक्ष हैं, यह समझे बिना कि हम किस विशेष त्रिभुज की बात कर रहे हैं।

एक समबाहु त्रिभुज में क्रमशः सममिति के तीन अक्ष होते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में सममिति का केवल एक अक्ष होता है।

अलग-अलग लंबाई के पक्षों वाले किसी भी अन्य त्रिभुज में सममिति की कोई धुरी नहीं होती है।

एक त्रिभुज, जिसकी सभी भुजाएँ आकार में भिन्न होती हैं, में सममिति का कोई अक्ष नहीं होता है।

एक समकोण त्रिभुज में समरूपता की एक धुरी हो सकती है यदि उसके पैर बराबर हों।

एक त्रिभुज में जिसमें दो भुजाएँ समान (समद्विबाहु) हों, एक अक्ष खींचा जा सकता है, और जिसमें तीनों भुजाएँ समान (समबाहु) - तीन।

इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले कि त्रिभुज में कितने सममित अक्ष होते हैं, आपको सबसे पहले यह याद रखना होगा कि सममिति का अक्ष क्या होता है।

तो, सीधे शब्दों में कहें, ज्यामिति में, समरूपता की धुरी एक रेखा है, यदि आप एक आकृति को मोड़ते हैं, जिसके साथ हमें समान आधा मिलता है।

लेकिन यह याद रखने योग्य है कि त्रिभुज भी भिन्न होते हैं।

तो यहाँ है समद्विबाहुएक त्रिभुज (दो बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज) में सममिति का एक अक्ष होता है।

समभुजत्रिभुज में क्रमशः सममिति के 3 अक्ष हैं, क्योंकि इस त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं।

और यहाँ बहुमुखीएक त्रिभुज में सममिति का कोई अक्ष नहीं होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसे कैसे मोड़ते हैं और कहीं भी सीधी रेखाएँ खींचते हैं, लेकिन चूँकि भुजाएँ अलग हैं, इसलिए दो समान भाग काम नहीं करेंगे।



जहाँ तक मुझे ज्यामिति याद है, एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों से गुजरने वाली सममिति के तीन अक्ष होते हैं, ये उसके समद्विभाजक होते हैं। एक समकोण त्रिभुज, जैसे स्केलीन, अधिक-कोण और न्यून-कोण त्रिभुज, में समरूपता की कोई कुल्हाड़ी नहीं होती है, जबकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में एक होता है।

और इसे जांचना आसान है - बस एक ऐसी रेखा की कल्पना करें जिसके साथ दो समरूप त्रिभुज प्राप्त करने के लिए इसे दो भागों में काटा जा सके।

चूँकि त्रिभुज अलग-अलग होते हैं, इसलिए उनके पास अलग-अलग मात्राओं में क्रमशः सममिति के कुल्हाड़ियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, समरूपता के अक्षों के बिना विभिन्न पक्षों वाला एक त्रिभुज। और समबाहु में उनमें से तीन हैं। एक अन्य प्रकार का त्रिभुज है जिसमें सममिति का एक अक्ष होता है। इसकी दो बराबर भुजाएँ और एक समकोण होता है।

एक मनमाना त्रिभुज में सममिति का कोई अक्ष नहीं होता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में समरूपता की एक धुरी होती है - यह एक तरफ की माध्यिका होती है। एक समबाहु त्रिभुज में सममिति के तीन अक्ष होते हैं - ये इसकी तीन माध्यिकाएँ हैं।

आपको चाहिये होगा

• - सममित बिंदुओं के गुण;
• - सममित आंकड़ों के गुण;
• - शासक;
• - वर्ग;
• - दिशा सूचक यंत्र;
• - पेंसिल;
• - कागज़;
• - ग्राफिक्स एडिटर वाला कंप्यूटर।

अनुदेश

एक रेखा a खींचिए, जो सममिति की धुरी होगी। यदि इसके निर्देशांक नहीं दिए गए हैं, तो इसे मनमाने ढंग से खींचिए। इस रेखा के एक तरफ, एक मनमाना बिंदु A रखें। आपको एक सममित बिंदु खोजने की आवश्यकता है।

मददगार सलाह

ऑटोकैड प्रोग्राम में समरूपता गुणों का लगातार उपयोग किया जाता है। इसके लिए मिरर ऑप्शन का इस्तेमाल किया जाता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज या एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज बनाने के लिए, यह निचला आधार और उसके और उसके बीच के कोण को खींचने के लिए पर्याप्त है। उन्हें निर्दिष्ट कमांड के साथ मिरर करें और पक्षों को आवश्यक आकार तक बढ़ाएं। एक त्रिभुज के मामले में, यह उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा, और एक समलम्ब के लिए, यह एक दिया गया मान होगा।

जब आप "लंबवत / क्षैतिज रूप से फ़्लिप करें" विकल्प का उपयोग करते हैं, तो आप ग्राफिक संपादकों में लगातार समरूपता का सामना करते हैं। इस मामले में, चित्र फ़्रेम के ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पक्षों में से एक के अनुरूप एक सीधी रेखा को समरूपता की धुरी के रूप में लिया जाता है।

स्रोत:

• केंद्रीय समरूपता कैसे आकर्षित करें

शंकु के एक भाग की रचना करना इतना कठिन कार्य नहीं है। मुख्य बात क्रियाओं के सख्त अनुक्रम का पालन करना है। तब यह कार्य करना आसान हो जाएगा और आपको अधिक प्रयास की आवश्यकता नहीं होगी।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम;
• - घेरा;
• - शासक।

अनुदेश

इस प्रश्न का उत्तर देते समय, आपको सबसे पहले यह तय करना होगा कि अनुभाग किन मापदंडों पर सेट है।
मान लीजिए कि यह समतल के साथ समतल l के प्रतिच्छेदन की रेखा है और बिंदु O है, जो इसके खंड के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।

निर्माण चित्र 1 में दिखाया गया है। एक खंड के निर्माण में पहला कदम इसके व्यास के खंड के केंद्र के माध्यम से होता है, जिसे इस रेखा के लंबवत l तक बढ़ाया जाता है। नतीजतन, बिंदु एल प्राप्त होता है। इसके अलावा, बिंदु ओ के माध्यम से, एक सीधी रेखा एलडब्ल्यू खींचें, और मुख्य खंड ओ 2 एम और ओ 2 सी में स्थित दो निर्देशित शंकु बनाएं। इन गाइडों के चौराहे पर बिंदु Q और साथ ही पहले से दिखाया गया बिंदु W है। ये आवश्यक खंड के पहले दो बिंदु हैं।

अब शंकु BB1 के आधार पर एक लंबवत MC बनाएं और लंबवत खंड O2B और O2B1 के जनरेटर का निर्माण करें। इस खंड में, t.O से होकर BB1 के समानांतर एक सीधी रेखा RG खींचिए। T.R और t.G - वांछित खंड के दो और बिंदु। यदि गेंद का क्रॉस सेक्शन ज्ञात होता, तो इसका निर्माण पहले से ही इस स्तर पर किया जा सकता था। हालाँकि, यह बिल्कुल भी दीर्घवृत्त नहीं है, बल्कि कुछ अण्डाकार है, जिसमें QW खंड के संबंध में समरूपता है। इसलिए, आपको सबसे विश्वसनीय स्केच प्राप्त करने के लिए भविष्य में उन्हें एक चिकनी वक्र के साथ जोड़ने के लिए अनुभाग के अधिक से अधिक बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए।

एक मनमाना खंड बिंदु बनाएँ। ऐसा करने के लिए, शंकु के आधार पर एक मनमाना व्यास AN बनाएं और संबंधित गाइड O2A और O2N बनाएं। पीओ के माध्यम से पीक्यू और डब्ल्यूजी से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खींचें, जब तक कि यह नवनिर्मित गाइडों के साथ बिंदु पी और ई पर प्रतिच्छेद न करे। ये वांछित खंड के दो और बिंदु हैं। इसी तरह और आगे बढ़ते हुए, आप मनमाने ढंग से वांछित अंक प्राप्त कर सकते हैं।

सच है, क्यूडब्ल्यू के संबंध में समरूपता का उपयोग करके उन्हें प्राप्त करने की प्रक्रिया को थोड़ा सरल बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, वांछित खंड के विमान में आरजी के समानांतर एसएस के समानांतर सीधी रेखाएं खींचना संभव है, आरजी के समानांतर जब तक वे शंकु की सतह के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते। जीवाओं से निर्मित पॉलीलाइन को गोल करके निर्माण पूरा किया जाता है। QW के संबंध में पहले से ही उल्लिखित समरूपता के कारण आवश्यक खंड का आधा निर्माण करना पर्याप्त है।

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टिप 3: त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को कैसे ग्राफ़ करें

आपको आकर्षित करने की आवश्यकता है अनुसूचीत्रिकोणमितीय कार्यों? साइनसॉइड के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करके क्रियाओं के एल्गोरिथ्म में महारत हासिल करें। समस्या को हल करने के लिए, शोध पद्धति का उपयोग करें।

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• - त्रिकोणमिति की मूल बातों का ज्ञान।

अनुदेश

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टिप्पणी

यदि एक-लेन हाइपरबोलाइड के दो अर्ध-अक्ष बराबर हैं, तो अर्ध-अक्ष के साथ एक हाइपरबोला को घुमाकर आंकड़ा प्राप्त किया जा सकता है, जिनमें से एक ऊपर है, और दूसरा, जो दो बराबर से भिन्न है, चारों ओर काल्पनिक धुरी।

मददगार सलाह

ऑक्सज़ और ओयज़ अक्षों के संबंध में इस आंकड़े पर विचार करते समय, यह स्पष्ट है कि इसके मुख्य खंड हाइपरबोलस हैं। और जब ऑक्सी प्लेन द्वारा घूर्णन की दी गई स्थानिक आकृति को काटा जाता है, तो इसका खंड एक दीर्घवृत्त होता है। एक-पट्टी वाले अतिपरवलयज का कंठ दीर्घवृत्त मूल से होकर गुजरता है, क्योंकि z=0.

गले के अंडाकार का वर्णन समीकरण x²/a² +y²/b²=1 द्वारा किया जाता है, और अन्य अंडाकार समीकरण x²/a² +y²/b²=1+h²/c² द्वारा रचित होते हैं।

स्रोत:

• एलिप्सोइड्स, पैराबोलॉइड्स, हाइपरबोलॉइड्स। रेक्टिलिनियर जेनरेटर

पांच-नुकीले तारे के आकार का उपयोग प्राचीन काल से मनुष्य द्वारा व्यापक रूप से किया जाता रहा है। हम इसके रूप को सुंदर मानते हैं, क्योंकि हम अनजाने में इसमें सुनहरे खंड के अनुपातों को अलग कर देते हैं, अर्थात्। पाँच-नुकीले तारे की सुंदरता गणितीय रूप से उचित है। यूक्लिड ने अपने "बिगिनिंग्स" में पांच-बिंदु वाले तारे के निर्माण का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति थे। आइए उनके अनुभव पर एक नजर डालते हैं।

आपको चाहिये होगा

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• पेंसिल;
• दिशा सूचक यंत्र;
• चांदा

अनुदेश

एक तारे का निर्माण एक के माध्यम से क्रमिक रूप से एक दूसरे के साथ निर्माण और उसके बाद के कनेक्शन के लिए कम हो जाता है। सही बनाने के लिए, सर्कल को पांच में तोड़ना जरूरी है।
कम्पास का उपयोग करके एक मनमाना वृत्त बनाएँ। इसके केंद्र को O से चिह्नित करें।

बिंदु A को चिह्नित करें और रेखाखंड OA बनाने के लिए एक रूलर का उपयोग करें। अब आपको खंड OA को आधे में विभाजित करने की आवश्यकता है, इसके लिए, बिंदु A से, OA त्रिज्या के साथ एक चाप खींचे जब तक कि यह दो बिंदुओं M और N पर एक वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न करे। एक खंड MN की रचना करें। बिंदु E, जहाँ MN OA को प्रतिच्छेद करता है, खंड OA को समद्विभाजित करेगा।

लंबवत OD को त्रिज्या OA पर पुनर्स्थापित करें और बिंदु D और E को कनेक्ट करें। बिंदु E से त्रिज्या ED के साथ OA पर पायदान B बनाएं।

अब, खंड DB का उपयोग करके, वृत्त को पाँच बराबर भागों में चिह्नित करें। नियमित पंचभुज के शीर्षों को क्रमानुसार 1 से 5 तक की संख्याओं से चिह्नित करें। निम्नलिखित क्रम में बिंदुओं को जोड़ें: 1 को 3 से, 2 को 4 से, 3 को 5 से, 4 को 1, 5 से 2 के साथ। स्टार, एक नियमित पेंटागन में। यह इस तरह था कि उसने बनाया था

मैं . गणित में समरूपता :

बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ।

अक्षीय समरूपता (परिभाषाएं, निर्माण योजना, उदाहरण)

केंद्रीय समरूपता (परिभाषाएं, निर्माण योजना, के साथपैमाने)

सारांश तालिका (सभी गुण, सुविधाएँ)

द्वितीय . समरूपता अनुप्रयोग:

1) गणित में

2) रसायन शास्त्र में

3) जीव विज्ञान, वनस्पति विज्ञान और प्राणीशास्त्र में

4) कला, साहित्य और वास्तुकला में

/dict/bse/लेख/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. समरूपता की मूल अवधारणाएँ और इसके प्रकार।

समरूपता की अवधारणा n आरमानव जाति के पूरे इतिहास में चलता है। यह पहले से ही मानव ज्ञान के मूल में पाया जाता है। यह एक जीवित जीव, अर्थात् मनुष्य के अध्ययन के संबंध में उत्पन्न हुआ। और इसका उपयोग मूर्तिकारों द्वारा 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में किया गया था। इ। शब्द "समरूपता" ग्रीक है, इसका अर्थ है "आनुपातिकता, आनुपातिकता, भागों की व्यवस्था में समानता।" बिना किसी अपवाद के आधुनिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कई महान लोगों ने इस पैटर्न के बारे में सोचा। उदाहरण के लिए, एल एन टॉल्स्टॉय ने कहा: "एक ब्लैक बोर्ड के सामने खड़े होकर और चाक के साथ उस पर अलग-अलग आंकड़े खींचते हुए, मुझे अचानक यह विचार आया: आंख को समरूपता स्पष्ट क्यों है? समरूपता क्या है? यह एक सहज भावना है, मैंने खुद को जवाब दिया। क्या उस पर आधारित है?" समरूपता वास्तव में आंख को भाती है। प्रकृति की रचनाओं की समरूपता की प्रशंसा किसने नहीं की है: पत्ते, फूल, पक्षी, जानवर; या मानव रचनाएँ: भवन, तकनीक, - वह सब जो हमें बचपन से घेरता है, जो सुंदरता और सद्भाव के लिए प्रयास करता है। हरमन वील ने कहा: "समरूपता वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य ने सदियों से आदेश, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश की है।" हरमन वील एक जर्मन गणितज्ञ हैं। इसकी गतिविधि बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में आती है। यह वह था जिसने समरूपता की परिभाषा तैयार की, जो किसी विशेष मामले में उपस्थिति या इसके विपरीत, समरूपता की अनुपस्थिति को देखने के लिए किन संकेतों द्वारा स्थापित की गई थी। इस प्रकार, गणितीय रूप से कठोर प्रतिनिधित्व अपेक्षाकृत हाल ही में - 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में बनाया गया था। यह काफी जटिल है। हम मुड़ेंगे और एक बार फिर उन परिभाषाओं को याद करेंगे जो हमें पाठ्यपुस्तक में दी गई हैं।

2. अक्षीय समरूपता।

2.1 बुनियादी परिभाषाएँ

परिभाषा। दो बिंदु A और A 1 रेखा a के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि यह रेखा खंड AA 1 के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है। रेखा के प्रत्येक बिंदु को अपने आप में सममित माना जाता है।

परिभाषा। आकृति को एक सीधी रेखा के संबंध में सममित कहा जाता है। ए, यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए सीधी रेखा के संबंध में बिंदु सममित है एभी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है। सीधा एआकृति की सममिति की धुरी कहलाती है। यह भी कहा जाता है कि आकृति में अक्षीय समरूपता है।

2.2 निर्माण योजना

और इसलिए, प्रत्येक बिंदु से एक सीधी रेखा के सापेक्ष एक सममित आकृति बनाने के लिए, हम इस सीधी रेखा पर एक लंब खींचते हैं और इसे समान दूरी तक बढ़ाते हैं, परिणामी बिंदु को चिह्नित करते हैं। हम इसे प्रत्येक बिंदु के साथ करते हैं, हमें नई आकृति के सममित शीर्ष मिलते हैं। फिर हम उन्हें श्रृंखला में जोड़ते हैं और इस सापेक्ष अक्ष की एक सममित आकृति प्राप्त करते हैं।

2.3 अक्षीय समरूपता वाली आकृतियों के उदाहरण।

3. केंद्रीय समरूपता

3.1 बुनियादी परिभाषाएँ

परिभाषा. दो बिंदु A और A 1 बिंदु O के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि O खंड AA 1 का मध्य बिंदु है। बिंदु O को अपने आप में सममित माना जाता है।

परिभाषा।एक आकृति बिंदु O के सापेक्ष सममिति कहलाती है यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु O के संबंध में सममित बिंदु भी इसी आकृति से संबंधित है।

3.2 निर्माण योजना

केंद्र O के संबंध में दिए गए त्रिभुज के सममित त्रिभुज की रचना।

एक बिंदु के सममित बिंदु का निर्माण करने के लिए लेकिनबिंदु के सापेक्ष हे, यह एक सीधी रेखा खींचने के लिए पर्याप्त है ओए(चित्र 46 ) और बिंदु के दूसरी तरफ हेएक खंड के बराबर एक खंड अलग सेट करें ओए. दूसरे शब्दों में , अंक ए और ; में और ; सी और किसी बिंदु O के संबंध में सममित हैं। अंजीर में। 46 ने त्रिभुज के सममित त्रिभुज का निर्माण किया एबीसी बिंदु के सापेक्ष ओये त्रिभुज बराबर होते हैं।

केंद्र के बारे में सममित बिंदुओं का निर्माण।

आकृति में, बिंदु M और M 1, N और N 1 बिंदु O के बारे में सममित हैं, और बिंदु P और Q इस बिंदु के बारे में सममित नहीं हैं।

सामान्य तौर पर, जो आंकड़े किसी बिंदु के बारे में सममित होते हैं, वे बराबर होते हैं .

3.3 उदाहरण

आइए हम केंद्रीय सममिति वाली आकृतियों के उदाहरण दें। केंद्रीय समरूपता वाली सबसे सरल आकृतियाँ वृत्त और समांतर चतुर्भुज हैं।

बिंदु O को आकृति की सममिति का केंद्र कहा जाता है। ऐसे मामलों में, आकृति में केंद्रीय समरूपता होती है। एक वृत्त की सममिति का केंद्र वृत्त का केंद्र होता है, और समांतर चतुर्भुज की सममिति का केंद्र उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

सीधी रेखा में केंद्रीय समरूपता भी होती है, हालांकि, वृत्त और समांतर चतुर्भुज के विपरीत, जिसमें सममिति का केवल एक केंद्र होता है (आकृति में बिंदु O), सीधी रेखा में उनकी अनंत संख्या होती है - सीधी रेखा पर कोई भी बिंदु इसका होता है समरूपता का केंद्र।

आंकड़े शीर्ष के बारे में सममित कोण दिखाते हैं, केंद्र के बारे में दूसरे खंड के सममित एक खंड लेकिनऔर इसके शीर्ष के बारे में एक चतुर्भुज सममित एम।

एक ऐसी आकृति का उदाहरण जिसमें सममिति का केंद्र नहीं है, एक त्रिभुज है।

4. पाठ का सारांश

आइए प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें। आज पाठ में हम दो मुख्य प्रकार की समरूपता से परिचित हुए: केंद्रीय और अक्षीय। आइए स्क्रीन को देखें और प्राप्त ज्ञान को व्यवस्थित करें।

सारांश तालिका

	अक्षीय समरूपता	केंद्रीय समरूपता
ख़ासियत	किसी सीधी रेखा के संबंध में आकृति के सभी बिंदु सममित होने चाहिए।	आकृति के सभी बिंदुओं को सममिति के केंद्र के रूप में चुने गए बिंदु के बारे में सममित होना चाहिए।
गुण	1. सममित बिंदु रेखा के लंबवत पर स्थित होते हैं। 3. सीधी रेखाएं सीधी रेखाओं में बदल जाती हैं, कोण समान कोणों में। 4. आकृतियों के आकार और आकार सहेजे जाते हैं।	1. सममित बिंदु केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और आकृति के दिए गए बिंदु पर स्थित होते हैं। 2. एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी एक सीधी रेखा से एक सममित बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है। 3. आंकड़ों के आकार और आकार सहेजे जाते हैं।

द्वितीय. समरूपता का अनुप्रयोग

गणित	बीजगणित के पाठों में, हमने फलन y=x और y=x . के ग्राफों का अध्ययन किया आकृतियाँ विभिन्न चित्रों को परवलय की शाखाओं की सहायता से दर्शाती हैं। (ए) ऑक्टाहेड्रोन, (बी) रोम्बिक डोडेकाहेड्रॉन, (सी) हेक्सागोनल ऑक्टाहेड्रोन।
रूसी भाषा	रूसी वर्णमाला के मुद्रित अक्षरों में भी विभिन्न प्रकार की समरूपताएँ होती हैं। रूसी में "सममित" शब्द हैं - खोल देना, जिसे दोनों दिशाओं में एक ही तरह से पढ़ा जा सकता है।	ए डी एल एम पी टी वी- ऊर्ध्वाधर अक्ष बी ई डब्ल्यू के एस ई यू -क्षैतिज अक्ष डब्ल्यू एन ओ एक्स- दोनों लंबवत और क्षैतिज बी जी आई वाई आर यू सी डब्ल्यू वाई जेड- कोई धुरी नहीं रडार हट अल्ला अन्ना
साहित्य	वाक्य पालिंड्रोमिक भी हो सकते हैं। ब्रायसोव ने "वॉयस ऑफ द मून" कविता लिखी, जिसमें प्रत्येक पंक्ति एक पैलिंड्रोम है। ए.एस. पुश्किन के "द ब्रॉन्ज़ हॉर्समैन" के चौगुने को देखें। यदि हम दूसरी रेखा के बाद एक रेखा खींचते हैं, तो हम अक्षीय समरूपता के तत्वों को देख सकते हैं	और गुलाब अज़ोर के पंजों पर गिर पड़ा। मैं जज की तलवार लेकर जाता हूं। (डेरझाविन) "एक टैक्सी की तलाश करें" "अर्जेंटीना एक काले आदमी को बुलाता है", "नीग्रो अर्जेंटीना की सराहना करता है", "लेशा को शेल्फ पर एक बग मिला।" नेवा ग्रेनाइट के कपड़े पहने हुए है; पानी पर लटके पुल; गहरे हरे बगीचे द्वीप इससे आच्छादित थे ...

जीवविज्ञान

मानव शरीर द्विपक्षीय समरूपता के सिद्धांत पर बना है। हम में से अधिकांश लोग मस्तिष्क को एक ही संरचना के रूप में समझते हैं, वास्तव में यह दो हिस्सों में बंटा होता है। ये दो भाग - दो गोलार्द्ध - एक साथ आराम से फिट होते हैं। मानव शरीर की सामान्य समरूपता के अनुसार, प्रत्येक गोलार्द्ध दूसरे की लगभग सटीक दर्पण छवि है। मानव शरीर की बुनियादी गतिविधियों और उसके संवेदी कार्यों का नियंत्रण मस्तिष्क के दो गोलार्द्धों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है। बायां गोलार्द्ध मस्तिष्क के दाहिने हिस्से को नियंत्रित करता है, जबकि दायां गोलार्द्ध बाईं ओर को नियंत्रित करता है।

वनस्पति विज्ञान

एक फूल को सममित माना जाता है जब प्रत्येक पेरिंथ में समान संख्या में भाग होते हैं। फूल, जोड़े हुए भाग वाले, डबल समरूपता वाले फूल माने जाते हैं, आदि। मोनोकॉट्स के लिए ट्रिपल समरूपता आम है, पांच - डिकोट्स के लिए। पौधों की संरचना और उनके विकास की एक विशेषता विशेषता हेलीसिटी है। शूट की पत्ती व्यवस्था पर ध्यान दें - यह भी एक प्रकार का सर्पिल - पेचदार है। यहां तक ​​कि गोएथे, जो न केवल एक महान कवि थे, बल्कि एक प्रकृतिवादी भी थे, ने हेलीकॉप्टर को सभी जीवों की विशिष्ट विशेषताओं में से एक माना, जो जीवन के अंतरतम सार की अभिव्यक्ति है। पौधों की टंड्रिल एक सर्पिल में मुड़ जाती हैं, पेड़ की चड्डी में एक सर्पिल में ऊतक बढ़ता है, सूरजमुखी में बीज एक सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, जड़ों और शूटिंग के विकास के दौरान सर्पिल आंदोलनों को देखा जाता है।

पौधों की संरचना और उनके विकास की एक विशिष्ट विशेषता हेलीकॉप्टर है। पाइन शंकु को देखो। इसकी सतह पर तराजू को कड़ाई से नियमित तरीके से व्यवस्थित किया जाता है - दो सर्पिलों के साथ जो लगभग एक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। पाइन शंकु में ऐसे सर्पिलों की संख्या 8 और 13 या 13 है और 21.

प्राणि विज्ञान

जानवरों में समरूपता को आकार, आकार और रूपरेखा में पत्राचार के साथ-साथ विभाजन रेखा के विपरीत किनारों पर स्थित शरीर के अंगों के सापेक्ष स्थान के रूप में समझा जाता है। रेडियल या विकिरण समरूपता के साथ, शरीर में एक छोटे या लंबे सिलेंडर या केंद्रीय अक्ष के साथ एक बर्तन का रूप होता है, जिसमें से शरीर के हिस्से रेडियल क्रम में विस्तारित होते हैं। ये कोएलेंटरेट्स, इचिनोडर्म, स्टारफिश हैं। द्विपक्षीय समरूपता के साथ, सममिति के तीन अक्ष होते हैं, लेकिन सममित पक्षों की केवल एक जोड़ी होती है। क्योंकि अन्य दो पक्ष - उदर और पृष्ठीय - एक दूसरे के समान नहीं हैं। इस तरह की समरूपता अधिकांश जानवरों की विशेषता है, जिनमें कीड़े, मछली, उभयचर, सरीसृप, पक्षी और स्तनधारी शामिल हैं।

अक्षीय समरूपता

	भौतिक घटनाओं की विभिन्न प्रकार की समरूपता: विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की समरूपता (चित्र 1) परस्पर लंबवत विमानों में, विद्युत चुम्बकीय तरंगों का प्रसार सममित होता है (चित्र 2)	अंजीर.1 अंजीर.2
कला	कला के कार्यों में दर्पण समरूपता अक्सर देखी जा सकती है। मिरर "समरूपता आदिम सभ्यताओं की कला और प्राचीन चित्रकला में व्यापक रूप से पाई जाती है। मध्यकालीन धार्मिक चित्रों को भी इस तरह की समरूपता की विशेषता है। राफेल के सबसे अच्छे शुरुआती कार्यों में से एक, द बेट्रोथल ऑफ मैरी, 1504 में बनाया गया था। एक सफेद पत्थर के मंदिर के साथ शीर्ष पर एक घाटी धूप वाले नीले आकाश के नीचे फैली हुई है। अग्रभूमि में विवाह समारोह है। महायाजक मरियम और यूसुफ के हाथों को एक दूसरे के करीब लाता है। मैरी के पीछे लड़कियों का समूह है, जोसेफ के पीछे युवकों का समूह है। सममित रचना के दोनों भाग पात्रों के आने वाले आंदोलन द्वारा एक साथ रखे जाते हैं। आधुनिक स्वाद के लिए, ऐसी तस्वीर की संरचना उबाऊ है, क्योंकि समरूपता बहुत स्पष्ट है।

रसायन विज्ञान	पानी के अणु में समरूपता (सीधी खड़ी रेखा) का एक तल होता है। डीएनए अणु (डीऑक्सीराइबोन्यूक्लिक एसिड) वन्यजीवों की दुनिया में एक अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यह एक डबल-स्ट्रैंडेड उच्च आणविक भार बहुलक है जिसका मोनोमर न्यूक्लियोटाइड है। डीएनए अणुओं में एक डबल हेलिक्स संरचना होती है जो पूरकता के सिद्धांत पर बनी होती है।
वास्तुकारकौन	प्राचीन काल से ही मनुष्य ने वास्तुकला में समरूपता का प्रयोग किया है। प्राचीन वास्तुकारों ने वास्तुशिल्प संरचनाओं में विशेष रूप से शानदार ढंग से समरूपता का उपयोग किया। इसके अलावा, प्राचीन यूनानी वास्तुकारों को विश्वास था कि उनके कार्यों में वे उन नियमों द्वारा निर्देशित होते हैं जो प्रकृति को नियंत्रित करते हैं। सममित रूपों का चयन करते हुए, कलाकार ने प्राकृतिक सद्भाव की स्थिरता और संतुलन के रूप में अपनी समझ व्यक्त की। नॉर्वे की राजधानी ओस्लो शहर में प्रकृति और कला का एक अभिव्यंजक पहनावा है। यह फ्रोगनर - पार्क है - परिदृश्य बागवानी मूर्तिकला का एक परिसर, जिसे 40 वर्षों में बनाया गया था।	पश्कोव हाउस लौवर (पेरिस)

© सुखाचेवा ऐलेना व्लादिमीरोव्ना, 2008-2009

आज हम एक ऐसी घटना के बारे में बात करेंगे जिसका हम में से प्रत्येक जीवन में लगातार सामना करता है: समरूपता के बारे में। समरूपता क्या है?

लगभग हम सभी इस शब्द का अर्थ समझते हैं। शब्दकोश कहता है: समरूपता एक रेखा या बिंदु के सापेक्ष किसी चीज़ के भागों की व्यवस्था की आनुपातिकता और पूर्ण पत्राचार है। समरूपता दो प्रकार की होती है: अक्षीय और रेडियल। आइए पहले अक्ष को देखें। यह है, मान लीजिए, "दर्पण" समरूपता, जब वस्तु का एक आधा पूरी तरह से दूसरे के समान होता है, लेकिन इसे प्रतिबिंब के रूप में दोहराता है। शीट के हिस्सों को देखें। वे दर्पण सममित हैं। मानव शरीर के आधे हिस्से (पूरा चेहरा) भी सममित होते हैं - वही हाथ और पैर, वही आंखें। लेकिन आइए गलत न हों, वास्तव में, जैविक (जीवित) दुनिया में, पूर्ण समरूपता नहीं मिल सकती है! शीट के आधे हिस्से एक दूसरे की पूरी तरह से नकल नहीं करते हैं, वही मानव शरीर पर लागू होता है (इसे अपने लिए देखें); अन्य जीवों का भी यही हाल है! वैसे, यह जोड़ने योग्य है कि कोई भी सममित शरीर केवल एक स्थिति में दर्शक के सापेक्ष सममित होता है। यह आवश्यक है, कहो, चादर को मोड़ो, या एक हाथ उठाओ, और क्या? - अपने आप को देखो।

लोग अपने श्रम (चीजों) के उत्पादों में सच्ची समरूपता प्राप्त करते हैं - कपड़े, कार ... प्रकृति में, यह अकार्बनिक संरचनाओं की विशेषता है, उदाहरण के लिए, क्रिस्टल।

लेकिन चलिए अभ्यास के लिए आगे बढ़ते हैं। यह लोगों और जानवरों जैसी जटिल वस्तुओं से शुरू करने लायक नहीं है, आइए एक नए क्षेत्र में पहले अभ्यास के रूप में शीट के आधे दर्पण को खत्म करने का प्रयास करें।

एक सममित वस्तु बनाएं - पाठ 1

आइए इसे यथासंभव समान बनाने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम सचमुच अपनी आत्मा साथी का निर्माण करेंगे। ऐसा मत सोचो कि यह इतना आसान है, विशेष रूप से पहली बार, एक स्ट्रोक के साथ दर्पण-संबंधित रेखा खींचना!

आइए भविष्य की सममित रेखा के लिए कई संदर्भ बिंदुओं को चिह्नित करें। हम इस तरह कार्य करते हैं: हम एक पेंसिल के साथ बिना दबाव के समरूपता की धुरी के लिए कई लंबवत खींचते हैं - शीट की मध्य शिरा। चार या पांच काफी हैं। और इन लंबों पर हम दायीं ओर उतनी ही दूरी मापते हैं, जितनी पत्ती के किनारे की रेखा के बाएं आधे हिस्से पर। मैं आपको शासक का उपयोग करने की सलाह देता हूं, वास्तव में आंख पर भरोसा न करें। एक नियम के रूप में, हम ड्राइंग को कम करते हैं - यह अनुभव में देखा गया है। हम आपकी उंगलियों से दूरियों को मापने की अनुशंसा नहीं करते हैं: त्रुटि बहुत बड़ी है।

परिणामी बिंदुओं को एक पेंसिल लाइन से कनेक्ट करें:

अब हम ध्यान से देखते हैं - क्या वास्तव में आधे हिस्से एक जैसे हैं। यदि सब कुछ सही है, तो हम इसे एक टिप-टिप पेन से घेरेंगे, अपनी लाइन स्पष्ट करें:

चिनार का पत्ता पूरा हो गया है, अब आप ओक पर झूल सकते हैं।

आइए एक सममित आकृति बनाएं - पाठ 2

इस मामले में, कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि नसों को इंगित किया गया है और वे समरूपता की धुरी के लंबवत नहीं हैं, और न केवल आयाम बल्कि झुकाव के कोण को भी देखना होगा। खैर, आइए आंखों को प्रशिक्षित करें:

तो एक सममित ओक का पत्ता खींचा गया था, या यों कहें, हमने इसे सभी नियमों के अनुसार बनाया है:

एक सममित वस्तु कैसे आकर्षित करें - पाठ 3

और हम विषय को ठीक करेंगे - हम बकाइन का एक सममित पत्ता खींचना समाप्त करेंगे।

उनका एक दिलचस्प आकार भी है - दिल के आकार का और आधार पर कानों के साथ आपको पफ करना है:

यहाँ उन्होंने क्या आकर्षित किया है:

परिणामी कार्य को दूर से देखें और मूल्यांकन करें कि हम आवश्यक समानता को कितनी सही ढंग से व्यक्त करने में कामयाब रहे। यहां आपके लिए एक टिप दी गई है: आईने में अपनी छवि देखें, और यह आपको बताएगा कि क्या कोई गलती है। दूसरा तरीका: छवि को अक्ष के साथ बिल्कुल मोड़ें (हम पहले ही सीख चुके हैं कि सही तरीके से कैसे झुकना है) और मूल रेखा के साथ पत्ती को काट लें। आकृति को ही और कटे हुए कागज को देखिए।

अंक एमऔर एम 1 दी गई रेखा के संबंध में सममिति कहलाती है लीयदि यह रेखा खंड का लंब समद्विभाजक है मिमी 1 (चित्र 1)। रेखा का प्रत्येक बिंदु लीअपने आप में सममित। समतल परिवर्तन जिसमें प्रत्येक बिंदु को किसी दिए गए रेखा के संबंध में सममित बिंदु पर मैप किया जाता है ली, कहा जाता है एल अक्ष के साथ अक्षीय रूप से सममितऔर निरूपित एस ली :एस ली (एम) = एम 1 .

अंक एमऔर एम 1 के संबंध में परस्पर सममित हैं ली, इसीलिए एस ली (एम 1 )=एम. इसलिए, अक्षीय समरूपता का परिवर्तन प्रतिलोम समान अक्षीय समरूपता है: एस ली -1= एस ली , एस एल° एस ली = ई. दूसरे शब्दों में, एक समतल की अक्षीय सममिति है अनैच्छिकपरिवर्तन।

अक्षीय समरूपता वाले किसी दिए गए बिंदु की छवि केवल एक कंपास का उपयोग करके बनाई जा सकती है। रहने दो ली- समरूपता की धुरी, एऔर बी- इस अक्ष के मनमाना बिंदु (चित्र। 2)। अगर एस ली (एम) = एम 1 , तो उस खंड के लंबवत द्विभाजक के बिंदुओं की संपत्ति के अनुसार हमारे पास है: एएम = एएम 1 और बीएम = बीएम एक । तो बिंदु एम 1 दो वृत्तों से संबंधित है: केंद्र वाले वृत्त ए RADIUS हूँऔर केंद्र के साथ मंडल बी RADIUS बी.एम. (एम-दिया गया बिंदु)। आकृति एफऔर उसकी छवि एफ 1 अक्षीय समरूपता के साथ एक सीधी रेखा के संबंध में सममित आकृतियाँ कहलाती हैं ली(चित्र तीन)।

प्रमेय। एक विमान की अक्षीय समरूपता गति है।

यदि एक लेकिनऔर पर- विमान के किसी भी बिंदु और एस ली (ए) = ए 1 , एस ली (बी) = बी 1, तो हमें यह सिद्ध करना होगा कि ए 1 बी 1 = एबी. ऐसा करने के लिए, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली पेश करते हैं ऑक्सीताकि धुरी बैलसमरूपता की धुरी के साथ मेल खाता है। अंक लेकिनऔर परनिर्देशांक हैं ए (एक्स 1 ,-y 1 ) और बी (एक्स 1 ,-y 2 ) अंक लेकिन 1 और पर 1 में निर्देशांक हैं ए 1 (एक्स 1 , यू 1 ) और बी 1 (एक्स 1 , यू 2 ) (चित्र 4 - 8)। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

इन सम्बन्धों से स्पष्ट है कि एबी = ए 1 पर 1, जिसे सिद्ध किया जाना था।

त्रिभुज और उसकी छवि के झुकाव की तुलना से, हम प्राप्त करते हैं कि विमान की अक्षीय समरूपता है दूसरी तरह का आंदोलन.

अक्षीय समरूपता प्रत्येक पंक्ति को एक रेखा पर मैप करती है। विशेष रूप से, समरूपता की धुरी के लंबवत प्रत्येक रेखा को इस समरूपता द्वारा स्वयं पर मैप किया जाता है।

प्रमेय। सममिति के अक्ष के लंब के अलावा एक सीधी रेखा और इस सममिति के तहत उसकी छवि सममिति के अक्ष पर प्रतिच्छेद करती है या इसके समानांतर होती है।

प्रमाण।मान लीजिए कि अक्ष के लंबवत न होने वाली एक सीधी रेखा दी गई है लीसमरूपता यदि एक एम? एल = पीऔर एस ली (एम) = एम 1, फिर एम 1 ?एमऔर एस ली (पी) = पी, इसीलिए पीएम1(चित्र 9)। अगर मी || ली, तब एम 1 || ली, अन्यथा प्रत्यक्ष . के बाद से एमऔर एम 1 रेखा पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगा ली, जो शर्त के विपरीत है एम || ली(चित्र 10)।

समान आकृतियों की परिभाषा के आधार पर, सीधी रेखाएँ, एक सीधी रेखा के समरूप सममित ली, एक सीधी रेखा के साथ फॉर्म लीसमान कोण (चित्र 9)।

सीधा लीबुलाया आकृति F . की समरूपता की धुरी, अगर अक्ष के साथ समरूपता के साथ लीआकृति एफखुद पर प्रदर्शित: एस ली (एफ) = एफ. वे कहते हैं कि आंकड़ा एफएक सीधी रेखा के बारे में सममित ली.

उदाहरण के लिए, वृत्त के केंद्र वाली कोई भी सीधी रेखा इस वृत्त की सममिति की धुरी होती है। दरअसल, चलो एम- वृत्त का मनमाना बिंदु विद्वानकेंद्रित हे, राजभाषा, एस ली (एम) = एम एक । फिर एस ली (ओ) = ओऔर ओएम 1 =ओएम, अर्थात। एम 1 मैं तुम. अत: वृत्त के किसी भी बिंदु का प्रतिबिम्ब इसी वृत्त का होता है। इसलिये, एस ली (यू) = यू.

गैर-समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी की समरूपता की कुल्हाड़ियाँ दो लंबवत रेखाएँ होती हैं जिनमें इन रेखाओं के बीच के कोणों के द्विभाजक होते हैं। एक खंड की समरूपता की धुरी वह रेखा होती है, साथ ही इस खंड के लंबवत द्विभाजक भी होती है।

अक्षीय समरूपता गुण

• 1. अक्षीय समरूपता के साथ, एक सीधी रेखा की छवि एक सीधी रेखा होती है, समानांतर रेखाओं की छवि समानांतर रेखाएं होती है
• 3. अक्षीय समरूपता तीन बिंदुओं के सरल अनुपात को बरकरार रखती है।
• 3. अक्षीय समरूपता के साथ, खंड एक खंड में गुजरता है, एक किरण एक किरण में, एक आधा-तल एक अर्ध-तल में।
• 4. अक्षीय समरूपता के साथ, कोण एक समान कोण में चला जाता है।
• 5. d-अक्ष के साथ अक्षीय सममिति के साथ, d-अक्ष पर लंबवत कोई भी सीधी रेखा यथावत रहती है।
• 6. अक्षीय समरूपता के साथ, ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम में चला जाता है। इस स्थिति में, बिंदु M, फ्रेम R के सापेक्ष x और y निर्देशांक के साथ, बिंदु M पर जाता है, समान निर्देशांक x और y के साथ, लेकिन फ्रेम R के सापेक्ष।
• 7. विमान की अक्षीय समरूपता दाएं ओर्थोनॉर्मल फ्रेम को बाएं एक में और इसके विपरीत, बाएं ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम को दाएं में अनुवाद करती है।
• 8. समांतर अक्षों वाले एक तल की दो अक्षीय सममितियों का संघटन दी गई रेखाओं के लंबवत सदिश द्वारा एक समानांतर अनुवाद है, जिसकी लंबाई दी गई रेखाओं के बीच की दूरी से दोगुनी है