एक आकृति के क्षेत्र की गणनायह शायद क्षेत्र सिद्धांत की सबसे कठिन समस्याओं में से एक है। स्कूल ज्यामिति में, उन्हें बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों को खोजने के लिए सिखाया जाता है जैसे, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज, एक समचतुर्भुज, एक आयत, एक समलम्ब, एक वृत्त, आदि। हालांकि, किसी को अक्सर अधिक जटिल आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना से निपटना पड़ता है। ऐसी समस्याओं को हल करने में ही समाकलन कलन का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है।
परिभाषा।
वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजकुछ आकृति G को y = f(x), y = 0, x = a और x = b रेखाओं से घिरा हुआ कहा जाता है, और फलन f(x) खंड [a; b] और उस पर अपना चिन्ह नहीं बदलता (चित्र .1)।एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल S(G) द्वारा निरूपित किया जा सकता है।
फलन f(x) के लिए निश्चित समाकल ʃ a b f(x)dx, जो खंड [a; बी], और इसी वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्र है।
अर्थात्, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a और x \u003d b द्वारा बंधी हुई आकृति G के क्षेत्र को खोजने के लिए, गणना करना आवश्यक है निश्चित समाकल a b f (x) dx.
इस प्रकार, एस (जी) = ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।
यदि फलन y = f(x) [a; पर धनात्मक नहीं है; बी], फिर वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है एस (जी) = -ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।
उदाहरण 1
y \u003d x 3 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 1; एक्स = 2.
फेसला।
दी गई रेखाएं आकृति ABC बनाती हैं, जिसे हैचिंग करके दिखाया गया है चावल। 2.
वांछित क्षेत्र वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज DACE और वर्ग DABE के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है।
सूत्र S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) का प्रयोग करके हम समाकलन की सीमाएँ ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते हैं:
(वाई \u003d एक्स 3,
(वाई = 1.
इस प्रकार, हमारे पास x 1 \u003d 1 - निचली सीमा और x \u003d 2 - ऊपरी सीमा है।
तो, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (वर्ग इकाइयाँ)।
उत्तर: 11/4 वर्ग। इकाइयों
उदाहरण 2
y \u003d √x रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें; वाई = 2; एक्स = 9.
फेसला।
दी गई रेखाएं आकृति ABC बनाती हैं, जो ऊपर से फलन के ग्राफ द्वारा परिबद्ध है
y \u003d √x, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे से y \u003d 2. परिणामी आकृति को हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। 3.
वांछित क्षेत्र S = a b (√x - 2) के बराबर है। आइए एकीकरण की सीमाएँ ज्ञात करें: b = 9, a खोजने के लिए, हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
(वाई = x,
(वाई = 2.
इस प्रकार, हमारे पास x = 4 = a निचली सीमा है।
तो, एस = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (वर्ग इकाइयाँ)।
उत्तर: एस = 2 2/3 वर्ग। इकाइयों
उदाहरण 3
y \u003d x 3 - 4x की रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 0; एक्स 0.
फेसला।
आइए फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x x 0 के लिए प्लॉट करें। ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न y ' पाते हैं:
y' = 3x 2 - 4, y' = 0 पर = ±2/√3 ≈ 1.1 क्रांतिक बिंदु हैं।
यदि हम वास्तविक अक्ष पर महत्वपूर्ण बिंदु खींचते हैं और व्युत्पन्न के संकेत रखते हैं, तो हम पाते हैं कि फ़ंक्शन शून्य से घटकर 2/√3 हो जाता है और 2/√3 से प्लस अनंत तक बढ़ जाता है। तब x = 2/√3 न्यूनतम बिंदु है, फलन y का न्यूनतम मान न्यूनतम = -16/(3√3) ≈ -3 है।
आइए निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें:
यदि x \u003d 0, तो y \u003d 0, जिसका अर्थ है कि A (0; 0) ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है;
यदि y \u003d 0, तो x 3 - 4x \u003d 0 या x (x 2 - 4) \u003d 0, या x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, जहां से x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (उपयुक्त नहीं, क्योंकि x 0)।
अंक A(0; 0) और B(2; 0) ऑक्स अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
दी गई रेखाएँ OAB आकृति बनाती हैं, जिसे हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। 4.
चूंकि फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x (0; 2) पर ऋणात्मक मान लेता है, तब
एस = |ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx|।
हमारे पास है: 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2/2)| 0 2 \u003d -4, जहां से एस \u003d 4 वर्ग मीटर। इकाइयों
उत्तर: एस = 4 वर्ग। इकाइयों
उदाहरण 4
परवलय y \u003d 2x 2 - 2x + 1, सीधी रेखाओं x \u003d 0, y \u003d 0 और इस परवलय की स्पर्शरेखा द्वारा भुज x 0 \u003d के साथ बिंदु पर परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 2.
फेसला।
सबसे पहले, हम परवलय y \u003d 2x 2 - 2x + 1 के स्पर्शरेखा के समीकरण को भुज x₀ \u003d 2 के साथ बिंदु पर बनाते हैं।
चूँकि अवकलज y' = 4x - 2 है, तो x 0 = 2 के लिए हमें k = y'(2) = 6 प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5।
इसलिए, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: y - 5 \u003d 6 (x - 2) या y \u003d 6x - 7।
आइए रेखाओं से घिरी एक आकृति बनाएं:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.
y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - परवलय। समन्वय अक्षों के साथ चौराहे के बिंदु: ए(0; 1) - ओए अक्ष के साथ; ऑक्स अक्ष के साथ - कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, क्योंकि समीकरण 2x 2 - 2x + 1 = 0 का कोई हल नहीं है (D .)< 0). Найдем вершину параболы:
एक्स बी \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, यानी परवलय बिंदु B के शीर्ष में निर्देशांक B (1/2; 1/2) है।
अत: जिस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, उसे हैचिंग द्वारा दर्शाया गया है चावल। 5.
हमारे पास है: एस ओ ए बी डी \u003d एस ओएबीसी - एस एडीबीसी।
शर्त से बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:
6x - 7 = 0, अर्थात्। x \u003d 7/6, फिर DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6।
हम सूत्र S ADBC = 1/2 · DC · BC का उपयोग करके त्रिभुज DBC का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इस प्रकार,
एस एडीबीसी = 1/2 5/6 5 = 25/12 वर्ग। इकाइयों
एस ओएबीसी = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (वर्ग इकाइयाँ)।
अंत में हमें मिलता है: एस ओ ए बी डी \u003d एस ओएबीसी - एस एडीबीसी \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (वर्ग इकाइयाँ)।
उत्तर: एस = 1 1/4 वर्ग। इकाइयों
हमने उदाहरणों की समीक्षा की है दी गई रेखाओं से घिरी हुई आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करना. ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको एक समतल पर कार्यों की रेखाएँ और ग्राफ़ बनाने, रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने, क्षेत्र को खोजने के लिए एक सूत्र लागू करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि कुछ इंटीग्रल की गणना करने की क्षमता और कौशल।
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प्रमेय 1.
एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है।
आइए हम सिद्ध करें कि a भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल S, 2 के बराबर है। आइए एक भुजा 1 वाला वर्ग लें और इसे n बराबर वर्गों में विभाजित करें जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। ज्यामिति क्षेत्र आकृति प्रमेय
चित्र 1।
चूँकि वर्ग की भुजा 1 है, तो प्रत्येक छोटे वर्ग का क्षेत्रफल बराबर होता है। प्रत्येक छोटे वर्ग की भुजा बराबर होती है, अर्थात्। ए के बराबर यह इस प्रकार है कि। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 2।
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस तरफ खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है (चित्र 2.):
एस = ए * एच।
मान लीजिए ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। यदि यह आयत नहीं है, तो इसका कोई एक कोना A या B न्यूनकोण है। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, कोण A न्यून है (चित्र 2.)।
चित्र 2।
आइए हम लम्ब AE को शीर्ष A से रेखा CB पर छोड़ते हैं। समलम्ब चतुर्भुज AECD का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज ABCD और त्रिभुज AEB के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। आइए हम लंब DF को शीर्ष D से रेखा CD पर छोड़ते हैं। तब समलम्ब चतुर्भुज AECD का क्षेत्रफल आयत AEFD और त्रिभुज DFC के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। समकोण त्रिभुज AEB और DFC सर्वांगसम हैं, जिसका अर्थ है कि उनके क्षेत्रफल समान हैं। यह इस प्रकार है कि समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल आयत AEFD के क्षेत्रफल के बराबर है, अर्थात। एई * एडी के बराबर है। खंड AE समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है जो भुजा AD तक कम है, और इसलिए, एस = ए * एच।प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 3
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के गुणनफल और उसकी ओर खींची गई ऊँचाई का आधा होता है।(अंजीर। 3।):
चित्र तीन
प्रमाण।
माना ABC दिया गया त्रिभुज है। आइए इसे समांतर चतुर्भुज ABCD में जोड़ें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है (चित्र 3.1।)।
चित्र 3.1.
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC और CDA के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। चूँकि ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का दोगुना है। भुजा CB के संगत समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई CB की ओर खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई के बराबर होती है। इसका तात्पर्य प्रमेय के अभिकथन से है। प्रमेय सिद्ध होता है।
प्रमेय 3.1।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या का आधा गुणनफल होता है।(चित्र 3.2.)।
चित्र 3.2.
प्रमाण।
आइए बिंदु C पर मूल बिंदु के साथ एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें ताकि B धनात्मक अर्ध-अक्ष C x पर स्थित हो, और बिंदु A में एक धनात्मक कोटि हो। किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है जहाँ h त्रिभुज की ऊँचाई है। लेकिन h, बिंदु A की कोटि के बराबर है, अर्थात। एच = बी पाप सी। इसलिए,। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 4.
एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग का आधा गुणा उसकी ऊँचाई से होता है(चित्र.4.)।
चित्र 4
प्रमाण।
मान लीजिए ABCD एक दिया हुआ समलम्ब है (आकृति 4.1.)।
चित्र 4.1।
एक समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण AC इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: ABC और CDA।
इसलिए, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के बराबर है। इन त्रिभुजों के शीर्षलंब AF और CE समानांतर रेखाओं BC और AD के बीच की दूरी h के बराबर हैं, अर्थात। ट्रेपेज़ियम ऊंचाई। इसलिये, । प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
ज्यामिति में, विज्ञान की तरह, आंकड़ों के क्षेत्रों का बहुत महत्व है। आखिरकार, ज्यामिति में क्षेत्रफल सबसे महत्वपूर्ण मात्राओं में से एक है। क्षेत्रों को जाने बिना, कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करना, प्रमेयों को सिद्ध करना और स्वयंसिद्धों की पुष्टि करना असंभव है। कई सदियों पहले आकृतियों के वर्गों का बहुत महत्व था, लेकिन आधुनिक दुनिया में उनका महत्व नहीं खोया है। कई व्यवसायों में क्षेत्र अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है। इनका उपयोग निर्माण, डिजाइन और कई अन्य मानवीय गतिविधियों में किया जाता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ज्यामिति के विकास के बिना, विशेष रूप से क्षेत्रों की अवधारणाओं के बिना, मानवता विज्ञान और प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में इतनी बड़ी सफलता हासिल नहीं कर पाती।
कक्षा: 5
मेरी राय में, शिक्षक का कार्य केवल पढ़ाना नहीं है, बल्कि छात्र की संज्ञानात्मक रुचि को विकसित करना है। इसलिए, जब भी संभव हो, मैं पाठ के विषयों को व्यावहारिक कार्यों से जोड़ता हूं।
पाठ में, छात्र, एक शिक्षक के मार्गदर्शन में, "जटिल आकृति" (मरम्मत अनुमानों की गणना के लिए) के क्षेत्र को खोजने के लिए समस्याओं को हल करने के लिए एक योजना तैयार करते हैं, खोजने के लिए समस्याओं को हल करने के लिए कौशल को समेकित करते हैं क्षेत्र; ध्यान का विकास, अनुसंधान गतिविधियों की क्षमता, गतिविधि की शिक्षा, स्वतंत्रता है।
जोड़ियों में काम करना ज्ञान रखने वालों और इसे हासिल करने वालों के बीच संचार की स्थिति पैदा करता है; इस तरह के काम का आधार विषय में प्रशिक्षण की गुणवत्ता में सुधार करना है। सीखने की प्रक्रिया में रुचि के विकास और शैक्षिक सामग्री के गहन आत्मसात को बढ़ावा देता है।
पाठ न केवल छात्रों के ज्ञान को व्यवस्थित करता है, बल्कि रचनात्मक, विश्लेषणात्मक क्षमताओं के विकास में भी योगदान देता है। पाठ में व्यावहारिक सामग्री वाले कार्यों का उपयोग आपको रोजमर्रा की जिंदगी में गणितीय ज्ञान की प्रासंगिकता दिखाने की अनुमति देता है।
पाठ मकसद:
शैक्षिक:
- एक आयत, एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्रों के ज्ञान का समेकन;
- एक "जटिल" आकृति और उनके कार्यान्वयन के तरीकों के क्षेत्र की गणना के लिए कार्यों का विश्लेषण;
- ज्ञान, कौशल, क्षमताओं का परीक्षण करने के लिए कार्यों का स्वतंत्र प्रदर्शन।
विकसित होना:
- मानसिक और अनुसंधान गतिविधि के तरीकों का विकास;
- किसी निर्णय को सुनने और समझाने की क्षमता विकसित करना।
शैक्षिक:
- शैक्षिक कार्य के कौशल में छात्रों को शिक्षित करने के लिए;
- मौखिक और लिखित गणितीय भाषण की संस्कृति विकसित करने के लिए;
- कक्षा में मित्रता और समूहों में काम करने की क्षमता विकसित करना।
पाठ प्रकार:संयुक्त।
उपकरण:
- गणित: 5 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा संस्थान / एन.वाई.ए. विलेनकिन, वी.आई. झोखोव एट अल।, एम .: मेनेमोज़िना, 2010।
- एक जटिल आकृति के क्षेत्र की गणना करने के लिए आंकड़ों के साथ छात्रों के समूहों के लिए कार्ड।
- चित्रकारी के औज़ार।
शिक्षण योजना:
- आयोजन का समय।
- ज्ञान अद्यतन।
ए) सैद्धांतिक प्रश्न (परीक्षण)।
बी) समस्या का बयान। - नई सामग्री सीखी।
ए) समस्या का समाधान खोजना;
बी) समस्या का समाधान। - सामग्री को ठीक करना।
क) सामूहिक समस्या समाधान;
फ़िज़्कुल्टमिनुत्का।
बी) स्वतंत्र कार्य। - गृहकार्य।
- पाठ का सारांश। प्रतिबिंब।
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण।
आइए प्रोत्साहन के इन शब्दों के साथ पाठ शुरू करें:
गणित, दोस्तों,
बिल्कुल सभी को इसकी जरूरत है।
कक्षा में कड़ी मेहनत करें
और सफलता आपका इंतजार कर रही है!
द्वितीय. ज्ञान अद्यतन।
ए)सिग्नल कार्ड के साथ ललाट कार्य (प्रत्येक छात्र के पास संख्या 1, 2, 3, 4 के साथ कार्ड होते हैं; एक परीक्षण प्रश्न का उत्तर देते समय, छात्र सही उत्तर की संख्या के साथ एक कार्ड उठाता है)।
1. एक वर्ग सेंटीमीटर है:
- 1 सेमी की भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल;
- 1 सेमी की भुजा वाला एक वर्ग;
- 1 सेमी की परिधि के साथ वर्ग।
2. आकृति में दिखाए गए चित्र का क्षेत्रफल है:
- 8 डीएम;
- 8 डीएम 2;
- 15 डीएम 2.
3. क्या यह सच है कि समान आकृतियों के परिमाप और क्षेत्रफल समान होते हैं?
4. आयत का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
- एस = ए 2;
- एस = 2 (ए + बी);
- एस = ए बी।
5. आकृति में दिखाए गए चित्र का क्षेत्रफल है:
- 12 सेमी;
- 8 सेमी;
- 16 सेमी
बी) (समस्या का निरूपण)। काम। निम्नलिखित आकार वाले फर्श को पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता होती है (अंजीर देखें।), यदि प्रति 1 मीटर 2 में 200 ग्राम पेंट की खपत होती है?
III. नई सामग्री सीखना।
आखिरी समस्या को हल करने के लिए हमें क्या जानने की जरूरत है? (फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो "जटिल आकृति" जैसा दिखता है।)
छात्र पाठ के विषय और उद्देश्य तैयार करते हैं (यदि आवश्यक हो, तो शिक्षक मदद करता है)।
एक आयत पर विचार करें ऐ बी सी डी. आइए इसमें एक रेखा खींचते हैं केपीएमएनआयत तोड़कर ऐ बी सी डीदो भागों में: एबीएनएमपीकेऔर केपीएमएनसीडी।
क्षेत्र क्या है ऐ बी सी डी? (15 सेमी 2)
आकृति का क्षेत्रफल क्या है एबीएमएनपीके? (7 सेमी 2)
आकृति का क्षेत्रफल क्या है केपीएमएनसीडी? (8 सेमी 2)
परिणामों का विश्लेषण करें। (15==7+8)
निष्कर्ष? (पूरी आकृति का क्षेत्रफल उसके भागों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
एस = एस 1 + एस 2
हम अपनी समस्या को हल करने के लिए इस संपत्ति का उपयोग कैसे कर सकते हैं? (आइए जटिल आकृति को भागों में तोड़ें, भागों का क्षेत्रफल ज्ञात करें, फिर संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल।)
एस 1 \u003d 7 2 \u003d 14 (एम 2)
एस 2 \u003d (7 - 4) (8 - 2 - 3) \u003d 3 3 \u003d 9 (एम 2)
एस 3 \u003d 7 3 \u003d 21 (एम 2)
एस \u003d एस 1 + एस 2 + एस 3 \u003d 14 + 9 + 21 \u003d 44 (एम 2)
चलो श्रृंगार करते हैं "जटिल आकृति" के क्षेत्र को खोजने के लिए समस्याओं को हल करने की योजना:
- हम आकृति को सरल आकृतियों में तोड़ते हैं।
- साधारण आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
ए) कार्य 1. निम्नलिखित आकारों के प्लेटफॉर्म को बिछाने के लिए कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी:
एस = एस 1 + एस 2
एस 1 \u003d (60 - 30) 20 \u003d 600 (डीएम 2)
एस 2 \u003d 30 50 \u003d 1500 (डीएम 2)
एस \u003d 600 + 1500 \u003d 2100 (डीएम 2)
क्या हल करने का कोई और तरीका है? (हम प्रस्तावित विकल्पों पर विचार करते हैं।)
उत्तर: 2100 डीएम 2.
कार्य 2. (बोर्ड पर और नोटबुक में सामूहिक निर्णय।)निम्नलिखित आकार वाले कमरे की मरम्मत के लिए कितने मीटर लिनोलियम की आवश्यकता होती है:
एस = एस 1 + एस 2
एस 1 \u003d 3 2 \u003d 6 (एम 2)
एस 2 \u003d ((5 - 3) 2): 2 \u003d 2 (एम 2)
एस \u003d 6 + 2 \u003d 8 (एम 2)
उत्तर: 8 मीटर 2.
फ़िज़्कुल्टमिनुत्का।
अब, दोस्तों, उठो।
उन्होंने झट से हाथ खड़े कर दिए।
बग़ल में, आगे, पीछे।
दाएं मुड़े, बाएं।
हम चुपचाप बैठ गए, काम पर वापस।
बी) स्वतंत्र कार्य (शैक्षिक) .
छात्रों को समूहों में बांटा गया है (संख्या 5–8 अधिक मजबूत हैं)। प्रत्येक समूह एक मरम्मत दल है।
टीमों के लिए कार्य: निर्धारित करें कि कार्ड पर दिखाए गए चित्र के आकार वाले फर्श को पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता है, यदि प्रति 1 मीटर 2 में 200 ग्राम पेंट की आवश्यकता है।
आप इस आंकड़े को अपनी नोटबुक में बनाते हैं और सभी डेटा लिखकर कार्य के लिए आगे बढ़ते हैं। आप समाधान पर चर्चा कर सकते हैं (लेकिन केवल अपने समूह में!) यदि कोई समूह कार्य को शीघ्रता से पूरा करता है, तो उसे एक अतिरिक्त कार्य प्राप्त होगा (स्वतंत्र कार्य के सत्यापन के बाद)।
समूहों के लिए कार्य:
वी. गृहकार्य।
आइटम 18, नंबर 718, नंबर 749।
अतिरिक्त कार्य।समर गार्डन (सेंट पीटर्सबर्ग) की योजना-योजना। इसके क्षेत्रफल की गणना कीजिए।
VI. सबक परिणाम।
प्रतिबिंब।वाक्यांश जारी रखें:
- आज मुझे पता चला...
- यह दिलचस्प था…
- वह मुश्किल था…
- अब मैं कर सकता हूँ…
- जीवन भर के लिए सबक सिखाया...
यदि आप स्वयं मरम्मत करने की योजना बनाते हैं, तो आपको भवन और परिष्करण सामग्री के लिए एक अनुमान लगाने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, आपको उस कमरे के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता होगी जिसमें आप मरम्मत करने की योजना बना रहे हैं। इसमें मुख्य सहायक एक विशेष रूप से तैयार किया गया सूत्र है। कमरे का क्षेत्र, अर्थात् इसकी गणना, आपको निर्माण सामग्री पर बहुत सारा पैसा बचाने और जारी वित्तीय संसाधनों को अधिक आवश्यक दिशा में निर्देशित करने की अनुमति देगा।
कमरे का ज्यामितीय आकार
एक कमरे के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सीधे उसके आकार पर निर्भर करता है। घरेलू संरचनाओं के लिए सबसे विशिष्ट आयताकार और वर्गाकार कमरे हैं। हालांकि, पुनर्विकास के दौरान, मानक रूप विकृत हो सकता है। कमरे हैं:
- आयताकार।
- वर्ग।
- जटिल विन्यास (उदाहरण के लिए, गोल)।
- निचे और कगार के साथ।
उनमें से प्रत्येक की अपनी गणना विशेषताएं हैं, लेकिन, एक नियम के रूप में, एक ही सूत्र का उपयोग किया जाता है। किसी भी आकार और आकार के कमरे के क्षेत्रफल की गणना किसी न किसी रूप में की जा सकती है।
आयताकार या चौकोर कमरा
एक आयताकार या वर्गाकार कमरे के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, स्कूल ज्यामिति पाठों को याद रखना पर्याप्त है। इसलिए, आपके लिए कमरे के क्षेत्र को निर्धारित करना मुश्किल नहीं होना चाहिए। गणना सूत्र इस तरह दिखता है:
एस कमरे = ए * बी, जहां
A कमरे की लंबाई है।
बी कमरे की चौड़ाई है।
इन मूल्यों को मापने के लिए, आपको एक नियमित टेप उपाय की आवश्यकता होगी। सबसे सटीक गणना प्राप्त करने के लिए, यह दोनों तरफ की दीवार को मापने के लायक है। यदि मान अभिसरण नहीं करते हैं, तो परिणामी डेटा के औसत को आधार के रूप में लें। लेकिन याद रखें कि किसी भी गणना की अपनी त्रुटियां होती हैं, इसलिए सामग्री को मार्जिन के साथ खरीदा जाना चाहिए।
एक जटिल विन्यास वाला कमरा
यदि आपका कमरा "विशिष्ट" की परिभाषा के अंतर्गत नहीं आता है, अर्थात। एक वृत्त, त्रिभुज, बहुभुज का आकार है, तो आपको गणना के लिए एक अलग सूत्र की आवश्यकता हो सकती है। आप इस तरह की विशेषता वाले कमरे के क्षेत्र को आयताकार तत्वों में सशर्त रूप से विभाजित करने और मानक तरीके से गणना करने का प्रयास कर सकते हैं। यदि यह आपके लिए संभव नहीं है, तो निम्न विधियों का उपयोग करें:
- एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
एस कमरा \u003d * आर 2, जहां
R कमरे की त्रिज्या है।
- त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
एस कमरा = √ (पी (पी - ए) एक्स (पी - बी) एक्स (पी - सी)), जहां
P त्रिभुज का आधा परिमाप है।
A, B, C इसकी भुजाओं की लंबाई हैं।
इसलिए पी \u003d ए + बी + सी / 2
यदि गणना की प्रक्रिया में आपको कोई कठिनाई होती है, तो बेहतर है कि खुद को प्रताड़ित न करें और पेशेवरों की ओर रुख न करें।
सीढ़ियों और निचे के साथ कक्ष क्षेत्र
अक्सर दीवारों को सजावटी तत्वों से विभिन्न निचे या कगार के रूप में सजाया जाता है। साथ ही, उनकी उपस्थिति आपके कमरे के कुछ अनैस्थेटिक तत्वों को छिपाने की आवश्यकता के कारण भी हो सकती है। आपकी दीवार पर कगार या निचे की उपस्थिति का मतलब है कि गणना चरणों में की जानी चाहिए। वे। सबसे पहले, दीवार के एक सपाट खंड का क्षेत्र पाया जाता है, और फिर इसमें एक आला या कगार का क्षेत्र जोड़ा जाता है।
दीवार का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
एस दीवारें \u003d पी एक्स सी, जहां
पी - परिधि
सी - ऊंचाई
आपको खिड़कियों और दरवाजों की उपस्थिति पर भी विचार करने की आवश्यकता है। उनके क्षेत्र को परिणामी मूल्य से घटाया जाना चाहिए।
बहु-स्तरीय छत वाला कमरा
एक बहु-स्तरीय छत गणना को उतना जटिल नहीं करती है जितना पहली नज़र में लगता है। यदि इसका एक सरल डिज़ाइन है, तो गणना दीवारों के क्षेत्र को खोजने के सिद्धांत पर की जा सकती है जो कि निचे और लेज द्वारा जटिल है।
हालांकि, यदि आपकी छत के डिजाइन में धनुषाकार और लहरदार तत्व हैं, तो फर्श क्षेत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्र का निर्धारण करना अधिक उपयुक्त है। इसके लिए आपको चाहिए:
- दीवारों के सभी सीधे वर्गों के आयामों का पता लगाएं।
- फर्श क्षेत्र का पता लगाएं।
- लंबवत वर्गों की लंबाई और ऊंचाई गुणा करें।
- फर्श क्षेत्र के साथ परिणामी मूल्य का योग करें।
कुल का निर्धारण करने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश
उपलब्ध ज़मीन पर निर्माण योग्य क्षेत्रफल
- कमरे को अनावश्यक चीजों से मुक्त करें। मापने की प्रक्रिया में, आपको अपने कमरे के सभी क्षेत्रों में मुफ्त पहुंच की आवश्यकता होगी, इसलिए आपको हर उस चीज से छुटकारा पाने की जरूरत है जो इसमें हस्तक्षेप कर सकती है।
- कमरे को नियमित और अनियमित आकार के वर्गों में दृष्टिगत रूप से विभाजित करें। यदि आपके कमरे का आकार चौकोर या आयताकार है, तो इस चरण को छोड़ दिया जा सकता है।
- कमरे का मनमाना लेआउट बनाएं। इस ड्राइंग की आवश्यकता है ताकि सभी डेटा हमेशा आपकी उंगलियों पर रहे। साथ ही, यह आपको कई मापों में भ्रमित होने का अवसर नहीं देगा।
- माप कई बार लिया जाना चाहिए। गणना में त्रुटियों से बचने के लिए यह एक महत्वपूर्ण नियम है। इसके अलावा यदि आप उपयोग कर रहे हैं तो सुनिश्चित करें कि बीम दीवार की सतह पर सपाट है।
- कमरे का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। एक कमरे के कुल क्षेत्रफल का सूत्र कमरे के अलग-अलग वर्गों के सभी क्षेत्रों का योग ज्ञात करना है। वे। एस कुल = एस दीवारें + एस फर्श + एस छत
