इस लेख में, हम परिचय देंगे एक संख्या की जड़ की अवधारणा. हम क्रमिक रूप से कार्य करेंगे: हम वर्गमूल से शुरू करेंगे, इससे हम घनमूल के विवरण पर आगे बढ़ेंगे, उसके बाद हम nth डिग्री की जड़ को परिभाषित करके मूल की अवधारणा को सामान्य करेंगे। साथ ही, हम परिभाषाएं, संकेतन, जड़ों के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियां देंगे।
वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल
किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए, किसी के पास . इस बिंदु पर, हम अक्सर एक संख्या की दूसरी शक्ति का सामना करेंगे - एक संख्या का वर्ग।
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं वर्गमूल परिभाषाएं.
परिभाषा
a . का वर्गमूलवह संख्या है जिसका वर्ग a है।
लाने के लिए वर्गमूल के उदाहरण, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 5 , -0.3 , 0.3 , 0 , और उनका वर्ग करें, हमें क्रमशः 25 , 0.09 , 0.09 और 0 संख्याएँ मिलती हैं (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (-0.3) 2 =(-0.3) (-0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 और 0 2 =0 0=0 )। फिर ऊपर की परिभाषा के अनुसार, 5 25 का वर्गमूल है, -0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल है, और 0 शून्य का वर्गमूल है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी संख्या के लिए मौजूद नहीं है, जिसका वर्ग एक के बराबर है। अर्थात्, किसी भी ऋणात्मक संख्या a के लिए, कोई वास्तविक संख्या b नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर हो। वास्तव में, समानता a=b 2 किसी भी ऋणात्मक a के लिए असंभव है, क्योंकि b 2 किसी भी b के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है. दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं होता है और इसका कोई अर्थ नहीं होता है।
यह एक तार्किक प्रश्न की ओर ले जाता है: "क्या किसी गैर-ऋणात्मक के लिए a का वर्गमूल है"? इसका जवाब है हाँ। इस तथ्य के औचित्य को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक रचनात्मक विधि माना जा सकता है।
फिर निम्नलिखित तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दिए गए गैर-ऋणात्मक संख्या के सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक"? इसका उत्तर यह है: यदि a शून्य है, तो शून्य का एकमात्र वर्गमूल शून्य है; यदि a कोई धनात्मक संख्या है, तो संख्या a से वर्गमूलों की संख्या दो के बराबर है, और मूल हैं । आइए इसकी पुष्टि करते हैं।
आइए मामले से शुरू करें a=0 । आइए पहले हम यह दिखाएं कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 = 0·0 = 0 और वर्गमूल की परिभाषा का अनुसरण करता है।
अब हम सिद्ध करते हैं कि 0 ही शून्य का एक मात्र वर्गमूल है। आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। आइए मान लें कि कुछ गैर-शून्य संख्या बी है जो शून्य का वर्गमूल है। तब शर्त बी 2 = 0 को संतुष्ट होना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य बी के लिए अभिव्यक्ति बी 2 का मान सकारात्मक है। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है।
आइए उन मामलों की ओर बढ़ते हैं जहां a एक धनात्मक संख्या है। ऊपर हमने कहा कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा होता है, मान लीजिए कि b, a का वर्गमूल है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएं b 2 =a और c 2 =a मान्य हैं, जिससे यह निम्नानुसार है कि b 2 −c 2 =a−a=0, लेकिन चूंकि b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , फिर (b−c) (b+c)=0 । बल में परिणामी समानता वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणकेवल तभी संभव है जब b−c=0 या b+c=0 । इस प्रकार संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।
यदि हम मान लें कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्कों के समान तर्क से यह सिद्ध होता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। तो, एक धनात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो होती है, और वर्गमूल विपरीत संख्याएँ होती हैं।
वर्गमूल के साथ काम करने की सुविधा के लिए, ऋणात्मक जड़ को धनात्मक से "अलग" किया जाता है। इस उद्देश्य के लिए, यह परिचय देता है अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.
परिभाषा
एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।
संख्या a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए अंकन स्वीकार किया जाता है। इस चिन्ह को अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह कहा जाता है। इसे रेडिकल का संकेत भी कहा जाता है। इसलिए, आप आंशिक रूप से "रूट" और "रेडिकल" दोनों को सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।
अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न के नीचे की संख्या कहलाती है मूल संख्या, और मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक - कट्टरपंथी अभिव्यक्ति, जबकि "रेडिकल नंबर" शब्द को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन में, संख्या 151 एक मूलांक है, और संकेतन में, व्यंजक एक मूलांक है।
पढ़ते समय, "अंकगणित" शब्द को अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को "सात दशमलव उनतीस सौवें का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का उच्चारण तभी किया जाता है जब वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि हम किसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल के बारे में बात कर रहे हैं।
प्रस्तुत संकेतन के आलोक में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से इस प्रकार है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए a .
एक धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न और के रूप में प्रयोग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 के वर्गमूल हैं और . शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य है, अर्थात। ऋणात्मक संख्याओं के लिए a, हम तब तक प्रविष्टियों का अर्थ नहीं जोड़ेंगे जब तक हम अध्ययन नहीं करते जटिल आंकड़े. उदाहरण के लिए, भाव और अर्थहीन हैं।
वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जिनका प्रयोग प्रायः व्यवहार में किया जाता है।
इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम देखते हैं कि किसी संख्या के वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 =a के रूप के हल होते हैं।
का घनमूल
घनमूल की परिभाषासंख्या का वर्गमूल की परिभाषा के समान तरीके से दिया गया है। केवल यह किसी संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग पर नहीं।
परिभाषा
a . का घनमूलवह संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।
चलो लाते हैं घनमूलों के उदाहरण. ऐसा करने के लिए, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 7 , 0 , −2/3 , और उन्हें घन करें: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0 0=0 , 
. फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संख्या 7 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और -2/3 −8/27 का घनमूल है।
यह दिखाया जा सकता है कि वर्गमूल के विपरीत संख्या a का घनमूल हमेशा मौजूद होता है, और न केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए, बल्कि किसी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूल का अध्ययन करते समय किया था।
इसके अलावा, दी गई संख्या a का केवल एक घनमूल होता है। आइए हम अंतिम कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, तीन मामलों पर अलग-अलग विचार करें: a एक धनात्मक संख्या है, a=0 और a एक ऋणात्मक संख्या है।
यह दिखाना आसान है कि धनात्मक a के लिए, a का घनमूल ऋणात्मक या शून्य नहीं हो सकता। वास्तव में, मान लीजिए b a का घनमूल है, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 =a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b=0 के लिए सही नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 =b·b·b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः एक धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या है।
अब मान लीजिए कि संख्या b के अतिरिक्त संख्या a से एक और घनमूल है, आइए इसे c से निरूपित करें। फिर सी 3 = ए। इसलिए, b 3 −c 3 =a−a=0 , लेकिन बी 3 −सी 3 =(बी−सी) (बी 2 +बी सी+सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है घनों का अंतर), कहाँ से (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 । परिणामी समानता तभी संभव है जब b−c=0 या b 2 +b c+c 2 =0 । पहली समानता से हमारे पास b=c है, और दूसरी समानता का कोई हल नहीं है, क्योंकि इसका बायां भाग किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए एक धनात्मक संख्या है, जो तीन धनात्मक पदों b 2 , b c और c 2 के योग के रूप में है। यह एक धनात्मक संख्या a के घनमूल की विशिष्टता को सिद्ध करता है।
a=0 के लिए, a का एकमात्र घनमूल शून्य है। वास्तव में, यदि हम मानते हैं कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 = 0 को धारण करना चाहिए, जो तभी संभव है जब b=0 ।
नकारात्मक a के लिए, कोई सकारात्मक a के मामले के समान तर्क दे सकता है। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल या तो धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। दूसरे, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का दूसरा घनमूल है और यह दर्शाता है कि यह आवश्यक रूप से पहले वाले से मेल खाएगा।
इसलिए, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल होता है, और केवल एक।
चलो हम देते है अंकगणितीय घनमूल की परिभाषा.
परिभाषा
एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . का अंकगणितीय घनमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।
एक गैर-ऋणात्मक संख्या के अंकगणितीय घनमूल को इस रूप में निरूपित किया जाता है, संकेत को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को कहा जाता है मूल सूचक. मूल चिह्न के नीचे की संख्या है मूल संख्या, मूल चिह्न के नीचे व्यंजक है कट्टरपंथी अभिव्यक्ति.
यद्यपि अंकगणितीय घनमूल को केवल गैर-ऋणात्मक संख्या a के लिए परिभाषित किया गया है, यह उन प्रविष्टियों का उपयोग करना भी सुविधाजनक है जिनमें ऋणात्मक संख्या अंकगणितीय घनमूल चिह्न के अंतर्गत हैं। हम उन्हें इस प्रकार समझेंगे: जहाँ a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, 
.
हम सामान्य आलेख में मूलों के गुणों के बारे में बात करेंगे।
क्यूब रूट के मूल्य की गणना को क्यूब रूट निकालना कहा जाता है, इस क्रिया की चर्चा जड़ों को निकालने वाले लेख में की गई है: विधियाँ, उदाहरण, समाधान।
इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम कहते हैं कि a का घनमूल x 3 =a के रूप का एक हल है।
वां मूल, n . का अंकगणितीय मूल
हम एक संख्या से मूल की अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं - हम परिचय देते हैं nth रूट का निर्धारणएन के लिए
परिभाषा
a . का nवां मूलएक संख्या है जिसकी nth घात a के बराबर है।
इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि संख्या a से पहली डिग्री का मूल संख्या a ही है, क्योंकि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हमने 1 = a लिया।
ऊपर, हमने n=2 और n=3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवीं डिग्री के मूल के विशेष मामलों पर विचार किया। यानी वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n = 4, 5, 6, ... के लिए nवीं डिग्री की जड़ों का अध्ययन करने के लिए, उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम डिग्री की जड़ें (अर्थात, n = 4, 6 के लिए) , 8, ...), दूसरा समूह - मूल विषम अंश (अर्थात n=5, 7, 9, ... के लिए)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम अंशों की जड़ें वर्गमूल के समान होती हैं, और विषम अंशों की जड़ें घनमूल के समान होती हैं। आइए उनसे बारी-बारी से निपटें।
आइए जड़ों से शुरू करते हैं, जिनकी घातें सम संख्याएँ 4, 6, 8, ... हैं, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, वे संख्या a के वर्गमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a से किसी सम घात का मूल केवल अऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a=0, तो a का मूल अद्वितीय है और शून्य के बराबर है, और यदि a>0, तो संख्या a से सम अंश के दो मूल हैं, और वे विपरीत संख्याएं हैं।
आइए हम पिछले दावे को सही ठहराते हैं। मान लीजिए b एक सम अंश का मूल है (हम इसे 2·m से निरूपित करते हैं, जहाँ m कुछ प्राकृत संख्या है) a से। मान लीजिए कि एक संख्या c है - a का दूसरा 2 m मूल। तब b 2 m −c 2 m =a−a=0 । लेकिन हम b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) के रूप के बारे में जानते हैं (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2), फिर (बी-सी) (बी+सी) (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2)=0. इस समानता से यह निम्नानुसार है कि b−c=0 , या b+c=0 , or b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. पहली दो समानता का मतलब है कि संख्या बी और सी बराबर हैं या बी और सी विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल के लिए मान्य है b=c=0 , क्योंकि इसके बाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में किसी भी b और c के लिए गैर-ऋणात्मक है।
विषम n के लिए nth डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए संख्या a से किसी भी विषम घात का मूल मौजूद होता है, और किसी दी गई संख्या के लिए यह अद्वितीय होता है।
संख्या a से विषम डिग्री 2·m+1 के मूल की विशिष्टता को a से घनमूल की विशिष्टता के प्रमाण के साथ सादृश्य द्वारा सिद्ध किया जाता है। समानता की जगह सिर्फ यहीं a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = . के रूप की समानता (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम). अंतिम कोष्ठक में व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: बी 2 एम +सी 2 एम +बी सी (बी 2 एम-2 +सी 2 एम-2 + बी सी (बी 2 एम−4 +सी 2 एम−4 +बी सी (…+(बी 2 +सी 2 +बी सी)))). उदाहरण के लिए, m=2 के लिए हमारे पास है b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (बी-सी) (बी 4 +सी 4 +बी सी (बी 2 +सी 2 +बी सी)). जब a और b दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक होते हैं, तो उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या होती है, तो व्यंजक b 2 +c 2 +b·c , जो नेस्टिंग के उच्चतम स्तर के कोष्ठकों में होता है, धनात्मक के योग के रूप में धनात्मक होता है संख्याएं। अब, नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठकों में व्यंजकों की क्रमिक रूप से आगे बढ़ते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि वे धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी धनात्मक हों। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं कि समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम)=0केवल तभी संभव है जब b−c=0 , अर्थात, जब संख्या b संख्या c के बराबर हो।
यह nth डिग्री की जड़ों के अंकन से निपटने का समय है। इसके लिए दिया जाता है nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल का निर्धारण.
परिभाषा
एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहलाती है, जिसकी nवीं घात a के बराबर होती है।
साथऔर प्राकृतिक संख्या एन 2 .
जटिल संख्या जेडबुलाया जड़एन– सी, अगर जेड एन = सी.
सभी मूल मान खोजें एन–
एक जटिल संख्या से वें डिग्री साथ. रहने दो सी=|
सी|·(क्योंकि
आर्ग
सी+
मैं·
पाप
आर्गसाथ),ए
जेड
= |
जेड|·(के साथओएस
आर्ग
जेड
+
मैं·
पाप
आर्ग
जेड)
, कहाँ पे जेडजड़ एन-
एक जटिल संख्या से वें डिग्री साथ. तो यह होना चाहिए
=
सी
= |
सी|·(क्योंकि
आर्ग
सी+
मैं·
पाप
आर्गसाथ). इसलिए यह इस प्रकार है कि 
और एन·
आर्ग
जेड
=
आर्गसाथ 
आर्ग
जेड
=
(क=0,
1,…)
. इसलिये, जेड
=
(क्योंकि
+
मैं·
पाप
),
(क=0,
1,…)
. यह देखना आसान है कि कोई भी मान
,
(क=0,
1,…)
संबंधित मानों में से एक से भिन्न
,(क
= 0,1,…,
एन-1)
एक बहु के लिए 2π. इसलिए , (क
= 0,1,…,
एन-1)
.
उदाहरण।
(-1) की जड़ की गणना करें.
, ज़ाहिर तौर से |-1|
= 1,
आर्ग
(-1) =
π
-1 = 1 (क्योंकि π + मैं· पाप π )
,
(के = 0, 1)।
=
मैं
मनमाना तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री
एक मनमाना सम्मिश्र संख्या लीजिए साथ. यदि एक एनप्राकृतिक संख्या, तो साथ एन
= |
सी|
एन ·(साथओएस
नारगो+ . के साथमैं·
पाप
नारगोसाथ)(6)। यह सूत्र इस स्थिति में भी सत्य है एन
= 0
(सी≠0)
. रहने दो एन
< 0
और एन
जेडऔर सी 0, तब
साथ एन
=
(क्योंकि nArgसाथ+मैं पाप nArgसाथ)
=
(क्योंकि nArgसाथ+ मैं पाप नारगसाथ)
. इस प्रकार, सूत्र (6) किसी के लिए भी मान्य है एन.
आइए एक परिमेय संख्या लें 
, कहाँ पे क्यूप्राकृतिक संख्या, और आरएक पूर्णांक है।
फिर नीचे डिग्री
सी आरआइए समझते हैं संख्या 
.
हमें वह मिलता है ,
(क = 0, 1, …, क्यू-1). ये मान क्यूटुकड़े, अगर अंश कम नहीं है।
व्याख्यान №3 जटिल संख्याओं के अनुक्रम की सीमा
एक प्राकृतिक तर्क के एक जटिल-मूल्यवान कार्य को कहा जाता है जटिल संख्याओं का क्रमऔर निरूपित (साथ एन ) या साथ 1 , साथ 2 , ..., साथ एन . साथ एन = ए एन + बी एन · मैं (एन = 1,2, ...) जटिल आंकड़े।
साथ 1 , साथ 2 , ... - अनुक्रम के सदस्य; साथ एन - आम सदस्य
जटिल संख्या साथ
=
ए+
बी·
मैंबुलाया सम्मिश्र संख्याओं के अनुक्रम की सीमा (सी एन )
, कहाँ पे साथ एन
= ए एन +
बी एन ·
मैं
(एन
= 1, 2, …)
, जहां किसी के लिए 
, कि सभी के लिए एन
>
एनअसमानता 
. एक अनुक्रम जिसकी एक परिमित सीमा होती है, कहलाती है अभिसारीअनुक्रम।
प्रमेय।
सम्मिश्र संख्याओं के अनुक्रम के लिए (के साथ एन ) (साथ एन = ए एन + बी एन · मैं) के साथ एक संख्या में परिवर्तित = ए+ बी· मैं, समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त हैलिम ए एन = ए, लिम बी एन = बी.
प्रमाण।
हम निम्नलिखित स्पष्ट दोहरी असमानता के आधार पर प्रमेय को सिद्ध करेंगे:
, कहाँ पे जेड
=
एक्स
+
आप·
मैं
(2)
जरुरत।रहने दो लिम(साथ एन ) = साथ. आइए हम दिखाते हैं कि समानताएं लिम ए एन = एऔर लिम बी एन = बी (3).
जाहिर है (4)
जैसा 
, जब एन
→ ∞
, तो यह असमानता के बाईं ओर से अनुसरण करता है (4) कि 
और 
, जब एन
→ ∞
. इसलिए समानता (3) पकड़। आवश्यकता सिद्ध हुई है।
पर्याप्तता।अब समानताएं (3) धारण करें। यह समानता (3) से इस प्रकार है कि 
और 
, जब एन
→ ∞
, इसलिए, असमानता के दाहिने पक्ष के कारण (4), यह होगा 
, जब एन→∞
, साधन लिम(साथ एन )=एस. पर्याप्तता सिद्ध हुई है।
तो, जटिल संख्याओं के अनुक्रम के अभिसरण का प्रश्न दो वास्तविक संख्या अनुक्रमों के अभिसरण के बराबर है, इसलिए, वास्तविक संख्या अनुक्रमों की सीमाओं के सभी मूल गुण जटिल संख्याओं के अनुक्रमों पर लागू होते हैं।
उदाहरण के लिए, जटिल संख्याओं के अनुक्रमों के लिए, कॉची मानदंड मान्य है: जटिल संख्याओं के अनुक्रम के लिए (के साथ एन ) अभिसरण, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि किसी के लिए 
, कि किसी के लिएएन,
एम
>
एनअसमानता 
.
प्रमेय।
जटिल संख्याओं का एक क्रम दें (के साथ एन ) और (जेड एन ) क्रमशः और . के साथ अभिसरण करते हैंजेड, फिर समानतालिम(साथ एन
जेड एन )
=
सी 
जेड,
लिम(साथ एन ·
जेड एन )
=
सी·
जेड. यदि यह निश्चित रूप से ज्ञात है किजेड0 के बराबर नहीं है, तो समानता 
.
यह लेख विस्तृत जानकारी का एक संग्रह है जो जड़ों के गुणों के विषय से संबंधित है। विषय पर विचार करते हुए, हम गुणों से शुरू करेंगे, सभी योगों का अध्ययन करेंगे और प्रमाण देंगे। विषय को समेकित करने के लिए, हम nth डिग्री के गुणों पर विचार करेंगे।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
मूल गुण
हम संपत्तियों के बारे में बात करेंगे।
- संपत्ति गुणा संख्या एऔर बी, जिसे समानता a · b = a · b के रूप में दर्शाया गया है। इसे गुणक के रूप में दर्शाया जा सकता है, धनात्मक या शून्य के बराबर ए 1 , ए 2 ,… , एक के a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
- निजी से a: b = a: b, a 0, b > 0, इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है a b = a b;
- एक संख्या की शक्ति से संपत्ति एकिसी भी संख्या के लिए एक सम घातांक a 2 m = a m के साथ ए, उदाहरण के लिए, एक संख्या a 2 = a के वर्ग से एक गुण।
किसी भी प्रस्तुत समीकरण में, आप डैश चिह्न से पहले और बाद में भागों को स्वैप कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, समानता a · b = a · b को a · b = a · b के रूप में रूपांतरित किया जाता है। जटिल समीकरणों को सरल बनाने के लिए अक्सर समानता गुणों का उपयोग किया जाता है।
प्रथम गुणों का प्रमाण वर्गमूल की परिभाषा और प्राकृतिक घातांक वाले घातों के गुणों पर आधारित है। तीसरी संपत्ति को प्रमाणित करने के लिए, किसी संख्या के मापांक की परिभाषा का उल्लेख करना आवश्यक है।
सबसे पहले वर्गमूल a · b = a · b के गुणों को सिद्ध करना आवश्यक है। परिभाषा के अनुसार, यह विचार करना आवश्यक है कि a b एक संख्या है, धनात्मक या शून्य के बराबर है, जो इसके बराबर होगा एक बीनिर्माण के दौरान एक वर्ग में। व्यंजक a · b का मान धनात्मक या शून्य के बराबर होता है, जो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल के रूप में होता है। गुणित संख्याओं की घात का गुण हमें (a · b) 2 = a 2 · b 2 के रूप में समानता का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। वर्गमूल की परिभाषा से a 2 \u003d a और b 2 \u003d b, फिर a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b।
इसी तरह, कोई भी उत्पाद से यह साबित कर सकता है कमल्टीप्लायरों ए 1 , ए 2 ,… , एक केइन कारकों के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होगा। दरअसल, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k ।
इस समानता से यह पता चलता है कि a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ।
आइए विषय को सुदृढ़ करने के लिए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 और 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1)।
भागफल के अंकगणितीय वर्गमूल के गुण को सिद्ध करना आवश्यक है: a: b = a: b, a 0, b > 0. संपत्ति आपको समानता a: b 2 = a 2: b 2 , और a 2: b 2 = a: b लिखने की अनुमति देती है, जबकि a: b एक सकारात्मक संख्या या शून्य के बराबर है। यह अभिव्यक्ति प्रमाण होगी।
उदाहरण के लिए, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 और 30, 121 = 30, 121।
किसी संख्या के वर्ग के वर्गमूल के गुणधर्म पर विचार कीजिए। इसे 2 = a के रूप में एक समानता के रूप में लिखा जा सकता है इस संपत्ति को साबित करने के लिए, कई समानताओं पर विस्तार से विचार करना आवश्यक है एक 0और कम से ए< 0 .
जाहिर है, a 0 के लिए, समानता a 2 = a सत्य है। पर ए< 0 समता a 2 = - a सत्य होगा। दरअसल, इस मामले में - ए > 0और (- ए) 2 = ए 2। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 2
5 2 = 5 = 5 और - 0 36 2 = - 0 36 = 0 36।
सिद्ध संपत्ति a 2 m = a m को सही ठहराने में मदद करेगी, जहाँ ए- असली, और एम-प्राकृतिक संख्या। दरअसल, घातांक संपत्ति हमें डिग्री को बदलने की अनुमति देती है एक 2 मीअभिव्यक्ति (एएम) 2, तो a 2 · m = (a m) 2 = a m।
उदाहरण 3
3 8 = 3 4 = 3 4 और (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7।
nवें मूल के गुण
सबसे पहले आपको nth डिग्री की जड़ों के मुख्य गुणों पर विचार करने की आवश्यकता है:
- संख्याओं के गुणनफल से संपत्ति एऔर बी, जो धनात्मक या शून्य के बराबर हैं, को समानता a b n = a n b n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यह गुण उत्पाद के लिए मान्य है कनंबर ए 1 , ए 2 ,… , एक के a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n के रूप में;
- एक भिन्नात्मक संख्या का गुण a b n = a n b n है, जहाँ एकोई वास्तविक संख्या है जो धनात्मक है या शून्य के बराबर है, और बीएक सकारात्मक वास्तविक संख्या है;
- किसी के लिए एऔर सम संख्या एन = 2 एम a 2 m 2 m = a सत्य है, और विषम के लिए एन = 2 एम - 1समानता a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a पूरी होती है।
- a m n = a n m से निष्कर्षण गुण, जहाँ ए- कोई भी संख्या, धनात्मक या शून्य के बराबर, एनऔर एमप्राकृतिक संख्याएं हैं, इस संपत्ति को इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है . . ए एन के एन 2 एन 1 = ए एन 1 · एन 2। . . एनके;
- किसी भी गैर-ऋणात्मक a और मनमाना के लिए एनऔर एम, जो प्राकृतिक हैं, उचित समानता को भी परिभाषित किया जा सकता है a m n · m = a n ;
- डिग्री संपत्ति एनएक संख्या की शक्ति से ए, जो धनात्मक है या शून्य के बराबर है, प्रकार में एम, समानता a m n = a n m द्वारा परिभाषित;
- समान घातांक वाले गुणधर्मों की तुलना करें: किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए एऔर बीऐसा है कि ए< b , असमानता एक n< b n ;
- तुलना का गुण जिसमें जड़ के नीचे समान संख्याएँ होती हैं: if एमऔर एन-प्राकृतिक संख्याएँ जो एम > एन, तो फिर 0 < a < 1 असमानता a m > a n मान्य है, और के लिए ए > 1हूँ< a n .
उपरोक्त समीकरण मान्य हैं यदि बराबर चिह्न के पहले और बाद के भागों को उलट दिया जाता है। उनका उपयोग इस रूप में भी किया जा सकता है। यह अक्सर अभिव्यक्तियों के सरलीकरण या परिवर्तन के दौरान प्रयोग किया जाता है।
जड़ के उपरोक्त गुणों का प्रमाण परिभाषा, डिग्री के गुणों और किसी संख्या के मापांक की परिभाषा पर आधारित है। इन गुणों को सिद्ध किया जाना चाहिए। लेकिन सब कुछ क्रम में है।
- सबसे पहले, हम उत्पाद a · b n = a n · b n से nवीं डिग्री के मूल के गुणों को सिद्ध करेंगे। के लिए एऔर बी, जोहैं सकारात्मक या शून्य , मान a n · b n भी धनात्मक या शून्य के बराबर है, क्योंकि यह गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणन का परिणाम है। एक प्राकृतिक बिजली उत्पाद की संपत्ति हमें समानता a n · b n n = a n n · b n n लिखने की अनुमति देती है। जड़ की परिभाषा के अनुसार एन th डिग्री a n n = a और b n n = b, इसलिए, a n · b n n = a · b। परिणामी समानता वही है जो सिद्ध करने के लिए आवश्यक थी।
यह गुण उत्पाद के लिए समान रूप से सिद्ध होता है कगुणनखंड: गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 ।
यहां मूल गुण का उपयोग करने के उदाहरण दिए गए हैं एनउत्पाद की शक्ति: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 और 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4।
- आइए हम भागफल a b n = a n b n के मूल के गुण को सिद्ध करें। पर एक 0और बी > 0शर्त a n b n ≥ 0 संतुष्ट है, और a n b n n = a n n b n n = a b ।
आइए उदाहरण दिखाते हैं:
उदाहरण 4
8 27 3 = 8 3 27 3 और 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10।
- अगले चरण के लिए, nवीं डिग्री के गुणों को संख्या से डिग्री तक साबित करना आवश्यक है एन. हम इसे किसी भी वास्तविक के लिए एक समानता a 2 m 2 m = a और a 2 m - 1 2 m - 1 = a के रूप में निरूपित करते हैं। एऔर प्राकृतिक एम. पर एक 0हमें a = a और a 2 m = a 2 m प्राप्त होता है, जो समानता a 2 m 2 m = a साबित करता है, और समानता a 2 m - 1 2 m - 1 = a स्पष्ट है। पर ए< 0 हमें क्रमशः a = - a और a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m प्राप्त होता है। संख्या का अंतिम परिवर्तन डिग्री की संपत्ति के अनुसार मान्य है। यह वही है जो समानता साबित करता है a 2 m 2 m \u003d a, और a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a सत्य होगा, क्योंकि - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m को एक विषम के लिए माना जाता है डिग्री -1 किसी भी संख्या के लिए सी ,सकारात्मक या शून्य के बराबर।
प्राप्त जानकारी को समेकित करने के लिए, संपत्ति का उपयोग करके कुछ उदाहरणों पर विचार करें:
उदाहरण 5
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 और (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39।
- आइए हम निम्नलिखित समानता को सिद्ध करें a m n = a n · m । ऐसा करने के लिए, आपको समान चिह्न से पहले और उसके बाद n · m = a m n स्थानों पर संख्याओं को बदलने की आवश्यकता है। यह सही प्रविष्टि का संकेत देगा। के लिए ए ,जो सकारात्मक है या शून्य के बराबर , रूप से a m n एक धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर है। आइए हम एक शक्ति को एक शक्ति और परिभाषा में बढ़ाने की संपत्ति की ओर मुड़ें। उनकी सहायता से आप समानता को a m n n · m = a m n n m = a m m = a के रूप में रूपांतरित कर सकते हैं। यह जड़ से जड़ की मानी गई संपत्ति को साबित करता है।
इसी प्रकार अन्य गुण सिद्ध होते हैं। सच में, । . . एक एन के एन 2 एन 1 एन 1 एन 2। . . एनके =। . . एक एन के एन 3 एन 2 एन 2 एन 3। . . एनके =। . . एक एनके एन 4 एन 3 एन 3 एन 4। . . एनके =। . . = ए एन के एन के = ए।
उदाहरण के लिए, 7 3 5 = 7 5 3 और 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24।
- आइए हम निम्नलिखित गुण a m n · m = a n सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, यह दिखाना आवश्यक है कि n एक संख्या है जो धनात्मक या शून्य के बराबर है। जब एक घात n m तक बढ़ा दिया जाता है हूँ. यदि संख्या एधनात्मक है या शून्य है, तो एनमें से th डिग्री एएक धनात्मक संख्या है या शून्य के बराबर है इसके अलावा, a n · m n = a n n m, जिसे सिद्ध किया जाना था।
अर्जित ज्ञान को समेकित करने के लिए, कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
- आइए हम निम्नलिखित गुण सिद्ध करें - a m n = a n m के रूप की घात के मूल का गुण। यह स्पष्ट है कि एक 0घात n m एक ऋणात्मक संख्या है। इसके अलावा, उसे एन-थ डिग्री के बराबर है हूँ, वास्तव में, a n m n = a n m · n = a n n m = a m। यह डिग्री की मानी गई संपत्ति को साबित करता है।
उदाहरण के लिए, 2 3 5 3 = 2 3 3 5।
- हमें यह साबित करना होगा कि किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए एऔर बी ए< b . असमानता पर विचार करें n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ए< b . इसलिए, एक एन< b n при ए< b .
उदाहरण के लिए, हम 12 4 . देते हैं< 15 2 3 4 .
- मूल संपत्ति पर विचार करें एन-वीं डिग्री। सबसे पहले, असमानता के पहले भाग पर विचार करें। पर एम > एनऔर 0 < a < 1 सच एक एम> एक एन। मान लीजिए a m a n । गुण व्यंजक को a n m · n a m m · n तक सरल बना देंगे। फिर, एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों के अनुसार, असमानता a n m n m n a m m n m n संतुष्ट है, अर्थात्, एक एन एक एम. पर प्राप्त मूल्य एम > एनऔर 0 < a < 1 उपरोक्त गुणों से मेल नहीं खाता।
उसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि एम > एनऔर ए > 1शर्त एक एम< a n .
उपरोक्त गुणों को समेकित करने के लिए, कुछ विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें। विशिष्ट संख्याओं का उपयोग करके असमानताओं पर विचार करें।
उदाहरण 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
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विषय पर कक्षा 11 में पाठ की स्क्रिप्ट:
एक वास्तविक संख्या का nवाँ मूल। »
पाठ का उद्देश्य:जड़ के समग्र दृष्टिकोण के छात्रों में गठन एन-वीं डिग्री और nth डिग्री की अंकगणितीय जड़, कम्प्यूटेशनल कौशल का निर्माण, एक कट्टरपंथी युक्त विभिन्न समस्याओं को हल करने में जड़ के गुणों के जागरूक और तर्कसंगत उपयोग का कौशल। छात्रों द्वारा विषय के प्रश्नों में महारत हासिल करने के स्तर की जाँच करना।
विषय:विषय पर सामग्री को आत्मसात करने के लिए सार्थक और संगठनात्मक स्थितियाँ बनाएँ "संख्यात्मक और वर्णमाला के भाव » धारणा, समझ और प्राथमिक संस्मरण के स्तर पर; वास्तविक संख्या से n-th डिग्री की जड़ की गणना करते समय इस जानकारी को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए;
मेटासब्जेक्ट:कंप्यूटिंग कौशल के विकास को बढ़ावा देना; विश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालने की क्षमता;
निजी:अपने दृष्टिकोण को व्यक्त करने की क्षमता विकसित करना, दूसरों के उत्तर सुनना, संवाद में भाग लेना, सकारात्मक सहयोग की क्षमता का निर्माण करना।
नियोजित परिणाम।
विषय: समीकरणों को हल करते हुए, जड़ों की गणना करते समय वास्तविक स्थिति की प्रक्रिया में वास्तविक संख्या से n वीं डिग्री की जड़ के गुणों को लागू करने में सक्षम हो।
निजी: गणना में सावधानी और सटीकता बनाने के लिए, अपने और अपने काम के प्रति एक मांगपूर्ण रवैया, आपसी सहायता की भावना पैदा करने के लिए।
पाठ का प्रकार: नए ज्ञान के अध्ययन और प्राथमिक समेकन का पाठ
सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा:
पूर्वी ज्ञान कहता है: "आप घोड़े को पानी तक ले जा सकते हैं, लेकिन आप उसे पानी नहीं पिला सकते।" और किसी व्यक्ति को अच्छी तरह से अध्ययन करने के लिए मजबूर करना असंभव है यदि वह स्वयं अधिक सीखने की कोशिश नहीं करता है, उसके मानसिक विकास पर काम करने की इच्छा नहीं है। आखिरकार, ज्ञान ही ज्ञान है जब यह किसी के विचार के प्रयासों से प्राप्त होता है, न कि केवल स्मृति से।
हमारा पाठ आदर्श वाक्य के तहत आयोजित किया जाएगा: "हम किसी भी शिखर पर विजय प्राप्त करेंगे यदि हम उसके लिए प्रयास करते हैं।" पाठ के दौरान, आपके और मेरे पास कई चोटियों को पार करने के लिए समय होना चाहिए, और आप में से प्रत्येक को इन चोटियों को जीतने के लिए अपने सभी प्रयास करने चाहिए।
"आज हमारे पास एक सबक है जिसमें हमें एक नई अवधारणा से परिचित होना चाहिए:" एन-वें रूट "और सीखें कि इस अवधारणा को विभिन्न अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के लिए कैसे लागू किया जाए।
आपका लक्ष्य विभिन्न प्रकार के कार्य के आधार पर मौजूदा ज्ञान को सक्रिय करना, सामग्री के अध्ययन में योगदान करना और अच्छे ग्रेड प्राप्त करना है।
हमने 8वीं कक्षा में एक वास्तविक संख्या के वर्गमूल का अध्ययन किया। वर्गमूल व्यू फंक्शन से संबंधित है आप=एक्स 2. दोस्तों, क्या आपको याद है कि हमने वर्गमूल की गणना कैसे की, और इसमें क्या गुण थे?
ए) व्यक्तिगत सर्वेक्षण: 
यह अभिव्यक्ति क्या है
एक वर्गमूल क्या है
अंकगणितीय वर्गमूल क्या है
वर्गमूल के गुणों की सूची बनाएं
बी) जोड़े में काम करें: गणना करें।
-
2. ज्ञान को अद्यतन करना और समस्या की स्थिति पैदा करना:समीकरण x 4 = 1 को हल कीजिए। हम इसे कैसे हल कर सकते हैं? (विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से)। आइए इसे ग्राफिक रूप से हल करें। ऐसा करने के लिए, एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d x 4 सीधी रेखा y \u003d 1 (चित्र। 164 ए) का एक ग्राफ बनाते हैं। वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: A (-1;1) और B(1;1)। अंक A और B के भुज, अर्थात्। एक्स 1 \u003d -1,
x 2 \u003d 1, समीकरण x 4 \u003d 1 के मूल हैं।
उसी तरह से तर्क करते हुए, हम समीकरण x 4 \u003d 16 की जड़ें ढूंढते हैं: अब आइए समीकरण x 4 \u003d 5 को हल करने का प्रयास करें; ज्यामितीय चित्रण अंजीर में दिखाया गया है। 164 ख. यह स्पष्ट है कि समीकरण के दो मूल x 1 और x 2 हैं, और ये संख्याएँ, पिछले दो मामलों की तरह, परस्पर विपरीत हैं। लेकिन पहले दो समीकरणों के लिए, जड़ें बिना किसी कठिनाई के पाई गईं (वे रेखांकन का उपयोग किए बिना भी पाई जा सकती हैं), और समीकरण x 4 \u003d 5 के साथ समस्याएं हैं: ड्राइंग के अनुसार, हम मानों को इंगित नहीं कर सकते \ जड़ों की, लेकिन हम केवल यह स्थापित कर सकते हैं कि एक जड़ बाएं बिंदु -1 पर स्थित है, और दूसरा - बिंदु 1 के दाईं ओर स्थित है।
x 2 \u003d - (पढ़ें: "पांच की चौथी जड़")।
हमने समीकरण x 4 \u003d a के बारे में बात की, जहाँ a 0। समान सफलता के साथ, हम समीकरण x 4 \u003d a के बारे में बात कर सकते हैं, जहाँ 0, और n कोई भी प्राकृतिक संख्या है। उदाहरण के लिए, रेखांकन समीकरण x 5 \u003d 1 को हल करते हुए, हम x \u003d 1 (चित्र। 165) पाते हैं; समीकरण x 5 "= 7 को हल करते हुए, हम यह स्थापित करते हैं कि समीकरण का एक मूल x 1 है, जो x अक्ष पर बिंदु 1 के थोड़ा दाईं ओर स्थित है (चित्र 165 देखें)। संख्या x 1 के लिए, हम परिचय देते हैं अंकन।
परिभाषा 1.एक गैर-ऋणात्मक संख्या a (n = 2, 3.4, 5, ...) की nवीं डिग्री का मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसे n के घात तक बढ़ाने पर संख्या a प्राप्त होती है।
इस संख्या को निरूपित किया जाता है, संख्या a को मूल संख्या कहा जाता है, और संख्या n मूल सूचकांक है।
यदि n = 2, तो वे आमतौर पर "दूसरी डिग्री की जड़" नहीं कहते हैं, लेकिन "वर्गमूल" कहते हैं। इस मामले में, वे नहीं लिखते हैं। यह विशेष मामला है जिसे आपने विशेष रूप से 8 वीं में पढ़ा है ग्रेड बीजगणित पाठ्यक्रम।
यदि n \u003d 3, तो "थर्ड डिग्री रूट" के बजाय वे अक्सर "क्यूब रूट" कहते हैं। घनमूल के साथ आपका पहला परिचय 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में भी हुआ था। हमने 9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में घनमूल का उपयोग किया था।
तो, यदि 0, n= 2,3,4,5,…, तो 1) 0; 2) () एन = ए।
सामान्य तौर पर, =b और b n =a - गैर-ऋणात्मक संख्याओं a और b के बीच समान संबंध, लेकिन दूसरे को पहले की तुलना में सरल भाषा (सरल प्रतीकों का उपयोग करता है) में वर्णित किया गया है।
एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मूल ज्ञात करने की क्रिया को सामान्यतः मूल निष्कर्षण कहा जाता है। यह ऑपरेशन संबंधित शक्ति को बढ़ाने के विपरीत है। तुलना करना:
फिर से ध्यान दें: तालिका में केवल सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देती हैं, क्योंकि यह परिभाषा 1 में निर्धारित है। और यद्यपि, उदाहरण के लिए, (-6) 6 \u003d 36 सही समानता है, इसे वर्गमूल का उपयोग करके अंकन पर जाएं, अर्थात। जो तुम नहीं कर सकते उसे लिखो। परिभाषा के अनुसार - एक सकारात्मक संख्या, इसलिए = 6 (और नहीं -6)। उसी तरह, हालांकि 2 4 \u003d 16, मी (-2) 4 \u003d 16, जड़ों के संकेतों से गुजरते हुए, हमें \u003d 2 (और उसी समय -2) लिखना होगा।
कभी-कभी अभिव्यक्ति को एक कट्टरपंथी कहा जाता है (लैटिन शब्द गैडिक्स से - "रूट")। रूसी में, कट्टरपंथी शब्द का प्रयोग अक्सर किया जाता है, उदाहरण के लिए, "कट्टरपंथी परिवर्तन" का अर्थ है "कट्टरपंथी परिवर्तन"। वैसे, जड़ का बहुत ही पदनाम गैडिक्स शब्द की याद दिलाता है: प्रतीक एक शैलीगत अक्षर r है।
मूल निकालने की क्रिया भी ऋणात्मक मूल संख्या के लिए निर्धारित की जाती है, लेकिन केवल विषम मूल घातांक के मामले में। दूसरे शब्दों में, समीकरण (-2) 5 = -32 को समतुल्य रूप में =-2 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यहाँ निम्नलिखित परिभाषा का प्रयोग किया गया है।
परिभाषा 2.एक ऋणात्मक संख्या a (n = 3.5, ...) से विषम अंश n का मूल एक ऋणात्मक संख्या है, जिसे n के घात तक बढ़ाने पर संख्या a प्राप्त होती है।
यह संख्या, जैसा कि परिभाषा 1 में है, द्वारा निरूपित किया जाता है, संख्या a मूल संख्या है, संख्या n मूल सूचकांक है।
तो, अगर a, n=,5,7,…, तो: 1) 0; 2) () एन = ए।
इस प्रकार, एक सम मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक मूलक अभिव्यक्ति के लिए समझ में आता है (यानी परिभाषित किया गया है); एक विषम जड़ किसी भी कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के लिए समझ में आता है।
5. ज्ञान का प्राथमिक समेकन:
1. गणना करें: संख्या संख्या 33.5; 33.6; 33.74 33.8 मौखिक रूप से क) ; बी) ; में) ; जी) ।
d) पिछले उदाहरणों के विपरीत, हम संख्या का सटीक मान निर्दिष्ट नहीं कर सकते। यह केवल स्पष्ट है कि यह 2 से अधिक है, लेकिन 3 से कम है, क्योंकि 2 4 \u003d 16 (यह 17 से कम है), और 3 4 \u003d 81 (यह 17 से अधिक)। ध्यान दें कि 24, 34 की तुलना में 17 के काफी करीब है, इसलिए लगभग बराबर चिह्न का उपयोग करने का कारण है:
2.
निम्नलिखित भावों के मान ज्ञात कीजिए।
उदाहरण के आगे संबंधित पत्र रखें।
महान वैज्ञानिक के बारे में थोड़ी जानकारी। रेने डेसकार्टेस (1596-1650) फ्रांसीसी रईस, गणितज्ञ, दार्शनिक, शरीर विज्ञानी, विचारक। रेने डेसकार्टेस ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की नींव रखी, अक्षर पदनाम x 2 , y 3 की शुरुआत की। हर कोई कार्टेशियन निर्देशांक जानता है जो एक चर के कार्य को परिभाषित करता है।
3 . समीकरण हल करें: ए) = -2; बी) = 1; ग) = -4
फेसला:क) यदि = -2, तो y = -8। वास्तव में, हमें दिए गए समीकरण के दोनों भागों को घन करना चाहिए। हम पाते हैं: 3x+4= - 8; 3x = -12; एक्स = -4। बी) उदाहरण के रूप में तर्क देते हुए ए), हम समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी शक्ति तक बढ़ाते हैं। हमें मिलता है: एक्स = 1।
ग) यहां चौथी शक्ति तक बढ़ाना आवश्यक नहीं है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है। क्यों? क्योंकि, परिभाषा 1 के अनुसार, एक सम घात का मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।
आपके ध्यान के लिए कई कार्य हैं। जब आप इन कार्यों को पूरा कर लेंगे, तो आप महान गणितज्ञ का नाम और उपनाम जानेंगे। इस वैज्ञानिक ने 1637 में सबसे पहले जड़ के चिन्ह का परिचय दिया था।
6. चलो थोड़ा आराम करें।
वर्ग हाथ उठाता है - यह "समय" है।
सिर मुड़ा - यह "दो" है।
हाथ नीचे करो, आगे देखो - यह "तीन" है।
हाथ "चार" पर पक्षों की ओर बढ़े,
उन्हें अपने हाथों से बलपूर्वक दबाना "पाँच" है।
सभी लोगों को बैठने की जरूरत है - यह "छः" है।
7. स्वतंत्र कार्य:
विकल्प: 2 विकल्प:
बी) 3-। बी) 12 -6।
2. समीकरण हल करें: ए) एक्स 4 \u003d -16; बी) 0.02x6 -1.28=0; ए) एक्स 8 \u003d -3; बी) 0.3x 9 - 2.4 \u003d 0;
ग) = -2; सी) = 2
8. दोहराव:समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए = - x। यदि समीकरण में एक से अधिक मूल हैं, तो उत्तर में छोटे मूल लिखें।
9. प्रतिबिंब:आपने पाठ में क्या सीखा? क्या दिलचस्प था? क्या मुश्किल था?
विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एनएच डिग्री की जड़ के गुण। प्रमेय"
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nth डिग्री की जड़ के गुण। प्रमेयों
दोस्तों, हम एक वास्तविक संख्या की nवीं डिग्री की जड़ों का अध्ययन करना जारी रखते हैं। लगभग सभी गणितीय वस्तुओं की तरह, nth डिग्री की जड़ों में कुछ गुण होते हैं, आज हम उनका अध्ययन करेंगे।हम जिन सभी गुणों पर विचार करते हैं, वे मूल चिह्न के अंतर्गत निहित चरों के केवल गैर-ऋणात्मक मानों के लिए सूत्रबद्ध और सिद्ध होते हैं।
विषम मूल घातांक के मामले में, वे ऋणात्मक चरों को भी धारण करते हैं।
प्रमेय 1. दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का nवां मूल इन संख्याओं के nवें मूल के गुणनफल के बराबर होता है: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ वर्ग [एन] (बी) $।
आइए प्रमेय को सिद्ध करें।
प्रमाण। दोस्तों, प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, आइए नए चरों का परिचय दें, निरूपित करें:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
हमें यह सिद्ध करना होगा कि $x=y*z$.
ध्यान दें कि निम्नलिखित पहचान भी रखती हैं:
$ए*बी=एक्स^एन$।
$ ए = वाई ^ एन $।
$ बी = जेड ^ एन $।
फिर निम्नलिखित पहचान भी रखती है: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$।
दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं की डिग्री और उनके घातांक समान हैं, तो डिग्री के आधार स्वयं समान हैं। इसलिए $x=y*z$, जिसे साबित करना आवश्यक था।
प्रमेय 2। यदि $a≥0$, $b>0$ और n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है, तो निम्नलिखित समानता रखती है: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
अर्थात्, भागफल का nवाँ मूल nवें मूल के भागफल के बराबर होता है।
प्रमाण।
इसे साबित करने के लिए, हम तालिका के रूप में एक सरलीकृत योजना का उपयोग करते हैं:
nवें मूल की गणना के उदाहरण
उदाहरण।गणना करें: $\sqrt(16*81*256)$।
फेसला। आइए प्रमेय 1 का प्रयोग करें: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$।
उदाहरण।
गणना करें: $\sqrt(7\frac(19)(32))$।
फेसला। आइए कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को एक अनुचित अंश के रूप में प्रस्तुत करें: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$।
आइए प्रमेय 2 का प्रयोग करें: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$।
उदाहरण।
गणना करें:
ए) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$।
बी) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$।
फेसला:
ए) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
बी) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
प्रमेय 3. यदि $a≥0$, k और n 1 से बड़ी प्राकृत संख्याएँ हैं, तो समानता सत्य है: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$।
एक प्राकृतिक शक्ति के लिए एक जड़ को ऊपर उठाने के लिए, इस शक्ति के लिए कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को बढ़ाने के लिए पर्याप्त है।
प्रमाण।
आइए $k=3$ के लिए एक विशेष मामले पर विचार करें। आइए प्रमेय 1 का प्रयोग करें।
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
किसी अन्य मामले के लिए भी यही साबित किया जा सकता है। दोस्तों, जब $k=4$ और $k=6$ मामले के लिए इसे स्वयं साबित करें।
प्रमेय 4. अगर $a≥0$ b n,k 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्याएं हैं, तो समानता सत्य है: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$।
जड़ से जड़ निकालने के लिए, जड़ों के घातांक को गुणा करना पर्याप्त है।
प्रमाण।
आइए तालिका का उपयोग करके फिर से संक्षेप में साबित करें। इसे साबित करने के लिए, हम तालिका के रूप में एक सरलीकृत योजना का उपयोग करते हैं: 
उदाहरण।
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
प्रमेय 5. यदि मूल और मूल व्यंजक के सूचकांकों को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा किया जाता है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.
प्रमाण।
हमारे प्रमेय के प्रमाण का सिद्धांत अन्य उदाहरणों की तरह ही है। आइए नए चर पेश करें:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (परिभाषा के अनुसार)।
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (परिभाषा के अनुसार)।
हम अंतिम समानता को घात p . तक बढ़ाते हैं
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$।
मिलना:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$।
यानी $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, जिसे साबित किया जाना था।
उदाहरण:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5 से विभाजित)।
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2 से विभाजित)।
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 से गुणा)।
उदाहरण।
क्रियाएँ चलाएँ: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$।
फेसला।
मूलों के घातांक भिन्न-भिन्न संख्याएँ हैं, इसलिए हम प्रमेय 1 का उपयोग नहीं कर सकते हैं, लेकिन प्रमेय 5 को लागू करने से हम समान घातांक प्राप्त कर सकते हैं।
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 से गुणा)।
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4 से गुणा)।
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$।
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य
1. गणना करें: $\sqrt(32*243*1024)$।2. गणना करें: $\sqrt(7\frac(58)(81))$।
3. गणना करें:
ए) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$।
बी) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$।
4. सरल करें:
ए) $\sqrt(\sqrt(a))$.
बी) $\sqrt(\sqrt(a))$.
सी) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. क्रियाएँ करें: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$।
